Hatványozás, szabályok, példák. Fokozat és tulajdonságai

Itt az ideje egy kicsit számolni. Emlékszel még, mennyi az, ha kettőt megszorozunk kettővel?

Ha valaki elfelejtette, négy lesz. Úgy tűnik, hogy mindenki emlékszik és ismeri a szorzótáblát, azonban rengeteg kérést fedeztem fel a Yandex felé, mint például a „szorzótábla” vagy akár a „szorzótábla letöltése”(!). A felhasználók ezen kategóriájának, valamint a haladóbbaknak, akik már érdeklődnek a négyzetek és hatványok iránt, közzéteszem ezeket a táblázatokat. Az egészséged érdekében akár letöltheted is! Így:

Szorzótábla

(egész számok 1-től 20-ig)

Négyzetek táblázata

(egész számok 1 és 100 között)

Fokozattáblázat

(egész számok 1-től 10-ig)

1 a hatalomhoz:

2 a hatalomhoz:

3 a hatalomhoz:

4 a hatalomhoz:

5 a hatalomhoz:

6 a hatalomhoz:

7 a hatalomhoz:

7 10 = 282475249

8 a hatalomhoz:

8 10 = 1073741824

9 a hatalomhoz:

9 10 = 3486784401

10 a hatalomhoz:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

Írja be a számot és a fokszámot, majd nyomja meg az = gombot.

Fokozattáblázat

A fokozat tulajdonságai - 2 rész

Az algebra főfokainak táblázata kompakt formában (kép, kényelmesen nyomtatható), a szám tetején, a fok oldalán.

Folytatva a beszélgetést egy szám erejéről, logikus, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg a hatvány értékét. Ezt a folyamatot ún hatványozás. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különféle hatalmakba emelésének példáit.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás- ez egy szám hatványértékének megállapítása.

Így az a szám hatványának r kitevőjű megtalálása és az a szám r hatványra emelése ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány (0,5) 5 értékét”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5-ös hatványra.”

Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek alapján a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz egy a szám m/n törthatványra emelésekor először az a szám n-edik gyökét veszik fel, majd az eredményt m egész hatványra emelik.

Nézzük meg a törthatványra emelés példáit.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Megoldás.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A törtkitevős fok definíciója szerint. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökérjel alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: .

Második út. A tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján és a gyökök tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak: . Most kivonjuk a gyökeret , végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Figyeljük meg, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ilyenkor le kell cserélni a megfelelő közönséges törtre, majd hatványra kell emelni.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2.5.

Megoldás.

Írjuk a kitevőt közönséges tört formájában (ha szükséges, lásd a cikket): . Most végrehajtjuk az emelést törthatványra:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője kellően nagy számokat tartalmaz), amelyet általában számítástechnikával hajtanak végre.

Ennek a pontnak a befejezéseként a nulla szám tört hatványra való emelésére fogunk összpontosítani. Az alak nulla törthatványának a következő jelentést adtuk: amikor van , és nullánál az m/n teljesítmény nincs meghatározva. Tehát a nullától a tört pozitív hatványhoz nulla, például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám hatványértékének kiderítése. Ebben az esetben gyakorlati célokra általában elegendő egy bizonyos előjelre pontos fok értékét meghatározni. Rögtön megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezt az értéket elektronikus számítógépek segítségével számítják ki, mivel irracionális teljesítményre emelése manuálisan nagyszámú körülményes számítást igényel. De továbbra is általánosságban leírjuk a cselekvések lényegét.

Egy irracionális kitevővel rendelkező a szám hatványának közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a hatvány értékét. Ez az érték az a szám hatványának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám tizedes közelítését veszi kezdetben, annál pontosabb lesz a fokérték a végén.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük az irracionális kitevő következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t az 1,17 racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈2,250116 kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha például az irracionális kitevő pontosabb decimális közelítését vesszük, akkor az eredeti kitevő pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

Miért van szükség diplomára?

Hol lesz rájuk szüksége?

Miért érdemes időt szánni a tanulmányozásukra?

Olvassa el ezt a cikket, hogy megtudjon MINDENT A FOKOZATOKRÓL.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az egységes államvizsga sikeres letételéhez.

És felvételire álmai egyetemére!

Gyerünk... (Menjünk!)

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete 1 méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó részét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha 1 méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen lapokat? A csempe nagy valószínűséggel cm-ről cm-re lesz, és akkor kínozni fog az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy mondhatjuk, hogy harmincnégyzetes lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alja egy méter nagyságú és egy méter mély, és próbáld meg megszámolni, hány méteres méteres kocka lesz. belefér a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebbé válik az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen végzettségi alap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, szerinted? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Emlékezzünk a szabályra: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk le a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg magával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

A megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára vonatkozik!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következő egyszerű szabályokat lehet megfogalmazni:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

Válaszok:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a gyűjteményt, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 899 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

A hatványtáblázat a pozitív természetes számok értékeit tartalmazza 1-től 10-ig.

A 3 5 bejegyzés „háromtól az ötödik hatványig” volt olvasható. Ebben a jelölésben a 3-as számot a hatvány alapjának, az 5-ös számot a kitevőnek, a 3 5-öt pedig hatványnak nevezzük.

A foktáblázat letöltéséhez kattintson a miniatűr képre.

Fokozat-kalkulátor

Meghívjuk Önt, hogy próbálja ki teljesítmény-kalkulátorunkat, amely segít bármilyen számot teljesítményre emelni az interneten.

A számológép használata nagyon egyszerű - írja be a hatványra emelni kívánt számot, majd a számot - a teljesítményt, és kattintson a "Számítás" gombra.

Figyelemre méltó, hogy online diplomakalkulátorunk pozitív és negatív erőket is képes növelni. És a gyökerek kinyeréséhez van egy másik számológép az oldalon.

Hogyan emeljünk egy számot hatványra.

Nézzük meg egy példán a hatványozás folyamatát. Tegyük fel, hogy fel kell emelnünk az 5-ös számot a 3. hatványra. A matematika nyelvén az 5 az alap, a 3 a kitevő (vagy egyszerűen csak a fok). És ezt röviden a következőképpen írhatjuk le:

Hatványozás

Az érték meghatározásához pedig meg kell szoroznunk az 5-öt önmagával háromszor, azaz.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Ennek megfelelően, ha meg akarjuk találni a 7-es szám értékét az 5. hatványra, akkor a 7-et meg kell szorozni önmagával 5-ször, azaz 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Egy másik dolog, hogy mikor kell emelni a számot negatív hatalomnak.

Hogyan lehet negatív hatalommá emelni.

Amikor negatív hatványra emel, egy egyszerű szabályt kell használnia:

hogyan lehet negatív hatalommá emelni

Minden nagyon egyszerű - negatív hatványra emelve az egyiket alapjellel kell osztani a mínuszjel nélküli hatványra - vagyis a pozitív hatványra. Tehát megtalálni az értéket

Természetes számok hatványainak táblázata 1-től 25-ig az algebrában

Különböző matematikai feladatok megoldásakor gyakran kell egy számot hatványra emelni, főleg 1-től 10-ig. Ezen értékek gyors megtalálása érdekében pedig elkészítettünk egy hatványtáblázatot az algebrában, amelyet ezen az oldalon teszek közzé.

Először nézzük meg az 1-től 6-ig terjedő számokat. Az eredmények itt nem túl nagyok, mindegyiket ellenőrizheti egy hagyományos számológépen.

• 1 és 2 1-től 10-ig terjedő hatványra

Fokozattáblázat

A hatványtábla nélkülözhetetlen eszköz, amikor egy természetes számot 10-en belül kettőnél nagyobb hatványra kell emelni. Elég megnyitni a táblázatot, és megkeresni a kívánt fokozattal szemben lévő számot és a kívánt fokozattal rendelkező oszlopban - ez lesz a válasz a példára. A kényelmes táblázat mellett az oldal alján példák találhatók a természetes számok 10-ig terjedő hatványra emelésére. Ha kiválasztja a kívánt oszlopot a kívánt számú hatványokkal, könnyen és egyszerűen megtalálhatja a megoldást, mivel minden hatvány növekvő sorrendben van elrendezve.

Fontos árnyalat! A táblázatok nem mutatják a nulla hatványra emelést, mivel bármely nulla hatványra emelt szám egyenlő eggyel: a 0 =1

Szorzótáblák, négyzetek és hatványok

Itt az ideje egy kicsit számolni. Emlékszel még, mennyi az, ha kettőt megszorozunk kettővel?

Ha valaki elfelejtette, négy lesz. Úgy tűnik, hogy mindenki emlékszik és ismeri a szorzótáblát, azonban rengeteg kérést fedeztem fel a Yandex felé, mint például a „szorzótábla” vagy akár a „szorzótábla letöltése”(!). A felhasználók ezen kategóriájának, valamint a haladóbbaknak, akik már érdeklődnek a négyzetek és hatványok iránt, közzéteszem ezeket a táblázatokat. Az egészséged érdekében akár letöltheted is! Így:

10 a 2. fokra + 11 a 2. fokra + 12 a 2. fokra + 13 a 2. fokra + 14 a másodfokúra/365

További kérdések a kategóriából

Kérlek segíts dönteni)

Olvassa el is

megoldások: 3x(a 2. hatványhoz)-48= 3(X a 2. hatványhoz)(x a második hatványhoz)-16)=(X-4)(X+4)

5) három pont öt. 6) kilenc pont kétszázhét ezrelék. 2) írja le a számot közönséges tört formájában: 1)0.3. 2)0,516. 3)0,88. 4)0,01. 5)0,402. 5)0,038. 6)0,609. 7)0.91.8)0.5.9)0.171.10)0.815.11)0.27.12)0.081.13)0.803

Mennyi a 2 a mínusz 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 hatványokhoz?

Mennyi 2 a mínusz 1 hatványhoz?

Mennyi a 2 a mínusz 2-hez?

Mennyi a 2 a mínusz 3-hoz?

Mennyi a 2 a mínusz 4. hatványhoz?

Mennyi a 2 mínusz 5 hatványa?

Mennyi a 2 a mínusz 6. hatványhoz?

Mennyi a 2 a mínusz 7. hatványhoz?

Mennyi 2 mínusz 8 hatványához?

Mennyi a 2 a mínusz 9. hatványhoz?

Mennyi 2 mínusz 10 hatványához?

Az n ^(-a) negatív hatványa a következő 1/n^a formában fejezhető ki.

2 a -1 = 1/2 hatványra, ha tizedes törtként ábrázoljuk, akkor 0,5.

2 a hatványhoz - 2 = 1/4 vagy 0,25.

2 a hatványra -3= 1/8, vagy 0,125.

2 a -4 hatványhoz = 1/16, vagy 0,0625.

2 a -5 hatványhoz = 1/32, vagy 0,03125.

2 a hatványhoz - 6 = 1/64 vagy 0,015625.

2 a hatványhoz - 7 = 1/128 vagy 0.

2 a -8 hatványhoz = 1/256 vagy 0.

2 a -9 hatványhoz = 1/512 vagy 0.

2 a hatványhoz - 10 = 1/1024 vagy 0.

Más számokhoz hasonló számításokat itt talál: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Egy szám negatív hatványa első pillantásra nehéz téma az algebrában.

Valójában minden nagyon egyszerű - matematikai számításokat hajtunk végre a „2” számmal egy algebrai képlet segítségével (lásd fent), ahol az „a” helyett a „2” számot helyettesítjük, és az „n” helyett helyettesítjük. a szám hatványa. A számológép segít jelentősen csökkenteni a számítások idejét.

Sajnos az oldal szövegszerkesztője nem teszi lehetővé a matematikai szimbólumok használatát a törtek és a negatív hatványok esetében. Korlátozzuk magunkat a nagybetűs alfanumerikus információkra.

Ezek azok az egyszerű numerikus lépések, amelyekhez végül eljutottunk.

Egy szám negatív hatványa azt jelenti, hogy ezt a számot annyiszor szorozzuk meg önmagával, ahányszor a hatványba írjuk, majd az egyet elosztjuk a kapott számmal. Két főre:

• (-1) fok értéke 1/2=0,5;
• (-2) fok értéke 1/(2 2)=0,25;
• (-3) foka 1/(2 2 2)=0,125;
• (-4) mértéke 1/(2 2 2 2)=0,0625;
• (-5) mértéke 1/(2 2 2 2 2)=0,03125;
• (-6) fokozat értéke 1/(2 2 2 2 2 2)=0,015625;
• (-7) fokozat 1/(2 2 2 2 2 2 2)=0,078125;
• (-8) foka 1/(2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-9) foka 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,;
• (-10) teljesítménye 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)=0,.

Lényegében egyszerűen elosztunk minden korábbi értéket 2-vel.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

A második fokozat azt jelenti, hogy a számítások során kapott számot megszorozzuk önmagával.

orosz nyelv: 15 mondat a tavasz témájában

Kora tavasz, késő tavasz, tavaszi lomb, tavaszi nap, tavaszi nap, tavasz jött, tavaszi madarak, hideg tavasz, tavaszi fű, tavaszi szellő, tavaszi eső, tavaszi ruha, tavaszi csizma, tavasz piros, tavaszi utazás.

Kérdés: 5*4 a második hatványhoz -(33 a második hatványhoz: 11) a 2. hatványhoz: 81 MONDJON VÁLASZT CSELEKVÉSVEL

5*4 a második hatványhoz -(33 a második hatványhoz: 11) a 2. hatványhoz: 81 MONDJON VÁLASZT CSELEKVÉSVEL

Válaszok:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 A második hatvány azt jelenti, hogy az a szám, a számítások során kiderült, hogy önmagával szorozódott.

10 a -2 hatványa mennyi.

1. 10 a -2 hatványhoz ugyanaz, mint 1/10 a 2 hatványhoz, 10 négyzetre teszed, és 1/100-at kapsz, ami 0,01-gyel egyenlő.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) Sötét azt mondod? ..heh (a „Sivatagi fehér napból”)