Geometriai feladatok megoldása: négyszögek megoldása. A paralelogramma területe A paralelogramma területe egyenlő az átlók szorzatának felével

4. feladat.

A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót.

Megoldás.

1. AO = 2√6.

2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Válasz: 12.

5. feladat.

Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét!

Megoldás.

Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel.

1. Számoljunk két különbözőt
módon a területét.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Az 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill.

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Egy paralelogramma oldalai és átlói közötti összefüggést felhasználva írjuk fel az egyenlőséget

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Hozzunk létre egy rendszert:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

A rendszer második egyenletét szorozzuk meg 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz.

Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24.

Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24.

Válasz: 24.

6. feladat.

A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 fok. Keresse meg a paralelogramma területét.

Megoldás.

1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját.

Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

A d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk.

3. Van egy rendszerünk
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 · d 2 √2 = 80 ill.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, arra számítva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához.

Válasz: 10.

7. feladat.

A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét!

Megoldás.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Végezzünk helyettesítést a képletben.

96 = 8 · 15 · sin ВAD. Ezért sin ВAD = 4/5.

2. Keressük meg a cos VAD-ot. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

A feladat feltételei szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A ВD átló kisebb lesz, ha a ВАD szög hegyes. Akkor cos VAD = 3/5.

3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145.

Válasz: 145.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

1. tétel. A trapéz területe az alapjai összegének felének és magasságának a szorzata:

2. tétel. A trapéz átlói négy háromszögre osztják, amelyek közül kettő hasonló, a másik kettő pedig azonos területű:

3. tétel. A paralelogramma területe egyenlő az alap és az adott alap által lesüllyesztett magasság szorzatával, vagy két oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával:

4. tétel. Egy paralelogrammában az átlók négyzeteinek összege egyenlő az oldalai négyzeteinek összegével:

5. tétel. Egy tetszőleges konvex négyszög területe egyenlő az átlói és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatának felével:

6. tétel. Egy körre körülírt négyszög területe megegyezik a négyszög fél kerületének és az adott kör sugarának szorzatával:

7. tétel. Az a négyszög, amelynek csúcsai egy tetszőleges konvex négyszög oldalainak felezőpontjai, olyan paralelogramma, amelynek területe egyenlő az eredeti négyszög területének felével:

8. tétel. Ha egy konvex négyszög átlói egymásra merőlegesek, akkor ennek a négyszögnek a szemközti oldalainak négyzetösszege egyenlő:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

A cikk a DKROST cég támogatásával jelent meg. Gyermek csúszdák, házak, homokozók és még sok más - játszóterek gyártása és értékesítése nagy- és kiskereskedelem. A legalacsonyabb árak, kedvezmények, rövid gyártási idők, szakorvoslátogatás és konzultáció, minőségi garancia. A cégről többet megtudhat, megtekintheti a termékkatalógust, az árakat és az elérhetőségeket a következő webhelyen: http://dkrost.ru/.

Néhány tétel bizonyítása

A 2. tétel bizonyítása. Legyen ABCD egy adott trapéz, AD és BC az alapjai, O ennek a trapéznek az AC és BD átlóinak metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy az AOB és a COD háromszögek területe azonos. Ehhez engedje le a BP és CQ merőlegeseket a B és C pontokból az AD egyenesre. Ekkor az ABD háromszög területe

És az ACD háromszög területe

Mivel BP = CQ, akkor S∆ABD = S∆ACD. De az AOB háromszög területe az ABD és az AOD háromszögek területe közötti különbség, a COD háromszög területe pedig az ACD és az AOD háromszögek területe közötti különbség. Ezért az AOB és a COD háromszögek területei egyenlőek, amint azt bizonyítani kell.

A 4. tétel bizonyítása. Legyen ABCD paralelogramma, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Alkalmazzuk a koszinusz tételt az ABD háromszögre:

Most a koszinusz tételt alkalmazva az ACD háromszögre, a következőt kapjuk:

A kapott egyenlőségeket tagonként összeadva azt kapjuk, hogy Q.E.D.

Az 5. tétel bizonyítása. Legyen ABCD tetszőleges konvex négyszög, E átlóinak metszéspontja, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Nekünk van:

Q.E.D.

A 6. tétel bizonyítása. Legyen ABCD egy tetszőleges körre körülírt négyszög, O ennek a körnek a középpontja, OK, OL, OM és ON az O pontból az AB, BC, CD és AD egyenesekre húzott merőlegesek. Nekünk van:

ahol r a kör sugara és p az ABCD négyszög fél kerülete.

A 7. tétel bizonyítása. Legyen ABCD tetszőleges konvex négyszög, K, L, M és N az AB, BC, CD és AD oldal felezőpontja. Mivel KL az ABC háromszög felezővonala, akkor a KL egyenes párhuzamos az AC egyenessel, és az MN egyenes párhuzamos az AC egyenessel, ezért a KLMN egy paralelogramma. Tekintsük a KBL háromszöget. Területe egyenlő az ABC háromszög területének egynegyedével. Az MDN háromszög területe szintén megegyezik az ACD háromszög területének negyedével. Ennélfogva,

Hasonlóképpen,

Ez azt jelenti

honnan következik az

A 8. tétel bizonyítása. Legyen ABCD egy tetszőleges konvex négyszög, amelynek átlói egymásra merőlegesek, legyen E az átlók metszéspontja,
AE = a, BE = b, CE = c, DE = d. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt az ABE és CDE háromszögekre:
AB2 = AE2 + BE2 = a 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
ennélfogva,
AB2 + CD2 = a 2 + b2 + c2 + d2 .
Most a Pitagorasz-tételt alkalmazva az ADE és BCE háromszögekre, megkapjuk:
AD2 = AE2 + DE2 = a 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
honnan következik az
AD2 + BC2 = a 2 + b2 + c2 + d2 .
Ez azt jelenti, hogy AB2 + CD2 = AD2 + BC2, amit bizonyítani kellett.

Probléma megoldások

1. probléma. A kör körül egy α és β alapszögű trapézt írunk le. Keresse meg a trapéz területének és a kör területének arányát.

Megoldás. Legyen ABCD egy adott trapéz, AB és CD az alapjai, DK és CM a C és D pontokból az AB egyenesre húzott merőlegesek. A szükséges arány nem függ a kör sugarától. Ezért feltételezzük, hogy a sugár 1. Ekkor a kör területe egyenlő π-vel, keressük meg a trapéz területét. Mivel az ADK háromszög derékszögű, akkor

Hasonlóképpen a BCM derékszögű háromszögből azt kapjuk, hogy mivel egy adott trapézba kör írható, a szemközti oldalak összege egyenlő:
AB + CD = AD + BC,
honnan találjuk?

Tehát a trapéz területe

és a szükséges arány egyenlő
Válasz:

2. probléma. Az ABCD konvex négyszögben az A szög egyenlő 90°-kal, és a C szög nem haladja meg a 90°-ot. A B és D csúcsokból BE és DF merőlegeseket ejtünk az AC átlóra. Ismeretes, hogy AE = CF. Bizonyítsuk be, hogy C szög jó.

Bizonyíték. Mivel az A szög 90°,
és a C szög nem haladja meg a 90°-ot, akkor az E és F pont az AC átlón fekszik. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy az AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Elég bebizonyítanunk, hogy α + β + γ + δ = π. Mert

honnan kapjuk azt, amit bizonyítani kellett.

3. probléma. Egy körre körülírt egyenlő szárú trapéz kerülete egyenlő p-vel. Határozzuk meg ennek a körnek a sugarát, ha tudjuk, hogy a trapéz alapjának hegyesszöge egyenlő α-val.
Megoldás. Legyen ABCD egy adott egyenlő szárú trapéz AD és BC bázisokkal, legyen BH ennek a trapéznek a B csúcsból kiesett magassága.
Mivel egy adott trapézbe kör írható, akkor

Ennélfogva,

Az ABH derékszögű háromszögből azt találjuk,

Válasz:

4. probléma. Adott egy AD és BC bázisú ABCD trapéz. Az AC és BD átlók az O pontban, az AB és CD egyenesek pedig a K pontban metszik egymást. A KO egyenes a BC és AD oldalakat M és N pontban metszi, és a BAD szög 30°. Ismeretes, hogy az ABMN és NMCD trapézokba kör írható. Határozzuk meg a BKC háromszög és az ABCD trapéz területének arányát!

Megoldás. Mint ismeretes, egy tetszőleges trapéz esetében az átlók metszéspontját és az oldalsó oldalak nyúlványainak metszéspontját összekötő egyenes az egyes alapokat felére osztja. Tehát BM = MC és AN = ND. Továbbá, mivel az ABMN és NMCD trapézba kör írható, akkor
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Ebből következik, hogy AB = CD, vagyis az ABCD trapéz egyenlő szárú. A szükséges területarány nem függ a léptéktől, ezért feltételezhetjük, hogy KN = x, KM = 1. Az AKN és BKM derékszögű háromszögekből azt kapjuk, hogy Újraírva a fent már használt összefüggést
BM + AN = AB + MN ⇔

Ki kell számolnunk az arányt:

Itt azt a tényt használtuk, hogy az AKD és BKC háromszögek területei a KN és a KM oldalak négyzeteiként, azaz x2-ként viszonyulnak egymáshoz.

Válasz:

5. feladat. Egy ABCD konvex négyszögben az E, F, H, G pontok az AB, BC, CD, DA oldalak felezőpontjai, O pedig az EH és FG szakaszok metszéspontja. Ismeretes, hogy EH = a, FG = b, Határozza meg a négyszög átlóinak hosszát.

Megoldás. Ismeretes, hogy ha egy tetszőleges négyszög oldalainak felezőpontjait sorba kötjük, akkor paralelogrammát kapunk. Esetünkben EFHG paralelogramma, O pedig átlóinak metszéspontja. Akkor

Alkalmazzuk a koszinusz tételt az FOH háromszögre:

Mivel FH a BCD háromszög középvonala, akkor

Hasonlóképpen a koszinusztételt alkalmazva az EFO háromszögre azt kapjuk, hogy

Válasz:

6. feladat. A trapéz oldaloldalai 3 és 5. Ismeretes, hogy a trapézbe kör írható. A trapéz középvonala két részre osztja, területük aránya megegyezik a Trapéz alapjainak megkeresésével.

Megoldás. Legyen ABCD egy adott trapéz, AB = 3 és CD = 5 oldaloldalai, K és M pontok az AB és CD oldalak felezőpontjai. A határozottság kedvéért legyen AD > BC, akkor az AKMD trapéz területe nagyobb lesz, mint a KBCM trapéz területe. Mivel a KM az ABCD trapéz középvonala, az AKMD és a KBCM trapézok azonos magasságúak. Mivel a trapéz területe egyenlő az alapok és a magasság felének szorzatával, a következő egyenlőség igaz:

Továbbá, mivel az ABCD trapézba kör írható, akkor AD + BC = AB + CD = 8. Ekkor KM = 4 az ABCD trapéz középvonalaként. Legyen BC = x, akkor AD = 8 – x. Nekünk van:
Tehát BC = 1 és AD = 7.

Válasz: 1. és 7.

7. probléma. Az ABCD trapéz AB alapja kétszer olyan hosszú, mint a CD alap, és kétszer olyan hosszú, mint az AD oldal. Az AC átló hossza a a, és a BC oldal hossza egyenlő b-vel. Keresse meg a trapéz területét.

Megoldás. Legyen E a trapéz oldaloldalai kiterjesztésének metszéspontja és CD = x, akkor AD = x, AB = 2x. A CD szakasz párhuzamos az AB szakasszal, és fele a hosszúságának, ami azt jelenti, hogy CD az ABE háromszög középvonala. Ezért CE = BC = b és DE = AD = x, tehát AE = 2x. Tehát az ABE háromszög egyenlő szárú (AB = AE), és AC a mediánja. Ezért az AC ennek a háromszögnek a magassága is, ami azt jelenti

Mivel a DEC háromszög hasonló az AEB háromszöghöz hasonlósági együtthatóval, akkor

Válasz:

8. probléma. Az ABCD trapéz átlói az E pontban metszik egymást. Határozzuk meg a BCE háromszög területét, ha a trapéz alapjainak hossza AB = 30, DC = 24, oldalai AD = 3 és a DAB szög 60°.

Megoldás. Legyen DH a trapéz magassága. Az ADH háromszögből azt találjuk

Mivel a C csúcsból kiesett ABC háromszög magassága megegyezik a trapéz DH magasságával, így van:

Válasz:

9. probléma. A trapézban a középvonal 4, és az egyik alapnál a szögek 40° és 50°. Határozzuk meg a trapéz alapjait, ha az alapok felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő 1-gyel.

Megoldás. Legyen ABCD egy adott trapéz, AB és CD az alapjai (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Hosszabbítsa meg a DA és CB oldalakat az E pont metszéspontjáig. Tekintsük az ABE háromszöget, amelyben ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
ezért ∠AEB = 90°. Ennek a háromszögnek a derékszög csúcsából húzott EM mediánja egyenlő a befogó felével: EM = AM. Legyen EM = x, majd AM = x, DN = 4 – x. A feladat feltétele szerint MN = 1, tehát
EN = x + 1. Az AEM és DEN háromszögek hasonlóságából a következőt kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy AB = 3 és CD = 5.

Válasz: 3 és 5.

10. probléma. Az ABCD konvex négyszög egy olyan körre van körülírva, amelynek középpontja az O pontban van, ahol AO = OC = 1, BO = OD = 2. Határozzuk meg az ABCD négyszög kerületét!

Megoldás. Legyen K, L, M, N az AB, BC, CD, DA oldalú kör érintőpontjai, r pedig a kör sugara. Mivel egy kör érintője merőleges az érintési pontra húzott sugárra, az AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO háromszögek téglalap alakúak. A Pitagorasz-tételt ezekre a háromszögekre alkalmazva azt kapjuk, hogy

Ezért AB = BC = CD = DA, vagyis az ABCD egy rombusz. A rombusz átlói merőlegesek egymásra, metszéspontjuk a beírt kör középpontja. Innen könnyen megállapíthatjuk, hogy a rombusz oldala egyenlő, ezért a rombusz kerülete egyenlő

Válasz:

Önállóan megoldandó problémák

S-1. Az egyenlő oldalú ABCD trapéz egy r sugarú kör körül van körülírva. Legyen E és K ennek a körnek a trapéz oldalaival való érintési pontjai. A trapéz AB alapja és AD oldala közötti szög 60°. Bizonyítsuk be, hogy EK párhuzamos AB-vel, és keressük meg az ABEK trapéz területét.
S-2. A trapézban az átlók 3 és 5, az alapok felezőpontjait összekötő szakasz pedig 2. Határozza meg a trapéz területét.
S-3. Leírható-e egy ABCD négyszög körüli kör, ha ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4. Az ABCD trapézben (AB az alap) a DAB, BCD, ADC, ABD és ADB szögek értékei számtani progressziót alkotnak (írásuk sorrendjében). Határozza meg a távolságot a C csúcstól a BD átlóig, ha a trapéz magassága h.
S-5. Adott egy egyenlő szárú trapéz, amelybe egy kör van beírva, és amely köré a kör van körülírva. A trapéz magasságának és a körülírt kör sugarának aránya: Keresse meg a trapéz szögeit.
S-6. Az ABCD téglalap területe 48, az átló hossza 10. A síkon, amelyben a téglalap található, kiválasztunk egy O pontot úgy, hogy OB = OD = 13. Határozzuk meg az O pont és a csúcs távolságát attól a téglalaptól, amelyik a legtávolabb van.
S-7. Az ABCD paralelogramma kerülete 26. Az ABC szög 120°. A BCD háromszögbe írt kör sugara Határozzuk meg a paralelogramma oldalainak hosszát, ha tudjuk, hogy AD > AB.
S-8. Az ABCD négyszög olyan körbe van írva, amelynek középpontja az O pontban van. Az OA sugár merőleges az OB sugárra, az OC sugár pedig merőleges az OD sugárra. A C pontból az AD egyenesre ejtett merőleges hossza 9. A BC szakasz hossza fele az AD szakasz hosszának. Keresse meg az AOB háromszög területét.
S-9. Egy ABCD konvex négyszögben az A és C csúcsok egymással szemben vannak, az AB oldal hossza pedig 3. Az ABC szög egyenlő a BCD szöggel egyenlő az AD oldal hosszának meghatározása, ha tudja, hogy a négyszög területe

S-10. Egy ABCD konvex négyszögben az AC és a BD átlók megrajzolódnak. Ismeretes, hogy
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, és az ABD háromszög felezőpontja és az ACD háromszög felezőpontja közötti távolság: Határozza meg a BC oldal hosszát.
S-11. Legyen M az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja, amelyben az AB, AD és BC oldalak egyenlőek. Keresse meg a CMD szöget, ha ismert, hogy DM = MC,
és ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12. Az ABCD négyszögben tudjuk, hogy ∠A = 74°, ∠D = 120°. Határozzuk meg a B és C szögfelezők közötti szöget!
S-13. Az ABCD négyszögbe kör írható. Legyen K az átlóinak metszéspontja. Ismeretes, hogy AB > BC > KC, és a BKC háromszög kerülete és területe 14, illetve 7.
S-14. Egy körre körülírt trapézben ismert, hogy BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Keresse meg az AB-t, ha az ABCD trapéz területe 10.
S-15. Az AB és CD bázisú ABCD trapézben ismert, hogy ∠CAB = 2∠DBA. Keresse meg a trapéz területét.
S-16. Az ABCD paralelogrammán ismert, hogy AC = a, ∠CAB = 60°. Keresse meg a paralelogramma területét.
S-17. Az ABCD négyszögben az AC és a BD átlók a K pontban metszik egymást. Az L és M pont a BC és AD oldal felezőpontja. Az LM szakasz tartalmazza a K pontot. Az ABCD négyszög olyan, hogy kör írható bele. Határozzuk meg ennek a körnek a sugarát, ha AB = 3, és LK: KM = 1:3.
S-18. Egy ABCD konvex négyszögben az AC és a BD átlók megrajzolódnak. Ebben az esetben ∠BAC =
= ∠BDC, és a BDC háromszögre körülírt kör területe egyenlő
a) Határozzuk meg az ABC háromszög körül körülírt kör sugarát!
b) Ha tudjuk, hogy BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, keresse meg az ABCD négyszög területét.

jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (parallelogramma rész). Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A problémamegoldásokban a négyzetgyök kinyerésének jelzésére a √ vagy sqrt() szimbólumot használjuk, zárójelben a gyök kifejezéssel.

Elméleti anyag

Magyarázatok a paralelogramma területének meghatározására szolgáló képletekhez:

1. A paralelogramma területe egyenlő az egyik oldala hosszának és az oldal magasságának szorzatával
2. A paralelogramma területe egyenlő a két szomszédos oldal és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával
3. A paralelogramma területe egyenlő az átlói és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével

Problémák a paralelogramma területének megtalálásához

Megoldás.
Jelöljük BK-nak a B pontból a nagyobb AD alapba süllyesztett ABCD paralelogramma kisebb magasságát.
Határozzuk meg egy ABK derékszögű háromszög lábának értékét, amelyet egy kisebb magasság, egy kisebb oldal és egy nagyobb alap egy része alkot. A Pitagorasz-tétel szerint:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82-81
AK = 1

Hosszabbítsuk meg a BC paralelogramma felső alapját, és engedjük le rá az AN magasságot az alsó alapjától. AN = BK, mint az ANBK téglalap oldalai. Határozzuk meg a kapott ANC derékszögű háromszög NC oldalát.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225-81
NC 2 = √144
NC=12

Most keressük meg az ABCD paralelogramma nagyobb BC bázisát.
BC = NC - NB
Vegyük tehát figyelembe, hogy a téglalap oldalaiként NB = AK
Kr.e. = 12 - 1 = 11

A paralelogramma területe megegyezik az alap és az alap magasságának szorzatával.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Válasz: 99 cm 2 .

Feladat

Megoldás.
Dobjunk egy másik merőleges DK-t az AC átlóra.
Ennek megfelelően az AOB és DKC, COB és AKD háromszögek páronként egyenlőek. Az egyik oldal a paralelogramma ellentétes oldala, az egyik szög egyenes, mivel merőleges az átlóra, a fennmaradó szögek egyike pedig a paralelogramma és a metsző párhuzamos oldalainak belső keresztje. átlós.

Így a paralelogramma területe megegyezik a jelzett háromszögek területével. Azaz
Párhuzamos = 2S AOB + 2S BOC

A derékszögű háromszög területe egyenlő a lábak szorzatának felével. Ahol
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Válasz: 56 cm 2 .

A paralelogramma területének képlete

A paralelogramma területe egyenlő az oldalának és az oldal magasságának szorzatával.

Bizonyíték

Ha a paralelogramma téglalap, akkor az egyenlőséget a téglalap területére vonatkozó tétel teljesíti. Ezután feltételezzük, hogy a paralelogramma szögei nem megfelelőek.

Legyen $\angle BAD$ hegyesszög az $ABCD$ paralelogrammában és $AD > AB$. Ellenkező esetben átnevezzük a csúcsokat. Ekkor a $B$ csúcstól a $AD$ egyenesig terjedő $BH$ magasság az $AD$ oldalra esik, mivel a $AH$ láb rövidebb, mint a $AB$ hipotenuzusz, és $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Hasonlítsuk össze az $ABCD$ paralelogramma és a $HBCK$ téglalap területét. A paralelogramma területe nagyobb az $\háromszög ABH$ területével, de kisebb a $\háromszög DCK$ területével. Mivel ezek a háromszögek egyenlőek, területük egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a paralelogramma területe megegyezik egy téglalap területével, amelynek oldalai hossza egymás mellett van, és a paralelogramma magassága.

A paralelogramma területének képlete oldalak és szinusz felhasználásával

A paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával.

Bizonyíték

Az $AB$ oldalra ejtett $ABCD$ paralelogramma magassága megegyezik a $BC$ szakasz és az $\angle ABC$ szög szinuszának szorzatával. Marad az előző állítás alkalmazása.

A paralelogramma területének képlete az átlók segítségével

A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével.

Bizonyíték

Legyen az $ABCD$ paralelogramma átlói a $O$ pontban $\alpha$ szöget bezárva. Ekkor $AO=OC$ és $BO=OD$ a paralelogramma tulajdonság alapján. A $180^\circ$ összegű szögek szinuszai egyenlőek: $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Ez azt jelenti, hogy a szögek szinuszai az átlók metszéspontjában megegyeznek a $\sin \alpha$ értékkel.

$S_(ABCD)=S_(\háromszög AOB) + S_(\háromszög BOC) + S_(\háromszög COD) + S_(\háromszög AOD)$

területmérés axiómája szerint. Ezekre a háromszögekre és szögekre alkalmazzuk a $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ háromszög területképletét, amikor az átlók metszik egymást. Mindegyik oldala egyenlő az átlók felével, és a szinuszok is egyenlők. Ezért mind a négy háromszög területe egyenlő: $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Összegezve a fentieket, azt kapjuk

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságait paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:

1. Egy paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
2. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
3. A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból érkező felezők párhuzamosak egymással, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek
4. Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
5. A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével

Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.

1. feladat.

Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!

Megoldás.

1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.

2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. ABCD kerület = 20 cm.

Válasz. 20 cm.

2. feladat.

Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.

Megoldás.

1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.

2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)

3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.

4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)

5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.

Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.

3. feladat.

Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,