A forgómozgás dinamikájának alaptörvényének levezetése. Merev test forgási mozgásának dinamikájának alaptörvényének igazolása Merev test forgási mozgásának alaptörvénye

Egy fix ponthoz viszonyított erőnyomatékO a sugárvektor vektorszorzata által meghatározott vektorfizikai mennyiség pontból merítveO pontosanA erő alkalmazása, erő (1.4.1. ábra):

(1.4.1)

Itt – pszeudovektor, iránya egybeesik a jobb oldali légcsavar mozgási irányával, amikor elfordul Nak nek .

Az erőnyomaték modulusa

Ahol
– közötti szög És ,
– az erő hatásvonala és a pont közötti legrövidebb távolság RÓL RŐL–váll ereje.

Rögzített tengely körüli erőnyomaték z
, egyenlő a vektor ezen tengelyére való vetületével tetszőleges ponthoz képest meghatározott erőnyomatékO adott tengelyz (1.4.1. ábra).

A test forgásakor végzett munka egyenlő a ható erő nyomatékának és a forgásszög szorzatával:

.

Másrészt ez a munka a mozgási energia növelésére irányul:

, De

, Ezért

, vagy
.

Tekintve, hogy
, kapunk

. (1.4.2)

Kapott a merev test fix tengelyhez viszonyított forgómozgásának dinamikájának alapegyenlete: a testre ható külső erők nyomatéka egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának és a szöggyorsulásnak a szorzatával.

Megmutatható, hogy ha a forgástengely egybeesik a tömegközépponton áthaladó fő tehetetlenségi tengellyel, akkor fennáll a vektoregyenlőség:

,

Ahol én– a test fő tehetetlenségi nyomatéka (a főtengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomaték).

1.5 A szögimpulzus és megmaradásának törvénye

impulzus pillanata anyagi pontA egy fix ponthoz képest RÓL RŐL egy vektorfizikai mennyiség, amelyet a vektorszorzat határoz meg:

(1.5.1)

Ahol – a pontból húzott sugárvektor RÓL RŐL pontosan A;
– anyagi pont lendülete (1.5.1. ábra).
– pszeudovektor, iránya egybeesik a jobb oldali légcsavar transzlációs mozgásának irányával, amikor az Nak nek .

,

Ahol
– vektorok közötti szög És ,– vektor kar ponthoz képest RÓL RŐL.

Az impulzus impulzusa egy rögzített tengelyhez viszonyítva z skaláris mennyiségnek nevezzük
, egyenlő egy tetszőleges ponthoz képest meghatározott szögimpulzusvektor erre a tengelyére való vetületévelRÓL RŐL ezt a tengelyt. Lendület érték
nem függ a pont helyzetétől RÓL RŐL a tengelyen z.

Amikor egy abszolút merev test egy rögzített tengely körül forog z a test minden egyes pontja állandó sugarú körben mozog valamilyen sebességgel . Sebesség és lendület
erre a sugárra merőlegesen, azaz. sugár a vektor karja
. Ezért azt írhatjuk, hogy az egyedi részecske szögimpulzusa

és a tengely mentén a jobb oldali csavarszabály által meghatározott irányban van irányítva.

A merev test lendülete a tengelyhez viszonyítva az egyes részecskék szögimpulzusának összege:

.

Képlet segítségével
, kapunk

, azaz
. (1.5.2)

Így egy merev test tengelyhez viszonyított impulzusnyomatéka egyenlő a test ugyanazon tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának és a szögsebességnek a szorzatával.

Megkülönböztetjük az (1.5.2) egyenletet az idő függvényében:

, azaz
. (1.5.3)

Ez a kifejezés egy másik forma merev test forgómozgásának dinamikájának alapegyenlete (törvénye). fix tengelyhez viszonyítva: egy mechanikai rendszer (szilárd test) impulzusnyomatékának a tengelyhez viszonyított időbeli deriváltja egyenlő az erre a rendszerre ható összes külső erő ugyanazon tengelyhez viszonyított főnyomatékával.

Megmutatható, hogy létezik vektoregyenlőség
.

Zárt rendszerben a külső erők pillanata
És
, ahol

. (1.5.4)

Az (1.5.4) kifejezés az a szögimpulzus megmaradásának törvénye : A zárt hurkú rendszer szögimpulzusa megmarad.

Hasonlítsuk össze a test fix tengely körüli forgását és transzlációs mozgását meghatározó alapmennyiségeket és egyenleteket (1.5.1. táblázat).

1.5.1. táblázat

Alapfogalmak.

A hatalom pillanata a forgástengelyhez képest - ez a sugárvektor és az erő vektorszorzata.

Az erőnyomaték vektor , melynek irányát a karmantyú (jobboldali csavar) szabálya határozza meg a testre ható erő irányától függően. Az erőnyomaték a forgástengely mentén irányul, és nincs konkrét alkalmazási pontja.

Ennek a vektornak a számértékét a következő képlet határozza meg:

M=r×F× sina(1.15),

hol egy - a sugárvektor és az erő iránya közötti szög.

Ha a=0 vagy p, a hatalom pillanata M=0, azaz a forgástengelyen áthaladó vagy azzal egybeeső erő nem okoz elfordulást.

A legnagyobb modulusú nyomaték akkor jön létre, ha az erő szögben hat a=p/2 (M > 0) vagy a=3p/2 (M< 0).

A tőkeáttétel fogalmának használata d- ez a forgásközéppontból az erő hatásvonalára süllyesztett merőleges), az erőnyomaték képlete a következőképpen alakul:

Ahol (1.16)

Az erők pillanatainak szabálya(egy rögzített forgástengelyű test egyensúlyi feltétele):

Ahhoz, hogy egy rögzített forgástengelyű test egyensúlyban legyen, szükséges, hogy a testre ható erők nyomatékainak algebrai összege nullával egyenlő legyen.

S M i =0(1.17)

Az erőnyomaték SI mértékegysége [N × m]

A forgó mozgás során a test tehetetlensége nemcsak a tömegétől függ, hanem a forgástengelyhez viszonyított térbeli eloszlásától is.

A forgás közbeni tehetetlenséget a testnek a forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéka jellemzi J.

Tehetetlenségi nyomaték A forgástengelyhez viszonyított anyagi pont az az érték, amely egyenlő a pont tömegének a forgástengelytől való távolságának négyzetével szorzatával:

J i =m i × r i 2(1.18)

A test tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest a testet alkotó anyagi pontok tehetetlenségi nyomatékainak összege:

J=S m i × r i 2(1.19)

Egy test tehetetlenségi nyomatéka a tömegétől és alakjától, valamint a forgástengely megválasztásától függ. A test tehetetlenségi nyomatékának egy bizonyos tengelyhez viszonyított meghatározásához a Steiner-Huygens-tételt használják:

J = J 0 + m × d 2(1.20),

Ahol J 0– a test tömegközéppontján átmenő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, d– két párhuzamos tengely távolsága . A tehetetlenségi nyomaték SI-ben mérve [kg × m 2 ]

Az emberi test forgó mozgása során a tehetetlenségi nyomatékot kísérleti úton határozzák meg, és hozzávetőlegesen számítják ki a henger, kerek rúd vagy golyó képleteivel.

Az ember tehetetlenségi nyomatéka a függőleges forgástengelyhez képest, amely átmegy a tömegközépponton (az emberi test tömegközéppontja a szagittalis síkban kissé a második keresztcsonti csigolya előtt helyezkedik el), attól függően, hogy a személy helyzete a következő értékekkel rendelkezik: figyelem közben - 1,2 kg × m 2; „arabeszk” pózzal – 8 kg × m 2; vízszintes helyzetben – 17 kg × m 2.

Dolgozzon forgó mozgásban akkor fordul elő, amikor egy test külső erők hatására forog.

Az erő elemi munkája forgó mozgásban egyenlő az erőnyomaték és a test elemi forgásszögének szorzatával:

dA i =M i × dj(1.21)

Ha egy testre több erő hat, akkor az összes alkalmazott erő eredőjének elemi munkáját a következő képlet határozza meg:

dA=M× dj(1.22),

Ahol M– a testre ható összes külső erő összmomentuma.

Forgó test kinetikus energiájaW to a test tehetetlenségi nyomatékától és forgási szögsebességétől függ:

Impulzusszög (impulzusimpulzus) – olyan mennyiség, amely számszerűen egyenlő a test lendületének és forgási sugarának szorzatával.

L=p× r=m× V× r(1.24).

A megfelelő átalakítások után a szögimpulzus meghatározásának képletét a következő formában írhatja fel:

(1.25).

A szögimpulzus olyan vektor, amelynek irányát a jobb oldali csavarszabály határozza meg. Az impulzus SI mértékegysége [kg × m 2 /s]

A forgó mozgás dinamikájának alaptörvényei.

A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete:

A forgó mozgásban lévő test szöggyorsulása egyenesen arányos az összes külső erő össznyomatékával és fordítottan arányos a test tehetetlenségi nyomatékával.

(1.26).

Ez az egyenlet ugyanazt a szerepet játszik a forgó mozgás leírásában, mint Newton második törvénye a transzlációs mozgásra. Az egyenletből világos, hogy külső erők hatására minél nagyobb a szöggyorsulás, annál kisebb a test tehetetlenségi nyomatéka.

Newton második törvénye a forgó mozgás dinamikájára más formában is felírható:

(1.27),

azok. a test impulzusimpulzusának első deriváltja az idő függvényében egyenlő az adott testre ható összes külső erő össznyomatékával.

A test impulzusának megmaradásának törvénye:

Ha a testre ható összes külső erő össznyomatéka nulla, azaz.

S M i =0, Akkor dl/dt=0 (1.28).

Ez azt jelenti, hogy (1.29).

Ez az állítás alkotja a test impulzus-megmaradási törvényének lényegét, amely a következőképpen fogalmazódik meg:

Egy test impulzusimpulzusa állandó marad, ha a forgó testre ható külső erők össznyomatéka nulla.

Ez a törvény nem csak egy abszolút merev testre érvényes. Példa erre egy műkorcsolyázó, aki egy függőleges tengely körül forog. Kezének megnyomásával a korcsolyázó csökkenti a tehetetlenségi nyomatékot és növeli a szögsebességet. A forgás lassítására éppen ellenkezőleg, szélesre tárja a karját; Ennek eredményeként nő a tehetetlenségi nyomaték, és csökken a forgási szögsebesség.

Befejezésül bemutatjuk a transzlációs és forgó mozgások dinamikáját jellemző főbb mennyiségek és törvényszerűségek összehasonlító táblázatát.

1.4. táblázat.

Előre mozgás	Forgó mozgás
Fizikai mennyiség	Képlet	Fizikai mennyiség	Képlet
Súly	m	Tehetetlenségi nyomaték	J=m×r 2
Kényszerítés	F	A hatalom pillanata	M=F×r, ha
Testimpulzus (a mozgás mennyisége)	p=m×V	Egy test lendülete	L=m×V×r; L=J×w
Kinetikus energia		Kinetikus energia
Gépészeti munka	dA=FdS	Gépészeti munka	dA=Mdj
A transzlációs mozgásdinamika alapegyenlete		A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete	,
A test lendületének megmaradásának törvénye	vagy Ha	A test impulzusimpulzusának megmaradásának törvénye	vagy SJ i w i = állandó, Ha

Centrifugálás.

A különböző sűrűségű részecskékből álló inhomogén rendszerek szétválasztása a gravitáció és az Arkhimédész-erő (felhajtóerő) hatására végezhető el. Ha különböző sűrűségű részecskék vizes szuszpenziója van, akkor nettó erő hat rájuk

F r =F t – F A =r 1 ×V×g – r×V×g, azaz

F r =(r 1 - r)× V ×g(1.30)

ahol V a részecske térfogata, r 1És r– a részecske és a víz anyagának sűrűsége. Ha a sűrűségek kissé eltérnek egymástól, akkor a keletkező erő kicsi, és a szétválás (lerakódás) meglehetősen lassan megy végbe. Ezért a részecskék kényszerleválasztását alkalmazzák az elválasztott közeg forgása miatt.

Centrifugálás A centrifugális tehetetlenségi erő hatására különböző tömegű részecskékből álló heterogén rendszerek, keverékek vagy szuszpenziók szétválási (leválasztási) folyamata.

A centrifuga alapja egy zárt házban elhelyezett, kémcsövek számára kialakított fészkekkel ellátott rotor, amelyet elektromos motor hajt meg. Amikor a centrifuga rotor kellően nagy sebességgel forog, a különböző tömegű lebegő részecskék a centrifugális tehetetlenségi erő hatására különböző mélységű rétegekben oszlanak el, és a legnehezebbek a kémcső alján rakódnak le.

Megmutatható, hogy azt az erőt, amelynek hatása alatt a szétválás megtörténik, a következő képlet határozza meg:

(1.31)

Ahol w- a centrifuga forgási szögsebessége, r– távolság a forgástengelytől. Minél nagyobb a különbség az elválasztott részecskék és a folyadék sűrűsége között, annál nagyobb a centrifugálás hatása, és jelentősen függ a forgási szögsebességtől is.

A körülbelül 10 5 – 10 6 percenkénti forgórész fordulatszámmal működő ultracentrifugák képesek a 100 nm-nél kisebb méretű, folyadékban szuszpendált vagy oldott részecskék szétválasztására. Széleskörű alkalmazást találtak az orvosbiológiai kutatásokban.

Az ultracentrifugálással a sejteket organellumokra és makromolekulákra lehet szétválasztani. Először nagyobb részek (magok, citoszkeleton) ülepednek (üledék). A centrifugálási sebesség további növelésével a kisebb részecskék egymás után leülepednek - először mitokondriumok, lizoszómák, majd mikroszómák és végül riboszómák és nagy makromolekulák. A centrifugálás során a különböző frakciók különböző sebességgel ülepednek, külön sávokat képezve a kémcsőben, amelyek elkülöníthetők és vizsgálhatók. A frakcionált sejtkivonatokat (sejtmentes rendszereket) széles körben használják az intracelluláris folyamatok tanulmányozására, például a fehérje bioszintézisének tanulmányozására és a genetikai kód megfejtésére.

A fogászatban a kézidarabok sterilizálásához centrifugával ellátott olajsterilizátort használnak a felesleges olaj eltávolítására.

A centrifugálás használható a vizeletben szuszpendált részecskék ülepítésére; a képződött elemek elválasztása a vérplazmától; biopolimerek, vírusok és szubcelluláris struktúrák szétválasztása; a gyógyszer tisztaságának ellenőrzése.

A tudás önkontrollának feladatai.

1. Feladat . Kérdések az önkontrollhoz.

Mi a különbség az egyenletes körmozgás és az egyenletes lineáris mozgás között? Milyen feltételek mellett fog egy test egyenletesen körben mozogni?

Magyarázza meg, miért történik egyenletes mozgás a körben gyorsulással!

Megtörténhet-e a görbe vonalú mozgás gyorsulás nélkül?

Milyen feltétel mellett egyenlő az erőnyomaték nullával? veszi a legnagyobb értéket?

Adja meg az impulzus és a szögimpulzus megmaradásának törvényének alkalmazhatósági határait!

Jelölje be a gravitáció hatására bekövetkező szétválás jellemzőit!

Miért végezhető el a különböző molekulatömegű fehérjék elválasztása centrifugálással, de a frakcionált desztilláció módszere elfogadhatatlan?

2. feladat . Önkontroll tesztek.

Pótold a hiányzó szót:

A szögsebesség előjelének változása a forgómozgás_ _ _ _ _ változását jelzi.

A szöggyorsulás előjelének változása a forgómozgás változását jelzi

A szögsebesség egyenlő a sugárvektor időhöz viszonyított forgásszögének _ _ _ _ _deriváltjával.

A szöggyorsulás egyenlő a sugárvektor időhöz viszonyított elfordulási szögének _ _ _ _ _ _deriváltjával.

Az erőnyomaték egyenlő_ _ _ _ _ ha a testre ható erő iránya egybeesik a forgástengellyel.

Keresse meg a helyes választ:

Az erőnyomaték csak az erő alkalmazási pontjától függ.

Egy test tehetetlenségi nyomatéka csak a test tömegétől függ.

Az egyenletes körkörös mozgás gyorsulás nélkül történik.

A. Helyes. B. Helytelen.

A fenti mennyiségek mindegyike skaláris, kivéve

A. erőnyomaték;

B. gépészeti munka;

C. potenciális energia;

D. tehetetlenségi nyomaték.

A vektormennyiségek a

A. szögsebesség;

B. szöggyorsulás;

C. erőnyomaték;

D. szögimpulzus.

Válaszok: 1 – irányok; 2 – karakter; 3 – első; 4 – második; 5 – nulla; 6 – B; 7 – B; 8 – B; 9 – A; 10 – A, B, C, D.

3. feladat. Keresse meg a mértékegységek közötti összefüggést :

lineáris sebesség cm/perc és m/s;

szöggyorsulás rad/min 2 és rad/s 2 ;

erőnyomaték kN×cm és N×m;

testimpulzus g×cm/s és kg×m/s;

g×cm 2 és kg×m 2 tehetetlenségi nyomaték.

4. feladat. Orvosi és biológiai tartalmú feladatok.

1. számú feladat. Miért van az, hogy egy ugrás repülési szakaszában a sportoló semmilyen mozdulattal nem tudja megváltoztatni a test súlypontjának pályáját? Dolgoznak-e a sportoló izmai, amikor megváltozik a testrészek helyzete a térben?

Válasz: Egy parabola mentén szabadrepüléssel a sportoló csak a testének és egyes részeinek elhelyezkedését tudja megváltoztatni a súlypontjához képest, amely jelen esetben a forgásközéppont. A sportoló munkát végez a test forgási kinetikus energiájának megváltoztatása érdekében.

2. feladat. Mekkora átlagos teljesítmény fejlődik ki az emberben járás közben, ha a lépés időtartama 0,5 s? Vegyük figyelembe, hogy a munkát az alsó végtagok gyorsítására és lassítására fordítják. A lábak szögelmozdulása kb. Dj=30 o. Az alsó végtag tehetetlenségi nyomatéka 1,7 kg × m 2. A lábak mozgását egyenletesen váltakozó forgásnak kell tekinteni.

Megoldás:

1) Írjuk le a probléma rövid feltételét: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =p/ 6; én= 1,7 kg × m 2

2) Határozza meg a munkát egy lépésben (jobb és bal láb): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

Az átlagos szögsebesség képlet segítségével w av =Dj/Dt, kapunk: w= 2w av = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) Cserélje be a számértékeket: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36) = 14,9 (W)

Válasz: 14,9 W.

3. feladat. Mi a szerepe a karmozgásnak járás közben?

Válasz: Az egymástól bizonyos távolságra elhelyezkedő két párhuzamos síkban mozgó lábak mozgása olyan erőnyomatékot hoz létre, amely az emberi testet egy függőleges tengely körül forgatja. Az ember a karját a lába mozgása felé lendíti, ezzel ellentétes előjelű erőnyomatékot hozva létre.

4. feladat. A fogászatban használt fúrók fejlesztésének egyik területe a fúró forgási sebességének növelése. A bórhegy forgási sebessége lábfúrókban 1500 ford./perc, álló elektromos fúrókban - 4000 ford., turbinás fúrókban - már eléri a 300 000 ford./perc értéket. Miért fejlesztik ki az időegységenkénti nagy fordulatszámú fúrók új módosításait?

Válasz: A dentin több ezerszer érzékenyebb a fájdalomra, mint a bőr: a bőr 1 mm-ére 1-2, a metszőfog dentinére pedig akár 30 000 fájdalompont jut. A fordulatok számának növelése a fiziológusok szerint csökkenti a fájdalmat a szuvas üreg kezelésekor.

Z feladat 5 . Töltse ki a táblázatokat:

1. számú táblázat. Rajzoljon analógiát a forgómozgás lineáris és szögjellemzői között, és jelezze a köztük lévő kapcsolatot!

táblázat 2. sz.

6. feladat. Töltse ki az indikatív akciókártyát:

2. fejezet A biomechanika alapjai.

Kérdések.

Karok és ízületek az emberi mozgásszervi rendszerben. A szabadságfokok fogalma.

Az izomösszehúzódás típusai. Az izomösszehúzódásokat leíró alapvető fizikai mennyiségek.

Az ember motoros szabályozásának alapelvei.

Biomechanikai jellemzők mérési módszerei és műszerei.

2.1. Karok és ízületek az emberi mozgásszervi rendszerben.

Az emberi mozgásszervi rendszer anatómiája és fiziológiája a következő jellemzőkkel rendelkezik, amelyeket figyelembe kell venni a biomechanikai számításoknál: a test mozgását nemcsak az izomerők, hanem a külső reakcióerők, a gravitáció, a tehetetlenségi erők, valamint a rugalmas erők is meghatározzák. és súrlódás; a mozgásszerv felépítése kizárólag rotációs mozgásokat tesz lehetővé. A kinematikai láncok elemzésével a transzlációs mozgások az ízületek forgó mozgásaira redukálhatók; a mozgásokat egy nagyon összetett kibernetikai mechanizmus irányítja, így a gyorsulás állandóan változik.

Az ember mozgásszervi rendszere egymással artikulált vázcsontokból áll, amelyekhez bizonyos pontokon izmok kapcsolódnak. A csontváz csontjai karként működnek, amelyek az ízületeknél támaszponttal rendelkeznek, és az izomösszehúzódások által generált vonóerő hajtja őket. Megkülönböztetni háromféle kar:

1) Kar, amelyre a ható erő Fés ellenállási erő R a támaszpont ellentétes oldalain alkalmazzák. Ilyen karra példa a koponya szagittális síkban nézve.

2) Aktív erővel rendelkező kar Fés ellenállási erő R a támaszpont egyik oldalán alkalmazott erő és az erő F a kar végére alkalmazzuk, és az erőt R- közelebb a támaszponthoz. Ez a kar erőnövekedést és távolságcsökkenést ad, i.e. van erőkar. Példa erre a lábboltozat hatása a félujjakra, a maxillofacialis régió karjaira emeléskor (2.1. ábra). A rágókészülék mozgása nagyon összetett. A száj zárásakor az alsó állkapocs felemelése a maximális süllyesztés helyzetéből a fogainak a felső állkapocs fogaival történő teljes záródásáig az alsó állkapocsot felemelő izmok mozgásával történik. Ezek az izmok az alsó állkapocsra másodlagos karként hatnak, támaszponttal az ízületben (ez növeli a rágóerőt).

3) Egy kar, amelyben a ható erő közelebb kerül a támaszponthoz, mint az ellenállási erő. Ez a kar az sebesség kar, mert erőcsökkenést, de mozgásnövekedést ad. Példa erre az alkar csontjai.

Rizs. 2.1. A maxillofacialis régió karjai és a lábboltozat.

A csontváz legtöbb csontja több izom hatása alatt áll, amelyek különböző irányú erőket fejlesztenek ki. Eredőjüket a paralelogramma szabálya szerinti geometriai összeadással találjuk meg.

A mozgásszervi rendszer csontjai ízületekben vagy ízületekben kapcsolódnak egymáshoz. Az ízületet alkotó csontok végeit az őket szorosan körülvevő ízületi tok, valamint a csontokhoz kapcsolódó szalagok tartják össze. A súrlódás csökkentése érdekében a csontok érintkező felületeit sima porc borítja, és vékony ragadós folyadékréteg van közöttük.

A motoros folyamatok biomechanikai elemzésének első szakasza a kinematikájuk meghatározása. Egy ilyen elemzés alapján absztrakt kinematikai láncokat szerkesztenek, amelyek mobilitása vagy stabilitása geometriai megfontolások alapján ellenőrizhető. Vannak zárt és nyitott kinematikai láncok, amelyeket ízületek és a közöttük elhelyezkedő merev láncszemek alkotnak.

Egy szabad anyagi pont állapotát a háromdimenziós térben három független koordináta adja meg - x, y, z. A mechanikai rendszer állapotát jellemző független változókat nevezzük szabadsági fokokat. Bonyolultabb rendszerek esetén a szabadsági fokok száma magasabb lehet. Általánosságban elmondható, hogy a szabadsági fokok száma nemcsak a független változók számát határozza meg (ami egy mechanikai rendszer állapotát jellemzi), hanem a rendszer független mozgásainak számát is.

A fokozatok száma a szabadság az ízület fő mechanikai jellemzője, i.e. meghatározza tengelyek száma, amely körül az ízületi csontok kölcsönös forgása lehetséges. Főleg az ízületben érintkező csontok felületének geometriai alakja okozza.

Az ízületekben a szabadságfok maximális száma 3.

Az emberi test egytengelyű (lapos) ízületei például a humeroulnaris, a supracalcanealis és a phalangealis ízületek. Csak egy szabadságfokkal teszik lehetővé a hajlítást és nyújtást. Így az ulna egy félköríves bevágás segítségével a humeruson egy hengeres kiemelkedést takar, amely az ízület tengelyeként szolgál. Az ízületben a mozgások hajlítás és nyújtás az ízület tengelyére merőleges síkban.

A csuklóízület, amelyben hajlítás és nyújtás, valamint addukció és abdukció történik, két szabadságfokú ízületek közé sorolható.

A három szabadságfokú (térbeli artikuláció) ízületek közé tartozik a csípő és a lapocka-humerális ízület. Például a lapocka-humerális ízületnél a felkarcsont gömb alakú feje illeszkedik a lapocka kiemelkedésének gömbölyű üregébe. Az ízületben a mozgások a következők: hajlítás és nyújtás (sagittalis síkban), addukció és abdukció (frontális síkban), valamint a végtag hossztengelye körüli forgatása.

A zárt lapos kinematikai láncok számos szabadságfokkal rendelkeznek f F, amelyet a linkek száma alapján számítanak ki n a következő módon:

A térbeli kinematikai láncok helyzete összetettebb. Itt a viszony érvényesül

(2.2)

Ahol f i - szabadságfok-korlátozások száma én- link.

Bármely testben kiválaszthat olyan tengelyeket, amelyek forgási iránya speciális eszközök nélkül megmarad. Nevük van szabad forgástengelyek

Ebben a fejezetben a merev testet olyan anyagi pontok összességének tekintjük, amelyek nem mozognak egymáshoz képest. Az ilyen testet, amely nem deformálható, abszolút szilárdnak nevezzük.

Egy tetszőleges alakú szilárd test forogjon erő hatására egy rögzített 00 tengely körül (30. ábra). Ekkor minden pontja olyan köröket ír le, amelyek középpontja ezen a tengelyen van. Nyilvánvaló, hogy a test minden pontjának azonos a szögsebessége és azonos szöggyorsulása (adott időpontban).

Bontsuk fel a ható erőt három, egymásra merőleges komponensre: (a tengelyre merőleges), (a tengelyre merőleges és a tengelyen átmenő egyenesen fekvő) és (merőleges. Nyilvánvalóan a test forgását csak a komponens, amely érinti az erő alkalmazási pontja által leírt kört A forgás összetevői nem ok. Nevezzük forgó erőnek Mint egy iskolai fizika tantárgyból ismeretes, az erő hatása nem csak az nagysága, hanem az A alkalmazása pontjának a forgástengelyhez mért távolságától is, azaz függ az erő nyomatékától A forgatóerő nyomatéka (nyomaték) A forgó erő és a sugár szorzata Az erő alkalmazási pontja által leírt kört nevezzük:

Bontsuk le mentálisan az egész testet nagyon apró részecskékre - elemi tömegekre. Bár az erő a test egy A pontjára hat, forgató hatása minden részecskére átterjed: minden elemi tömegre elemi forgóerő hat (lásd 30. ábra). Newton második törvénye szerint

ahol az elemi tömegnek adott lineáris gyorsulás. Ennek az egyenlőségnek a két oldalát megszorozva az elemi tömeg által leírt kör sugarával, és a lineáris helyett szöggyorsulást bevezetve (lásd 7. §) azt kapjuk, hogy

Figyelembe véve, hogy az elemi tömegre alkalmazott nyomaték, és jelölve

ahol az elemi tömeg (anyagpont) tehetetlenségi nyomatéka. Következésképpen egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos forgástengelyhez képest az anyagi pont tömegének szorzata az ettől a tengelytől mért távolságának négyzetével.

Összegezve a testet alkotó összes elemi tömegre alkalmazott nyomatékokat, azt kapjuk

ahol a testre ható nyomaték, azaz a forgó erő nyomatéka a test tehetetlenségi nyomatéka. Következésképpen egy test tehetetlenségi nyomatéka a testet alkotó összes anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának összege.

Most átírhatjuk a (3) képletet a formába

A (4) képlet kifejezi a forgásdinamika alaptörvényét (Newton második forgási törvénye):

a testre ható forgóerő nyomatéka egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának és a szöggyorsulásnak a szorzatával.

A (4) képletből világos, hogy a forgatónyomaték által a testnek adott szöggyorsulás a test tehetetlenségi nyomatékától függ; Minél nagyobb a tehetetlenségi nyomaték, annál kisebb a szöggyorsulás. Következésképpen a tehetetlenségi nyomaték jellemzi a test tehetetlenségi tulajdonságait forgó mozgás közben, ahogyan a tömeg jellemzi a test tehetetlenségi tulajdonságait a transzlációs mozgás során. A tömegtől eltérően azonban egy adott test tehetetlenségi nyomatéka sokféle értékkel bírhat. sok lehetséges forgási tengelynek megfelelően. Ezért, amikor egy merev test tehetetlenségi nyomatékáról beszélünk, meg kell jelölni, hogy melyik tengelyhez képest számítjuk. A gyakorlatban általában a test szimmetriatengelyeihez viszonyított tehetetlenségi nyomatékokkal kell számolnunk.

A (2) képletből az következik, hogy a tehetetlenségi nyomaték mértékegysége a kilogramm-négyzetméter

Ha a test forgatónyomatéka és tehetetlenségi nyomatéka, akkor a (4) képlet így ábrázolható

Ez a cikk a fizika egy fontos részét írja le - „A forgó mozgás kinematikája és dinamikája”.

A forgó mozgás kinematikai alapfogalmai

Anyagi pont fix tengely körüli forgómozgásának nevezzük azt a mozgást, amelynek pályája a tengelyre merőleges síkban elhelyezkedő kör, középpontja pedig a forgástengelyen van.

A merev test forgó mozgása olyan mozgás, amelyben a test minden pontja koncentrikus (amelynek középpontja ugyanazon a tengelyen van) körök mentén mozog az anyagi pont forgómozgására vonatkozó szabálynak megfelelően.

Forogjon egy tetszőleges T merev test az O tengely körül, amely merőleges a rajz síkjára. Válasszuk ki ezen a testen az M pontot, amely elforgatva egy kört ír le, amelynek sugara az O tengely körül r.

Egy idő után a sugár az eredeti helyzetéhez képest Δφ szöggel elfordul.

A jobb oldali csavar iránya (az óramutató járásával megegyezően) a pozitív forgásirány. A forgásszög időbeli változását merev test forgási egyenletének nevezzük:

φ = φ(t).

Ha φ-t radiánban mérjük (1 rad a sugarával egyenlő hosszúságú ívnek megfelelő szög), akkor annak a ΔS körívnek a hossza, amelyen az M anyagi pont Δt idő alatt áthalad, egyenlő:

ΔS = Δφr.

Az egyenletes forgómozgás kinematikájának alapelemei

Egy anyagi pont rövid idő alatti mozgásának mértéke dt elemi forgásvektorként szolgál dφ.

Egy anyagi pont vagy test szögsebessége olyan fizikai mennyiség, amelyet egy elemi forgás vektorának a forgás időtartamához viszonyított aránya határoz meg. A vektor iránya a jobb oldali csavar szabályával határozható meg az O tengely mentén Skaláris formában:

ω = dφ/dt.

Ha ω = dφ/dt = állandó, akkor az ilyen mozgást egyenletes forgómozgásnak nevezzük. Ezzel a szögsebességet a képlet határozza meg

ω = φ/t.

Az előzetes képlet szerint a szögsebesség dimenziója

[ω] = 1 rad/s.

Egy test egyenletes forgómozgása a forgási periódussal írható le. A T forgási periódus egy fizikai mennyiség, amely meghatározza azt az időt, amely alatt egy test egy teljes fordulatot tesz a forgástengely körül ([T] = 1 s). Ha a szögsebesség képletében t = T, φ = 2 π (egy teljes r sugarú fordulat) veszünk fel, akkor

ω = 2π/T,

Ezért a forgási periódust a következőképpen határozzuk meg:

T = 2π/ω.

A test által egységnyi idő alatt megtett fordulatok számát ν forgási frekvenciának nevezzük, amely egyenlő:

ν = 1/T.

Frekvencia mértékegységei: [ν] = 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Összehasonlítva a szögsebesség és a forgási frekvencia képleteit, az alábbi mennyiségeket összekötő kifejezést kapunk:

ω = 2πν.

Az egyenetlen forgómozgás kinematikájának alapelemei

A merev test vagy anyagi pont egyenetlen forgási mozgását egy rögzített tengely körül a szögsebessége jellemzi, amely idővel változik.

Vektor ε A szögsebesség változási sebességét jellemző szöggyorsulási vektornak nevezzük:

ε = dω/dt.

Ha egy test forog, gyorsul, az dω/dt > 0, a vektor iránya a tengely mentén azonos irányú, mint ω.

Ha a forgási mozgás lassú - dω/dt< 0 , akkor az ε és ω vektorok ellentétes irányúak.

Megjegyzés. Egyenetlen forgási mozgás esetén az ω vektor nemcsak nagyságrendjében, hanem irányában is változhat (a forgástengely elforgatásakor).

A transzlációs és forgó mozgást jellemző mennyiségek kapcsolata

Ismeretes, hogy az ív hosszát a sugár elfordulási szögével és annak értékével összefügg az összefüggés

ΔS = Δφ r.

Ekkor a forgó mozgást végző anyagi pont lineáris sebessége

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

A forgó transzlációs mozgást végző anyagi pont normál gyorsulását a következőképpen határozzuk meg:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Tehát skaláris formában

a = ω 2 r.

Tangenciálisan gyorsított anyagpont, amely forgó mozgást végez

a = ε r.

Anyagi pont lendülete

Az m i tömegű anyagi pont pályájának sugárvektorának és impulzusának vektorszorzatát e pont forgástengely körüli impulzusimpulzusának nevezzük. A vektor iránya a jobb oldali csavarszabály segítségével határozható meg.

Egy anyagi pont lendülete ( L i) merőleges az r i-n és υ i-n keresztül húzott síkra, és ezekkel vektorok jobb oldali hármasát alkotja (vagyis amikor a vektor végétől elmozdulunk r i Nak nek υ i a jobb oldali csavar mutatja a vektor irányát Lén).

Skaláris formában

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Figyelembe véve, hogy a körben való mozgás során az i-edik anyagpont sugárvektora és lineáris sebességvektora egymásra merőleges,

sin(υ i , r i) = 1.

Tehát egy anyagi pont szögimpulzusa a forgó mozgáshoz felveszi a formát

L = m i υ i r i.

Az i-edik anyagi pontra ható erőnyomaték

Az erő alkalmazási pontjára húzott sugárvektor vektorszorzatát és ezt az erőt az i-edik anyagi pontra ható erőnyomatéknak nevezzük a forgástengelyhez képest.

Skaláris formában

M i = r i F i sin(r i, F i).

Tekintve, hogy r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Nagyságrend l i, amely egyenlő a forgáspontból az erő hatásirányába süllyesztett merőleges hosszával, az erő karjának nevezzük F i.

A forgó mozgás dinamikája

A forgó mozgás dinamikájának egyenlete a következőképpen van felírva:

M = dl/dt.

A törvény megfogalmazása a következő: egy rögzített tengely körül forgó test impulzusimpulzusának változási sebessége egyenlő a testre ható összes külső erő e tengelyéhez viszonyított eredő nyomatékkal.

Impulzusnyomaték és tehetetlenségi nyomaték

Ismeretes, hogy az i-edik anyagi pontra a szögimpulzus skaláris formában a következő képlettel adódik

L i = m i υ i r i .

Ha a lineáris sebesség helyett a kifejezését szögsebességgel helyettesítjük:

υ i = ωr i ,

akkor a szögimpulzus kifejezése olyan formát ölt

L i = m i r i 2 ω.

Nagyságrend I i = m i r i 2 Egy abszolút merev test tömegközéppontján átmenő i-edik anyagi pont tengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. Ezután felírjuk az anyagi pont szögimpulzusát:

L i = I i ω.

Egy abszolút merev test impulzusimpulzusát a testet alkotó anyagi pontok szögimpulzusának összegeként írjuk fel:

L = Iω.

Erőnyomaték és tehetetlenségi nyomaték

A forgó mozgás törvénye kimondja:

M = dl/dt.

Ismeretes, hogy egy test szögimpulzusa a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolható:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Figyelembe véve, hogy a szöggyorsulást a kifejezés határozza meg

ε = dω/dt,

képletet kapunk az erőnyomatékra, amelyet a tehetetlenségi nyomatékon keresztül ábrázolunk:

M = Iε.

Megjegyzés. Az erőnyomatékot akkor tekintjük pozitívnak, ha az azt okozó szöggyorsulás nagyobb, mint nulla, és fordítva.

Steiner tétele. A tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye

Ha egy test forgástengelye nem megy át a tömegközéppontján, akkor ehhez a tengelyhez viszonyítva Steiner tételével meghatározhatjuk a tehetetlenségi nyomatékát:
I = I 0 + ma 2,

Ahol én 0- a test kezdeti tehetetlenségi nyomatéka; m- testtömeg; a- a tengelyek közötti távolság.

Ha egy rögzített tengely körül forgó rendszer abból áll n testek, akkor az ilyen típusú rendszer teljes tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz összetevői nyomatékainak összegével (a tehetetlenségi nyomatékok összeadásának törvénye).

A hatalom pillanata

Egy erő forgó hatását a nyomatéka határozza meg. Bármely pontra ható erő nyomatékát vektorszorzatnak nevezzük

Pontról pontra húzott sugárvektor az erő alkalmazási pontjára (2.12. ábra). Az erőnyomaték mértékegysége.

2.12. ábra

Az erőnyomaték nagysága

vagy írhatsz

ahol az erő karja (a pont és az erő hatásvonala közötti legrövidebb távolság).

A vektor irányát a vektorszorzat szabály vagy a „jobboldali csavar” szabály határozza meg (a vektorokat és a párhuzamos transzlációt az O pontban kombináljuk, a vektor irányát úgy határozzuk meg, hogy a végétől a k vektortól való forgás látható legyen az óramutató járásával ellentétes irányban - a 2.12. ábrán a vektor merőleges a „tőlünk” rajzolt síkra (hasonlóan a gimlet-szabályhoz - a transzlációs mozgás a vektor irányának, a forgó mozgás a tőlünk irányú elfordulásnak felel meg)).

Bármely pont körüli erő nyomatéka egyenlő nullával, ha az erő hatásvonala ezen a ponton halad át.

Egy vektor tetszőleges tengelyre, például z tengelyre történő vetületét a tengely körüli erőnyomatéknak nevezzük. Egy tengely körüli erő nyomatékának meghatározásához először vetítse az erőt a tengelyre merőleges síkra (2.13. ábra), majd keresse meg ennek a vetületnek a nyomatékát a tengely metszéspontjához a merőleges síkkal. azt. Ha az erő hatásvonala párhuzamos a tengellyel, vagy metszi azt, akkor az erő e tengely körüli nyomatéka nulla.

2.13. ábra

Lendület

Momentumulse anyagi pont bármely referenciaponthoz képest sebességgel mozgó tömeget vektorszorzatnak nevezzük

Egy anyagi pont sugárvektora (2.14. ábra) a lendülete.

2.14. ábra

Anyagi pont szögimpulzusának nagysága

ahol a vektorvonal és a pont közötti legrövidebb távolság.

Az impulzusnyomaték irányát az erőnyomaték irányához hasonlóan határozzuk meg.

Ha megszorozzuk L 0 kifejezését és elosztjuk l-vel, akkor a következőt kapjuk:

Hol van egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka - a forgó mozgásban lévő tömeg analógja.

Szögsebesség.

Merev test tehetetlenségi nyomatéka

Látható, hogy a kapott képletek nagyon hasonlóak az impulzus, illetve Newton második törvényének kifejezéséhez, csak a lineáris sebesség és a gyorsulás helyett a szögsebesség és a gyorsulás, a tömeg helyett pedig a mennyiség. I=mR 2, hívják anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka .

Ha egy test nem tekinthető anyagi pontnak, hanem abszolút szilárdnak tekinthető, akkor a tehetetlenségi nyomatéka a végtelenül kicsi részei tehetetlenségi nyomatékainak összegének tekinthető, mivel ezeknek a részeknek a forgási szögsebessége megegyezik. (2.16. ábra). Az infinitezimálisok összege az integrál:

Bármely testnél vannak a tehetetlenségi középpontján átmenő tengelyek, amelyek a következő tulajdonsággal rendelkeznek: amikor a test ilyen tengelyek körül forog külső hatások hiányában, a forgástengelyek nem változtatják meg helyzetüket. Az ilyen tengelyeket ún szabad testtengelyek . Bizonyítható, hogy bármilyen alakú és tetszőleges sűrűségeloszlású testnek három egymásra merőleges szabad tengelye van, ún. fő tehetetlenségi tengelyek testek. A testnek a főtengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékait ún fő (belső) tehetetlenségi nyomatékok testek.

Egyes testek fő tehetetlenségi nyomatékait a táblázat tartalmazza:

Huygens-Steiner tétel.

Ezt a kifejezést hívják Huygens-Steiner tétel : egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának az adott tengelysel párhuzamos, a test tömegközéppontján átmenő tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának összegével, és a test tehetetlenségi nyomatékának összegével. a testtömeg a tengelyek közötti távolság négyzetével.

A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete

A forgó mozgás dinamikájának alaptörvénye Newton második törvényéből nyerhető a merev test transzlációs mozgására

Ahol F– a testre tömeg szerint ható erő m; A– a test lineáris gyorsulása.

Ha szilárd tömegű testhez m az A pontban (2.15. ábra) alkalmazzunk erőt F, akkor a test összes anyagi pontja közötti merev kapcsolat eredményeképpen mindegyik ε szöggyorsulást és ennek megfelelő lineáris gyorsulást kap, mintha minden pontra F 1 ...F n erő hatna. Minden anyagi ponthoz a következőket írhatjuk:

Ahol tehát

Ahol m i- súly én- pontok; ε – szöggyorsulás; r i– távolsága a forgástengelytől.

Az egyenlet bal és jobb oldalát megszorozva ezzel r i, kapunk

Ahol - az erőnyomaték az erő és a váll szorzata.

Rizs. 2.15. Erő hatására forgó merev test F az „OO” tengely körül

- tehetetlenségi nyomaték én anyagi pont (a tömeg analógja forgó mozgásban).

A kifejezés így írható:

Adjuk össze a bal és a jobb oldali részt a test minden pontján:

Az egyenlet a merev test forgómozgásának dinamikájának alaptörvénye. A magnitúdó az erőnyomatékok geometriai összege, vagyis az erőnyomaték F, ε gyorsulást ad a test minden pontjára. – a test összes pontja tehetetlenségi nyomatékainak algebrai összege. A törvény a következőképpen fogalmazódik meg: „A forgó testre ható erőnyomaték egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának és a szöggyorsulásnak a szorzatával.”

A másik oldalon

Viszont - a test szögimpulzusának változása.

Ekkor a forgómozgás dinamikájának alaptörvénye a következőképpen írható át:

Vagy - a forgó testre ható erőnyomaték impulzusa megegyezik a szögimpulzus változásával.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye

Hasonló a ZSI-hez.

A forgómozgás dinamikájának alapegyenlete szerint a Z tengelyhez viszonyított erőnyomaték: . Ezért egy zárt rendszerben, és ezért a zárt rendszerben lévő összes test Z tengelyéhez viszonyított teljes impulzusnyomatéka állandó mennyiség. Ez kifejezi a szögimpulzus megmaradásának törvénye . Ez a törvény csak inerciális vonatkoztatási rendszerben működik.

Vonjunk analógiát a transzlációs és a forgó mozgás jellemzői között.