Két kör egymáshoz viszonyított helyzete. Elmélet

7G, Z osztály

Az óra témája: „Két kör egymáshoz viszonyított helyzete”
Cél: két kör egymáshoz viszonyított helyzetének lehetséges eseteinek ismerete; alkalmazza a tudást a problémák megoldása során.

Célok: Oktatási: megkönnyíteni a tanulókban a két kör elrendezésének lehetséges eseteinek vizuális megjelenítését és megszilárdítását; a tanulók képesek lesznek:

Összefüggést teremteni a körök egymáshoz viszonyított helyzete, sugarai és középpontjaik távolsága között;

Elemezzen egy geometriai tervet és mentálisan módosítsa azt,

Fejleszti a planimetrikus képzelőerőt.

A hallgatók képesek lesznek alkalmazni az elméleti ismereteket a problémamegoldásban.

Óratípus: tanóra új ismeretek megismertetése és megszilárdítása.

Eszközök: előadás a leckéhez; iránytű, vonalzó, ceruza és tankönyv minden tanulónak.

Oktatóanyag: . „Geometria 7. osztály”, Almaty „Atamura” 2012

Az órák alatt.

Idő szervezése. Házi feladat ellenőrzése.

3. Alapvető ismeretek felfrissítése.

Ismételje meg a kör, kör, sugár, átmérő, húr, egy pont és egy egyenes közötti távolság definícióit.

1) 1) Milyen eseteit ismeri az egyenes és a kör helyének?

2) Melyik egyenest nevezzük érintőnek?

3) Melyik egyenest nevezzük szekánsnak?

4) Tétel a húrra merőleges átmérőről?

5) Hogyan viszonyul az érintő a kör sugarához?

6) Töltse ki a táblázatot (kártyákon).

A tanulók a tanár irányításával problémákat oldanak meg, elemeznek.

1) Az a egyenes egy O középpontú kör érintője. Az A pont az a egyenesen van megadva. Az érintő és az OA szakasz közötti szög 300. Határozza meg az OA szakasz hosszát, ha a sugara 2,5 m.

2) Határozza meg az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetét, ha:

1. R=16 cm, d=12 cm 2. R=5 cm, d=4,2 cm 3. R=7,2 dm, d=3,7 dm 4. R=8 cm, d=1,2 dm 5. R=5 cm, d= 50 mm

a) az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja;

b) az egyenes érinti a kört;

c) egy egyenes metszi a kört.

d a kör középpontja és az egyenes távolsága, R a kör sugara.

3) Mit mondhatunk az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetéről, ha a kör átmérője 10,3 cm, a kör középpontja és az egyenes távolsága pedig 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Adott egy O középpontú kör A ponttal. Hol található az A pont, ha a kör sugara 7 cm és az OA szakasz hossza: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. A tanulókkal közösen találja ki az óra témáját és fogalmazza meg az óra céljait.

5. Új anyag bevezetése.

Gyakorlati munka csoportokban.

Építs 3 kört. Minden körhöz készítsen egy másik kört úgy, hogy 1) 2 kör ne metszi egymást, 2) 2 kör érintkezzen, 3) két kör metszi egymást. Határozza meg az egyes körök sugarát és a körök középpontjai közötti távolságot, hasonlítsa össze az eredményeket. Mire lehet következtetni?
2) Foglalja össze és írja le egy füzetbe két kör egymáshoz viszonyított helyzetének eseteit!

Két kör egymáshoz viszonyított helyzete egy síkon.

A köröknek nincs közös pontja (nem metszik egymást). (R1 és R2 a körök sugarai)

Ha R1 + R2< d,

d – A körök középpontjai közötti távolság.

c) A köröknek két közös pontja van. (metszéspont).

Ha R1 + R2 > d,

Kérdés. Lehet két körnek három közös pontja?

6. A tanult anyag konszolidálása.

Keresse meg az adatban vagy nyilatkozatban a hibát, és véleményét indokolva javítsa ki:
A) Két kör érinti. Sugárjuk R = 8 cm és r = 2 cm, a középpontok távolsága d = 6.
B) Két körnek van legalább két közös pontja.
B) R = 4, r = 3, d = 5. A köröknek nincs közös pontja.
D) R = 8, r = 6, d = 4. A kisebb kör a nagyobb belsejében található.
D) Két kört nem lehet úgy elhelyezni, hogy az egyik a másik belsejében legyen.

7. Óra összefoglalója. Mit tanultál az órán? Milyen mintát alakítottak ki?

Hogyan lehet két kört elhelyezni? Milyen esetben van a köröknek egy közös pontja? Mit nevezünk két kör közös pontjának? Milyen érintéseket ismer? Mikor metszik egymást a körök? Milyen köröket nevezünk koncentrikusnak?

Az óra témája: " Két kör egymáshoz viszonyított helyzete egy síkon.”

Cél :

Nevelési - új ismeretek elsajátítása két kör egymáshoz viszonyított helyzetéről, felkészülés a tesztre

Fejlődési - a számítási készségek fejlesztése, a logikai-strukturális gondolkodás fejlesztése; a racionális megoldások keresésében és a végső eredmények elérésében való készségek fejlesztése; a kognitív tevékenység és a kreatív gondolkodás fejlesztése .

Nevelési – felelősségvállalás és következetesség kialakítása a tanulókban; kognitív és esztétikai tulajdonságok fejlesztése; a tanulók információs kultúrájának kialakítása.

Javító - fejleszti a térbeli gondolkodást, a memóriát, a kézmotorikát.

Az óra típusa: új tananyag elsajátítása, konszolidációja.

Az óra típusa: vegyes lecke.

Oktatási módszer: verbális, vizuális, gyakorlati.

Tanulmányi forma: kollektív.

Az oktatás eszközei: tábla

AZ ÓRÁK ALATT:

1. Szervezési szakasz

- üdvözlet;

- a tanórára való felkészültség ellenőrzése;

2. Alapvető ismeretek frissítése.
Milyen témákkal foglalkoztunk az előző leckéken?

A kör egyenletének általános alakja?

Végezze el szóban:

Blitz felmérés

3. Új anyag bevezetése.

Szerinted milyen számot fogunk ma figyelembe venni... Mi van ha ketten vannak??

Hogyan lehet őket megtalálni???

A gyerekek a kezükkel (szomszédjaikkal) megmutatják, hogyan lehet a köröket elrendezni (testnevelés perc)

Nos, mit gondolsz, mit kellene ma mérlegelnünk?Ma két kör egymáshoz viszonyított helyzetét vegyük figyelembe. És megtudja, mekkora a távolság a központok között a helytől függően.

Az óra témája: « Két kör egymáshoz viszonyított helyzete. Problémamegoldás. »

1. Koncentrikus körök

2. Diszintegrált körök

3.Külső érintés

4. Metsző körök

5. Belső érintés

Következzünk tehát

4.A készségek és képességek kialakítása

Keresse meg az adatban vagy nyilatkozatban a hibát, és véleményét indokolva javítsa ki:

A) Két kör érinti. Sugárjuk R = 8 cm és r = 2 cm, a középpontok távolsága d = 6.
B) Két körnek van legalább két közös pontja.

B) R = 4, r = 3, d = 5. A köröknek nincs közös pontja.

D) R = 8, r = 6, d = 4. A kisebb kör a nagyobb belsejében található.

D) Két kört nem lehet úgy elhelyezni, hogy az egyik a másik belsejében legyen.

5. A készségek és képességek megszilárdítása.

A körök kívülről érintkeznek. A kisebb kör sugara 3 cm A nagyobb kör sugara 5 cm Mekkora a távolság a középpontok között?

Megoldás: 3+5=8(cm)

A körök belülről érintkeznek. A kisebb kör sugara 3 cm A nagyobb kör sugara 5 cm Mekkora a körök középpontjai közötti távolság?

Megoldás: 5-3=2(cm)

A körök belülről érintkeznek. A körök középpontjai közötti távolság 2,5 cm Mekkora a körök sugara?

válasz: (5,5 cm és 3 cm), (6,5 cm és 4 cm) stb.

A SZÖVEGÉRTÉS ELLENŐRZÉSE

1) Hogyan helyezhető el két kör?

2) Milyen esetben van a köröknek egy közös pontja?

3) Hogyan nevezzük két kör közös pontját?

4) Milyen érintéseket ismer?

5) Mikor metszik egymást a körök?

6) Milyen köröket nevezünk koncentrikusnak?

További feladatok a témában: Vektorok. Koordináta módszer "(ha van még idő)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Keresse meg:

a) vektorkoordinátákE.F., G.H.

b) vektor hosszaFG

c) O pont koordinátái - a középsőE.F.

pont koordinátáiW– középsőG.H.

d) átmérőjű kör egyenleteFG

e) egyenes egyenleteFH

6. Házi feladat

& 96 1000. sz. Melyik egyenlet egy kör egyenlete. Keresse meg a középpontot és a sugarat

7. A lecke összegzése (3 perc)

(minőségi értékelést adni az osztály és az egyes tanulók munkájáról).

8. Reflexiós szakasz (2 perc.)

Határozzuk meg a köröket az origótól a középpontig tartó vektorral és a kör sugarával.

Tekintsük Ra és Rb sugarú A és B köröket, valamint a és b sugárvektorokat (vektor a középpontba). Sőt, Oa és Ob a központjaik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy Ra > Rb.

Ekkor a következő feltételek teljesülnek:

Két kör metszéspontjai

Tegyük fel, hogy A és B két pontban metszi egymást. Keressük meg ezeket a metszéspontokat.

Ehhez egy vektort a-ból egy P pontba, amely az A körön és az OaOb-n fekszik. Ehhez fel kell venni a b - a vektort, amely a két középpont közötti vektor lesz, normalizálni kell (cserélni egy kodirectionális egységvektorra), és meg kell szorozni Ra-val. A kapott vektort p-vel jelöljük. Ez a konfiguráció az ábrán látható. 6

Rizs. 6. A, b, p vektorok és azok lakóhelye.

Jelöljük i1 és i2 vektorokat a-tól két kör I1 és I2 metszéspontjaiig. Nyilvánvalóvá válik, hogy i1-et és i2-t p-ből való elforgatással kapjuk. Mert ismerjük az OaI1Ob és OaI2Ob háromszögek összes oldalát (Sugár és középpontok távolsága), megkapjuk ezt a fi szöget, a p vektort az egyik irányba forgatva I1-et, a másikban pedig I2-t kapunk.

A koszinusztétel szerint egyenlő:

Ha p-t fi-vel forgatod, akkor i1-et vagy i2-t kapsz, attól függően, hogy melyik irányba forgatod. Ezután az i1 vagy i2 vektort hozzá kell adni a-hoz, hogy megkapjuk a metszéspontot

Ez a módszer akkor is működik, ha az egyik kör középpontja a másikban van. De ott a p vektort mindenképpen meg kell adni a-tól b-ig, amit meg is tettünk. Ha p-t építesz egy másik kör alapján, akkor abból nem lesz semmi

Nos, befejezésül egy tényt meg kell említeni: ha a körök összeérnek, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy P az érintkezési pont (ez mind a belső, mind a külső érintkezésre igaz).
Itt láthatja a vizualizációt (kattintva kell elindítani).

Ez a módszer működik, de az elforgatási szög helyett kiszámolhatja a koszinuszát, és ezen keresztül a szinuszát, majd felhasználhatja a vektor elforgatásakor. Ez jelentősen leegyszerűsíti a számításokat a trigonometrikus függvények kódjának eltávolításával.

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény

Novoszibirszk város "4. számú gimnázium"

Szekció: matematika

KUTATÁS

ebben a témában:

KÉT ÉRINTŐKÖR TULAJDONSÁGAI

10. osztályos tanulók:

Khaziakhmetov Radik Ildarovics

Zubarev Jevgenyij Vladimirovics

Felügyelő:

L.L. Barinova

Matematika tanár

A legmagasabb minősítési kategória

1. § Bevezetés………..……………………….………………………………………………………3

§ 1.1 Két kör egymáshoz viszonyított helyzete……………………………………………………3

2. § Ingatlanok és bizonyítékaik……………………………………………………………..……………………………………

2.1. § 1. ingatlan………………………………………………………..………………………….…4

2.2. § 2. ingatlan…………………………………………………………..………………………………5

2.3. § 3. ingatlan…………………………………………………………..…………………………………6

2.4. § 4. ingatlan…………………………………………………………..…………………………………6

2.5. § 5. ingatlan………………………………………………………………………………………8

2.6. § 6. ingatlan……………………………………………………..………………………………………9

3. § Feladatok…………………………………………………..……………………………………..…11

Hivatkozások…………………………………………………………………………………….………….13

1. §. Bevezetés

Sok két érintőkört érintő probléma rövidebben és egyszerűbben megoldható, ha ismerünk néhányat, amelyeket a továbbiakban bemutatunk.

Két kör egymáshoz viszonyított helyzete

Kezdésként határozzuk meg a két kör lehetséges egymáshoz viszonyított helyzetét. 4 különböző eset lehet.

1. A körök nem metszik egymást.

2. Metszenek.

3. Érintse meg egy ponton kívül.

4.Érintsen meg egy pontot belül.

2. §. Tulajdonságok és bizonyításaik

Térjünk át közvetlenül a tulajdonságok bizonyítására.

2.1. § Tulajdon 1

A körök érintőinek metszéspontjai közötti szakaszok egyenlőek egymással és egyenlők az adott körök két geometriai középsugarával.

Bizonyíték 1. O 1 A 1 és O 2 B 1 – az érintkezési pontokhoz húzott sugarak.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (az 1. pont szerint)

1. ▲O 1 O 2 D – téglalap alakú, mert О 2 D ┴ О 2 В 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. A Pitagorasz-tétel szerint A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2-(R-r) 2 =R2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (hasonlóan bizonyítva)

1) Rajzoljuk meg a sugarakat a körök érintőinek metszéspontjaiban.

2) Ezek a sugarak merőlegesek lesznek az érintőkre és párhuzamosak egymással.

3) Engedjünk le egy merőlegest a kisebb kör középpontjából a nagyobb kör sugarába.

4) A kapott derékszögű háromszög befogója egyenlő a körök sugarainak összegével. A láb egyenlő a különbségükkel.

5) A Pitagorasz-tétel segítségével megkapjuk a szükséges összefüggést.

2.2. § Ingatlan 2

Egy olyan egyenes metszéspontja, amely a körök érintőpontját metszi, és egyikben sem esik az érintőkkel együtt, a külső érintők érintési pontokkal határolt szakaszait fele részekre osztja, amelyek mindegyike egyenlő e körök sugarának geometriai átlagával.

Bizonyíték 1.KISASSZONY= MA 1 (érintő szegmensként)

2.MC = MV 1 (érintő szegmensként)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (az 1. és 2. pont szerint )

A bizonyításban használt állítások Az egyik pontból egy bizonyos körbe húzott érintőszakaszok egyenlőek. Ezt a tulajdonságot mindkét körre használjuk.

2.3. § Ingatlan 3

A belső érintő külső érintők közé zárt szakaszának hossza megegyezik a külső érintő érintkezési pontjai közötti szakaszának hosszával, és egyenlő az adott körök két geometriai középsugarával.

Bizonyíték Ez a következtetés az előző tulajdonságból következik.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

2.4. § Ingatlan 4

Az érintőkörök középpontjaiból és az érintkezési pontokhoz húzott sugarak közötti érintőszakasz felezőpontja által alkotott háromszög téglalap alakú. Lábainak aránya megegyezik e körök sugarainak gyökeinek hányadosával.

Bizonyíték 1.MO 1 az A 1 MS szög felezője, MO 2 a B 1 MS szög felezője, mert Egy szögbe beírt kör középpontja ennek a szögnek a felezőjén fekszik.

2. Az 1. pont szerint РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 – közvetlen. MC az O 1 MO 2 háromszög magassága, mert az MN érintő merőleges az érintkezési pontokra húzott sugarakra → az O 1 MC és MO 2 C háromszögek hasonlóak.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (hasonló)

A bizonyításban használt állítások 1) Egy szögbe beírt kör középpontja ennek a szögnek a felezőjén fekszik. A háromszög lábai a szögfelezők.

2) Felhasználva azt a tényt, hogy az így kialakított szögek egyenlőek, azt találjuk, hogy a keresett szög derékszög. Arra a következtetésre jutunk, hogy ez a háromszög valóban derékszögű.

3) Igazoljuk azoknak a háromszögeknek a hasonlóságát, amelyekbe a magasság (mivel az érintő merőleges az érintési pontokra húzott sugarakra) osztja a derékszögű háromszöget, és hasonlóság alapján megkapjuk a szükséges arányt.

2.5. § Ingatlan 5

A körök egymással való érintkezési pontja és a körök érintővel való metszéspontja által alkotott háromszög téglalap alakú. Lábainak aránya megegyezik e körök sugarainak gyökeinek hányadosával.

Bizonyíték

1. ▲A 1 MC és ▲SMV 1 egyenlő szárúak → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. De RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – közvetlen → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC és ▲CO 2 B 1 hasonlóak → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

A bizonyításban használt állítások 1) Felírjuk a háromszögek szögeinek összegét, kihasználva azt a tényt, hogy egyenlő szárúak. A háromszögek egyenlő szárát az érintőszakaszok egyenlőségének tulajdonságával igazoljuk.

2) A szögek összegét így felírva azt találjuk, hogy a szóban forgó háromszög derékszögű, tehát téglalap alakú. Az állítás első része bebizonyosodott.

3) A háromszögek hasonlóságát felhasználva (ennek igazolására a hasonlóság jelét használjuk két szögben) megkeressük egy derékszögű háromszög szárainak arányát.

2.6. § Ingatlan 6

A körök és az érintő metszéspontjai által alkotott négyszög egy trapéz, amelybe kör írható.

Bizonyíték 1.▲A 1 RA 2 és ▲B 1 PB 2 egyenlő szárú, mert A 1 P = RA 2 és B 1 P = PB 2 érintőszegmensként → ▲A 1 RA 2 és ▲B 1 PB 2 – hasonló.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, mert az A 1 B 1 metszéspont metszéspontjában képzett megfelelő szögek egyenlőek.

1. MN – középvonal a 2. tulajdonság szerint → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → az A 2 A 1 B 1 B 2 trapézben a bázisok összege egyenlő az oldalak összegére, és ez szükséges és elégséges feltétele a beírt kör létezésének.

A bizonyításban használt állítások 1) Használjuk ismét az érintőszegmensek tulajdonságát. Segítségével bebizonyítjuk az érintők és az érintőpontok metszéspontja által alkotott háromszögek egyenlő szárát.

2) Ebből az következik, hogy ezek a háromszögek hasonlóak és az alapjaik párhuzamosak. Ennek alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy ez a négyszög trapéz.

3) A korábban bizonyított (2) tulajdonságot felhasználva megtaláljuk a trapéz középvonalát. Ez egyenlő a körök két mértani középsugarával. A kapott trapézben az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, és ez szükséges és elégséges feltétele a beírt kör létezésének.

3. § Problémák

Nézzünk egy gyakorlati példát arra, hogyan egyszerűsíthetjük le egy probléma megoldását a fent vázolt tulajdonságokkal.

1. probléma

Az ABC háromszögben AC oldal = 15 cm A háromszögbe kör van írva. A második kör érinti az elsőt és az AB és BC oldalakat. Az AB oldalon az F pont, a BC oldalon pedig az M pont van kiválasztva úgy, hogy az FM szakasz a körök közös érintője legyen. Határozzuk meg a BFM háromszög és az AFMC négyszög területének arányát, ha FM 4 cm, és az M pont kétszer olyan messze van az egyik kör középpontjától, mint a másik kör középpontjától.

Adott: FM-teljes érintő AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Keresse meg az S BFM /S AFMC-t

Megoldás:

1) FM=2√Rr,O1M/O2M=√r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P és ▲BO 2 Q hasonlóak → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4) FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

2. probléma

Az ABC egyenlő szárú háromszögbe két olyan érintőkör van beírva, amelyeknek közös D pontja és egy FK közös érintője megy át ezen a ponton. Határozzuk meg e körök középpontjai közötti távolságot, ha az AC háromszög alapja 9 cm, és a háromszög oldalának a körök érintési pontjai közé eső szakasza 4 cm.

Adott: ABC – egyenlő szárú háromszög; FK – beírt körök közös érintője. AC = 9 cm; ÉK = 4 cm

Megoldás:

Hagyja, hogy az AB és CD egyenesek az O pontban metsszék egymást. Ekkor OA = OD, OB = OC, tehát CD = = AB = 2√Rr

Az O 1 és O 2 pontok az AOD szög felezőjén fekszenek. Egy egyenlő szárú háromszög AOD felezőpontja a magassága, tehát AD ┴ O 1 O 2 és BC ┴ O 1 O 2, ami azt jelenti, hogy

AD ║ BC és ABCD – egyenlő szárú trapéz.

Az MN szegmens a középvonala, tehát AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Ezért ebbe a trapézbe kör írható.

Legyen AP a trapéz magassága, az ARB és az O 1 FO 2 derékszögű háromszögek hasonlóak, ezért AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

Innentől azt találjuk

Bibliográfia

• „Szeptember elseje” című újság „Matematika” melléklete 2003. 43. sz.
• Egységes államvizsga 2010. Matematika. C4. feladat. Gordin R.K.