Több integrál (problémák és gyakorlatok). Több integrál Egy síkidom tömegközéppontjának koordinátái

Def . hagyd,
,

.

A halmazt zárt intervallumnak vagy zárt ütemnek nevezzük .

A halmazt nyitott intervallumnak nevezzük

vagy nyitott gerenda be .

Def . Időközök mérése És a mennyiség neve:

(Pontosabban
).

Def . Ha
oly módon, hogy
majd az intervallum degeneráltnak és
.

A résmérték tulajdonságai:

A). Pozitivitás:
, és
akkor és csak akkor – degenerált.

b). Pozitív homogenitás: .

V). Additivitás:

* Mert
oly módon, hogy
;

* Mert
És

.

G). Az intézkedés monotonitása: .

Def . A gerenda átmérője (rés) a következő érték:

Vegye figyelembe, hogy
És
- ez nem ugyanaz. Például ha – akkor degenerált
,a
(általában véve).

Ahol: * ;

* ;*
.

Def . Totalitás
az intervallum alszakaszai intervallum partíciónak nevezzük , Ha: *;

*
; *
; *
; *
.

Nagyságrend
partícióparaméternek nevezzük P(ahol
).

Def . Hasítás partíciófinomításnak nevezzük , ha a partíció összes eleme a partícióelemek particionálásával kapjuk .

Jelzi:
. Olvas: kisebb vagy nagyobb .

A „nagyobb – kisebb” arányra a következő igaz:

*. tranzitivitás – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Több integrál definíciója

Hadd
– faanyag (rés) be ,
– a rés felosztása én. A partíció minden intervallumában jelölje meg a pontot
.

Kapunk
partíció jelölt pontokkal
.

Nagyságrend
a függvény Riemann-integrálösszegének nevezzük f (x) az intervallumon én partícióval jelölt pontokkal
.

Def :
=
=
.

Kijelölése – sok funkció integrálva a gerendába én írjunk:

Def : ε > 0 δ>0<.

Ha a funkcióhoz f(x) tovább énés válaszfalak
- jelöli
– a függvény legnagyobb és legkisebb értéke f(x) tovább én k majd az értékeket
=
És
=
alsó és felső Darboux összegeknek nevezzük.

§. Darboux-kritérium többszörös integrál létezésére.

T 0 . Funkcionálni, működtetni
a gerendára volt integrálva (azok.
) szükséges és elégséges ahhoz, hogy

. Δ▲.

Meghatároztuk egy függvény integrációját egy nyalábon az euklideszi térben. Hogyan lehet egy függvényt integrálni egy tetszőleges korlátos halmazra az euklideszi térből?

Határozzuk meg a függvény integrálját f sokak által
.

Def : Hadd
És
– korlátozott, i.e.
. Funkció
a halmaz jellemző függvényének nevezzük M.

Akkor:
≡
.

A halmazintegrál meghatározása nem függ attól, hogy melyik nyalábot tartalmazza M kiválasztott, azaz.

.

Ez azt jelenti, hogy a halmaz feletti integrál definíciója helyes.

Az integrálhatóság szükséges feltétele. Funkcionálni, működtetni f(x) tovább M integrálható legyen, ez szükséges f(x) erre korlátozódott M. Δ▲.

§. Több integrál tulajdonságai.

1  . Linearitás: Sok R M készletbe integrálható funkciók M – lineáris

tér, és
– lineáris funkcionális.

2  . Normalizálási feltétel:
. Egy másik belépési forma
lényegében egy tetszőleges halmaz mértékét határozza meg az euklideszi térből.

3  . Ha létezik egy nulla Lebesgue-mérték halmaza feletti integrál, akkor az

egyenlő nullával.

Jegyzet: Egy csomó M Lebesgue nulla mérték halmazának nevezzük,

Ha

oly módon, hogy
És
.

4  . A.;b.;

V. Ha
És – nullától elválasztva M, Azt

5  .
És f=g p.v. (majdnem mindenhol) bekapcsolva M, Azt
.

6  . Additivitás: Ha
És
Hogy

,

Általában:
.

Δ. Az egyenlőségből következik: ▲

7  . Monoton:
És
Hogy
.

8  . Egyenlőtlenségek integrálása: ha
ito

.

9  . Hadd


. Azért, hogy
, szükséges és elégséges, hogy legyen a halmaznak egy belső pontja M, ahol f (x) > 0 és folyamatos.

10  . Az integrálható funkciómodul integrálhatósága:
.

11  . Átlagérték tétel:
,
tovább M megőrzi a jelet és
, Azt

.

Ha a készlet M– koherens és f(x) – folyamatos bekapcsolva
Hogy
oly módon, hogy
.

12  . Ahhoz, hogy egy nem negatív függvény integrálja 0 legyen

szükséges és elegendő ahhoz f(x) = 0 szinte mindenhol bekapcsolva M.

13  . Fubini tétele. Dupla integrál esetén:

Hagyja a területet
- téglalap:. Ezután, feltéve, hogy léteznek belső egyszeres integrálok, a kettős integrál megkereséséhez folytathatja az ismételt integrációt (lásd a. ábrát):

, vagy

E

Jegyzet: Az integráció külső határainak állandónak kell lenniük, az integráció belső határai függhetnek attól a változótól, amely felett az integrációt még végre kell hajtani.

A (*) képletet a beállított karakterisztikus függvény segítségével kaphatjuk meg D.

Több integrál esetén:

Legyen és az euklideszi terek néhány részhalmaza És . Határozzuk meg ezeknek a halmazoknak a derékszögű szorzatát, amely az euklideszi tér részhalmaza
:.

Ezután Fubini tétele
a következő formában van:
.

A tétel gerendákra is érvényes xÉs Yés bonyolultabb konfigurációkhoz.

Példák:

1 0 . Kiszámítja
, ha a terület határa
egyenletek adják meg:

A).
;

2

–

.

Recept: Ha kettős integrálban beállítja az integrációs korlátokat, ajánlatos a külső integrációs korlátokkal kezdeni.

3

Az iterált integrálokra való átadás a következőket adja:
.

Ugyanakkor a hármas integrálban a határértékek elhelyezését az integráció belső határaival kell kezdeni. Ezután vetítse ki a területet V a repülőhöz xOy

határok meghatározása a területen D– repülőben fekve xOy.

4 0 . Módosítsa az integráció sorrendjét az iterált integrálban:
.

Több integrál

a sík valamely területén meghatározott függvény integrálja, három dimenzióban ill n-dimenziós tér. K. és között. különbséget tenni a kettős integrálok, a hármas integrálok stb. n-több integrál.

Legyen a függvény f(x, y) bizonyos területen megadva D repülőgép xOy. Osszuk fel a területet D tovább n részterületek d i, amelyek területei egyenlők én vagyok, válasszon minden területen d i pont ( ξi, ηi) (cm. rizs. ), és állítsa össze az integrál összeget

Ha a részterületek maximális átmérőjének korlátlan csökkentésével d iösszegeket S a pontválasztástól függetlenül van határa ( ξi, ηi), akkor ezt a határértéket a függvény kettős integráljának nevezzük f(x, y) régiónként Dés jelöljük

A hármas integrált hasonlóan definiáljuk, és általában n-több integrál.

Kettős integrál létezéséhez elegendő például, hogy a régió D zárt négyzet alakú régió volt (Lásd Squarable region), és a függvény f(x, y) ben folyamatos volt D. K. és. számos tulajdonsága hasonló az egyszerű Integrálok tulajdonságaihoz . K. kiszámításához és. általában egy iterált integrálhoz vezeti (lásd Iterált integrál). Különleges esetekben K. tájékoztatására és. Green és Ostrogradsky formulája alacsonyabb dimenziójú integrálként szolgálhat. K. és. kiterjedt alkalmazási területük van: testek térfogatának, tömegének, statikus nyomatékának, tehetetlenségi nyomatékának stb.

Nagy Szovjet Enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. 1969-1978 .

Nézze meg, mi az a „több integrál” más szótárakban:

Több változóból álló függvény integrálja. Meghatározása integrálösszegekkel történik, hasonlóan egy változó függvényének határozott integráljához (lásd Integrálszámítás). A változók számától függően kettős, hármas, n... ... Nagy enciklopédikus szótár

Több változóból álló függvény határozott integrálja. Különféle fogalmak léteznek a K. és. (Riemann integrál, Lebesgue integrál, Lebesgue Stieltjes integrál stb.). A többszörös Riemann integrált a Jordan mérték alapján vezetjük be. Legyen E Jordan mérhető... ... Matematikai Enciklopédia

A matematikai elemzésben a többszörös vagy többszörös integrál változókból vett integrálok halmaza. Például: Megjegyzés: a többszörös integrál határozott integrál, számítása mindig számot eredményez. Tartalom 1... ...Wikipédia

Több változóból álló függvény integrálja. Meghatározása integrálösszegekkel történik, hasonlóan egy változó függvényének határozott integráljához (lásd Integrálszámítás). A változók számától függően kettős, hármas, n... ... enciklopédikus szótár

Több változóból álló függvény integrálja. Integrált összegekkel határozzuk meg, hasonlóan definiálva. egy változó függvényének integrálja (lásd Integrálszámítás). A változók számától függően kettős, hármas, i... ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Megjegyzés: ebben a cikkben mindenhol, ahol a jelet használjuk, a (többszörös) Riemann-integrál alatt értendő, hacsak másképp nem jelezzük; Ebben a cikkben mindenhol, ahol egy halmaz mérhetőségéről beszélünk, a jordániai mérhetőségre gondolunk, ha nem... ... Wikipédia

A hol alakú többszörös integrál, amely egy trigonometrikus összeg modulusa 2k fokának átlagértéke. Vinogradov ezen integrál értékére vonatkozó tétele, az átlagérték tétel, a Weyl-összegekre vonatkozó becslések alapja. Irodalom Vinogradova inte... Wikipédia

Határozott integrál, mint egy ábra területe Ennek a kifejezésnek más jelentései is vannak, lásd: Integrál (jelentések). Egy függvény integrálja... Wikipédia

Egy integrál, amelyben a különböző változók feletti integráció szekvenciálisan történik, azaz egy (1) alakú integrál Az f(x, y) függvény az X és Y terek XX Y közvetlen szorzatában található A halmazon van definiálva, amelyben s-nek véges mértéke mx és my,… … Matematikai Enciklopédia

Síkon vagy térben tetszőleges görbe mentén vett integrál. Vannak K. és. 1. és 2. típus. K. és. Az 1. típus például akkor merül fel, ha egy változó sűrűségű görbe tömegének kiszámításával kapcsolatos problémát vesszük figyelembe; ki van jelölve...... Nagy Szovjet Enciklopédia

Figyelem: Az integrációs intervallumon belüli szinguláris pontokkal nem megfelelő integrálok kiszámításakor a Newton–Leibniz képlet mechanikusan nem alkalmazható, mivel ez hibákhoz vezethet.

Általános szabály: A Newton–Leibniz képlet akkor helyes, ha az antiderivatíva f(x) az utóbbi szinguláris pontjában folytonos.

Példa 2.11.

Tekintsünk egy nem megfelelő integrált szinguláris ponttal x = 0. A Newton–Leibniz formula formálisan alkalmazva azt adja

Az általános szabály azonban itt nem érvényes; ha f(x) = 1/x az antiderivált ln |x| nincs definiálva x = 0-nál, és ezen a ponton végtelenül nagy, azaz. ezen a ponton nem folyamatos. Könnyű közvetlen ellenőrzéssel ellenőrizni, hogy az integrál eltér-e. Igazán,

Az így kapott bizonytalanság többféleképpen is kimutatható, mivel e és d egymástól függetlenül nullázódik. Konkrétan, ha e = d-t állítunk be, megkapjuk a nem megfelelő integrál főértékét, amely egyenlő 0-val. Ha e = 1/n, és d =1/n 2, azaz. d gyorsabban 0-ra megy, mint e, akkor kapjuk

mikor és fordítva,

azok. az integrál eltér.n

Példa 2.12.

Tekintsünk egy nem megfelelő integrált, amelynek szinguláris pontja x = 0. A függvény antideriváltja alakja és folytonos az x = 0 pontban. Ezért alkalmazhatjuk a Newton–Leibniz képletet:

A határozott Riemann-integrál fogalmának természetes általánosítása több változós függvény esetére a többszörös integrál fogalma. Két változó esetén az ilyen integrálokat nevezzük kettős.

Tekintsük kétdimenziós euklideszi térben R´R, azaz derékszögű koordinátarendszerű síkon egy halmaz E végső terület S.

Jelöljük ( én = 1, …, k) partíció beállítása E, azaz részhalmazainak olyan rendszere E i, i = 1,. . ., k, hogy Ø i ¹ j és (2.5. ábra). Itt a részhalmazt jelöljük E i annak határa nélkül, i.e. az E i részhalmaz belső pontjai, amely a határával együtt Gr E zárt részhalmazt alkotok Eén, . Egyértelmű, hogy a terület S(E i) részhalmazok E i egybeesik a belső területével, mivel a határ területe GrE i egyenlő nullával.

Jelölje d(E i). beállított átmérő E i, azaz két pontja közötti maximális távolság. Az l(t) = d(E i) mennyiséget hívjuk meg válaszfal finomsága t. Ha az f(x),x = (x, y) függvény két argumentum függvényeként van definiálva E-n, akkor a forma tetszőleges összege

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

az f függvénytől és a t partíciótól, valamint az x i О E i М t pontok megválasztásától függően ún. az f függvény integrál összege .

Ha egy f függvényre létezik olyan érték, amely nem függ sem a t partícióktól, sem a pontok megválasztásától (i = 1, ..., k), akkor ezt a határértéket ún. kettős Riemann integrál f(x,y)-ből és jelöljük

Ebben az esetben magát az f függvényt hívjuk meg Riemann integrálható.

Emlékezzünk arra, hogy egy olyan függvény esetén, amelynek egy argumentuma van halmazként E amely felett az integrációt végrehajtják, általában a szegmenst veszik fel , és annak t partícióját szegmensekből álló partíciónak tekintjük. Más tekintetben, amint az könnyen belátható, a kettős Riemann-integrál definíciója megismétli a határozott Riemann-integrál definícióját egy argumentum függvényében.

A két változó korlátos függvényeinek kettős Riemann-integrálja az egy argumentum függvényeihez tartozó határozott integrál szokásos tulajdonságaival rendelkezik – linearitás, additivitás azon készletek tekintetében, amelyeken az integrációt végrehajtják, megőrzés integrálásakor nem szigorú egyenlőtlenségek, a termék integrálhatósága integrált funkciók stb.

Több Riemann-integrál számítása a számításra redukálódik iterált integrálok. Tekintsük a kettős Riemann-integrál esetét. Legyen a függvény f(x,y) az X ´ Y, E М X ´ Y halmazok derékszögű szorzatában fekvő E halmazon van definiálva.

Ismételt integrállal Az f(x, y) függvényből olyan integrált nevezünk, amelyben az integráció szekvenciálisan történik különböző változókon, azaz. az űrlap integrálja

E(y) = (x: О E) М X-et hívjuk keresztmetszet adott y-nak megfelelő E halmazok, y О E y ; az E y halmazt - kivetítésállítsa E-t az Y tengelyre.

Az iterált integrálhoz a következő jelölést is használják:

ami az előzőhöz hasonlóan azt jelenti, hogy először egy fix y, y О E y , a funkció integrálva van f(x, y)Által x a szegmens mentén E(y), amely a készlet egy része E ennek megfelelő y. Ennek eredményeként a belső integrál egy változó valamilyen függvényét határozza meg - y. Ez a függvény ezután egy változó függvényeként integrálódik, amint azt a külső integrálszimbólum jelzi.

Az integrálási sorrend megváltoztatásakor az alak ismételt integrálját kapjuk

ahol a belső integrációt hajtják végre y,és külső - által x. Hogyan kapcsolódik ez az iterált integrál a fent definiált iterált integrálhoz?

Ha van a függvénynek kettős integrálja f, azaz

akkor mindkét ismétlődő integrál létezik, és nagyságukban azonosak és kétszeresek, azaz.

Hangsúlyozzuk, hogy az iterált integrálokban az integráció sorrendjének megváltoztatásának lehetőségére ebben a kijelentésben megfogalmazott feltétel csak elegendő, de nem szükséges.

Egyéb elégséges feltételek az iterált integrálok integrálási sorrendjének megváltoztatásának lehetőségeit a következőképpen fogalmazzuk meg:

ha az integrálok közül legalább egy létezik

majd a függvény f(x, y) Riemann integrálható a forgatáson E, mindkét ismétlődő integrál létezik, és egyenlő a kettős integrállal. n

Adjuk meg a vetületek és szakaszok jelölését az iterált integrálok jelölésében.

Ha az E halmaz téglalap

Hogy E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); ahol E(y) = E x bármely y, y О E y esetén. , A E(x) = Ey bármely x-hez , x О E x ..

Hivatalos bejegyzés: " y y О E yÞ E(y) = PlÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Ha az E halmaz rendelkezik ívelt szegélyés lehetővé teszi a reprezentációkat

Ebben az esetben az ismétlődő integrálokat a következőképpen írjuk:

2.13. példa.

Számítsa ki a kettős integrált egy téglalap alakú területen, iteratívra csökkentve.

Mivel a sin 2 (x+ y) =| feltétel sin 2 (x + y)|, majd az I kettős integrál létezéséhez elegendő feltétel teljesülésének ellenőrzése bármely ismétlődő integrál létezésének formájában

ezt nem kell külön elvégezni, és azonnal folytathatja az ismételt integrál kiszámítását

Ha létezik, akkor a kettős integrál is létezik, és I = I 1 . Mert a

Tehát I = .n

2.14. példa.

Számítsa ki a kettős integrált a háromszögterületre (lásd 2.6. ábra), redukálva ismétlődőre

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Először is ellenőrizzük az I kettős integrál létezését. Ehhez elegendő az ismétlődő integrál létezését ellenőrizni.

azok. az integrandusok folytonosak az integrációs intervallumokon, mivel mindegyik hatványfüggvény. Ezért létezik az I 1 integrál. Ebben az esetben a kettős integrál is létezik, és egyenlő bármely ismétlődővel, azaz.

2.15. példa.

A kettős és az iterált integrálok fogalma közötti kapcsolat jobb megértéséhez nézzük meg a következő példát, amely első olvasatra elhagyható. Két f(x, y) változó függvénye adott

Figyeljük meg, hogy fix x esetén ez a függvény páratlan y-ban, fix y esetén pedig páratlan x-ben. E halmazként, amelybe ez a függvény integrálva van, az E = ( : -1 £ x 1 £, -1 £ y 1 £).

Először az iterált integrált vesszük figyelembe

Belső integrál

y rögzített y, -1 £ y £ 1-re van felvéve. Mivel a fix y integrandusa páratlan x-ben, és ezen a változón keresztül az integráció a [-1, 1] szakaszon történik, szimmetrikusan a 0 ponthoz képest, akkor a belső integrál egyenlő 0-val. Nyilvánvaló, hogy a nulla függvény y változója feletti külső integrál is egyenlő 0-val, azaz.

A második iterált integrál hasonló érvelése ugyanarra az eredményre vezet:

Tehát a vizsgált f(x, y) függvényre léteznek ismétlődő integrálok, és egyenlők egymással. Az f(x, y) függvénynek azonban nincs kettős integrálja. Ennek megértéséhez térjünk át az ismétlődő integrálok számításának geometriai jelentésére.

Az iterált integrál kiszámításához

az E négyzet speciális partícióját, valamint az integrálösszegek speciális számítását használják. Az E négyzet ugyanis vízszintes csíkokra van osztva (lásd a 2.7. ábrát), és minden csík kis téglalapokra van osztva. Minden csík megfelel az y változó egy bizonyos értékének; például ez lehet a szalag vízszintes tengelyének ordinátája.

Az integrálösszegek kiszámítása a következőképpen történik: először minden sávra külön-külön számítjuk ki az összegeket, pl. fix y-nál különböző x-ekre, majd ezeket a közbenső összegeket különböző sávokra összegezzük, azaz. különböző y. Ha a partíció finomsága nullára hajlik, akkor a határértékben a fent említett ismételt integrált kapjuk.

Nyilvánvaló, hogy a második iterált integrál esetében

az E halmaz különböző x-eknek megfelelő függőleges csíkokra oszlik. A közbenső összegeket az egyes sávokon belül kis téglalapokban számítják ki, pl. y mentén, majd a különböző sávokra összesítik, azaz. x által. A határértékben, amikor a partíció finomsága nullára hajlik, megkapjuk a megfelelő iterált integrált.

Annak bizonyítására, hogy nem létezik kettős integrál, elegendő egy példát adni egy partícióra, amelynek integrálösszegeinek kiszámítása abban a határban, amikor a partíció finomsága nullára hajlik, az értéktől eltérő eredményt ad. az ismétlődő integrálok közül. Adjunk példát egy ilyen partícióra, amely megfelel a polárkoordináta-rendszernek (r, j) (lásd 2.8. ábra).

A polárkoordináta-rendszerben az M 0 (x 0, y 0) sík bármely pontjának helyzetét, ahol x 0, y 0 az M 0 pont derékszögű koordinátái, a sugár r 0 hossza határozza meg. összekapcsolva az origóval és az e sugár által alkotott j 0 szöggel pozitív x tengelyirányban (a szöget az óramutató járásával ellentétes irányban számoljuk). A derékszögű és a poláris koordináták közötti kapcsolat nyilvánvaló:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

A partíció a következőképpen épül fel. Először az E négyzetet olyan szektorokra osztjuk, amelyek sugarai a koordináták középpontjából erednek, majd az egyes szektorokat a szektortengelyre merőleges vonalakkal kis trapézokra osztjuk. Az integrál összegek kiszámítása a következőképpen történik: először kis trapézok mentén minden szektoron belül a tengelye mentén (r mentén), majd az összes szektoron (j mentén). Az egyes szektorok helyzetét a j tengelyének szöge jellemzi, és ettől a szögtől függ r(j) tengelyének hossza:

ha vagy , akkor ;

ha akkor ;

ha akkor

ha akkor .

Egy poláris partíció integrálösszegeinek határára lépve, amikor a partíció finomsága nullára hajlik, megkapjuk a kettős integrál poláris koordinátákban való ábrázolását. Egy ilyen jelölést tisztán formálisan kaphatunk, a derékszögű koordinátákat (x, y) polárisra (r, j) helyettesítve.

A derékszögű és a poláris koordináták integráljainak átmenet szabályai szerint értelemszerűen a következőket kell írni:

Polárkoordinátákban az f(x, y) függvény a következőképpen lesz felírva:

Végre megvan

Belső integrál (nem megfelelő) az utolsó képletben

ahol az r(j) függvény fent van, 0 £ j £ 2p egyenlő +¥ bármely j esetén, mert

Ezért a j felett kiértékelt külső integrál integrandusa nincs definiálva egyetlen j-re sem. De akkor maga a külső integrál nincs definiálva, azaz. az eredeti kettős integrál nincs definiálva.

Vegyük észre, hogy az f(x, y) függvény nem elégíti ki a kettős integrál létezésének elégséges feltételét az E halmazon. Mutassuk meg, hogy az integrál

nem létezik. Igazán,

Hasonlóképpen, ugyanaz az eredmény jön létre az integrálra

Töltse le a Depositfiles oldalról

Előadások 5-6

2. téma. Több integrál.

Kettős integrál.

Ellenőrző kérdések.

1. Kettős integrál, geometriai és fizikai jelentése

2. A kettős integrál tulajdonságai.

3. A kettős integrál számítása derékszögű koordinátákkal.

4. Változók változása a kettős integrálban. Kettős integrál számítása polárkoordinátában.

Legyen a függvény z = f (x , y) korlátozottan zárt régióban van meghatározva D repülőgép. Osszuk fel a területet D véletlenszerűen bekapcsolva n elemi zárt területek  1 , … , n, amelynek területei   1 , …,   nés átmérők d 1 , …, d n illetőleg. Jelöljük d területátmérők közül a legnagyobb  1 , … ,  n. Minden területen  k válasszon egy tetszőleges pontot P k (x k ,y k) és komponálni integrál összeg funkciókat f(x,y)

S =
(1)

Meghatározás. Kettős integrál funkciókat f(x,y) régiónként D az integrálösszeg határának nevezzük

, (2)

ha létezik.

Megjegyzés. Halmozott összeg S a terület felosztásától függ Dés pontok kiválasztása P k (k=1, …, n). Azonban a határ
, ha létezik, nem függ a terület particionálásától Dés pontok kiválasztása P k .

Elégséges feltétele a kettős integrál létezésének. Kettős integrál (1) létezik, ha a függvény f(x,y) folyamatos be D kivéve véges számú darabonként sima görbét, és korlátozott D. A következőkben feltételezzük, hogy az összes vizsgált kettős integrál létezik.

A kettős integrál geometriai jelentése.

Ha f(x,y) ≥0 területen D, akkor az (1) kettős integrál egyenlő az ábrán látható „hengeres” test térfogatával:

V =
(3)

A hengeres testet alul a régió korlátozza D, felülről - a felület egy része z = f (x , y), oldalról - függőleges egyenes szegmensekkel, amelyek összekötik ennek a felületnek és a régiónak a határait D.

A kettős integrál fizikai jelentése. Egy lapos tányér tömege.

Adjunk egy lapos tányért D ismert sűrűségfüggvénnyel γ( X,nál nél), majd a D lemezt D részekre bontjuk énés tetszőleges pontok kiválasztása
, a lemez tömegére kapjuk
vagy a (2) képlettel összehasonlítva:

(4)

4. A kettős integrál néhány tulajdonsága.

Linearitás. Ha VAL VEL akkor egy numerikus állandó

Additivitás. Ha a terület D területekre „törve”. D 1 És D 2, akkor

3) A korlátozott terület területe D egyenlő

(5)

Kettős integrál számítása derékszögű koordinátákkal.

Adott legyen a terület

1. kép

D= { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Vidék D egyenes vonalak közé szalagba zárva x = a , y = b, amelyet alulról, illetve felülről görbék határolnak y = φ 1 (x ) És y = φ 2 (x ) .

Kettős integrál (1) egy tartomány felett D(4) kiszámítása az iterált integrálnak való átadással történik:

(7)

Ezt az iterált integrált a következőképpen számítjuk ki. Először a belső integrált számítjuk ki

változó szerint y, ahol xállandónak tekinthető. Az eredmény a változó függvénye lesz x, majd kiszámítjuk ennek a függvénynek a változó feletti „külső” integrálját x .

Megjegyzés. A (7) képlet szerinti ismétlődő integrálra való áttérés folyamatát gyakran nevezik integrációs határok elhelyezésének a kettős integrálban. Az integrációs korlátok beállításakor emlékeznie kell két pontra. Először is, az integrálás alsó határa nem haladhatja meg a felsőt, másodszor pedig a külső integrál határainak állandónak kell lenniük, a belsőnek pedig általában a külső integrál integrációs változójától kell függnie.

Most a területet Dúgy néz ki, mint a

D= { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Akkor

. (9)

Tegyük fel, hogy a terület D(6) és (8) egyidejűleg ábrázolható. Akkor az egyenlőség érvényesül

(10)

A (10) egyenlőségben az egyik iterált integrálról a másikra való átmenetet nevezzük az integráció sorrendjének megváltoztatása kettős integrálban.

Példák.

1) Változtassa meg az integrál integrációjának sorrendjét

Megoldás. Az iterált integrál alakját használva megtaláljuk a régiót

D= { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Ábrázoljuk a területet D. Az ábráról látjuk, hogy ez a terület az egyenesek közötti vízszintes sávban helyezkedik el y =0, y=2 és a sorok között x =0 És x= D

Néha a számítások egyszerűsítése érdekében a változókat megváltoztatják:

,
(11)

Ha a (11) függvények folyamatosan differenciálhatók, és a determináns (Jacobian) nem nulla a vizsgált tartományban:

(12)

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma

Tanfolyami munka

Szakterület: Felsőfokú matematika

(A lineáris programozás alapjai)

A témában: TÖBB INTEGRÁL

Befejezte: ______________

Tanár:___________

Dátum _______________________

Fokozat _________________

Aláírás ________________

VORONEZH 2008

1 Több integrál

1.1 Dupla integrál

1.2 Tripla integrál

1.3 Több integrál görbe koordinátákban

1.4 Több integrál geometriai és fizikai alkalmazásai

2 Görbe és felületi integrálok

2.1 Görbe integrálok

2.2 Felületi integrálok

2.3 Geometriai és fizikai alkalmazások

Bibliográfia

1 Több integrál

1.1 Kettős integrál

Tekintsünk egy D zárt területet az Oxy síkban, amelyet L egyenes határol. Osszuk ezt a tartományt néhány egyenessel n részre.

Legyen adott egy z = f(x, y) függvény a D tartományban. Jelöljük f(P 1), f(P 2),…, f(P n) ennek a függvénynek az értékeit a kiválasztott pontokban, és állítsuk össze az f(P i)ΔS i alakú szorzatok összegét:

az f(x, y) függvény integrálösszegének nevezzük a D tartományban.

Ha az integrálösszegeknek (1) ugyanaz a határa

A kettős integrál számítása a D tartományra, amelyet vonalak határolnak

1.2 Háromszoros integrál

A hármas integrál fogalmát a kettős integrál analógiájával vezetjük be.

Legyen adott a térben egy V tartomány, amelyet egy zárt S felület határol. Adjunk meg egy f(x, y, z) folytonos függvényt ebben a zárt tartományban. Ezután felosztjuk a V régiót tetszőleges Δv i részekre, figyelembe véve az egyes részek térfogatát Δv i-vel, és összeállítjuk a forma integrál összegét.

Limit at

Az f(x,y,z) függvény hármas integrálja a V tartományban egyenlő az ugyanazon a tartományon lévő hármas integrállal:

1.3 Több integrál görbe koordinátákban

Vezessünk be görbe vonalú koordinátákat a síkon, úgynevezett poláris koordinátákat. Válasszuk ki az O pontot (pólus) és az abból kiinduló sugarat (poláris tengely).

Rizs. 2 ábra. 3

Az M pont koordinátái (2. ábra) az MO szakasz hossza - a ρ poláris sugár és az MO és a poláris tengely közötti φ szög: M(ρ,φ). Ne feledje, hogy a sík minden pontjában, kivéve a pólust, a ρ > 0 és a φ polárszög pozitívnak tekinthető, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mérik, és negatívnak, ha az ellenkező irányba mérik.

Az M pont poláris és derékszögű koordinátái közötti kapcsolat úgy állítható be, hogy a derékszögű koordináta-rendszer origóját a pólushoz, az Ox pozitív féltengelyét pedig a polártengelyhez igazítjuk (3. ábra). Ekkor x=ρcosφ, y=ρsinφ. Innen

Határozzuk meg a ρ=Φ 1 (φ) és ρ=Φ 2 (φ) görbék által határolt D tartományban, ahol φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

A háromdimenziós térben hengeres és gömbkoordinátákat vezetnek be.

A P(ρ,φ,z) pont hengeres koordinátái ennek a pontnak az Oxy-síkra való vetületének ρ, φ polárkoordinátái és ennek a z pontnak az alkalmazása (5. ábra).

5. ábra 6. ábra

A hengeres koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képletei a következők szerint adhatók meg:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Szférikus koordinátákban egy pont helyzetét a térben az r lineáris koordináta határozza meg - a pont távolsága a derékszögű koordinátarendszer origójától (vagy a gömbrendszer pólusától), φ - a pozitív pontok közötti poláris szög. féltengelyű Ox és a pont vetülete az Ox síkra, és θ - az Oz tengely pozitív féltengelye és az OP szegmens közötti szög (6. ábra). Ahol

Állítsuk be a gömbi koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képleteit:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Ekkor a hengeres vagy gömb alakú koordinátákra való átmenet képlete a hármas integrálban így néz ki:

ahol F 1 és F 2 olyan függvények, amelyeket úgy kapunk, hogy kifejezéseiket hengeres (8) vagy gömb alakú (9) koordinátákkal helyettesítjük az f függvénybe x, y, z helyett.

1.4 Több integrál geometriai és fizikai alkalmazásai

1) S síkvidék területe:

1. példa

Keresse meg a D ábra vonallal határolt területét

Ezt a területet célszerű úgy kiszámítani, hogy y-t külső változóként számoljuk. Ekkor a régió határait az egyenletek adják meg