Sík- és gömbhullámok egyenletei. A síkban haladó hullám egyenlete Síkhullámot jellemző részlet

Közegben hullám formájában terjedő rezgési folyamat, melynek eleje az repülőgép, hívott sík hanghullám. A gyakorlatban síkhullámot képezhet olyan forrás, amelynek lineáris méretei nagyok az általa kibocsátott hosszú hullámhosszhoz képest, és ha a hullámtér zóna kellően nagy távolságra van tőle. De ez a helyzet kötetlen környezetben. Ha a forrás bekerített bármilyen akadály, akkor a síkhullám klasszikus példája a merev, hajlíthatatlan dugattyúval gerjesztett oszcillációk merev falú, hosszú csőben (hullámvezetőben), ha a dugattyú átmérője lényegesen kisebb, mint a kibocsátott hullámok hossza. A merev falak miatt a csőben az elülső felület nem változik, ahogy a hullám a hullámvezető mentén terjed (lásd 3.3. ábra). Elhanyagoljuk a hangenergia-veszteségeket a levegőben történő elnyelés és disszipáció miatt.

Ha az emitter (dugattyú) a harmonikus törvény szerint olyan frekvenciával rezeg
, és a dugattyú méretei (hullámvezető átmérője) lényegesen kisebbek, mint a hanghullámhossz, akkor a felület közelében keletkező nyomás
. Nyilván távolról x lesz a nyomás
, Ahol
– a hullám utazási ideje az emittertől a pontig. Kényelmesebb ezt a kifejezést így írni:
, Ahol
- hullámterjedés hullámszáma. Munka
- az oszcillációs folyamat meghatározott fáziseltolódása egy távolsággal eltávolított pontban x az emittertől.

A kapott kifejezést behelyettesítve a (3.1) mozgásegyenletbe, az utóbbit integráljuk az oszcillációs sebességre vonatkozóan:

(3.8)

Általában egy tetszőleges pillanatban kiderül, hogy:

. (3.9)

A kifejezés jobb oldala (3.9) a közeg karakterisztikus, hullám- vagy fajlagos akusztikus ellenállása (impedancia). Magát a (3.) egyenletet néha az akusztikus „Ohm törvényének” is nevezik. A megoldásból következik, hogy a kapott egyenlet síkhullám mezőjében érvényes. Nyomás és rezgési sebesség fázisban, ami a közeg pusztán aktív ellenállásának a következménye.

Példa: Maximális nyomás síkhullámban
Pa. Határozza meg a levegőrészecskék elmozdulásának amplitúdóját frekvencia alapján?

Megoldás: Azóta, akkor:

A (3.10) kifejezésből az következik, hogy a hanghullámok amplitúdója nagyon kicsi, legalábbis maguknak a hangforrásoknak a méretéhez képest.

A hangteret a skaláris potenciál, a nyomás és a rezgési sebesség mellett energiajellemzők is jellemzik, amelyek közül a legfontosabb az intenzitás - a hullám által egységnyi idő alatt átvitt energiaáram-sűrűség vektora. A-priory
- a hangnyomás és a rezgési sebesség szorzatának eredménye.

A közegben bekövetkező veszteségek hiányában a síkhullám elméletileg csillapítás nélkül terjedhet tetszőlegesen nagy távolságokon, mert a lapos elülső forma megőrzése a hullám „divergenciájának” hiányát, és ennek következtében a csillapítás hiányát jelzi. Más a helyzet, ha a hullámnak ívelt frontja van. Az ilyen hullámok közé tartoznak mindenekelőtt a gömb alakú és hengeres hullámok.

3.1.3. Hullámmodellek nem sík fronttal

Egy gömbhullám esetében az egyenlő fázisok felülete egy gömb. Az ilyen hullám forrása is egy gömb, amelynek minden pontja azonos amplitúdóval és fázissal oszcillál, a középpontja pedig mozdulatlan marad (lásd 3.4. ábra, a).

A gömbhullámot egy függvény ír le, amely a hullámegyenlet megoldása gömbkoordináta-rendszerben a forrásból terjedő hullám potenciáljára:

. (3.11)

A síkhullám analógiáján dolgozva kimutatható, hogy a hangforrástól való távolságban a vizsgált hullámok hossza lényegesen nagyobb:
. Ez azt jelenti, hogy az akusztikus „Ohm törvénye” ebben az esetben is igaz. Gyakorlati körülmények között a gömbhullámokat főként tetszőleges alakú kompakt források gerjesztik, amelyek mérete lényegesen kisebb, mint a gerjesztett hang vagy ultrahanghullámok hossza. Más szavakkal, a „pont” forrás túlnyomórészt gömbhullámokat bocsát ki. A forrástól nagy távolságra, vagy ahogy mondják, a „távoli” zónában a gömbhullám a hullámfront korlátozott méretű szakaszaihoz viszonyítva síkhullámként viselkedik, vagy ahogy mondják: „degenerálódik síkhullámba.” A kis területre vonatkozó követelményeket nemcsak a gyakoriság határozza meg, hanem
- az összehasonlított pontok közötti távolságok különbsége. Vegye figyelembe, hogy ez a funkció
van egy funkciója:
nál nél
. Ez bizonyos nehézségeket okoz a hangsugárzással és -szórással kapcsolatos diffrakciós problémák szigorú megoldásában.

A hengeres hullámokat (a hullámfront felülete egy henger) pedig egy végtelenül hosszú pulzáló henger bocsát ki (lásd 3.4. ábra).

A távoli zónában egy ilyen forrás potenciális funkciójának kifejezése aszimptotikusan a következő kifejezésre hajlik:


. (3.12)

Megmutatható, hogy ebben az esetben is fennáll az összefüggés
. Hengeres hullámok, mint a gömb alakúak, a távoli zónában elfajzott síkhullámokba.

A rugalmas hullámok gyengülése a terjedés során nemcsak a hullámfront görbületének megváltozásával (a hullám „divergenciájával”) függ össze, hanem a „csillapítás” jelenlétével is, pl. hang gyengül. Formálisan a csillapítás közegben való jelenléte úgy írható le, hogy a hullámszámot komplexként ábrázoljuk
. Ekkor például egy sík nyomáshullámra megkaphatjuk: R(x, t) = P Max
=
.

Látható, hogy a komplex hullámszám valós része a térben haladó hullámot, a képzeletbeli rész pedig a hullám amplitúdóbeli csillapítását írja le. Ezért a  értéket csillapítási (csillapítási) együtthatónak,  dimenziós értéknek (Neper/m) nevezzük. Egy „Naper” a hullámamplitúdó „e”-szeres változásának felel meg, amikor a hullámfront egységnyi hosszonként mozog. Általános esetben a csillapítást a közegben való abszorpció és szórás határozza meg:  =  abszorpció +  diss. Ezeket a hatásokat különböző okok határozzák meg, és külön-külön is figyelembe vehetők.

Általánosságban elmondható, hogy az abszorpció visszafordíthatatlan hangenergia-veszteséggel jár, amikor az hővé alakul.

A szóródás a beeső hullám energiájának egy részének más, a beeső hullámmal nem egybeeső irányokba való átirányításával jár.

Ennek a függvénynek mind az idő, mind a koordináták tekintetében periodikusnak kell lennie (a hullám terjedő oszcilláció, tehát periodikusan ismétlődő mozgás). Ráadásul az egymástól l távolságra elhelyezkedő pontok ugyanúgy rezegnek.

Síkhullám egyenlet

Keressük meg az x függvény alakját síkhullám esetén, feltételezve, hogy a rezgések harmonikus jellegűek.

Irányítsuk a koordinátatengelyeket úgy, hogy a tengely x egybeesett a hullámterjedés irányával. Ekkor a hullámfelület merőleges lesz a tengelyre x. Mivel a hullámfelület minden pontja egyformán oszcillál, az x elmozdulás csak attól függ xÉs t: . Legyen a síkban elhelyezkedő pontok oszcillációja a következő formában: (a kezdeti fázisban)

Keressük meg a részecskék rezgésének típusát egy tetszőleges értéknek megfelelő síkban x. Menni az úton x, időbe telik.

Ennélfogva, részecskék rezgései egy síkbanxidőben le fog maradnita részecskék síkbeli rezgéseitől, azaz

,

(5.2.3)

- Ezt síkhullám egyenlet.

Szóval x Van Elfogultság a koordinátával rendelkező pontok bármelyikexegy adott időpontbant. A levezetésben azt feltételeztük, hogy az oszcilláció amplitúdója . Ez akkor történik meg, ha a hullám energiáját nem nyeli el a közeg.

Az (5.2.3) egyenletnek ugyanaz lesz a formája, ha a rezgések a tengely mentén terjednek y vagy z.

Általában síkhullám egyenletígy van írva:

Az (5.2.3) és (5.2.4) kifejezések a következők haladó hullám egyenletek .

Az (5.2.3) egyenlet a növekedés irányában terjedő hullámot ír le x. Az ellenkező irányba terjedő hullám alakja:

.

A hullámegyenlet más formában is felírható.

Bemutatjuk hullámszám , vagy vektoros formában:

ahol a hullámvektor és a hullámfelület normálja.

Azóta . Innen. Akkor síkhullám egyenlet így lesz írva:

.

(5.2.6)

Gömbhullám egyenlet

Egy térbeli koordinátától függő hullámok

Élénkség

Leírás

Síkhullámban a közeg minden, a hullám terjedési irányára merőleges síkban fekvő pontja minden időpillanatban a közeg részecskéinek azonos elmozdulásának és sebességének felel meg. Így minden síkhullámot jellemző mennyiség az idő függvénye, és csak egy koordináta, például x, ha az Ox tengely egybeesik a hullám terjedésének irányával.

A hosszanti síkhullám hullámegyenlete a következő:

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 . (1)

Általános megoldását a következőképpen fejezzük ki:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x), (2)

ahol j potenciál vagy más, a közeg hullámmozgását jellemző mennyiség (elmozdulás, elmozdulási sebesség stb.);

c a hullámterjedés sebessége;

f 1 és f 2 tetszőleges függvények, ahol az első tag (2) egy síkhullámot ír le, amely az Ox tengely pozitív irányában, a második pedig az ellenkező irányban terjed.

Hullámfelületek vagy pontok geometriai elhelyezkedése a közegben, ahol egy adott időpillanatban a hullámfázis azonos értékű, a PV-k esetében párhuzamos síkok rendszerét képviselik (1. ábra).

Síkhullám hullámfelületei

Rizs. 1

Homogén izotróp közegben a síkhullám hullámfelületei merőlegesek a hullámterjedés irányára (az energiaátvitel irányára), az úgynevezett sugár.

Időzítési jellemzők

Indítási idő (log -10-től 1-ig);

Élettartam (log tc -10 és 3 között);

Lebomlási idő (log td -10-től 1-ig);

Az optimális fejlődés ideje (log tk -3-tól 1-ig).

Diagram:

A hatás technikai megvalósításai

A hatás technikai megvalósítása

Szigorúan véve egyetlen valódi hullám sem síkhullám, mert Az x tengely mentén terjedő síkhullámnak le kell fednie a tér teljes tartományát az y és z koordináták mentén -Ґ és +Ґ között. Sok esetben azonban meg lehet jelölni a hullámnak egy y-ban, z-ben korlátozott szakaszát, ahol gyakorlatilag egy síkhullámmal esik egybe. Először is, ez lehetséges homogén izotróp közegben, kellően nagy R távolságra a forrástól. Így egy harmonikus síkhullámnál a fázis a sík minden, a terjedésének irányára merőleges pontjában azonos. Kimutatható, hogy bármely harmonikus hullám síkhullámnak tekinthető egy r szélességű szakaszon<< (2R l )1/2 .

Hatás alkalmazása

Egyes hullámtechnológiák a leghatékonyabbak a síkhullámok közelítésében. Különösen kimutatható, hogy a réteggeológiai struktúrák által képviselt olaj- és gázképződményekre gyakorolt ​​szeizmoakusztikai hatások során (az olaj- és gázkitermelés fokozása érdekében) a réteghatárokról visszaverődő direkt és sík hullámfrontok kölcsönhatása a réteghatárról visszaverődő hullámfrontok kölcsönhatásának kialakulásához vezet. állóhullámok, amelyek beindítják a szénhidrogén folyadékok fokozatos mozgását és koncentrációját az állóhullám antinódusainál (lásd az FE „Állóhullámok” leírását).

TÁNYÉRHULLÁM

TÁNYÉRHULLÁM

Olyan hullám, amelynek terjedési iránya a tér minden pontjában azonos. A legegyszerűbb példa egy homogén monokromatikus. csillapítatlan P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

ahol A az amplitúdó, j= wt±kz - , w=2p/T - körfrekvencia, T - oszcillációs periódus, k - . Állandó fázisfelületek (fázisfrontok) j=állandó P.v. repülőgépek.

Diszperzió hiányában, amikor a vph és a vgr azonos és állandó (vgr = vph = v), vannak stacionárius (azaz egészben mozgó) futó lineáris mozgások, amelyek lehetővé teszik a forma általános ábrázolását:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

ahol f tetszőleges függvény. A diszperziós nemlineáris közegekben stacionárius futó PV-k is lehetségesek. típus (2), de alakjuk már nem önkényes, hanem a rendszer paramétereitől és a mozgás jellegétől is függ. Abszorbeáló (disszipatív) közegben P. v. terjedésük során csökkentse amplitúdójukat; lineáris csillapítás esetén ez figyelembe vehető, ha az (1)-ben k-t a kd ± ikм komplex hullámszámra cseréljük, ahol km az együttható. csillapítása P. v.

Egy homogén PV, amely a teljes végtelent elfoglalja, idealizálás, de bármely véges tartományban koncentrált hullám (például átviteli vonalak vagy hullámvezetők által irányítva) ábrázolható a PV szuperpozíciójaként. egyik vagy másik szóközzel. spektrum k. Ebben az esetben a hullámnak lehet még lapos fázisfrontja, de nem egyenletes amplitúdója. Ilyen P. v. hívott síkbeli inhomogén hullámok. Egyes területek gömb alakúak. és hengeres a fázisfront görbületi sugarához képest kicsi hullámok körülbelül fázishullámként viselkednek.

Fizikai enciklopédikus szótár. - M.: Szovjet enciklopédia. . 1983 .

TÁNYÉRHULLÁM

- hullám, a terjedés iránya a tér minden pontjában azonos.

Ahol A - amplitúdó, - fázis, - körfrekvencia, T - oszcilláció periódusa k- hullámszám. = const P.v. repülőgépek.
Diszperzió hiányában, amikor a fázissebesség v f és csoport v gr azonos és állandó ( v gr = v f = v) vannak álló (azaz egészben mozgó) P-k. c., amely általános formában ábrázolható

Ahol f- tetszőleges funkció. A diszperziós nemlineáris közegekben stacionárius futó PV-k is lehetségesek. típus (2), de alakjuk már nem tetszőleges, hanem a rendszer paramétereitől és a hullámmozgás jellegétől is függ. Elnyelő (disszipatív) közegben P. k a komplex hullámszámon k d ik m, hol k m - együttható csillapítása P. v. A teljes végtelent elfoglaló homogén hullámtér idealizáció, de bármely véges tartományban koncentrált hullámtér (például irányított távvezetékek vagy hullámvezetők), P szuperpozícióként ábrázolható. V. egyik vagy másik térspektrummal k. Ebben az esetben a hullám még mindig lapos fázisfronttal rendelkezhet, nem egyenletes amplitúdó-eloszlással. Ilyen P. v. hívott síkbeli inhomogén hullámok. Adósság. területek gömb alakú vagy hengeres a fázisfront görbületi sugarához képest kicsi hullámok hozzávetőleg úgy viselkednek, mint a PT.

Megvilágított. lásd a művészet alatt. Hullámok.

M. A. Miller, L. A. Osztrovszkij.

Fizikai enciklopédia. 5 kötetben. - M.: Szovjet enciklopédia. A. M. Prokhorov főszerkesztő. 1988 .

: ilyen hullám a természetben nem létezik, mivel a síkhullám eleje órakor kezdődik $-\backslash mathcal(1)$és órakor ér véget $+\backslash mathcal(1)$, ami nyilvánvalóan nem lehet. Ezenkívül egy síkhullám végtelen erőt hordozna, és végtelen energiára lenne szükség egy síkhullám létrehozásához. Egy összetett (valós) fronttal rendelkező hullám síkhullámok spektrumaként ábrázolható a térbeli változókban lévő Fourier-transzformáció segítségével.

Kvázi sík hullám- olyan hullám, amelynek frontja közel lapos egy korlátozott területen. Ha a tartomány méretei elég nagyok a vizsgált problémához, akkor a kvázi síkhullám megközelítőleg síknak tekinthető. Egy komplex fronttal rendelkező hullámot lokális kvázi síkhullámok halmazával lehet közelíteni, amelyek fázissebességvektorai minden pontjában normálisak a valós frontra. A kvázi sík elektromágneses hullámok forrásai például a lézer-, tükör- és lencseantennák: az elektromágneses tér fázisának eloszlása ​​az apertúrával (kibocsátó lyukkal) párhuzamos síkban közel egyenletes. Ahogy távolodik a nyílástól, a hullámfront összetett alakot vesz fel.

Meghatározás

Bármely hullám egyenlete megoldása az úgynevezett differenciálegyenletre hullám. A függvény hullámegyenlete $A$ formában van írva

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Ahol

• $\backslash Delta$- Laplace operátor;
• $A(\backslash vec(r),t)$- a szükséges funkció;
• $r$- a kívánt pont sugárvektora;
• $v$- hullámsebesség;
• $t$- idő.

Egydimenziós tok

A teljes energia az

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Az energiasűrűség ennek megfelelően egyenlő

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; t)\; \backslash right)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash jobb)\; .$

Polarizáció

Írjon véleményt a "Sík hullám" cikkről

Irodalom

• Saveljev I.V.[2. rész. Hullámok. Rugalmas hullámok.] // Általános fizika tanfolyam / Szerk.: Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - 3. kiadás. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220 000 példány.

Megjegyzések

Lásd még

Egy síkhullámot jellemző részlet

A téren, ahová az uralkodó ment, jobb oldalon egy Preobrazsenszkij-katonák zászlóalja állt szemtől szemben, a bal oldalon pedig a francia gárda medvebőr sapkás zászlóalja.
Miközben az uralkodó az őrszolgálatot teljesítő zászlóaljak egyik oldalához közeledett, egy másik lovas tömeg felugrott a szemközti szárnyra, és előttük Rosztov felismerte Napóleont. Nem lehetett senki más. Vágtában lovagolt kis kalapban, vállán Szent András szalaggal, fehér büfé fölött nyitott kék egyenruhában, szokatlanul telivér arabszürke lovon, karmazsinvörös, arany hímzésű nyeregruhán. Sándorhoz közeledve megemelte kalapját, és ezzel a mozdulattal Rosztov lovassági szeme nem tudta nem észrevenni, hogy Napóleon rosszul és nem szilárdan ül a lován. A zászlóaljak azt kiabálták: Hurray és Vive l "Császár! [Éljen a császár!] Napóleon mondott valamit Sándornak. Mindkét császár leszállt a lováról, és megfogták egymás kezét. Napóleon arcán kellemetlen színlelt mosoly jelent meg. Sándor mondott valamit őt szeretetteljes arckifejezéssel .
Rosztov anélkül, hogy levette volna a szemét, a tömeget ostromló francia csendőrök lovainak taposása ellenére követte Sándor császár és Bonaparte minden mozdulatát. Meglepett, hogy Sándor egyenrangúként viselkedett Bonaparte-tal, és Bonaparte teljesen szabad volt, mintha ez az uralkodóval való közelség természetes és ismerős volna számára, egyenlő félként kezelte az orosz cárt.
Sándor és Napóleon kíséretük hosszú farkával a Preobrazsenszkij zászlóalj jobb szárnyához közeledtek, közvetlenül az ott álló tömeg felé. A tömeg hirtelen olyan közel találta magát a császárokhoz, hogy az első sorokban álló Rosztov félt, hogy felismerik.
"Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Uram, engedélyt kérek arra, hogy a Becsületrendet a legbátrabb katonáinak adhassam - mondta egy éles hangon: precíz hang, minden betű befejezése Az alacsony Bonaparte beszélt, aki alulról egyenesen Alexander szemébe nézett.Alexander figyelmesen hallgatta, mit mondanak neki, és kedvesen mosolyogva lehajtotta a fejét.
"A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Annak, aki a legbátrabbnak mutatkozott a háború alatt]" - tette hozzá Napóleon, minden szótagot hangsúlyozva, nyugodtan és magabiztosan, ami Rosztov számára felháborító, körbenézve a sorok között. Az oroszok előtt katonák feszítettek, mindent őrködve és mozdulatlanul a császár arcába néznek.
"Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Felség megengedi, hogy kikérjem az ezredes véleményét?] - mondta Sándor, és több sietős lépést tett Kozlovszkij herceg, a zászlóalj parancsnoka felé. Közben Bonaparte elkezdett tenni levette fehér kesztyűjét, kis kezét, és széttépve bedobta. Az adjutáns, aki sietve rohant előre hátulról, felkapta.
- Kinek adjam oda? – kérdezte nem hangosan, oroszul Sándor császár Kozlovszkijt.
- Kinek rendel, felség? – A császár összerándult a elégedetlenségtől, és körülnézett, és így szólt:
- De válaszolnod kell neki.
Kozlovszkij határozott pillantással nézett vissza a sorokra, és ebben a pillantásban Rosztovot is megragadta.
– Nem én vagyok az? gondolta Rosztov.
- Lazarev! – parancsolta az ezredes összevont szemöldökkel; és az elsőrangú katona, Lazarev okosan előrelépett.
-Hová mész? Állj meg itt! - suttogták a hangok Lazarevnek, aki nem tudta, hová menjen. Lazarev megállt, ijedten nézett oldalt az ezredesre, és az arca remegett, mint a frontra hívott katonáknál.
Napóleon kissé hátrafordította a fejét, és hátrahúzta kis pufók kezét, mintha el akarna venni valamit. Kíséretei, akik abban a pillanatban sejtették, mi történik, nyüzsögni, suttogni kezdett, valamit átadva egymásnak, és az oldal, ugyanaz, amelyet Rosztov tegnap Borisznál látott, előreszaladt és tiszteletteljesen lehajolt. a kinyújtott kezét, és egy másodpercet sem váratott magára, piros szalagon parancsot tett bele. Napóleon anélkül, hogy nézett volna, összeszorította két ujját. A Rend köztük találta magát. Napóleon Lazarevhez lépett, aki szemeit forgatva makacsul továbbra is csak uralkodóját nézte, és visszanézett Sándor császárra, ezzel is megmutatva, hogy amit most tesz, azt szövetségeséért teszi. Egy kis fehér kéz parancsot adott Lazarev katona gombjához. Mintha Napóleon tudta volna, hogy ahhoz, hogy ez a katona örökké boldog, jutalmazott és mindenki mástól kitűnjön a világon, csak ő, Napóleon keze kell megérinteni a katona mellkasát. Napóleon éppen Lazarev mellére tette a keresztet, és elengedve a kezét, Sándorhoz fordult, mintha tudná, hogy a keresztnek Lazarev mellkasához kell tapadnia. A kereszt nagyon megragadt.