Függvény határainak számítása részletes megoldással. Sorozat- és funkciókorlát

Problémák megoldása határértékek megállapításával Ha a határértékek megállapításával kapcsolatos feladatokat old meg, emlékezzen néhány határértékre, hogy ne számolja újra őket minden alkalommal. Ezeket az ismert határokat kombinálva a 4. §-ban megjelölt tulajdonságok felhasználásával új határértékeket találunk. Az egyszerűség kedvéért bemutatjuk a leggyakrabban előforduló határértékeket: Határértékek 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), ha f (x) folytonos x a Ha ismert, hogy a függvény folytonos, akkor a határérték keresése helyett a függvény értékét számítjuk ki. Példa 1. Keresse meg a lim-et (x*-6l:+ 8). Mivel a többtagú X->2 tagfüggvény folytonos, ezért lim (x*-6x4-8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 2. példa. lim -G. . Először megkeressük a nevező határát: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nem egyenlő X-Y1 nullával, ami azt jelenti, hogy alkalmazhatjuk a 4. tulajdonság 4. pontját, majd az x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. az X X nevező nullával egyenlő, ezért a 4. § 4. tulajdonsága nem alkalmazható Mivel a számláló állandó szám, és az [x2x) -> -0 x - - 1 esetén a teljes tört korlátlanul növekszik. abszolút érték, azaz lim " 1 X - * - - 1 x* + x Példa 4. Keresse meg lim\-ll*"!"" "A nevező határa nulla: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, tehát X tulajdonság 4 4. § nem alkalmazható. De a számláló határértéke is egyenlő nullával: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Tehát a számláló és a nevező határértéke egyszerre nulla. A 2-es szám azonban mind a számláló, mind a nevező gyöke, így a tört x-2 különbséggel csökkenthető (Bezout tétele szerint). Valójában x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" tehát xr- - f- 6 g x-3 -1 1 5. példa. Keresse meg a lim xn értéket (n egész szám, pozitív). X -val Van xn = X* X . . X, n-szer Mivel minden tényező korlátlanul nő, a szorzat is korlátlanul nő, azaz lim xn = oo. x oo 6. példa: lim xn(n egész szám, pozitív). X -> - CO Van xn = x x... x. Mivel minden tényező abszolút értékben nő, miközben negatív marad, így páros fok esetén a szorzat korlátlanul nő, miközben pozitív marad, azaz lim *n = + oo (páros n esetén). *-* -о Páratlan fok esetén a szorzat abszolút értéke nő, de negatív marad, azaz lim xn = - oo (n páratlan esetén). p -- 00 7. példa Keresse meg a lim értéket . x x-*- co * Ha m>pu akkor felírhatjuk: m = n + kt ahol k>0. Ezért xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu A 6. példához jutottunk. Ha ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Itt a számláló állandó marad, a nevező pedig abszolút értékben nő, így lim -ь = 0. X - *oo X* Javasoljuk, hogy emlékezzen a példa eredményére a következő formában: A hatványfüggvény minél gyorsabban nő, minél nagyobb a kitevő. $хв_Зхг + 7 8. példa: Keresse meg a lim g L -г-= értéket Ebben a példában x-*® «J* "Г bХ -ох-о és a számláló és a nevező korlátlanul növekszik. Osszuk el a számlálót és a nevezőt is. nevezője x legnagyobb hatványával, azaz xb-n, akkor 3 7_ Példa 9. Keresse meg a lira-t... Transzformációkat végrehajtva kapjuk a lírát... ^ = lim X CO + 3 7 3 Mivel lim -5 = 0, lim - , = 0 , akkor az rad-*® X X-+-CD X nevező határértéke nulla, míg a számláló határértéke 1. Következésképpen a teljes tört korlát nélkül növekszik, azaz t 7x hm X-+ yu Példa 10. lim keresése Számítsuk ki a nevező S határértékét, ne feledjük, hogy a cos*-függvény folytonos: líra (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Ekkor x->- S lim (l-fsin*) 15. példa: lim keresése *<*-e>2 és lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; mivel (Λ;-a)2 mindig nem negatívan és korlát nélkül növekszik x-szel, akkor x - ±oo esetén az új z-*oc változó. Ezért qt £-t kapunk<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (lásd az 5. §-hoz fűzött megjegyzést). g -*■ co Hasonlóképpen lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, mivel x ± oo g m - (x- a)z korlátlanul csökken, mint x ->±oo (lásd a §-hoz fűzött megjegyzést

A korlátok sok gondot okoznak minden matematikus tanulónak. Egy határ megoldásához időnként rengeteg trükköt kell bevetni, és a sokféle megoldási mód közül pontosan azt kell kiválasztani, amelyik az adott példához illik.

Ebben a cikkben nem segítünk abban, hogy megértse képességei határait, vagy megértse az irányítás korlátait, hanem megpróbáljuk megválaszolni a kérdést: hogyan lehet megérteni a határokat a magasabb matematikában? A megértés tapasztalattal jár, ezért egyúttal több részletes példát is adunk a korlátok megoldására magyarázatokkal.

A határ fogalma a matematikában

Az első kérdés: mi ez a határ és minek a határa? Beszélhetünk a numerikus sorozatok és függvények határairól. Érdekel bennünket a függvény határának fogalma, hiszen ezzel találkoznak leggyakrabban a tanulók. De először a határ legáltalánosabb meghatározása:

Tegyük fel, hogy van valamilyen változó érték. Ha ez az érték a változás folyamatában korlátlanul megközelít egy bizonyos számot a , Azt a – ennek az értéknek a határa.

Egy bizonyos intervallumban meghatározott függvényre f(x)=y az ilyen számot határértéknek nevezzük A , amelyre a függvény hajlamos mikor x , egy bizonyos pontig tart A . Pont A ahhoz az intervallumhoz tartozik, amelyen a függvény definiálva van.

Nehéznek hangzik, de nagyon egyszerűen van leírva:

Lim- angolról határ- limit.

A határérték meghatározásának geometriai magyarázata is van, de itt nem merülünk el az elméletben, mivel minket inkább a gyakorlati, mintsem az elméleti oldala érdekel. Amikor azt mondjuk x valamilyen értékre hajlik, ez azt jelenti, hogy a változó nem veszi fel egy szám értékét, hanem végtelenül közelíti azt.

Mondjunk egy konkrét példát. A feladat a határ megtalálása.

A példa megoldásához behelyettesítjük az értéket x=3 függvénybe. Kapunk:

Egyébként, ha érdekel, olvass el egy külön cikket erről a témáról.

Példákban x hajlamos bármilyen értékre. Bármilyen szám vagy végtelen lehet. Íme egy példa, amikor x a végtelenbe hajlik:

Intuitív módon minél nagyobb a szám a nevezőben, annál kisebb értéket vesz fel a függvény. Tehát korlátlan növekedéssel x jelentése 1/x csökkenni fog és megközelíti a nullát.

Amint látja, a korlát feloldásához csak be kell cserélni a függvénybe a törekedni kívánt értéket x . Ez azonban a legegyszerűbb eset. A határ megtalálása gyakran nem olyan nyilvánvaló. A határokon belül vannak a típus bizonytalanságai 0/0 vagy végtelen/végtelen . Mi a teendő ilyen esetekben? Használd a trükköket!

Bizonytalanságok belül

A végtelen/végtelen alak bizonytalansága

Legyen egy határ:

Ha megpróbáljuk a függvénybe behelyettesíteni a végtelent, akkor a számlálóban és a nevezőben is végtelent kapunk. Általában érdemes elmondani, hogy van egy bizonyos eleme a művészetnek az ilyen bizonytalanságok feloldásában: észre kell venni, hogyan lehet a függvényt úgy átalakítani, hogy a bizonytalanság megszűnjön. Esetünkben a számlálót és a nevezőt elosztjuk vele x felsőfokon. Mi fog történni?

A fentebb már tárgyalt példából tudjuk, hogy a nevezőben x-et tartalmazó kifejezések nullára hajlanak. Akkor a megoldás a határra:

A típusbizonytalanságok feloldásához végtelen/végtelen oszd el a számlálót és a nevezőt ezzel x a legmagasabb fokig.

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A bizonytalanság másik fajtája: 0/0

Mint mindig, értékek behelyettesítése a függvénybe x=-1 ad 0 a számlálóban és a nevezőben. Nézze meg egy kicsit alaposabban, és észre fogja venni, hogy a számlálóban egy másodfokú egyenlet található. Keressük meg a gyökereket, és írjuk:

Csökkentsük és kapjuk:

Tehát, ha típusbizonytalansággal néz szembe 0/0 – faktorozza a számlálót és a nevezőt.

A példák könnyebb megoldása érdekében bemutatunk egy táblázatot néhány függvény korlátaival:

L'Hopital uralma belül

Egy másik hatékony módszer mindkét típusú bizonytalanság kiküszöbölésére. Mi a módszer lényege?

Ha a határértékben bizonytalanság van, vegye fel a számláló és a nevező deriváltját, amíg a bizonytalanság el nem tűnik.

A L'Hopital szabálya így néz ki:

Fontos pont : az a határ, amelyben a számláló és a nevező helyett a számláló és a nevező deriváltjainak létezniük kell.

És most egy igazi példa:

Jellemző a bizonytalanság 0/0 . Vegyük a számláló és a nevező származékait:

Voila, a bizonytalanság gyorsan és elegánsan feloldódik.

Reméljük, hogy ezeket az információkat hasznosan tudja alkalmazni a gyakorlatban, és megtalálja a választ a „hogyan oldjuk meg a határértékeket a felsőbb matematikában” kérdésre. Ha egy szekvencia határértékét vagy egy függvény határértékét kell kiszámítania egy ponton, és erre a munkára egyáltalán nincs idő, forduljon szakképzett diákszolgálathoz a gyors és részletes megoldásért.

Ebben a témában a fent felsorolt ​​korlátok mindhárom csoportját irracionalitás mellett megvizsgáljuk. Kezdjük a $\frac(0)(0)$ formájú bizonytalanságot tartalmazó határértékekkel.

Bizonytalanság feltárása $\frac(0)(0)$.

Az ilyen típusú szabványos példák megoldása általában két lépésből áll:

• Megszabadulunk a bizonytalanságot okozó irracionalitástól, ha megszorozzuk az úgynevezett „konjugált” kifejezéssel;
• Ha szükséges, vegye figyelembe a kifejezést a számlálóban vagy a nevezőben (vagy mindkettőben);
• Csökkentjük a bizonytalansághoz vezető tényezőket, és kiszámítjuk a határ kívánt értékét.

A fent használt "konjugált expresszió" kifejezést a példákban részletesen ismertetjük. Egyelőre nincs ok arra, hogy részletesen foglalkozzunk vele. Általánosságban elmondható, hogy a konjugált kifejezés használata nélkül mehet a másik irányba is. Néha egy jól megválasztott csere kiküszöbölheti az irracionalitást. Az ilyen példák ritkák a szabványos tesztekben, ezért csak egy 6. számú példát fogunk figyelembe venni a helyettesítés alkalmazására (lásd a témakör második részét).

Több képletre lesz szükségünk, amelyeket alább leírok:

\begin(egyenlet) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(egyenlet) \begin(egyenlet) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(egyenlet) \begin(egyenlet) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(egyenlet) \begin (egyenlet) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(egyenlet)

Ezenkívül feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a másodfokú egyenletek megoldási képleteit. Ha $x_1$ és $x_2$ a $ax^2+bx+c$ másodfokú trinom gyöke, akkor a következő képlettel faktorizálható:

\begin(egyenlet) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(egyenlet)

Az (1)-(5) képletek teljesen elegendőek a standard feladatok megoldására, amelyekre most továbblépünk.

1. számú példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Mivel $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ és $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, akkor az adott határértékben $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalanságunk van. A $\sqrt(7-x)-2$ különbség megakadályozza, hogy felfedjük ezt a bizonytalanságot. Az ilyen irracionalitásoktól való megszabadulás érdekében az úgynevezett „konjugált kifejezéssel” való szorzást alkalmazzák. Most megnézzük, hogyan működik egy ilyen szorzás. Szorozd meg a $\sqrt(7-x)-2$-t $\sqrt(7-x)+2$-val:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

A zárójelek megnyitásához alkalmazza a következőt: $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ az említett képlet jobb oldalán:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Mint látható, ha a számlálót megszorozod $\sqrt(7-x)+2$-tal, akkor a gyök (azaz az irracionalitás) eltűnik a számlálóból. Ez a kifejezés $\sqrt(7-x)+2$ lesz konjugált a $\sqrt(7-x)-2$ kifejezésre. A számlálót azonban nem szorozhatjuk meg egyszerűen $\sqrt(7-x)+2$-dal, mert ez megváltoztatja a $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ törtet, ami határ alatt. Egyszerre meg kell szoroznia a számlálót és a nevezőt:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Most ne feledje, hogy $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$, és nyissa meg a zárójeleket. És a zárójelek kinyitása és egy kis $3-x=-(x-3)$ átalakítás után a törtet $x-3$-tal csökkentjük:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

A $\frac(0)(0)$ bizonytalanság eltűnt. Most könnyen megkaphatja a választ erre a példára:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Megjegyzem, hogy a konjugált kifejezés megváltoztathatja a szerkezetét, attól függően, hogy milyen irracionalitást kell eltávolítania. A 4. és 5. példákban (lásd a témakör második részét) más típusú konjugált kifejezést használunk.

Válasz: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

2. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Mivel $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ és $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, akkor mi $\frac(0)(0)$ alakú bizonytalansággal foglalkoznak. Szabaduljunk meg az irracionalitástól ennek a törtnek a nevezőjében. Ehhez hozzáadjuk a $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ tört számlálóját és nevezőjét is a a $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ kifejezés konjugált a nevezőhöz:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ismét, mint az 1. példában, zárójeleket kell használnia a bővítéshez. Az $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ behelyettesítésével az említett képlet jobb oldalán a következő kifejezést kapjuk a nevezőre:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ jobb)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\jobb)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\jobb)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Térjünk vissza a határainkhoz:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Az 1. példában a konjugált kifejezéssel való szorzás után szinte azonnal a frakció csökkent. Itt a redukció előtt a $3x^2-5x-2$ és a $x^2-4$ kifejezéseket faktorizálni kell, és csak ezután kell folytatni a redukciót. A $3x^2-5x-2$ kifejezés figyelembevételéhez a következőt kell használnia. Először is oldjuk meg a $3x^2-5x-2=0$ másodfokú egyenletet:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(igazított) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(igazított) $$

A $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ helyett a következőt kapjuk:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\jobbra)(x-2)=\bal(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\jobbra)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Most itt az ideje, hogy a $x^2-4$ kifejezést faktorizáljuk. Használjuk a következőt: $a=x$, $b=2$ behelyettesítve:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Használjuk a kapott eredményeket. Mivel $x^2-4=(x-2)(x+2)$ és $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, akkor:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

A $x-2$ zárójellel csökkentve a következőket kapjuk:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Minden! A bizonytalanság megszűnt. Még egy lépés, és elérkeztünk a válaszhoz:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Válasz: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

A következő példában vegyük figyelembe azt az esetet, amikor a tört számlálójában és nevezőjében is jelen lesznek irracionalitások.

3. példa

Keresse meg a $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Mivel $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ és $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, akkor van egy $ alakú bizonytalanságunk \frac (0)(0)$. Mivel ebben az esetben a gyökök mind a nevezőben, mind a számlálóban jelen vannak, a bizonytalanság elkerülése érdekében egyszerre két zárójellel kell szorozni. Először is, a $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ kifejezéshez konjugáljon a számlálóhoz. Másodszor pedig a $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ kifejezéshez konjugálja a nevezőt.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(igazított) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(igazított) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

A $x^2-8x+15$ kifejezésre a következőket kapjuk:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(igazított) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(igazított)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

A kapott $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ és $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ kiterjesztések behelyettesítése a korlátba mérlegelés alatt, a következők lesznek:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Válasz: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

A következő (második) részben megvizsgálunk még néhány olyan példát, amelyekben a konjugált kifejezés más formában lesz, mint az előző feladatokban. A legfontosabb dolog, amit meg kell jegyeznünk, hogy a konjugált kifejezések használatának célja, hogy megszabaduljunk a bizonytalanságot okozó irracionalitástól.

Elemi függvények és grafikonjaik.

A fő elemi függvények: hatványfüggvény, exponenciális függvény, logaritmikus függvény, trigonometrikus függvények és inverz trigonometrikus függvények, valamint egy polinom és egy racionális függvény, ami két polinom aránya.

Az elemi függvények közé tartoznak azok a függvények is, amelyeket a négy számtani alapművelet alkalmazásával és egy komplex függvény alkotásával nyerünk ki az elemi függvényekből.

Elemi függvények grafikonjai

	Egyenes- lineáris függvény grafikonja y = ax + b. Az y függvény a > 0 esetén monoton növekszik, a esetén pedig csökken< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- a másodfokú trinomiális függvény grafikonja y = ax 2 + bx + c. Függőleges szimmetriatengelye van. Ha a > 0, akkor minimuma van, ha a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hiperbola- a függvény grafikonja. Ha a > O az I. és III. negyedben helyezkedik el, amikor a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) vagy y - - x(a< 0).
	Exponenciális függvény. Kiállító(exponenciális függvény e bázishoz) y = e x. (Még egy elírás y = exp(x)). Az aszimptota az abszcissza tengely.
	Logaritmikus függvény y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Szinuszos hullám- T = 2π periódusú periodikus függvény

Funkciókorlát.

Az y=f(x) függvénynek A határértéke van, mivel x hajlamos a-ra, ha bármely ε › 0 számhoz van olyan δ › 0 szám, amelyre | y – A | ‹ ε ha |x - a| ‹ δ,

vagy lim y = A

A funkció folytonossága.

Az y=f(x) függvény folytonos az x = a pontban, ha lim f(x) = f(a), azaz.

egy függvény határértéke egy x = a pontban egyenlő a függvény adott pontbeli értékével.

A függvények határainak megtalálása.

Alaptételek a függvények határairól.

1. Egy állandó érték határa egyenlő ezzel az állandó értékkel:

2. Egy algebrai összeg határa egyenlő ezen függvények határértékeinek algebrai összegével:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Több függvény szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények korlátainak szorzatával:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határa nem egyenlő 0-val:

lim------- = -----------

Az első figyelemre méltó határ: lim --------- = 1

Második figyelemre méltó határ: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Példák a függvények határainak megtalálására.

5.1. Példa:

Bármely limit három részből áll:

1) A jól ismert limit ikon.

2) Bejegyzések a limit ikon alatt. A bejegyzés így szól: „X hajlamos egyre”. Leggyakrabban x, bár az „x” helyett bármilyen más változó is lehet. Az egy helyén teljesen tetszőleges szám állhat, valamint a végtelen 0 vagy .

3) A határjel alatti függvények, ebben az esetben .

Maga a felvétel így hangzik: "egy függvény határa mint x egységre hajlamos."

Egy nagyon fontos kérdés – mit jelent az „x” kifejezés? törekszik egyhez"? Az "x" kifejezés törekszik egyhez” a következőképpen kell érteni: „x” következetesen felveszi az értékeket amelyek végtelenül közelítik az egységet és gyakorlatilag egybeesnek vele.

Hogyan lehet megoldani a fenti példát? A fentiek alapján csak be kell cserélni egyet a határjel alatti függvénybe:

Tehát az első szabály : Ha adott egy limitet, először egyszerűen be kell dugni a számot a függvénybe.

5.2. Példa a végtelennel:

Találjuk ki, mi az? Ez az az eset, amikor korlátlanul növekszik.

Tehát, ha , majd a függvény mínusz végtelenbe hajlik:

Első szabályunk szerint „X” helyett behelyettesítjük a függvényben a végtelen, és megkapjuk a választ.

5.3. Egy másik példa a végtelennel:

Ismét elkezdünk a végtelenségig növekedni, és megnézzük a függvény viselkedését.
Következtetés: a funkció korlátlanul növekszik

5.4. Egy sor példa:

Próbáld meg gondolatban elemezni a következő példákat, és oldd meg a legegyszerűbb típusú korlátokat:

, , , , , , , , ,

Mit kell emlékezned és megértened a fentiekből?

Ha van bármilyen korlát, először egyszerűen csatlakoztassa a számot a függvényhez. Ugyanakkor meg kell értenie és azonnal meg kell oldania a legegyszerűbb korlátokat, mint pl , , stb.

6. Határok a típus bizonytalanságával és a megoldásukra szolgáló módszer.

Most megvizsgáljuk a határértékek csoportját, amikor , és a függvény egy olyan tört, amelynek számlálója és nevezője polinomokat tartalmaz.

6.1. Példa:

Számítsa ki a határértéket

Szabályunk szerint a végtelent próbáljuk behelyettesíteni a függvénybe. Mit kapunk a csúcson? Végtelenség. És mi történik lent? Szintén a végtelen. Így van az úgynevezett faji bizonytalanság. Azt gondolhatnánk, hogy = 1, és kész a válasz, de általános esetben ez egyáltalán nem így van, és valamilyen megoldási technikát kell alkalmazni, amit most megfontolunk.

Hogyan lehet megoldani az ilyen típusú limiteket?

Először nézzük meg a számlálót, és keressük meg a legmagasabb hatványt:

A számlálóban a vezető hatvány kettő.

Most megnézzük a nevezőt, és megtaláljuk a legnagyobb hatványra:

A nevező legmagasabb foka kettő.

Ezután kiválasztjuk a számláló és a nevező legnagyobb hatványát: ebben a példában ezek megegyeznek és kettővel egyenlők.

Tehát a megoldás módja a következő: hogy felfedje a bizonytalanságot el kell osztani a számlálót és a nevezőt felsőfokon.

Így a válasz nem 1.

Példa

Találd meg a határt

A számlálóban és a nevezőben ismét a legmagasabb fokon találjuk:

Maximális fokozat a számlálóban: 3

Maximális fokozat a nevezőben: 4

Választ legnagyobbérték, jelen esetben négy.
Algoritmusunk szerint a bizonytalanság feltárásához a számlálót és a nevezőt elosztjuk -vel.

Példa

Találd meg a határt

Az „X” maximális mértéke a számlálóban: 2

Az „X” maximális mértéke a nevezőben: 1 (írható így is)
A bizonytalanság feltárásához el kell osztani a számlálót és a nevezőt -vel. A végső megoldás így nézhet ki:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

Megoldás online funkciókorlátok. Keresse meg egy függvény vagy függvénysorozat határértékét egy pontban, számítsa ki végső a függvény értéke a végtelenben. számsorok konvergenciájának meghatározása és még sok minden más elvégezhető online szolgáltatásunknak köszönhetően -. Lehetővé teszi, hogy gyorsan és pontosan megtalálja online a funkciókorlátokat. Ön saját maga adja meg a függvényváltozót és azt a határt, amelyre hajlik, és szervizünk elvégzi az összes számítást az Ön helyett, pontos és egyszerű választ adva. És azért megtalálni a határt az interneten numerikus sorozatokat és konstansokat tartalmazó analitikai függvényeket is megadhat literális kifejezésben. Ebben az esetben a függvény talált korlátja ezeket az állandókat konstans argumentumként fogja tartalmazni a kifejezésben. Szolgáltatásunk minden összetett keresési problémát megold határok online, elég megadni a függvényt és azt a pontot, ahol számítani kell funkció határértéke. Számító online korlátok, megoldásukra különféle módszereket és szabályokat használhat, miközben a kapott eredményt ellenőrizheti korlátok online megoldása a www.oldalon, ami a feladat sikeres elvégzéséhez vezet - elkerüli a saját hibáit és az elírásokat. Vagy teljesen megbízhat bennünk, és felhasználhatja az eredményünket a munkájában anélkül, hogy extra erőfeszítést és időt fordítana a funkció határának önálló kiszámítására. Határértékek, például végtelen bevitelét engedélyezzük. Egy számsorozat közös tagját kell megadni és www.site kiszámítja az értéket limit online plusz-mínusz végtelenig.

A matematikai elemzés egyik alapfogalma az funkciókorlátÉs sorozathatár egy ponton és a végtelenben fontos, hogy helyesen tudjunk megoldani határait. Szolgáltatásunkkal ez nem lesz nehéz. Döntés születik határok online néhány másodpercen belül a válasz pontos és teljes. A matematikai elemzés tanulmányozása azzal kezdődik átmenet a határra, határait A felsőbb matematika szinte minden területén használatosak, ezért hasznos, ha kéznél van egy szerver online limit megoldások, amely a webhely.