Különböző figurák területe. Mekkora egy figura területe? Személyes adatok védelme

Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az alakzat méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.

Négyzetterület képletek

A négyzet területének képlete oldalhosszonként
Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
Képlet egy négyzet területére az átlós hossz mentén
Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
S= 1 2
2

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe

Párhuzamos terület képletek

A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
Egy paralelogramma területe
A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
a b sin α

A rombusz területének képletei

A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
Rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
Rombusz területe egyenlő az átlói hosszának a felével.

Trapézfelület képletek

Heron képlete a trapézhoz
ahol S a trapéz területe,
- a trapéz alapjainak hossza,
- a trapéz oldalainak hossza,

Hogyan lehet megtalálni egy figura területét?

A különböző ábrák területeinek ismerete és kiszámítása nem csak egyszerű geometriai feladatok megoldásához szükséges. Nem nélkülözheti ezt a tudást a helyiségek javítására vonatkozó becslések összeállítása vagy ellenőrzése során, valamint a szükséges fogyóeszközök mennyiségének kiszámításakor. Tehát kitaláljuk, hogyan találjuk meg a különböző alakú területeket.

A sík egy zárt körvonalon belüli részét e sík területének nevezzük. A területet a benne lévő négyzetegységek számával fejezzük ki.

Az alapvető geometriai alakzatok területének kiszámításához a megfelelő képletet kell használni.

Egy háromszög területe

Megnevezések:

Ha h, a ismert, akkor a kívánt háromszög területét az erre az oldalra süllyesztett háromszög oldalhosszának és magasságának szorzataként határozzuk meg, felezve: S=(a h)/2
Ha ismert a, b, c, akkor a szükséges területet a Heron-képlet segítségével számítjuk ki: a háromszög kerületének felének, valamint a háromszög fele kerületének és mindkét oldalának három különbségének szorzatából vett négyzetgyök: S = √ (p (p - a) (p - b) · (p - c)).
Ha a, b, γ ismert, akkor a háromszög területét 2 oldal szorzatának feleként határozzuk meg, megszorozzuk az oldalak közötti szög szinuszának értékével: S=(a b sin γ)/2
Ha a, b, c, R ismert, akkor a szükséges területet úgy határozzuk meg, hogy a háromszög minden oldalának hosszának szorzatát elosztjuk a körülírt kör négy sugarával: S=(a b c)/4R
Ha p, r ismert, akkor a háromszög szükséges területét úgy határozzuk meg, hogy a kerület felét megszorozzuk a beleírt kör sugarával: S=p·r

Négyzet alakú terület

Megnevezések:

Ha az oldal ismert, akkor egy adott ábra területét az oldala hosszának négyzeteként határozzuk meg: S=a 2
Ha d ismert, akkor a négyzet területét az átlója hosszának négyzetének felében határozzuk meg: S=d 2 /2

Egy téglalap területe

Megnevezések:

S - meghatározott terület,
a, b - a téglalap oldalainak hossza.

Ha a, b ismert, akkor egy adott téglalap területét a két oldala hosszának szorzata határozza meg: S=a b
Ha az oldalak hossza ismeretlen, akkor a téglalap területét háromszögekre kell osztani. Ebben az esetben a téglalap területét az azt alkotó háromszögek területének összegeként határozzuk meg.

Egy paralelogramma területe

Megnevezések:

S a szükséges terület,
a, b - oldalhosszak,
h egy adott paralelogramma magasságának hossza,
d1, d2 - két átló hossza,
α az oldalak közötti szög,
γ az átlók közötti szög.

Ha a, h ismert, akkor a szükséges területet az oldalhosszak és az erre az oldalra süllyesztett magasság szorzatával határozzuk meg: S=a h
Ha ismert a, b, α, akkor a paralelogramma területét úgy határozzuk meg, hogy megszorozzuk a paralelogramma oldalainak hosszát és az ezen oldalak közötti szög szinuszát: S=a b sin α
Ha d 1 , d 2 , γ ismert, akkor a paralelogramma területét az átlók hosszának és az átlók közötti szög szinuszának a feleként határozzuk meg: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Rombusz területe

Megnevezések:

S a szükséges terület,
a - oldalhossz,
h - magasság hossza,
α a két oldal közötti kisebb szög,
d1, d2 - két átló hossza.

Ha a, h ismert, akkor a rombusz területét úgy határozzuk meg, hogy az oldal hosszát megszorozzuk az erre az oldalra süllyesztett magasság hosszával: S=a h
Ha a, α ismert, akkor a rombusz területét úgy határozzuk meg, hogy az oldalhossz négyzetét megszorozzuk az oldalak közötti szög szinuszával: S=a 2 sin α
Ha d 1 és d 2 ismert, akkor a szükséges területet a rombusz átlói hosszának a feleként határozzuk meg: S=(d 1 d 2)/2

A trapéz területe

Megnevezések:

Ha ismert a, b, c, d, akkor a szükséges területet a következő képlet határozza meg: S= (a+b) /2 *√.
Ismert a, b, h mellett a szükséges területet az alapok összegének felének és a trapéz magasságának szorzataként határozzuk meg: S=(a+b)/2 h

Konvex négyszög területe

Megnevezések:

Ha ismeretes d 1 , d 2 , α, akkor egy konvex négyszög területét a négyszög átlóinak szorzatának feleként határozzuk meg, megszorozzuk az átlók közötti szög szinuszával: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Ismert p, r esetén egy konvex négyszög területét a négyszög fél kerületének és az ebbe a négyszögbe írt kör sugarának szorzataként határozzuk meg: S=p r
Ha ismert a, b, c, d, θ, akkor a konvex négyszög területét a fél kerülete különbségének és az oldalak hosszának a szorzatának négyzetgyökeként határozzuk meg, mínusz a szög szorzatával. minden oldal hossza és két ellentétes szög összegének felének koszinuszának négyzete: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+) β)/2)

Egy kör területe

Megnevezések:

Ha r ismert, akkor a szükséges területet a π szám és a négyzet sugár szorzataként határozzuk meg: S=π r 2

Ha d ismert, akkor a kör területét a π szám szorzataként határozzuk meg az átmérő négyzetével osztva néggyel: S=(π d 2)/4

Egy összetett figura területe

Az összetettek egyszerű geometriai alakzatokra bonthatók. Egy összetett ábra területét az összetevőterületek összegeként vagy különbségeként határozzuk meg. Vegyünk például egy gyűrűt.

Kijelölés:

S - gyűrű terület,
R, r - a külső kör és a belső kör sugarai,
D, d a külső és a belső kör átmérője.

A gyűrű területének meghatározásához ki kell vonni a területet a nagyobb kör területéből kisebb kör. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Így, ha R és r ismert, akkor a gyűrű területét a külső és a belső kör sugarainak négyzetének különbségeként határozzuk meg, megszorozva pi-vel: S=π(R 2 -r 2).

Ha D és d ismert, akkor a gyűrű területét a külső és a belső kör átmérője négyzetének különbségének negyedeként határozzuk meg, szorozva pi-vel: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Patch terület

Tegyük fel, hogy az egyik (A) négyzeten belül van egy másik (B) (kisebb méretű), és meg kell találnunk az „A” és „B” ábrák közötti árnyékolt üreget. Mondjuk egy kis négyzet "kerete". Ezért:

Keresse meg az "A" ábra területét (a négyzet területének meghatározására szolgáló képlet alapján számítva).
Hasonlóképpen megtaláljuk a "B" ábra területét.
Vonja ki a "B" területet az "A" területből. És így megkapjuk az árnyékolt ábra területét.

Most már tudja, hogyan találja meg a különböző formájú területeket.

Osztály: 5

Véleményem szerint a tanár feladata nem csak a tanítás, hanem a kognitív érdeklődés kialakítása a tanulóban. Ezért lehetőség szerint összekapcsolom az órai témákat gyakorlati feladatokkal.

Az óra során a diákok a tanár irányítása mellett tervet készítenek a problémák megoldására, hogy megtalálják egy „összetett alak” területét (javítási becslések kiszámításához), megszilárdítsák a problémák megoldásában a terület megtalálásához szükséges készségeket; a figyelem, a kutatói tevékenységre való képesség, az aktivitásra nevelés, az önállóság fejlődése következik be.

A párban végzett munka kommunikációs helyzetet teremt a tudással rendelkezők és azok között, akik azt elsajátítják; Ez a munka a tantárgyi képzés minőségének javításán alapul. Elősegíti a tanulási folyamat iránti érdeklődés kialakulását és az oktatási anyagok mélyebb asszimilációját.

Az óra nemcsak rendszerezi a tanulók tudását, hanem hozzájárul a kreatív és elemző képességek fejlesztéséhez is. A gyakorlati tartalmú feladatok osztálytermi felhasználása lehetővé teszi, hogy megmutassuk a matematikai ismeretek relevanciáját a mindennapi életben.

Az óra céljai:

Nevelési:

a téglalap, derékszögű háromszög területére vonatkozó képletek ismereteinek megszilárdítása;
feladatok elemzése egy „összetett” figura területének kiszámításához és végrehajtásukhoz;
ismeretek, készségek és képességek tesztelésére szolgáló feladatok önálló elvégzése.

Nevelési:

a szellemi és kutatási tevékenység módszereinek fejlesztése;
a meghallgatás képességének fejlesztése és a döntés menetének magyarázata.

Nevelési:

fejleszteni a tanulók tanulmányi készségeit;
ápolják a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd kultúráját;
kialakítani a barátságos attitűdöt az osztályteremben és a csoportmunka képességét.

Az óra típusa: kombinált.

Felszerelés:

Matematika: tankönyv 5. osztálynak. Általános oktatás intézmények/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: „Mnemosyne”, 2010.
Kártyák diákcsoportok számára alakzatokkal az összetett alakzat területének kiszámításához.
Rajzeszközök.

Tanterv:

Idő szervezése.
Az ismeretek frissítése.
a) Elméleti kérdések (teszt).
b) A probléma megfogalmazása.
Új anyagot tanult.
a) megoldást találni a problémára;
b) a probléma megoldása.
Az anyag rögzítése.
a) kollektív problémamegoldás;
Testnevelés perc.
b) önálló munkavégzés.
Házi feladat.
Óra összefoglalója. Visszaverődés.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat.

A leckét ezekkel a búcsúszavakkal kezdjük:

Matek, barátok,
Abszolút mindenkinek szüksége van rá.
Dolgozz szorgalmasan az órán
És biztos, hogy siker vár rád!

II. Az ismeretek frissítése.

A) Frontális munka jelzőkártyákkal (minden tanulónak van 1, 2, 3, 4 számjegyű kártyája; tesztkérdés megválaszolásakor a tanuló felemeli a helyes válasz számát tartalmazó kártyát).

1. Egy négyzetcentiméter:

egy négyzet területe, amelynek oldala 1 cm;
négyzet 1 cm oldallal;
1 cm kerületű négyzet.

2. Az ábrán látható ábra területe egyenlő:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Igaz-e, hogy az egyenlő számok kerülete és területe egyenlő?

4. A téglalap területét a következő képlet határozza meg:

S = a2;
S=2 (a+b);
S = a b.

5. Az ábrán látható ábra területe egyenlő:

12 cm;
8 cm;
16 cm.

b) (A probléma megfogalmazása). Feladat. Mennyi festékre van szükség a következő alakú padló festéséhez (lásd az ábrát), ha 200 g festéket használunk 1 m2-re?

III. Új anyagok tanulása.

Mit kell tudnunk az utolsó probléma megoldásához? (Keresse meg a padló azon területét, amely „összetett alaknak” tűnik.)

A tanulók megfogalmazzák az óra témáját, céljait (szükség esetén a tanár segít).

Vegyünk egy téglalapot ABCD. Vonjunk rá egy vonalat KPMN, megtörve a téglalapot ABCD két részre: ABNMPKÉs KPMNCD.

Mi a terület? ABCD? (15 cm 2)

Mekkora az ábra területe? ABMNPK? (7 cm 2)

Mekkora az ábra területe? KPMNCD? (8 cm 2)

Elemezze eredményeit. (15 = = 7 + 8)

Következtetés? (A teljes ábra területe egyenlő a részei területének összegével.)

S = S 1 + S 2

Hogyan alkalmazhatjuk ezt a tulajdonságot problémánk megoldására? (Egy összetett ábrát bontsunk részekre, keressük meg a részek területeit, majd a teljes ábra területét.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Béküljünk ki problémamegoldási terv egy „összetett alak” területének megtalálásához:

A figurát egyszerű figurákra bontjuk.
Az egyszerű figurák területeinek megkeresése.

a) 1. feladat. Hány csempére lesz szükség a következő méretű telek elrendezéséhez:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60-30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Van más megoldás is? (Fontoljuk a javasolt lehetőségeket.)

Válasz: 2100 dm 2.

2. feladat. (kollektív döntés a táblán és a füzetekben.) Hány m2 linóleum szükséges a következő formájú helyiség felújításához:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2): 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Válasz: 8 m2.

Testnevelés perc.

És most, srácok, álljatok fel.
Gyorsan felemelték a kezüket.
Oldalra, előre, hátra.
Jobbra, balra fordult.
Csendben leültek és visszamentek dolgozni.

b) Önálló munkavégzés (nevelési) .

A tanulókat csoportokra osztják (az 5-8. sz. erősebbek). Minden csoport egy javítócsapat.

Feladat a csapatoknak: határozza meg, hogy mennyi festék szükséges a kártyán látható ábrának megfelelő padlófestéshez, ha 1 m2-enként 200 g festékre van szükség.

Felépíted ezt az ábrát a füzetedbe, felírod az összes adatot, és elkezded a feladatot. Megbeszélheti a megoldást (de csak a csoportjában!). Ha néhány csoport gyorsan megbirkózik a feladattal, akkor további feladatot kapnak (önálló munka ellenőrzése után).

Feladatok csoportoknak:

V. Házi feladat.

18. bekezdés, 718., 749. sz.

Kiegészítő feladat. A Nyári Kert (Szentpétervár) tervrajza. Számítsa ki a területét.

VI. Óra összefoglalója.

Visszaverődés. Folytasd a mondatot:

Ma megtudtam...
Érdekes volt…
Bonyolult volt…
Most már tudok…
Egy életre szóló leckét adott nekem...

Az előző szakaszban, amely egy határozott integrál geometriai jelentésének elemzésével foglalkozott, számos képletet kaptunk a görbe vonalú trapéz területének kiszámításához:

S (G) = ∫ a b f (x) d x folytonos és nem negatív y = f (x) függvényre az [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) folytonos és nem pozitív függvényre az [ a ; b ] .

Ezek a képletek viszonylag egyszerű feladatok megoldására alkalmazhatók. A valóságban gyakran bonyolultabb figurákkal kell dolgoznunk. Ebben a tekintetben ezt a részt az olyan ábrák területének kiszámítására szolgáló algoritmusok elemzésének szenteljük, amelyeket a függvények explicit formában korlátoznak, pl. mint például y = f(x) vagy x = g(y).

Tétel

Legyen az y = f 1 (x) és y = f 2 (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , és f 1 (x) ≤ f 2 (x) bármely x értékre [a ; b ] . Ekkor az x = a, x = b, y = f 1 (x) és y = f 2 (x) egyenesekkel határolt G ábra területének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Hasonló képlet alkalmazható az y = c, y = d, x = g 1 (y) és x = g 2 (y) egyenesekkel határolt alakzat területére is: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bizonyíték

Nézzünk meg három olyan esetet, amelyekre a képlet érvényes lesz.

Az első esetben, figyelembe véve a terület additivitásának tulajdonságát, az eredeti G ábra és a görbe vonalú G 1 trapéz területének összege megegyezik a G 2 ábra területével. Ez azt jelenti

Ezért S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Az utolsó átmenetet a határozott integrál harmadik tulajdonságával tudjuk végrehajtani.

A második esetben az egyenlőség igaz: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Ha mindkét függvény nem pozitív, akkor a következőt kapjuk: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Térjünk át arra az általános esetre, amikor y = f 1 (x) és y = f 2 (x) metszi az O x tengelyt.

A metszéspontokat x i, i = 1, 2, -vel jelöljük. . . , n - 1 . Ezek a pontok felosztják a szakaszt [a; b ] n részre x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, ahol α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ennélfogva,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Az utolsó átmenetet a határozott integrál ötödik tulajdonságával végezhetjük el.

Illusztráljuk az általános esetet a grafikonon.

Az S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x képlet bizonyítottnak tekinthető.

Most menjünk tovább az y = f (x) és x = g (y) egyenesek által határolt ábrák területének kiszámítására vonatkozó példák elemzésére.

A példák bármelyikének vizsgálatát egy gráf felépítésével kezdjük. A kép lehetővé teszi számunkra, hogy bonyolult formákat egyszerűbb formák uniójaként ábrázoljunk. Ha Önnek nehézséget okoz a grafikonok és ábrák elkészítése, tanulmányozhatja az alapvető elemi függvényekről, a függvénygráfok geometriai transzformációjáról szóló részt, valamint a függvény tanulmányozása közben a grafikonok szerkesztését.

1. példa

Meg kell határozni az ábra területét, amelyet az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola és az y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 egyenesek korlátoznak.

Megoldás

Rajzoljuk meg a grafikonon a vonalakat a derékszögű koordinátarendszerben.

A szakaszon [ 1 ; 4 ] az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola grafikonja az y = - 1 3 x - 1 2 egyenes felett helyezkedik el. Ebben a tekintetben a válasz megszerzéséhez a korábban kapott képletet, valamint a határozott integrál kiszámításának módszerét használjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Válasz: S(G) = 13

Nézzünk egy összetettebb példát.

2. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x + 2, y = x, x = 7 vonalak határolnak.

Megoldás

Ebben az esetben csak egyetlen egyenesünk van, amely párhuzamos az x tengellyel. Ez x = 7. Ez megköveteli, hogy magunk találjuk meg az integráció második határát.

Építsünk gráfot, és ábrázoljuk rajta a feladatmeghatározásban megadott egyeneseket.

Ha a grafikon a szemünk előtt van, könnyen megállapíthatjuk, hogy az integráció alsó határa az y = x egyenes és az y = x + 2 félparabola grafikonja metszéspontjának abszcisszája lesz. Az abszcissza meghatározásához az egyenlőségeket használjuk:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Kiderül, hogy a metszéspont abszcisszája x = 2.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a rajz általános példájában az y = x + 2, y = x egyenesek a (2; 2) pontban metszik egymást, így az ilyen részletes számítások szükségtelennek tűnhetnek. Csak azért adtunk itt ilyen részletes megoldást, mert bonyolultabb esetekben a megoldás nem biztos, hogy olyan egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy mindig jobb az egyenesek metszéspontjának koordinátáit analitikusan kiszámítani.

Az intervallumon [ 2 ; 7] az y = x függvény grafikonja az y = x + 2 függvény grafikonja felett helyezkedik el. Alkalmazzuk a képletet a terület kiszámításához:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Válasz: S (G) = 59 6

3. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = 1 x és y = - x 2 + 4 x - 2 függvények grafikonjai korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a vonalakat a grafikonon.

Határozzuk meg az integráció határait. Ehhez az 1 x és - x 2 + 4 x - 2 kifejezések egyenlővé tételével határozzuk meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit. Feltéve, hogy x nem nulla, az 1 x = - x 2 + 4 x - 2 egyenlőség ekvivalenssé válik a harmadfokú - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 egyenlettel egész együtthatókkal. Az ilyen egyenletek megoldására szolgáló algoritmus emlékezetének felfrissítéséhez olvassa el a „Köbös egyenletek megoldása” című részt.

Ennek az egyenletnek a gyöke x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Az - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kifejezést elosztva az x - 1 binomiálissal, a következőt kapjuk: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

A maradék gyököket az x 2 - 3 x - 1 = 0 egyenletből találhatjuk meg:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Megtaláltuk az x ∈ 1 intervallumot; 3 + 13 2, amelyben a G ábra a kék felett és a piros vonal alatt található. Ez segít meghatározni az ábra területét:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Válasz: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x 3, y = - log 2 x + 1 görbék és az abszcissza tengely korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a grafikonon az összes vonalat. Az y = log 2 x grafikonból megkaphatjuk az y = - log 2 x + 1 függvény grafikonját, ha szimmetrikusan pozícionáljuk az x tengelyre, és egy egységgel feljebb mozgatjuk. Az x tengely egyenlete y = 0.

Jelöljük az egyenesek metszéspontjait.

Amint az ábrán látható, az y = x 3 és y = 0 függvények grafikonjai a (0; 0) pontban metszik egymást. Ez azért történik, mert az x = 0 az x 3 = 0 egyenlet egyetlen valódi gyöke.

x = 2 a - log 2 x + 1 = 0 egyenlet egyetlen gyöke, tehát az y = - log 2 x + 1 és y = 0 függvények grafikonjai a (2; 0) pontban metszik egymást.

x = 1 az x 3 = - log 2 x + 1 egyenlet egyetlen gyöke. Ebben a tekintetben az y = x 3 és y = - log 2 x + 1 függvények grafikonjai az (1; 1) pontban metszik egymást. Lehet, hogy az utolsó állítás nem nyilvánvaló, de az x 3 = - log 2 x + 1 egyenletnek nem lehet több gyöke, mivel az y = x 3 függvény szigorúan növekvő, az y = - log 2 x + 1 függvény pedig szigorúan csökken.

A további megoldás több lehetőséget is magában foglal.

1.opció

A G ábrát elképzelhetjük két, az x tengely felett elhelyezkedő görbe vonalú trapéz összegeként, amelyek közül az első az x ∈ 0 szakaszon a középvonal alatt helyezkedik el; 1, a második pedig a piros vonal alatt van az x ∈ 1 szakaszon; 2. Ez azt jelenti, hogy a terület egyenlő lesz S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

2. lehetőség

A G ábra két ábra különbségeként ábrázolható, amelyek közül az első az x tengely felett és a kék vonal alatt található az x ∈ 0 szakaszon; 2, a második pedig az x ∈ 1 szakasz piros és kék vonalai között; 2. Ez lehetővé teszi, hogy a következőképpen találjuk meg a területet:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Ebben az esetben a terület megtalálásához egy S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y képletet kell használnia. Valójában az ábrát határoló vonalak az y argumentum függvényeiként ábrázolhatók.

Oldjuk meg az y = x 3 és - log 2 x + 1 egyenleteket x vonatkozásában:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Megkapjuk a szükséges területet:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Válasz: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 vonalak korlátoznak.

Megoldás

Piros vonallal ábrázoljuk az y = x függvény által meghatározott egyenest. Az y = - 1 2 x + 4 vonalat kékkel, az y = 2 3 x - 3 vonalat feketével húzzuk.

Jelöljük meg a metszéspontokat.

Keressük meg az y = x és y = - 1 2 x + 4 függvények grafikonjainak metszéspontjait:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ellenőrizze: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nem Az x 2 = egyenlet megoldása 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 a ⇒ (4; 2) egyenlet megoldása i y = x és y = - 1 2 x metszéspont + 4

Keressük meg az y = x és y = 2 3 x - 3 függvények grafikonjainak metszéspontját:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ellenőrizze: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 a ⇒ (9 ; 3) egyenlet megoldása, pont a s y = x és y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Az egyenletnek nincs megoldása

Keressük meg az y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3 egyenesek metszéspontját:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) metszéspont y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3

1. számú módszer

Képzeljük el a kívánt ábra területét az egyes figurák területének összegeként.

Ekkor az ábra területe:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2. számú módszer

Az eredeti ábra területe két másik ábra összegeként is ábrázolható.

Ezután megoldjuk az x-hez viszonyított egyenes egyenletét, és csak ezután alkalmazzuk az ábra területének kiszámításának képletét.

y = x ⇒ x = y 2 piros vonal y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 fekete vonal y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tehát a terület:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 év + 9 2 - - 2 év + 8 n y + ∫ 2 3 3 2 év + 9 2 - y 2 n y = = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 n y + ∫ 3 3 2 év + 9 2 - y 2 nap y = = 7 4 év 2 - 7 4 év 1 2 + - y 3 3 + 3 év 2 4 + 9 2 év 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Mint látható, az értékek ugyanazok.

Válasz: S (G) = 11 3

Eredmények

Ahhoz, hogy megtaláljuk egy alakzat azon területét, amelyet adott vonalak határolnak, vonalakat kell megszerkesztenünk egy síkon, meg kell találnunk a metszéspontjaikat, és a képlet segítségével meg kell találnunk a területet. Ebben a részben a feladatok leggyakoribb változatait vizsgáltuk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Végtelen számú, különböző alakú, szabályos és szabálytalan alakú lapos figura létezik. Az összes figura közös tulajdonsága, hogy mindegyiknek van egy területe. Az ábrák területei az ábrák által elfoglalt síkrész méretei, bizonyos mértékegységekben kifejezve. Ezt az értéket mindig pozitív számként fejezzük ki. A mértékegység annak a négyzetnek a területe, amelynek oldala egyenlő egy hosszegységgel (például egy méter vagy egy centiméter). Bármely szám hozzávetőleges területe kiszámítható úgy, hogy megszorozzuk azon egységnégyzetek számát, amelyekre osztva van egy négyzet területével.

A fogalom további meghatározásai a következők:

1. Az egyszerű ábrák területei olyan skaláris pozitív mennyiségek, amelyek kielégítik a feltételeket:

Az egyenlő számoknak egyenlő területei vannak;

Ha egy alakzatot részekre (egyszerű ábrákra) osztunk, akkor területe ezen figurák területének összege;

A mértékegység oldalával rendelkező négyzet területegységként szolgál.

2. Az összetett alakú alakzatok (sokszögek) területei a következő tulajdonságokkal rendelkező pozitív mennyiségek:

Az egyenlő sokszögek területe azonos;

Ha egy sokszög több másik sokszögből áll, akkor területe megegyezik az utóbbiak területének összegével. Ez a szabály nem átfedő sokszögekre érvényes.

Axiómaként elfogadott, hogy az ábrák (sokszögek) területei pozitív mennyiségek.

A kör területének meghatározását külön adjuk meg, mint azt az értéket, amelyre egy adott kör körbe írt területe hajlik - annak ellenére, hogy az oldalainak száma a végtelenbe hajlik.

A szabálytalan alakú figurák (tetszőleges figurák) területei nem rendelkeznek definícióval, csak a számítási módszerek vannak meghatározva.

A területszámítás már az ókorban is fontos gyakorlati feladat volt a földterületek méretének meghatározásakor. A több száz éves területszámítás szabályait görög tudósok fogalmazták meg, és Eukleidész Elemeiben tételként fogalmazták meg. Érdekes, hogy a bennük lévő egyszerű figurák területeinek meghatározására vonatkozó szabályok megegyeznek a jelenlegivel. Az íves kontúrú területeket a határig való áthaladás segítségével számítottuk ki.

Egy egyszerű téglalap vagy négyzet területének kiszámítása, amely mindenki számára ismerős az iskolából, meglehetősen egyszerű. A betűjeleket tartalmazó ábrák területének képleteit sem szükséges megjegyezni. Elég megjegyezni néhány egyszerű szabályt:

2. A téglalap területét úgy számítjuk ki, hogy a hosszát megszorozzuk a szélességével. Szükséges, hogy a hosszúságot és a szélességet azonos mértékegységekben fejezzük ki.

3. Kiszámítjuk egy összetett ábra területét úgy, hogy több egyszerűre osztjuk, és összeadjuk a kapott területeket.

4. A téglalap átlója két háromszögre osztja, amelyek területei egyenlők és egyenlőek a területének felével.

5. Egy háromszög területét a magassága és az alapja szorzatának feleként számítjuk ki.

6. A kör területe megegyezik a sugár négyzetének és a jól ismert „π” szám szorzatával.

7. A paralelogramma területét a szomszédos oldalak és a közöttük lévő szög szinuszának szorzataként számítjuk ki.

8. A rombusz területe ½ az átlók és a belső szög szinuszának az eredménye.

9. A trapéz területét úgy határozzuk meg, hogy megszorozzuk a magasságát a középvonal hosszával, amely megegyezik az alapok számtani átlagával. Egy másik lehetőség a trapéz területének meghatározására, hogy megszorozzuk átlóit és a közöttük lévő szög szinuszát.

Az egyértelműség kedvéért az általános iskolás gyerekek gyakran kapnak feladatokat: keresse meg a papírra rajzolt figura területét egy paletta vagy egy négyzetekre osztott átlátszó papírlap segítségével. Egy ilyen papírlapot ráhelyezünk a mérendő ábrára, megszámoljuk a körvonalába illeszkedő teljes cellák (területegységek) számát, majd a hiányosak számát, amelyet kettéosztunk.