§13. Teorema Steiner tentang momen inersia terhadap sumbu sembarang

Tubuh M per kuadrat jarak D antar sumbu:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Di mana M- berat badan total.

Misalnya, momen inersia suatu batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya sama dengan:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\kiri((\frac (l)(2))\kanan)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Momen aksial inersia beberapa benda

Momen inersia benda homogen dengan bentuk paling sederhana relatif terhadap sumbu rotasi tertentu

Keterangan	Posisi sumbu A	Momen inersia J a
Massa titik material M	Dari jarak jauh R dari suatu titik, stasioner
Silinder berongga berdinding tipis atau cincin radius R dan massa M	Sumbu silinder	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Silinder padat atau cakram radius R dan massa M	Sumbu silinder	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
Silinder massa berongga berdinding tebal M dengan radius luar R 2 dan radius dalam R 1	Sumbu silinder	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Panjang silinder padat aku, radius R dan massa M		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Panjang silinder (cincin) berdinding tipis berongga aku, radius R dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap silinder dan melewati pusat massanya	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati pusat massanya	1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati ujungnya	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
Bola radius berdinding tipis R dan massa M	Sumbu melewati pusat bola	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
Bola radius R dan massa M	Sumbu melewati bagian tengah bola	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
Kerucut radius R dan massa M	Sumbu kerucut	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Segitiga sama kaki dengan ketinggian H, dasar A dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui titik sudut	1 24 m (a 2 + 12 jam 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Segitiga beraturan dengan sisi A dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui pusat massa	1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Persegi dengan sisi A dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang persegi dan melalui pusat massa	1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Persegi panjang dengan sisi A Dan B dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang persegi panjang dan melalui pusat massa	1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
Jari-jari n-gon beraturan R dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang dan melalui pusat massa	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\kiri)
Torus (berongga) dengan radius lingkaran pemandu R, jari-jari lingkaran pembangkit R dan massa M	Sumbunya tegak lurus terhadap bidang lingkaran pemandu torus dan melalui pusat massa	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\kiri((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\kanan))

Mendapatkan rumus

Silinder berdinding tipis (cincin, lingkaran)

Penurunan rumus

Momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Mari kita membagi silinder berdinding tipis menjadi elemen-elemen yang bermassa dm dan momen inersia DJ saya. Kemudian

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 dm . (1) . (\displaystyle J=\jumlah dJ_(i)=\jumlah R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Karena semua elemen silinder berdinding tipis berada pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, rumus (1) diubah menjadi bentuk

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\jumlah R^(2)dm=R^(2)\jumlah dm=mR^(2).)

Silinder berdinding tebal (cincin, simpai)

Penurunan rumus

Misalkan ada cincin homogen dengan jari-jari luar R, radius dalam R 1, tebal H dan kepadatan ρ. Mari kita pecah menjadi cincin tipis yang tebal dr. Massa dan momen inersia cincin berjari-jari tipis R akan

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ jam r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho jam^(3)dr.)

Mari kita cari momen inersia cincin tebal sebagai suatu integral

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ jam 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\kiri.(\frac (r^(4))(4))\kanan|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\kiri(R^(4)-R_(1)^(4)\kanan)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\kiri(R^(2 )-R_(1)^(2)\kanan)\kiri(R^(2)+R_(1)^(2)\kanan).)

Karena volume dan massa cincin adalah sama

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \kiri(R^(2)-R_(1)^(2)\kanan)h,)

kita memperoleh rumus akhir momen inersia cincin

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\kiri(R^(2)+R_(1)^(2)\kanan).)

Cakram homogen (silinder padat)

Penurunan rumus

Mengingat silinder (cakram) sebagai cincin dengan jari-jari dalam nol ( R 1 = 0 ), kita peroleh rumus momen inersia silinder (cakram):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

Kerucut padat

Penurunan rumus

Mari kita pecahkan kerucut menjadi cakram tipis dengan ketebalan dh, tegak lurus terhadap sumbu kerucut. Jari-jari disk tersebut sama dengan

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Di mana R– jari-jari alas kerucut, H– tinggi kerucut, H– jarak dari puncak kerucut ke piringan. Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \kiri((\frac (Rh)(H))\kanan)^(4)dh;)

Mengintegrasikan, kita dapatkan

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 jam 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(sejajar)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \kanan)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \kiri((\frac (R)(H) )\kanan)^(4)\kiri.(\frac (h^(5))(5))\kanan|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\kiri(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\kanan)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(sejajar)))

Bola homogen padat

Penurunan rumus

Mari kita pecahkan bola menjadi cakram tipis yang tebalnya dh, tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Jari-jari piringan tersebut terletak pada ketinggian H dari pusat bola kita mencarinya menggunakan rumus

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \kiri(R^(2)-h^(2)\kanan)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \kiri(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\kanan)dh.)

Kita mencari momen inersia bola dengan integrasi:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 jam 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(selaras)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\kiri(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\kanan)dh=\\&=\pi \rho \kiri.\kiri(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\kanan)\kanan|_(0)^( R)=\pi \rho \kiri(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\kanan) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\kiri((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \kanan) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(sejajar)))

Bola berdinding tipis

Penurunan rumus

Untuk memperolehnya, kita menggunakan rumus momen inersia bola berjari-jari homogen R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Mari kita hitung berapa besar momen inersia bola akan berubah jika, pada massa jenis konstan ρ, jari-jarinya bertambah sangat kecil dr .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(sejajar)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\kanan)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\kiri(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\kanan)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(sejajar)))

Batang tipis (sumbu melewati tengah)

Penurunan rumus

Mari kita pecahkan batang menjadi potongan-potongan kecil yang panjangnya dr. Massa dan momen inersia pecahan tersebut adalah sama

d m = m d r aku ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Mengintegrasikan, kita dapatkan

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 ml l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 ml r 3 3 | 0 l / 2 = 2 ml l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\kiri.(\frac (r^(3))(3))\kanan|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

Batang tipis (sumbu melewati ujung)

Penurunan rumus

Ketika sumbu rotasi bergerak dari tengah batang ke ujungnya, pusat gravitasi batang bergerak relatif terhadap sumbu sejauh tertentu. aku ⁄ 2. Menurut teorema Steiner, momen inersia baru akan sama dengan

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\kiri((\frac (l)(2))\kanan)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

Momen inersia planet dan satelit tanpa dimensi

Momen inersia tak berdimensinya sangat penting untuk studi struktur internal planet dan satelitnya. Momen inersia tak berdimensi suatu benda berjari-jari R dan massa M sama dengan perbandingan momen inersia terhadap sumbu rotasi dengan momen inersia suatu titik material bermassa sama terhadap sumbu rotasi tetap yang terletak pada jarak tertentu. R(sama dengan Tn. 2). Nilai ini mencerminkan distribusi massa terhadap kedalaman. Salah satu metode untuk mengukurnya di dekat planet dan satelit adalah dengan menentukan pergeseran Doppler dari sinyal radio yang ditransmisikan oleh AMS yang terbang di dekat planet atau satelit tertentu. Untuk bola berdinding tipis, momen inersia tak berdimensi adalah 2/3 (~0,67), untuk bola homogen adalah 0,4, dan secara umum, semakin kecil maka semakin besar massa benda terkonsentrasi di pusatnya. Misalnya, Bulan mempunyai momen inersia tak berdimensi mendekati 0,4 (sama dengan 0,391), sehingga diasumsikan relatif homogen, kerapatannya sedikit berubah terhadap kedalaman. Momen inersia Bumi yang tak berdimensi lebih kecil daripada bola homogen (sama dengan 0,335), yang merupakan argumen yang mendukung keberadaan inti padat.

Momen inersia sentrifugal

Momen inersia sentrifugal suatu benda terhadap sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang adalah besaran sebagai berikut:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Di mana X , kamu Dan z- Koordinat elemen benda kecil dengan volume dV, kepadatan ρ dan massa dm .

Sumbu OX disebut sumbu utama inersia benda, jika momen inersia sentrifugal Jxy Dan Jxz secara bersamaan sama dengan nol. Tiga sumbu inersia utama dapat ditarik melalui setiap titik pada benda. Sumbu-sumbu ini saling tegak lurus satu sama lain. Momen inersia benda relatif terhadap tiga sumbu inersia utama yang ditarik pada suatu titik sembarang HAI tubuh disebut momen inersia utama dari tubuh ini.

Sumbu inersia utama yang melalui pusat massa suatu benda disebut sumbu pusat utama inersia benda, dan momen inersia terhadap sumbu tersebut adalah momennya momen inersia sentral utama. Sumbu simetri benda homogen selalu merupakan salah satu sumbu inersia pusat utamanya.

Momen inersia geometris

Momen inersia geometrik volume

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

dimana, seperti sebelumnya R- jarak dari elemen dV ke sumbu A .

Momen inersia geometri suatu luas relatif terhadap sumbu - karakteristik geometris benda, dinyatakan dengan rumus:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

di mana integrasi dilakukan di atas permukaan S, A dS- elemen permukaan ini.

Dimensi JSa- panjang pangkat empat ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (redup) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), masing-masing, satuan pengukuran SI adalah 4. Dalam perhitungan konstruksi, literatur dan bermacam-macam logam canai, sering ditunjukkan dalam cm 4.

Momen tahanan suatu penampang dinyatakan melalui momen inersia geometrik luas tersebut:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(maks))).)

Di Sini r maks- jarak maksimum dari permukaan ke sumbu.

Momen inersia geometrik luas suatu bangun datar
Tinggi persegi panjang h (\gaya tampilan h) dan lebar b (\gaya tampilan b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Bagian kotak persegi panjang dengan tinggi dan lebar sepanjang kontur luar H (\gaya tampilan H) Dan B (\gaya tampilan B), dan untuk internal h (\gaya tampilan h) Dan b (\gaya tampilan b) masing-masing	J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Diameter lingkaran d (\gaya tampilan d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Momen inersia terhadap bidang

Momen inersia suatu benda tegar terhadap suatu bidang tertentu adalah besaran skalar yang sama dengan jumlah hasil kali massa setiap titik benda dengan kuadrat jarak dari titik tersebut ke bidang yang bersangkutan.

Jika melalui titik sembarang O (\gaya tampilan O) menggambar sumbu koordinat x , y , z (\gaya tampilan x,y,z), maka momen inersia terhadap bidang koordinat x O y (\gaya tampilan xOy), y O z (\gaya tampilan yOz) Dan z O x (\displaystyle zOx) akan dinyatakan dengan rumus:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\jumlah _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

Dalam kasus benda padat, penjumlahan diganti dengan integrasi.

Momen inersia sentral

Momen inersia sentral (momen inersia terhadap titik O, momen inersia terhadap kutub, momen inersia kutub) J O (\gaya tampilan J_(O)) adalah kuantitas yang ditentukan oleh ekspresi:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Momen inersia sentral dapat dinyatakan dalam momen inersia aksial utama, serta momen inersia terhadap bidang:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \Kanan),) J HAI = J x O y + J y O z + J x O z . (\gaya tampilan J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tensor inersia dan ellipsoid inersia

Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang yang melalui pusat massa dan mempunyai arah yang ditentukan oleh vektor satuan s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\right\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\kanan\vert =1), dapat direpresentasikan dalam bentuk kuadrat (bilinear):

Saya s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

di mana tensor inersia. Matriks tensor inersia berbentuk simetris dan berdimensi 3 × 3 (\gaya tampilan 3\kali 3) dan terdiri dari komponen momen sentrifugal:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\kanan\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\kuad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \batas _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \batas _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \batas _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Dengan memilih sistem koordinat yang sesuai, matriks tensor inersia dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tensor J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\hat (Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

Di mana Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- matriks transisi ortogonal ke basis tensor inersia sendiri. Pada dasar yang tepat, sumbu koordinat diarahkan sepanjang sumbu utama tensor inersia, dan juga bertepatan dengan sumbu semi utama ellipsoid tensor inersia. Kuantitas J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- momen inersia utama. Ekspresi (1) dalam sistem koordinatnya sendiri berbentuk:

Saya s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

dari situ kita memperoleh persamaan ellipsoid dalam koordinatnya sendiri. Membagi kedua ruas persamaan dengan saya s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)) ))\kanan)^(2)\cdot J_(X)+\kiri((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\kanan)^(2)\cdot J_(Y) +\kiri((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\kanan)^(2)\cdot J_(Z)=1)

dan melakukan penggantian:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

kita memperoleh bentuk kanonik persamaan ellipsoid dalam koordinat ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Jarak pusat ellipsoid ke suatu titik tertentu berhubungan dengan nilai momen inersia benda sepanjang garis lurus yang melalui pusat ellipsoid dan titik tersebut.

Biarlah ada tubuh yang kokoh. Mari kita pilih beberapa garis lurus OO (Gbr. 6.1), yang akan kita sebut sumbu (garis lurus OO bisa berada di luar badan). Mari kita bagi benda menjadi bagian-bagian dasar (titik material) dengan massa
terletak agak jauh dari sumbu
masing-masing.

Momen inersia suatu titik material terhadap suatu sumbu (OO) adalah hasil kali massa suatu titik material dengan kuadrat jaraknya terhadap sumbu tersebut:

. (6.1)

Momen inersia (MI) suatu benda terhadap suatu sumbu (OO) adalah jumlah hasil kali massa bagian-bagian dasar suatu benda dengan kuadrat jaraknya ke sumbu:

. (6.2)

Seperti yang Anda lihat, momen inersia suatu benda adalah besaran tambahan - momen inersia seluruh benda terhadap sumbu tertentu sama dengan jumlah momen inersia masing-masing bagiannya terhadap sumbu yang sama.

Pada kasus ini

Momen inersia diukur dalam kgm 2. Karena

, (6.3)

dimana  – kepadatan zat,
- volume Saya- bagian ke-th, kalau begitu

atau, berpindah ke elemen yang sangat kecil,

. (6.4)

Rumus (6.4) mudah digunakan untuk menghitung MI benda homogen yang bentuknya beraturan relatif terhadap sumbu simetri yang melalui pusat massa benda. Misalnya, untuk MI silinder relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa sejajar dengan generatrix, rumus ini memberikan

Di mana T- berat; R- radius silinder.

Teorema Steiner memberikan bantuan besar dalam menghitung MI benda relatif terhadap sumbu tertentu: MI benda SAYA relatif terhadap sumbu mana pun sama dengan jumlah MI benda ini SAYA C relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda dan sejajar dengan sumbu tertentu, dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak D antara sumbu yang ditunjukkan:

. (6.5)

Momen gaya terhadap sumbu

Biarkan gaya bekerja pada tubuh F. Mari kita asumsikan untuk kesederhanaan bahwa gaya F terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis lurus OO (Gbr. 6.2, A), yang kita sebut sumbu (misalnya, ini adalah sumbu rotasi benda). Pada Gambar. 6.2, A A- titik penerapan kekuatan F,
- titik perpotongan sumbu dengan bidang tempat gaya berada; R- vektor radius yang menentukan posisi suatu titik A relatif terhadap intinya TENTANG"; HAI"B = B - bahu kekuatan. Lengan gaya relatif terhadap sumbu adalah jarak terkecil dari sumbu ke garis lurus tempat vektor gaya berada F(panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke baris ini).

Momen gaya terhadap sumbu merupakan besaran vektor yang ditentukan oleh persamaan

. (6.6)

Modulus vektor ini adalah. Oleh karena itu, kadang-kadang dikatakan bahwa momen suatu gaya terhadap suatu sumbu adalah hasil kali gaya dan lengannya.

Jika kekuatan F diarahkan secara sembarang, maka dapat diuraikan menjadi dua komponen; Dan (Gbr.6.2, B), yaitu
+, Di mana - komponen diarahkan sejajar dengan sumbu OO, dan terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Dalam hal ini, di bawah momen kekuatan F relatif terhadap sumbu OO memahami vektor

. (6.7)

Sesuai dengan ekspresi (6.6) dan (6.7), vektor M diarahkan sepanjang sumbu (lihat Gambar 6.2, A,B).

Momentum suatu benda relatif terhadap sumbu rotasi

P Biarkan benda berputar pada sumbu tertentu OO dengan kecepatan sudut
. Mari kita secara mental memecah tubuh ini menjadi beberapa bagian dasar dengan massa
, yang masing-masing terletak dari sumbu pada jarak
dan berputar dalam lingkaran, memiliki kecepatan linier
Diketahui nilainya sama
- ada dorongan hati Saya-merencanakan. momen impuls Saya-bagian (titik material) relatif terhadap sumbu rotasi disebut vektor (lebih tepatnya vektor semu)

, (6.8)

Di mana R Saya– vektor radius yang menentukan posisi Saya- luas relatif terhadap sumbu.

Momentum sudut seluruh benda terhadap sumbu rotasi disebut vektor

(6.9)

modul siapa
.

Sesuai dengan ekspresi (6.8) dan (6.9), vektor
Dan diarahkan sepanjang sumbu rotasi (Gbr. 6.3). Sangat mudah untuk menunjukkan momentum sudut suatu benda L relatif terhadap sumbu rotasi dan momen inersia SAYA benda ini relatif terhadap sumbu yang sama dihubungkan oleh relasi

. (6.10)

Momen inersia suatu benda (sistem) relatif terhadap sumbu tertentu Oz (atau momen inersia aksial) adalah besaran skalar yang berbeda dari jumlah hasil kali massa semua titik pada benda (sistem) dengan kuadrat jaraknya dari sumbu ini:

Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa momen inersia suatu benda (atau sistem) terhadap suatu sumbu adalah besaran positif dan tidak sama dengan nol.

Di masa depan, akan ditunjukkan bahwa momen inersia aksial memainkan peran yang sama selama gerak rotasi suatu benda seperti halnya massa selama gerak translasi, yaitu momen inersia aksial adalah ukuran inersia suatu benda selama rotasi. gerakan.

Menurut rumus (2), momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia seluruh bagiannya terhadap sumbu yang sama. Untuk satu titik material yang terletak pada jarak h dari sumbu, . Satuan pengukuran momen inersia dalam SI adalah 1 kg (dalam sistem MKGSS - ).

Untuk menghitung momen inersia aksial, jarak titik-titik dari sumbu dapat dinyatakan melalui koordinat titik-titik tersebut (misalnya, kuadrat jarak dari sumbu Sapi adalah, dll.).

Maka momen inersia terhadap sumbu ditentukan dengan rumus:

Seringkali dalam perhitungan konsep radius girasi digunakan. Jari-jari inersia suatu benda terhadap suatu sumbu adalah besaran linier yang ditentukan oleh persamaan

di mana M adalah massa tubuh. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jari-jari inersia secara geometris sama dengan jarak dari sumbu suatu titik di mana massa seluruh benda harus terkonsentrasi sehingga momen inersia suatu titik tersebut sama dengan momen inersia. dari seluruh tubuh.

Mengetahui jari-jari inersia, Anda dapat menggunakan rumus (4) untuk mencari momen inersia suatu benda dan sebaliknya.

Rumus (2) dan (3) berlaku baik untuk benda tegar maupun untuk sistem titik material apa pun. Dalam kasus benda padat, memecahnya menjadi bagian-bagian dasar, kita menemukan bahwa dalam batasnya jumlah persamaan (2) akan berubah menjadi integral. Hasilnya, dengan mempertimbangkan di mana massa jenis dan V adalah volume, kita peroleh

Integral di sini meluas ke seluruh volume V benda, dan massa jenis serta jarak h bergantung pada koordinat titik-titik benda. Demikian pula rumus (3) untuk benda padat berbentuk

Rumus (5) dan (5) mudah digunakan saat menghitung momen inersia benda homogen berbentuk beraturan. Dalam hal ini, massa jenis akan konstan dan berada di luar tanda integral.

Mari kita cari momen inersia beberapa benda homogen.

1. Sebuah batang tipis homogen dengan panjang l dan massa M. Mari kita hitung momen inersianya terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melewati ujungnya A (Gbr. 275). Mari kita arahkan sumbu koordinat sepanjang AB. Maka untuk setiap ruas dasar yang panjangnya d nilainya adalah , dan massanya adalah , dimana adalah massa satuan panjang batang. Hasilnya, rumus (5) memberi

Mengganti di sini dengan nilainya, akhirnya kita temukan

2. Sebuah cincin homogen bulat tipis dengan jari-jari R dan massa M. Mari kita cari momen inersianya terhadap sumbu yang tegak lurus bidang cincin dan melalui pusatnya C (Gbr. 276).

Karena semua titik pada cincin terletak pada jarak dari sumbu, rumus (2) memberikan

Oleh karena itu, untuk cincinnya

Jelasnya, hasil yang sama akan diperoleh untuk momen inersia cangkang silinder tipis bermassa M dan jari-jari R terhadap sumbunya.

3. Sebuah pelat atau silinder bulat homogen berjari-jari R dan bermassa M. Mari kita hitung momen inersia pelat bundar terhadap sumbu tegak lurus pelat dan melewati pusatnya (lihat Gambar 276). Untuk melakukan ini, kita memilih cincin dasar dengan jari-jari dan lebar (Gbr. 277, a). Luas cincin ini adalah , dan massanya adalah massa per satuan luas pelat. Kemudian menurut rumus (7) untuk cincin dasar yang dipilih akan ada dan untuk seluruh pelat

Seperti disebutkan di atas, bangun datar sederhana mencakup tiga bangun datar: persegi panjang, segitiga, dan lingkaran. Angka-angka ini tergolong sederhana karena posisi pusat gravitasi dari angka-angka tersebut telah diketahui sebelumnya. Semua figur lain dapat terdiri dari figur sederhana ini dan dianggap kompleks. Mari kita hitung momen aksial inersia bangun datar sederhana terhadap sumbu pusatnya.

1. Persegi panjang. Mari kita perhatikan penampang profil persegi panjang dengan dimensi (Gbr. 4.6). Mari kita pilih elemen bagian dengan dua bagian yang jaraknya sangat dekat dari poros tengah
.

Mari kita hitung momen inersia suatu penampang persegi panjang terhadap sumbu:

. (4.10)

Momen inersia suatu penampang persegi panjang terhadap sumbu
kita akan menemukan hal serupa. Kesimpulannya tidak diberikan di sini.

. (4.11)

Dan
sama dengan nol, karena sumbu
Dan
adalah sumbu simetri, dan oleh karena itu, merupakan sumbu utama.

2. Segitiga sama kaki. Mari kita perhatikan bagian profil segitiga dengan dimensi
(Gbr.4.7). Mari kita pilih elemen bagian dengan dua bagian yang jaraknya sangat dekat dari poros tengah
. Pusat gravitasi segitiga berada pada jarak tertentu
dari pangkalan. Segitiga diasumsikan sama kaki, begitu pula sumbunya
bagian adalah sumbu simetri.

Mari kita hitung momen inersia penampang terhadap sumbu
:

. (4.12)

Ukuran kita tentukan dari persamaan segitiga :

; Di mana
.

Mengganti ekspresi untuk di (4.12) dan mengintegrasikan, kita memperoleh:

. (4.13)

Momen inersia segitiga sama kaki terhadap sumbunya
ditemukan dengan cara yang sama dan sama dengan:

(4.14)

Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu
Dan
sama dengan nol, karena sumbu
adalah sumbu simetri bagian tersebut.

3. Lingkaran. Perhatikan penampang profil lingkaran dengan diameter (Gbr.4.8). Mari kita soroti elemen bagian dengan dua lingkaran konsentris yang sangat dekat dan terletak di kejauhan dari pusat gravitasi lingkaran .

Mari kita hitung momen inersia kutub lingkaran menggunakan persamaan (4.5):

. (4.15)

Menggunakan kondisi invarian untuk jumlah momen inersia aksial terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus (4.6) dan memperhitungkan bahwa untuk sebuah lingkaran, karena simetri
, kita tentukan nilai momen inersia aksial:

. (4.16)

. (4.17)

Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu Dan sama dengan nol, karena sumbu
Dan
adalah sumbu simetri bagian tersebut.

4.4. Ketergantungan antara momen inersia terhadap sumbu sejajar

Saat menghitung momen inersia untuk bangun datar kompleks, ada satu aturan yang harus diingat: nilai momen inersia dapat ditambahkan, jika dihitung relatif terhadap sumbu yang sama. Untuk bangun datar kompleks, paling sering pusat gravitasi bangun datar individu dan bangun keseluruhan tidak bersamaan. Oleh karena itu, sumbu pusat untuk masing-masing gambar sederhana dan keseluruhan gambar tidak bertepatan. Dalam hal ini, ada teknik untuk membawa momen inersia ke satu sumbu, misalnya sumbu pusat keseluruhan gambar. Hal ini mungkin disebabkan oleh translasi paralel sumbu inersia dan perhitungan tambahan.

Mari kita perhatikan penentuan momen inersia relatif terhadap sumbu inersia sejajar yang ditunjukkan pada Gambar 4.9.

Biarkan momen inersia aksial dan sentrifugal ditunjukkan pada Gambar 4.9. angka relatif terhadap sumbu yang dipilih secara sewenang-wenang
Dan
dengan titik asal diketahui. Diperlukan untuk menghitung momen inersia aksial dan sentrifugal suatu bangun relatif terhadap sumbu sejajar sembarang
Dan
dengan titik asal . as
Dan
dilakukan pada jarak jauh Dan masing-masing dari sumbu
Dan
.

Mari kita gunakan persamaan momen inersia aksial (4.4) dan momen inersia sentrifugal (4.7). Mari kita gantikan ekspresi ini dengan koordinat saat ini
Dan
elemen dengan luas koordinat yang sangat kecil
Dan
dalam sistem koordinat baru. Kita mendapatkan:

Menganalisis ekspresi yang diperoleh, kita sampai pada kesimpulan bahwa ketika menghitung momen inersia relatif terhadap sumbu paralel, aditif dalam bentuk suku tambahan harus ditambahkan ke momen inersia yang dihitung relatif terhadap sumbu inersia awal, yang mungkin jauh lebih besar. daripada nilai momen inersia terhadap sumbu asal. Oleh karena itu, persyaratan tambahan ini tidak boleh diabaikan dalam keadaan apa pun.

Kasus yang dipertimbangkan adalah kasus perpindahan sumbu paralel yang paling umum, ketika sumbu inersia sembarang diambil sebagai sumbu awal. Dalam sebagian besar perhitungan terdapat kasus khusus dalam menentukan momen inersia.

Kasus khusus pertama. Sumbu asal merupakan sumbu pusat inersia suatu bangun datar. Kemudian, dengan menggunakan sifat utama momen statis luas, kita dapat mengecualikan dari persamaan (4.18)–(4.20) suku-suku persamaan yang mencakup momen statis luas gambar. Hasilnya kita mendapatkan:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Ini sumbunya
Dan
-sumbu inersia pusat.

Kasus khusus kedua. Sumbu acuan adalah sumbu inersia utama. Kemudian, dengan memperhitungkan bahwa relatif terhadap sumbu inersia utama momen inersia sentrifugal sama dengan nol, kita memperoleh:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Ini sumbunya
Dan
 sumbu utama inersia.

Mari kita gunakan ekspresi yang diperoleh dan perhatikan beberapa contoh penghitungan momen inersia bangun datar.

Contoh 4.2. Tentukan momen inersia aksial gambar yang ditunjukkan pada Gambar. 4.10, relatif terhadap sumbu pusat Dan .

Pada contoh 4.1 sebelumnya, untuk gambar pada Gambar 4.10 ditentukan posisi pusat gravitasi C. Koordinat pusat gravitasi diplot dari sumbu dan dikompilasi
. Mari kita hitung jaraknya Dan antar sumbu Dan dan kapak Dan . Jarak ini masing-masing
Dan
. Sejak sumbu aslinya Dan adalah sumbu pusat untuk bangun datar sederhana yang berbentuk persegi panjang, untuk menentukan momen inersia bangun terhadap sumbunya Mari kita gunakan kesimpulan untuk kasus khusus pertama, khususnya rumus (4.21).

Momen inersia terhadap sumbu kita peroleh dengan menjumlahkan momen inersia bangun datar sederhana terhadap sumbu yang sama, yaitu sumbu adalah sumbu pusat umum untuk gambar sederhana dan untuk keseluruhan gambar.

cm 4.

Momen inersia sentrifugal terhadap sumbu Dan sama dengan nol, karena sumbu inersia adalah sumbu utama (sumbu simetri bangun).

Contoh 4.3. Apa ukurannya? B(dalam cm) gambar yang ditunjukkan pada Gambar. 4.11, jika momen inersia bangun terhadap sumbu sama dengan 1000 cm4?

Mari kita nyatakan momen inersia terhadap sumbu melalui ukuran bagian yang tidak diketahui , menggunakan rumus (4.21), dengan memperhatikan jarak antar sumbu Dan sama dengan 7cm:

cm 4. (A)

Memecahkan ekspresi (a) relatif terhadap ukuran bagian , kita mendapatkan:

cm.

Contoh 4.4. Manakah dari gambar yang ditunjukkan pada Gambar 4.12 yang memiliki momen inersia lebih besar terhadap sumbunya jika kedua bangun tersebut mempunyai luas yang sama
cm 2?

1. Mari kita nyatakan luas bangun-bangun berdasarkan ukurannya dan tentukan:

a) diameter bagian untuk bagian bulat:

cm 2; Di mana
cm.

b) ukuran sisi persegi:

; Di mana
cm.

2. Hitung momen inersia suatu penampang lingkaran:

cm 4.

3. Hitung momen inersia suatu penampang persegi:

cm 4.

Membandingkan hasil yang diperoleh, kita sampai pada kesimpulan bahwa bagian persegi akan mempunyai momen inersia tertinggi dibandingkan dengan bagian lingkaran dengan luas yang sama.

Contoh 4.5. Tentukan momen inersia kutub (dalam cm 4) suatu penampang persegi panjang relatif terhadap pusat gravitasinya, jika lebar penampang tersebut
cm, tinggi bagian
cm.

1. Temukan momen inersia penampang terhadap horizontal dan vertikal sumbu pusat inersia:

cm 4;
cm 4.

2. Kita tentukan momen inersia polar suatu penampang sebagai jumlah momen inersia aksial:

cm 4.

Contoh 4.6. Tentukan momen inersia bangun segitiga yang ditunjukkan pada Gambar 4.13 terhadap sumbu pusat , jika momen inersia bangun terhadap sumbu sama dengan 2400 cm4.

Momen inersia suatu penampang segitiga terhadap sumbu inersia utama akan lebih kecil dibandingkan dengan momen inersia terhadap sumbu berdasarkan jumlah
. Oleh karena itu, kapan
cm momen inersia penampang terhadap sumbu kami menemukannya sebagai berikut.

DEFINISI

Besaran inersia suatu benda yang berputar adalah momen inersia(J) relatif terhadap sumbu di mana rotasi terjadi.

Ini adalah besaran fisik skalar (secara umum, tensor), yang sama dengan produk massa titik-titik material () di mana benda tersebut harus dibagi dengan kuadrat jarak () dari titik tersebut ke sumbu rotasi:

dimana r adalah fungsi dari posisi suatu titik material dalam ruang; - kepadatan tubuh; - volume elemen tubuh.

Untuk benda homogen, ekspresi (2) dapat direpresentasikan sebagai:

Momen inersia dalam sistem satuan internasional diukur dalam:

Besaran J termasuk dalam hukum dasar yang menjelaskan rotasi benda tegar.

Dalam kasus umum, besarnya momen inersia bergantung pada arah sumbu rotasi, dan karena selama pergerakan vektor biasanya berubah arahnya relatif terhadap benda, momen inersia harus dianggap sebagai fungsi waktu. Pengecualian adalah momen inersia suatu benda yang berputar pada sumbu tetap. Dalam hal ini momen inersia tetap konstan.

teorema Steiner

Teorema Steiner memungkinkan untuk menghitung momen inersia suatu benda relatif terhadap sumbu rotasi sembarang ketika momen inersia benda tersebut diketahui relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda tersebut dan sumbu-sumbu ini adalah paralel. Dalam bentuk matematika, teorema Steiner direpresentasikan sebagai:

dimana adalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi yang melalui pusat massa benda; m adalah massa benda yang bersangkutan; a adalah jarak antara sumbu. Pastikan untuk mengingat bahwa sumbu harus sejajar. Dari ekspresi (4) berikut ini:

Beberapa ekspresi untuk menghitung momen inersia suatu benda

Ketika berputar mengelilingi suatu sumbu, suatu titik material memiliki momen inersia sebesar:

dimana m adalah massa titik; r adalah jarak dari titik ke sumbu rotasi.

Untuk batang tipis homogen bermassa m dan panjang l J relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massanya (sumbu tegak lurus batang) sama dengan:

Sebuah cincin tipis bermassa berputar terhadap suatu sumbu yang melewati pusatnya, tegak lurus bidang cincin, maka momen inersia dihitung sebagai:

dimana R adalah jari-jari cincin.

Sebuah piringan bulat homogen berjari-jari R dan bermassa m memiliki J relatif terhadap sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap bidang piringan, sama dengan:

Untuk bola homogen

dimana m adalah massa bola; R adalah jari-jari bola. Bola berputar pada sumbu yang melewati pusatnya.

Jika sumbu rotasi adalah sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang, maka momen inersia benda kontinu dapat dihitung sebagai:

di mana adalah koordinat elemen tubuh yang sangat kecil.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Latihan

Dua bola, yang dapat dianggap sebagai bola titik, diikatkan bersama oleh sebuah batang tipis yang tidak berbobot. Panjang batang l. Berapakah momen inersia sistem tersebut terhadap sumbu yang tegak lurus batang melalui pusat massa? Massa titik-titiknya sama dan sama dengan m.

Larutan

Mari kita cari momen inersia sebuah bola () terhadap sumbu yang terletak jauh darinya:

Momen inersia bola kedua sama dengan:

Momen inersia total sistem sama dengan jumlah:

Menjawab

CONTOH 2

Latihan	Berapakah momen inersia bandul fisis terhadap sumbu yang melalui titik O (Gbr. 1)? Sumbunya tegak lurus terhadap bidang gambar. Misalkan bandul fisis terdiri dari sebuah batang tipis dengan panjang l bermassa m dan sebuah piringan bermassa . Piringan tersebut dipasang pada ujung bawah batang dan mempunyai jari-jari sama dengan
Larutan	Momen inersia bandul kita (J) akan sama dengan jumlah momen inersia batang () yang berputar terhadap sumbu yang melalui titik O dan piringan () yang berputar pada sumbu yang sama: