Határozzuk meg egy több változóból álló függvény legnagyobb értékét! Funkciók

2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Az űrszonda egy elektronikus adathordozót szállít a Marsra, amelyen az expedíció összes regisztrált résztvevőjének neve szerepel.

A résztvevők regisztrációja nyitott. Szerezze meg jegyét a Marsra ezen a linken.

Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.

Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaküvegen... Mindez arra késztetett, hogy ismét írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Erről a témáról van egy érdekes cikk, amely példákat tartalmaz kétdimenziós fraktálszerkezetekre. Itt a háromdimenziós fraktálok bonyolultabb példáit nézzük meg.

A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Vagyis ez egy önhasonló szerkezet, amelynek részleteit megvizsgálva nagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg egy közönséges geometriai alakzatnál (nem fraktálnál), nagyításkor olyan részleteket látunk, amelyeknek egyszerűbb a formája, mint maga az eredeti ábra. Például elég nagy nagyításnál az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével újra ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedésnél újra és újra megismétlődik.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója ezt írta Fraktálok és művészet a tudomány nevében című cikkében: „A fraktálok geometriai alakzatok, amelyek részleteiben éppoly összetettek, mint általános formájukban. Vagyis ha a fraktál részei az egész méretére megnagyobbodik, egészben fog megjelenni, vagy pontosan, vagy esetleg enyhe deformációval."

1.5. Tétel Legyen zárt tartományban D funkció megadva z=z(x,y), amelynek folyamatos elsőrendű parciális deriváltjai vannak. Határ G vidék D darabonként sima (azaz „sima tapintású” görbékből vagy egyenes vonalakból áll). Aztán a környéken D funkció z(x,y) eléri a legnagyobbat Més a legkevésbé mértékeket.

Nincs bizonyíték.

A következő tervet javasolhatja a megtaláláshoz MÉs m.
1. Építünk egy rajzot, kijelöljük a területhatár összes részét Dés megtalálja a határ összes „sarok” pontját.
2. Keresse meg az álló pontokat belül D.
3. Keressen állópontokat az egyes határokon.
4. Minden álló- és sarokponton számolunk, majd kiválasztjuk a legnagyobbat Més a legkevésbé m jelentések.

1.14. példa Keresse meg a legnagyobbat Més a legkevésbé m függvényértékek z= 4x2-2xy+y2-8x zárt területen D, korlátozott: x= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Építsünk egy területet D(1.5. ábra) síkon Óóó.

Sarokpontok: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Határ G vidék D három részből áll:

2. Keressen helyhez kötött pontokat a régión belül D:

3. Álló pontok a határokon l 1, l 2, l 3:

4. Hat értéket számítunk ki:

Példák

1. példa

Ez a függvény a változók összes értékéhez definiálva van xÉs y, kivéve az origót, ahol a nevező nullára megy.

Polinom x 2 +y 2 mindenhol folytonos, ezért a folytonos függvény négyzetgyöke folytonos.

A tört mindenhol folytonos lesz, kivéve azokat a pontokat, ahol a nevező nulla. Vagyis a vizsgált függvény folytonos a teljes koordinátasíkon Óóó, kivéve az eredetet.

2. példa

Vizsgálja meg egy függvény folytonosságát! z=tg(x,y). Az érintő definiált és folytonos az argumentum összes véges értékére, kivéve azokat az értékeket, amelyek egyenlőek a mennyiség páratlan számával π /2 , azaz kizárva azokat a pontokat, ahol

Minden fixért "k" az (1.11) egyenlet egy hiperbolát határoz meg. Ezért a vizsgált függvény folytonos függvény xés y, kivéve a görbéken fekvő pontokat (1.11).

3. példa

Keresse meg egy függvény parciális deriváltjait u=z -xy, z > 0.

4. példa

Mutasd meg ezt a funkciót

megfelel az azonosságnak:

– ez az egyenlőség minden pontra érvényes M(x;y;z), kivéve a pontot M 0 (a;b;c).

Tekintsük két független változó z=f(x,y) függvényét és határozzuk meg a részváltozók geometriai jelentését z"x =f"x(x,y)És z" y =f" y(x,y).

Ebben az esetben az egyenlet z=f(x,y) van valamilyen felület egyenlete (1.3. ábra). Rajzoljunk egy síkot y= konst. Ennek a felületi síknak egy szakaszán z=f(x,y) kapsz egy sort l 1 metszéspont, amely mentén csak a mennyiségek változnak xÉs z.

Részleges derivált z"x(geometriai jelentése közvetlenül következik egy változó függvény deriváltjának ismert geometriai jelentéséből) numerikusan egyenlő a szög érintőjével α dőlésszög a tengelyhez képest Ó, érintő L 1 a görbére l 1, ami a felület egy szakaszát eredményezi z=f(x,y) repülőgép y= konst azon a ponton M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

A felszín metszetében z=f(x,y) repülőgép x= konst kereszteződést kapsz l 2, amely mentén csak a mennyiségek változnak nál nélÉs z. Ezután a parciális derivált z" y számszerűen egyenlő a szög érintőjével β dőlésszög a tengelyhez képest OU, érintő L 2 a megadott sorra l 2 kereszteződések egy pontban M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

5. példa

Milyen szöget zár be a tengellyel? Ó vonal érintője:

azon a ponton M(2,4,5)?

A parciális derivált geometriai jelentését használjuk egy változóra vonatkozóan x(állandóan nál nél):

6. példa.

Az (1.31) szerint:

7. példa.

Feltéve, hogy az egyenlet

implicit módon meghatároz egy függvényt

megtalálja z"x, z" y.

ezért (1.37) szerint azt a választ kapjuk.

8. példa.

Fedezd fel a végletekig:

1. Állandó pontok keresése az (1.41) rendszer segítségével:

vagyis négy stacionárius pontot találunk.
2.

az 1.4 Tétel szerint a pontban van egy minimum.

Ráadásul

4. Hat értéket számítunk ki:

A kapott hat érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Bibliográfia:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. Felsőfokú matematika közgazdászok számára. I félév: Expressz tanfolyam. – M.: Új ismeretek, 2002. – 140 p.

ü Gusak A. A.. Matematikai elemzés és differenciálegyenletek – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 p.

ü Gusak A. A.. Felsőfokú matematika. Tankönyv egyetemistáknak 2 kötetben. – Mn., 1998. – 544 p. (1 kötet), 448 pp. (2 kötet).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Felső matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / Szerk. prof. N. Sh. Kremer – M.: UNITI, 2002. – 471 p.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. és mások. Felsőfokú matematika. Általános tanfolyam: Tankönyv / Általános alatt. szerk. S. A. Samal. – Mn.: Vysh. iskola, 2000. – 351 p.

Legyen a $z=f(x,y)$ függvény definiált és folytonos valamilyen korlátos $D$ zárt tartományban. Legyenek az adott függvénynek ebben a tartományban véges elsőrendű parciális deriváltjai (kivéve talán véges számú pontot). Ahhoz, hogy egy adott zárt tartományban két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékét megtaláljuk, egy egyszerű algoritmus három lépésére van szükség.

Mik azok a kritikus pontok? mutat elrejt

Alatt kritikus pontok olyan pontokat jelent, ahol mindkét elsőrendű parciális derivált nulla (azaz $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ és $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) vagy legalább egy részleges származéka nem létezik.

Gyakran azokat a pontokat hívják meg, ahol az elsőrendű parciális deriváltak egyenlők nullával álló pontok. Így az állópontok a kritikus pontok egy részhalmazát alkotják.

1. számú példa

Keresse meg a $z=x^2+2xy-y^2-4x$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét a $x=3$, $y=0$ és $y=x vonalak által határolt zárt területen +1 $.

Követjük a fentieket, de először egy adott terület megrajzolásával foglalkozunk, amit $D$ betűvel fogunk jelölni. Megadjuk három egyenes egyenletét, amelyek ezt a területet korlátozzák. A $x=3$ egyenes átmegy a $(3;0)$ ponton párhuzamosan az ordinátatengellyel (Oy tengely). Az $y=0$ egyenes az abszcissza tengely (Ox ​​tengely) egyenlete. Nos, az $y=x+1$ egyenes megszerkesztéséhez találunk két pontot, amelyeken keresztül meghúzzuk ezt az egyenest. Természetesen behelyettesíthet néhány tetszőleges értéket a $x$ helyett. Például a $x=10$ behelyettesítésével a következőt kapjuk: $y=x+1=10+1=11$. Megtaláltuk a $(10;11)$ pontot, amely az $y=x+1$ egyenesen fekszik. Érdemes azonban megkeresni azokat a pontokat, ahol az $y=x+1$ egyenes metszi a $x=3$ és $y=0$ egyeneseket. Miért jobb ez? Mert egy csapásra megölünk pár madarat: két pontot kapunk az $y=x+1$ egyenes megszerkesztéséhez, és egyúttal megtudjuk, hogy ez az egyenes mely pontokon metszi az adott területet korlátozó más vonalakat. Az $y=x+1$ egyenes a $x=3$ egyenest a $(3;4)$ pontban, az $y=0$ egyenes pedig a $(-1;0)$ pontban metszi. Hogy a megoldás előrehaladását ne zsúfoljam el segédmagyarázatokkal, jegyzetbe teszem e két pont megszerzésének kérdését.

Hogyan szerezték meg a $(3;4)$ és $(-1;0)$ pontokat? mutat elrejt

Kezdjük az $y=x+1$ és $x=3$ egyenesek metszéspontjából. A kívánt pont koordinátái mind az első, mind a második egyeneshez tartoznak, ezért az ismeretlen koordináták megtalálásához meg kell oldani az egyenletrendszert:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Egy ilyen rendszer megoldása triviális: ha az első egyenletbe behelyettesítjük a $x=3$-t, akkor a következőt kapjuk: $y=3+1=4$. A $(3;4)$ pont az $y=x+1$ és $x=3$ egyenesek kívánt metszéspontja.

Most keressük meg az $y=x+1$ és $y=0$ egyenesek metszéspontját. Állítsuk össze és oldjuk meg újra az egyenletrendszert:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Az első egyenletbe behelyettesítve $y=0$-t, a következőt kapjuk: $0=x+1$, $x=-1$. A $(-1;0)$ pont az $y=x+1$ és $y=0$ (x tengely) egyenesek kívánt metszéspontja.

Minden készen áll egy rajz elkészítésére, amely így fog kinézni:

A feljegyzés kérdése kézenfekvőnek tűnik, mert a képen minden látszik. Érdemes azonban emlékezni arra, hogy a rajz nem szolgálhat bizonyítékként. A rajz csak illusztráció.

Területünket az azt kötő egyenes egyenletek segítségével határoztuk meg. Nyilvánvalóan ezek a vonalak egy háromszöget határoznak meg, igaz? Vagy ez nem teljesen nyilvánvaló? Vagy talán egy másik területet kapunk, amelyet ugyanazok a vonalak határolnak:

Természetesen a feltétel azt írja, hogy a terület lezárt, így a látható kép hibás. De az ilyen kétértelműségek elkerülése érdekében jobb, ha a régiókat egyenlőtlenségekkel határozzuk meg. Érdekel minket a sík $y=x+1$ egyenes alatti része? Ok, tehát $y ≤ x+1$. A területünk a $y=0$ vonal felett legyen? Remek, ez azt jelenti, hogy $y ≥ 0 $. Egyébként az utolsó két egyenlőtlenség könnyen összevonható egy: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(igazított) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(igazított) \jobbra. $$

Ezek az egyenlőtlenségek határozzák meg a $D$ régiót, és egyértelműen definiálják, anélkül, hogy bármilyen kétértelműséget megengednének. De hogyan segít ez nekünk a jegyzet elején megfogalmazott kérdésben? Ez is segít :) Meg kell nézni, hogy a $M_1(1;1)$ pont a $D$ régióhoz tartozik-e. Helyettesítsük be a $x=1$ és $y=1$ értékeket a tartományt meghatározó egyenlőtlenségek rendszerébe. Ha mindkét egyenlőtlenség teljesül, akkor a pont a régión belül van. Ha legalább az egyik egyenlőtlenség nem teljesül, akkor a pont nem tartozik a régióhoz. Így:

$$ \left \( \begin(igazított) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(igazított) \jobbra. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(igazított) \jobbra.$$

Mindkét egyenlőtlenség érvényes. $M_1(1;1)$ pont a $D$ régióhoz tartozik.

Most itt az ideje, hogy tanulmányozzuk a függvény viselkedését a régió határán, pl. menjünk-hoz . Kezdjük a $y=0$ egyenessel.

Az $y=0$ egyenes (abszcissza tengely) korlátozza a $D$ régiót a $-1 ≤ x ≤ 3$ feltétel mellett. Helyettesítsük be a $y=0$-t az adott $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ függvénybe. A behelyettesítés eredményeként kapott $x$ változó függvényét $f_1(x)$-ként jelöljük:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Most a $f_1(x)$ függvényhez meg kell találnunk a $-1 ≤ x ≤ 3$ intervallum legnagyobb és legkisebb értékeit. Keressük meg ennek a függvénynek a deriváltját, és egyenlővé tesszük nullával:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

A $x=2$ érték a $-1 ≤ x ≤ 3$ szegmenshez tartozik, ezért a $M_2(2;0)$ pontot is hozzáadjuk a pontlistához. Ezenkívül számítsuk ki a $z$ függvény értékeit a $-1 ≤ x ≤ 3$ szegmens végein, azaz. a $M_3(-1;0)$ és $M_4(3;0)$ pontokban. Egyébként ha a $M_2$ pont nem tartozna a vizsgált szegmenshez, akkor természetesen nem kellene kiszámolni a benne lévő $z$ függvény értékét.

Tehát számítsuk ki a $z$ függvény értékeit a $M_2$, $M_3$, $M_4$ pontokban. Természetesen ezeknek a pontoknak a koordinátáit behelyettesítheti az eredeti $z=x^2+2xy-y^2-4x$ kifejezésbe. Például a $M_2$ pontra a következőket kapjuk:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

A számítások azonban egy kicsit leegyszerűsíthetők. Ehhez érdemes megjegyezni, hogy a $M_3M_4$ szegmensen $z(x,y)=f_1(x)$ áll rendelkezésünkre. Ezt leírom részletesen:

\begin(igazított) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(igazított)

Természetesen általában nincs szükség ilyen részletes feljegyzésekre, a jövőben minden számítást leírunk röviden:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Most forduljunk a $x=3$ egyeneshez. Ez az egyenes korlátozza a $D$ régiót a $0 ≤ y ≤ 4$ feltétel mellett. Helyettesítsük be a $x=3$-t a megadott $z$ függvénybe. A behelyettesítés eredményeképpen a $f_2(y)$ függvényt kapjuk:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

A $f_2(y)$ függvényhez meg kell találnunk a $0 ≤ y ≤ 4$ intervallum legnagyobb és legkisebb értékeit. Keressük meg ennek a függvénynek a deriváltját, és egyenlővé tesszük nullával:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

A $y=3$ érték a $0 ≤ y ≤ 4$ szegmenshez tartozik, ezért a korábban talált pontokhoz $M_5(3;3)$-t is hozzáadunk. Ezenkívül ki kell számítani a $z$ függvény értékét a $0 ≤ y ≤ 4$ szakasz végének pontjaiban, azaz. a $M_4(3;0)$ és $M_6(3;4)$ pontokban. A $M_4(3;0)$ pontban már kiszámoltuk a $z$ értékét. Számítsuk ki a $z$ függvény értékét a $M_5$ és $M_6$ pontokban. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a $M_4M_6$ szegmensben $z(x,y)=f_2(y)$ áll rendelkezésre, ezért:

\begin(igazított) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(igazított)

És végül vegyük figyelembe a $D$ régió utolsó határát, azaz. egyenes $y=x+1$. Ez az egyenes korlátozza a $D$ régiót a $-1 ≤ x ≤ 3$ feltétel mellett. Ha behelyettesítjük a $y=x+1$-t a $z$ függvénybe, akkor a következőket kapjuk:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ismét van egy $x$ változó függvénye. És ismét meg kell találnunk ennek a függvénynek a legnagyobb és legkisebb értékét a $-1 ≤ x ≤ 3$ intervallumon. Keressük meg a $f_(3)(x)$ függvény deriváltját, és egyenlősítsük nullával:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Az $x=1$ érték a $-1 ≤ x ≤ 3$ intervallumhoz tartozik. Ha $x=1$, akkor $y=x+1=2$. Adjuk hozzá a $M_7(1;2)$-t a pontok listájához, és nézzük meg, hogy ezen a ponton mekkora a $z$ függvény értéke. Pontok a szakasz végén $-1 ≤ x ≤ 3$, azaz. A $M_3(-1;0)$ és $M_6(3;4)$ pontokat korábban figyelembe vettük, ezekben már megtaláltuk a függvény értékét.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

A megoldás második lépése befejeződött. Hét értéket kaptunk:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Térjünk rá. A harmadik bekezdésben kapott számok közül a legnagyobb és legkisebb értékek kiválasztásával a következőket kapjuk:

$$z_(perc)=-4; \; z_(max)=6.$$

A probléma megoldva, már csak a választ kell leírni.

Válasz: $z_(perc)=-4; \; z_(max)=6$.

2. példa

Keresse meg a $z=x^2+y^2-12x+16y$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét a $x^2+y^2 ≤ 25$ tartományban.

Először is készítsünk egy rajzot. A $x^2+y^2=25$ egyenlet (ez egy adott terület határvonala) egy olyan kört határoz meg, amelynek középpontja az origóban van (azaz a $(0;0)$ pontban) és sugara 5. A $x^2 +y^2 ≤ $25 egyenlőtlenség az említett körön belül és azon belül minden pontot kielégít.

Aszerint fogunk eljárni. Keressünk parciális deriváltokat, és derítsük ki a kritikus pontokat.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nincsenek olyan pontok, ahol a talált parciális deriváltak ne léteznének. Nézzük meg, hogy melyik ponton egyenlő mindkét parciális derivált egyidejűleg nullával, azaz. keressünk állópontokat.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(igazított)\jobbra.$$

Stacionárius pontot kaptunk $(6;-8)$. A talált pont azonban nem tartozik a $D$ régióhoz. Ezt könnyű megmutatni anélkül, hogy rajzolni kellene. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a $x^2+y^2 ≤ 25$ egyenlőtlenség, amely meghatározza a $D$ régiónkat. Ha $x=6$, $y=-8$, akkor $x^2+y^2=36+64=100$, azaz. a $x^2+y^2 ≤ 25$ egyenlőtlenség nem teljesül. Következtetés: $(6;-8)$ pont nem tartozik a $D$ területhez.

Tehát a $D$ régión belül nincsenek kritikus pontok. Menjünk tovább a... Meg kell vizsgálnunk egy függvény viselkedését egy adott régió határán, azaz. a körön $x^2+y^2=25$. Természetesen kifejezhetjük $y$-t $x$-ban, majd az eredményül kapott kifejezést behelyettesíthetjük a $z$ függvényünkbe. A kör egyenletéből a következőt kapjuk: $y=\sqrt(25-x^2)$ vagy $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ha behelyettesítjük például az $y=\sqrt(25-x^2)$-t az adott függvénybe, akkor a következőt kapjuk:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

A további megoldás teljesen megegyezik az előző, 1. számú példában a tartomány határán lévő függvény viselkedésének vizsgálatával. Számomra azonban ésszerűbbnek tűnik a Lagrange-módszer alkalmazása ebben a helyzetben. Minket csak ennek a módszernek az első része érdekel. A Lagrange-módszer első részének alkalmazása után olyan pontokat kapunk, ahol a $z$ függvényt minimum és maximum értékekre vizsgáljuk.

Összeállítjuk a Lagrange függvényt:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Megkeressük a Lagrange-függvény parciális deriváltjait, és összeállítjuk a megfelelő egyenletrendszert:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (igazított) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(igazított) \ jobbra. \;\; \left \( \begin(igazított) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( igazítva)\jobbra.$$

Ennek a rendszernek a megoldásához azonnal mutassuk meg, hogy $\lambda\neq -1$. Miért $\lambda\neq -1$? Próbáljuk meg behelyettesíteni a $\lambda=-1$ értéket az első egyenletbe:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

A kapott $0=6$ ellentmondás azt jelzi, hogy a $\lambda=-1$ érték elfogadhatatlan. Kimenet: $\lambda\neq -1$. Fejezzük ki $x$ és $y$ $\lambda$-ban:

\begin(igazított) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(igazított)

Úgy gondolom, hogy itt nyilvánvalóvá válik, hogy miért kötöttük ki konkrétan a $\lambda\neq -1$ feltételt. Ez azért történt, hogy a $1+\lambda$ kifejezést interferencia nélkül illesszük a nevezők közé. Azaz, hogy a nevező $1+\lambda\neq 0$ legyen.

Helyettesítsük be a kapott $x$ és $y$ kifejezéseket a rendszer harmadik egyenletébe, pl. $x^2+y^2=25$-ban:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

A kapott egyenlőségből az következik, hogy $1+\lambda=2$ vagy $1+\lambda=-2$. Ezért a $\lambda$ paraméternek két értéke van, nevezetesen: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Ennek megfelelően két $x$ és $y$ értékpárt kapunk:

\begin(igazított) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(igazított)

Tehát egy lehetséges feltételes szélsőérték két pontját kaptuk, azaz. $M_1(3;-4)$ és $M_2(-3;4)$. Keressük meg a $z$ függvény értékeit a $M_1$ és $M_2$ pontokban:

\begin(igazított) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(igazított)

Az első és második lépésben kapott értékek közül a legnagyobb és legkisebb értékeket kell kiválasztanunk. De ebben az esetben kicsi a választék :)

$$ z_(perc)=-75; \; z_(max)=125. $$

Válasz: $z_(perc)=-75; \; z_(max.)=125 USD.

Gyakorlati szempontból a legnagyobb érdeklődés az, hogy a derivált segítségével megkeressük egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét. Ez mihez kapcsolódik? A profit maximalizálása, a költségek minimalizálása, a berendezések optimális terhelésének meghatározása... Vagyis az élet számos területén meg kell oldanunk bizonyos paraméterek optimalizálásának problémáit. És ezek egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásának feladatai.

Meg kell jegyezni, hogy egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét általában egy bizonyos X intervallumon kell keresni, amely vagy a függvény teljes tartománya, vagy a definíciós tartomány egy része. Maga az X intervallum lehet szegmens, nyitott intervallum , végtelen intervallum.

Ebben a cikkben egy y=f(x) változó explicit módon meghatározott függvényének legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásáról fogunk beszélni.

Oldalnavigáció.

Nézzük röviden a főbb definíciókat.

A függvény legnagyobb értéke hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

Az y=f(x) függvény legkisebb értéke az X intervallumon ilyen érték hogy bárkinek az egyenlőtlenség igaz.

Ezek a definíciók intuitívak: egy függvény legnagyobb (legkisebb) értéke a vizsgált intervallum legnagyobb (legkisebb) elfogadott értéke az abszcisszán.

Az állópontok az argumentum azon értékei, amelyeknél a függvény deriváltja nullává válik.

Miért van szükségünk stacionárius pontokra a legnagyobb és legkisebb értékek megtalálásához? Erre a kérdésre Fermat tétele adja meg a választ. Ebből a tételből az következik, hogy ha egy differenciálható függvénynek van egy extrémuma (lokális minimum vagy lokális maximum), akkor ez a pont stacionárius. Így a függvény gyakran ebből az intervallumból veszi a legnagyobb (legkisebb) értékét az X intervallumon valamelyik stacionárius pontban.

Ezenkívül egy függvény gyakran felveheti a legnagyobb és legkisebb értékeit olyan pontokon, ahol ennek a függvénynek az első deriváltja nem létezik, és maga a függvény definiálva van.

Azonnal válaszoljunk az egyik leggyakoribb kérdésre ebben a témában: „Mindig meg lehet határozni egy függvény legnagyobb (legkisebb) értékét”? Nem mindig. Néha az X intervallum határai egybeesnek a függvény definíciós tartományának határaival, vagy az X intervallum végtelen. És egyes függvények a végtelenben és a definíciós tartomány határain végtelenül nagy és végtelenül kicsi értékeket is felvehetnek. Ezekben az esetekben semmit nem lehet mondani a függvény legnagyobb és legkisebb értékéről.

Az érthetőség kedvéért grafikus illusztrációt adunk. Nézd meg a képeket, és sok minden világosabb lesz.

A szegmensen

Az első ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és legkisebb (min y) értéket veszi fel a szakaszon belüli stacionárius pontokon [-6;6].

Tekintsük a második ábrán látható esetet. Változtassuk meg a szegmenst erre: . Ebben a példában a függvény legkisebb értékét egy stacionárius pontban érjük el, a legnagyobbat pedig abban a pontban, ahol az intervallum jobb oldali határának megfelelő abszcissza.

A 3. ábrán a [-3;2] szakasz határpontjai a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megfelelő pontok abszcisszái.

Nyílt időközönként

A negyedik ábrán a függvény a legnagyobb (max y) és a legkisebb (min y) értéket veszi fel a nyitott intervallumon belüli stacionárius pontokon (-6;6).

Az intervallumon a legnagyobb értékre nem lehet következtetéseket levonni.

A végtelenben

A hetedik ábrán bemutatott példában a függvény a legnagyobb értéket (max y) egy x=1 abszcissza értékű stacionárius pontban veszi fel, és a legkisebb értéket (min y) az intervallum jobb határán éri el. Mínusz végtelennél a függvényértékek aszimptotikusan megközelítik az y=3-at.

Az intervallum alatt a függvény nem éri el sem a legkisebb, sem a legnagyobb értéket. Ahogy az x=2 jobbról közeledik, a függvényértékek mínusz végtelenbe hajlanak (az x=2 egyenes egy függőleges aszimptota), és ahogy az abszcissza a végtelen plusz felé tart, a függvényértékek aszimptotikusan közelítenek az y=3-hoz. A példa grafikus illusztrációja a 8. ábrán látható.

Írjunk egy algoritmust, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.

Elemezzük a példa megoldásának algoritmusát, hogy megtaláljuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy szegmensen.

Példa.

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

• a szegmensen ;
• a [-4;-1] szakaszon.

Megoldás.

Egy függvény definíciós tartománya a valós számok teljes halmaza, a nulla kivételével, azaz. Mindkét szegmens a definíciós tartományba esik.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Nyilvánvaló, hogy a függvény deriváltja a szegmensek minden pontjában létezik és [-4;-1].

Az egyenletből stacionárius pontokat határozunk meg. Az egyetlen valódi gyök az x=2. Ez az állópont az első szegmensbe esik.

Az első esetben kiszámítjuk a függvény értékeit a szakasz végén és a stacionárius pontban, azaz x=1, x=2 és x=4 esetén:

Ezért a függvény legnagyobb értéke x=1, és a legkisebb érték esetén érhető el – x=2-nél.

A második esetben a függvényértékeket csak a [-4;-1] szakasz végein számítjuk ki (mivel egyetlen stacionárius pontot sem tartalmaz):

Megoldás.

Kezdjük a függvény tartományával. A tört nevezőjében lévő négyzetes trinom nem tűnhet el:

Könnyen ellenőrizhető, hogy a problémafelvetésből minden intervallum a függvény definíciós tartományába tartozik-e.

Tegyük különbséget a függvény között:

Nyilvánvaló, hogy a derivált a függvény teljes definíciós tartományában létezik.

Keressünk állópontokat. A derivált nullára megy a -nál. Ez az állópont a (-3;1] és (-3;2) intervallumok közé esik.

Most már összehasonlíthatja az egyes pontokban kapott eredményeket a függvény grafikonjával. A kék szaggatott vonalak az aszimptotákat jelzik.

Ezen a ponton befejezhetjük a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálását. Az ebben a cikkben tárgyalt algoritmusok lehetővé teszik, hogy minimális művelettel eredményeket érjen el. Hasznos lehet azonban először meghatározni a függvény növekedési és csökkenési intervallumait, és csak ezt követően vonni le következtetéseket a függvény legnagyobb és legkisebb értékére bármely intervallumon. Ez világosabb képet ad és az eredmények szigorú indoklását.

§ Extrém, több változó függvényének maximális és minimális értékei - 1/1. oldal

Pont
hívott maximális pont funkciókat
, ha bármilyen pontra

egyenlőtlenség érvényesül

.

Hasonlóképpen pont
hívott minimum pont funkciókat
, ha bármilyen pontra
egy pont valamelyik környékéről
egyenlőtlenség érvényesül

.

Megjegyzések. 1) A definíciók szerint a függvény
a pont valamely szomszédságában kell meghatározni
. Azok. a függvény maximum és minimum pontja
a régiónak csak belső pontjai lehetnek
.

2) Ha van a pont szomszédsága
, amelyben bármely pontra
különböző
egyenlőtlenség érvényesül

(

), akkor a lényeg
hívott szigorú maximum pont(illetőleg szigorú minimum pont) funkciókat
. Ebben a vonatkozásban a fent meghatározott maximális és minimum pontokat néha nem szigorú maximum- és minimumpontoknak is nevezik.

Az extrémák fogalmai lokális jellegűek: egy függvény értéke egy pontban
összehasonlítják a függvényértékekkel meglehetősen közeli pontokon. Egy adott területen egy függvénynek egyáltalán nincs szélsősége, vagy lehet több minimuma, több maximuma, sőt végtelen számú mindkettő. Ezen túlmenően egyes minimumok nagyobbak lehetnek, mint néhány maximum. Ne keverje össze egy függvény maximális és minimális értékét a maximális és minimális értékeivel.

Keressük meg az extrémumhoz szükséges feltételt. Legyen pl.
– a függvény maximális pontja
. Ezután definíció szerint van egy gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-a pont szomszédsága
oly módon, hogy
bármely pontra
ebből a közelből. Különösen,

(1)

Ahol
,
, És

(2)

Ahol
,
. De (1) azt jelenti, hogy egy változó függvénye
pontban van maximum vagy az intervallumon van
állandó. Ennélfogva,

vagy
- nem létezik,

⇒
vagy
- nem létezik.

Hasonlóan a (2)-ből azt kapjuk

vagy
- nem létezik.

Így érvényes a következő tétel.

8.1. TÉTEL. (az extrémumhoz szükséges feltételek). Ha a funkció
azon a ponton
szélsőértéke van, akkor ezen a ponton vagy mindkét elsőrendű parciális deriváltja egyenlő nullával, vagy ezek közül legalább az egyik parciális derivált nem létezik.

Geometriailag a 8.1. tétel azt jelenti, hogy ha
– a függvény szélsőpontja
, akkor a függvény grafikonjának érintősíkja a pontban vagy párhuzamos a síkkal
, vagy egyáltalán nem létezik. Ennek igazolására elég megjegyezni, hogyan találjuk meg a felület érintősíkjának egyenletét (lásd a (4.6) képletet).

A 8.1. Tétel feltételeit kielégítő pontokat nevezzük kritikus pontok funkciókat
. Csakúgy, mint egy változó függvényéhez, a szélsőséghez sem elegendőek a szükséges feltételek. Azok. egy függvénynek nem minden kritikus pontja lesz a szélsőpontja.

PÉLDA. Vegye figyelembe a funkciót
. Pont
kritikus ehhez a függvényhez, mivel ezen a ponton mindkét elsőrendű parciális deriváltja
És
egyenlők nullával. Ez azonban nem lesz szélsőséges pont. Igazán,
, de a pont bármely szomszédságában
vannak olyan pontok, ahol a függvény pozitív értékeket vesz fel, és vannak olyan pontok, ahol a függvény negatív értékeket vesz fel. Ez könnyen ellenőrizhető, ha elkészíti a függvény grafikonját - egy hiperbolikus paraboloidot.

Két változó függvényéhez a legkényelmesebb elégséges feltételeket a következő tétel adja meg.

8.2. TÉTEL. (elegendő feltétel két változó függvényének extrémumához). Hadd
– a funkció kritikus pontja
és a pont valamely szomszédságában
a függvénynek folyamatos parciális deriváltjai vannak egészen a másodrendűig. Jelöljük

,
,
.

Akkor 1) ha
, majd pont
nem szélsőséges pont;


Ha a kritikus pont vizsgálatára a 8.2. Tételt használjuk
sikertelen (pl. ha
vagy a függvénynek egyáltalán nincs értelme a szomszédságban
a szükséges sorrend folytonos parciális deriváltjai), a válasz egy pontban való jelenlétre vonatkozó kérdésre
Az extremum ezen a ponton adja meg a függvény növekedésének előjelét.

A definícióból valóban az következik, hogy ha a függvény
pontban van
szigorú maximum akkor

minden pontra
egy pont valamelyik környékéről
, vagy más módon

mindenkinek kellően kicsi
És
. Hasonlóképpen, ha
egy szigorú minimum pont, akkor mindenkinek elég kicsi
És
kielégül az egyenlőtlenség
.

Tehát, hogy megtudja, hogy a kritikus pont az
szélsőpont, ezen a ponton meg kell vizsgálni a függvény növekményét. Ha mindenkinek elég kicsi
És
megőrzi a jelet, majd a ponton
a függvénynek szigorú szélsőértéke van (minimum if
, és a maximum ha
).

Megjegyzés. A szabály továbbra is igaz a nem szigorú szélsőségekre, de a módosítással bizonyos értékekre
És
a függvény növekménye nulla lesz
PÉLDA. Keresse meg a függvények szélsőségeit:

1)
; 2)
.

A kritikus pontok tanulmányozására a 8.2 Tételt alkalmazzuk. Nekünk van:

,
,
.

Fedezzük fel a lényeget
:

,
,
,

;
.

Ezért azon a ponton
ennek a függvénynek van egy minimuma, nevezetesen
.

A kritikus pont feltárása
:

,
,
,


.

Ezért a második kritikus pont nem a függvény szélsőpontja.

A kritikus pont tanulmányozásához a 8.2. Tételt alkalmazzuk. Nekünk van:

,
,
,

,
,
,

.

Határozza meg a szélsőség jelenlétét vagy hiányát egy ponton
a 8.2. tétel használata nem sikerült.

Vizsgáljuk meg a függvény növekményének előjelét a pontban
:

Ha
, Azt
;

Ha
, Azt
.

Mert a
nem őrzi meg a jelet egy pont szomszédságában
, akkor ezen a ponton a függvénynek nincs extrémuma.

.

Hasonlóképpen a függvény értéke a pontban
hívott a legkisebb, ha bármilyen pontra
a régióból
egyenlőtlenség érvényesül

.

Korábban már mondtuk, hogy ha egy függvény folytonos és a terület
– zárt és korlátozott, akkor a függvény ezen a területen veszi fel a legnagyobb és legkisebb értékeit. Ugyanakkor pontok
És
mindkettő a területen belül feküdhet
, és a határán. Ha a lényeg
(vagy
) a régión belül található
, akkor ez lesz a függvény maximális (minimális) pontja
, azaz egy függvény kritikus pontja egy régión belül
. Ezért keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét
területen
kell:
.