Berapakah garis tengah pada trapesium? Sifat-sifat trapesium

Dalam menyelesaikan masalah planimetri, selain sisi dan sudut suatu bangun, besaran lain sering berperan aktif - median, tinggi, diagonal, garis bagi, dan lain-lain. Ini termasuk garis tengah.
Jika poligon asal berbentuk trapesium, berapakah garis tengahnya? Ruas ini merupakan bagian dari garis lurus yang memotong sisi-sisi gambar di tengah dan letaknya sejajar dengan kedua sisi lainnya – alasnya.

Cara mencari garis tengah trapesium melalui garis tengah dan alasnya

Jika nilai basis atas dan bawah diketahui, maka ekspresi akan membantu menghitung yang tidak diketahui:

a, b – pangkalan, l – garis tengah.

Cara mencari garis tengah trapesium yang melalui suatu luas

Jika data awal berisi luas bangun, maka dengan menggunakan nilai ini Anda juga dapat menghitung panjang garis di tengah trapesium. Mari kita gunakan rumus S = (a+b)/2*h,
S – luas,
jam – tinggi,
a, b – basa.
Namun karena l = (a+b)/2, maka S = l*h, artinya l=S/h.

Cara mencari garis tengah trapesium melalui alas dan sudut-sudutnya

Mengingat panjang alas bangun yang lebih besar, tingginya, serta besaran derajat sudut-sudut yang diketahui, persamaan untuk mencari garis tengah trapesium akan berbentuk sebagai berikut:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, sementara
aku adalah nilai yang diinginkan,
a – basis yang lebih besar,
α, β adalah sudutnya,
h – tinggi gambar.

Jika nilai basis yang lebih kecil diketahui (dengan data lain yang sama), relasi berikut akan membantu mencari garis tengah:

aku=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

aku adalah nilai yang diinginkan,
b – alas lebih kecil,
α, β adalah sudutnya,
h – tinggi gambar.

Temukan garis tengah trapesium menggunakan tinggi, diagonal, dan sudut

Mari kita pertimbangkan situasi di mana kondisi masalah mencakup nilai diagonal gambar, sudut yang dibentuknya saat berpotongan satu sama lain, serta tingginya. Anda dapat menghitung garis tengah menggunakan ekspresi berikut:

l=(d1*d2)/2h*sinγ atau l=(d1*d2)/2h*sinφ,

aku – garis tengah,
d1, d2 – diagonal,
φ, γ – sudut di antara keduanya,
h – tinggi gambar.

Cara mencari garis tengah trapesium pada bangun datar sama kaki

Jika bangun dasarnya trapesium sama kaki, maka rumus di atas akan berbentuk sebagai berikut.

• Jika nilai alas trapesium ada, tidak akan ada perubahan pada ekspresi.

l = (a+b)/2, a, b – alas, l – garis tengah.

• Jika tinggi, alas, dan sudut yang berdekatan diketahui, maka:

aku=ah*ctgα,
aku=b+h*ctgα,

aku – garis tengah,
a, b – basa (b< a),
α adalah sudutnya,
h – tinggi gambar.

• Jika sisi lateral trapesium dan salah satu alasnya diketahui, maka nilai yang diinginkan dapat ditentukan dengan mengacu pada persamaan:

aku=a-√(c*c-h*h),
aku=b+√(c*c-h*h),
aku – garis tengah,
a, b – basa (b< a),
h – tinggi gambar.

• Dengan diketahui nilai tinggi, diagonal (dan sama besar satu sama lain) dan sudut yang terbentuk akibat perpotongannya, maka garis tengahnya dapat dicari sebagai berikut:

l=(d*d)/2h*sinγ atau l=(d*d)/2h*sinφ,

aku – garis tengah,
d – diagonal,
φ, γ – sudut di antara keduanya,
h – tinggi gambar.

• Diketahui luas dan tinggi bangun tersebut, maka:

aku=S/jam,
S – luas,
jam – tinggi.

• Jika tinggi tegak lurus tidak diketahui, maka dapat ditentukan dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri.

h=c*sinα, oleh karena itu
aku=S/c*sinα,
aku – garis tengah,
S – luas,
c – samping,
α adalah sudut pada alasnya.

Garis tengah trapesium, dan terutama sifat-sifatnya, sangat sering digunakan dalam geometri untuk menyelesaikan masalah dan membuktikan teorema tertentu.

adalah segiempat yang hanya mempunyai 2 sisi yang sejajar satu sama lain. Sisi sejajar disebut alas (pada Gambar 1 - IKLAN Dan SM), dua lainnya bersifat lateral (pada gambar AB Dan CD).

Garis tengah trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya (pada Gambar 1 - KL).

Sifat-sifat garis tengah trapesium

Bukti teorema garis tengah trapesium

Membuktikan bahwa garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya dan sejajar dengan alas tersebut.

Diberikan sebuah trapesium ABCD dengan garis tengah KL. Untuk membuktikan sifat-sifat yang dipertimbangkan, perlu ditarik garis lurus yang melalui titik-titik tersebut B Dan L. Pada Gambar 2 ini adalah garis lurus BQ. Dan juga melanjutkan fondasinya IKLAN ke persimpangan dengan garis BQ.

Perhatikan segitiga yang dihasilkan L.B.C. Dan LQD:

1. Menurut definisi garis tengah KL dot L adalah titik tengah segmen tersebut CD. Oleh karena itu segmen-segmennya C.L. Dan LD adalah sama.
2. ∠BLC = ∠QLD, karena sudut-sudut ini vertikal.
3. ∠BCL = ∠LDQ, karena sudut-sudut ini terletak bersilangan pada garis sejajar IKLAN Dan SM dan garis potong CD.

Dari ketiga persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa segitiga-segitiga yang telah diperhatikan sebelumnya L.B.C. Dan LQD sama besar pada 1 sisi dan dua sudut yang berdekatan (lihat Gambar 3). Karena itu, ∠LBC = ∠ LQD, SM=DQ dan yang paling penting - BL=LQ => KL, yang merupakan garis tengah trapesium ABCD, juga merupakan garis tengah segitiga ABQ. Berdasarkan sifat-sifat garis tengah suatu segitiga ABQ kita mendapatkan.

Konsep garis tengah trapesium

Pertama, mari kita ingat bangun apa yang disebut trapesium.

Definisi 1

Trapesium adalah segi empat yang dua sisinya sejajar dan dua sisi lainnya tidak sejajar.

Dalam hal ini, sisi-sisi yang sejajar disebut alas trapesium, dan sisi-sisi yang tidak sejajar disebut sisi lateral trapesium.

Definisi 2

Garis tengah trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi lateral trapesium.

Teorema garis tengah trapesium

Sekarang kita perkenalkan teorema tentang garis tengah trapesium dan buktikan dengan menggunakan metode vektor.

Teorema 1

Garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya dan sama dengan setengah jumlah trapesium tersebut.

Bukti.

Misalkan kita diberi trapesium $ABCD$ dengan basis $AD\ dan\ BC$. Dan misalkan $MN$ menjadi garis tengah trapesium ini (Gbr. 1).

Gambar 1. Garis tengah trapesium

Mari kita buktikan bahwa $MN||AD\ dan\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Perhatikan vektor $\overrightarrow(MN)$. Selanjutnya kita menggunakan aturan poligon untuk menjumlahkan vektor. Di satu sisi, kita mengerti

Di sisi lain

Mari tambahkan dua persamaan terakhir dan dapatkan

Karena $M$ dan $N$ adalah titik tengah sisi lateral trapesium, kita peroleh

Kita mendapatkan:

Karena itu

Dari persamaan yang sama (karena $\overrightarrow(BC)$ dan $\overrightarrow(AD)$ bersifat searah dan, oleh karena itu, kolinear) kita memperoleh $MN||AD$.

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh soal konsep garis tengah trapesium

Contoh 1

Sisi lateral trapesium berturut-turut adalah $15\ cm$ dan $17\ cm$. Keliling trapesium adalah $52\cm$. Tentukan panjang garis tengah trapesium tersebut.

Larutan.

Mari kita nyatakan garis tengah trapesium dengan $n$.

Jumlah sisi-sisinya sama dengan

Oleh karena itu, karena kelilingnya adalah $52\ cm$, jumlah alasnya adalah sama dengan

Jadi, berdasarkan Teorema 1, kita peroleh

Menjawab:$10\cm$.

Contoh 2

Ujung-ujung diameter lingkaran masing-masing berjarak $9$ cm dan $5$ cm dari garis singgungnya. Tentukan diameter lingkaran tersebut.

Larutan.

Misalkan kita diberi sebuah lingkaran yang berpusat di titik $O$ dan diameter $AB$. Mari kita menggambar garis singgung $l$ dan menentukan jarak $AD=9\ cm$ dan $BC=5\ cm$. Mari kita menggambar jari-jari $OH$ (Gbr. 2).

Gambar 2.

Karena $AD$ dan $BC$ adalah jarak garis singgung, maka $AD\bot l$ dan $BC\bot l$ dan karena $OH$ adalah jari-jarinya, maka $OH\bot l$, maka $OH |\kiri|IKLAN\kanan||BC$. Dari semua ini kita mendapatkan bahwa $ABCD$ adalah trapesium, dan $OH$ adalah garis tengahnya. Berdasarkan Teorema 1, kita peroleh

Trapesium adalah kasus khusus segiempat yang sepasang sisinya sejajar. Istilah "trapesium" berasal dari kata Yunani τράπεζα, yang berarti "meja", "meja". Pada artikel kali ini kita akan melihat jenis-jenis trapesium dan sifat-sifatnya. Selain itu, kita akan mengetahui cara menghitung elemen individualnya. Misalnya diagonal trapesium sama kaki, garis tengah, luas, dll. Materi disajikan dalam gaya geometri dasar populer, yaitu dalam bentuk yang mudah diakses .

Informasi Umum

Pertama, mari kita cari tahu apa itu segi empat. Gambar ini adalah kasus khusus dari poligon yang mempunyai empat sisi dan empat titik sudut. Dua titik sudut pada suatu segiempat yang tidak bertetangga disebut berhadapan. Hal yang sama juga berlaku untuk dua sisi yang tidak berdekatan. Jenis utama segi empat adalah jajar genjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi, trapesium, dan deltoid.

Jadi mari kita kembali ke trapesium. Seperti yang telah kami katakan, gambar ini memiliki dua sisi yang sejajar. Mereka disebut pangkalan. Dua lainnya (tidak sejajar) adalah sisi lateral. Dalam materi ujian dan berbagai ulangan, seringkali kita menemukan soal-soal yang berkaitan dengan trapesium, yang penyelesaiannya seringkali mengharuskan siswa memiliki pengetahuan yang tidak disediakan dalam program. Mata kuliah geometri sekolah mengenalkan siswa pada sifat-sifat sudut dan diagonal, serta garis tengah trapesium sama kaki. Namun, selain itu, bangun geometri tersebut memiliki ciri-ciri lain. Tetapi lebih banyak tentang mereka nanti...

Jenis trapesium

Ada banyak jenis figur ini. Namun, dua di antaranya paling sering dianggap - sama kaki dan persegi panjang.

1. Trapesium persegi panjang adalah bangun datar yang salah satu sisinya tegak lurus alasnya. Kedua sudutnya selalu sama dengan sembilan puluh derajat.

2. Trapesium sama kaki adalah bangun datar yang sisi-sisinya sama panjang. Artinya sudut-sudut pada alasnya juga berpasangan sama besar.

Prinsip utama metodologi mempelajari sifat-sifat trapesium

Prinsip utamanya mencakup penggunaan apa yang disebut pendekatan tugas. Faktanya, tidak perlu memperkenalkan sifat-sifat baru dari gambar ini ke dalam mata kuliah teoritis geometri. Mereka dapat ditemukan dan dirumuskan dalam proses pemecahan berbagai masalah (sebaiknya masalah sistem). Pada saat yang sama, sangat penting bagi guru untuk mengetahui tugas-tugas apa yang perlu diberikan kepada siswa pada suatu waktu selama proses pendidikan. Selain itu, setiap properti trapesium dapat direpresentasikan sebagai tugas utama dalam sistem tugas.

Prinsip kedua adalah apa yang disebut organisasi spiral yang mempelajari sifat-sifat trapesium yang “luar biasa”. Ini menyiratkan kembalinya proses pembelajaran ke ciri-ciri individu dari bangun geometri tertentu. Hal ini memudahkan siswa untuk mengingatnya. Misalnya sifat empat titik. Hal ini dapat dibuktikan baik ketika mempelajari kesamaan maupun selanjutnya menggunakan vektor. Dan persamaan segitiga-segitiga yang berdekatan dengan sisi-sisi lateral suatu bangun dapat dibuktikan dengan menerapkan tidak hanya sifat-sifat segitiga yang ditarik sama tingginya pada sisi-sisi yang terletak pada garis lurus yang sama, tetapi juga dengan menggunakan rumus S = 1/2( ab*sinα). Selain itu, Anda dapat mengerjakan trapesium bertulisan atau segitiga siku-siku pada trapesium bertulisan, dll.

Penggunaan ciri-ciri “ekstrakurikuler” bangun ruang dalam isi mata pelajaran sekolah merupakan teknologi berbasis tugas untuk mengajar mereka. Mengacu secara terus-menerus pada sifat-sifat yang dipelajari sambil mempelajari topik lain memungkinkan siswa memperoleh pengetahuan yang lebih mendalam tentang trapesium dan menjamin keberhasilan penyelesaian masalah yang diberikan. Jadi, mari kita mulai mempelajari sosok luar biasa ini.

Unsur dan sifat trapesium sama kaki

Seperti yang telah kita ketahui, bangun geometri ini memiliki sisi-sisi yang sama besar. Ia juga dikenal sebagai trapesium biasa. Mengapa begitu luar biasa dan mengapa mendapat nama seperti itu? Keunikan gambar ini adalah tidak hanya sisi dan sudut alasnya yang sama besar, tetapi juga diagonalnya. Selain itu, jumlah sudut trapesium sama kaki adalah 360 derajat. Tapi bukan itu saja! Dari semua trapesium yang diketahui, hanya trapesium sama kaki yang dapat digambarkan sebagai lingkaran. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa jumlah sudut yang berhadapan pada gambar ini sama dengan 180 derajat, dan hanya dalam kondisi ini lingkaran mengelilingi segi empat dapat digambarkan. Sifat selanjutnya dari bangun geometri yang ditinjau adalah jarak dari titik sudut alas ke proyeksi titik sudut yang berlawanan pada garis lurus yang memuat alas tersebut akan sama dengan garis tengah.

Sekarang mari kita cari tahu cara mencari sudut trapesium sama kaki. Mari kita pertimbangkan solusi untuk masalah ini, asalkan dimensi sisi-sisi gambar tersebut diketahui.

Larutan

Biasanya segi empat biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, dengan BS dan AD sebagai alasnya. Pada trapesium sama kaki, sisi-sisinya sama panjang. Kita asumsikan ukurannya sama dengan X, dan ukuran alasnya sama dengan Y dan Z (masing-masing lebih kecil dan lebih besar). Untuk melakukan perhitungannya perlu menggambar tinggi H dari sudut B. Hasilnya adalah segitiga siku-siku ABN, AB adalah sisi miringnya, dan BN serta AN adalah kaki-kakinya. Kita hitung besar kaki AN: kita kurangi yang lebih kecil dari alas yang lebih besar, lalu bagi hasilnya dengan 2. Kita tuliskan dalam bentuk rumus: (Z-Y)/2 = F. Sekarang, untuk menghitung lancip sudut segitiga, kita menggunakan fungsi cos. Kita mendapatkan entri berikut: cos(β) = X/F. Sekarang kita menghitung sudutnya: β=arcos (X/F). Selanjutnya, dengan mengetahui satu sudut, kita dapat menentukan sudut kedua, untuk ini kita melakukan operasi aritmatika dasar: 180 - . Semua sudut ditentukan.

Ada solusi kedua untuk masalah ini. Pertama kita turunkan dari sudut ke ketinggian H. Kita hitung nilai kaki BN. Kita tahu bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Kita peroleh: BN = √(X2-F2). Selanjutnya kita menggunakan fungsi trigonometri tg. Hasilnya, kita mendapatkan: β = arctan (BN/F). Sudut lancip telah ditemukan. Selanjutnya, kita mendefinisikannya mirip dengan metode pertama.

Sifat diagonal trapesium sama kaki

Pertama, mari kita tuliskan empat aturan. Jika diagonal-diagonal trapesium sama kaki tegak lurus, maka:

Tinggi bangun tersebut akan sama dengan jumlah alas dibagi dua;

Tinggi dan garis tengahnya sama;

Pusat lingkaran adalah titik dimana ;

Jika sisi lateral dibagi dengan titik singgung menjadi segmen H dan M, maka sama dengan akar kuadrat hasil kali segmen tersebut;

Segi empat yang dibentuk oleh titik singgung, titik sudut trapesium, dan pusat lingkaran adalah persegi yang sisi-sisinya sama dengan jari-jarinya;

Luas suatu bangun sama dengan hasil kali alas dan hasil kali setengah jumlah alas dan tingginya.

Trapesium serupa

Topik ini sangat berguna untuk mempelajari sifat-sifat ini. Misalnya, diagonal-diagonal membagi trapesium menjadi empat segitiga, dan segitiga-segitiga yang berdekatan dengan alasnya sebangun, dan diagonal-diagonal yang berdekatan dengan sisi-sisinya sama besar. Pernyataan ini dapat disebut sifat-sifat segitiga yang trapesiumnya dibagi dengan diagonal-diagonalnya. Bagian pertama pernyataan ini dibuktikan melalui tanda keserupaan pada dua sudut. Untuk membuktikan bagian kedua, ada baiknya menggunakan cara yang diberikan di bawah ini.

Bukti teorema

Kita asumsikan bangun ABSD (AD dan BS adalah alas trapesium) dibagi dengan diagonal VD dan AC. Titik perpotongannya adalah O. Kita mendapatkan empat segitiga: AOS - di alas bawah, BOS - di alas atas, ABO dan SOD di samping. Segitiga SOD dan BOS mempunyai tinggi yang sama jika ruas BO dan OD adalah alasnya. Kita menemukan bahwa selisih luas areanya (P) sama dengan selisih antara segmen-segmen berikut: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Oleh karena itu, PSOD = PBOS/K. Demikian pula segitiga BOS dan AOB mempunyai tinggi yang sama. Kami mengambil segmen CO dan OA sebagai basisnya. Kita mendapatkan PBOS/PAOB = CO/OA = K dan PAOB = PBOS/K. Oleh karena itu PSOD = PAOB.

Untuk memantapkan materi, siswa dianjurkan untuk mencari hubungan antara luas segitiga-segitiga yang membagi trapesium dengan diagonal-diagonalnya dengan menyelesaikan soal berikut. Diketahui segitiga BOS dan AOD mempunyai luas yang sama, maka perlu dicari luas trapesium tersebut. Karena PSOD = PAOB, berarti PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Dari persamaan segitiga BOS dan AOD diperoleh BO/OD = √(PBOS/PAOD). Jadi PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Kita peroleh PSOD = √(PBOS*PAOD). Maka PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Sifat kesamaan

Dengan terus mengembangkan topik ini, kita dapat membuktikan ciri-ciri menarik lainnya dari trapesium. Jadi, dengan menggunakan persamaan, seseorang dapat membuktikan sifat-sifat suatu segmen yang melalui suatu titik yang dibentuk oleh perpotongan diagonal-diagonal bangun geometri tersebut, sejajar dengan alasnya. Untuk melakukannya, mari kita selesaikan soal berikut: kita perlu mencari panjang ruas RK yang melalui titik O. Dari persamaan segitiga AOD dan BOS maka AO/OS = AD/BS. Dari persamaan segitiga AOP dan ASB maka AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Dari sini kita mendapatkan RO=BS*BP/(BS+BP). Demikian pula dari persamaan segitiga DOC dan DBS diperoleh OK = BS*AD/(BS+AD). Dari sini kita mendapatkan RO=OK dan RK=2*BS*AD/(BS+AD). Suatu ruas garis yang melalui titik potong diagonal-diagonalnya, sejajar alasnya dan menghubungkan dua sisi lateralnya, dibagi dua oleh titik potongnya. Panjangnya adalah rata-rata harmonik dari alas gambar tersebut.

Perhatikan sifat trapesium berikut yang disebut sifat empat titik. Titik potong diagonal (O), perpotongan lanjutan sisi-sisinya (E), serta titik tengah alasnya (T dan F) selalu terletak pada garis yang sama. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan metode kesamaan. Segitiga yang dihasilkan BES dan AED sebangun, dan pada masing-masing segitiga tersebut median ET dan EJ membagi sudut puncak E menjadi bagian yang sama besar. Jadi titik E, T dan F terletak pada satu garis lurus. Demikian pula titik T, O, dan Zh terletak pada satu garis lurus yang berasal dari persamaan segitiga BOS dan AOD. Dari sini kita menyimpulkan bahwa keempat titik - E, T, O dan F - akan terletak pada garis lurus yang sama.

Dengan menggunakan trapesium sejenis, Anda dapat meminta siswa mencari panjang ruas (LS) yang membagi bangun datar menjadi dua bangun datar yang sebangun. Segmen ini harus sejajar dengan alasnya. Karena trapesium ALFD dan LBSF yang dihasilkan sebangun, maka BS/LF = LF/AD. Oleh karena itu LF=√(BS*AD). Diketahui bahwa ruas yang membagi trapesium menjadi dua trapesium yang sebangun memiliki panjang yang sama dengan rata-rata geometrik panjang alas bangun tersebut.

Perhatikan sifat kesamaan berikut. Hal ini didasarkan pada segmen yang membagi trapesium menjadi dua bangun datar yang sama besar. Kita asumsikan trapesium ABSD dibagi oleh ruas EH menjadi dua ruas yang sebangun. Ketinggian dihilangkan dari titik B, yang dibagi oleh segmen EN menjadi dua bagian - B1 dan B2. Kita mendapatkan: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 dan PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Selanjutnya kita buat sistem yang persamaan pertamanya adalah (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 dan persamaan kedua (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Maka B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) dan BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Diketahui bahwa panjang segmen yang membagi trapesium menjadi dua sama besar sama dengan rata-rata akar kuadrat panjang alasnya: √((BS2+AD2)/2).

Temuan kesamaan

Dengan demikian, kami telah membuktikan bahwa:

1. Ruas yang menghubungkan titik tengah sisi lateral trapesium sejajar dengan AD dan BS dan sama dengan rata-rata aritmatika BS dan AD (panjang alas trapesium).

2. Garis yang melalui titik O pada perpotongan diagonal-diagonal yang sejajar AD dan BS sama dengan mean harmonik bilangan AD dan BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Ruas yang membagi trapesium menjadi trapesium serupa mempunyai panjang rata-rata geometri alas BS dan AD.

4. Suatu unsur yang membagi suatu bangun datar menjadi dua sama besar mempunyai panjang akar rata-rata kuadrat bilangan AD dan BS.

Untuk mengkonsolidasikan materi dan memahami hubungan antara segmen-segmen yang dipertimbangkan, siswa perlu membangunnya untuk trapesium tertentu. Dia dapat dengan mudah menampilkan garis tengah dan ruas yang melalui titik O - perpotongan diagonal gambar - sejajar dengan alasnya. Tapi di manakah lokasi ketiga dan keempat? Jawaban ini akan mengarahkan siswa pada penemuan hubungan yang diinginkan antara nilai rata-rata.

Ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal trapesium

Perhatikan properti berikut dari gambar ini. Diasumsikan ruas MH sejajar alas dan membagi dua diagonalnya. Sebut saja titik potong Ш dan Ш. Ruas ini sama dengan setengah selisih alasnya. Mari kita lihat ini lebih terinci. MS adalah garis tengah segitiga ABS sama dengan BS/2. MSH adalah garis tengah segitiga ABD sama dengan AD/2. Kemudian kita mendapatkan bahwa ShShch = MSh-MSh, oleh karena itu, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Pusat gravitasi

Mari kita lihat bagaimana elemen ini ditentukan untuk bangun geometri tertentu. Untuk melakukan ini, perlu untuk memperluas pangkalan ke arah yang berlawanan. Apa artinya? Anda perlu menambahkan alas bawah ke alas atas - ke segala arah, misalnya ke kanan. Dan kami memperpanjang yang lebih rendah dengan panjang yang atas ke kiri. Selanjutnya, kita menghubungkannya secara diagonal. Titik potong ruas tersebut dengan garis tengah gambar merupakan pusat gravitasi trapesium.

Trapesium bertulis dan berbatas

Mari kita daftar fitur-fitur dari gambar-gambar tersebut:

1. Sebuah trapesium hanya dapat dibuat melingkar jika berbentuk lingkaran sama kaki.

2. Trapesium dapat digambarkan mengelilingi lingkaran, asalkan jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisinya.

Akibat wajar dari lingkaran dalam:

1. Tinggi trapesium yang dibatasi selalu sama dengan dua jari-jari.

2. Sisi trapesium yang dibatasi diamati dari pusat lingkaran membentuk sudut siku-siku.

Konsekuensi pertama sudah jelas, tetapi untuk membuktikan konsekuensi kedua perlu dipastikan bahwa sudut SOD tepat, yang sebenarnya juga tidak sulit. Tetapi pengetahuan tentang sifat ini akan memungkinkan Anda menggunakan segitiga siku-siku saat menyelesaikan masalah.

Sekarang mari kita tentukan konsekuensi ini untuk trapesium sama kaki yang tertulis dalam lingkaran. Kita mengetahui bahwa tinggi adalah rata-rata geometrik alas bangun tersebut: H=2R=√(BS*AD). Saat mempraktikkan teknik dasar menyelesaikan soal trapesium (prinsip menggambar dua ketinggian), siswa harus menyelesaikan tugas berikut. Kita asumsikan BT adalah tinggi dari bangun sama kaki ABSD. Kita perlu mencari segmen AT dan TD. Dengan menggunakan rumus yang dijelaskan di atas, hal ini tidak akan sulit dilakukan.

Sekarang mari kita cari tahu cara menentukan jari-jari lingkaran menggunakan luas trapesium yang dibatasi. Kita turunkan tinggi dari titik B ke alas AD. Karena lingkaran berada pada trapesium, maka BS+AD = 2AB atau AB = (BS+AD)/2. Dari segitiga ABN kita temukan sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Kita peroleh PABSD = (BS+BP)*R, maka R = PABSD/(BS+BP).

Semua rumus garis tengah trapesium

Sekarang saatnya beralih ke elemen terakhir dari bangun geometris ini. Mari kita cari tahu berapa garis tengah trapesium (M):

1. Melalui basa: M = (A+B)/2.

2. Melalui tinggi, alas dan sudut:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Melalui tinggi, diagonal dan sudut di antara mereka. Misalnya, D1 dan D2 adalah diagonal trapesium; α, β - sudut di antara keduanya:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Luas dan tinggi tembus: M = P/N.

Pada artikel ini kami akan mencoba mencerminkan sifat-sifat trapesium semaksimal mungkin. Secara khusus, kita akan membahas tentang ciri-ciri umum dan sifat-sifat trapesium, serta sifat-sifat trapesium bertulisan dan lingkaran pada trapesium. Kita juga akan membahas sifat-sifat trapesium sama kaki dan persegi panjang.

Contoh penyelesaian masalah menggunakan properti yang dibahas akan membantu Anda mengurutkannya ke dalam pikiran Anda dan mengingat materi dengan lebih baik.

Trapeze dan semua-semua-semua

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat apa itu trapesium dan konsep lain apa yang terkait dengannya.

Jadi, trapesium adalah bangun datar segi empat yang dua sisinya sejajar satu sama lain (inilah alasnya). Dan keduanya tidak sejajar - ini adalah sisinya.

Dalam trapesium, tingginya dapat diturunkan - tegak lurus dengan alasnya. Garis tengah dan diagonal digambar. Dimungkinkan juga untuk menggambar garis bagi dari sudut mana pun pada trapesium.

Sekarang kita akan membahas berbagai properti yang terkait dengan semua elemen ini dan kombinasinya.

Sifat-sifat diagonal trapesium

Agar lebih jelas, saat Anda membaca, buat sketsa ACME trapesium di selembar kertas dan gambar diagonal di dalamnya.

1. Jika Anda menemukan titik tengah masing-masing diagonal (sebut saja titik ini X dan T) dan menghubungkannya, Anda mendapatkan sebuah segmen. Salah satu sifat diagonal trapesium adalah ruas HT terletak pada garis tengah. Dan panjangnya dapat diperoleh dengan membagi selisih alasnya dengan dua: ХТ = (a – b)/2.
2. Di depan kita ada ACME trapesium yang sama. Diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Perhatikan segitiga AOE dan MOK yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonalnya bersama dengan alas trapesium. Segitiga-segitiga ini sebangun. Koefisien kemiripan k segitiga dinyatakan melalui perbandingan alas trapesium: k = AE/KM.
   Perbandingan luas segitiga AOE dan MOK dijelaskan dengan koefisien k 2 .
3. Trapesium yang sama, diagonal-diagonal yang sama berpotongan di titik O. Hanya saja kali ini kita akan membahas segitiga-segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonalnya bersama dengan sisi-sisi trapesium tersebut. Luas segitiga AKO dan EMO sama besar – luasnya sama.
4. Properti lain dari trapesium melibatkan konstruksi diagonal. Jadi, jika sisi AK dan ME diteruskan ke arah alas yang lebih kecil, maka cepat atau lambat keduanya akan berpotongan di titik tertentu. Selanjutnya, tarik garis lurus melalui bagian tengah alas trapesium. Ini memotong pangkalan di titik X dan T.
   Jika garis XT dipanjangkan sekarang, maka garis tersebut akan menghubungkan titik potong diagonal-diagonal trapesium O, titik potong perpanjangan sisi-sisi dan titik tengah alas X dan T.
5. Melalui titik potong diagonalnya kita menggambar ruas yang menghubungkan alas trapesium (T terletak pada alas KM yang lebih kecil, X pada alas AE yang lebih besar). Titik potong diagonal-diagonalnya membagi ruas tersebut dengan perbandingan sebagai berikut: KE/SAPI = KM/AE.
6. Sekarang, melalui titik potong diagonal-diagonalnya, kita akan menggambar sebuah ruas yang sejajar dengan alas trapesium (a dan b). Titik potong tersebut akan membaginya menjadi dua bagian yang sama besar. Anda dapat mencari panjang ruas menggunakan rumus 2ab/(a + b).

Sifat-sifat garis tengah trapesium

Gambarlah garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.

1. Panjang garis tengah trapesium dapat dihitung dengan menjumlahkan panjang alasnya dan membaginya menjadi dua: m = (a + b)/2.
2. Jika Anda menggambar suatu ruas (tinggi, misalnya) melalui kedua alas trapesium, garis tengah akan membaginya menjadi dua bagian yang sama besar.

Sifat Garis Bisektor Trapesium

Pilih sudut mana pun dari trapesium dan gambar garis bagi. Mari kita ambil contoh, sudut KAE dari trapesium ACME kita. Setelah menyelesaikan konstruksinya sendiri, Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa garis bagi memotong dari alasnya (atau kelanjutannya pada garis lurus di luar gambar itu sendiri) suatu segmen yang panjangnya sama dengan sisinya.

Sifat-sifat sudut trapesium

1. Manakah dari dua pasang sudut yang berdekatan dengan sisi yang Anda pilih, jumlah sudut pada pasangan tersebut selalu 180 0: α + β = 180 0 dan γ + δ = 180 0.
2. Mari kita hubungkan titik tengah alas trapesium dengan ruas TX. Sekarang mari kita lihat sudut alas trapesium. Jika jumlah sudut salah satu sudutnya adalah 90 0, panjang ruas TX dapat dengan mudah dihitung berdasarkan selisih panjang alasnya, dibagi dua: TX = (AE – KM)/2.
3. Jika garis-garis sejajar ditarik melalui sisi-sisi sudut trapesium, garis-garis tersebut akan membagi sisi-sisi sudut tersebut menjadi segmen-segmen yang sebanding.

Sifat-sifat trapesium sama kaki (sama sisi).

1. Pada trapesium sama kaki, sudut pada setiap alasnya sama besar.
2. Sekarang buatlah trapesium lagi agar lebih mudah membayangkan apa yang sedang kita bicarakan. Perhatikan baik-baik alas AE - titik sudut alas M yang berlawanan diproyeksikan ke suatu titik tertentu pada garis yang memuat AE. Jarak titik proyeksi A ke titik proyeksi titik M dan garis tengah trapesium sama kaki adalah sama.
3. Sedikit penjelasan tentang sifat diagonal trapesium sama kaki - panjangnya sama. Dan juga sudut kemiringan diagonal-diagonal tersebut terhadap alas trapesium adalah sama.
4. Hanya di sekitar trapesium sama kaki sebuah lingkaran dapat digambarkan, karena jumlah sudut yang berhadapan pada suatu segi empat adalah 180 0 - prasyarat untuk ini.
5. Sifat trapesium sama kaki mengikuti paragraf sebelumnya - jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat trapesium, maka lingkaran tersebut adalah sama kaki.
6. Dari ciri-ciri trapesium sama kaki berikut sifat-sifat tinggi trapesium: jika diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus, maka panjang tingginya sama dengan setengah jumlah alasnya: jam = (a + b)/2.
7. Sekali lagi, tarik segmen TX melalui titik tengah alas trapesium - pada trapesium sama kaki, segmen tersebut tegak lurus terhadap alasnya. Dan pada saat yang sama TX adalah sumbu simetri trapesium sama kaki.
8. Kali ini, turunkan tinggi dari titik sudut berlawanan trapesium ke alas yang lebih besar (sebut saja a). Anda akan mendapatkan dua segmen. Panjang satu dapat dicari jika panjang alasnya dijumlahkan dan dibagi dua: (a + b)/2. Kita mendapatkan bilangan kedua dengan mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan pokok yang lebih besar dan membagi selisih yang dihasilkan dengan dua: (a – b)/2.

Sifat-sifat trapesium yang tertulis dalam lingkaran

Karena kita sudah berbicara tentang trapesium yang tertulis dalam lingkaran, mari kita bahas masalah ini lebih terinci. Khususnya, letak pusat lingkaran terhadap trapesium. Di sini juga disarankan agar Anda meluangkan waktu untuk mengambil pensil dan menggambar apa yang akan dibahas di bawah ini. Dengan cara ini Anda akan memahami lebih cepat dan mengingat lebih baik.

1. Letak pusat lingkaran ditentukan oleh sudut kemiringan diagonal trapesium terhadap sisinya. Misalnya, diagonal dapat memanjang dari atas trapesium tegak lurus ke samping. Dalam hal ini, alas yang lebih besar memotong pusat lingkaran tepat di tengahnya (R = ½AE).
2. Diagonal dan sisinya juga dapat bertemu pada sudut lancip - maka pusat lingkaran berada di dalam trapesium.
3. Pusat lingkaran yang dibatasi mungkin berada di luar trapesium, di luar alasnya yang lebih besar, jika terdapat sudut tumpul antara diagonal trapesium dan sisinya.
4. Sudut yang dibentuk oleh diagonal dan alas besar trapesium ACME (sudut tertulis) adalah setengah sudut pusat yang bersesuaian dengannya: MAE = ½MOE.
5. Secara singkat tentang dua cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi. Metode satu: perhatikan baik-baik gambar Anda - apa yang Anda lihat? Anda dapat dengan mudah melihat bahwa diagonal membagi trapesium menjadi dua segitiga. Jari-jari dapat dicari dengan perbandingan sisi-sisi segitiga dengan sinus sudut dihadapannya, dikalikan dua. Misalnya, R = AE/2*sinAME. Dengan cara serupa, rumusnya dapat ditulis untuk salah satu sisi kedua segitiga.
6. Cara kedua: mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi melalui luas segitiga yang dibentuk oleh diagonal, sisi, dan alas trapesium: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Sifat-sifat trapesium yang dibatasi pada lingkaran

Anda dapat memasukkan lingkaran ke dalam trapesium jika salah satu syaratnya terpenuhi. Baca lebih lanjut tentangnya di bawah. Dan jika digabungkan, kombinasi angka-angka ini memiliki sejumlah sifat menarik.

1. Jika sebuah lingkaran terdapat pada trapesium, panjang garis tengahnya dapat dengan mudah dicari dengan menjumlahkan panjang sisi-sisinya dan membagi hasilnya menjadi dua: m = (c + d)/2.
2. Untuk trapesium ACME yang dibatasi pada lingkaran, jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisinya: AK + SAYA = KM + AE.
3. Dari sifat alas trapesium ini, pernyataan kebalikannya sebagai berikut: sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam trapesium yang jumlah alasnya sama dengan jumlah sisi-sisinya.
4. Titik singgung lingkaran berjari-jari r pada trapesium membagi sisinya menjadi dua segmen, sebut saja a dan b. Jari-jari lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus: r = √ab.
5. Dan satu properti lagi. Untuk menghindari kebingungan, gambarlah sendiri contoh ini juga. Kami memiliki ACME trapesium tua yang bagus, digambarkan dalam lingkaran. Berisi diagonal-diagonal yang berpotongan di titik O. Segitiga AOK dan EOM dibentuk oleh ruas-ruas diagonal dan sisi-sisi lateralnya berbentuk persegi panjang.
   Ketinggian segitiga-segitiga ini, diturunkan ke sisi miring (yaitu, sisi lateral trapesium), bertepatan dengan jari-jari lingkaran yang tertulis. Dan tinggi trapesium tersebut bertepatan dengan diameter lingkaran yang tertulis.

Sifat-sifat trapesium persegi panjang

Trapesium disebut persegi panjang jika salah satu sudutnya siku-siku. Dan sifat-sifatnya berasal dari keadaan ini.

1. Trapesium berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya.
2. Tinggi dan sisi trapesium yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sama. Ini memungkinkan Anda menghitung luas trapesium persegi panjang (rumus umum S = (a + b) * jam/2) tidak hanya melalui tingginya, tetapi juga melalui sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku.
3. Untuk trapesium persegi panjang, sifat-sifat umum diagonal trapesium yang telah dijelaskan di atas adalah relevan.

Bukti beberapa sifat trapesium

Persamaan sudut pada alas trapesium sama kaki:

• Anda mungkin sudah menebak bahwa di sini kita memerlukan trapesium AKME lagi - gambar trapesium sama kaki. Tariklah garis lurus MT dari titik sudut M, sejajar sisi AK (MT || AK).

AKMT segi empat yang dihasilkan berupa jajar genjang (AK || MT, KM || AT). Karena ME = KA = MT, ∆ MTE sama kaki dan MET = MTE.

AK || MT, maka MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Dimana AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sekarang, berdasarkan sifat trapesium sama kaki (persamaan diagonal), kita buktikan trapesium ACME adalah sama kaki:

• Pertama kita menggambar garis lurus MX – MX || KE. Kita memperoleh jajar genjang KMHE (basis – MX || KE dan KM || EX).

∆AMX adalah sama kaki, karena AM = KE = MX, dan MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, maka MAE = MXE.

Ternyata segitiga AKE dan EMA sama besar, karena AM = KE dan AE adalah sisi persekutuan kedua segitiga tersebut. Dan juga MAE = MXE. Dapat disimpulkan bahwa AK = SAYA, sehingga AKME trapesium adalah sama kaki.

Tinjau tugas

Alas trapesium ACME berukuran 9 cm dan 21 cm, sisi KA sama dengan 8 cm membentuk sudut 150 0 dengan alas yang lebih kecil. Anda perlu mencari luas trapesium.

Penyelesaian: Dari titik sudut K kita turunkan tingginya ke alas trapesium yang lebih besar. Dan mari kita mulai melihat sudut-sudut trapesium.

Sudut AEM dan KAN bersisi satu. Artinya totalnya mereka memberi 180 0. Jadi KAN = 30 0 (berdasarkan sifat sudut trapesium).

Sekarang mari kita perhatikan ∆ANC persegi panjang (Saya yakin poin ini jelas bagi pembaca tanpa bukti tambahan). Dari sana kita akan menemukan tinggi trapesium KH - dalam sebuah segitiga itu adalah kaki yang terletak di seberang sudut 30 0. Jadi KH = ½AB = 4 cm.

Kita mencari luas trapesium dengan rumus: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Kata penutup

Jika Anda mempelajari artikel ini dengan cermat dan penuh pertimbangan, tidak terlalu malas menggambar trapesium untuk semua properti yang diberikan dengan pensil di tangan Anda dan menganalisisnya dalam praktik, Anda seharusnya sudah menguasai materi dengan baik.

Tentu saja, ada banyak informasi di sini, bervariasi dan kadang-kadang bahkan membingungkan: tidak begitu sulit untuk mengacaukan sifat-sifat trapesium yang dijelaskan dengan sifat-sifat yang tertulis. Namun Anda sendiri telah melihat bahwa perbedaannya sangat besar.

Sekarang Anda memiliki gambaran rinci tentang semua sifat umum trapesium. Serta sifat dan ciri khusus trapesium sama kaki dan persegi panjang. Sangat nyaman digunakan untuk mempersiapkan ujian dan ujian. Cobalah sendiri dan bagikan tautannya dengan teman-teman Anda!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.