Videólecke „Kör. Konstrukciók körzővel és vonalzóval

A kör egy zárt görbe vonal, amelynek minden pontja azonos távolságra van egy O ponttól, amelyet középpontnak nevezünk.

A kör bármely pontját a középpontjával összekötő egyeneseket nevezzük sugarak R.

A kör két pontját összekötő és annak O középpontján átmenő AB egyenest nevezzük átmérő D.

A körök részeit ún ívek.

A kör két pontját összekötő CD vonalat nevezzük akkord.

Olyan MN egyenest nevezünk, amelynek csak egy pontja van a körrel tangens.

A kör egy akkord CD és egy ív által határolt részét ún szegmens.

A körnek azt a részét, amelyet két sugár és egy ív határol, ún ágazat.

Két egymásra merőleges vízszintes és függőleges vonalat nevezünk, amelyek a kör középpontjában metszik egymást körtengelyek.

A KOA két sugara által alkotott szöget ún központi sarok.

Két egymásra merőleges sugár csinálj 90 0 -os szöget és határold be a kör 1/4-ét.

Egy kört rajzolunk vízszintes és függőleges tengellyel, amelyek 4 egyenlő részre osztják. Körzővel vagy négyzettel 45 0-nál megrajzolt két egymásra merőleges vonal a kört 8 egyenlő részre osztja.

Egy kör felosztása 3 és 6 egyenlő részre (a 3 szorzója hárommal)

A kör 3-ra, 6-ra és ezek többszörösére való felosztásához egy adott sugarú kört és a megfelelő tengelyeket rajzolunk. Az osztás a vízszintes vagy függőleges tengely és a kör metszéspontjából kezdhető. A kör meghatározott sugara egymás után 6-szor elhalasztja. Ekkor a kör kapott pontjait egyenes vonalak kötik össze, és szabályos hatszöget alkotnak. A pontokat egyen keresztül összekötve egyenlő oldalú háromszöget kapunk, és a kört három egyenlő részre osztjuk.

A szabályos ötszög felépítése a következőképpen történik. Rajzoljuk a kör két egymásra merőleges tengelyét, amelyek megegyeznek a kör átmérőjével. Osszuk ketté a vízszintes átmérő jobb felét az R1 ív segítségével. Ennek az R2 sugarú szakasznak a közepén található "a" pontból rajzolunk egy körívet, amíg az a "b" pontban nem metszi a vízszintes átmérőt. Az R3 sugár az "1" pontból rajzoljon egy kört egy adott kör metszéspontjáig (5. pont), és kapja meg egy szabályos ötszög oldalát. A "b-O" távolság megadja egy szabályos tízszög oldalát.

Egy kör felosztása N-edik számú azonos részre (N oldalú szabályos sokszög építése)

Az alábbiak szerint hajtják végre. Rajzoljuk a kör vízszintes és függőleges egymásra merőleges tengelyeit. A kör felső "1" pontjából a függőleges tengellyel tetszőleges szögben egyenes vonalat húzunk. Tetszőleges hosszúságú egyenlő szegmenseket helyezünk el rajta, amelyek száma megegyezik a részek számával, amelyekre az adott kört felosztjuk, például 9. Az utolsó szakasz végét összekötjük a függőleges átmérő alsó pontjával. . A függőleges átmérőjű metszésponthoz félretett szakaszok végeiből a kapott vonallal párhuzamos vonalakat húzunk, így az adott kör függőleges átmérőjét adott számú részre osztjuk. A kör átmérőjével megegyező sugárral a függőleges tengely alsó pontjától egy MN ívet rajzolunk, amíg az nem metszi a kör vízszintes tengelyének folytatását. Az M és N pontokból sugarakat rajzolunk a függőleges átmérő páros (vagy páratlan) osztási pontjain keresztül, amíg azok nem metszik a kört. A kör eredményül kapott szakaszai lesznek a kívántak, mert 1., 2., …. 9 osszuk fel a kört 9 (N) egyenlő részre.

Egy adott kifejezés vagy név jelentését magyarázó mondatot hívják meghatározás. Már találkoztunk definíciókkal, például a szög, a szomszédos szögek, az egyenlő szárú háromszög definíciójával stb. Adjunk egy másik geometriai alak definícióját - egy kört.

Meghatározás

Ezt a pontot hívják kör középpontja, és a középpontot a kör bármely pontjával összekötő szakasz: kör sugara(77. ábra). A kör definíciójából következik, hogy minden sugár azonos hosszúságú.

Rizs. 77

A kör két pontját összekötő szakaszt húrnak nevezzük. A kör középpontján áthaladó húrt annak nevezzük átmérő.

A 78. ábrán az AB és EF szakaszok a kör húrjai, a CD szakasz a kör átmérője. Nyilvánvaló, hogy egy kör átmérője kétszerese a sugarának. A kör középpontja bármely átmérő felezőpontja.

Rizs. 78

A kör bármely két pontja osztja két részre. Ezen részek mindegyikét körívnek nevezzük. A 79. ábrán az ALB és az AMB az A és B pontok által határolt ívek.

Rizs. 79

Egy kör rajzon való ábrázolásához használja a iránytű(80. ábra).

Rizs. 80

Ha kört szeretne rajzolni a talajra, használhat egy kötelet (81. ábra).

Rizs. 81

A sík kör által határolt részét körnek nevezzük (82. ábra).

Rizs. 82

Konstrukciók körzővel és vonalzóval

A geometriai konstrukciókkal már foglalkoztunk: egyeneseket húztunk, adottakkal megegyező szakaszokat félretettünk, szögeket, háromszögeket és egyéb alakzatokat rajzoltunk. Ugyanakkor használtunk méretarányos vonalzót, körzőt, szögmérőt, rajznégyzetet.

Kiderült, hogy sok építkezés elvégezhető csak egy iránytű és egyengető segítségével skálaosztás nélkül. Ezért a geometriában kifejezetten megkülönböztetik azokat az építési feladatokat, amelyeket csak e két eszköz segítségével oldanak meg.

Mit lehet velük kezdeni? Nyilvánvaló, hogy a vonalzó lehetővé teszi tetszőleges egyenes húzását, valamint két adott ponton átmenő egyenes szerkesztését. Iránytű segítségével tetszőleges sugarú kört rajzolhat, valamint olyan kört, amelynek középpontja egy adott pontban van, és egy adott szakasz sugara megegyezik. Ezen egyszerű műveletek végrehajtásával számos érdekes épületproblémát oldhatunk meg:

szerkeszteni egy adott szöget;
egy adott ponton keresztül húzz az adott egyenesre merőleges egyenest;
oszd fel ezt a szegmenst és más feladatokat.

Kezdjük egy egyszerű feladattal.

Egy feladat

Egy adott sugáron az elejétől fogva tegyünk félre egy, az adott sugárral megegyező szakaszt.

Megoldás

Ábrázoljuk a feladat feltételében megadott ábrákat: az OS sugarat és az AB szakaszt (83. ábra, a). Ezután iránytűvel megszerkesztjük az AB sugarú, O középpontú kört (83. ábra, b). Ez a kör egy D pontban metszi az OS sugarat. Az OD szakasz a szükséges.

Rizs. 83

Példák építési feladatokra

Adott szög szerkesztése

Egy feladat

Tegyünk félre az adott sugárból az adott sugárral egyenlő szöget.

Megoldás

Ezt a szöget az A csúcsgal és az OM sugárral a 84. ábra mutatja. Az A szöggel egyenlő szöget kell beállítani úgy, hogy annak egyik oldala egybeessen az OM sugárral.

Rizs. 84

Rajzoljunk egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja az adott szög A csúcsában van. Ez a kör a B és C pontokban metszi a sarok oldalait (85. ábra, a). Ezután rajzolunk egy azonos sugarú kört, amelynek középpontja az adott OM sugár elején található. A gerendát a D pontban metszi (85. ábra, b). Ezt követően megszerkesztünk egy D középpontú kört, amelynek sugara egyenlő BC-vel. Az O és D középpontú körök két pontban metszik egymást. Jelöljük ezen pontok egyikét E betűvel. Bizonyítsuk be, hogy a MOE szög a szükséges.

Rizs. 85

Tekintsük az ABC és ODE háromszögeket. Az AB és AC szakaszok egy A középpontú kör sugarai, az OD és OE szakaszok pedig egy O középpontú kör sugarai (lásd 85. ábra, b). Mivel a konstrukció alapján ezek a körök egyenlő sugarúak, akkor AB = OD, AC = OE. Felépítés szerint is BC = DE.

Ezért Δ ABC = Δ ODE három oldalon. Ezért ∠DOE = ∠BAC, azaz a szerkesztett MOE szög egyenlő az adott A szöggel.

Ugyanez a konstrukció elvégezhető a földön is, ha iránytű helyett kötelet használunk.

Szögfelező szerkesztése

Egy feladat

Szerkessze meg az adott szög felezőjét!

Megoldás

Ezt a BAC szöget a 86. ábra mutatja. Rajzoljunk egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja az A csúcsban van. A szög oldalait a B és C pontokban metszi.

Rizs. 86

Ezután rajzolunk két azonos BC sugarú kört, amelyek középpontjai a B és C pontban vannak (az ábrán ezeknek a köröknek csak egy része látható). Két pontban metszik egymást, amelyek közül legalább az egyik a sarokban található. E betűvel jelöljük. Bizonyítsuk be, hogy az AE sugár az adott BAC szög felezőpontja.

Tekintsük az ACE és ABE háromszögeket. Három oldalról egyenlőek. Valójában az AE a közös oldal; AC és AB azonos kör sugarai; CE = BE szerkezetileg.

Az ACE és ABE háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy ∠CAE = ∠BAE, azaz az AE sugár az adott BAC szög felezőpontja.

Megjegyzés

Egy adott szöget fel lehet-e osztani két egyenlő szögre iránytű és egyenes él segítségével? Nyilvánvaló, hogy ez lehetséges - ehhez meg kell rajzolnia ennek a szögnek a felezőjét.

Ez a szög négy egyenlő szögre is felosztható. Ehhez ketté kell osztani, majd mindegyik felét újra ketté kell osztani.

Lehetséges-e egy adott szöget három egyenlő szögre osztani egy körző és egyengető segítségével? Ezt a feladatot az ún szögtriszekciós problémák, évszázadok óta felkeltette a matematikusok figyelmét. Csak a 19. században igazolták, hogy egy ilyen konstrukció tetszőleges szög esetén lehetetlen.

Merőleges vonalak építése

Egy feladat

Adott egy vonal és egy pont rajta. Egy adott ponton átmenő, adott egyenesre merőleges egyenes megalkotása.

Megoldás

Az adott a egyenest és az ehhez az egyeneshez tartozó adott M pontot a 87. ábra mutatja.

Rizs. 87

Az a egyenes M pontból kiinduló sugarain egyenlő MA és MB szakaszokat teszünk ki. Ezután megszerkesztünk két AB sugarú A és B középpontú kört. Két pontban metszik egymást: P és Q.

Rajzoljunk egy egyenest az M ponton és ezen pontok egyikén, például az MP egyenesen keresztül (lásd 87. ábra), és bizonyítsuk be, hogy ez a kívánt egyenes, azaz merőleges az adott a egyenesre. .

Valójában, mivel egy PAB egyenlő szárú háromszög PM mediánja egyben a magasság is, akkor PM ⊥ a.

A szegmens közepének építése

Egy feladat

Szerkessze meg ennek a szakasznak a felezőpontját.

Megoldás

Legyen AB az adott szakasz. Készítünk két kört, amelynek A és B középpontja AB sugarú. P és Q pontokban metszik egymást. Rajzoljunk egy PQ egyenest. Ezen egyenes és az AB szakasz metszéspontjának O pontja az AB szakasz kívánt felezőpontja.

Valóban, az APQ és BPQ háromszögek három oldala egyenlő, tehát ∠1 = ∠2 (89. ábra).

Rizs. 89

Következésképpen az RO szakasz az ARV egyenlő szárú háromszög felezőpontja, tehát a medián, vagyis az O pont az AB szakasz felezőpontja.

Feladatok

143. A 90. ábrán látható szakaszok közül melyek: a) egy kör húrjai; b) a kör átmérői; c) a kör sugarai?

Rizs. 90

144. Az AB és CD szakaszok egy kör átmérői. Bizonyítsuk be, hogy: a) a BD és AC akkordok egyenlőek; b) AD és BC akkordok egyenlőek; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Az MK szakasz egy O középpontú kör átmérője, MR és RK pedig ennek a körnek egyenlő húrjai. Keresse meg a ∠POM-ot.

146. Az AB és CD szakaszok egy O középpontú kör átmérői. Határozzuk meg az AOD háromszög kerületét, ha ismert, hogy CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Az O középpontú körön az A és B pontokat úgy jelöltük meg, hogy az AOB szög derékszögű legyen. A BC szakasz a kör átmérője. Bizonyítsuk be, hogy az AB és AC akkordok egyenlőek.

148. Egy egyenesen két A és B pont van megadva.A BA gerenda folytatásán tegyük félre a BC szakaszt úgy, hogy BC \u003d 2AB legyen.

149. Adott egy a egyenes, egy azon nem fekvő B pont és egy PQ szakasz. Szerkesszünk egy M pontot az a egyenesen úgy, hogy BM = PQ. A problémának mindig van megoldása?

150. Adott egy kör, egy azon nem fekvő A pont és egy PQ szakasz. Szerkesszünk egy M pontot a körön úgy, hogy AM = PQ. A problémának mindig van megoldása?

151. A BAC hegyesszög és az XY sugár adott. Szerkesszük meg az YXZ szöget úgy, hogy ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Az AOB tompaszög adott. Szerkesszük meg az OX sugarat úgy, hogy az XOA és XOB szögek egyenlő tompaszögek legyenek.

153. Adott egy a egyenes és egy nem rajta fekvő M pont. Szerkesszünk egy egyenest, amely átmegy az M ponton és merőleges az a egyenesre.

Megoldás

Szerkesszünk egy kört, amelynek középpontja egy adott M pontban van, két pontban metszve egy adott a egyenest, amit A és B betűkkel jelölünk (91. ábra). Ezután megszerkesztünk két olyan kört, amelyeknek A és B középpontja átmegy az M ponton. Ezek a körök az M pontban és még egy pontban metszik egymást, amit N betűvel jelölünk. Rajzoljuk meg az MN egyenest és bizonyítsuk be, hogy ez a kívánt egyenes egy, azaz merőleges az a egyenesre.

Rizs. 91

Valóban, az AMN és BMN háromszögek három oldala egyenlő, tehát ∠1 = ∠2. Ebből következik, hogy az MC szakasz (C az a és MN egyenesek metszéspontja) az AMB egyenlő szárú háromszög felezőpontja, tehát a magassága. Így MN ⊥ AB, azaz MN ⊥ a.

154. Az ABC háromszög adott. Szerkesszük meg: a) az AK felezőt; b) VM medián; c) a háromszög CH magassága. 155. Iránytű és vonalzó segítségével állítson be egy szöget, amely egyenlő: a) 45°; b) 22°30".

Válaszok a feladatokra

152. Utasítás. Először készítse el az AOB szög felezőjét.

1. § Kör. Alapfogalmak

A matematikában vannak olyan mondatok, amelyek egy adott név vagy kifejezés jelentését magyarázzák. Az ilyen mondatokat definícióknak nevezzük.

Határozzuk meg a kör fogalmát. A kör egy geometriai alakzat, amely egy adott ponttól adott távolságra lévő sík összes pontjából áll.

Ezt a pontot, nevezzük O pontnak, a kör középpontjának nevezzük.

A középpontot a kör bármely pontjával összekötő szakaszt a kör sugarának nevezzük. Sok ilyen szegmens létezik, például OA, OB, OS. Mindegyik egyforma hosszú lesz.

A kör két pontját összekötő szakaszt húrnak nevezzük. MN a kör húrja.

A kör közepén áthaladó húrt átmérőnek nevezzük. AB a kör átmérője. Az átmérő két sugárból áll, ami azt jelenti, hogy az átmérő hossza kétszerese a sugárnak. A kör középpontja bármely átmérő felezőpontja.

A kör bármely két pontja két részre osztja. Ezeket a részeket köríveknek nevezzük.

Az ANB és az AMB körívek.

A sík kör által határolt részét körnek nevezzük.

Az iránytű egy kör rajzon való ábrázolására szolgál. A kör a talajra is megrajzolható. Ehhez csak használja a kötelet. Rögzítsd a kötél egyik végét egy földbe szúrt csaphoz, és írj le egy kört a másik végével.

2. § Konstrukciók körzővel és vonalzóval

A geometriában sok konstrukció elvégezhető csak egy iránytű és egy vonalzó segítségével léptékosztás nélkül.

Csak egy vonalzó segítségével tetszőleges vonalat húzhatunk, valamint egy adott ponton átmenő tetszőleges egyenest vagy két adott ponton átmenő egyenest.

Az iránytű lehetővé teszi, hogy tetszőleges sugarú kört rajzoljon, egy olyan kört is, amelynek középpontja egy adott pontban van, és egy adott szakasz sugara megegyezik.

Ezen eszközök mindegyike külön-külön is lehetővé teszi a legegyszerűbb konstrukciók elkészítését, de e két eszköz segítségével már bonyolultabb műveletek is elvégezhetők, pl.

megoldani az építési problémákat, mint pl

Szerkesszünk egy adott szöget,

Szerkesszünk háromszöget adott oldalakkal,

Osszuk ketté a szakaszt

Egy adott ponton keresztül húzzon egy egyenest az adott egyenesre merőlegesen, és így tovább.

Tekintsük a problémát.

Feladat: Egy adott sugáron az elejétől fogva tegyünk félre egy az adott sugárral megegyező szakaszt.

Adott egy sugár OS és egy AB szegmens. Meg kell alkotni egy OD szakaszt, amely megegyezik az AB szegmenssel.

Iránytű segítségével megszerkesztjük az AB szakasz hosszával megegyező sugarú kört, amelynek középpontja az O pontban van. Ez a kör egy D pontban metszi az adott OS sugarat. Az OD szakasz a kívánt szakasz.

A felhasznált irodalom listája:

1. Geometria. 7-9. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre szervezetek / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev és mások - M .: Oktatás, 2013. - 383 p.: ill.
2. Gavrilova N.F. Pourochnye fejlesztés a geometriában 7. évfolyam. - M.: "WAKO", 2004. - 288s. - (Az iskolai tanár segítségére).
3. Belitskaya O.V. Geometria. 7. osztály. 1. rész. Tesztek. - Szaratov: Líceum, 2014. - 64 p.

A faalkatrészek gyártása vagy feldolgozása során bizonyos esetekben meg kell határozni, hol található a geometriai középpontjuk. Ha az alkatrész négyzet vagy téglalap alakú, akkor ezt nem nehéz megtenni. Elegendő az ellentétes sarkokat átlókkal összekötni, amelyek ugyanakkor pontosan metszik egymást az ábránk közepén.
Azoknál a termékeknél, amelyek kör alakúak, ez a megoldás nem fog működni, mert nincs sarkuk, és ezért átlójuk. Ebben az esetben más, más elveken alapuló megközelítésre van szükség.

És léteznek, és sokféle változatban. Némelyikük meglehetősen összetett és több eszközt igényel, mások könnyen megvalósíthatók, és nem igényelnek teljes eszközkészletet a megvalósításhoz.
Most megnézzük az egyik legegyszerűbb módszert a kör középpontjának megtalálására egy normál vonalzóval és ceruzával.

A kör középpontjának megtalálásának sorrendje: