Az aritmetikai progressziós képlet kiszámítása. Aritmetikai progresszió: mi ez? Progressziós különbség: definíció

Vagy az aritmetika egyfajta rendezett numerikus sorozat, amelynek tulajdonságait iskolai algebratanfolyamon tanulmányozzák. Ez a cikk részletesen tárgyalja azt a kérdést, hogy hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét.

Milyen progresszió ez?

Mielőtt rátérnénk a kérdésre (hogyan találjuk meg az aritmetikai progresszió összegét), érdemes megérteni, miről beszélünk.

A valós számok bármely sorozatát, amelyet úgy kapunk, hogy minden előző számból hozzáadunk (kivonunk) valamilyen értéket, algebrai (számtani) progressziónak nevezzük. Ez a meghatározás matematikai nyelvre fordítva a következő formát ölti:

Itt i az a i sor elemének sorszáma. Így egyetlen kezdő szám ismeretében könnyedén visszaállíthatja a teljes sorozatot. A képletben szereplő d paramétert progressziós különbségnek nevezzük.

Könnyen kimutatható, hogy a vizsgált számsorra a következő egyenlőség áll fenn:

a n = a 1 + d* (n - 1).

Vagyis az n-edik elem értékének sorrendben történő megtalálásához a d különbséget hozzá kell adni az első a elemhez 1 n-1 alkalommal.

Mennyi egy számtani progresszió összege: képlet

Mielőtt megadná a képletet a feltüntetett mennyiségre, érdemes megfontolni egy egyszerű speciális esetet. Adott a természetes számok progressziója 1-től 10-ig, meg kell találnia az összegüket. Mivel kevés tag van a (10) progresszióban, lehetséges a probléma eleve megoldása, azaz az összes elem sorrendben történő összegzése.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Érdemes megfontolni egy érdekességet: mivel minden tag ugyanazzal a d = 1 értékkel különbözik a következőtől, akkor az elsőt a tizeddel, a másodikat a kilenceddel és így tovább páronként összeadva ugyanazt az eredményt kapjuk. Igazán:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Mint látható, ebből az összegből csak 5 van, vagyis pontosan kétszer kevesebb, mint a sorozat elemeinek száma. Ezután megszorozva az összegek számát (5) az egyes összegek eredményével (11), akkor az első példában kapott eredményhez jutunk.

Ha ezeket az argumentumokat általánosítjuk, a következő kifejezést írhatjuk fel:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ez a kifejezés azt mutatja, hogy egyáltalán nem szükséges az összes elemet egy sorban összegezni, elég ismerni az első a 1 és az utolsó a n értékét, valamint az n tagok számát.

Úgy gondolják, hogy Gauss akkor gondolt először erre az egyenlőségre, amikor az iskolai tanára által adott problémára keresett megoldást: összegezze az első 100 egész számot.

Elemek összege m-től n-ig: képlet

Az előző bekezdésben megadott képlet választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan találjuk meg a számtani sorozat összegét (az első elemeket), de a feladatokban gyakran szükséges egy számsort összegezni a haladás közepén. Hogyan kell csinálni?

A kérdés megválaszolásának legegyszerűbb módja a következő példa: legyen szükség az m-ediktől az n-edikig terjedő tagok összegére. A feladat megoldásához új számsor formájában kell bemutatni a progresszió adott m-től n-ig tartó szakaszát. Ebben az ábrázolásban az a m m-edik tag lesz az első, egy n pedig n-(m-1) lesz számozva. Ebben az esetben az összeg standard képletét alkalmazva a következő kifejezést kapjuk:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Példa képletek használatára

Tudva, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat összegét, érdemes megfontolni egy egyszerű példát a fenti képletek használatára.

Az alábbiakban egy numerikus sorozat látható, amelynek tagjainak összegét kell megtalálnia, az 5-től kezdve és a 12-ig:

A megadott számok azt jelzik, hogy a d különbség egyenlő 3-mal. Az n-edik elemre vonatkozó kifejezést használva megtalálhatja a progresszió 5. és 12. tagjának értékét. Kiderül:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

A vizsgált algebrai progresszió végén lévő számok értékének ismeretében, valamint annak tudatában, hogy a sorozatban milyen számokat foglalnak el, használhatja az előző bekezdésben kapott összeg képletét. Ki fog derülni:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Érdemes megjegyezni, hogy ezt az értéket másképpen is megkaphatjuk: először keressük meg az első 12 elem összegét a standard képlet segítségével, majd számítsuk ki az első 4 elem összegét ugyanazzal a képlettel, majd vonjuk ki a másodikat az első összegből.

Szóval, üljünk le, és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhatsz, és annyi lehet, amennyit akarsz (esetünkben ilyenek vannak). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Számsorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy számra vonatkozik a sorozatban. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a th szám) mindig ugyanaz.
A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy számsorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Ezt a számsorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző vezette be még a 6. században, és tágabb értelemben végtelen számsorozatként értelmezték. Az „aritmetika” elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amelyet az ókori görögök tanulmányoztak.

Ez egy számsorozat, amelynek minden tagja egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva. Ezt a számot aritmetikai progresszió különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk meg megtalálni a th tag értékét. Létezik kettő megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatjuk a progressziószámot az előző értékhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát venne igénybe, és nem tény, hogy nem hibáznánk a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitalálták azt a módot, hogy nem szükséges egy számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg közelebbről a megrajzolt képet... Bizonyára Ön is észrevett már egy bizonyos mintát, mégpedig:

Például nézzük meg, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak az értéke:

Más szavakkal:

Próbáld meg magad is így megtalálni egy adott számtani sorozat tagjának értékét.

Kiszámoltad? Hasonlítsa össze a jegyzeteit a válasszal:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor az aritmetikai progresszió tagjait szekvenciálisan hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – fogalmazzuk meg általános formában, és kapjuk meg:

Aritmetikai progresszió egyenlete.

Az aritmetikai progressziók növekedhetnek vagy csökkenhetnek.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor használják.
Vizsgáljuk meg ezt a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll: Nézzük meg, mi lesz ennek az aritmetikai sorozatnak a száma, ha a képletünket használjuk a kiszámításához:

Azóta:

Így meg vagyunk győződve arról, hogy a képlet csökkenő és növekvő aritmetikai progresszióban is működik.
Próbálja meg saját maga megtalálni ennek az aritmetikai sorozatnak a th és th tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk a problémát – levezetjük az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Na akkor hadd:

Teljesen igaza van. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek, előfordulhat, hogy tévednek a számításokban.
Most gondoljon arra, hogy meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és ezt igyekszünk most kihozni.

Jelöljük az aritmetikai progresszió szükséges tagját úgy, hogy a megtalálásának képlete ismert – ez ugyanaz a képlet, amelyet az elején levezettünk:
, Akkor:

a progresszió előző tagja:
a progresszió következő tagja:

Foglaljuk össze a progresszió előző és későbbi feltételeit:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege a közöttük elhelyezkedő progressziótag dupla értéke. Más szavakkal, egy ismert korábbi és egymást követő értékekkel rendelkező progressziós tag értékének meghatározásához össze kell adni őket, és el kell osztani velük.

Így van, ugyanaz a számunk. Biztosítsuk az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, ez egyáltalán nem nehéz.

Szép munka! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a „matematikusok királya” - Karl Gauss - könnyen levezetett...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, egy tanár, aki azzal volt elfoglalva, hogy ellenőrizte a diákok munkáját más osztályokban, a következő feladatot adta az órán: „Számítsa ki az összes természetes szám összegét től-ig (más források szerint) inkluzívan.” Képzeljük el a tanár meglepetését, amikor az egyik tanítványa (ez Karl Gauss volt) egy perccel később helyes választ adta a feladatra, miközben a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy bizonyos mintát, amelyet Ön is könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy aritmetikai sorozatunk, amely -edik tagokból áll: Meg kell találnunk a számtani folyamat ezen tagjainak összegét. Természetesen manuálisan is összegezhetjük az összes értéket, de mi van akkor, ha a feladathoz meg kell találni a tagok összegét, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg közelebbről a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.

Kibróbáltad? mit vettél észre? Jobb! Összegük egyenlő

Most mondd meg, hány ilyen pár van összesen a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy aritmetikai sorozat két tagjának összege egyenlő, és a hasonló párok egyenlőek, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progresszió különbségét. Próbálja meg behelyettesíteni a th tag képletét az összegképletbe.
Mit kaptál?

Szép munka! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak feltett feladathoz: számolja ki magának, hogy a th-től kezdődő számok összege hányados, és mennyivel egyenlő a th-től kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss megállapította, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege egyenlő. Így döntöttél?

Valójában az ókori görög tudós, Diophantus bizonyította be az aritmetikai haladás összegének képletét a 3. században, és ez idő alatt a szellemes emberek teljes mértékben kihasználták a számtani progresszió tulajdonságait.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb építkezést - egy piramis építését... A képen az egyik oldala látható.

Hol van itt a fejlődés, azt mondod? Nézze meg alaposan, és keresse meg a mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.

Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számítsa ki, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha tömbtéglákat helyeznek az alapra. Remélem, nem fog számolni, miközben az ujját a monitoron mozgatja, emlékszik az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a progresszió így néz ki: .
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be adatainkat az utolsó képletekbe (2 módon számítsuk ki a blokkok számát).

1. módszer.

2. módszer.

És most már számolhat a monitoron: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megvan? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni az alján lévő kockákból, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Kiképzés

Feladatok:

Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni egy héten, ha az első edzésen guggolt?
Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
A naplók tárolása során a naplózók úgy rakják egymásra azokat, hogy minden felső réteg eggyel kevesebbet tartalmazzon, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk?

Válaszok:

Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
(hetek = napok).
Válasz: Két hét múlva Masha naponta egyszer guggolást kell végeznie.
Első páratlan szám, utolsó szám.
Aritmetikai progresszió különbség.
A páratlan számok száma fele, de nézzük meg ezt a tényt a számtani sorozat tizedik tagjának meghatározására szolgáló képlettel:
A számok páratlan számokat tartalmaznak.
Helyettesítsük be a rendelkezésre álló adatokat a képletbe:
Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.
Emlékezzünk a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, akkor összesen egy csomó réteg van, azaz.
Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:
Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Foglaljuk össze

- olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Lehet növekvő vagy csökkenő.
Képlet keresése Egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - hol a folyamatban lévő számok száma.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:

, ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. ÁTLAGOS SZINT

Számsorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Számsorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és egy egyedihez. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, a különbség pedig egyenlő). Vagy (, különbség).

n-edik tagképlet

Ismétlődő képletnek nevezünk, amelyben a th tag megismeréséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy ezzel a képlettel megtaláljuk például a progresszió edik tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hagyd. Akkor:

Nos, most már világos, hogy mi a képlet?

Minden sorban hozzáadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Melyik? Nagyon egyszerű: ez az aktuális tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. Mi a különbség? Íme:

(Ezért nevezik különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Ekkor a századik tag egyenlő:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint a nagy matematikus, Carl Gauss, 9 éves fiúként néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. szám összege a végétől azonos, és így tovább. Hány ilyen pár van összesen? Ez így van, pontosan fele az összes szám számának, vagyis. Így,

Az általános képlet bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegére a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden további számot az előző számhoz hozzáadva kapunk. Így az általunk érdekelt számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak az első taggal és a különbséggel.

Ennek a haladásnak a képlete:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek két számjegyűnek kell lennie?

Nagyon könnyű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

A sportoló minden nap több métert fut, mint előző nap. Összesen hány kilométert fut le egy héten, ha az első napon km m-t futott?
Egy kerékpáros naponta több kilométert tesz meg, mint előző nap. Az első napon km-t utazott. Hány napot kell utaznia egy kilométer megtételéhez? Hány kilométert fog megtenni utazása utolsó napján?
A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent évente egy hűtőszekrény ára, ha rubelért kínálták eladásra, de hat évvel később rubelért adták el.

Válaszok:

Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
.
Válasz:
Itt van megadva: , meg kell találni.
Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
.
Cserélje be az értékeket:
A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett utat a th tag képletével:
(km).
Válasz:
Adott: . Megtalálja: .
Nem is lehetne egyszerűbb:
(dörzsölés).
Válasz:

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Ez egy olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió lehet növekvő () és csökkenő ().

Például:

Képlet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának megtalálására

a képlet írja le, ahol a folyamatban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Lehetővé teszi, hogy könnyen megtalálja egy progresszió tagját, ha ismertek a szomszédos tagok - hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

A FELÉPÍTETT 2/3 CIKK CSAK A YOUCLEVER DIÁKOK SZÁMÁRA ÉRHETŐ!

Legyél YouClever diák,

Készüljön fel a matematika egységes államvizsgára vagy egységes államvizsgára „egy csésze kávé havonta” áráért,

Továbbá korlátlan hozzáférést kap a „YouClever” tankönyvhöz, a „100gia” felkészítő programhoz (megoldókönyv), egy korlátlan próbaverziós Egységes Államvizsgához és Egységes Államvizsgához, 6000 megoldáselemzési feladathoz, valamint egyéb YouClever és 100gia szolgáltatásokhoz.

A matematikában minden egymást követő, valamilyen módon rendezett számgyűjteményt sorozatnak nevezünk. Az összes létező számsorozat közül két érdekes esetet különböztetünk meg: algebrai és geometriai progressziót.

Mi az aritmetikai progresszió?

Azonnal meg kell mondani, hogy az algebrai progressziót gyakran aritmetikának nevezik, mivel tulajdonságait a matematika ága - az aritmetika - tanulmányozza.

Ez a progresszió olyan számsorozat, amelyben minden következő tag egy bizonyos állandó számmal különbözik az előzőtől. Ezt algebrai progresszió különbségének nevezzük. A határozottság kedvéért a latin d betűvel jelöljük.

Példa egy ilyen sorozatra a következő: 3, 5, 7, 9, 11 ..., itt láthatja, hogy az 5-ös szám 2-vel nagyobb, mint a 3-as szám, a 7 nagyobb, mint az 5-2, és hamar. Így a bemutatott példában d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Melyek az aritmetikai progresszió típusai?

Ezeknek a rendezett számsoroknak a természetét nagymértékben meghatározza a d szám előjele. A következő típusú algebrai progressziókat különböztetjük meg:

növekszik, ha d pozitív (d>0);
állandó, ha d = 0;
csökken, ha d negatív (d<0).

Az előző bekezdésben szereplő példa növekvő előrehaladást mutat. Példa a csökkenő sorozatra a következő számsor: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... A definíciójából következően az állandó progresszió azonos számok gyűjteménye.

a progresszió n-edik tagja

Tekintettel arra, hogy a vizsgált progresszióban minden következő szám egy d konstanssal különbözik az előzőtől, az n-edik tagja könnyen meghatározható. Ehhez nemcsak d-t kell ismernie, hanem egy 1-et is - a progresszió első tagját. Rekurzív megközelítést használva egy algebrai progressziós képletet kaphatunk az n-edik tag megtalálásához. Így néz ki: a n = a 1 + (n-1)*d. Ez a képlet meglehetősen egyszerű, és intuitív módon is megérthető.

Használata sem nehéz. Például a fent megadott progresszióban (d=2, a 1 =3) definiáljuk a 35. tagját. A képlet szerint egyenlő lesz: a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Az összeg képlete

Ha egy aritmetikai progressziót adunk meg, akkor annak első n tagjának összege gyakran felmerülő probléma, az n-edik tag értékének meghatározása mellett. Az algebrai haladás összegének képlete a következő formában van felírva: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2, itt a ∑ n 1 szimbólum azt jelzi, hogy az 1-től az n-ig tagok összegződnek.

A fenti kifejezést ugyanannak a rekurziónak a tulajdonságaira támaszkodva megkaphatjuk, de van egy egyszerűbb módja is annak érvényességének bizonyítására. Írjuk fel ennek az összegnek az első 2 és utolsó 2 tagját, a 1, a n és d számokkal kifejezve, és kapjuk: a 1, a 1 +d,...,a n -d, a n. Most jegyezzük meg, hogy ha az első tagot hozzáadjuk az utolsóhoz, akkor az pontosan egyenlő lesz a második és az utolsó előtti tag összegével, azaz egy 1 +a n. Hasonló módon kimutatható, hogy ugyanazt az összeget kaphatjuk a harmadik és az utolsó előtti tag összeadásával stb. A sorozatban szereplő számpár esetén n/2 összeget kapunk, amelyek mindegyike egyenlő 1 +a n-nel. Vagyis megkapjuk a fenti képletet az algebrai haladásra az összegre: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

Páratlan számú n tag esetén hasonló képletet kapunk, ha követjük a leírt érvelést. Ne felejtse el hozzáadni a fennmaradó tagot, amely a progresszió közepén található.

Mutassuk meg, hogyan kell használni a fenti képletet a fent bemutatott egyszerű progresszió példáján (3, 5, 7, 9, 11 ...). Például meg kell határozni az első 15 tagjának összegét. Először is határozzuk meg a 15-öt. Az n-edik tag képletével (lásd az előző bekezdést) a következőt kapjuk: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Most alkalmazhatjuk a képletet egy algebrai haladás összege: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

Érdekes egy érdekes történelmi tényt idézni. Az aritmetikai progresszió összegének képletét először Carl Gauss (a 18. század híres német matematikusa) találta meg. Amikor még csak 10 éves volt, a tanára megkérte, hogy találja meg a számok összegét 1-től 100-ig. Azt mondják, hogy a kis Gauss néhány másodperc alatt megoldotta ezt a feladatot, és észrevette, hogy a sorozat elejéről és végén lévő számokat összeadja. párban mindig kaphat 101-et, és mivel 50 ilyen összeg van, gyorsan megadta a választ: 50*101 = 5050.

Példa a probléma megoldására

Az algebrai progresszió témakörének kiegészítéséhez egy másik érdekes probléma megoldására adunk példát, ezzel is erősítve a vizsgált téma megértését. Adjunk meg egy bizonyos progressziót, amelyre ismert a d = -3 különbség, valamint annak 35. tagja a 35 = -114. Meg kell találni az a 7 progresszió 7. tagját.

A feladat feltételeiből látható, hogy az 1 értéke ismeretlen, ezért az n-edik tag képletét nem lehet majd közvetlenül használni. A rekurziós módszer is kényelmetlen, amelyet nehéz manuálisan megvalósítani, és nagy a tévedés valószínűsége. Folytassuk a következőképpen: írjuk ki a 7-es és a 35-ös képleteket, így van: a 7 = a 1 + 6*d és a 35 = a 1 + 34*d. Az első kifejezésből kivonjuk a másodikat, így kapjuk: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. Ebből következik: a 7 = a 35 - 28*d. Marad a problémafelvetésben szereplő ismert adatok helyettesítése és a válasz lejegyzése: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

Geometriai progresszió

A cikk témájának teljesebb feltárása érdekében rövid leírást adunk egy másik típusú - geometriai - progresszióról. A matematikában ezt a nevet olyan számsorként értjük, amelyben minden következő tag bizonyos tényezővel különbözik az előzőtől. Jelöljük ezt a tényezőt r betűvel. Ezt nevezik a vizsgált progresszió típusának nevezőjének. Példa erre a számsorra: 1, 5, 25, 125, ...

Amint a fenti definícióból látható, az algebrai és a geometriai progresszió elgondolásában hasonló. A különbség köztük az, hogy az első lassabban változik, mint a második.

A geometriai progresszió is lehet növekvő, állandó vagy csökkenő. Típusa az r nevező értékétől függ: ha r>1, akkor növekvő progresszió van, ha r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

Geometriai progressziós képletek

Az algebraihoz hasonlóan a geometriai haladás képletei az n-edik tagjának és n tagjának összegének meghatározására redukálódnak. Az alábbiakban ezek a kifejezések találhatók:

a n = a 1 *r (n-1) - ez a képlet a geometriai progresszió definíciójából következik.
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). Fontos megjegyezni, hogy ha r = 1, akkor a fenti képlet bizonytalanságot ad, így nem használható. Ebben az esetben n tag összege egyenlő lesz az a 1 *n egyszerű szorzattal.

Például keressük meg az 1, 5, 25, 125, ... sorozat mindössze 10 tagjának összegét, ha tudjuk, hogy a 1 = 1 és r = 5, akkor a következőt kapjuk: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. A kapott érték jól példázza, hogy milyen gyorsan nő a geometriai progresszió.

A történelemben talán először említik ezt a fejlődést a sakktáblával kapcsolatos legenda, amikor az egyik szultán barátja, aki sakkozni tanította, gabonát kért szolgálatáért. Sőt, a gabonamennyiségnek a következőnek kellett volna lennie: a sakktábla első mezőjére egy szemcsét kell tenni, a másodikra kétszer annyit, mint az elsőre, a harmadikra kétszer annyit, mint a másodikra, és így tovább . A szultán készségesen vállalta, hogy teljesíti ezt a kérést, de nem tudta, hogy hazája összes kukáját ki kell ürítenie, hogy betartsa szavát.