Matematikai modellek készítése. Matematikai modell a gyakorlatban Milyen típusú matematikai modellek alkalmaznak algoritmusokat

Matematikai modellezés

1. Mi a matematikai modellezés?

A 20. század közepétől. A matematikai módszereket és a számítógépeket széles körben alkalmazták az emberi tevékenység különböző területein. Új tudományágak jelentek meg, mint például a „matematikai közgazdaságtan”, „matematikai kémia”, „matematikai nyelvészet” stb., amelyek a releváns objektumok és jelenségek matematikai modelljeit, valamint e modellek tanulmányozásának módszereit tanulmányozzák.

A matematikai modell a való világ bármely jelenségcsoportjának vagy tárgyának hozzávetőleges leírása a matematika nyelvén. A modellezés fő célja ezen objektumok feltárása és a jövőbeli megfigyelések eredményeinek előrejelzése. A modellezés azonban a körülöttünk lévő világ megértésének módszere is, amely lehetővé teszi annak irányítását.

A matematikai modellezés és a hozzá kapcsolódó számítógépes kísérlet nélkülözhetetlen azokban az esetekben, amikor a teljes körű kísérlet elvégzése ilyen vagy olyan okból lehetetlen vagy nehéz. Lehetetlen például egy természeti kísérletet felállítani a történelemben annak ellenőrzésére, hogy „mi lett volna, ha...” Lehetetlen ellenőrizni egyik vagy másik kozmológiai elmélet helyességét. Lehetséges, de nem valószínű, hogy ésszerű, kísérletezni egy betegség, például a pestis terjedésével, vagy atomrobbanást hajtani végre annak következményeinek tanulmányozására. Mindez azonban számítógépen is megtehető, ha először matematikai modelleket készítünk a vizsgált jelenségekről.

2. A matematikai modellezés főbb szakaszai

1) Modellépítés. Ebben a szakaszban bizonyos „nem matematikai” objektumokat határoznak meg - természeti jelenséget, tervezést, gazdasági tervet, gyártási folyamatot stb. Ebben az esetben általában nehéz a helyzet egyértelmű leírása. Először a jelenség főbb jellemzőit és a köztük lévő kapcsolatokat minőségi szinten azonosítjuk. Ezután a talált minőségi függőségek a matematika nyelvén megfogalmazódnak, azaz matematikai modellt építenek. Ez a modellezés legnehezebb szakasza.

2) A matematikai probléma megoldása, amelyhez a modell elvezet. Ebben a szakaszban nagy figyelmet fordítanak a probléma számítógépen történő megoldására szolgáló algoritmusok és numerikus módszerek kidolgozására, amelyek segítségével az eredmény a kívánt pontossággal és elfogadható időn belül megtalálható.

3) A kapott konzekvenciák értelmezése a matematikai modellből. A modellből a matematika nyelvén levezetett következményeket a szakterületen elfogadott nyelven értelmezzük.

4) A modell megfelelőségének ellenőrzése. Ebben a szakaszban azt határozzuk meg, hogy a kísérleti eredmények egy bizonyos pontosságon belül megegyeznek-e a modell elméleti következményeivel.

5) A modell módosítása. Ebben a szakaszban vagy bonyolultabbá teszik a modellt, hogy jobban megfeleljen a valóságnak, vagy leegyszerűsítik a gyakorlatban elfogadható megoldás érdekében.

3. A modellek osztályozása

A modellek különböző szempontok szerint osztályozhatók. Például a megoldandó problémák jellege szerint a modellek funkcionális és strukturális típusokra oszthatók. Az első esetben a jelenséget vagy tárgyat jellemző összes mennyiséget mennyiségileg fejezzük ki. Sőt, néhányat független változónak, míg másokat e mennyiségek függvényének tekintünk. A matematikai modell általában különböző típusú (differenciális, algebrai stb.) egyenletrendszer, amely mennyiségi összefüggéseket hoz létre a vizsgált mennyiségek között. A második esetben a modell egy összetett objektum szerkezetét jellemzi, amely egyedi részekből áll, amelyek között bizonyos kapcsolatok vannak. Általában ezek a kapcsolatok nem számszerűsíthetők. Az ilyen modellek megalkotásához kényelmes a gráfelmélet alkalmazása. A gráf egy matematikai objektum, amely síkon vagy térben pontok (csúcsok) halmazát ábrázolja, amelyek közül néhányat vonalak (élek) kötnek össze.

A kiinduló adatok és eredmények jellege alapján az előrejelzési modellek determinisztikus és valószínűségi-statisztikai modellekre oszthatók. Az első típusú modellek biztos, egyértelmű előrejelzéseket adnak. A második típusú modellek statisztikai információkon alapulnak, a segítségükkel kapott előrejelzések valószínűségi jellegűek.

4. Példák matematikai modellekre

1) A lövedék mozgásával kapcsolatos problémák.

Tekintsük a következő mechanikai problémát.

A lövedéket v 0 = 30 m/s kezdeti sebességgel indítják el a Földről a felszínéhez képest a = 45°-os szögben; meg kell találni a mozgásának pályáját és a pálya kezdő- és végpontja közötti S távolságot.

Ekkor, amint az egy iskolai fizikatanfolyamból ismeretes, a lövedék mozgását a következő képletek írják le:

ahol t az idő, g = 10 m/s 2 a nehézségi gyorsulás. Ezek a képletek a probléma matematikai modelljét adják. Az első egyenletből t-t x-ig kifejezve és a másodikba behelyettesítve megkapjuk a lövedék röppályájának egyenletét:

Ez a görbe (parabola) két pontban metszi az x tengelyt: x 1 = 0 (a pálya kezdete) és (a lövedék leesésének helye). A v0 és a megadott értékeit behelyettesítve a kapott képletbe, megkapjuk

válasz: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Vegye figyelembe, hogy ennek a modellnek a megalkotásakor számos feltételezést használtak: például azt feltételezik, hogy a Föld lapos, és a levegő és a Föld forgása nem befolyásolja a lövedék mozgását.

2) A legkisebb felületű tartállyal kapcsolatos probléma.

Meg kell találni egy V = 30 m 3 térfogatú, zárt körhenger alakú bádogtartály h 0 magasságát és r 0 sugarát, amelynél az S felülete minimális (ebben az esetben a legkisebb). mennyiségben ónt használnak fel a gyártásához).

Írjuk fel a következő képleteket egy h magasságú és r sugarú henger térfogatára és felületére:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ha az első képletből h-t r-n és V-n keresztül fejezzük ki, és a kapott kifejezést behelyettesítjük a másodikba, a következőt kapjuk:

Így matematikai szempontból a probléma az r értékének meghatározása, amelynél az S(r) függvény eléri a minimumát. Keressük meg azokat az r 0 értékeit, amelyekre a derivált

nullára megy: Ellenőrizheti, hogy az S(r) függvény második deriváltja mínuszról pluszra változtatja-e az előjelet, amikor az r argumentum áthalad az r 0 ponton. Következésképpen az r0 pontban az S(r) függvénynek van minimuma. A megfelelő érték h 0 = 2r 0. A megadott V értéket behelyettesítve r 0 és h 0 kifejezésbe, megkapjuk a kívánt sugarat és magasság

3) Szállítási probléma.

A városban két lisztraktár és két pékség található. Naponta 50 tonna lisztet szállítanak az első raktárból, a másodikból 70 tonnát a gyárakba, ebből 40 tonnát az elsőbe, 80 tonnát a másodikba.

Jelöljük azzal a ij 1 tonna liszt i-edik raktárból a j-edik üzembe szállításának költsége (i, j = 1,2). Hadd

a 11 = 1,2 rubel, a 12 = 1,6 rubel, a 21 = 0,8 dörzsölje, a 22 = 1 dörzsölje.

Hogyan kell megtervezni a szállítást, hogy annak költsége minimális legyen?

Adjunk matematikai megfogalmazást a feladatnak. Jelöljük x 1-gyel és x 2-vel azt a lisztmennyiséget, amelyet az első raktárból az első és a második gyárba kell szállítani, x 3-mal és x 4-gyel pedig a második raktárból az első, illetve a második gyárba. Akkor:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Az összes szállítás teljes költségét a képlet határozza meg

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x 4.

Matematikai szempontból a feladat az, hogy találjunk négy olyan x 1, x 2, x 3 és x 4 számot, amelyek minden adott feltételt kielégítenek, és megadják az f függvény minimumát. Oldjuk meg az (1) egyenletrendszert xi-re (i = 1, 2, 3, 4) az ismeretlenek kiiktatásával. Ezt értjük

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

és x 4 nem határozható meg egyértelműen. Mivel x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), a (2) egyenletekből az következik, hogy 30Ј x 4 Ј 70. Ha az x 1, x 2, x 3 kifejezést behelyettesítjük az f képletébe, azt kapjuk

f = 148 – 0,2x4.

Könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a minimumát a lehető legnagyobb x 4 értéknél érjük el, azaz x 4 = 70-nél. Az egyéb ismeretlenek megfelelő értékeit a (2) képlet határozza meg: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) A radioaktív bomlás problémája.

Legyen N(0) egy radioaktív anyag kezdeti atomszáma, N(t) pedig a t időpontban el nem bomlott atomok száma. Kísérletileg megállapították, hogy ezen atomok számának változási sebessége N"(t) arányos N(t-vel), azaz N"(t)=–l N(t), l >0 a egy adott anyag radioaktivitási állandója. A matematikai elemzés iskolai kurzusában megmutatjuk, hogy ennek a differenciálegyenletnek a megoldása N(t) = N(0)e –l t. Azt a T időt, amely alatt a kezdeti atomok száma felére csökken, felezési időnek nevezzük, és az anyag radioaktivitásának fontos jellemzője. A T meghatározásához be kell írnunk a képletet Akkor Például radon esetén l = 2,084 · 10 –6, tehát T = 3,15 nap.

5) Az utazó eladó probléma.

Az A 1 városban élő utazó eladónak meg kell látogatnia az A 2 , A 3 és A 4 városokat, mindegyik várost pontosan egyszer, majd vissza kell térnie az A 1-be. Ismeretes, hogy minden várost páronként utak kötnek össze, és az A i és A j városok közötti b ij utak hossza (i, j = 1, 2, 3, 4) a következő:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Meg kell határozni a városok látogatásának sorrendjét, ahol a megfelelő út hossza minimális.

Minden várost ábrázoljunk pontként a síkon, és jelöljük a megfelelő Ai címkével (i = 1, 2, 3, 4). Kössük össze ezeket a pontokat egyenes vonalakkal: a városok közötti utakat ábrázolják. Minden egyes „út” hosszát kilométerben adjuk meg (2. ábra). Az eredmény egy gráf - egy matematikai objektum, amely a síkon egy bizonyos pontkészletből (úgynevezett csúcsokból) és egy bizonyos vonalakból áll, amelyek ezeket a pontokat összekötik (úgynevezett élek). Sőt, ez a gráf címkézett, mivel csúcsaihoz és éleihez bizonyos címkék vannak hozzárendelve - számok (élek) vagy szimbólumok (csúcsok). A gráf ciklusa a V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 csúcsok sorozata úgy, hogy a V 1 , ..., V k csúcsok különbözőek, és bármely V i , V csúcspár i+1 (i = 1, ..., k – 1) és a V 1, V k pár egy éllel van összekötve. Így a vizsgált probléma az, hogy a gráfon olyan ciklust találjunk, amely mind a négy csúcson áthalad, és amelynél az összes élsúlyok összege minimális. Keressük végig az összes különböző ciklust, amelyek négy csúcson haladnak át, és A 1-től kezdve:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Határozzuk meg most ezeknek a ciklusoknak a hosszát (km-ben): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Tehát a legrövidebb hosszúságú útvonal az első.

Vegyük észre, hogy ha egy gráfnak n csúcsa van, és minden csúcs páronként élekkel van összekötve (az ilyen gráfot teljesnek nevezzük), akkor az összes csúcson áthaladó ciklusok száma Ezért esetünkben pontosan három ciklusról van szó.

6) Az anyagok szerkezete és tulajdonságai közötti kapcsolat megtalálásának problémája.

Nézzünk meg néhány kémiai vegyületet, amelyeket normál alkánoknak neveznek. Ezek n szénatomból és n + 2 hidrogénatomból állnak (n = 1, 2 ...), amelyek a 3. ábrán látható módon kapcsolódnak egymáshoz n = 3 esetén. Legyen ismert ezeknek a vegyületeknek a forráspontjának kísérleti értéke:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ezeknél a vegyületeknél közelítő összefüggést kell találni a forráspont és az n szám között. Tegyük fel, hogy ennek a függőségnek megvan a formája

y" a n+b,

Ahol a, b - meghatározandó állandók. Megtalálni aés b behelyettesítjük ebbe a képletbe egymás után n = 3, 4, 5, 6 és a megfelelő forráspontértékeket. Nekünk van:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

A legjobb meghatározásához aés b sokféle módszer létezik. Használjuk ezek közül a legegyszerűbbet. Kifejezzük b-n keresztül a ezekből az egyenletekből:

b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Vegyük ezeknek az értékeknek a számtani középértékét a kívánt b-nek, azaz tegyük b » 16 – 4,5 a. Helyettesítsük be ezt a b értéket az eredeti egyenletrendszerbe, és számoljunk a, kapunk érte a a következő értékek: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Vegyük a szükségesnek a ezeknek a számoknak az átlagértéke, vagyis tegyük fel a" 34. Tehát a szükséges egyenletnek megvan a formája

y » 34n – 139.

Ellenőrizzük a modell pontosságát az eredeti négy vegyületen, amelyek forráspontját a kapott képlet segítségével számítjuk ki:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Így ezekre a vegyületekre a tulajdonság kiszámításának hibája nem haladja meg az 5°-ot. Az így kapott egyenlet segítségével kiszámítjuk az eredeti halmazban nem szereplő n = 7 vegyület forráspontját, amelyre n = 7-et cserélünk ebbe az egyenletbe: y р (7) = 99°. Az eredmény meglehetősen pontos volt: ismert, hogy a forráspont kísérleti értéke y e (7) = 98°.

7) Az elektromos áramkör megbízhatóságának meghatározásának problémája.

Itt egy valószínűségi modell példáját nézzük meg. Először bemutatunk néhány információt a valószínűségszámításból – egy matematikai tudományágból, amely a kísérletek ismételt megismétlése során megfigyelt véletlenszerű jelenségek mintázatait tanulmányozza. Nevezzünk egy A véletlenszerű eseményt valamilyen kísérlet lehetséges kimenetelének. Az A 1, ..., A k események teljes csoportot alkotnak, ha valamelyikük szükségszerűen bekövetkezik a kísérlet eredményeként. Az eseményeket inkompatibilisnek nevezzük, ha nem fordulhatnak elő egyszerre egy élményben. Történjen az A esemény m-szer a kísérlet n-szeres megismétlése során. Az A esemény gyakorisága a W = szám. Nyilvánvaló, hogy W értékét nem lehet pontosan megjósolni, amíg egy sor n kísérletet el nem végeznek. A véletlenszerű események természete azonban olyan, hogy a gyakorlatban néha a következő hatás figyelhető meg: a kísérletek számának növekedésével az érték gyakorlatilag megszűnik véletlenszerű lenni, és valamilyen nem véletlenszerű P(A) szám körül stabilizálódik, amit a valószínűségnek nevezünk. Az esemény A. Lehetetlen eseményre (amely soha nem fordul elő kísérletben) P(A)=0, és megbízható eseményre (ami mindig előfordul a tapasztalatban) P(A)=1. Ha az A 1 , ..., A k események inkompatibilis események teljes csoportját alkotják, akkor P(A 1)+...+P(A k)=1.

Legyen például a kísérlet egy kocka feldobásából és a kigurított X pontok számának megfigyeléséből. Ezután bevezethetjük a következő véletlenszerű eseményeket: A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ezek. inkompatibilis, egyformán valószínű események teljes csoportját alkotják, ezért P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Az A és B események összege az A + B esemény, ami abból áll, hogy ezek közül legalább az egyik megtörténik a tapasztalatban. Az A és B események szorzata az AB esemény, amely ezen események egyidejű bekövetkezéséből áll. Az A és B független eseményekre a következő képletek igazak:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Nézzük most a következőket feladat. Tegyük fel, hogy három elem sorba van kötve egy elektromos áramkörrel, és egymástól függetlenül működik. Az 1., 2. és 3. elem meghibásodási valószínűsége P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Egy áramkört akkor tekintünk megbízhatónak, ha annak a valószínűsége, hogy az áramkörben nem lesz áram, nem nagyobb, mint 0,4. Meg kell határozni, hogy egy adott áramkör megbízható-e.

Mivel az elemek sorba vannak kötve, nem lesz áram az áramkörben (A esemény), ha legalább az egyik elem meghibásodik. Legyen A i az i-edik elem működésének eseménye (i = 1, 2, 3). Ekkor P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Nyilvánvaló, hogy A 1 A 2 A 3 olyan esemény, amelyben mindhárom elem egyszerre működik, és

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,612.

Ekkor P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tehát P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Összegzésképpen megjegyezzük, hogy a matematikai modellek (beleértve a funkcionális és strukturális, determinisztikus és valószínűségi) példáit szemléltető jellegűek, és nyilvánvalóan nem merítik ki a természet- és bölcsészettudományokban felmerülő matematikai modellek sokféleségét.

Mi az a matematikai modell?

A matematikai modell fogalma.

A matematikai modell nagyon egyszerű fogalom. És nagyon fontos. A matematikai modellek kötik össze a matematikát és a valós életet.

Egyszerűen, a matematikai modell bármely helyzet matematikai leírása. Ez minden. A modell lehet primitív vagy rendkívül összetett. Bármi legyen is a helyzet, ilyen a modell.)

Bármelyikben (ismétlem - bármilyen!) abban az esetben, ha számolnia és kiszámítania kell valamit - matematikai modellezéssel foglalkozunk. Még ha nem is gyanítjuk.)

P = 2 CB + 3 CM

Ez a bejegyzés a vásárlásaink költségeinek matematikai modellje lesz. A modell nem veszi figyelembe a csomagolás színét, a lejárati dátumot, a pénztárosok udvariasságát stb. Ezért ő modell, nem valódi vásárlás. De a kiadások, pl. amire szükségünk van- biztosan megtudjuk. Természetesen, ha a modell helyes.

Hasznos elképzelni, mi is az a matematikai modell, de ez nem elég. A legfontosabb, hogy ezeket a modelleket meg lehessen építeni.

A probléma matematikai modelljének elkészítése (konstruálása).

A matematikai modell létrehozása azt jelenti, hogy a probléma feltételeit lefordítjuk matematikai formára. Azok. a szavakat egyenletté, képletté, egyenlőtlenséggé stb. Sőt, alakítsd át úgy, hogy ez a matematika szigorúan megfeleljen a forrásszövegnek. Ellenkező esetben egy másik, számunkra ismeretlen probléma matematikai modelljét kapjuk.)

Pontosabban kell

Végtelen számú feladat van a világon. Ezért kínáljon világos, lépésről lépésre szóló utasításokat a matematikai modell elkészítéséhez Bármi a feladatok lehetetlenek.

De van három fő pont, amire figyelni kell.

1. Furcsa módon minden probléma szöveget tartalmaz.) Ez a szöveg általában tartalmaz egyértelmű, nyílt információ. Számok, értékek stb.

2. Bármilyen probléma van rejtett információ. Ez egy olyan szöveg, amely további ismereteket feltételez a fejedben. Nélkülük nem megy. Ráadásul a matematikai információk gyakran egyszerű szavak mögé rejtőznek, és... elsiklik a figyelem mellett.

3. Bármilyen feladatot meg kell adni az adatok összekapcsolása egymással. Ez a kapcsolat megadható egyszerű szövegben (valami egyenlő valamivel), vagy elrejthető egyszerű szavak mögé. De az egyszerű és világos tényeket gyakran figyelmen kívül hagyják. A modell pedig semmilyen módon nincs összeállítva.

Mindjárt leszögezem: e három pont érvényesítéséhez többször (és figyelmesen!) el kell olvasni a problémát. A szokásos dolog.

És most - példák.

Kezdjük egy egyszerű problémával:

Petrovich visszatért a horgászatból, és büszkén mutatta be fogását a családnak. Közelebbről megvizsgálva kiderült, hogy 8 hal az északi tengerekből származik, az összes hal 20%-a a déli tengerekből, és egyetlen egy sem a helyi folyóból, ahol Petrovich horgászott. Hány halat vásárolt Petrovich a Seafood boltban?

Mindezeket a szavakat valamilyen egyenletté kell alakítani. Ehhez ismétlem, hozzon létre matematikai kapcsolatot a feladatban szereplő összes adat között.

Hol kezdjem? Először is vegyük ki a feladatból az összes adatot. Kezdjük sorrendben:

Figyeljünk az első pontra.

Melyik van itt? kifejezett matematikai információ? 8 hal és 20%. Nem sok, de nem is kell sok.)

Figyeljünk a második pontra.

Keres rejtett információ. Itt van. Ezek a szavak: "Az összes hal 20%-a"Itt meg kell érteni, hogy mik a százalékok és hogyan számítják ki őket. Ellenkező esetben a probléma nem oldható meg. Pontosan ez a kiegészítő információ, aminek a fejében kell lennie.

Van még matematikai teljesen láthatatlan információ. Ez feladat kérdés: "Hány halat vettem..." Ez is egy szám. Enélkül pedig nem alakul ki modell. Ezért ezt a számot jelöljük betűvel "X". Még nem tudjuk, hogy x mit jelent, de ez a megjelölés nagyon hasznos lesz számunkra. További részletek arról, hogy mit vegyünk X-hez és hogyan kell kezelni, a Hogyan oldjunk meg matematikai feladatokat című leckében? Azonnal írjuk le:

x darab – a halak teljes száma.

A mi feladatunkban a déli halakat százalékban adjuk meg. Ezeket darabokra kell alakítanunk. Miért? Akkor miben Bármi fel kell rajzolni a modell problémáját azonos típusú mennyiségben. Darabok – tehát minden darabokban van. Ha mondjuk órákat és perceket adunk meg, akkor mindent egyetlen dologra fordítunk le – vagy csak órákat, vagy csak perceket. Nem számít, mi az. Fontos, hogy minden érték azonos típusú volt.

Térjünk vissza az információközléshez. Aki nem tudja, hogy mennyi a százalék, az soha nem árulja el, igen... De aki tudja, azonnal azt mondja, hogy az itteni százalékok az összhalszámon alapulnak. És ezt a számot nem ismerjük. Semmi sem fog működni!

Nem hiába írjuk be a halak teljes számát (darabokban!) "X" kijelölt. A déli halak számát nem lehet majd megszámolni, de leírjuk? Mint ez:

0,2 x darab - a déli tengerekből származó halak száma.

Most letöltöttük az összes információt a feladatból. Nyilvánvaló és rejtett is.

Figyeljünk a harmadik pontra.

Keres matematikai összefüggés feladatadatok között. Ez az összefüggés olyan egyszerű, hogy sokan nem veszik észre... Ez gyakran megtörténik. Itt hasznos, ha egyszerűen felírja az összegyűjtött adatokat egy halomba, és megnézi, mi az.

mi van nálunk? Eszik 8 darabészaki hal, 0,2 x darab- déli halak és x hal- teljes összeg. Össze lehet kapcsolni valahogy ezeket az adatokat? Igen Könnyű! A halak teljes száma egyenlő dél és észak összege! Hát ki gondolta volna...) Szóval leírjuk:

x = 8 + 0,2x

Ez az egyenlet feladatunk matematikai modellje.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ebben a problémában Nem kérnek tőlünk semmit! Mi magunk, fejből jöttünk rá, hogy a déli és az északi halak összege adja a teljes számot. A dolog annyira nyilvánvaló, hogy nem veszik észre. De e bizonyíték nélkül nem lehet matematikai modellt létrehozni. Mint ez.

Most már használhatja a matematika teljes erejét ennek az egyenletnek a megoldására). Pontosan ezért állították össze a matematikai modellt. Megoldjuk ezt a lineáris egyenletet, és megkapjuk a választ.

Válasz: x=10

Hozzuk létre egy másik probléma matematikai modelljét:

Megkérdezték Petrovicstól: „Sok pénzed van?” Petrovich sírni kezdett, és így válaszolt: „Igen, csak egy kicsit, ha az összes pénz felét elköltöm, és a maradék felét, akkor csak egy zsák pénzem marad…” Mennyi pénze van Petrovichnak. ?

Ismét pontról pontra dolgozunk.

1. Explicit információkat keresünk. Nem találja meg azonnal! Explicit információ az egy pénzes zsák. Van néhány másik fele... Nos, ezt a második bekezdésben vizsgáljuk meg.

2. Rejtett információkat keresünk. Ezek felek. Mit? Nem túl világos. Továbbra is keresünk. Van még egy kérdés: – Mennyi pénze van Petrovicsnak? Jelöljük betűvel a pénz mennyiségét "X":

x- az összes pénz

És újra elolvassuk a problémát. Már tudván, hogy Petrovics x pénz. Itt a felezés fog működni! Leírjuk:

0,5 x- az összes pénz fele.

A maradék is fele lesz, i.e. 0,5 x. A fele pedig így írható:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- a maradék fele.

Most minden rejtett információ feltárásra került és rögzített.

3. Kapcsolatot keresünk a rögzített adatok között. Itt egyszerűen elolvashatja Petrovics szenvedését és leírhatja matematikailag):

Ha az összes pénz felét elköltöm...

Jegyezzük fel ezt a folyamatot. Az összes pénz - X. Fél - 0,5 x. Elkölteni annyi, mint elvenni. A mondatból felvétel lesz:

x - 0,5 x

igen a többi fele...

Vonjuk ki a maradék másik felét:

x - 0,5 x - 0,25x

akkor már csak egy zsák pénzem marad...

És itt megtaláltuk az egyenlőséget! Az összes kivonás után egy zsák pénz marad:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Íme, egy matematikai modell! Ez megint egy lineáris egyenlet, megoldjuk, kapjuk:

Megfontolandó kérdés. Mi az a négy? Rubel, dollár, jüan? És milyen mértékegységben van a pénz a matematikai modellünkben? Zsákokban! Ez négyet jelent táska pénzt Petrovichtól. Jó is.)

A feladatok természetesen elemiek. Ez kifejezetten a matematikai modell elkészítésének lényegének megragadására szolgál. Egyes feladatok sokkal több adatot tartalmazhatnak, amelyekben könnyen elveszhet. Ez gyakran előfordul az ún. kompetencia feladatokat. Példákkal mutatjuk be, hogyan lehet matematikai tartalmat kinyerni egy halom szavakból és számokból

Még egy megjegyzés. A klasszikus iskolai problémáknál (medencét megtöltő csövek, valahol lebegő csónakok stb.) általában minden adatot nagyon gondosan választanak ki. Két szabály van:
- elegendő információ van a problémában a megoldáshoz,
- Egy problémában nincs szükségtelen információ.

Ez egy tipp. Ha a matematikai modellben fel nem használt érték maradt, gondolja át, van-e hiba. Ha nincs elegendő adat, akkor valószínűleg nem azonosítottak és rögzítettek minden rejtett információt.

A kompetenciával kapcsolatos és egyéb életfeladatokban ezeket a szabályokat nem tartják be szigorúan. Ötletem sincs. De az ilyen problémákat is meg lehet oldani. Ha persze a klasszikusokon gyakorolsz.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Szovetov és Jakovlev tankönyve szerint: „a modell (latin modulus - mérték) az eredeti objektum helyettesítője, amely biztosítja az eredeti bizonyos tulajdonságainak tanulmányozását. (6. o.) „Az egyik objektum másikkal való cseréjét annak érdekében, hogy egy modellobjektum segítségével információt szerezzünk az eredeti objektum legfontosabb tulajdonságairól, modellezésnek nevezzük.” (6. o.) „Matematikai modellezésen azt a folyamatot értjük, amelynek során egy adott valós objektumnak egy bizonyos matematikai objektummal, úgynevezett matematikai modellel egyezést hozunk létre, és ennek a modellnek a tanulmányozását, amely lehetővé teszi számunkra, hogy megkapjuk a valós jellemzőit. vizsgált tárgy. A matematikai modell típusa mind a valós objektum természetétől, mind az objektum vizsgálati feladataitól, valamint a probléma megoldásához szükséges megbízhatóságtól és pontosságtól függ.

Végül a matematikai modell legtömörebb meghatározása: "Egy gondolatot kifejező egyenlet."

Modell osztályozás

A modellek formális osztályozása

A modellek formális osztályozása az alkalmazott matematikai eszközök osztályozásán alapul. Gyakran dichotómiák formájában építik fel. Például az egyik népszerű dichotómiakészlet:

stb. Minden megszerkesztett modell lineáris vagy nemlineáris, determinisztikus vagy sztochasztikus, ... Természetesen kevert típusok is lehetségesek: egy vonatkozásban koncentráltak (paramétereket tekintve), egy másikban elosztottak stb.

Osztályozás az objektum ábrázolási módja szerint

A formális osztályozás mellett a modellek különböznek abban, ahogyan egy objektumot ábrázolnak:

• Strukturális vagy funkcionális modellek

A strukturális modellek egy objektumot mint rendszert ábrázolnak, saját felépítésével és működési mechanizmusával. A funkcionális modellek nem használnak ilyen reprezentációkat, és csak egy objektum kívülről észlelt viselkedését (működését) tükrözik. Extrém kifejezésükben „fekete dobozos” modelleknek is nevezik. Kombinált típusok is lehetségesek, amelyeket néha „szürke dobozos” modelleknek is neveznek.

Tartalmi és formai modellek

Szinte minden szerző, aki leírja a matematikai modellezés folyamatát, azt jelzi, hogy először egy speciális ideális struktúra épül fel, tartalmi modell. Itt nincs kialakult terminológia, és más szerzők ezt ideális objektumnak nevezik fogalmi modell , spekulatív modell vagy előmodell. Ebben az esetben a végső matematikai konstrukciót ún formális modell vagy egyszerűen egy adott értelmes modell formalizálása (előmodell) eredményeként kapott matematikai modell. Egy értelmes modell felépítése kész idealizációk halmazával történhet, mint a mechanikában, ahol ideális rugók, merev testek, ideális ingák, rugalmas közegek stb. kész szerkezeti elemeket adnak az értelmes modellezéshez. Azonban azokon a tudásterületeken, ahol nincsenek teljesen befejezett formalizált elméletek (a fizika, a biológia, a közgazdaságtan, a szociológia, a pszichológia és a legtöbb egyéb terület élvonala), az értelmes modellek létrehozása drámaian nehezebbé válik.

A modellek tartalmi besorolása

A tudomány egyetlen hipotézise sem bizonyítható egyszer s mindenkorra. Richard Feynman ezt nagyon világosan megfogalmazta:

„Mindig van lehetőségünk megcáfolni egy elméletet, de vegyük észre, hogy soha nem tudjuk bizonyítani, hogy helyes. Tegyük fel, hogy sikeres hipotézist állított fel, kiszámította, hová vezet, és azt találta, hogy minden következményét kísérletileg megerősítették. Ez azt jelenti, hogy helyes az elméleted? Nem, ez egyszerűen azt jelenti, hogy nem sikerült megcáfolnia.”

Ha az első típusú modellt megépítik, az azt jelenti, hogy átmenetileg felismerik az igazságot, és más problémákra lehet koncentrálni. Ez azonban nem lehet kutatási pont, hanem csak átmeneti szünet: az első típusú modell státusza csak átmeneti lehet.

2. típus: Fenomenológiai modell (úgy viselkedünk, mintha…)

A fenomenológiai modell egy jelenség leírásának mechanizmusát tartalmazza. Ez a mechanizmus azonban nem elég meggyőző, a rendelkezésre álló adatokkal nem igazolható kellőképpen, vagy nem illeszkedik jól a meglévő elméletekhez és a tárgyról felhalmozott tudáshoz. Ezért a fenomenológiai modellek átmeneti megoldások státusszal rendelkeznek. Úgy gondolják, hogy a válasz még mindig ismeretlen, és folytatni kell az „igazi mechanizmusok” keresését. Második típusként a Peierls tartalmazza például az elemi részecskék kalóriamodelljét és kvark modelljét.

A modell szerepe a kutatásban idővel változhat, előfordulhat, hogy új adatok, elméletek megerősítik a fenomenológiai modelleket, és hipotézis státuszba kerülnek. Ugyanígy az új ismeretek fokozatosan konfliktusba kerülhetnek az első típusú modellekkel-hipotézisekkel, és átültethetők a másodikba. Így a kvark modell fokozatosan a hipotézisek kategóriájába kerül; Az atomizmus a fizikában átmeneti megoldásként merült fel, de a történelem folyamán ez lett az első típus. De az étermodellek az 1-es típusból a 2-es típusba jutottak, és mára kívül esnek a tudományon.

Az egyszerűsítés ötlete nagyon népszerű a modellek építésénél. De az egyszerűsítés különböző formákban jelentkezik. Peierls háromféle egyszerűsítést azonosít a modellezésben.

3. típus: Közelítés (valami nagyon nagynak vagy nagyon kicsinek tartunk)

Ha lehetséges a vizsgált rendszert leíró egyenleteket felállítani, az nem jelenti azt, hogy azok akár számítógép segítségével is megoldhatók. Elterjedt technika ebben az esetben a közelítések alkalmazása (3. típusú modellek). Közöttük lineáris válaszmodellek. Az egyenleteket lineárisra cseréljük. Tipikus példa az Ohm-törvény.

Itt jön a 8-as típus, amely széles körben elterjedt a biológiai rendszerek matematikai modelljeiben.

8. típus: Funkció bemutató (a lényeg az, hogy megmutassuk a lehetőség belső következetességét)

Ezek is képzeletbeli entitásokkal végzett gondolatkísérletek, ezt demonstrálva feltételezett jelenségösszhangban van az alapelvekkel és belsőleg konzisztens. Ez a fő különbség a 7-es típusú modellektől, amelyek rejtett ellentmondásokat tárnak fel.

Az egyik leghíresebb ilyen kísérlet Lobacsevszkij geometriája (Lobacsevszkij „képzetes geometriának” nevezte). Egy másik példa a kémiai és biológiai rezgések, autohullámok, stb. formálisan kinetikus modelljeinek tömeggyártása. Az Einstein-Podolsky-Rosen paradoxont ​​7-es típusú modellként fogták fel, hogy demonstrálják a kvantummechanika következetlenségét. Teljesen nem tervezett módon végül 8-as típusú modell lett belőle - az információ kvantumteleportálásának lehetőségének demonstrációja.

Példa

Tekintsünk egy mechanikus rendszert, amely az egyik végén rögzített rugóból és tömegből áll m a rugó szabad végéhez rögzítve. Feltételezzük, hogy a terhelés csak a rugó tengelye irányában mozoghat (például a mozgás a rúd mentén történik). Építsük fel ennek a rendszernek a matematikai modelljét. A rendszer állapotát a távolsággal írjuk le x a terhelés középpontjából egyensúlyi helyzetébe. Ismertesse a rugó és a terhelés kölcsönhatását Hooke törvénye (F = − kx ), majd Newton második törvényével fejezze ki azt differenciálegyenlet formájában:

ahol a második származékát jelenti x idő szerint: .

A kapott egyenlet leírja a vizsgált fizikai rendszer matematikai modelljét. Ezt a modellt "harmonikus oszcillátornak" nevezik.

A formális besorolás szerint ez a modell lineáris, determinisztikus, dinamikus, koncentrált, folytonos. Kialakítása során sok olyan feltételezéssel éltünk (a külső erők hiányáról, a súrlódás hiányáról, az eltérések kicsinyességéről stb.), amelyek a valóságban nem biztos, hogy teljesülnek.

A valósághoz képest ez leggyakrabban 4-es típusú modell egyszerűsítés(„néhány részletet kihagyunk az egyértelműség kedvéért”), mivel néhány lényeges univerzális jellemző (például a disszipáció) kimarad. Valamilyen közelítéssel (mondjuk míg a terhelés kismértékű eltérése az egyensúlyi állapottól, kis súrlódás mellett, nem túl sok ideig és bizonyos egyéb feltételek mellett) egy ilyen modell elég jól leír egy valódi mechanikai rendszert, mivel az elvetett tényezők elhanyagolható hatást gyakorol a viselkedésére. A modell azonban finomítható néhány ilyen tényező figyelembevételével. Ez egy új modellhez vezet, amely szélesebb (bár ismét korlátozott) alkalmazási körrel rendelkezik.

A modell finomítása során azonban a matematikai kutatás összetettsége jelentősen megnőhet, és gyakorlatilag használhatatlanná teheti a modellt. Egy egyszerűbb modell gyakran lehetővé teszi egy valós rendszer jobb és mélyebb feltárását, mint egy összetettebb (és formálisan „helyesebb”).

Ha a harmonikus oszcillátor modellt a fizikától távoli objektumokra alkalmazzuk, annak tartalmi állapota eltérő lehet. Például, ha ezt a modellt biológiai populációkra alkalmazzuk, nagy valószínűséggel a 6-os típusba kell besorolni hasonlat(„csak néhány jellemzőt vegyünk figyelembe”).

Kemény és puha modellek

A harmonikus oszcillátor egy példa az úgynevezett „kemény” modellre. Egy valós fizikai rendszer erős idealizálásának eredményeként kapjuk meg. Az alkalmazhatóság kérdésének megoldásához meg kell értenünk, mennyire jelentősek az általunk figyelmen kívül hagyott tényezők. Más szóval, tanulmányozni kell a „puha” modellt, amelyet a „kemény” kis perturbációjával kapunk. Megadható például a következő egyenlettel:

Íme néhány funkció, amely figyelembe tudja venni a súrlódási erőt vagy a rugó merevségi együtthatójának függőségét a nyújtás mértékétől - néhány apró paraméter. Explicit függvényforma f Jelenleg nem vagyunk kíváncsiak. Ha bebizonyítjuk, hogy a lágy modell viselkedése alapvetően nem különbözik a kemény modell viselkedésétől (függetlenül attól, hogy a zavaró tényezők explicit típusa, ha elég kicsi), a probléma a kemény modell tanulmányozására redukálódik. Ellenkező esetben a merev modell tanulmányozása során kapott eredmények alkalmazása további kutatásokat igényel. Például a harmonikus oszcillátor egyenletének megoldása formájú függvények, azaz állandó amplitúdójú rezgések. Következik-e ebből, hogy egy valódi oszcillátor korlátlanul rezeg állandó amplitúdóval? Nem, mert egy tetszőlegesen kis súrlódású (valós rendszerben mindig jelen lévő) rendszert figyelembe véve csillapított rezgéseket kapunk. A rendszer viselkedése minőségileg megváltozott.

Ha egy rendszer megtartja minőségi viselkedését kis zavarok mellett is, szerkezetileg stabilnak mondjuk. A harmonikus oszcillátor egy példa a szerkezetileg instabil (nem durva) rendszerre. Ez a modell azonban korlátozott ideig használható folyamatok tanulmányozására.

A modellek sokoldalúsága

A legfontosabb matematikai modellek általában rendelkeznek a fontos tulajdonsággal sokoldalúság: Alapvetően különböző valós jelenségek írhatók le ugyanazzal a matematikai modellel. Például a harmonikus oszcillátor nemcsak a rugóra ható terhelés viselkedését írja le, hanem más, gyakran teljesen eltérő jellegű rezgési folyamatokat is: az inga kis rezgéseit, a folyadék szintjének ingadozását U-alakú edény vagy az áramerősség változása egy rezgőkörben. Így egy matematikai modell tanulmányozásával azonnal az általa leírt jelenségek egész osztályát tanulmányozzuk. A matematikai modellek által a tudományos ismeretek különböző szegmenseiben kifejezett törvények izomorfizmusa inspirálta Ludwig von Bertalanffyt az „Általános Rendszerelmélet” megalkotására.

A matematikai modellezés direkt és inverz problémái

A matematikai modellezéssel számos probléma merül fel. Először is el kell készítenie a modellezett objektum alapdiagramját, reprodukálnia kell a tudomány idealizálásának keretein belül. Így a vasúti kocsi különböző anyagokból készült lemezekből és bonyolultabb karosszériákból álló rendszerré alakul, minden anyag szabványos mechanikai idealizálása (sűrűség, rugalmassági modulusok, szabványos szilárdsági jellemzők) van megadva, majd egyenleteket készítenek, és az út során. egyes részleteket nem fontosnak tekintenek, számításokat végeznek, összehasonlítanak mérésekkel, finomítják a modellt stb. A matematikai modellezési technológiák fejlesztéséhez azonban hasznos, ha ezt a folyamatot szétszedjük fő összetevőire.

Hagyományosan a matematikai modellekkel kapcsolatos problémáknak két fő osztálya van: a direkt és az inverz.

Közvetlen feladat: a modell felépítése és minden paramétere ismertnek tekinthető, a fő feladat a modell tanulmányozása az objektumról hasznos ismeretek kinyerése érdekében. Milyen statikus terhelést fog kibírni a híd? Hogyan reagál a dinamikus terhelésre (például egy katonák felvonulására, vagy egy vonat különböző sebességű áthaladására), hogyan lépi át a repülőgép a hangfalat, szétesik-e a csapkodástól - ezek tipikus példák egy közvetlen problémára. A megfelelő közvetlen probléma felállítása (a megfelelő kérdés feltevése) különleges jártasságot igényel. Ha nem teszik fel a megfelelő kérdéseket, egy híd összeomolhat, még akkor is, ha a viselkedésének megfelelő modellt építettek. Így 1879-ben Angliában összeomlott a Tay folyón átívelő fémhíd, amelynek tervezői elkészítették a híd modelljét, 20-szoros biztonsági tényezővel számították ki a hasznos teher hatását, de folyamatosan megfeledkeztek a szelekről. fúj azokon a helyeken. És másfél év után összeomlott.

A legegyszerűbb esetben (például egy oszcillátor egyenlet) a direkt probléma nagyon egyszerű, és ennek az egyenletnek egy explicit megoldására redukálódik.

Inverz probléma: sok lehetséges modell ismert, az objektumra vonatkozó további adatok alapján kell egy konkrét modellt kiválasztani. Leggyakrabban a modell felépítése ismert, és néhány ismeretlen paramétert meg kell határozni. A további információk további empirikus adatokból vagy az objektumra vonatkozó követelményekből állhatnak ( tervezési probléma). További adatok az inverz probléma megoldási folyamatától függetlenül érkezhetnek ( passzív megfigyelés) vagy egy speciálisan a megoldás során tervezett kísérlet eredménye ( aktív megfigyelés).

Egy inverz probléma mesteri megoldásának egyik első példája a rendelkezésre álló adatok legteljesebb felhasználásával az I. Newton által felépített módszer volt a megfigyelt csillapított rezgésekből származó súrlódási erők rekonstruálására.

További példák

Ahol x s- az „egyensúlyi” népességnagyság, amelynél a születési arányt pontosan kompenzálja a halálozási ráta. A populáció mérete egy ilyen modellben egyensúlyi értékre irányul x s, és ez a viselkedés szerkezetileg stabil.

Ennek a rendszernek akkor van egyensúlyi állapota, ha a nyulak és rókák száma állandó. Az ettől az állapottól való eltérés a nyulak és rókák számának ingadozását eredményezi, hasonlóan a harmonikus oszcillátor ingadozásaihoz. A harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan ez a viselkedés sem szerkezetileg stabil: a modell kis változtatása (például figyelembe véve a nyulak által igényelt korlátozott erőforrásokat) minőségi viselkedésbeli változáshoz vezethet. Például az egyensúlyi állapot stabilizálódhat, és a számok ingadozása kialszik. Az ellenkező helyzet is lehetséges, amikor az egyensúlyi helyzettől való kismértékű eltérés katasztrofális következményekkel jár, akár az egyik faj teljes kipusztulását is. A Volterra-Lotka modell nem ad választ arra a kérdésre, hogy ezek közül melyik forgatókönyv valósul meg: itt további kutatásra van szükség.

Megjegyzések

1. „A valóság matematikai ábrázolása” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., A kibernetikai modellezés filozófiai kérdéseiről. M., Tudás, 1964.
3. Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszerek modellezése: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Szamarszkij A.A., Mihajlov A.P. Matematikai modellezés. Ötletek. Mód. Példák. . - 2. kiadás, átdolgozott - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikiszótár: matematikai modell
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. „Egy elméletet lineárisnak vagy nemlineárisnak tekintünk attól függően, hogy milyen matematikai apparátust – lineárist vagy nemlineárist – és milyen lineáris vagy nemlineáris matematikai modelleket használ. ...az utóbbi tagadása nélkül. Egy modern fizikusnak, ha újra meg kellene alkotnia egy olyan fontos entitás definícióját, mint a nemlinearitás, nagy valószínűséggel másként járna el, és a nemlinearitást részesítené előnyben, mint a két ellentét közül a fontosabb és elterjedtebbet, a linearitást úgy határozná meg, hogy „nem nemlinearitás.” Danilov Yu A., Előadások a nemlineáris dinamikáról. Elemi bevezetés. „Szinergika: a múltból a jövőbe” sorozat. 2. kiadás. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. „A véges számú közönséges differenciálegyenlet által modellezett dinamikus rendszereket koncentrált vagy pontrendszereknek nevezzük. Leírásuk véges dimenziós fázistérrel történik, és véges számú szabadsági fok jellemzi őket. Ugyanaz a rendszer különböző feltételek mellett koncentráltnak vagy elosztottnak tekinthető. Az elosztott rendszerek matematikai modelljei parciális differenciálegyenletek, integrálegyenletek vagy közönséges késleltetési egyenletek. Egy elosztott rendszer szabadságfokainak száma végtelen, állapotának meghatározásához végtelen számú adatra van szükség.” Aniscsenko V. S., Dinamikus rendszerek, Soros oktatási folyóirat, 1997, 11. sz., p. 77-84.
11. „Az S rendszerben vizsgált folyamatok természetétől függően a modellezés minden típusa felosztható determinisztikusra és sztochasztikusra, statikusra és dinamikusra, diszkrétre, folytonosra és diszkrét-folytonosra. A determinisztikus modellezés determinisztikus folyamatokat tükröz, azaz olyan folyamatokat, amelyekben feltételezik a véletlen befolyások hiányát; A sztochasztikus modellezés valószínűségi folyamatokat és eseményeket ábrázol. ... A statikus modellezés egy objektum viselkedésének leírására szolgál bármely időpontban, a dinamikus modellezés pedig egy objektum időbeli viselkedését tükrözi. A diszkrét modellezés a diszkrétnek feltételezett folyamatok leírására szolgál, illetve a folyamatos modellezés lehetővé teszi a folyamatos folyamatok tükrözését a rendszerekben, a diszkrét-folytonos modellezést pedig olyan esetekben alkalmazzuk, amikor mind a diszkrét, mind a folyamatos folyamatok jelenlétét kívánják kiemelni. ” Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszerek modellezése: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. A matematikai modell jellemzően tükrözi a modellezett objektum szerkezetét (eszközét), ezen objektum összetevőinek a kutatási célokhoz nélkülözhetetlen tulajdonságait és kapcsolatait; az ilyen modellt strukturálisnak nevezzük. Ha a modell csak azt tükrözi, hogy az objektum hogyan működik - például hogyan reagál a külső hatásokra -, akkor funkcionálisnak vagy átvitt értelemben fekete doboznak nevezzük. Kombinált modellek is lehetségesek. Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4
13. „A matematikai modell megalkotásának vagy kiválasztásának kézenfekvő, de legfontosabb kezdeti szakasza az, hogy informális megbeszélések alapján minél tisztább képet kapjunk a modellezendő objektumról, és pontosítsuk értelmes modelljét. Ebben a szakaszban nem szabad időt és erőfeszítést sajnálnia az egész tanulmány sikerétől. Nem egyszer fordult elő, hogy egy-egy matematikai probléma megoldására fordított jelentős munka eredménytelennek bizonyult, vagy akár kárba veszettnek bizonyult a dolog ezen oldalára való elégtelen figyelem miatt.” Myshkis A.D., A matematikai modellek elméletének elemei. - 3. kiadás, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192, ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « A rendszer fogalmi modelljének leírása. A rendszermodell felépítésének ezen részszakaszában: a) az M fogalmi modellt elvont fogalmakkal és fogalmakkal írjuk le; b) a modell leírása szabványos matematikai sémák segítségével történik; c) a hipotéziseket és feltételezéseket végül elfogadják; d) a valós folyamatok közelítésére szolgáló eljárás megválasztása a modell felépítésénél indokolt.” Szovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Rendszerek modellezése: Proc. egyetemek számára - 3. kiadás, átdolgozott. és további - M.: Feljebb. iskola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
15. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Alkalmazott matematika: Tantárgy, logika, megközelítések jellemzői. Példákkal a mechanikából: Tankönyv. - 3. kiadás, rev. és további - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, 2. fejezet.

1. előadás.

A MODELLEZÉS MÓDSZERTANI ALAPJAI

A rendszermodellezés problémájának jelenlegi állása

Modellezési és szimulációs fogalmak

Modellezés tekinthető a vizsgált tárgy (eredeti) lecserélésének annak konvencionális képével, leírásával vagy más ún. modell valamint az eredetihez közeli viselkedés biztosítása bizonyos feltételezések és elfogadható hibák keretein belül. A modellezést általában azzal a céllal hajtják végre, hogy megértsék az eredeti tulajdonságait a modell tanulmányozásával, és nem magát a tárgyat. Természetesen a modellezés akkor indokolt, ha az egyszerűbb, mint maga az eredeti elkészítése, vagy ha valamilyen oknál fogva jobb, ha egyáltalán nem készítjük el az eredetit.

Alatt modell olyan fizikai vagy absztrakt objektum alatt értendő, amelynek tulajdonságai bizonyos értelemben hasonlóak a vizsgált objektum tulajdonságaihoz. Ebben az esetben a modellel szemben támasztott követelményeket a megoldandó probléma és a rendelkezésre álló eszközök határozzák meg. Számos általános követelmény van a modellekkel szemben:

2) teljesség – a címzett minden szükséges információval való ellátása

a tárgyról;

3) rugalmasság – a különböző helyzetek reprodukálásának képessége mindenben

a feltételek és a paraméterek változásainak köre;

4) a fejlesztés összetettségének a meglévő számára elfogadhatónak kell lennie

idő és szoftver.

Modellezés egy objektum modelljének megalkotása és tulajdonságainak tanulmányozása a modell tanulmányozása révén.

Így a modellezés 2 fő szakaszból áll:

1) modell kidolgozása;

2) a modell tanulmányozása és következtetések levonása.

Ugyanakkor minden szakaszban különböző feladatokat oldanak meg és

alapvetően eltérő módszerek és eszközök.

A gyakorlatban különféle modellezési módszereket alkalmaznak. A megvalósítás módjától függően minden modell két nagy osztályra osztható: fizikai és matematikai.

Matematikai modellezésÁltalában a folyamatok vagy jelenségek matematikai modelljeik segítségével történő tanulmányozásának eszközeként tartják számon.

Alatt fizikai modellezés tárgyak és jelenségek fizikai modelleken történő tanulmányozására utal, amikor a vizsgált folyamatot a fizikai természet megőrzése mellett reprodukálják, vagy a vizsgálthoz hasonló más fizikai jelenséget alkalmaznak. Ahol fizikai modellekÁltalában feltételezik az eredeti azon fizikai tulajdonságainak valós megtestesülését, amelyek egy adott helyzetben jelentősek. Például egy új repülőgép tervezésekor egy makett készül, amely azonos aerodinamikai tulajdonságokkal rendelkezik. A fejlesztés tervezésekor az építészek olyan modellt készítenek, amely tükrözi elemeinek térbeli elrendezését. Ebben a vonatkozásban fizikai modellezésnek is nevezik prototípus készítés.

Felezési idő modellezés a modellezési komplexumok vezérelhető rendszereinek tanulmányozása, valódi berendezések bevonásával a modellbe. A zárt modellben a valós berendezések mellett behatás- és interferenciaszimulátorok, a külső környezet matematikai modelljei és olyan folyamatok is szerepelnek, amelyekre nem ismert kellően pontos matematikai leírás. Valós berendezések vagy valós rendszerek bevonása a komplex folyamatok modellezési körébe lehetővé teszi az a priori bizonytalanság csökkentését és olyan folyamatok feltárását, amelyekre nincs pontos matematikai leírás. Féltermészetes modellezéssel a kutatás a valós berendezésekben rejlő kis időállandók és linearitások figyelembevételével történik. A modellek valódi berendezéssel történő tanulmányozásakor a koncepciót használják dinamikus szimuláció komplex rendszerek és jelenségek tanulmányozása során - evolúciós, utánzásÉs kibernetikus modellezés.

Nyilvánvaló, hogy a modellezés valódi előnyei csak akkor érhetők el, ha két feltétel teljesül:

1) a modell a tulajdonságok helyes (megfelelő) megjelenítését biztosítja

az eredeti, a vizsgált művelet szempontjából jelentős;

2) a modell lehetővé teszi a fent felsorolt ​​problémák kiküszöbölését

valós tárgyakon végzett kutatás.

2. A matematikai modellezés alapfogalmai

A gyakorlati feladatok matematikai módszerekkel történő megoldása következetesen a probléma megfogalmazásával (matematikai modell kidolgozásával), a kapott matematikai modell vizsgálati módszerének kiválasztásával és a kapott matematikai eredmény elemzésével történik. A probléma matematikai megfogalmazását általában geometriai képek, függvények, egyenletrendszerek stb. formájában mutatjuk be. Egy objektum (jelenség) leírása ábrázolható folytonos vagy diszkrét, determinisztikus vagy sztochasztikus és egyéb matematikai formákkal.

A matematikai modellezés elmélete biztosítja a környező világban előforduló különböző jelenségek előfordulási mintáit vagy a rendszerek, eszközök működését azok matematikai leírásával és modellezésével, teljes körű vizsgálatok elvégzése nélkül. Ebben az esetben a matematika azon rendelkezéseit, törvényeit használják, amelyek a szimulált jelenségeket, rendszereket vagy eszközöket idealizálásuk valamilyen szintjén írják le.

Matematikai modell (MM) egy rendszer (vagy művelet) formalizált leírása valamilyen absztrakt nyelven, például matematikai összefüggések halmaza vagy algoritmusdiagram formájában, pl. azaz egy olyan matematikai leírás, amely a rendszerek vagy eszközök teljes körű tesztelése során kapott, a valós viselkedésükhöz kellően közeli szinten szimulálja a rendszerek vagy eszközök működését.

Bármely MM egy valós tárgyat, jelenséget vagy folyamatot ír le, bizonyos fokú közelítéssel a valósághoz. Az MM típusa a valós objektum természetétől és a vizsgálat céljaitól egyaránt függ.

Matematikai modellezés A társadalmi, gazdasági, biológiai és fizikai jelenségek, tárgyak, rendszerek és különféle eszközök a természet megértésének és a legkülönfélébb rendszerek és eszközök tervezésének egyik legfontosabb eszköze. Ismertek példák a modellezés hatékony alkalmazására nukleáris technológiák, légi és űrrepülési rendszerek létrehozásában, légköri és óceáni jelenségek, időjárás stb. előrejelzésében.

A modellezés ilyen komoly területein azonban gyakran szuperszámítógépekre van szükség, és nagy tudóscsoportok sok éves munkájára van szükség ahhoz, hogy adatokat készítsenek a modellezéshez és annak hibakereséséhez. Ebben az esetben azonban az összetett rendszerek és eszközök matematikai modellezése nemcsak pénzt takarít meg a kutatáson és a tesztelésen, hanem kiküszöbölheti a környezeti katasztrófákat is - például lehetővé teszi, hogy felhagyjon a nukleáris és termonukleáris fegyverek tesztelésével a matematikai modellezésük javára. vagy az űrrepülési rendszerek tesztelése azok tényleges repülése előtt. Között Ezért a matematikai modellezés az egyszerűbb problémák megoldásának szintjén, például a mechanika, az elektrotechnika, az elektronika, a rádiótechnika és a tudomány és a technológia számos más területéről. modern PC-ken is használható. Az általánosított modellek használatakor lehetővé válik meglehetősen összetett rendszerek, például távközlési rendszerek és hálózatok, radar vagy rádiónavigációs rendszerek szimulációja.

A matematikai modellezés célja valós folyamatok (természetben vagy technológiában) matematikai módszerekkel történő elemzése. Ez viszont megköveteli a vizsgálandó MM folyamat formalizálását. A modell lehet olyan változókat tartalmazó matematikai kifejezés, amelyek viselkedése hasonló a valós rendszer viselkedéséhez két vagy több „játékos” lehetséges akciói, mint például az elméleti játékokban; vagy az operációs rendszer összekapcsolt részeinek valós változóit képviselheti.

A rendszerek jellemzőinek tanulmányozására szolgáló matematikai modellezés analitikusra, szimulációra és kombináltra osztható. Az MM-eket viszont szimulációs és analitikusra osztják.

Analitikai modellezés

Mert elemző modellezés Jellemző, hogy a rendszer működésének folyamatai bizonyos funkcionális összefüggések (algebrai, differenciál-, integrálegyenletek) formájában íródnak le. Az analitikai modell a következő módszerekkel tanulmányozható:

1) analitikus, amikor arra törekszenek, hogy általános formában kifejezett függőséget szerezzenek a rendszerek jellemzői tekintetében;

2) numerikus, amikor az egyenletekre általános formában nem lehet megoldást találni, és konkrét kezdeti adatokra vannak megoldva;

3) kvalitatív, amikor megoldás hiányában egyes tulajdonságai megtalálhatók.

Analitikai modelleket csak viszonylag egyszerű rendszerekre kaphatunk. Összetett rendszerek esetén gyakran merülnek fel nagy matematikai problémák. Az analitikai módszer alkalmazásához az eredeti modell jelentős egyszerűsítéséig mennek. Az egyszerűsített modellt használó kutatás azonban csak tájékoztató jellegű eredmények elérését segíti elő. Az analitikus modellek matematikailag helyesen tükrözik a bemeneti és kimeneti változók és paraméterek közötti kapcsolatot. De szerkezetük nem tükrözi az objektum belső szerkezetét.

Az analitikus modellezés során annak eredményeit analitikus kifejezések formájában mutatjuk be. Például csatlakozással R.C.- áramkör állandó feszültségű forráshoz E(R, CÉs E- ennek a modellnek a komponensei), a feszültség időfüggésére analitikus kifejezést készíthetünk u(t) a kondenzátoron C:

Ez a lineáris differenciálegyenlet (DE) ennek az egyszerű lineáris áramkörnek az analitikai modellje. Analitikai megoldása, a kezdeti feltételek mellett u(0) = 0, lemerült kondenzátort jelent C a modellezés kezdetén lehetővé teszi a kívánt függőség megtalálását - képlet formájában:

u(t) = E(1− voltp(- t/RC)). (2)

Azonban még ebben a legegyszerűbb példában is bizonyos erőfeszítésekre van szükség a DE (1) megoldásához vagy alkalmazásához számítógépes matematikai rendszerek(SCM) szimbolikus számításokkal – számítógépes algebrai rendszerek. Erre a teljesen triviális esetre a lineáris modellezés problémájának megoldása R.C.-áramkör meglehetősen általános formájú analitikai kifejezést ad (2) - alkalmas az áramkör működésének leírására bármilyen névleges alkatrész esetén R, CÉs E, és leírja a kondenzátor exponenciális töltését C ellenálláson keresztül Rállandó feszültségű forrásból E.

Természetesen az analitikus megoldások keresése az analitikus modellezés során rendkívül értékesnek bizonyul az egyszerű lineáris áramkörök, rendszerek és eszközök általános elméleti mintáinak azonosításában, azonban összetettsége meredeken növekszik, ahogy a modellre gyakorolt ​​hatások, illetve azok sorrendje és száma egyre összetettebbé válik a modellezett objektum növekedését leíró állapotegyenletek. A másod- vagy harmadrendű objektumok modellezésekor többé-kevésbé látható eredményeket kaphat, de magasabb rendű objektumok esetén az analitikus kifejezések túlságosan nehézkesek, összetettek és nehezen érthetők. Például még egy egyszerű elektronikus erősítő is gyakran több tucat alkatrészt tartalmaz. Azonban sok modern SCM, például a szimbolikus matematikai rendszer Maple, Mathematica vagy környezet MATLAB, képesek nagymértékben automatizálni az összetett analitikai modellezési problémák megoldását.

A modellezés egyik fajtája az numerikus modellezés, amely abból áll, hogy bármilyen alkalmas numerikus módszerrel, például az Euler vagy Runge-Kutta módszerrel megszerezzük a rendszerek vagy eszközök viselkedésére vonatkozó szükséges mennyiségi adatokat. A gyakorlatban a nemlineáris rendszerek és eszközök numerikus módszerekkel történő modellezése sokkal hatékonyabbnak bizonyul, mint az egyes privát lineáris áramkörök, rendszerek vagy eszközök analitikus modellezése. Például DE (1) vagy DE rendszerek megoldására bonyolultabb esetekben analitikus formájú megoldást nem kaphatunk, de numerikus szimulációs adatok felhasználásával meglehetősen teljes adatokat kaphatunk a szimulált rendszerek, eszközök viselkedéséről, ill. mint az ezt a viselkedést leíró függőségek konstrukciós gráfjai.

Szimulációs modellezés

Nál nél utánzás 10és modellezés, a modellt megvalósító algoritmus reprodukálja a rendszer működésének folyamatát az idő múlásával. A folyamatot alkotó elemi jelenségeket szimulálják, megőrizve logikai szerkezetüket és eseménysorukat az időben.

A szimulációs modellek fő előnye az analitikus modellekhez képest az összetettebb problémák megoldásának képessége.

A szimulációs modellek megkönnyítik a diszkrét vagy folytonos elemek, nemlineáris jellemzők, véletlenszerű hatások stb. jelenlétének figyelembevételét. Ezért ezt a módszert széles körben alkalmazzák komplex rendszerek tervezési szakaszában. A szimulációs modellezés megvalósításának fő eszköze a számítógép, amely lehetővé teszi a rendszerek és jelek digitális modellezését.

Ebben a vonatkozásban határozzuk meg a „kifejezést” számítógépes modellezés”, amelyet a szakirodalom egyre gyakrabban használ. Tegyük fel, hogy számítógépes modellezés matematikai modellezés számítógépes technológiával. Ennek megfelelően a számítógépes modellezési technológia a következő műveleteket foglalja magában:

1) a modellezés céljának meghatározása;

2) koncepcionális modell kidolgozása;

3) a modell formalizálása;

4) a modell szoftveres megvalósítása;

5) modellkísérletek tervezése;

6) a kísérleti terv végrehajtása;

7) a modellezési eredmények elemzése és értelmezése.

Nál nél szimulációs modellezés az alkalmazott MM reprodukálja a vizsgált rendszer működésének algoritmusát ("logikáját") az idő függvényében a rendszerparaméterek és a külső környezet értékeinek különböző kombinációira.

A legegyszerűbb analitikai modellre példa az egyenes vonalú egyenletes mozgás egyenlete. Ha egy ilyen folyamatot szimulációs modellel vizsgálunk, akkor nyilvánvalóan bizonyos esetekben az analitikus modellezést célszerűbb megvalósítani, más esetekben pedig a szimulációt (vagy a kettő kombinációját). A sikeres választáshoz két kérdésre kell válaszolnia.

Mi a modellezés célja?

Melyik osztályba sorolható a modellezett jelenség?

Mindkét kérdésre választ kaphatunk a modellezés első két szakaszában.

A szimulációs modellek nemcsak tulajdonságaiban, hanem szerkezetében is megfelelnek a modellezett objektumnak. Ebben az esetben egyértelmű és nyilvánvaló megfelelés van a modellen kapott folyamatok és az objektumon végbemenő folyamatok között. A szimuláció hátránya, hogy hosszú időbe telik a probléma megoldása a jó pontosság eléréséhez.

A sztochasztikus rendszer működésének szimulációs modellezésének eredményei valószínűségi változók vagy folyamatok realizálásai. Ezért a rendszer jellemzőinek megtalálásához többszöri ismétlés és az azt követő adatfeldolgozás szükséges. Leggyakrabban ebben az esetben egyfajta szimulációt használnak - statisztikai

modellezés(vagy Monte Carlo módszer), i.e. véletlenszerű tényezők, események, mennyiségek, folyamatok, mezők reprodukálása modellekben.

A statisztikai modellezés eredményei alapján meghatározásra kerül a menedzselt rendszer működését és hatékonyságát jellemző, általános és specifikus valószínűségi minőségi kritériumok becslése. A statisztikai modellezést széles körben használják tudományos és alkalmazott problémák megoldására a tudomány és a technológia különböző területein. A statisztikai modellezési módszereket széles körben alkalmazzák komplex dinamikus rendszerek vizsgálatában, működésük és hatékonyságuk felmérésében.

A statisztikai modellezés utolsó szakasza a kapott eredmények matematikai feldolgozásán alapul. Itt a matematikai statisztika módszereit alkalmazzák (paraméteres és nem paraméteres becslés, hipotézisvizsgálat). Példa a paraméteres becslőre egy teljesítménymérés mintaátlaga. A nemparaméteres módszerek között elterjedt hisztogram módszer.

A vizsgált séma a független valószínűségi változók rendszerének és módszereinek ismételt statisztikai tesztelésén alapul. Ez a séma a gyakorlatban nem mindig természetes és a költségek szempontjából optimális. A rendszertesztelési idő csökkentése pontosabb értékelési módszerek alkalmazásával érhető el. Amint a matematikai statisztikákból ismeretes, az effektív becslések a legnagyobb pontossággal rendelkeznek egy adott mintaméret esetén. Az optimális szűrés és a maximum likelihood módszer általános módszert ad az ilyen becslések megszerzésére A statisztikai modellezési problémákban a véletlenszerű folyamatok feldolgozása nem csak a kimeneti folyamatok elemzéséhez szükséges.

A bemeneti véletlen hatások jellemzőinek szabályozása szintén nagyon fontos. Az ellenőrzés abból áll, hogy ellenőrizzük, hogy a generált folyamatok eloszlásai megfelelnek-e az adott eloszlásoknak. Ezt a problémát gyakran úgy fogalmazzák meg hipotézisvizsgálati probléma.

Az összetett vezérelt rendszerek számítógépes modellezésének általános tendenciája a modellezési idő csökkentése, valamint a valós időben történő kutatás. Kényelmes a számítási algoritmusok ismétlődő formában történő ábrázolása, lehetővé téve azok végrehajtását az aktuális információk fogadásának ütemében.

A RENDSZERMEGKÖZELÍTÉS ALAPELVEI A MODELLEZÉSBEN

A rendszerelmélet alapelvei

A rendszerelmélet alapelvei a dinamikus rendszerek és funkcionális elemeik tanulmányozása során merültek fel. A rendszer alatt egymással összefüggő elemek csoportját értjük, amelyek együtt működnek egy előre meghatározott feladat végrehajtása érdekében. A rendszerek elemzése lehetővé teszi, hogy meghatározzuk az adott feladat legreálisabb végrehajtási módjait, biztosítva a megfogalmazott követelmények maximális kielégítését.

A rendszerelmélet alapját képező elemek nem hipotézisek útján jönnek létre, hanem kísérleti úton fedezik fel őket. A rendszer felépítéséhez a technológiai folyamatok általános jellemzőire van szükség. Ugyanez igaz a matematikailag megfogalmazott kritériumok létrehozásának alapelveire is, amelyeknek egy folyamatnak vagy annak elméleti leírásának meg kell felelnie. A modellezés a tudományos kutatás és kísérletezés egyik legfontosabb módszere.

Az objektumok modelljeinek felépítésénél rendszerszemléletű megközelítést alkalmaznak, amely egy olyan módszertan komplex problémák megoldására, amely azon alapul, hogy az objektumot egy bizonyos környezetben működő rendszernek tekintjük. A szisztematikus megközelítés magában foglalja egy objektum integritásának feltárását, belső szerkezetének azonosítását és tanulmányozását, valamint a külső környezettel való kapcsolatokat. Ebben az esetben az objektumot a valós világ részeként mutatják be, amelyet izolálnak és tanulmányoznak a modellalkotás problémája kapcsán. Ezen túlmenően a rendszerszemlélet magában foglalja az általánosról a konkrétra való következetes átmenetet, amikor a tervezési cél a mérlegelés alapja, és az objektumot a környezethez viszonyítva tekintjük.

Az összetett objektumok alrendszerekre oszthatók, amelyek az objektum részei, amelyek megfelelnek a következő követelményeknek:

1) az alrendszer egy objektum funkcionálisan független része. Kapcsolatban áll más alrendszerekkel, információkat és energiát cserél velük;

2) minden alrendszerhez meghatározhatók olyan funkciók vagy tulajdonságok, amelyek nem esnek egybe a teljes rendszer tulajdonságaival;

3) az egyes alrendszerek további elemszintű felosztásnak vethetők alá.

Ebben az esetben egy elem alatt olyan alacsonyabb szintű alrendszert értünk, amelynek további felosztása a megoldandó probléma szempontjából nem megfelelő.

A rendszer tehát úgy definiálható, mint egy objektum reprezentációja alrendszerek, elemek és kapcsolatok halmaza formájában annak létrehozása, kutatása vagy fejlesztése céljából. Ebben az esetben a rendszer felnagyított ábrázolását, beleértve a főbb alrendszereket és a köztük lévő kapcsolatokat, makrostruktúrának, a rendszer belső szerkezetének az elemek szintjéig történő részletes feltárását pedig mikrostruktúrának nevezzük.

A rendszer mellett általában létezik egy szuperrendszer - egy magasabb szintű rendszer, amely magában foglalja a kérdéses objektumot, és bármely rendszer funkciója csak a szuperrendszeren keresztül határozható meg.

Ki kell emelni a környezet fogalmát, mint a külső világ olyan objektumainak összességét, amelyek jelentősen befolyásolják a rendszer hatékonyságát, de nem részei a rendszernek és szuperrendszerének.

Az építési modellek rendszerszemlélete kapcsán használatos az infrastruktúra fogalma, amely a rendszer kapcsolatát írja le környezetével (környezetével). Ebben az esetben egy objektum lényeges tulajdonságainak azonosítását, leírását és tanulmányozását egy adott feladat keretein belül az objektum rétegződésének nevezzük, és az objektum bármely modelljét annak rétegzett leírásának nevezzük.

A rendszerszemléletű megközelítéshez fontos a rendszer felépítésének meghatározása, pl. a rendszer elemei közötti kapcsolatok összessége, tükrözve azok interakcióját. Ehhez először a modellezés strukturális és funkcionális megközelítését vizsgáljuk.

Strukturális megközelítéssel feltárul a rendszer kiválasztott elemeinek összetétele és a köztük lévő összefüggések. Az elemek és kapcsolatok halmaza lehetővé teszi a rendszer felépítésének megítélését. A szerkezet legáltalánosabb leírása a topológiai leírás. Lehetővé teszi a rendszer összetevőinek és azok kapcsolatainak meghatározását grafikonok segítségével. Kevésbé általános a funkcionális leírás, amikor az egyes funkciókat, azaz a rendszer viselkedésének algoritmusait vesszük figyelembe. Ebben az esetben egy funkcionális megközelítést valósítanak meg, amely meghatározza a rendszer által végrehajtott funkciókat.

A rendszerszemléletű megközelítés alapján egy olyan modellfejlesztési szekvencia javasolható, ahol két fő tervezési szakaszt különböztetünk meg: a makrodesignt és a mikrotervezést.

A makrotervezés szakaszában a külső környezet modelljét építik fel, azonosítják az erőforrásokat és a korlátokat, kiválasztják a rendszermodellt és kritériumokat a megfelelőség értékeléséhez.

A mikrotervezés szakasza nagymértékben függ a kiválasztott modell típusától. Általában információs, matematikai, műszaki és szoftvermodellező rendszerek létrehozását jelenti. Ebben a szakaszban meghatározzák a létrehozott modell főbb műszaki jellemzőit, megbecsülik a vele való munkaidőt és a modell meghatározott minőségének eléréséhez szükséges erőforrások költségét.

A modell típusától függetlenül a megalkotásakor a szisztematikus megközelítés számos elvét kell követni:

1) következetes előrehaladás a modell létrehozásának szakaszaiban;

2) az információ, az erőforrás, a megbízhatóság és egyéb jellemzők összehangolása;

3) a modellépítés különböző szintjei közötti helyes kapcsolat;

4) a modelltervezés egyes szakaszainak integritása.

Ebben a cikkben példákat kínálunk matematikai modellekre. Emellett figyelmet fordítunk a modellalkotás szakaszaira, és elemezünk néhány matematikai modellezéssel kapcsolatos problémát.

Egy másik kérdésünk a közgazdaságtan matematikai modelljei, amelyekre a definíciót egy kicsit később tekintjük meg. Javasoljuk, hogy beszélgetésünket a „modell” fogalmával kezdjük, röviden fontoljuk meg besorolásukat, és térjünk át fő kérdéseinkre.

A "modell" fogalma

Gyakran halljuk a „modell” szót. Mi az? Ennek a kifejezésnek számos definíciója van, ezek közül csak három:

• egy konkrét objektum, amelyet információ fogadására és tárolására hoztak létre, tükrözve ennek az objektumnak az eredetijének bizonyos tulajdonságait vagy jellemzőit stb. (ez a konkrét objektum különböző formákban fejezhető ki: mentális, jelekkel történő leírás stb.);
• A modell egy konkrét helyzet, élet vagy menedzsment ábrázolását is jelenti;
• a modell lehet egy objektum kicsinyített másolata (a részletesebb tanulmányozás és elemzés céljából jönnek létre, mivel a modell tükrözi a szerkezetet és a kapcsolatokat).

A korábban elmondottak alapján egy kis következtetést vonhatunk le: a modell lehetővé teszi egy összetett rendszer vagy objektum részletes tanulmányozását.

Minden modell számos jellemző szerint osztályozható:

• felhasználási terület szerint (oktatási, kísérleti, tudományos és műszaki, játék, szimuláció);
• dinamika szerint (statikus és dinamikus);
• tudáságak szerint (fizikai, kémiai, földrajzi, történeti, szociológiai, gazdasági, matematikai);
• bemutatás módjával (tárgyi és információs).

Az információs modellek pedig szimbolikusra és verbálisra oszlanak. És szimbolikusak – számítógépesekbe és nem számítógépesekbe. Most térjünk át a matematikai modell példáinak részletes áttekintésére.

Matematikai modell

Ahogy sejthető, a matematikai modell egy tárgy vagy jelenség bármely jellemzőjét tükrözi speciális matematikai szimbólumok segítségével. A matematikára azért van szükség, hogy a környező világ mintáit a maga sajátos nyelvén modellezzük.

A matematikai modellezés módszere meglehetősen régen, több ezer évvel ezelőtt keletkezett, e tudomány megjelenésével együtt. Ennek a modellezési módszernek a kidolgozásához azonban a számítógépek (elektronikus számítógépek) megjelenése adta a lökést.

Most térjünk át az osztályozásra. Bizonyos jelek szerint is végrehajtható. Ezeket az alábbi táblázat mutatja be.

Javasoljuk, hogy álljunk meg és nézzük meg közelebbről a legújabb osztályozást, mivel az tükrözi a modellezés általános mintáit és a készülő modellek céljait.

Leíró modellek

Ebben a fejezetben azt javasoljuk, hogy részletesebben foglalkozzunk a leíró matematikai modellekkel. Hogy minden világos legyen, adunk egy példát.

Kezdjük azzal, hogy ez a típus nevezhető leírónak. Ez abból adódik, hogy egyszerűen számításokat és előrejelzéseket készítünk, de semmilyen módon nem tudjuk befolyásolni az esemény kimenetelét.

A leíró matematikai modell szembetűnő példája a Naprendszerünk kiterjedéseit betörő üstökös repülési útvonalának, sebességének és a Földtől való távolságának kiszámítása. Ez a modell leíró jellegű, mivel az összes kapott eredmény csak figyelmeztethet bennünket bármilyen veszélyre. Sajnos az esemény kimenetelét nem tudjuk befolyásolni. A kapott számítások alapján azonban bármilyen intézkedést meg lehet tenni az élet megőrzése érdekében a Földön.

Optimalizációs modellek

Most egy kicsit a közgazdasági és matematikai modellekről fogunk beszélni, amelyek példái különböző aktuális helyzetekként szolgálhatnak. Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek bizonyos feltételek mellett segítenek megtalálni a helyes választ. Biztos vannak paramétereik. Hogy teljesen világos legyen, nézzünk egy példát a mezőgazdasági szektorból.

Magtárunk van, de a gabona nagyon hamar megromlik. Ebben az esetben meg kell választanunk a megfelelő hőmérsékleti viszonyokat és optimalizálnunk kell a tárolási folyamatot.

Így definiálhatjuk az „optimalizálási modell” fogalmát. Matematikai értelemben egy (lineáris és nem lineáris) egyenletrendszer, amelynek megoldása segít megtalálni az optimális megoldást egy adott gazdasági helyzetben. Egy matematikai modellre (optimalizálásra) néztünk egy példát, de hozzáteszem: ez a típus az extrém problémák osztályába tartozik, segít leírni a gazdasági rendszer működését.

Jegyezzünk meg még egy árnyalatot: a modellek különböző természetűek lehetnek (lásd az alábbi táblázatot).

Többszempontú modellek

Most megkérjük Önt, hogy beszéljen egy kicsit a többszempontú optimalizálás matematikai modelljéről. Ezt megelőzően példát adtunk egy matematikai modellre a folyamat optimalizálására bármely kritérium szerint, de mi van, ha sok van belőlük?

A többszempontú feladat markáns példája a megfelelő, egészséges és egyben gazdaságos táplálkozás megszervezése nagy csoportok számára. Ilyen feladatokkal gyakran találkozunk a hadseregben, iskolai étkezdékben, nyári táborokban, kórházakban stb.

Milyen kritériumok vonatkoznak ránk ebben a feladatban?

1. A táplálkozásnak egészségesnek kell lennie.
2. Az étkezési költségeknek minimálisnak kell lenniük.

Mint látható, ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe. Ez azt jelenti, hogy egy probléma megoldása során az optimális megoldást, az egyensúlyt kell keresni két kritérium között.

Játékmodellek

Ha játékmodellekről beszélünk, meg kell érteni a „játékelmélet” fogalmát. Egyszerűen fogalmazva, ezek a modellek a valós konfliktusok matematikai modelljeit tükrözik. Csak meg kell értened, hogy a valódi konfliktusokkal ellentétben a játék matematikai modelljének megvannak a maga sajátos szabályai.

Most a játékelméletből adunk egy minimális információt, amely segít megérteni, mi a játékmodell. Tehát a modell szükségszerűen tartalmaz pártokat (két vagy több), amelyeket általában játékosoknak neveznek.

Minden modell rendelkezik bizonyos jellemzőkkel.

A játékmodell lehet páros vagy több. Ha két alanyunk van, akkor a konfliktus páros, ha több, akkor többszörös. Megkülönböztethetünk antagonista játékot is, nulla összegű játéknak is nevezik. Ez egy olyan modell, amelyben az egyik résztvevő nyeresége egyenlő a másik veszteségével.

Szimulációs modellek

Ebben a részben a szimulációs matematikai modellekre fogunk figyelni. Példák a feladatokra:

• a mikroorganizmusok populációjának dinamikájának modellje;
• molekuláris mozgás modellje, és így tovább.

Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek a lehető legközelebb állnak a valós folyamatokhoz. Általában a természetben valamilyen megnyilvánulást utánoznak. Az első esetben például szimulálhatjuk egy kolóniában a hangyák számának dinamikáját. Ugyanakkor megfigyelheti az egyes egyének sorsát. Ebben az esetben ritkán használnak matematikai leírást, gyakrabban fordulnak elő:

• öt nap elteltével a nőstény tojásokat rak;
• húsz nap múlva a hangya meghal, és így tovább.

Így egy nagy rendszer leírására szolgálnak. Matematikai következtetés a kapott statisztikai adatok feldolgozása.

Követelmények

Nagyon fontos tudni, hogy az ilyen típusú modelleknek vannak bizonyos követelményei, beleértve az alábbi táblázatban felsoroltakat is.

Modellezési szakaszok

Összességében a matematikai modellezés általában négy szakaszra oszlik.

1. A modell részeit összekötő törvényszerűségek megfogalmazása.
2. Matematikai problémák tanulmányozása.
3. A gyakorlati és elméleti eredmények egybeesésének meghatározása.
4. A modell elemzése és korszerűsítése.

Gazdasági és matematikai modell

Ebben a részben röviden kiemeljük a problémát, például:

• maximális termelési nyereséget biztosító termelési program kialakítása húskészítmények előállítására;
• a szervezet profitjának maximalizálása a bútorgyárban gyártott asztalok és székek optimális mennyiségének kiszámításával stb.

A gazdasági-matematikai modell gazdasági absztrakciót jelenít meg, amelyet matematikai kifejezésekkel és szimbólumokkal fejeznek ki.

Számítógépes matematikai modell

Példák a számítógépes matematikai modellekre:

• hidraulikus problémák folyamatábrák, diagramok, táblázatok stb. használatával;
• problémák szilárd mechanikával stb.

A számítógépes modell egy objektum vagy rendszer képe, amely a következő formában jelenik meg:

• asztalok;
• blokkdiagramok;
• diagramok;
• grafika, és így tovább.

Ezenkívül ez a modell tükrözi a rendszer felépítését és összekapcsolódásait.

Gazdasági és matematikai modell felépítése

Arról már beszéltünk, hogy mi is az a gazdasági-matematikai modell. A probléma megoldására most egy példát veszünk figyelembe. Elemeznünk kell a termelési programot, hogy azonosítsunk egy tartalékot a nyereség növelésére a választék eltolódásával.

Nem fogjuk teljesen megvizsgálni a problémát, csak egy közgazdasági és matematikai modellt építünk fel. Feladatunk kritériuma a profitmaximalizálás. Ekkor a függvény alakja: А=р1*х1+р2*х2..., a maximumra törekedve. Ebben a modellben p az egységenkénti nyereség, x pedig a megtermelt egységek száma. Ezután a felépített modell alapján számításokat kell végezni és összegezni kell.

Példa egy egyszerű matematikai modell felépítésére

Feladat. A halász a következő fogással tért vissza:

• 8 hal - az északi tengerek lakói;
• a fogás 20%-át a déli tengerek lakói teszik ki;
• Egyetlen halat sem találtak a helyi folyóból.

Hány halat vett a boltban?

Tehát egy példa a probléma matematikai modelljének megalkotására így néz ki. A halak teljes számát x-szel jelöljük. A feltételt követve 0,2x a déli szélességi körökben élő halak száma. Most egyesítjük az összes rendelkezésre álló információt, és megkapjuk a probléma matematikai modelljét: x=0,2x+8. Megoldjuk az egyenletet, és megkapjuk a választ a fő kérdésre: vett 10 halat a boltban.