Keresse meg egy valószínűségi változó értékeinek matematikai elvárását. Átlag és matematikai elvárások az EXCEL-ben

Lesznek önálló megoldandó problémák is, amelyekre láthatod a válaszokat.

Az elvárás és a variancia a valószínűségi változók leggyakrabban használt numerikus jellemzői. Ezek jellemzik az eloszlás legfontosabb jellemzőit: helyzetét és szóródási fokát. A várható értéket gyakran egyszerűen átlagnak nevezik. valószínűségi változó. Valószínűségi változó diszperziója - diszperzióra jellemző, valószínűségi változó terjedése annak matematikai elvárásáról.

Sok gyakorlati feladatban a valószínűségi változó teljes, kimerítő jellemzője - az eloszlási törvény - vagy nem érhető el, vagy egyáltalán nem szükséges. Ezekben az esetekben egy valószínűségi változó numerikus jellemzők segítségével történő hozzávetőleges leírására korlátozódik.

Egy diszkrét valószínűségi változó elvárása

Jöjjön a matematikai elvárás fogalma. Valamelyik anyag tömege oszlik el az x tengely pontjai között x1 , x 2 , ..., x n. Ezenkívül minden anyagi pontnak megfelelő tömege van, amelynek valószínűsége p1 , p 2 , ..., p n. Ki kell választani egy pontot az abszcissza tengelyen, amely jellemzi a teljes anyagi pontrendszer helyzetét, figyelembe véve azok tömegét. Természetes, hogy az anyagi pontrendszer tömegközéppontját ilyen pontnak vesszük. Ez a valószínűségi változó súlyozott átlaga x, amelyhez az egyes pontok abszcissza xén a megfelelő valószínűséggel megegyező „súllyal” lép be. Az így kapott valószínűségi változó átlagértéke x matematikai elvárásának nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges érték szorzata és ezen értékek valószínűsége:

1. példa Nyertes lottót szerveztek. 1000 nyeremény van, ebből 400 10 rubel. Egyenként 300-20 rubel. Egyenként 200-100 rubel. és egyenként 100-200 rubel. Mennyi az átlagos nyeremény annak, aki egy jegyet vesz?

Megoldás. Az átlagos nyereményt akkor kapjuk meg, ha a nyeremények teljes összegét, ami 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubel, elosztjuk 1000-el (a nyeremények teljes összege). Ezután 50000/1000 = 50 rubelt kapunk. De az átlagos nyeremény kiszámításának kifejezése a következő formában mutatható be:

Másrészt ilyen körülmények között a nyerő összeg egy véletlen változó, amely 10, 20, 100 és 200 rubel értéket vehet fel. 0,4 valószínűséggel; 0,3; 0,2; 0.1. Ezért a várható átlagos nyeremény egyenlő a nyeremények nagyságának és a megszerzésük valószínűségének szorzatának összegével.

2. példa A kiadó új könyv kiadása mellett döntött. A könyvet 280 rubelért tervezi eladni, amelyből 200-at ő maga kap, 50-et a könyvesbolt és 30-at a szerző. A táblázat tájékoztatást ad a könyv kiadásának költségeiről és a könyv bizonyos példányszámának eladásának valószínűségéről.

Keresse meg a kiadó várható nyereségét.

Megoldás. A „profit” valószínűségi változó egyenlő az értékesítésből származó bevétel és a ráfordítások különbözetével. Például, ha egy könyvből 500 példányt adnak el, akkor az eladásból származó bevétel 200 * 500 = 100 000, a kiadás költsége pedig 225 000 rubel. Így a kiadó 125 000 rubel veszteséggel néz szembe. Az alábbi táblázat összefoglalja a valószínűségi változó - profit - várható értékeit:

Így megkapjuk a kiadó profitjának matematikai elvárását:

.

3. példa Egy lövéssel való eltalálás valószínűsége p= 0,2. Határozza meg azoknak a lövedékeknek a fogyasztását, amelyek matematikai elvárásokat adnak az 5-tel egyenlő találatok számáról.

Megoldás. Ugyanabból a matematikai elvárási képletből, amelyet eddig is használtunk, fejezzük ki x- héj fogyasztás:

.

4. példa Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x találatok száma három lövésnél, ha az egyes lövéseknél a találati valószínűség p = 0,4 .

Tipp: keresse meg a valószínűségi változók értékének valószínűségét Bernoulli képlete .

A matematikai várakozás tulajdonságai

Tekintsük a matematikai elvárás tulajdonságait.

1. tulajdonság. Egy állandó érték matematikai elvárása egyenlő ezzel az állandóval:

2. tulajdonság. A konstans tényező kivehető a matematikai elvárásjelből:

3. tulajdonság. A valószínűségi változók összegének (különbségének) matematikai elvárása megegyezik a matematikai várakozásaik összegével (különbségével):

4. tulajdonság. A valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárások szorzatával:

5. ingatlan. Ha egy valószínűségi változó összes értéke x ugyanennyivel csökken (növekszik). VAL VEL, akkor a matematikai elvárása ugyanennyivel csökken (növekszik):

Amikor nem korlátozhatja magát csak a matematikai elvárásokra

A legtöbb esetben csak a matematikai elvárás nem képes kellően jellemezni egy valószínűségi változót.

Legyen a valószínűségi változók xÉs Y a következő elosztási törvények adják meg:

Ezeknek a mennyiségeknek a matematikai elvárásai azonosak - egyenlők nullával:

Elosztási mintáik azonban eltérőek. Véletlenszerű érték x csak olyan értékeket vehet fel, amelyek alig különböznek a matematikai elvárásoktól és a valószínűségi változótól Y olyan értékeket vehet fel, amelyek jelentősen eltérnek a matematikai elvárásoktól. Hasonló példa: az átlagbér nem teszi lehetővé a magas és alacsony fizetésű munkavállalók arányának megítélését. Vagyis a matematikai elvárásból nem lehet megítélni, hogy attól legalább átlagosan milyen eltérések lehetségesek. Ehhez meg kell találni a valószínűségi változó varianciáját.

Egy diszkrét valószínűségi változó varianciája

Variancia diszkrét valószínűségi változó x a matematikai elvárástól való eltérés négyzetének matematikai elvárása:

Egy valószínűségi változó szórása x szórásának négyzetgyökének számtani értékét nevezzük:

.

5. példa. Számítsa ki a valószínűségi változók szórását és szórását xÉs Y, melynek eloszlási törvényeit a fenti táblázatokban adjuk meg.

Megoldás. A valószínűségi változók matematikai elvárásai xÉs Y, mint fentebb, egyenlőek nullával. A diszperziós képlet szerint at E(x)=E(y)=0 kapjuk:

Ezután a valószínűségi változók szórása xÉs Y smink

.

Így azonos matematikai elvárások mellett a valószínűségi változó varianciája x nagyon kicsi, de egy valószínűségi változó Y- jelentős. Ez az eloszlásuk különbségeinek a következménye.

6. példa. A beruházónak 4 alternatív beruházási projektje van. A táblázat összefoglalja az ezekben a projektekben várható nyereséget a megfelelő valószínűséggel.

Keresse meg az egyes alternatívák matematikai elvárását, szórást és szórását.

Megoldás. Mutassuk meg, hogyan számítják ki ezeket az értékeket a 3. alternatívánál:

A táblázat összefoglalja az összes alternatíva talált értékeit.

Minden alternatívának ugyanazok a matematikai elvárásai. Ez azt jelenti, hogy hosszú távon mindenkinek azonos a jövedelme. A szórás a kockázat mértékeként értelmezhető – minél magasabb, annál nagyobb a befektetés kockázata. Az a befektető, aki nem akar nagy kockázatot, az 1. projektet választja, mivel ennek a legkisebb szórása (0). Ha a befektető a kockázatot és a rövid időn belüli magas hozamot részesíti előnyben, akkor a legnagyobb szórással rendelkező projektet választja - 4. projektet.

Diszperziós tulajdonságok

Mutassuk be a diszperzió tulajdonságait.

1. tulajdonság. Egy állandó érték varianciája nulla:

2. tulajdonság. A konstans tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

.

3. tulajdonság. Egy valószínűségi változó szórása egyenlő ennek az értéknek a négyzetének matematikai elvárásával, amelyből kivonjuk magának az értéknek a matematikai elvárásának négyzetét:

,

Ahol .

4. tulajdonság. A valószínűségi változók összegének (különbségének) szórása egyenlő szórásaik összegével (különbségével):

7. példa. Ismeretes, hogy egy diszkrét valószínűségi változó x csak két értéket vesz fel: −3 és 7. Ezen kívül ismert a matematikai elvárás: E(x) = 4. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját.

Megoldás. Jelöljük azzal p annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel x1 = −3 . Aztán az érték valószínűsége x2 = 7 1 − lesz p. Vezessük le a matematikai elvárás egyenletét:

E(x) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

ahol a valószínűségeket kapjuk: p= 0,3 és 1 − p = 0,7 .

Egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Ennek a valószínűségi változónak a szórását a diszperzió 3. tulajdonságának képletével számítjuk ki:

D(x) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Keresse meg saját maga egy valószínűségi változó matematikai elvárását, majd nézze meg a megoldást

8. példa. Diszkrét valószínűségi változó x csak két értéket vesz fel. A 3-as értékek közül a nagyobbat fogadja el 0,4-es valószínűséggel. Ezenkívül ismert a valószínűségi változó varianciája D(x) = 6. Határozzuk meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását!

9. példa. Az urnában 6 fehér és 4 fekete golyó található. 3 golyót húznak az urnából. A kihúzott golyók között lévő fehér golyók száma diszkrét valószínűségi változó x. Határozzuk meg ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárását és szórását!

Megoldás. Véletlenszerű érték x 0, 1, 2, 3 értéket vehet fel. A megfelelő valószínűségek ebből számíthatók valószínűségi szorzási szabály. Egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Innen származik ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása:

M(x) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Egy adott valószínűségi változó varianciája:

D(x) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Folyamatos valószínűségi változó elvárása és varianciája

Folytonos valószínűségi változó esetén a matematikai elvárás mechanikus értelmezése ugyanazt a jelentést fogja megtartani: a tömegközéppont az x tengelyen folytonosan eloszló sűrűségű tömeg esetén. f(x). Ellentétben egy diszkrét valószínűségi változóval, amelynek függvényargumentuma xén hirtelen megváltozik; folytonos valószínűségi változó esetén az argumentum folyamatosan változik. De a folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása is összefügg annak átlagértékével.

Egy folytonos valószínűségi változó matematikai elvárásának és varianciájának meghatározásához határozott integrálokat kell találni . Ha egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye adott, akkor az közvetlenül bekerül az integrandusba. Ha adott egy valószínűségi eloszlásfüggvény, akkor ennek differenciálásával meg kell találni a sűrűségfüggvényt.

Egy folytonos valószínűségi változó összes lehetséges értékének számtani átlagát nevezzük annak matematikai elvárás, jelölése vagy.

Az elvárás egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása

Matematikai elvárás, definíció, diszkrét és folytonos valószínűségi változók matematikai elvárása, minta, feltételes elvárás, számítás, tulajdonságok, problémák, várható becslés, diszperzió, eloszlásfüggvény, képletek, számítási példák

Bővítse ki a tartalmat

Tartalom összecsukása

A matematikai elvárás a definíció

A matematikai statisztika és a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma, amely egy valószínűségi változó értékeinek vagy valószínűségeinek eloszlását jellemzi. Általában egy valószínűségi változó összes lehetséges paraméterének súlyozott átlagaként fejezik ki. Széles körben használják a technikai elemzésben, a számsorok tanulmányozásában, valamint a folyamatos és időigényes folyamatok tanulmányozásában. Fontos a kockázatok felmérésében, az árindikátorok előrejelzésében a pénzpiaci kereskedés során, és a szerencsejáték-elméletben a játéktaktika stratégiáinak és módszereinek kidolgozására használják.

A matematikai elvárás az a valószínűségi változó átlagos értékét, a valószínűségi változó valószínűségi eloszlását a valószínűségelméletben veszik figyelembe.

A matematikai elvárás az egy valószínűségi változó átlagos értékének mértéke a valószínűségszámításban. Valószínűségi változó elvárása xáltal jelölve M(x).

A matematikai elvárás az

A matematikai elvárás az a valószínűségelméletben az összes lehetséges érték súlyozott átlaga, amelyet egy valószínűségi változó felvehet.

A matematikai elvárás az egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének szorzata és ezen értékek valószínűsége.

A matematikai elvárás az egy adott döntésből származó átlagos haszon, feltéve, hogy egy ilyen döntés a nagy számok és a nagy távolság elméletének keretein belül figyelembe vehető.

A matematikai elvárás az a szerencsejáték-elméletben az a nyeremény összege, amelyet egy játékos átlagosan minden fogadással megkereshet vagy veszíthet. A szerencsejáték szóhasználatában ezt néha "játékos előnyének" (ha pozitív a játékos számára) vagy "házi előnynek" (ha negatív a játékos számára) nevezik.

A matematikai elvárás az az egy nyereményre jutó nyereség százalékos aránya szorozva az átlagos nyereséggel, mínusz a veszteség valószínűsége szorozva az átlagos veszteséggel.

Valószínűségi változó matematikai elvárása a matematikai elméletben

A valószínűségi változó egyik fontos numerikus jellemzője a matematikai elvárása. Vezessük be a valószínűségi változók rendszerének fogalmát. Tekintsünk egy sor valószínűségi változót, amelyek ugyanazon véletlenszerű kísérlet eredményei. Ha a rendszer egyik lehetséges értéke, akkor az esemény egy bizonyos valószínűségnek felel meg, amely kielégíti Kolmogorov axiómáit. A valószínűségi változók bármely lehetséges értékére definiált függvényt közös eloszlási törvénynek nevezzük. Ez a funkció lehetővé teszi bármely esemény valószínűségének kiszámítását. Különösen a valószínűségi változók közös eloszlási törvényét és, amelyek a halmazból vesznek értékeket, és a valószínűségek adják meg.

A „matematikai elvárás” kifejezést Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) vezette be, és a „nyeremény várható értéke” fogalmából származik, amely először a 17. században jelent meg a szerencsejáték elméletében Blaise Pascal és Christiaan műveiben. Huygens. Ennek a koncepciónak az első teljes elméleti megértését és értékelését azonban Pafnuty Lvovich Chebisev adta (19. század közepe).

A valószínűségi numerikus változók eloszlási törvénye (eloszlásfüggvény és eloszlási sorozat vagy valószínűségi sűrűség) teljes mértékben leírja a valószínűségi változó viselkedését. A feltett kérdés megválaszolásához azonban számos probléma esetén elegendő a vizsgált mennyiség néhány számszerű jellemzőjének ismerete (például átlagértéke és az attól való esetleges eltérés). A valószínűségi változók fő numerikus jellemzői a matematikai elvárás, a variancia, a módusz és a medián.

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása a lehetséges értékek és a megfelelő valószínűségek szorzatának összege. Néha a matematikai elvárást súlyozott átlagnak nevezik, mivel ez megközelítőleg megegyezik egy valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlagával nagyszámú kísérlet során. A matematikai elvárás definíciójából következik, hogy értéke nem kisebb, mint egy valószínűségi változó lehető legkisebb értéke, és nem több, mint a legnagyobb. A valószínűségi változó matematikai elvárása nem véletlenszerű (konstans) változó.

A matematikai elvárásnak egyszerű fizikai jelentése van: ha egy egységnyi tömeget egy egyenesre helyezünk, akkor bizonyos tömeget helyezünk el bizonyos pontokon (diszkrét eloszlásért), vagy „elkenjük” egy bizonyos sűrűséggel (abszolút folyamatos eloszlásért) , akkor a matematikai elvárásnak megfelelő pont lesz a koordináta "súlypontja" egyenes.

Egy valószínűségi változó átlagértéke egy bizonyos szám, amely mintegy „reprezentatív” és helyettesíti azt a hozzávetőleges számításokban. Amikor azt mondjuk: „a lámpa átlagos működési ideje 100 óra” vagy „az átlagos ütközési pont a célhoz képest 2 m-rel jobbra tolódik el”, akkor egy valószínűségi változó egy bizonyos numerikus jellemzőjét jelezzük, amely leírja annak helyét. a numerikus tengelyen, azaz. „helyzeti jellemzők”.

A pozíció jellemzői közül a valószínűségszámításban a legfontosabb szerepet a valószínűségi változó matematikai elvárása játssza, amelyet néha egyszerűen egy valószínűségi változó átlagértékének neveznek.

Tekintsük a valószínűségi változót x, lehetséges értékekkel x1, x2, …, xn valószínűségekkel p1, p2, …, pn. Valamilyen számmal jellemeznünk kell egy valószínűségi változó értékeinek helyzetét az x tengelyen, figyelembe véve azt a tényt, hogy ezeknek az értékeknek eltérő a valószínűsége. Erre a célra természetes az értékek ún. „súlyozott átlaga” használata xi, és az átlagolás során minden xi értéket ennek az értéknek a valószínűségével arányos „súllyal” kell figyelembe venni. Így kiszámítjuk a valószínűségi változó átlagát x, amit jelölünk M |X|:

Ezt a súlyozott átlagot a valószínűségi változó matematikai várakozásának nevezzük. Így figyelembe vettük a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalmát, a matematikai várakozás fogalmát. A valószínűségi változó matematikai elvárása egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének és ezen értékek valószínűségeinek szorzatának összege.

Hagyd előállítani N független kísérletek, amelyek mindegyikében az érték x bizonyos értéket vesz fel. Tegyük fel, hogy az érték x1 megjelent m1 alkalommal, érték x2 megjelent m2 idők, általános jelentése xi mi alkalommal jelent meg. Számítsuk ki az X érték megfigyelt értékeinek számtani átlagát, ami a matematikai elvárással ellentétben M|X| jelöljük M*|X|:

A kísérletek számának növekedésével N frekvenciák pi megközelíti (valószínűségben konvergál) a megfelelő valószínűségeket. Következésképpen a valószínűségi változó megfigyelt értékeinek számtani átlaga M|X| a kísérletek számának növekedésével megközelíti (valószínűségében konvergál) a matematikai elvárásait. A számtani átlag és a matematikai elvárás fentebb megfogalmazott kapcsolata alkotja a nagy számok törvényének egyik alakjának tartalmát.

Azt már tudjuk, hogy a nagy számok törvényének minden formája kimondja azt a tényt, hogy egyes átlagok nagyszámú kísérlet során stabilak. Itt a számtani átlag stabilitásáról beszélünk azonos mennyiségű megfigyeléssorozatból. Kis számú kísérlet esetén eredményeik számtani átlaga véletlenszerű; a kísérletek számának kellő növekedésével „szinte nem véletlenszerűvé” válik, és stabilizálódva megközelíti az állandó értéket - a matematikai elvárást.

A nagyszámú kísérlet átlagainak stabilitása kísérletileg könnyen ellenőrizhető. Például, amikor egy testet laboratóriumban precíz mérlegeken mérünk, a mérés eredményeként minden alkalommal új értéket kapunk; A megfigyelési hiba csökkentése érdekében a testet többször megmérjük, és a kapott értékek számtani átlagát használjuk. Könnyen belátható, hogy a kísérletek (mérések) számának további növekedésével a számtani átlag egyre kevésbé reagál erre a növekedésre, és kellően nagy számú kísérlet esetén gyakorlatilag megszűnik a változás.

Megjegyzendő, hogy a valószínűségi változó helyzetének legfontosabb jellemzője - a matematikai elvárás - nem minden valószínűségi változó esetében létezik. Olyan valószínűségi változókra is lehet példákat állítani, amelyekre nem létezik matematikai elvárás, mivel a megfelelő összeg vagy integrál divergál. Az ilyen esetek azonban a gyakorlat számára nem érdekesek. Általában az általunk kezelt valószínűségi változóknak korlátozott a lehetséges értékük, és természetesen matematikai elvárásaik is vannak.

A gyakorlatban a valószínűségi változó pozíciójának legfontosabb jellemzői - a matematikai elvárás - mellett a pozíció egyéb jellemzőit is alkalmazzák, különösen a valószínűségi változó módusát és mediánját.

Egy valószínűségi változó módusa a legvalószínűbb értéke. A "legvalószínűbb érték" kifejezés szigorúan véve csak nem folytonos mennyiségekre vonatkozik; folytonos mennyiség esetén a módusz az az érték, amelynél a valószínűségi sűrűség maximális. Az ábrák a nem folytonos, illetve a folytonos valószínűségi változók módját mutatják.

Ha az eloszlási sokszögnek (eloszlási görbének) több maximuma van, akkor az eloszlást "multimodálisnak" nevezzük.

Néha vannak olyan disztribúciók, amelyeknek középen van a minimuma, nem pedig a maximum. Az ilyen disztribúciókat „antimodálisnak” nevezik.

Általános esetben egy valószínűségi változó módusa és matematikai elvárása nem esik egybe. Abban az esetben, ha az eloszlás szimmetrikus és modális (azaz van módusa), és van egy matematikai elvárás, akkor az egybeesik az eloszlás módusával és szimmetriaközéppontjával.

Egy másik helyzetjellemzőt gyakran használnak - egy valószínűségi változó úgynevezett mediánját. Ezt a karakterisztikát általában csak folytonos valószínűségi változókra használják, bár formálisan meg lehet határozni egy nem folytonos változóhoz is. Geometriailag a medián annak a pontnak az abszcisszája, ahol az eloszlási görbe által bezárt területet felezik.

Szimmetrikus modális eloszlás esetén a medián egybeesik a matematikai elvárással és módussal.

A matematikai elvárás egy valószínűségi változó átlagos értéke - egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának numerikus jellemzője. A legáltalánosabb módon egy valószínűségi változó matematikai elvárása X(w) Lebesgue integrálként van definiálva a valószínűségi mértékhez képest R az eredeti valószínűségi térben:

A matematikai elvárás a Lebesgue integráljaként is kiszámítható x valószínűségi eloszlás szerint px mennyiségeket x:

A végtelen matematikai elvárású valószínűségi változó fogalma természetes módon definiálható. Tipikus példa néhány véletlenszerű séta visszatérési ideje.

A matematikai elvárás segítségével meghatározható egy eloszlás számos numerikus és funkcionális jellemzője (mint egy valószínűségi változó megfelelő függvényeinek matematikai elvárása), például a generáló függvény, karakterisztikus függvény, tetszőleges sorrendű momentumok, különösen a diszperzió, a kovariancia. .

A matematikai elvárás egy valószínűségi változó értékeinek elhelyezkedésének jellemzője (eloszlásának átlagos értéke). Ebben a minőségében a matematikai elvárás valamilyen „tipikus” eloszlási paraméterként szolgál, és szerepe hasonló a statikus nyomatéknak - a tömegeloszlás súlypontjának koordinátájának - a mechanikában betöltött szerepéhez. A hely egyéb jellemzőitől, amelyek segítségével az eloszlást általánosságban leírják - mediánok, módusok, a matematikai elvárás abban különbözik, hogy a valószínűségszámítás határtételeiben nagyobb értéke van, mint a megfelelő szórási karakterisztikának - diszperziónak. A matematikai elvárás értelmét legteljesebben a nagy számok törvénye (Csebisev-egyenlőtlenség) és a nagy számok megerősített törvénye fedi fel.

Egy diszkrét valószínűségi változó elvárása

Legyen olyan valószínűségi változó, amely több számérték egyikét veheti fel (például a kockadobásnál a pontok száma 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 lehet). A gyakorlatban gyakran felmerül a kérdés egy ilyen érték esetében: milyen értéket vesz fel „átlagosan” nagy számú teszt esetén? Mennyi lesz az átlagos bevételünk (vagy veszteségünk) az egyes kockázatos tranzakciókból?

Tegyük fel, hogy van valamilyen lottó. Szeretnénk megérteni, hogy kifizetődő-e vagy sem részt venni benne (vagy akár többször, rendszeresen részt venni). Tegyük fel, hogy minden negyedik jegy nyerő, a nyeremény 300 rubel, bármelyik jegy ára 100 rubel lesz. A végtelenül sok részvétel mellett ez történik. Az esetek háromnegyedében veszítünk, minden harmadik veszteség 300 rubelbe kerül. Minden negyedik esetben 200 rubelt nyerünk. (díj mínusz költség), azaz négy részvétel esetén átlagosan 100 rubelt veszítünk, egy esetében átlagosan 25 rubelt. Összességében romunk átlagos ára 25 rubel lesz jegyenként.

Dobjuk a kockát. Ha nem csalásról van szó (a súlypont eltolása nélkül stb.), akkor átlagosan hány pontunk lesz egyszerre? Mivel mindegyik opció egyformán valószínű, egyszerűen a számtani átlagot vesszük, és 3,5-öt kapunk. Mivel ez ÁTLAG, nem kell felháborodni azon, hogy egyetlen dobás sem ad 3,5 pontot - hát ennek a kockának ilyen számmal nincs arca!

Most pedig foglaljuk össze példáinkat:

Nézzük az imént adott képet. A bal oldalon egy valószínűségi változó eloszlását bemutató táblázat. Az X érték n lehetséges érték egyikét veheti fel (a felső sorban látható). Más jelentése nem lehet. Minden lehetséges érték alá a valószínűségét írjuk alá. A jobb oldalon található a képlet, ahol M(X) matematikai elvárásnak nevezzük. Ennek az értéknek az a jelentése, hogy nagy számú teszt esetén (nagy mintával) az átlagérték ugyanarra a matematikai elvárásra hajlik.

Térjünk vissza ugyanahhoz a játékkockához. A dobásnál a pontok számának matematikai elvárása 3,5 (ha nem hiszed, számold ki magad a képlet segítségével). Tegyük fel, hogy eldobta párszor. Az eredmény 4 és 6 volt. Az átlag 5 volt, ami messze van a 3,5-től. Még egyszer dobtak, 3-at kaptak, vagyis átlagban (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Valahogy messze a matematikai elvárástól. Most végezzen egy őrült kísérletet – dobja meg a kockát 1000-szer! És ha az átlag nem is pontosan 3,5, akkor is közel lesz ahhoz.

Számítsuk ki a fent leírt lottó matematikai elvárásait. A lemez így fog kinézni:

Ekkor a matematikai elvárás a fentiek szerint a következő lesz:

A másik dolog az, hogy „ujjakon”, képlet nélkül nehéz lenne, ha több lehetőség lenne. Nos, tegyük fel, hogy a vesztes jegyek 75%-a, a nyertesek 20%-a és a különösen a nyertesek 5%-a lenne.

Most a matematikai elvárás néhány tulajdonsága.

Könnyű bizonyítani:

A konstans tényező a matematikai elvárás jeleként vehető ki, azaz:

Ez a matematikai elvárás linearitási tulajdonságának egy speciális esete.

A matematikai elvárás linearitásának egy másik következménye:

vagyis a valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a valószínűségi változók matematikai elvárásainak összegével.

Legyenek X, Y független valószínűségi változók, Akkor:

Ezt is könnyű bizonyítani) Munka XY maga egy valószínűségi változó, és ha a kezdeti értékek megtehetik nÉs mértékek ennek megfelelően XY nm értékeket vehet fel. Az egyes értékek valószínűségét az alapján számítjuk ki, hogy a független események valószínűségét megszorozzuk. Ennek eredményeként ezt kapjuk:

Folyamatos valószínűségi változó elvárása

A folytonos valószínűségi változóknak van egy olyan jellemzője, mint az eloszlási sűrűség (valószínűségi sűrűség). Lényegében azt a helyzetet jellemzi, hogy egy valószínűségi változó gyakrabban vesz át bizonyos értékeket a valós számok halmazából, másokat pedig ritkábban. Vegyük például ezt a grafikont:

Itt x- tényleges valószínűségi változó, f(x)- eloszlási sűrűség. Ebből a grafikonból ítélve a kísérletek során az érték x gyakran nullához közeli szám lesz. Az esélyek túl vannak lépve 3 vagy legyen kisebb -3 inkább pusztán elméleti.

Legyen például egyenletes eloszlás:

Ez teljesen összhangban van az intuitív megértéssel. Tegyük fel, hogy ha sok véletlenszerű valós számot kapunk egyenletes eloszlással, akkor mindegyik szegmens |0; 1| , akkor a számtani átlag körülbelül 0,5 legyen.

A diszkrét valószínűségi változókra alkalmazható matematikai elvárás – linearitás stb. – tulajdonságai itt is alkalmazhatók.

A matematikai elvárás és más statisztikai mutatók kapcsolata

A statisztikai elemzésben a matematikai elvárás mellett létezik egy kölcsönösen összefüggő mutatórendszer, amely a jelenségek homogenitását és a folyamatok stabilitását tükrözi. A variációs mutatók gyakran nem rendelkeznek önálló jelentéssel, és további adatelemzésre használják őket. Kivételt képez a variációs együttható, amely az adatok homogenitását jellemzi, amely értékes statisztikai jellemző.

A statisztika tudományában a folyamatok változékonyságának vagy stabilitásának mértéke többféle mutató segítségével mérhető.

A valószínűségi változó változékonyságát jellemző legfontosabb mutató az Diszperzió, amely a legszorosabban és közvetlenül kapcsolódik a matematikai elváráshoz. Ezt a paramétert aktívan használják más típusú statisztikai elemzésekben (hipotézisvizsgálat, ok-okozati összefüggések elemzése stb.). Az átlagos lineáris eltéréshez hasonlóan a variancia is tükrözi az adatok átlagérték körüli terjedésének mértékét.

Hasznos a jelek nyelvét a szavak nyelvére fordítani. Kiderül, hogy a diszperzió az eltérések átlagos négyzete. Ez azt jelenti, hogy először az átlagértéket számítják ki, majd az egyes eredeti és átlagos értékek közötti különbséget veszik, négyzetbe vonják, összeadják, majd elosztják a sokaságban lévő értékek számával. Az egyéni érték és az átlag közötti különbség az eltérés mértékét tükrözi. Négyzetes, hogy minden eltérés kizárólag pozitív szám legyen, és elkerüljük a pozitív és negatív eltérések kölcsönös megsemmisítését az összegzéskor. Ezután a négyzetes eltérések ismeretében egyszerűen kiszámítjuk a számtani átlagot. Átlagos - négyzetes - eltérések. Az eltéréseket négyzetre emeljük, és kiszámítjuk az átlagot. A „diszperzió” varázsszóra a válasz mindössze három szóban rejlik.

Tiszta formájában azonban, például a számtani átlagban vagy indexben, a diszperziót nem használják. Ez inkább egy segéd- és közbenső mutató, amelyet más típusú statisztikai elemzésekhez használnak. Még normál mértékegysége sincs. A képletből ítélve ez az eredeti adatok mértékegységének négyzete.

Mérjünk meg egy valószínűségi változót N alkalommal például tízszer mérjük meg a szélsebességet, és meg akarjuk találni az átlagértéket. Hogyan kapcsolódik az átlagérték az eloszlásfüggvényhez?

Vagy többször is dobunk a kockával. Az egyes dobásoknál a kockán megjelenő pontok száma egy véletlenszerű változó, és bármilyen természetes értéket vehet fel 1-től 6-ig. Az összes kockadobásra kiszámított elesett pontok számtani átlaga szintén egy valószínűségi változó, de nagy dobások esetén N egy nagyon konkrét számra – matematikai elvárásra – hajlik Mx. Ebben az esetben Mx = 3,5.

Hogyan szerezted ezt az értéket? Beengedni N tesztek n1 ha kapsz 1 pontot, n2 egyszer - 2 pont és így tovább. Ezután azoknak az eredményeknek a száma, amelyekben egy pont esett:

Hasonlóan az eredményekhez, amikor 2, 3, 4, 5 és 6 pontot dobnak.

Tegyük fel most, hogy ismerjük az x valószínűségi változó eloszlási törvényét, azaz tudjuk, hogy az x valószínűségi változó p1, p2, ... valószínűséggel vehet fel x1, x2, ..., xk értékeket, pk.

Egy x valószínűségi változó Mx matematikai elvárása egyenlő:

A matematikai elvárás nem mindig valamely valószínűségi változó ésszerű becslése. Így az átlagkereset becsléséhez célszerűbb a medián fogalmát használni, vagyis olyan értéket, hogy a mediánnál alacsonyabb és annál nagyobb fizetést kapók száma egybeessen.

Annak p1 valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó kisebb lesz, mint x1/2, és annak p2 valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó nagyobb lesz, mint x1/2, megegyezik és egyenlő 1/2-vel. A mediánt nem határozzák meg egyedileg minden eloszlásra.

Szabvány vagy szórás a statisztikában a megfigyelési adatok vagy halmazok ÁTLAG értéktől való eltérésének mértékét nevezzük. s vagy s betűkkel jelölve. A kis szórás azt jelzi, hogy az adatok az átlag körül csoportosulnak, míg a nagy szórás azt jelzi, hogy a kiindulási adatok távol vannak attól. A szórás egyenlő a variancia nevű mennyiség négyzetgyökével. Ez az átlagértéktől eltérő kiindulási adatok négyzetes különbségeinek összegének átlaga. Egy valószínűségi változó szórása a variancia négyzetgyöke:

Példa. Tesztkörülmények között, amikor célba lő, számítsa ki a valószínűségi változó szórását és szórását:

Variáció- egy jellemző értékének ingadozása, változékonysága a sokaság egységei között. A vizsgált populációban található jellemző egyedi számértékeit értékváltozatoknak nevezzük. Az átlagérték elégtelensége a populáció teljes jellemzésére arra késztet bennünket, hogy az átlagértékeket olyan mutatókkal egészítsük ki, amelyek lehetővé teszik ezen átlagok tipikusságának értékelését a vizsgált jellemző variabilitásának (variációjának) mérésével. A variációs együtthatót a következő képlet segítségével számítjuk ki:

Variációs tartomány(R) az attribútum maximális és minimális értéke közötti különbséget jelenti a vizsgált populációban. Ez a mutató a legáltalánosabb képet ad a vizsgált jellemző változékonyságáról, mivel csak az opciók maximális értékei közötti különbséget mutatja. Egy jellemző szélső értékétől való függés instabil, véletlenszerű karaktert ad a variáció hatókörének.

Átlagos lineáris eltérés az elemzett sokaság összes értékének átlagértékétől való abszolút (modulo) eltérésének számtani átlagát jelenti:

Matematikai elvárás a szerencsejáték-elméletben

A matematikai elvárás az Az átlagos pénzösszeg, amit egy szerencsejátékos nyerhet vagy veszíthet egy adott fogadáson. Ez egy nagyon fontos fogalom a játékos számára, mert alapvető fontosságú a legtöbb játékhelyzet értékeléséhez. A matematikai elvárás az alapvető kártyaelrendezések és játékhelyzetek elemzéséhez is az optimális eszköz.

Tegyük fel, hogy egy érmejátékot játszol egy barátoddal, és minden alkalommal egyenlő mértékben fogadsz 1 dollárt, függetlenül attól, hogy mi történik. A farok azt jelenti, hogy nyersz, a fejek azt jelentik, hogy veszítesz. Egy az egyhez az esély arra, hogy fejjel jön össze, tehát 1-1 dollárra fogad. Így a matematikai elvárásod nulla, mert Matematikai szempontból nem tudhatod, hogy két dobás vagy 200 után vezet vagy veszít.

Az óránkénti nyereséged nulla. Az óránkénti nyeremény az a pénzösszeg, amelyet egy óra alatt várhatóan nyerhet. 500 érmét dobhatsz fel egy óra alatt, de nem nyersz vagy veszítesz, mert... az esélyeid se nem pozitívak, se nem negatívak. Ha megnézzük, egy komoly játékos szemszögéből ez a fogadási rendszer nem rossz. De ez egyszerűen időpocsékolás.

De tegyük fel, hogy valaki 2 dollárt szeretne fogadni az Ön 1 dollárja ellen ugyanabban a játékban. Ekkor azonnal pozitív 50 centes elvárása van minden fogadástól. Miért 50 cent? Átlagosan egy fogadást nyer, a másodikat pedig elveszíti. Fogadjon az első dollárra, és 1 dollárt veszít, fogadjon a másodikra, és 2 dollárt nyer. Kétszer fogad 1 dollárt, és 1 dollárral előrébb jár. Tehát minden egydolláros fogadásod 50 centet adott.

Ha egy érme 500-szor jelenik meg egy óra alatt, az óránkénti nyeremény már 250 dollár lesz, mert... Átlagosan 250-szer veszítettél egy dollárt, és 250-szer nyertél két dollárt. 500 dollár mínusz 250 dollár egyenlő 250 dollárral, ami a teljes nyeremény. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a várható érték, ami a fogadásonként nyert átlagos összeg, 50 cent. 250 dollárt nyert, ha 500-szor fogadott egy dollárt, ami tétenként 50 centnek felel meg.

A matematikai elvárásnak semmi köze a rövid távú eredményekhez. Ellenfeled, aki úgy döntött, hogy 2 dollárt fogad ellened, zsinórban az első tíz dobásnál legyőzhet téged, de te, ha 2:1 licitelőnnyel rendelkezel, minden más tényállás mellett 50 centet fog keresni minden 1 dolláros fogadás után. körülmények. Nem számít, hogy egy vagy több fogadást nyer vagy veszít, ha elegendő készpénzzel rendelkezik a költségek kényelmes fedezésére. Ha továbbra is ugyanúgy fogad, akkor nyereménye hosszú időn keresztül megközelíti az egyéni dobásokban elvárt összeget.

Minden alkalommal, amikor a legjobb tétet köti (olyan fogadás, amely hosszú távon nyereségesnek bizonyulhat), amikor az esély az Ön javára, biztosan nyerni fog rajta valamit, függetlenül attól, hogy elveszíti vagy sem. adott kezet. Ezzel szemben, ha egy esélytelenebb fogadást köt (egy olyan fogadást, amely hosszú távon veszteséges), amikor a szorzók ön ellen szólnak, akkor veszít valamit, függetlenül attól, hogy megnyeri vagy elveszíti a leosztást.

Ön a legjobb kimenetelű fogadást tesz, ha pozitív az elvárása, és pozitív, ha az esély az Ön oldalán van. Amikor a legrosszabb kimenetelű fogadást köt, negatív elvárásai vannak, ami akkor történik, ha az esélyek ellentétesek. A komoly játékosok csak a legjobb eredményre fogadnak; ha a legrosszabb történik, dobnak. Mit jelent az esély az Ön javára? Előfordulhat, hogy többet nyer, mint amennyit a valós esélyek hoznak. A leszállási fejek valós esélye 1:1, de az esélyarány miatt 2:1-et kapsz. Ebben az esetben az esély az Ön javára. Határozottan a legjobb eredményt éri el, ha fogadásonként 50 centes pozitív elvárást kap.

Íme egy összetettebb példa a matematikai elvárásra. Egy barátja felír egytől ötig számokat, és 5 dollárral fogad az Ön 1 dollárjára, hogy nem fogja kitalálni a számot. Egyet kell értened egy ilyen fogadással? Mi az elvárás itt?

Átlagosan négyszer tévedsz. Ennek alapján az esélye annak, hogy Ön kitalálja a számot, 4:1. Az esélye annak, hogy egy dollárt veszítsen egy kísérlet során. Ön azonban nyer 5:1 arányban, és 4:1 arányban veszít is. Tehát az esély az Ön javára, megteheti a fogadást, és reménykedhet a legjobb eredményben. Ha ezt a fogadást ötször köti meg, átlagosan négyszer veszít 1 dollárt, és egyszer nyer 5 dollárt. Ennek alapján mind az öt próbálkozás után 1 dollárt fog keresni, fogadásonként 20 cent pozitív matematikai elvárás mellett.

Az a játékos, aki többet fog nyerni, mint amennyit fogad, mint a fenti példában, kockáztat. Éppen ellenkezőleg, tönkreteszi az esélyeit, ha kevesebbet vár nyerni, mint amennyit fogad. Egy fogadónak lehetnek pozitív vagy negatív elvárásai, ami attól függ, hogy nyer-e vagy tönkreteszi az esélyt.

Ha 50 dollárral fogad, hogy 10 dollárt nyerjen 4:1 nyerési eséllyel, akkor 2 dolláros negatív elvárást kap, mert Átlagosan négyszer nyer 10 dollárt, egyszer pedig 50 dollárt veszít, ami azt mutatja, hogy a fogadásonkénti veszteség 10 dollár lesz. De ha 30 dollárral fogad, hogy 10 dollárt nyerjen, ugyanolyan 4:1 nyerési esély mellett, akkor ebben az esetben 2 dolláros pozitív elvárása van, mert ismét nyersz négyszer 10 dollárt, és egyszer veszítesz 30 dollárt, 10 dollár nyereséggel. Ezek a példák azt mutatják, hogy az első fogadás rossz, a második pedig jó.

A matematikai elvárás minden játékhelyzet középpontjában áll. Amikor egy bukméker arra biztatja a futballrajongókat, hogy fogadjanak 11 dollárt, hogy 10 dollárt nyerjenek, akkor minden 10 dollár után 50 centet vár el. Ha a kaszinó még pénzt is fizet a pass line-ból, akkor a kaszinó pozitív elvárása körülbelül 1,40 dollár lesz minden 100 dollár után, mert Ez a játék úgy épül fel, hogy aki ezen a vonalon fogad, átlagosan 50,7%-ot veszít, és a teljes idő 49,3%-át nyeri. Kétségtelen, hogy ez a látszólag minimális pozitív elvárás az, ami óriási profitot hoz a kaszinótulajdonosoknak szerte a világon. Ahogy a Vegas World kaszinótulajdonosa, Bob Stupak megjegyezte, „egy ezrelék százalékos negatív valószínűség elég hosszú távolságon keresztül tönkreteszi a világ leggazdagabb emberét”.

Elvárások pókerezés közben

A Póker játék a legszemléletesebb és legszemléletesebb példa a matematikai várakozás elméletének és tulajdonságainak felhasználása szempontjából.

A pókerben várható érték egy adott döntésből származó átlagos haszon, feltéve, hogy egy ilyen döntés a nagy számok és a nagy távolság elméletének keretein belül mérlegelhető. A sikeres pókerjáték az, ha mindig pozitív várható értékű lépéseket fogad el.

A matematikai elvárás matematikai jelentése pókerezéskor az, hogy gyakran találkozunk véletlenszerű változókkal a döntések meghozatalakor (nem tudjuk, hogy az ellenfélnek milyen lapjai vannak a kezében, milyen lapok jönnek a következő licitkörben). Mindegyik megoldást a nagyszámelmélet szempontjából kell vizsgálnunk, amely szerint kellően nagy minta esetén egy valószínűségi változó átlagértéke a matematikai elvárása szerint alakul.

A matematikai elvárás kiszámítására szolgáló speciális képletek közül a következők a leginkább alkalmazhatók a pókerben:

Pókerezéskor a várható érték a fogadások és a hívások esetében is kiszámítható. Az első esetben a fold equity-t, a második esetben a bank saját esélyeit kell figyelembe venni. Egy adott lépés matematikai elvárásainak felmérésekor ne feledje, hogy a hajtásnak mindig nulla az elvárása. Így a kártyák eldobása mindig jövedelmezőbb döntés lesz, mint bármilyen negatív lépés.

Az elvárás megmondja, hogy minden egyes kockáztatott dollár után mire számíthat (nyereség vagy veszteség). A kaszinók azért keresnek pénzt, mert a bennük játszott összes játék matematikai elvárása a kaszinó mellett szól. Elég hosszú játéksorozat esetén számíthat arra, hogy az ügyfél elveszíti a pénzét, mivel az „oddsok” a kaszinó mellett szólnak. A professzionális kaszinójátékosok azonban játékaikat rövid időre korlátozzák, így az esélyeket a maguk javára halmozzák fel. Ugyanez vonatkozik a befektetésekre is. Ha pozitívak az elvárásai, több pénzt kereshet, ha rövid időn belül sok kereskedést köt. Az elvárás a nyereményenkénti nyereség százalékos aránya szorozva az átlagos nyereséggel, mínusz a veszteség valószínűsége szorozva az átlagos veszteséggel.

A póker a matematikai elvárás szempontjából is szóba jöhet. Feltételezheti, hogy egy bizonyos lépés nyereséges, de bizonyos esetekben nem a legjobb, mert egy másik lépés jövedelmezőbb. Tegyük fel, hogy telt házat ütött az ötlapos pókerben. Az ellenfeled fogadást köt. Tudja, hogy ha megemeli a tétet, válaszolni fog. Ezért úgy tűnik, hogy az emelés a legjobb taktika. De ha megemeli a tétet, a maradék két játékos biztosan dobni fog. De ha megadod, akkor teljesen biztos vagy benne, hogy a mögötted lévő másik két játékos is ezt fogja tenni. Amikor emeled a tétet, egy egységet kapsz, ha pedig csak megadsz, kettőt. Így a hívás magasabb pozitív várható értéket ad, és ez lesz a legjobb taktika.

A matematikai elvárás arról is képet ad, hogy melyik pókertaktika kevésbé jövedelmező és melyik jövedelmezőbb. Például, ha kijátsz egy bizonyos leosztást, és úgy gondolod, hogy a veszteséged átlagosan 75 cent lesz, beleértve az ante-t is, akkor azt a leosztást kell kijátszanod, mert ez jobb, mint a behajtás, amikor az ante 1 dollár.

A várható érték fogalmának megértéséhez egy másik fontos ok az, hogy nyugalmat ad, függetlenül attól, hogy megnyeri-e a tétet vagy sem: ha jó tétet tett, vagy a megfelelő időben dobott, akkor tudni fogja, hogy szerzett vagy nem. megspórolt egy bizonyos összeget, amit a gyengébb játékos nem tudott megtakarítani. Sokkal nehezebb dobni, ha ideges vagy, mert ellenfeled erősebb kezet húzott. Mindezek mellett az a pénz, amelyet megtakarít, ha nem játszik fogadás helyett, hozzáadódik az éjszakai vagy havi nyereményéhez.

Ne felejtsd el, hogy ha lecserélted volna a kezeidet, az ellenfeled megadott volna, és amint azt a Póker alaptétele című cikkben látni fogod, ez csak az egyik előnyed. Boldognak kell lenned, amikor ez megtörténik. Még azt is megtanulhatod, hogy élvezd a kéz elvesztését, mert tudod, hogy a te pozíciódban lévő többi játékos sokkal többet veszített volna.

Ahogy az elején az érmejáték példájában is említettük, a profit óradíja összefügg a matematikai elvárással, és ez a fogalom különösen fontos a profi játékosok számára. Amikor pókerezni megy, mentálisan fel kell becsülnie, mennyit nyerhet egy játékórán belül. A legtöbb esetben az intuíciójára és a tapasztalataira kell hagyatkoznia, de használhat némi matematikát is. Például húzós lowball-t játszik, és azt látja, hogy három játékos 10 dollárt fogad, majd két lapot cserél, ami nagyon rossz taktika, és kitalálhatja, hogy minden alkalommal, amikor 10 dollárt fogad, körülbelül 2 dollárt veszít. Mindegyikük ezt óránként nyolcszor teszi meg, ami azt jelenti, hogy mindhárman körülbelül 48 dollárt veszítenek óránként. Ön az egyike a fennmaradó négy játékosnak, akik megközelítőleg egyenlőek, így ennek a négy játékosnak (és neked köztük) 48 dollárt kell felosztania, és mindegyiknek 12 dollár nyereséget kell elérnie óránként. Az Ön óránkénti szorzója ebben az esetben egyszerűen megegyezik a három rossz játékos által egy óra alatt elvesztett pénzösszegből való részesedésével.

Hosszú időn keresztül a játékos össznyeresége az egyéni kezekben lévő matematikai elvárásainak összege. Minél több leosztást játszol pozitív várakozással, annál többet nyersz, és fordítva, minél több leosztást játszol negatív várakozással, annál többet veszítesz. Ennek eredményeként olyan játékot kell választania, amely maximalizálja pozitív várakozásait, vagy tagadja negatív várakozásait, hogy maximalizálja óránkénti nyereményét.

Pozitív matematikai elvárások a játékstratégiában

Ha tudja, hogyan kell kártyákat számolni, előnyben lehet része a kaszinóval szemben, amíg nem veszik észre és kidobják. A kaszinók szeretik a részeg játékosokat, és nem tolerálják a kártyaszámláló játékosokat. Egy előny lehetővé teszi, hogy többször nyerjen, mint amennyit idővel veszít. A várható érték számításokat használó jó pénzgazdálkodás segíthet abban, hogy több hasznot vonjon ki az előnyből, és csökkentse a veszteségeit. Előny nélkül jobban jársz, ha a pénzt jótékony célra fordítod. A tőzsdei játékban az előnyt a játékrendszer adja, amely nagyobb nyereséget termel, mint a veszteség, az árkülönbség és a jutalék. Semmilyen pénzkezelés nem mentheti meg a rossz játékrendszert.

Pozitív várakozásnak minősül a nullánál nagyobb érték. Minél nagyobb ez a szám, annál erősebb a statisztikai várakozás. Ha az érték kisebb, mint nulla, akkor a matematikai elvárás is negatív lesz. Minél nagyobb a negatív érték modulja, annál rosszabb a helyzet. Ha az eredmény nulla, akkor a várakozás nullszaldós. Csak akkor nyerhet, ha pozitív matematikai elvárásai vannak és ésszerű játékrendszere van. Az intuícióval való játék katasztrófához vezet.

Matematikai elvárás és tőzsdei kereskedés

A matematikai elvárás meglehetősen széles körben használt és népszerű statisztikai mutató a pénzpiaci tőzsdei kereskedés során. Először is, ez a paraméter a kereskedés sikerességének elemzésére szolgál. Nem nehéz kitalálni, hogy minél magasabb ez az érték, annál több oka van annak, hogy a vizsgált kereskedelem sikeresnek tekinthető. Természetesen a kereskedő munkájának elemzése nem végezhető el önmagában ezzel a paraméterrel. A számított érték azonban a munka minőségének egyéb értékelési módszereivel kombinálva jelentősen növelheti az elemzés pontosságát.

A matematikai elvárást gyakran számítják ki a kereskedési számlafigyelő szolgáltatásokban, ami lehetővé teszi a betéten végzett munka gyors értékelését. A kivételek közé tartoznak azok a stratégiák, amelyek „kiülnek” veszteséges kereskedéseket. Egy kereskedő egy ideig szerencsés lehet, és ezért előfordulhat, hogy a munkájában egyáltalán nem lesz veszteség. Ebben az esetben nem lehet majd csak a matematikai elvárástól vezérelni, mert a munka során alkalmazott kockázatokat nem vesszük figyelembe.

A piaci kereskedésben a matematikai elvárást leggyakrabban bármely kereskedési stratégia jövedelmezőségének előrejelzésekor, vagy a kereskedő bevételének előrejelzésekor használják a korábbi kereskedéséből származó statisztikai adatok alapján.

A pénzkezeléssel kapcsolatban nagyon fontos megérteni, hogy a negatív várakozásokkal járó kereskedések során nincs olyan pénzkezelési séma, amely határozottan magas nyereséget hozhat. Ha továbbra is ilyen feltételek mellett játszik a tőzsdén, akkor függetlenül attól, hogy hogyan kezeli pénzét, elveszíti a teljes számláját, függetlenül attól, hogy mekkora volt az elején.

Ez az axióma nem csak a negatív elvárású játékokra vagy kereskedésekre igaz, hanem az egyenlő esélyű játékokra is. Ezért csak akkor van esélye hosszú távon nyereségre, ha pozitív várható értékű ügyleteket köt.

A negatív elvárás és a pozitív elvárás közötti különbség az élet és a halál közötti különbség. Nem számít, mennyire pozitív vagy negatív az elvárás; Csak az számít, hogy pozitív vagy negatív. Ezért, mielőtt a pénzkezelést fontolgatná, keressen egy olyan játékot, amely pozitív elvárásokat támaszt.

Ha nem rendelkezik ezzel a játékkal, akkor a világ összes pénzkezelése nem ment meg. Másrészt, ha pozitív elvárásaid vannak, akkor megfelelő pénzkezeléssel azt exponenciális növekedési függvényré alakíthatod. Nem számít, milyen kicsi a pozitív elvárás! Más szóval, nem mindegy, mennyire jövedelmező egy kereskedési rendszer egyetlen szerződés alapján. Ha olyan rendszere van, amely ügyletenként 10 dollárt nyer szerződésenként (jutalékok és csúszás után), akkor pénzkezelési technikákkal teheti nyereségesebbé, mint egy ügyletenként átlagosan 1000 dolláros rendszer (a jutalékok és a csúszás levonása után).

Nem az számít, hogy mennyire volt jövedelmező a rendszer, hanem az, hogy mennyire biztos, hogy a rendszer legalább minimális profitot mutat a jövőben. Ezért a kereskedő legfontosabb előkészülete annak biztosítása, hogy a rendszer a jövőben pozitív várható értéket mutasson.

Ahhoz, hogy a jövőben pozitív várható értékeink legyenek, nagyon fontos, hogy ne korlátozzuk rendszerünk szabadsági fokait. Ez nem csak az optimalizálandó paraméterek megszüntetésével vagy csökkentésével érhető el, hanem a lehető legtöbb rendszerszabály csökkentésével is. Minden hozzáadott paraméter, minden szabály, amit meghozol, minden apró változtatás, amit a rendszerben végrehajtasz, csökkenti a szabadsági fokok számát. Ideális esetben egy meglehetősen primitív és egyszerű rendszert kell felépítenie, amely következetesen kis nyereséget termel szinte minden piacon. Ismét fontos, hogy megértse, nem számít, mennyire jövedelmező a rendszer, amíg nyereséges. A kereskedésben megkeresett pénzt hatékony pénzkezeléssel fogjuk keresni.

A kereskedési rendszer egyszerűen egy olyan eszköz, amely pozitív elvárt értéket ad, hogy használhassa a pénzkezelést. Azok a rendszerek, amelyek csak egy vagy néhány piacon működnek (legalább minimális nyereséget mutatnak), vagy eltérő szabályokkal vagy paraméterekkel rendelkeznek a különböző piacokon, valószínűleg nem sokáig működnek valós időben. A legtöbb technikailag orientált kereskedővel az a probléma, hogy túl sok időt és erőfeszítést fordítanak a kereskedési rendszer különféle szabályainak és paraméterértékeinek optimalizálására. Ez teljesen ellentétes eredményeket ad. Ahelyett, hogy energiát és számítógépes időt pazarolna a kereskedési rendszer nyereségének növelésére, fordítsa energiáját a minimális nyereség megszerzésének megbízhatóságának növelésére.

Tudva, hogy a pénzkezelés csak egy számjáték, amelyhez pozitív elvárásokra van szükség, a kereskedő abbahagyhatja a tőzsdei kereskedés "szent gráljának" keresését. Ehelyett elkezdheti tesztelni kereskedési módszerét, megtudhatja, mennyire logikus ez a módszer, és vajon pozitív elvárásokat támaszt-e. A megfelelő pénzkezelési módszerek, amelyeket bármilyen, még nagyon közepes kereskedési módszerre is alkalmaznak, maguk végzik el a többi munkát.

Ahhoz, hogy minden kereskedő sikeres legyen a munkájában, három legfontosabb feladatot kell megoldania: . Biztosítani, hogy a sikeres tranzakciók száma meghaladja az elkerülhetetlen hibákat és téves számításokat; Állítsa be kereskedési rendszerét, hogy a lehető leggyakrabban legyen lehetősége pénzt keresni; Érjen el stabil pozitív eredményeket a műveletekkel.

És itt nekünk, dolgozó kereskedőknek nagy segítségünkre lehet a matematikai elvárás. Ez a fogalom az egyik kulcsszó a valószínűségszámításban. Segítségével átlagos becslést adhat valamilyen véletlenszerű értékre. A valószínűségi változó matematikai elvárása hasonló a súlyponthoz, ha minden lehetséges valószínűséget különböző tömegű pontként képzel el.

Egy kereskedési stratégiával kapcsolatban leggyakrabban a matematikai profit (vagy veszteség) elvárást használják annak hatékonyságának értékelésére. Ezt a paramétert az adott nyereség-veszteségszintek szorzatának és bekövetkezési valószínűségének összegeként határozzuk meg. Például a kidolgozott kereskedési stratégia azt feltételezi, hogy az összes tranzakció 37% -a nyereséget hoz, és a fennmaradó rész - 63% - veszteséges lesz. Ugyanakkor a sikeres tranzakcióból származó átlagos bevétel 7 dollár, az átlagos veszteség pedig 1,4 dollár lesz. Számítsuk ki a kereskedés matematikai elvárását ezzel a rendszerrel:

Mit jelent ez a szám? Azt írja ki, hogy ennek a rendszernek a szabályait követve átlagosan 1708 dollárt kapunk minden lezárt tranzakcióból. Mivel az így kapott hatásfok nagyobb, mint nulla, egy ilyen rendszert valódi munkára lehet használni. Ha a számítás eredményeként a matematikai várakozás negatívnak bizonyul, akkor ez már átlagos veszteséget jelez, és az ilyen kereskedés tönkremenetelhez vezet.

A tranzakciónkénti nyereség összege relatív értékként is kifejezhető %-os formában. Például:

– a bevétel százalékos aránya 1 tranzakciónként – 5%;

– sikeres kereskedési műveletek aránya - 62%;

– veszteség százaléka 1 tranzakciónként – 3%;

– a sikertelen tranzakciók aránya – 38%;

Vagyis az átlagos kereskedés 1,96%-ot hoz.

Ki lehet dolgozni egy olyan rendszert, amely a veszteséges kereskedések túlsúlya ellenére is pozitív eredményt produkál, hiszen MO>0.

A várakozás azonban önmagában nem elég. Nehéz pénzt keresni, ha a rendszer nagyon kevés kereskedési jelzést ad. Ebben az esetben jövedelmezősége a banki kamatokhoz lesz hasonlítható. Minden művelet átlagosan csak 0,5 dollárt termel, de mi van akkor, ha a rendszer évente 1000 műveletet foglal magában? Ez viszonylag rövid időn belül igen jelentős összeg lesz. Ebből logikusan következik, hogy a jó kereskedési rendszer másik jellegzetessége a pozíciók rövid ideig tartó tartása.

Források és linkek

dic.academic.ru – akadémiai online szótár

mathematics.ru – matematikai oktatási webhely

nsu.ru – a Novoszibirszki Állami Egyetem oktatási webhelye

A webmath.ru egy oktatási portál diákoknak, jelentkezőknek és iskolásoknak.

exponenta.ru oktatási matematikai webhely

ru.tradimo.com – ingyenes online kereskedelmi iskola

crypto.hut2.ru – multidiszciplináris információforrás

poker-wiki.ru – ingyenes pókerenciklopédia

sernam.ru – Válogatott természettudományi publikációk tudományos könyvtára

reshim.su – weboldal MEGOLDÁSUNK MEGOLDÁSA teszttanfolyami problémákat

unfx.ru – Forex az UNFX-en: képzés, kereskedési jelek, bizalomkezelés

slovopedia.com – Big Encyclopedic Dictionary Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Az Ön útmutatója a póker világában

statanaliz.info – „Statisztikai adatelemzés” információs blog

forex-trader.rf – Forex-Trader portál

megafx.ru – aktuális Forex elemzés

fx-by.com – mindent egy kereskedőnek

A valószínűségszámításban és számos alkalmazásában nagy jelentősége van a valószínűségi változók különféle numerikus jellemzőinek. A legfontosabbak a matematikai elvárások és a variancia.

1. Valószínűségi változó matematikai elvárása és tulajdonságai.

Először nézzük meg a következő példát. Hagyja, hogy a növény kapjon egy tételt, amely a N csapágyak. Ahol:

m 1 x 1,
m 2- külső átmérőjű csapágyak száma x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- külső átmérőjű csapágyak száma x n,

Itt m 1 +m 2 +...+m n =N. Keressük a számtani átlagot x átl a csapágy külső átmérője. Magától értetődően,
A véletlenszerűen kivett csapágy külső átmérője értékeket vevő valószínűségi változónak tekinthető x 1, x 2, ..., x n, megfelelő valószínűségekkel p 1 = m 1 /N, p 2 =m 2 /N, ..., p n =m n /N, mivel a valószínűség p i külső átmérőjű csapágy megjelenése x i egyenlő m i /N. Így a számtani átlag x átl Az összefüggés segítségével meghatározható a csapágy külső átmérője
Legyen egy diszkrét valószínűségi változó adott valószínűség-eloszlási törvénnyel

Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó összes lehetséges értékének páros szorzatának összege a megfelelő valószínűségekkel, pl. *
Ebben az esetben azt feltételezzük, hogy a (40) egyenlőség jobb oldalán található nem megfelelő integrál létezik.

Tekintsük a matematikai elvárás tulajdonságait. Ebben az esetben csak az első két tulajdonság bizonyítására szorítkozunk, amit diszkrét valószínűségi változókra hajtunk végre.

1°. A C állandó matematikai elvárása megegyezik ezzel az állandóval.
Bizonyíték.Állandó C egy valószínűségi változónak tekinthető, amely csak egy értéket vehet fel C eggyel egyenlő valószínűséggel. Ezért

2°. A konstans tényező a matematikai elvárás előjelén túlra vihető, azaz
Bizonyíték. A (39) relációt használva megvan

3°. Több valószínűségi változó összegének matematikai elvárása megegyezik ezen változók matematikai elvárásainak összegével:

Diszperzió Az X folytonos valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei a teljes Ox tengelyhez tartoznak, a következő egyenlőség határozza meg:

A szolgáltatás célja. Az online számológép olyan problémák megoldására készült, amelyekben bármelyik eloszlási sűrűség f(x) vagy F(x) eloszlásfüggvény (lásd a példát). Általában az ilyen feladatokban meg kell találni matematikai elvárás, szórás, f(x) és F(x) függvények.

Utasítás. Válassza ki a forrásadat típusát: f(x) eloszlássűrűség vagy F(x) eloszlásfüggvény.

Az f(x) eloszlássűrűség adott:

Az F(x) eloszlásfüggvény adott:

A folytonos valószínűségi változót a valószínűségi sűrűség határozza meg
(Rayleigh-elosztási törvény – a rádiótechnikában használatos). Keresse meg M(x) , D(x) .

Az X valószínűségi változót nevezzük folyamatos , ha eloszlásfüggvénye F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
A folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét arra használjuk, hogy kiszámítsuk annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó egy adott intervallumba esik:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ezenkívül egy folytonos valószínűségi változó esetén nem számít, hogy a határai benne vannak-e ebben az intervallumban vagy sem:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Eloszlási sűrűség a folytonos valószínűségi változót függvénynek nevezzük
f(x)=F’(x) , az eloszlásfüggvény deriváltja.

Az eloszlási sűrűség tulajdonságai