Oldjon meg egy homogén lineáris algebrai egyenlet-példát. Alapvető döntési rendszer (konkrét példa)

A szolgáltatás célja. Az online számológépet úgy tervezték, hogy egy nem triviális és alapvető megoldást találjon az SLAE-hez. Az eredményül kapott megoldás egy Word fájlba kerül (lásd a megoldás példáját).

Utasítás. Mátrixdimenzió kiválasztása:

Lineáris homogén egyenletrendszerek tulajdonságai

Tétel. Egy rendszernek m=n esetben akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha ennek a rendszernek a determinánsa nulla.

Tétel. A megoldások bármely lineáris kombinációja egy rendszerre egyben megoldás is a rendszerre.
Meghatározás. A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak halmazát ún alapvető megoldási rendszer, ha ez a halmaz lineárisan független megoldásokból áll, és a rendszer bármely megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja.

Tétel. Ha a rendszermátrix r rangja kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor létezik egy alapvető megoldási rendszer, amely (n-r) megoldásokból áll.

Algoritmus lineáris homogén egyenletrendszerek megoldására

1. A mátrix rangjának megkeresése.
2. Kiválasztjuk az alapmollt. Megkülönböztetünk függő (alap) és szabad ismeretleneket.
3. Áthúzzuk a rendszer azon egyenleteit, amelyek együtthatói nem szerepelnek a bázis-mollban, mivel ezek a többi (a tétel alapján a moll) következményei.
4. A szabad ismeretleneket tartalmazó egyenletek tagjait a jobb oldalra mozgatjuk. Ennek eredményeként egy r egyenletrendszert kapunk, amelyben r ismeretlen, ekvivalens a megadottal, amelynek determinánsa nem nulla.
5. A kapott rendszert az ismeretlenek kiiktatásával oldjuk meg. A függő változókat szabadon keresztül kifejező kapcsolatokat találunk.
6. Ha a mátrix rangja nem egyenlő a változók számával, akkor megtaláljuk a rendszer alapvető megoldását.
7. A cseng = n esetben van egy triviális megoldásunk.

Példa. Keresse meg a vektorrendszer alapját (a 1, a 2,...,a m), rangsorolja és fejezze ki a vektorokat az alap alapján! Ha a 1 =(0,0,1,-1), és 2 =(1,1,2,0), és 3 =(1,1,1,1), és 4 =(3,2,1 ,4), és 5 =(2,1,0,3).
Írjuk fel a rendszer fő mátrixát:

A homogén rendszer mindig konzisztens, és van egy triviális megoldása
. Egy nemtriviális megoldás létezéséhez szükséges, hogy a mátrix rangja kevesebb volt, mint az ismeretlenek száma:

.

A megoldások alapvető rendszere homogén rendszer
megoldások rendszerét nevezzük oszlopvektorok formájában
, amelyek megfelelnek a kanonikus alapnak, i.e. alapja, amelyben tetszőleges állandók
felváltva eggyel, míg a többi nullára van állítva.

Ekkor a homogén rendszer általános megoldása a következőképpen alakul:

Ahol
- tetszőleges állandók. Más szóval, az átfogó megoldás a megoldások alapvető rendszerének lineáris kombinációja.

Így az általános megoldásból alapmegoldásokat kaphatunk, ha a szabad ismeretleneknek sorra egy értéket adunk, az összes többit nullára állítva.

Példa. Keressünk megoldást a rendszerre

Fogadjuk el , akkor a következő formában kapunk megoldást:

Most alkossunk egy alapvető megoldási rendszert:

.

Az általános megoldás így lesz leírva:

A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Más szóval, a megoldások bármely lineáris kombinációja egy homogén rendszerhez ismét megoldás.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel

A lineáris egyenletrendszerek megoldása évszázadok óta foglalkoztatja a matematikusokat. Az első eredmények a 18. században születtek. 1750-ben G. Kramer (1704–1752) publikálta munkáit a négyzetmátrixok determinánsairól, és algoritmust javasolt az inverz mátrix megtalálására. Gauss 1809-ben felvázolt egy új megoldási módszert, az elimináció módszerét.

A Gauss-módszer, vagy az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének módszere abból áll, hogy elemi transzformációkkal egy egyenletrendszert egy lépcsős (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukálunk. Az ilyen rendszerek lehetővé teszik az összes ismeretlen szekvenciális megtalálását egy bizonyos sorrendben.

Tegyük fel, hogy az (1) rendszerben
(ami mindig lehetséges).

(1)

Az első egyenletet egyesével megszorozva az ún megfelelő számok

és összeadva a szorzás eredményét a rendszer megfelelő egyenleteivel, egy ekvivalens rendszert kapunk, amelyben az első kivételével az összes egyenletben nem lesz ismeretlen x 1

(2)

Most szorozzuk meg a (2) rendszer második egyenletét megfelelő számokkal, feltételezve, hogy

,

és az alacsonyabbakkal összeadva kiküszöböljük a változót minden egyenletből, a harmadiktól kezdve.

Ezt a folyamatot folytatva, miután
lépést kapunk:

(3)

Ha a számok közül legalább az egyik
nem egyenlő nullával, akkor a megfelelő egyenlőség ellentmondásos és az (1) rendszer inkonzisztens. Ezzel szemben bármilyen közös számrendszerhez
egyenlők nullával. Szám nem más, mint az (1) rendszer mátrixának rangja.

Az (1) rendszerből a (3) rendszerbe való átmenetet nevezzük egyenesen előre Gauss-módszer, és az ismeretlenek megtalálása a (3)-ból – hátrafelé .

Megjegyzés : Kényelmesebb a transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem a rendszer kiterjesztett mátrixával (1) végezni.

Példa. Keressünk megoldást a rendszerre

.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

.

Adjuk hozzá az elsőt a 2,3,4 sorokhoz, szorozva (-2), (-3), (-2)-vel:

.

Cseréljük fel a 2. és 3. sort, majd a kapott mátrixban adjuk hozzá a 2. sort a 4. sorhoz, megszorozva :

.

Adja hozzá a 4. sorhoz a 3. sor szorzatát
:

.

Ez nyilvánvaló
, ezért a rendszer konzisztens. A kapott egyenletrendszerből

fordított helyettesítéssel találjuk meg a megoldást:

,
,
,
.

2. példa Keressen megoldást a rendszerre:

.

Nyilvánvaló, hogy a rendszer következetlen, mert
, A
.

A Gauss-módszer előnyei :

Kevésbé munkaigényes, mint Cramer módszere.

Egyértelműen megállapítja a rendszer kompatibilitását, és lehetővé teszi a megoldás megtalálását.

Lehetővé teszi bármely mátrix rangjának meghatározását.

A lineáris egyenletet ún homogén, ha szabad tagja nulla, egyébként pedig inhomogén. A homogén egyenletekből álló rendszert homogénnek nevezzük, és általános formája:

Nyilvánvaló, hogy minden homogén rendszer konzisztens, és van nulla (triviális) megoldása. Ezért, ha homogén lineáris egyenletrendszerekre alkalmazzuk, gyakran választ kell keresni a nullától eltérő megoldások létezésének kérdésére. A kérdésre a válasz a következő tételként fogalmazható meg.

Tétel . Egy homogén lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor rendelkezik nullától eltérő megoldással, ha a rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma .

Bizonyíték: Tegyük fel, hogy egy egyenlő rangú rendszernek van egy nem nulla megoldása. Nyilvánvalóan nem haladja meg. Abban az esetben, ha a rendszernek van egyedi megoldása. Mivel a homogén lineáris egyenletrendszernek mindig van nulla megoldása, akkor a nulla megoldás lesz ez az egyedi megoldás. Így a nullától eltérő megoldások csak a esetén lehetségesek.

Következmény 1 : Egy homogén egyenletrendszernek, amelyben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, mindig van nullától eltérő megoldása.

Bizonyíték: Ha egy egyenletrendszerben van , akkor a rendszer rangja nem haladja meg az egyenletek számát, azaz. . Így a feltétel teljesül, és ezért a rendszer nullától eltérő megoldással rendelkezik.

Következmény 2 : Az ismeretleneket tartalmazó homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a determinánsa nulla.

Bizonyíték: Tegyük fel, hogy egy lineáris homogén egyenletrendszernek, amelynek mátrixa a determinánssal van, nem nulla megoldása van. Ekkor a bizonyított tétel szerint, és ez azt jelenti, hogy a mátrix szinguláris, azaz .

Lineáris algebrai egyenletek homogén rendszere.

Az m lineáris egyenletrendszert n változóval lineáris homogén egyenletrendszernek nevezzük, ha minden szabad tag 0. A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, mert mindig van legalább nulla megoldása. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nem nulla megoldása, ha a változókra vonatkozó együtthatómátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, azaz. A ranghoz (n. Bármilyen lineáris kombináció

Lin rendszermegoldások. homogén. ur-ii is megoldás erre a rendszerre.

Az e1, e2,...,еk lineáris független megoldások rendszerét fundamentálisnak nevezzük, ha a rendszer minden megoldása megoldások lineáris kombinációja. Tétel: ha egy lineáris homogén egyenletrendszer változóihoz tartozó együtthatómátrix r rangja kisebb, mint az n változók száma, akkor a rendszer minden alapvető megoldási rendszere n-r megoldásból áll. Ezért a lineáris rendszer általános megoldása. egy nap ur-th alakja: c1e1+c2e2+...+skek, ahol e1, e2,..., ek bármely alapvető megoldási rendszer, c1, c2,...,ck tetszőleges számok és k=n-r. Egy m lineáris egyenletrendszer általános megoldása n változóval egyenlő az összeggel

a neki megfelelő rendszer általános megoldásának homogén. lineáris egyenletek és ennek a rendszernek egy tetszőleges konkrét megoldása.

7. Lineáris terek. Alterek. Alap, méret. Lineáris héj. A lineáris teret ún n-dimenziós, ha van benne lineárisan független vektorrendszer, és bármely nagyobb számú vektorból álló rendszer lineárisan függő. A számot hívják dimenzió (méretek száma) lineáris tér és jelölése . Más szóval, egy tér dimenziója a tér lineárisan független vektorainak maximális száma. Ha létezik ilyen szám, akkor a teret véges dimenziósnak nevezzük. Ha bármely n természetes számra létezik olyan rendszer a térben, amely lineárisan független vektorokból áll, akkor az ilyen teret végtelen dimenziósnak nevezzük (írva: ). A következőkben, hacsak másképp nem jelezzük, véges dimenziós tereket fogunk figyelembe venni.

Az n-dimenziós lineáris tér alapja lineárisan független vektorok rendezett gyűjteménye ( bázisvektorok).

8.1. Tétel egy vektor bázisos kiterjesztésére. Ha egy n-dimenziós lineáris tér alapja, akkor bármely vektor ábrázolható bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
és ráadásul az egyetlen módon, i.e. az együtthatókat egyedileg határozzák meg. Más szóval, a tér bármely vektora bázissá bővíthető, ráadásul egyedi módon.

Valójában a tér dimenziója . A vektorok rendszere lineárisan független (ez egy alap). Miután bármilyen vektort hozzáadtunk a bázishoz, egy lineárisan függő rendszert kapunk (mivel ez a rendszer n-dimenziós tér vektoraiból áll). 7 lineárisan függő és lineárisan független vektor tulajdonságát felhasználva megkapjuk a tétel következtetését.

6.3. HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

Engedjük be a rendszert (6.1).

A homogén rendszer mindig konzisztens. megoldás () nak, nek hívják nulla, vagy jelentéktelen.

Egy homogén rendszernek (6.1) akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a rangja ( ) kisebb, mint az ismeretlenek száma. Különösen egy homogén rendszernek, amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, akkor és csak akkor van nem nulla megoldása, ha a determinánsa nulla.

Mert ezúttal mindent, a (6.6) képletek helyett a következőket kapjuk:

(6.7)

A (6.7) képletek tartalmazzák a (6.1) homogén rendszer bármely oldatát.

1. A (6.1) homogén lineáris egyenletrendszer összes megoldásának halmaza egy lineáris teret alkot.

2. Lineáris térRa (6.1) homogén lineáris egyenletrendszer összes megoldása azzalnismeretlenek és a főmátrix rangja egyenlőr, van méreten–r.

bármely halmaza (n–r) a (6.1) homogén rendszer lineárisan független megoldásai térbeli alapot képeznekRminden döntést. Ez az úgynevezett alapvető a (6.1) homogén egyenletrendszer megoldásainak halmaza. Különös hangsúlyt kap "Normál" a homogén rendszer (6.1) megoldásainak alapvető halmaza:

(6.8)

Az alap meghatározása szerint bármilyen megoldás x homogén rendszer (6.1) ábrázolható formában

(6.9)

Ahol – tetszőleges állandók.

Mivel a (6.9) képlet a (6.1) homogén rendszer tetszőleges megoldását tartalmazza, megadja közös döntés ezt a rendszert.

Példa.

Megoldás számológép segítségével találja meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, a base minort; Kijelentjük a függő és szabad ismeretleneket, és általános megoldást találunk.

2. példa Keresse meg a rendszer általános megoldását és alapvető megoldási rendszerét!
Megoldás.



,
ebből következik, hogy a mátrix rangja 3 és egyenlő az ismeretlenek számával. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.

Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa

Gyakorlat . Keresse meg az egyes rendszerek általános és sajátos megoldásait.
Megoldás.Írjuk fel a rendszer fő mátrixát:

Feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.