A mozgás sebessége körben történő mozgáskor. Test mozgása egy körben állandó abszolút sebességgel
Ebben a leckében a görbe vonalú mozgást fogjuk megvizsgálni, nevezetesen a test egyenletes mozgását a körben. Megtanuljuk, mi a lineáris sebesség, a centripetális gyorsulás, amikor egy test körben mozog. Bemutatjuk továbbá a forgási mozgást jellemző mennyiségeket (forgási periódus, forgási frekvencia, szögsebesség), és ezeket a mennyiségeket összekapcsoljuk egymással.
Egyenletes körmozgáson azt értjük, hogy a test azonos szögben tetszőleges azonos időtartam alatt elfordul (lásd 6. ábra).
Rizs. 6. Egységes mozgás körben
Vagyis a pillanatnyi sebesség modulja nem változik:
Ezt a sebességet ún lineáris.
Bár a sebesség nagysága nem változik, a sebesség iránya folyamatosan változik. Tekintsük a sebességvektorokat a pontokban AÉs B(lásd 7. ábra). Különböző irányokba irányulnak, tehát nem egyenlőek. Ha kivonjuk a pont sebességéből B sebesség a ponton A, megkapjuk a vektort .
Rizs. 7. Sebességvektorok
A sebesség változásának () és annak az időnek az aránya, amely alatt ez a változás bekövetkezett () a gyorsulás.
Ezért minden görbe vonalú mozgás felgyorsul.
Ha figyelembe vesszük a 7. ábrán kapott sebességháromszöget, akkor nagyon szoros pontelrendezéssel AÉs B egymáshoz képest a sebességvektorok közötti szög (α) nullához közeli lesz:
Az is ismert, hogy ez a háromszög egyenlő szárú, ezért a sebességmodulok egyenlőek (egyenletes mozgás):
Ezért ennek a háromszögnek a mindkét szöge végtelenül közel van:
Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás, amely a vektor mentén irányul, valójában merőleges az érintőre. Ismeretes, hogy az érintőre merőleges körben lévő egyenes sugár, tehát a gyorsulás a sugár mentén a kör közepe felé irányul. Ezt a gyorsulást centripetálisnak nevezik.
A 8. ábrán látható a korábban tárgyalt sebességháromszög és egy egyenlő szárú háromszög (két oldala a kör sugara). Ezek a háromszögek azért hasonlítanak egymásra, mert egyenlő szögeik vannak egymásra merőleges vonalakból (a sugár és a vektor merőleges az érintőre).
Rizs. 8. Illusztráció a centripetális gyorsulás képletének levezetéséhez
Vonalszakasz AB a move(). Egyenletes körmozgást veszünk figyelembe, ezért:
Helyettesítsük be a kapott kifejezést AB a háromszög hasonlósági képletébe:
A „lineáris sebesség”, „gyorsulás”, „koordináta” fogalmak nem elegendőek egy görbe pálya mentén történő mozgás leírására. Ezért szükséges a forgó mozgást jellemző mennyiségek bevezetése.
1. Forgatási időszak (T ) egy teljes forradalom idejét nevezik. SI mértékegységben, másodpercben mérve.
Példák periódusokra: A Föld 24 óra alatt (), a Nap körül - 1 év alatt () forog tengelye körül.
Az időszak kiszámításának képlete:
ahol a teljes forgási idő; - fordulatok száma.
2. Forgási frekvencia (n ) - a test által egységnyi idő alatt megtett fordulatok száma. SI mértékegységben mérve, reciproka másodpercben.
A gyakoriság megállapításának képlete:
ahol a teljes forgási idő; - fordulatok száma
A gyakoriság és az időszak fordítottan arányos mennyiségek:
3. Szögsebesség () nevezzük a test elfordulási szögének változásának arányát ahhoz az időhöz, amely alatt ez a forgás bekövetkezett. SI mértékegységben mérve, radiánban osztva másodpercekkel.
Képlet a szögsebesség meghatározásához:
hol van a szög változása; - az idő, amely alatt a szög átfordult.
A részecskék adott pálya mentén történő mozgásának fontos speciális esete a körben történő mozgás. A részecske helyzete a körön (46. ábra) úgy adható meg, hogy nem valamilyen A kezdőponttól való távolságot, hanem a kör O középpontjából húzott sugár és a körbe húzott sugarú részecske közötti szöget jelöljük. a kiindulópont A.
A pálya mentén történő mozgás sebességével együtt, amelyet úgy határoznak meg
célszerű bevezetni a szögsebességet, amely a szögváltozás sebességét jellemzi
A pálya mentén történő mozgás sebességét lineáris sebességnek is nevezik. Állítsunk fel kapcsolatot a lineáris és a szögsebességek között. A szöget bezáró I ív hossza egyenlő azzal, ahol a kör sugara, és a szöget radiánban mérjük. Ezért a co szögsebesség összefüggésben van a lineáris sebességgel
Rizs. 46. Az Angle meghatározza egy pont helyzetét a körön
A gyorsulás körben, valamint tetszőleges görbe vonalú mozgás során általában két összetevőből áll: érintőleges, amely a körre érintőlegesen irányul, és a sebességérték változásának sebességét jellemzi, és normál, amely a kör középpontja felé irányul. kör és jellemzi a változás sebességét a sebesség irányában.
A gyorsulás normálkomponensének, amelyet ebben az esetben (körmozgás) centripetális gyorsulásnak nevezünk, a (3) általános képlet 8. §-a adja meg, amelyben most a lineáris sebesség szögsebességben fejezhető ki a (3) képlet segítségével. ):
Itt a kör sugara természetesen a pálya minden pontjára azonos.
Egyenletes körmozgás esetén, amikor az érték állandó, a co szögsebesség is állandó, amint az a (3)-ból látható. Ebben az esetben ezt néha ciklikus frekvenciának is nevezik.
Időszak és gyakoriság. Az egyenletes körkörös mozgás jellemzésére a c-vel együtt célszerű a T fordulat periódusát használni, amely az az idő, amely alatt egy teljes fordulatot hajtanak végre, és a frekvencia - a T periódus reciproka, amely megegyezik a fordulatszámmal. fordulat időegységenként:
A szögsebesség (2) definíciójából következik a mennyiségek közötti kapcsolat
Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a (4) képletet a centripetális gyorsuláshoz a következő formában írjuk fel:
Vegye figyelembe, hogy a co szögsebességet radián per másodpercben, a frekvenciát pedig fordulat per másodpercben mérik. A és méretei megegyeznek, mivel ezek a mennyiségek csak számszerű tényezőben térnek el egymástól
Feladat
A körgyűrű mentén. A játékvasút sínjei sugárgyűrűt alkotnak (47. ábra). Az autó ezek mentén halad, egy rúd tolja, amely állandó szögsebességgel forog egy pont körül, amely a gyűrű belsejében fekszik, szinte a síneknél. Hogyan változik a pótkocsi sebessége mozgás közben?
Rizs. 47. A szögsebesség meghatározása körgyűrűn haladva
Megoldás. Egy bizonyos irányú rúd által alkotott szög egy lineáris törvény szerint idővel változik: . A szög mérési irányaként célszerű a ponton átmenő kör átmérőjét venni (47. ábra). Az O pont a kör középpontja. Nyilvánvaló, hogy a középső szög, amely meghatározza a pótkocsi helyzetét a körön, kétszerese az ugyanazon az íven beírt szögnek: ezért a pótkocsi szögsebessége a sínek mentén haladva kétszerese annak a szögsebességnek, amellyel a rúd forog:
Így a pótkocsi szögsebessége állandónak bizonyult. Ez azt jelenti, hogy a pótkocsi egyenletesen mozog a sínek mentén. Lineáris sebessége állandó és egyenlő
Az ilyen egyenletes körmozgású pótkocsi gyorsulása mindig az O középpont felé irányul, modulját a (4) kifejezés adja meg:
Nézd meg a (4) képletet. Hogyan kell érteni: a gyorsulás még mindig arányos vagy fordítottan arányos?
Magyarázza meg, hogy egy kör körüli egyenetlen mozgás során a co szögsebesség miért tartja meg értelmét, de veszíti el jelentését?
A szögsebesség mint vektor. Egyes esetekben célszerű a szögsebességet olyan vektornak tekinteni, amelynek nagysága egyenlő, és állandó iránya merőleges arra a síkra, amelyben a kör fekszik. Egy ilyen vektor segítségével a (3)-hoz hasonló képletet írhatunk, amely egy körben mozgó részecske sebességvektorát fejezi ki.
Rizs. 48. Szögsebesség vektor
Helyezzük az origót a kör O középpontjába. Ekkor, amikor a részecske mozog, sugárvektora csak co szögsebességgel fog forogni, a modulja pedig mindig egyenlő lesz a kör sugarával (48. ábra). Látható, hogy a körre érintőlegesen irányított sebességvektor a с szögsebességvektor és a részecske sugárvektorának vektorszorzataként ábrázolható:
vektoros alkotás. Definíció szerint két vektor keresztszorzata egy olyan vektor, amely merőleges arra a síkra, amelyben a szorzott vektorok vannak. A vektorszorzat irányát a következő szabály szerint választjuk ki. Az első tényező gondolatban a második felé fordul, mintha egy csavarkulcs nyele lenne. A vektorszorzat ugyanabba az irányba van irányítva, amerre egy jobbmenetes csavar mozogna.
Ha egy vektorszorzatban felcseréljük a faktorokat, akkor az ellenkező irányba változik: Ez azt jelenti, hogy a vektorszorzat nem kommutatív.
ábrából 48 látható, hogy a (8) képlet akkor adja meg a vektor helyes irányát, ha a co vektor pontosan az ábrán látható módon van irányítva. Ezért megfogalmazhatjuk a következő szabályt: a szögsebesség-vektor iránya egybeesik egy jobbmenetű csavar mozgási irányával, amelynek feje ugyanabba az irányba forog, mint ahogy a részecske a körben mozog.
Definíció szerint egy vektorszorzat modulusa egyenlő a szorzott vektorok modulusának és a közöttük lévő a szög szinuszának szorzatával:
A (8) képletben a с és szorzott vektorok merőlegesek egymásra, ezért a (3) képlet szerint annak lennie kell.
Mit mondhatunk két párhuzamos vektor keresztszorzatáról?
Mi az óramutató szögsebesség-vektorának iránya? Miben különböznek ezek a vektorok a perc- és óramutatókban?
Egységes mozgás egy körben- ez a legegyszerűbb példa. Például egy óramutató vége körben mozog egy számlap körül. A körben mozgó test sebességét ún lineáris sebesség.
Egy test egyenletes körben történő mozgása esetén a test sebességének modulja nem változik az időben, azaz v = const, és csak a sebességvektor iránya változik, ebben az esetben nincs változás (a r = 0), a sebességvektor irányváltozását pedig egy ún centripetális gyorsulás() a n vagy a CS. A centripetális gyorsulási vektor minden pontban a sugár mentén a kör középpontja felé irányul.
A centripetális gyorsulás modulusa egyenlő
a CS =v 2 / R
Ahol v a lineáris sebesség, ott R a kör sugara
Rizs. 1.22. Test mozgása körben.
Egy test körben való mozgásának leírásánál használjuk sugár forgási szöge– az a φ szög, amelyen keresztül a t idő alatt a kör középpontjától addig a pontig húzott sugár elfordul, ahol a mozgó test abban a pillanatban elhelyezkedik. A forgásszöget radiánban mérjük. egyenlő egy kör két sugara közötti szöggel, amelyek között a körív hossza megegyezik a kör sugarával (1.23. ábra). Vagyis ha l = R, akkor
1 radián = l / R
Mert körméret egyenlő
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Ennélfogva
1 rad. = 57,2958 o = 57 o 18'
Szögsebesség a test egyenletes mozgása a körben az ω érték, amely megegyezik a φ sugár forgásszögének és az elforgatás időtartamának arányával:
ω = φ / t
A szögsebesség mértékegysége a radián per másodperc [rad/s]. A lineáris sebességmodult az l megtett út hosszának a t időintervallumhoz viszonyított aránya határozza meg:
v=l/t
Lineáris sebesség kör körül egyenletes mozgással a kör adott pontjában lévő érintő mentén irányul. Amikor egy pont mozog, a pont által bejárt körív l hosszát a φ elfordulási szöghez viszonyítja a kifejezés
l = Rφ
ahol R a kör sugara.
Ekkor a pont egyenletes mozgása esetén a lineáris és a szögsebességet a következő összefüggés köti össze:
v = l / t = Rφ / t = Rω vagy v = Rω
Rizs. 1.23. Radian.
Keringési időszak– ez az a T időtartam, amely alatt a test (pont) egy fordulatot tesz a kör körül. Frekvencia– ez a forgási periódus reciproka – az időegységenkénti fordulatok száma (másodpercenként). A keringés gyakoriságát n betűvel jelöljük.
n=1/T
Egy pont φ forgásszöge egy periódus alatt egyenlő 2π rad, tehát 2π = ωT, innen
T = 2π/ω
Vagyis a szögsebesség egyenlő
ω = 2π / T = 2πn
Centripetális gyorsulás T periódussal és n keringési gyakorisággal fejezhető ki:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Mivel a lineáris sebesség egyenletesen változtatja az irányt, a körmozgás nem nevezhető egyenletesnek, egyenletesen gyorsul.
Szögsebesség
Válasszunk ki egy pontot a körön 1 . Építsünk egy sugarat. Egy időegység alatt a pont pontra fog mozogni 2 . Ebben az esetben a sugár a szöget írja le. A szögsebesség számszerűen egyenlő a sugár egységnyi idő alatti elfordulási szögével.
Időszak és gyakoriság
Forgatási időszak T- ez az az idő, amely alatt a test egy fordulatot hajt végre.
A forgási frekvencia a másodpercenkénti fordulatok száma.
A gyakoriság és az időszak összefügg a kapcsolattal
Összefüggés a szögsebességgel
Lineáris sebesség
A kör minden pontja bizonyos sebességgel mozog. Ezt a sebességet lineárisnak nevezzük. A lineáris sebességvektor iránya mindig egybeesik a kör érintőjével. Például a csiszológép alól kikerülő szikrák megmozdulnak, megismételve a pillanatnyi sebesség irányát.
Tekintsünk egy pontot a körön, amely egy fordulatot tesz, az eltöltött idő a periódus T A pont által megtett út a kerület.
Centripetális gyorsulás
Körben haladva a gyorsulásvektor mindig merőleges a sebességvektorra, a kör közepe felé irányul.
Az előző képletek felhasználásával a következő összefüggéseket tudjuk levezetni
A kör középpontjából kiinduló, ugyanazon az egyenesen fekvő pontok (például olyan pontok lehetnek, amelyek egy kerék küllőin fekszenek) azonos szögsebességgel, periódussal és gyakorisággal rendelkeznek. Vagyis ugyanúgy fognak forogni, de eltérő lineáris sebességgel. Minél távolabb van egy pont a középponttól, annál gyorsabban fog mozogni.
A forgó mozgásra is érvényes a sebességek összeadásának törvénye. Ha egy test vagy vonatkoztatási rendszer mozgása nem egyenletes, akkor a törvény a pillanatnyi sebességekre vonatkozik. Például egy forgó körhinta szélén sétáló személy sebessége megegyezik a körhinta élének lineáris forgási sebességének és a személy sebességének vektorösszegével.
A Föld két fő forgási mozgásban vesz részt: napi (tengelye körül) és keringési (a Nap körül) mozgásban. A Föld Nap körüli forgási periódusa 1 év vagy 365 nap. A Föld nyugatról keletre forog a tengelye körül, ennek a forgásnak az időtartama 1 nap vagy 24 óra. A szélesség az egyenlítő síkja és a Föld középpontja és a felszínén lévő pont közötti szög.
Newton második törvénye szerint minden gyorsulás oka az erő. Ha egy mozgó test centripetális gyorsulást tapasztal, akkor a gyorsulást okozó erők természete eltérő lehet. Például, ha egy test körben mozog a hozzá kötött kötélen, akkor a ható erő a rugalmas erő.
Ha egy korongon fekvő test a koronggal a tengelye körül forog, akkor ilyen erő a súrlódási erő. Ha az erő megállítja a hatását, akkor a test egyenes vonalban halad tovább
Tekintsük egy pont mozgását egy körön A-ból B-be. A lineáris sebesség egyenlő
Most térjünk át egy helyhez kötött rendszerre, amely a talajhoz kapcsolódik. Az A pont teljes gyorsulása mind nagyságrendben, mind irányban változatlan marad, mivel az egyik tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerből a másikba való átmenet során a gyorsulás nem változik. Az álló megfigyelő szemszögéből az A pont pályája már nem egy kör, hanem egy összetettebb görbe (cikloid), amely mentén a pont egyenetlenül mozog.
A körmozgás a test görbe vonalú mozgásának legegyszerűbb esete. Amikor egy test egy bizonyos pont körül mozog, az elmozdulásvektorral együtt célszerű megadni a radiánban mért ∆ φ szögeltolódást (a kör középpontjához viszonyított elfordulás szöge).
A szögeltolódás ismeretében kiszámolhatja a test által megtett körív (útvonal) hosszát.
∆ l = R ∆ φ
Ha a forgásszög kicsi, akkor ∆ l ≈ ∆ s.
Illusztráljuk az elhangzottakat:
Szögsebesség
A görbe vonalú mozgásnál bevezetjük az ω szögsebesség fogalmát, vagyis a forgásszög változási sebességét.
Meghatározás. Szögsebesség
A szögsebesség a pálya adott pontjában a ∆ φ szögeltolódás és az a ∆ t időintervallum arányának határa, amely alatt az bekövetkezett. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t, ∆ t → 0.
A szögsebesség mértékegysége a radián per másodperc (r a d s).
A körben mozgó test szög- és lineáris sebessége között összefüggés van. Képlet a szögsebesség meghatározásához:
Egyenletes körmozgás esetén a v és ω sebességek változatlanok maradnak. Csak a lineáris sebességvektor iránya változik.
Ebben az esetben az egyenletes mozgás a körben centripetális vagy normál gyorsulással hat a testre, amelyet a kör sugara mentén a középpontjába irányítanak.
a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
A centripetális gyorsulás modulusa a következő képlettel számítható ki:
a n = v 2 R = ω 2 R
Bizonyítsuk be ezeket az összefüggéseket.
Nézzük meg, hogyan változik a v → vektor rövid ∆ t idő alatt. ∆ v → = v B → - v A → .
Az A és B pontokban a sebességvektor tangenciálisan irányul a körre, míg a sebességmodulok mindkét pontban azonosak.
A gyorsulás definíciója szerint:
a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Nézzük a képet:
Az OAB és a BCD háromszögek hasonlóak. Ebből következik, hogy O A A B = B C C D .
Ha a ∆ φ szög értéke kicsi, akkor az A B = ∆ s ≈ v · ∆ t távolság. Figyelembe véve, hogy O A = R és C D = ∆ v a fent vizsgált hasonló háromszögeknél, a következőt kapjuk:
R v ∆ t = v ∆ v vagy ∆ v ∆ t = v 2 R
Ha ∆ φ → 0, a ∆ v → = v B → - v A → vektor iránya megközelíti a kör középpontjának irányát. Feltételezve, hogy ∆ t → 0, a következőt kapjuk:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
Egy kör körüli egyenletes mozgás esetén a gyorsulási modulus állandó marad, és a vektor iránya idővel változik, megtartva a kör középpontjához való tájolást. Ezért nevezzük ezt a gyorsulást centripetálisnak: a vektor bármely pillanatban a kör közepe felé irányul.
A centripetális gyorsulás vektoros formában történő írása így néz ki:
a n → = - ω 2 R → .
Itt R → egy kör olyan pontjának sugárvektora, amelynek origója a középpontjában van.
Általában a körben mozgó gyorsulás két összetevőből áll - normál és érintőleges.
Tekintsük azt az esetet, amikor egy test egyenetlenül mozog egy körben. Vezessük be az érintőleges (tangenciális) gyorsulás fogalmát. Iránya egybeesik a test lineáris sebességének irányával, és a kör minden pontjában érintőlegesen irányul.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Itt ∆ v τ = v 2 - v 1 - a sebességmodul változása a ∆ t intervallum alatt
A teljes gyorsulás irányát a normál és tangenciális gyorsulások vektorösszege határozza meg.
A síkban történő körmozgás két koordinátával írható le: x és y. A test sebessége minden időpillanatban felbontható v x és v y komponensekre.
Ha a mozgás egyenletes, akkor a v x és v y mennyiségek, valamint a megfelelő koordináták időben megváltoznak egy harmonikus törvény szerint, T = 2 π R v = 2 π ω periódussal.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
