Előadás a "logaritmikus egyenletek" témában. Előadás egy matematika órához "logaritmikus egyenletek megoldása" Osztályozási szempontok

– Logaritmikus egyenletek.

2. dia

Miért találták ki a logaritmusokat?A számítások felgyorsítására.A számítások egyszerűsítésére.Asztronómiai feladatok megoldására.

Egy modern iskolában a matematika tanításának fő formája, a tanítás különböző szervezeti formáinak integrálásának fő láncszeme továbbra is a lecke. A tanulási folyamat során a matematikai anyag elsősorban a feladatmegoldás során valósul meg és asszimilálódik, ezért a matematika órákon az elméletet nem a gyakorlattól elkülönítve tanulják. A logaritmikus egyenletek sikeres megoldásához, amelyekre a tanterv mindössze 3 órát szán, magabiztosan kell ismernie a logaritmusképleteket és a logaritmikus függvény tulajdonságait. A tananyag „Logaritmikus egyenletek” témaköre a logaritmikus függvényeket és a logaritmusok tulajdonságait követi. A helyzetet az exponenciális egyenletekhez képest némileg bonyolítja a logaritmikus függvények definíciós tartományára vonatkozó korlátozások jelenléte. A szorzat, hányados és egyéb logaritmus képletei további fenntartások nélkül egyaránt vezethetnek idegen gyökök megszerzéséhez és a gyökök elvesztéséhez. Ezért gondosan figyelemmel kell kísérni a végrehajtott átalakítások egyenértékűségét.

3. dia

"A logaritmusok feltalálása, miközben csökkentette a csillagász munkáját, meghosszabbította életét."

Téma: „Logaritmikus egyenletek”. Célok: Oktatás: 1. A logaritmikus egyenletek megoldásának alapvető módszereinek megismertetése, megszilárdítása, a tipikus hibák előfordulásának megelőzése. 2. Lehetőséget kell biztosítani minden tanárnak, hogy tesztelje tudását és javítsa tudását. 3. Aktiválja az osztály munkáját különböző munkaformákon keresztül. Fejlesztő: 1. Önkontroll készség fejlesztése. Oktatás: 1. A munkához való felelősségteljes hozzáállás elősegítése. 2. Fejlessze az akaratot és a kitartást a végső eredmények elérése érdekében.

4. dia

1. lecke Óra témája: „Logaritmikus egyenletek megoldási módszerei” Óratípus: Óra az új anyagok bevezetéséről Eszköz: Multimédia.

Az órák alatt. 1Szervezési pont: 2.Alapismeretek frissítése; Egyszerűsítés:

5. dia

Definíció: A logaritmikus előjel alatt változót tartalmazó egyenletet logaritmikusnak nevezzük. A logaritmikus egyenlet legegyszerűbb példája a logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) egyenlet. Megoldási módszerek Egyenletek megoldása a logaritmus definíciója alapján, például a logax = b egyenlet (a > 0, a≠ 1, b>0) megoldása x = ab. Potencírozási módszer. Potenciálás alatt a logaritmusokat tartalmazó egyenlőségről az azokat nem tartalmazó egyenlőségre való átmenetet értjük: ha logaf(x) = logag(x), akkor f(x) = g(x), f(x)>0, g (x )>0, a>0, a≠ 1. Új változó bevezetésének módja. Az egyenlet mindkét oldalának logaritmusának felvételének módszere. Módszer a logaritmusok azonos bázisra redukálására. Funkcionális - grafikus módszer.

6. dia

1 módszer:

A logaritmus definíciója alapján olyan egyenleteket oldanak meg, amelyekben a megadott bázisokból és számokból a logaritmust, a megadott logaritmusból és bázisból a számot, az adott számból és logaritmusból pedig az alapot határozzák meg. Log2 4√2= x, log3√3 x = -2, logx 64= 3, 2x= 4√2, x =3√3 – 2, x3 =64, 2x = 25/2, x =3-3, x3 = 43, x = 5/2. x = 1/27. x =4.

7. dia

2 módszer:

Oldja meg az egyenleteket: lg(x2-6x+9) - 2lg(x - 7) = log9. Az ellenőrzés feltétele mindig az eredeti egyenlet felhasználásával történik. (x2-6x+9) >0, x≠ 3, X-7 >0; x >7; x >7. Először is át kell alakítani az egyenletet a log ((x-3)/(x-7))2 = log9 alakra a hányados képlet logaritmusával. ((x-3)/(x-7))2 = 9, (x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7) = -3, x-3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21, x =9. x=6. idegen gyökér. Az ellenőrzés az egyenlet 9. gyökét mutatja. Válasz: 9

8. dia

3. módszer:

Oldja meg az egyenleteket: log62 x + log6 x +14 = (√16 – x2)2 + x2, 16 – x2 ≥0 ; - 4≤ x ≤ 4; x >0, x >0, O.D.Z. [ 0,4). log62 x + log6 x +14 = 16 – x2 + x2, log62 x + log6 x -2 = 0 cserélje ki a log6 x = t t 2 + t -2 =0 ; D=9; t1 = 1, t2 = -2. log6 x = 1, x = 6 idegen gyök. log6 x = -2, x = 1/36, az ellenőrzés azt mutatja, hogy 1/36 a gyökér. Válasz: 1/36.

9. dia

4 módszer:

Oldja meg a = ZX egyenletet, vegye ki az egyenlet mindkét oldaláról a 3-as alapú logaritmust. Kérdés: 1. Ez egy ekvivalens transzformáció? 2.Ha igen, miért? Azt kapjuk, hogy log3=log3(3x) . A 3. Tétel figyelembevételével a következőt kapjuk: log3 x2 log3x = log3 3x, 2log3x log3x = log3 3+ log3x, 2 log32x = log3x +1, 2 log32x - log3x -1=0, cserélje ki a log3x = t, x >0 2 t2 +t-2=0; D=9; t1 =1, t2 = -1/2 log3х = 1, x = 3, log3х = -1/2, x = 1/√3. Válasz: (3; 1/√3. ).

10. dia

5. módszer:

Oldja meg az egyenleteket: log9(37-12x) log7-2x 3 = 1, 37-12x >0, x0, x

11. dia

6 módszer

Oldja meg az egyenleteket: log3 x = 12's. Mivel az y = log3 x függvény növekszik, az y = 12 függvény pedig csökken (0; + ∞), ezért ezen az intervallumon az adott egyenletnek egy gyöke van. Ami könnyen megtalálható. Ha x=10, az adott egyenletből a helyes numerikus egyenlőség 1=1 lesz. A válasz x=10.

12. dia

Óra összefoglalója. Milyen logaritmikus egyenletek megoldási módszereket tanultunk az órán? Házi feladat: Határozza meg a megoldási módot, és oldja meg a 1547 (a, b), 1549 (a, b), 1554 (a, b), 1554 sz.

13. dia

2. lecke. Óra témája: „Különféle módszerek alkalmazása logaritmikus egyenletek megoldásában.” Az óra típusa: Lecke a tanultak megszilárdítására Az óra előrehaladása. 1. Szervezeti pont: 2. „Teszteld magad” 1)log-3 ((x-1)/5)=? 2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ≥ 0, x

14. dia

3. Gyakorlatok végrehajtása: 1563 (b) sz.

Hogyan lehet megoldani ezt az egyenletet? (új változó bevezetésének módja) log3 2x +3 log3x +9 = 37/ log3 (x/27); x>0 Jelöljük log3x = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3); t ≠ 3, (t-3) (t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37; t3=64; t=4. log3x = 4; x=81. Az ellenőrzéssel meggyőződünk arról, hogy x=81 az egyenlet gyöke.

15. dia

No. 1564 (a); (logaritmus módszer)

log3 x X = 81, vegye a logaritmust a 3. alapra az egyenlet mindkét oldaláról; log3 x log3 X = log3 81; log3x log3x = log381; log3 2x =4; log3x =2, x=9 ; log3 x = -2, x = 1/9. Az ellenőrzéssel meggyőződünk arról, hogy x=9 és x=1/9 az egyenlet gyöke.

16. dia

4. Testnevelési perc (íróasztalnál, ülésben).

1 Az y = log3 X logaritmikus függvény definíciós tartománya a pozitív számok halmaza. 2Az y = log3 X függvény monoton növekszik. 3. A logaritmikus függvény értéktartománya 0-tól végtelenig terjed. 4 logас/в = logа с - logа в. 5 Igaz, hogy log8 8-3 =1.

17. dia

1704.(a) sz.

1-√x =In x Mivel az y=In x függvény növekszik, az y =1-√x függvény pedig csökken (0; + ∞), ezért ezen az intervallumon az adott egyenletnek egy gyöke van. Ami könnyen megtalálható. Ha x=1, akkor az adott egyenletből a helyes numerikus egyenlőség 1=1 lesz. Válasz: x=1.

18. dia

No. 1574(b)

log3 (x + 2y) -2log3 4 = 1 - log3 (x - 2y), log3 (x 2 - 4y 2) = log3 48, log1/4 (x -2y) = -1; log1/4 (x-2y) = -1; x 2 - 4y 2 - 48 =0, x =4 +2y, x =8, x -2y = 4; 16u = 32; y =2. Az ellenőrzéssel megbizonyosodunk arról, hogy a talált értékek a rendszer megoldásai.

19. dia

5. Milyen élvezet a logaritmikus „2. > 3. vígjáték”

1/4 > 1/8 kétségtelenül helyes. (1/2)2 > (1/2)3, ami szintén nem kelt kétséget. A nagyobb szám nagyobb logaritmusnak felel meg, ami azt jelenti, hogy log(1/2)2 > log(1/2)3; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). Az lg(1/2) csökkentés után 2 > 3. - Hol a hiba?

20. dia

6. Futtassa le a tesztet:

1 Keresse meg a definíciós tartományt: y = log0.3 (6x –x2). 1(-∞ ;0) Ư(6 ; + ∞); 2. (-∞ ; -6) Ư(0 ; + ∞); 3.(-6; 0). 4.(0; 6). 2. Keresse meg az értéktartományt: y = 2,5 + log1,7 x! 1(2,5 ; + ∞); 2. (-∞; 2,5); 3 (- ∞ ; + ∞); 4. (0 ; + ∞). 3.Hasonlítsa össze: log0,5 7 és log0,5 5. 1.>. 2.<. :="" log5x="х" .="" log4="">

21. dia

Válasz: 4; 3;2;1;2.

Óra összefoglalója: A logaritmikus egyenletek jó megoldásához fejleszteni kell gyakorlati feladatok megoldásában szerzett készségeit, hiszen ezek jelentik a vizsga és az élet fő tartalmát. Házi feladat: 1563 (a, b), 1464 (b, c), 1567 (b) sz.

22. dia

3. lecke Óra témája: „Logaritmikus egyenletek megoldása” Óra típusa: általánosítás óra, ismeretek rendszerezése Óra haladása 1. Háttérismeretek frissítése:

1. sz. Melyik szám a -1; 0; 1; 2; 4; 8 a log2 x=x-2 egyenlet gyökei? 2. sz. Oldja meg az egyenleteket: a) log16x= 2; c) log2 (2x-x2) -=0; d) log3 (x-1)=log3 (2x+1) 3. sz. Oldja meg az egyenlőtlenségeket: a) log3x> log3 5; b) log0,4x0. 4. szám Keresse meg a függvény definíciós tartományát: y = log2 (x + 4) 5. sz. Hasonlítsa össze a számokat: log3 6/5 és log3 5/6; log0.2 5 és. Log0.2 17. 6. szám Határozza meg az egyenlet gyökeinek számát: log3 X= =-2x+4!

1.Bevezető rész.

A 11. osztály életútjának döntő állomása, az iskola elvégzésének éve, és természetesen az az év, amikor összefoglalja az algebraórákon tanult legfontosabb témákat. Leckénket az ismétlésnek szenteljük.A lecke célja : exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldási módszereinek rendszerezése. Leckénk epigráfja pedig a szavak lesznekStanislav Kowal modern lengyel matematikus: "Az egyenletek az arany kulcs, amely minden matematikai szezámot megnyit." (2. DIA)

2. Szóbeli számolás.

Herbert Spencer angol filozófus ezt mondta: "Az utak nem az a tudás, amely zsírként rakódik le az agyban, az utak azok, amelyek mentális izmokká alakulnak."(3. DIA)

(Két lehetőségnél dolgozunk kártyákkal, majd ellenőrizzük őket.)

370 + 230 3 0,3 7 - 2,1 -23 - 29 -19 + 100

: 50 + 4,1: 7: (-13) : (-3)

· 30: ​​100 · 1,4 · (-17) – 13

340 20 + 0,02 – 32 + 40

________ __________ __________ _________ _________

? ? ? ? ?

280 + 440 2 0,4 8 - 3,2 -35 - 33 -64 + 100

: 60 +1,2: 8: (-17) : (-2)

· 40: 100 · 1,6 · (-13) – 12

220 50 +0,04 – 48 + 30

_________ ________ _________ _________ _________

? ? ? ? ?

A működési idő lejárt. Cserélj kártyát a szomszédoddal.

Ellenőrizze a megoldás és a válaszok helyességét.(4. DIA)

És értékelje a következő kritériumok szerint. (5. DIA)

3. Anyag ismétlése.

a) Exponenciális és logaritmikus függvények grafikonjai és tulajdonságai. (6-9. DIA)

b) Végezze el szóban a táblára írt feladatokat! (Az Egységes Államvizsga feladatbankból)

c) Idézzük fel a legegyszerűbb exponenciális és logaritmikus egyenletek megoldását!

4 x – 1 = 1 27 x = 2·4 x = 64 5 x = 8 x

log 6 x = 3log 7 (x+3) = 2log 11 (2x – 5) =log 11 (x+6)log 5 x 2 = 0

4. Csoportos munka.

Niveus ókori görög költő azzal érvelt, hogy „a matematikát nem lehet úgy megtanulni, ha figyeljük, ahogy a szomszéd csinálja”. Ezért most önállóan fogunk dolgozni.

Gyenge tanulók csoportja oldja meg az Egységes Államvizsga 1. részének egyenleteit.

1.Logaritmikus

.

.

Ha egy egyenletnek több gyöke van, válaszoljon a kisebbel.

2.Tájékoztató

Az erősebb tanulók egy csoportja továbbra is ismételgeti az egyenletek megoldásának módszereit.

Javasoljon módszert az egyenletek megoldására!

1. 4. log 6x (X 2 – 8x) =log 6x (2x - 9)

2. 5.lg 2 x 4 – lg x 14 = 2

3. 6.napló 3 x + log 9 x + log 81 x = 7

5. Házi feladat:

№ 163-165(a), 171(a), 194(a), 195(a)

6. Óra összefoglalója.

Térjünk vissza leckénk epigráfiájához: „Az egyenletek megoldása az arany kulcs, amely minden szezámmagot megnyit.”

Szeretném azt kívánni, hogy mindenki találja meg a maga aranykulcsát az életben, amelynek segítségével bármilyen ajtó megnyílik előttetek.

Az osztály és minden tanuló munkájának egyéni értékelése, értékelő lapok ellenőrzése, osztályzatok kiosztása.

7. Reflexió.

A tanárnak tudnia kell, hogy a tanuló milyen önállóan és milyen magabiztossággal oldotta meg a feladatokat. Ehhez a tanulók válaszolnak a tesztkérdésekre (kérdőív), majd a tanár feldolgozza az eredményeket.

Elégedett vagyok/nem vagyok elégedett az osztályban végzett munkámmal

A lecke rövidnek/hosszúnak tűnt számomra

Az óra alatt nem voltam fáradt/fáradt

A hangulatom jobb lett/rosszabb lett

Az óra anyaga világos/nem világos volt számomra

hasznos/haszontalan

érdekes / unalmas

A számolás és a számítások a rend alapja a fejben

Johann Heinrich Pestalozzi

Hibák keresése:

• log 3 24 – log 3 8 = 16
• log 3 15 + log 3 3 = log 3 5
• log 5 5 3 = 2
• log 2 16 2 = 8
• 3 log 2 4 = log 2 (4*3)
• 3log 2 3 = log 2 27
• log 3 27 = 4
• log 2 2 3 = 8

Kiszámítja:

• napló 2 11 – napló 2 44
• log 1/6 4 + log 1/6 9
• 2log 5 25 + 3log 2 64

x keresése:

• log 3 x = 4
• log 3 (7x-9) = log 3 x

Peer review

Valódi egyenlőség

Kiszámítja

-2

-2

22

Keresse meg x-et

A szóbeli munka eredménye:

„5” - 12-13 helyes válasz

„4” - 10-11 helyes válasz

„3” - 8-9 helyes válasz

„2” - 7 vagy kevesebb

x keresése:

• log 3 x = 4
• log 3 (7x-9) = log 3 x

Meghatározás

• A logaritmus előjele alatt vagy a logaritmus alapjában változót tartalmazó egyenletet ún. logaritmikus

Például, vagy

• Ha egy egyenlet olyan változót tartalmaz, amely nem a logaritmikus előjel alatt van, akkor az nem lesz logaritmikus.

Például,

Nem logaritmikus

Logaritmikusak

1. A logaritmus definíciója szerint

A legegyszerűbb logaritmikus egyenlet megoldása a logaritmus definíciójának alkalmazásán és az ekvivalens egyenlet megoldásán alapul

Példa 1

2. Potencizálás

Potenciálás alatt a logaritmusokat tartalmazó egyenlőségről az azokat nem tartalmazó egyenlőségre való átmenetet értjük:

Miután megoldotta a kapott egyenlőséget, ellenőriznie kell a gyökereket,

mert a potenciálási képletek használata bővül

egyenlet tartománya

2. példa

Oldja meg az egyenletet

Erősítve a következőket kapjuk:

Vizsgálat:

Ha

Válasz

2. példa

Oldja meg az egyenletet

Erősítve a következőket kapjuk:

az eredeti egyenlet gyöke.

EMLÉKEZIK!

Logaritmus és ODZ

együtt

dolgozik

mindenhol!

Édes pár!

Kétféle!

Ő

- LOGARITMUS !

Ő

-

ODZ!

Kettő az egyben!

Egy folyó két partja!

Nem tudunk élni

barát nélkül

barátom!

Közeli és elválaszthatatlan!

3. A logaritmus tulajdonságainak alkalmazása

3. példa

Oldja meg az egyenletet

4. Új változó bevezetése

4. példa

Oldja meg az egyenletet

Az x változóra lépve a következőket kapjuk:

; x = 4 teljesíti az x feltételt 0 tehát

az eredeti egyenlet gyökerei.

Határozza meg az egyenletek megoldásának módját:

Jelentkezés

a logaritmusok szentje

A-priory

Bevezetés

új változó

Potencírozás

A tudás diója nagyon kemény,

De ne merészelj meghátrálni.

Az „Orbit” segít feltörni,

És le a tudásvizsgát.

№ 1 Keresse meg az egyenlet gyökeinek szorzatát!

4) 1,21

3) 0 , 81

2) - 0,9

1) - 1,21

№ 2 Adja meg azt az intervallumot, amelyre a az egyenlet gyöke

1) (- ∞;-2]

3)

2) [ - 2;1]

4) }