Egy háromszög területe - képletek és példák a problémamegoldásra. Tétel a háromszög területének, szinuszok és koszinuszok tételei A háromszög területe koszinusz és két oldal

Megtalálható az alap és a magasság ismeretében. A diagram teljes egyszerűsége abban rejlik, hogy a magasság az a alapot két részre, a 1-re és a 2-re osztja, magát a háromszöget pedig két derékszögű háromszögre, amelyek területe és. Ekkor a teljes háromszög területe a két jelzett terület összege lesz, és ha a magasságból egy másodpercet kiveszünk a zárójelből, akkor az összegben visszakapjuk az alapot:

Nehezebb számítási módszer a Heron-képlet, amelyhez ismerni kell mindhárom oldalt. Ehhez a képlethez először ki kell számítania a háromszög fél kerületét: Maga a Heron képlete magában foglalja a fél kerület négyzetgyökét, amelyet felváltva megszoroznak az oldalak különbségével.

A következő módszer, amely bármely háromszögre is vonatkozik, lehetővé teszi, hogy megtalálja a háromszög területét két oldalon és a köztük lévő szöget. Ezt bizonyítja a magassági képlet - bármelyik ismert oldalra megrajzoljuk a magasságot és az α szög szinuszán keresztül azt kapjuk, hogy h=a⋅sinα. A terület kiszámításához szorozza meg a magasság felét a második oldallal.

Egy másik módszer a háromszög területének megtalálása 2 szög és a köztük lévő oldal ismeretében. Ennek a képletnek a bizonyítása meglehetősen egyszerű, és jól látható a diagramból.

A harmadik szög csúcsától az ismert oldalra csökkentjük a magasságot, és ennek megfelelően hívjuk a kapott x szakaszokat. Derékszögű háromszögekből látható, hogy az első x szakasz egyenlő a szorzattal

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept szerint vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag téglalapnak tekinthető, amelynek egyik oldala a salátát, a másik oldala pedig a vizet. E két oldal összege a borscsot jelzi. Az ilyen „borscht” téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei, akárcsak a természet törvényei, attól függetlenül működnek, hogy tudunk-e létezésükről vagy sem.

A lineáris szögfüggvények összeadási törvények. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges a lineáris szögfüggvények nélkül? Lehetséges, mert a matematikusok továbbra is boldogulnak nélkülük. A matematikusok trükkje az, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket ők maguk is tudnak, és soha nem beszélnek azokról a problémákról, amelyeket nem tudnak megoldani. Néz. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Nem ismerünk más problémákat, és nem tudjuk, hogyan oldjuk meg őket. Mit tegyünk, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Ezután mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. A mindennapi életben jól megvagyunk anélkül, hogy felbontjuk az összeget, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos kutatásában nagyon hasznos lehet egy összeget összetevőire bontani.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szeretnek beszélni (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységekkel kell rendelkezniük. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek lehetnek súly-, térfogat-, érték- vagy mértékegységek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek mezőjének különbségei, amelyek szögletes zárójelben és betűvel vannak jelezve. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - különbségeket a leírt tárgyak területén. A különböző objektumok azonos számú azonos mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz az egységmegjelöléshez adunk alsó indexeket különböző objektumokhoz, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és az hogyan változik az idő múlásával vagy a cselekedeteink hatására. Levél W Betűvel fogom kijelölni a vizet S A salátát betűvel fogom kijelölni B- borscs. Így fognak kinézni a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor ezekből együtt egy adag borscs lesz. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat lesz. Mit tanítottak nekünk akkor? Megtanítottuk a mértékegységeket a számoktól elkülöníteni, és számokat összeadni. Igen, bármelyik szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - érthetetlenül csináljuk, hogy mit, érthetetlenül miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különböző szint miatt a matematikusok csak eggyel operálnak. Helyesebb lenne megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

A nyuszik, kacsák, kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló pénzösszeghez. Vagyonunk összértékét pénzben kifejezve megkaptuk.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabokban kapjuk meg.

Amint láthatja, ugyanaz az összeadási törvény lehetővé teszi, hogy különböző eredményeket kapjon. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most láthatjuk, mi fog történni a lineáris szögfüggvények különböző szögértékeivel.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Lehet nulla borscs nulla salátával (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért történik, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Ezt tetszés szerint érezheti, de ne feledje – minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, szóval dobja el a logikáját, és ostobán zsúfolja össze a matematikusok által kitalált definíciókat: „nullával osztás lehetetlen”, „bármely szám szorozva nulla egyenlő nullával” , „a lyukasztási ponton túl nulla” és egyéb hülyeségek. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha többé nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés elveszti értelmét: hogyan tekinthető számnak valami, ami nem szám ? Ez olyan, mintha azt kérdeznénk, hogy egy láthatatlan színt milyen színbe kell besorolni. Nullát hozzáadni egy számhoz ugyanaz, mint olyan festékkel festeni, ami nincs ott. Meglegyintettünk egy száraz ecsettel, és azt mondtuk mindenkinek, hogy „festettünk”. De elkalandozom egy kicsit.

A szög nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a víz. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyforma mennyiségű víz és saláta van. Ez a tökéletes borscs (bocsáss meg, szakácsok, ez csak matematika).

A szög negyvenöt foknál nagyobb, de kilencven foknál kisebb. Sok vízünk van és kevés salátánk. Folyékony borscsot kapsz.

Derékszög. Van vizünk. A salátából már csak emlékek maradnak, hiszen továbbra is attól a vonaltól mérjük a szöget, amely egykor a salátát jelölte. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben kapaszkodj és igyál vizet, amíg van)

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lennének itt.

Két barátnak volt részesedése egy közös üzletben. Miután megölték egyiküket, minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscht trigonometriához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

Megnéztem egy érdekes videót erről Grundy sorozat Egy mínusz egy plusz egy mínusz egy - Numberphile. A matematikusok hazudnak. Érvelésük során nem végeztek egyenlőségi ellenőrzést.

Ez visszhangozza a róla szóló gondolataimat.

Nézzük meg közelebbről azokat a jeleket, amelyek arra utalnak, hogy a matematikusok megtévesztenek bennünket. Az érvelés legelején a matematikusok azt mondják, hogy egy sorozat összege FÜGG attól, hogy páros számú eleme van-e vagy sem. Ez egy OBJEKTÍVEN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNY. Mi történik ezután?

Ezután a matematikusok kivonják a sorozatot az egységből. Mihez vezet ez? Ez a sorozat elemeinek számának változásához vezet - a páros szám páratlan, a páratlan szám páros számmá változik. Végül is egy eggyel egyenlő elemet adtunk a sorozathoz. Minden külső hasonlóság ellenére a transzformáció előtti sorozat nem egyenlő a transzformáció utáni sorozattal. Még ha végtelen sorozatról beszélünk is, emlékeznünk kell arra, hogy a páratlan elemszámú végtelen sorozat nem egyenlő a páros számú elemű végtelen sorozattal.

Két különböző elemszámú sorozat közé egyenlőségjelet adva a matematikusok azt állítják, hogy a sorozat összege NEM FÜGG a sorozat elemeinek számától, ami ellentmond egy OBJEKTÍVAN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNYNEK. A végtelen sorozat összegére vonatkozó további érvelés hamis, mivel hamis egyenlőségen alapul.

Ha azt látja, hogy a matematikusok a bizonyítások során zárójeleket tesznek, átrendeznek egy matematikai kifejezés elemeit, hozzáadnak vagy eltávolítanak valamit, legyen nagyon óvatos, valószínűleg meg akarnak csalni. A kártyamágusokhoz hasonlóan a matematikusok is különféle kifejezési manipulációkat alkalmaznak, hogy elvonják a figyelmét annak érdekében, hogy végül hamis eredményt adjanak. Ha nem tudsz megismételni egy kártyatrükköt anélkül, hogy nem ismernéd a megtévesztés titkát, akkor a matematikában minden sokkal egyszerűbb: nem is gyanítasz semmit a megtévesztésről, de az összes manipuláció matematikai kifejezéssel történő megismétlése lehetővé teszi, hogy meggyőzz másokat a megtévesztés helyességéről. a kapott eredményt, mint amikor meggyőztek.

Kérdés a hallgatóságtól: A végtelen (mint az S sorozat elemeinek száma) páros vagy páratlan? Hogyan lehet megváltoztatni a paritást annak, aminek nincs paritása?

A végtelen a matematikusoknak való, ahogy a Mennyek Királysága a papoknak – még soha senki nem járt ott, de mindenki pontosan tudja, hogyan működik ott minden))) Egyetértek, a halál után teljesen közömbös lesz, hogy páros vagy páratlan számot éltél. napok száma, de... Ha csak egy napot veszünk az életed kezdetéhez, egy teljesen más személyt kapunk: vezetékneve, keresztneve és apaneve teljesen megegyezik, csak a születési dátum teljesen más - ő volt egy nappal előtted született.

Most térjünk a lényegre))) Tegyük fel, hogy egy véges sorozat, amelynek paritása van, elveszíti ezt a paritást, amikor a végtelenbe megy. Ekkor egy végtelen sorozat bármely véges szakaszának paritást kell veszítenie. Ezt nem látjuk. Az a tény, hogy nem tudjuk biztosan megmondani, hogy egy végtelen sorozat páros vagy páratlan elemszámú-e, nem jelenti azt, hogy a paritás eltűnt. A paritás, ha létezik, nem tűnhet el nyomtalanul a végtelenbe, mint egy éles ujjában. Van egy nagyon jó analógia erre az esetre.

Megkérdezted már az órában ülő kakukktól, hogy milyen irányba forog az óramutató? Számára a nyíl az óramutató járásával ellentétes irányba forog. Bármilyen paradoxon is hangzik, a forgás iránya kizárólag attól függ, hogy melyik oldalról figyeljük a forgást. És így van egy kerekünk, amely forog. Nem tudjuk megmondani, hogy a forgás milyen irányban történik, hiszen a forgássík egyik oldaláról és a másik oldaláról is megfigyelhetjük. Csak arról tanúskodhatunk, hogy van forgás. Teljes analógia egy végtelen sorozat paritásával S.

Most adjunk hozzá egy második forgó kereket, amelynek forgási síkja párhuzamos az első forgó kerék forgássíkjával. Még mindig nem tudjuk biztosan megmondani, hogy ezek a kerekek milyen irányban forognak, de azt teljesen meg tudjuk mondani, hogy mindkét kerék azonos vagy ellenkező irányba forog-e. Két végtelen sorozat összehasonlítása SÉs 1-S, a matematika segítségével megmutattam, hogy ezeknek a sorozatoknak más a paritásuk, és hiba egyenlőségjelet tenni közéjük. Személy szerint megbízom a matematikában, nem bízom a matematikusokban))) Egyébként a végtelen sorozatok transzformációinak geometriájának teljes megértéséhez be kell vezetni a fogalmat "egyidejűség". Ezt le kell rajzolni.

2019. augusztus 7., szerda

Az erről szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. A lényeg az, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-összehúzó a nyulat. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa a valós számot jelenti. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha a természetes számok végtelen halmazát vesszük példának, akkor a vizsgált példák a következő formában ábrázolhatók:

Annak érdekében, hogy egyértelműen bebizonyítsák, igazuk volt, a matematikusok sok különböző módszert dolgoztak ki. Személy szerint én úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a tamburákkal táncoló sámánokra. Lényegében mindegyik abból adódik, hogy vagy a szobák egy része üresen áll, és új vendégek költöznek be, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott nézetemet a Szőkéről szóló fantáziatörténet formájában mutattam be. Mire épül az érvelésem? A végtelen számú látogató áthelyezése végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután az első szobát felszabadítottuk egy vendég számára, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a másikba. Persze az időtényezőt hülyén figyelmen kívül lehet hagyni, de ez a „nem bolondoknak írt törvény” kategóriába tartozik. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a „végtelen szálloda”? A végtelen szálloda olyan szálloda, amelyben mindig van bármennyi üres ágy, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen "látogató" folyosón minden szoba foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó "vendég" szobákkal. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Sőt, a „végtelen szállodának” végtelen sok emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok nem képesek elhatárolódni a banális hétköznapi problémáktól: mindig csak egy Isten-Allah-Buddha van, csak egy szálloda, csak egy folyosó. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámával, meggyőzve minket arról, hogy lehetséges „beleütni a lehetetlent”.

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet van - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen a számokat mi magunk találtuk ki, a számok nem léteznek a természetben. Igen, a természet remekül tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Máskor elmondom, mit gondol a természet. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz van. Vegyük fontolóra mindkét lehetőséget, ahogy az igazi tudósokhoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever a polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs hova vinni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egyet és visszatehetjük a polcra. Utána levehetünk egyet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, a halmaz elemeinek részletes felsorolásával. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz található a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Vegyünk egy ilyen készletet. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Ezt kapjuk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számoláshoz, mint a vonalzót a méréshez. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez egy másik sor lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákkal találkozik, gondolja át, vajon a matematikusok generációi által kitaposott hamis érvelés útján jár-e. Hiszen a matematika tanulása mindenekelőtt stabil gondolkodási sztereotípiát alakít ki bennünk, és csak azután erősíti szellemi képességeinket (vagy éppen ellenkezőleg, megfoszt bennünket a szabadgondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Éppen befejeztem egy cikk utószavát, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Nehéz nekünk ugyanabban a kontextusban szemlélni a modern matematikát? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – nyelve és konvenciói különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész sorát szeretném szentelni a modern matematika legnyilvánvalóbb hibáinak. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3. szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben jelen van. Nézzünk egy példát.

Legyen nálunk bőven A négy emberből áll. Ez a halmaz az „emberek” alapján van kialakítva. Jelöljük ennek a halmaznak az elemeit betűvel A, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorozatszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet a „nem”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk A nem alapján b. Figyeljük meg, hogy a mi „embereink” csoportja mára „nembeli jellemzőkkel rendelkező emberek” halmazává vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw szexuális jellemzők. Most alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, függetlenül attól, hogy melyik - férfi vagy nő. Ha valakinek megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen előjel, akkor nullával. És akkor a szokásos iskolai matematikát használjuk. Nézd, mi történt.

Szorzás, kicsinyítés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfiak részhalmazát Bmés a nők egy részhalmaza Bw. A matematikusok megközelítőleg ugyanígy érvelnek, amikor a halmazelméletet alkalmazzák a gyakorlatban. De nem a részleteket árulják el, hanem a végeredményt – „sok ember a férfiak egy részéből és a nők egy részéből áll.” Természetesen felmerülhet a kérdés: mennyire helyesen alkalmazták a matematikát a fent vázolt transzformációkban? Biztosíthatom Önöket, hogy lényegében mindent helyesen csináltak, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb ágainak matematikai alapjait. Ami? Máskor mesélek erről.

Ami a szuperhalmazokat illeti, két halmazt összevonhat egy szuperszettbe, ha kiválasztja a két halmaz elemeiben található mértékegységet.

Mint látható, a mértékegységek és a közönséges matematika a halmazelméletet a múlt emlékévé teszi. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok úgy viselkedtek, mint egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Megtanítják nekünk ezt a „tudást”.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.
Egy példával mutatom be a folyamatot. Kiválasztjuk a „vörös szilárd pattanást” - ez a mi „egészünk”. Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezután kiválasztjuk az „egész” egy részét, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így jutnak táplálékhoz azáltal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a „masnis pattanásos szilárd”-ot, és kombináljuk ezeket az „egészeket” szín szerint, kiválasztva a piros elemeket. Sok "pirost" kaptunk. Most az utolsó kérdés: a kapott „íjjal” és „piros” halmazok ugyanazok, vagy két különböző halmaz? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy lesz.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros szilárd pattanással és masnival". A formálás négy különböző mértékegységben zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárd), érdesség (pattanás), díszítés (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós tárgyak megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. Zárójelben vannak kiemelve azok a mértékegységek, amelyek alapján az „egész” megkülönböztethető az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amellyel a halmaz létrejön. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tamburákkal való tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, azzal érvelve, hogy ez „nyilvánvaló”, mert a mértékegységek nem részei „tudományos” arzenáljuknak.

A mértékegységek használatával nagyon egyszerű egy készletet felosztani vagy több készletet egyetlen szuperszettbe kombinálni. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.

Háromszög terület tétel

1. tétel

Egy háromszög területe egyenlő a két oldal és az ezen oldalak közötti szög szinuszának szorzatának felével.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Jelöljük ennek a háromszögnek az oldalainak hosszát $BC=a$, $AC=b$. Vezessünk be egy derékszögű koordinátarendszert, ahol a $C=(0,0)$ pont, a $B$ pont a $Ox$ jobb féltengelyen, a $A$ pedig az első koordinátanegyedben található. Rajzoljuk meg a $h$ magasságot a $A$ pontból (1. ábra).

1. ábra. Az 1. tétel illusztrációja

A $h$ magasság tehát egyenlő a $A$ pont ordinátájával

Szinusztétel

2. tétel

A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Jelöljük ennek a háromszögnek az oldalainak hosszát: $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (2. ábra).

2. ábra.

Bizonyítsuk be

Az 1. Tétel szerint megvan

Párban egyenlővé téve azt kapjuk

Koszinusz tétel

3. tétel

A háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a háromszög másik két oldalának négyzetösszegével, anélkül, hogy ezeknek az oldalaknak a szorzata kétszerese az oldalak közötti szög koszinuszával.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Jelöljük oldalainak hosszát $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ alakban. Vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a $A=(0,0)$ pont, a $B$ pont a $Ox$ pozitív féltengelyen, a $C$ pont pedig az első koordinátanegyedben helyezkedik el (ábra). 3).

3. ábra.

Bizonyítsuk be

Ebben a koordinátarendszerben azt kapjuk

Határozza meg a $BC$ oldal hosszát a pontok közötti távolság képletével

Példa egy problémára ezen tételek felhasználásával

1. példa

Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges háromszög körülírt kör átmérője egyenlő a háromszög bármely oldalának és az azzal ellentétes szög szinuszának arányával.

Megoldás.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. $R$ a körülírt kör sugara. Rajzoljuk meg a $BD$ átmérőt (4. ábra).

Egy háromszög területe egyenlő az oldalai és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatának felével.

Bizonyíték:

Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget. Legyen BC oldal = a, CA oldal = b és S ennek a háromszögnek a területe. Ezt bizonyítani kell S = (1/2)*a*b*sin(C).

Először vezessünk be egy téglalap alakú koordináta-rendszert, és helyezzük el a koordináták origóját a C pontban. Helyezzük el a koordinátarendszerünket úgy, hogy a B pont a Cx tengely pozitív irányában legyen, az A pont pedig pozitív ordinátával rendelkezzen.

Ha mindent helyesen csinált, akkor a következő rajzot kell kapnia.

Egy adott háromszög területe a következő képlettel számítható ki: S = (1/2)*a*h, ahol h a háromszög magassága. Esetünkben a h háromszög magassága megegyezik az A pont ordinátájával, azaz h = b*sin(C).

A kapott eredményeket figyelembe véve a háromszög területének képlete a következőképpen írható át: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Problémamegoldás

1. feladat Határozza meg az ABC háromszög területét, ha a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, A szög = 60 fok b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, B szög = 45 fok c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, C szög = 48 fok.

A fent bizonyított tétel szerint az ABC háromszög S területe egyenlő:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Végezzük el a számításokat:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Számológépen számítjuk ki egy szög szinuszának értékét, vagy használjuk a trigonometrikus szögek értéktáblázatának értékeit. Válasz:

a) 12*√6 cm^2.

c) körülbelül 36,41 cm^2.

2. feladat. Az ABC háromszög területe 60 cm^2. Keresse meg az AB oldalt, ha AC = 15 cm, A szög = 30˚.

Legyen S az ABC háromszög területe. A háromszög területére vonatkozó tétel alapján a következőt kapjuk:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Helyettesítsük be a meglévő értékeket:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Innen fejezzük ki az AB oldal hosszát: AB = (60*4)/15 = 16.

Ha a feladat megadja a háromszög két oldalának hosszát és a közöttük lévő szöget, akkor alkalmazhatja a háromszög területére vonatkozó képletet a szinuszon keresztül.

Példa egy háromszög területének szinusz segítségével történő kiszámítására. Adott oldalak a = 3, b = 4 és γ szög = 30°. A 30°-os szög szinusza 0,5

A háromszög területe 3 négyzetméter lesz. cm.

A terület egyenlő lesz az oldal négyzetének felével, szorozva a törttel. Számolója a szomszédos szögek szinuszainak szorzata, nevezője pedig az ellenkező szög szinusza. Most kiszámítjuk a területet a következő képletekkel:

Például adott egy háromszög, amelynek oldala a=3 és szögei γ=60°, β=60°. Számítsa ki a harmadik szöget:
Az adatok behelyettesítése a képletbe
Azt találtuk, hogy a háromszög területe 3,87 négyzetméter. cm.

II. Egy koszinuszon átívelő háromszög területe

A háromszög területének meghatározásához ismernie kell az összes oldal hosszát. A koszinusztétel segítségével megkeresheti az ismeretlen oldalakat, és csak ezután használhatja őket.
A koszinusztétel szerint egy háromszög ismeretlen oldalának négyzete egyenlő a fennmaradó oldalak négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata.

A tételből képleteket vezetünk le az ismeretlen oldal hosszának meghatározására:

Ha tudja, hogyan kell megtalálni a hiányzó oldalt, két oldallal és a köztük lévő szöggel, könnyen kiszámíthatja a területet. A koszinuszon áthaladó háromszög területének képlete segít gyorsan és egyszerűen megoldást találni különféle problémákra.

Példa a háromszög területének képletének koszinusz segítségével történő kiszámítására
Adott egy háromszög, amelynek ismert oldalai a = 3, b = 4 és szöge γ = 45°. Először is keressük meg a hiányzó oldalt Val vel. Koszinusz 45°=0,7. Ehhez behelyettesítjük az adatokat a koszinusztételből levezetett egyenletbe.
Most a képlet segítségével megtaláljuk