Orosz nyelvből egységes államvizsga 13. feladatának gyakorlása.

A feladatért 2019-ben egységes államvizsgán 1 pont szerezhető

Az Orosz nyelv Egységes Államvizsga 13. feladata egyes szavak helyesírásának ellenőrzésére szolgál együtt, külön-külön vagy kötőjellel. Ezenkívül ez a vizsgakártya megtanítja megkülönböztetni a homonimákat – olyan szavakat, amelyek hangzása és írása azonos, de jelentése teljesen eltérő.

Az orosz nyelv egységes államvizsga 13. feladatának sikeres teljesítéséhez különbséget kell tennie a kötőszók és a névmások helyesírása között elöljárószóval vagy partikulával ("Beteg vagyok, ezért nem jövök" - "I Felhívom ezt a telefonszámot”, „Ma hideg van, de süt a nap” - „Köszönöm, hogy segítettél.” Különös nehézséget okoz a tanulóknak az „is – ugyanúgy” szópár. A szabály itt egyszerű - ha az „is” szó helyettesíthető egy „is” szinonimával, akkor egybe kell írni: „Mi is megyünk, mi is megyünk”, és ha van összehasonlítás a mondatban, akkor külön kell írni: „Ma olyan hideg van, mint tegnap”. A vizsgadolgozatokban található egy másik összetett hasonló szópár is - „úgy, hogy / az lenne”. Célt fejez ki a kifejezés? A szó helyettesíthető egy „úgy, hogy” szinonimával, vagy egy részletesebb „annak érdekében”? Ebben az esetben együtt kell írni: "hogy ne legyek beteg, hogy ne legyek beteg, hogy ne legyek beteg". Eltávolítható-e a „lenne” részecske anélkül, hogy a mondat értelmét veszítené? Ebben az esetben az írás különálló: „Gondolom, mit tegyek, gondolkodom, mit tegyek.”

Az orosz nyelv egységes államvizsga 13. feladatában valaki a „mi/miért” szópárral találkozik. Egy szót akkor írunk össze, ha helyettesíthető a „mellett” szinonimával, más esetekben a helyesírás különálló. Ugyanez vonatkozik a hasonló „mellett/mellett” szavakra is.

A matematika egységes államvizsga profilszintjének 13. feladatában egy egyenlet megoldása szükséges, de fokozott összetettségű, mivel a korábbi C szintű feladatok a 13. feladattal kezdődnek, és ezt a feladatot nevezhetjük C1-nek. . Térjünk át a tipikus feladatok példáira.

A matematika egységes államvizsga 13. számú feladatainak jellemző lehetőségeinek elemzése profilszinten

A feladat első verziója (demóverzió 2018)

a) Oldja meg a cos2x = 1-cos(n/2-x) egyenletet

b) Határozza meg ennek az egyenletnek a [-5n/2;-n] intervallumhoz tartozó gyökét!

Megoldási algoritmus:

1. t
2. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket.

1. Számtengelyt építünk.
2. Gyökereket alkalmazunk rá.
3. Jelölje meg a szegmens végeit.
4. Kiválasztjuk azokat az értékeket, amelyek az intervallumon belül vannak.
5. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Alakítsa át az egyenlőség jobb oldalát a cos() redukciós képlet segítségével π/ 2−x)=bűn x. Nekünk van:

сos2x = 1 – sin x.

Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a szinuszos dupla argumentumú koszinusz képlet segítségével:

cos(2x)=1−2sin 2 x

A következő egyenletet kapjuk: 1−sin 2 x=1− sin x

Most már csak egy sin trigonometrikus függvény van az egyenletben x.

2. Írja be a helyettesítőt: t= bűn x. Megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 vagy -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Végezzen fordított cserét:

bűn x= 0 vagy sin x = ½

Oldjuk meg ezeket az egyenleteket:

bűn x =0↔x=πn, nЄZ

bűn( x)=1/2↔x= (-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Következésképpen két megoldáscsaládot kapunk.

1. Az előző bekezdésben két családot kaptunk, amelyek mindegyikének végtelen sok megoldása van. Ki kell deríteni, hogy melyikük van egy adott intervallumban. Ehhez számegyenest építünk.

2. Mindkét család gyökereit alkalmazzuk rá, zölddel (az első) és kékkel (a második) jelölve.

3. Jelölje be pirossal a rés végeit.

4. A jelzett intervallumban három gyök található, amelyek három gyök: −2 π ;−11π/ 6 és -7 π/ 6.

A) πn, nЄZ;(-1) n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

A feladat második változata (Jascsenkotól, 1. sz.)

a) Oldja meg az egyenletet!

Megoldási algoritmus:

1. Ezt a függvényt egy változóra cseréljük tés oldja meg a kapott másodfokú egyenletet.
2. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb exponenciális, majd trigonometrikus egyenleteket.

1. Megszerkesztünk egy koordinátasíkot és egy egységsugarú kört.
2. Jelöljük azokat a pontokat, amelyek a szakasz végeit jelentik.
3. Kiválasztjuk azokat az értékeket, amelyek a szegmensen belül vannak.
4. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Bevezetjük a t = 4 cos x helyettesítést. akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

A másodfokú egyenletet diszkriminancia- és gyökképletekkel oldjuk meg:

D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,

t 1 = (9–7)/8= ¼, t 2 = (9+7)/8=2.

1. Szerkesszünk meg egy koordinátasíkot és egy egységsugarú kört!

2. Jelölje be azokat a pontokat, amelyek a szakasz végeit jelentik.

3. Válassza ki azokat az értékeket, amelyek a szegmensen belül vannak.

Ezek a gyökerek. Ketten vannak.

A)

A feladat harmadik változata (Jascsenkotól, 6. sz.)

a) Oldja meg az egyenletet! .

b) Keresse meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó összes gyökerét!

Megoldási algoritmus:

1. Trigonometrikus képletek segítségével az egyenletet olyan alakra redukáljuk, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz.
2. Ezt a függvényt egy változóra cseréljük tés oldja meg a kapott másodfokú egyenletet.
3. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb exponenciális, majd trigonometrikus egyenleteket.

1. Minden esetre megoldjuk az egyenlőtlenségeket.
2. Leírjuk a választ.

Megoldás:

1. Redukciós képletek használata .

2. Ekkor ez az egyenlet a következőképpen alakul:

3. Bevezetünk egy cserét . Kapunk:

Megoldunk egy közönséges másodfokú egyenletet diszkriminancia- és gyökképletekkel:

Mindkét gyökér pozitív.

3. Visszatérés az x változóhoz:

Határozza meg azt a mondatot, amelyben mindkét kiemelt szó FOLYAMATOSAN van írva! Nyissa ki a zárójeleket, és írja le ezt a két szót.

Chopin AZONNAL magával ragadta a párizsi szalonokat egyedi és szokatlan előadásával, valamint zseniális humorával és zseniális improvizációival.

Az élet folyásának teljesebb megtapasztalása érdekében 1877 őszén Csajkovszkij eltávozott (KÜLFÖLDRE): sokáig élt Olaszországban, Svájcban és Franciaországban.

Picasso „A művész önarcképe palettával” és a „Les Demoiselles d’Avignon”-ban sok a közös: UGYANAZ az arckifejezés, UGYANAZOK a szemek, hasonló színtónusok.

(ÉS) ÍGY, a beszédetikett univerzális jelenség, ugyanakkor minden nemzet kialakította a maga sajátos beszédviselkedési szabályrendszerét.

Az ajándékot (BE)TITKOSAN készítették el a körülöttük lévőktől, esténként HANGHANGON BESZÉLGETT.

Magyarázat (lásd még az alábbi szabályt).

Adjuk meg a helyes írásmódot.

Chopin AZONNAL magával ragadta a párizsi szalonokat egyedi és szokatlan előadásával, valamint zseniális humorával és zseniális improvizációival.

AZÉRT, hogy még teljesebben megtapasztalhassa az élet folyását, 1877 őszén Csajkovszkij KÜLFÖLDRE ment: sokáig élt Olaszországban, Svájcban és Franciaországban.

Picasso „A művész önarcképe palettával” és a „Les Demoiselles d’Avignon”-ban sok a közös: UGYANAZ az arckifejezés, UGYANAZOK a szemek, hasonló színtónusok.

A beszédetikett tehát univerzális jelenség, ugyanakkor minden nemzet kialakította a maga sajátos beszédviselkedési szabályrendszerét.

Az ajándékot TITKOSAN készítették elő a körülöttük lévőktől, esténként SOTT HANGON beszélgetve.

Külföldön– főnév, jelentése: külföld, pl.: külfölddel kereskedni, külföldön szeretni, külföldön élni; külföld segít nekünk.

Külföldön, külföldön– az elöljárószó és a főnév kombinációja azt jelenti: külföldre, külföldre; kint, szülőföldön kívül pl.: külföldön élni, külföldre utazni.

Jobb

Élj külföldön és élj külföldön

Szabály: A szavak folyamatos, különálló és kötőjeles írásmódja. 14. feladat.

Különböző beszédrészek folyamatos, különálló és kötőjeles írása.

A „Leírás” szerint ez a feladat a legterjedelmesebb, legváltozatosabb és ezért legösszetettebb anyagok ismeretét teszteli. Ebben a „Referenciák” részben az iskolai tankönyvek szabályai kerülnek rendszerezésre, valamint kiegészítésre kerülnek az egységes államvizsga-feladat sikeres teljesítéséhez és a gyakorlati műveltség elsajátításához szükséges információkkal. Az elemezni kívánt szabályrendszer nem véletlen: a lista létrehozását az elmúlt évek tanulmányi feladatainak, a FIPI Banknak, valamint a nyomtatott kiadványoknak a megalkotása előzte meg, amelyek szerzői a KIM-ek készítői (Tsybulko I.P., Egoraeva, Vasiliev I.P. és mások).

Az 1. táblázat a szavak gyűjteményét tartalmazza, amelyek megkülönböztető jellemzője a homonimák jelenléte, vagyis az azonos hangzású, de eltérő írásmódú szavak. Beszédrészek és magyarázatok jelzésére Használt rövidítések:

főnév - főnév

szám - szám

adv. - határozószó

helyeken – névmás

mélyebbre. – melléknév

p/p - származtatott elöljárószó

n/a – nem származékos elöljárószó

v/s – bevezető szó

fe – frazeológiai egység

Az 1. táblázat M.A. Kryukova orosz nyelvtanár anyagain alapul. (webhely: „Fülig az OGE-n és az egységes államvizsgán!”)

A kötőjellel alkotott határozókat írjuk:

Fél- mindig együtt írják: félhold, féléves.

Egységes államvizsga. Orosz nyelv.

13. feladat Mennyire egyszerű az elvégzése?

13. számú feladat- az egyik legnehezebb. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy sok szabályt kell ismernie a szavak összevont, különálló és kötőjeles írásmódjára vonatkozóan. Ezen kívül van egy csomó szó, amit csak emlékezned kell. Szóval vannak nehézségek.

Javaslom a feladat legegyszerűbb végrehajtásának módját.

A 13. számú feladat elvégzésének algoritmusa

A szavak integrált, különálló, kötőjeles írásmódja

Olvassa el figyelmesen a feladatot. Az öt javasolt közül meg kell találnia egy mondatot, amelyben a kiemelt szavak szerepelnek zökkenőmentesen vagy egymástól. Még akkor is, ha a könyvek, amelyekkel tanulsz, többnyire arra kérnek, hogy megtaláld összeolvadt szavak írása, a vizsga vizsga, mindenre fel kell készülni. Tehát a feladat gondos elolvasásával megkezdődik a végrehajtása.

Minden mondatból távolítsa el azokat a szavakat, amelyekkel írva van kötőjel. Leggyakrabban ez:

Utótagú szavak VAGY, VAGYés előtag CFU

Szavak elvégre pontosan ugyanaz.

Előtagú határozószavak ÁLTALés toldalékok OMU, HIM, SKI, YI:

véleményünk szerint róka módjára.

A melléknevek jelentése színárnyalatok, ízek(élénk vörös, édes-savanyú)

Bíboros utasítások: délnyugat.

Gyökerű szavak padló: kezdeni valamivel L(fél citrom) magánhangzóval(fél alma) nagybetűvel(fél Európa).

Homogén tagokból képzett melléknevek, közéjük kötőszó helyezhető ÉS(magazin-újság - azaz magazin és újság)

Az első lépés megtörtént. Bizonyos mondatokban biztosan lesz olyan szó, amelyet kötőjellel írnak. Ezért az ajánlatok száma csökken.

Mintha

Tekintettel a

Tartsd észben

Alatt

A folytatásban

Következtében

Később

Mert

mivel

Azaz

Azért, hogy

Annak ellenére

Függetlenül attól

Azonnal

Mintha

A harmadik lépés a legfontosabb. Világosan meg kell különböztetnie a leírt szavakat zökkenőmentesen vagy egymástól.

Szóval, hogy - mi lenne

Szintén

Szintén - ugyanaz

De azért

Miért – miből

Mert – mert

Mert – mert

Mi köze hozzá

Körülbelül (= körülbelül) – számlára (bankban)

Emlékezik: ha egy szónak logikai hangsúlya van, akkor intonációval kiemeled, határozottan, némi hanglejtéssel ejtik, és ami a legfontosabb, konkrétan el tudsz képzelni valamit, akkor ez a szó le van írva EGYMÁSTÓL.

Ha a fentiek egyike sem található meg, akkor ez egy közönséges kötőszó – írják TELJES.

Hasonlítsa össze.

NAK NEK adjam neked a születésnapodra? (A szóra esik a hangsúly; bemutatjuk a megvásárolni kívánt ajándékot).

Találkoztunk, NAK NEK megbeszélni az aktuális dolgokat (a szót gyorsan, mintha véletlenül ejtik ki; nem tudunk elképzelni semmit, amikor kimondjuk a szót, HOGY)

AZÉRTÖtöst kaptam a feladatért.

Sokáig készült DE jól vizsgázott.

Ne feledje: ha azután ÍGY AZONOS Van HOGYAN ÉS, akkor mindig külön írják (Ugyanaz a minőség, mint MINDIG.)

Szó ÍGYösszeírva, ha ez egy közönséges bevezető szó, az összefoglal valamit.( ÍGY, a munka az ünnep előtt befejeződött)

Ha van előttünk határozó és kötőszó, akkor ezeket külön írjuk, kérdezhetünk Hogyan?(Így minden szabadidejét töltötte (HOGYAN töltötte? – ÍGY).

Ne feledje, hogy a negatív határozókat mindig írják zökkenőmentesen: sehol, sehogy, sehol, sehol, sehol stb.

Ezek azok a fő esetek, amelyeket először meg kell emlékezni.

Minden szabály megtalálható ezen az oldalon. Különös figyelmet fordítsunk a határozószók helyesírásával ellátott táblázatokra, jegyezzük meg a szavakat.

PÉLDA

Határozza meg azt a mondatot, amelyben mindkét kiemelt szó szerepel! TELJES. Nyissa ki a zárójeleket, és írja le ezt a két szót.

Minden (MÉG) UGYANAZ volt, (EZ) SEMMILYEN NEM VÁLTOZOTT.

(ÍGY) HOGY időben megérkezzünk (HOGY) A TALÁLKOZÓRA, kora reggel indultunk.

(NÉHÁNY) AHOL (BEN) TÁVOLSÁGBAN kunyhók fényeit lehetett látni.

Olyan hirtelen tűnt el (AS), ahogy megjelent.

(ÉS) Tehát kezdjük azzal, hogy (VÉGRE) megismertelek.

MAGYARÁZAT

Olyan mondatokat találunk, amelyekben a szavakat kötőjellel írják. Ez az első és a harmadik - VALAHOL, MÉG MINDIG. Zárjuk ki őket. 3 ajánlat maradt.

Külön-külön találunk olyan szavakat, amelyek helyesírásával kapcsolatban nincs kétséged. Ez EZ VAN(az első mondatot viszont már törölték)

Maradt 3 mondat, amelyben a szavakat a jelentésükre gondolva helyesen le lehet írni.

2. mondat: hova mentünk? – A TALÁLKOZÓRA(például egy régóta várt találkozóra). Vagyis tisztán elképzeljük azt a találkozót, amelyre hőseink mennek. Mi írunk egymástól. Szó NAK NEK itt össze van írva, mivel a szónak nincs lexikális jelentése "Mit" Nem).

A 4. mondat egyszerű, tartalmazza SZINTÉN, ami azt jelenti, hogy külön írom a szót.

Így marad az 5-ös szám – ez a helyes válasz: ÍGY- bevezető szó, VÉGÜL- határozószó mikor?

Végezzen el több feladatot, és biztosan sikerülni fog

Sok szerencsét!

Az anyagot készítette: Melnikova Vera Aleksandrovna

Egységes államvizsga matematika profilszinten

A munka 19 feladatból áll.
1. rész:
8 alapfokú nehézségi szintű rövid válaszfeladat.
2. rész:
4 rövid válaszfeladat
7 feladat részletes, magas nehézségi fokú válaszokkal.

Műsoridő - 3 óra 55 perc.

Példák az egységes államvizsga-feladatokra

Egységes államvizsga feladat megoldása matematikából.

Probléma a megoldással:

Egy szabályos háromszög alakú ABCS piramisban, amelynek alapja ABC, a következő élek ismertek: AB = 3 gyöke, SC = 13.
Keresse meg az alapsík és az AS és BC élek közepén áthaladó egyenes által alkotott szöget!

Megoldás:

1. Mivel a SABC egy szabályos gúla, az ABC egy egyenlő oldalú háromszög, a többi lap pedig egyenlő egyenlő szárú háromszög.
Vagyis az alap minden oldala egyenlő 5 sqrt(3), és minden oldalél egyenlő 13-mal.

2. Legyen D a BC felezőpontja, E az AS felezőpontja, SH az S pontból a piramis aljáig ereszkedő magasság, EP az E pontból a piramis aljáig ereszkedő magasság.

3. Keresse meg az AD-t a CAD derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével. Kiderült, hogy 15/2 = 7,5.

4. Mivel a piramis szabályos, a H pont az ABC háromszög magasságainak/mediánjainak/felezőinek metszéspontja, ezért AD-t 2:1 arányban osztja (AH = 2 AD).

5. Keresse meg az SH-t az ASH derékszögű háromszögből. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, a Pitagorasz-tétel szerint SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Az AEP és az ASH háromszögek derékszögek, és közös A szögük van, tehát hasonlóak. Feltétel szerint AE = AS/2, ami azt jelenti, hogy AP = AH/2 és EP = SH/2.

7. Továbbra is figyelembe kell venni az EDP derékszögű háromszöget (minket csak az EDP szög érdekel).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Szögtangens EDP = EP/DP = 6/5,
Szög EDP = arctán(6/5)

Válasz:

Tudod mit?

Az azonos kerületű figurák közül a körnek lesz a legnagyobb területe. Ezzel szemben az azonos területű alakzatok közül a körnek lesz a legkisebb kerülete.

Leonardo da Vinci levezetett egy szabályt, amely szerint a fatörzs átmérőjének négyzete egyenlő a közös rögzített magasságban vett ágak átmérőjének négyzeteinek összegével. A későbbi vizsgálatok csak egy különbséggel erősítették meg - a képlet foka nem feltétlenül egyenlő 2-vel, hanem 1,8 és 2,3 közötti tartományban van. Hagyományosan úgy gondolták, hogy ezt a mintát az magyarázza, hogy egy ilyen szerkezetű fának van egy optimális mechanizmusa az ágak tápanyagokkal való ellátására. 2010-ben azonban Christophe Alloy amerikai fizikus egyszerűbb mechanikai magyarázatot talált a jelenségre: ha egy fát fraktálnak tekintünk, akkor Leonardo törvénye minimálisra csökkenti annak valószínűségét, hogy a szél hatására eltörjenek az ágak.

Laboratóriumi vizsgálatok kimutatták, hogy a méhek képesek kiválasztani az optimális útvonalat. A különböző helyeken elhelyezett virágok lokalizálása után a méh repül, és úgy tér vissza, hogy a végső út a legrövidebbnek bizonyuljon. Így ezek a rovarok hatékonyan birkóznak meg az informatika klasszikus „utazó eladói problémájával”, amelynek megoldásával a modern számítógépek a pontok számától függően akár egy napot is el tudnak tölteni.

Ha megszorozod életkorodat 7-tel, majd megszorozod 1443-mal, akkor az eredmény háromszor egymás után felírva lesz az életkorod.

A negatív számokat természetesnek gondoljuk, de ez nem mindig volt így. A negatív számokat először Kínában legalizálták a 3. században, de csak kivételes esetekben használták őket, mivel általában értelmetlennek tartották őket. Kicsit később Indiában a negatív számokat kezdték használni az adósságok jelölésére, de nyugaton nem honosodtak meg – a híres alexandriai Diophantus azzal érvelt, hogy a 4x+20=0 egyenlet abszurd.

George Dantzig amerikai matematikus, amikor az egyetem végzős hallgatója volt, egy nap elkésett az óráról, és a táblára írt egyenleteket összetévesztette házi feladattal. Nehezebbnek tűnt a szokottnál, de néhány nap múlva sikerült teljesítenie. Kiderült, hogy megoldott két „megoldhatatlan” statisztikai problémát, amelyekkel sok tudós küszködött.

Az orosz matematikai irodalomban a nulla nem természetes szám, hanem a nyugati irodalomban éppen ellenkezőleg, a természetes számok halmazához tartozik.

Az általunk használt decimális számrendszer azért jött létre, mert az embernek 10 ujja van. Az absztrakt számolás képessége nem jelent meg azonnal az emberekben, és a legkényelmesebbnek bizonyult az ujjak használata a számoláshoz. A maja civilizáció és tőlük függetlenül a csukcsik történelmileg a húszjegyű számrendszert használták, nem csak a kézen, hanem a lábujjakon is használták az ujjakat. Az ókori Sumerban és Babilonban elterjedt duodecimális és hatszázalékos rendszer is a kézhasználaton alapult: hüvelykujjal számolták meg a tenyér többi ujjának phalangusait, amelyek száma 12.

Egy hölgy barátja megkérte Einsteint, hogy hívja fel, de figyelmeztette, hogy a telefonszámát nagyon nehéz megjegyezni: - 24-361. Emlékszel? Ismétlés! Einstein meglepetten válaszolt: „Persze, hogy emlékszem!” Két tucat és 19 négyzet.

Stephen Hawking az egyik vezető elméleti fizikus és a tudomány népszerűsítője. Hawking önmagáról szóló történetében megemlítette, hogy matematikaprofesszor lett anélkül, hogy a középiskola óta matematikai oktatásban részesült volna. Amikor Hawking matematikát kezdett tanítani Oxfordban, két héttel saját tanítványai előtt olvasta el a tankönyvet.

A római számokkal a Shvartsman-szabályok (a római számok írásának szabályai) megsértése nélkül írható maximális szám 3999 (MMMCMXCIX) – nem írhat be három számjegynél többet egymás után.

Sok példabeszéd szól arról, hogyan hív meg valaki egy másikat, hogy fizessen neki valamilyen szolgáltatásért a következő módon: a sakktábla első mezőjére tesz egy rizst, a másodikra ​​kettőt, és így tovább: minden következő mezőre. kétszer annyi, mint az előzőnél. Ebből kifolyólag az, aki így fizet, biztosan csődbe megy. Ez nem meglepő: a becslések szerint a rizs össztömege több mint 460 milliárd tonna lesz.

Sok forrásban, gyakran azzal a céllal, hogy a gyengén teljesítő diákokat ösztönözzék, van egy olyan kijelentés, hogy Einstein megbukott a matematikából az iskolában, vagy ráadásul általában nagyon rosszul tanult minden tárgyból. Valójában minden nem így volt: Albert korán megmutatta tehetségét a matematikában, és ezt messze túlmutatja az iskolai tananyagon.