Hogyan találhatja meg a háromszög területét. Egy sokszög területének kiszámítása a csúcsok koordinátáiból Egy háromszög területének meghatározása a csúcsok koordinátáiból
A koordináta-módszer, amelyet a 17. században a francia matematikusok, R. Descartes (1596-1650) és P. Fermat (1601-1665) javasoltak, egy olyan hatékony berendezés, amely lehetővé teszi a geometriai fogalmak algebrai nyelvre történő lefordítását. Ez a módszer a koordinátarendszer fogalmán alapul. Megfontoljuk egy sokszög területének kiszámítását a csúcsok koordinátáiból egy téglalap alakú koordinátarendszerben.
Egy háromszög területe
1. tétel. Ha a háromszög területe
akkor az egyenlőség igaz
egy háromszög területének meghatározójának fogjuk nevezni.
Bizonyíték. Legyen a háromszög csúcsai az első koordinátanegyedben. Két eset lehetséges.
1. eset. A háromszög csúcsainak elhelyezkedésének iránya (vagy, vagy) egybeesik az óramutató végének mozgási irányával (1.30. ábra).
Mivel az ábra trapéz.
Hasonlóan azt tapasztaljuk
Algebrai transzformációk végrehajtásával
ezt kapjuk:
Az (1.9) egyenlőségben a terület meghatározója tehát a kifejezés előtt mínuszjel van, hiszen.
Mutassuk meg. Valóban, itt
(az alappal és magassággal rendelkező téglalap területe nagyobb, mint az alapokkal és magasságokkal rendelkező téglalapok területeinek összege; (1.30. ábra), ahonnan
2. eset. Az 1. esetben feltüntetett irányok ellentétesek az óramutató végének mozgási irányával (1.31. ábra)
mivel az ábra trapéz, és
Ahol. Valóban, itt
A tétel bizonyítást nyer, ha a háromszög csúcsai az első koordinátanegyedben helyezkednek el.
A modulus fogalmát használva az (1.9) és (1.10) egyenlőség a következőképpen írható fel:
1. megjegyzés. Az (1.8) képletet a csúcsok legegyszerűbb elrendezésének figyelembevételével származtattuk, amelyet az 1.30. és 1.31. ábra mutat be; az (1.8) formula azonban igaz a csúcsok tetszőleges elrendezésére.
Tekintsük az 1.32. ábrán látható esetet.
Ezért egyszerű geometriai transzformációk végrehajtásával:
megint kapunk mit, hol
n-szög területe
A sokszög lehet konvex vagy nem konvex; a csúcsok számozási sorrendje akkor tekinthető negatívnak, ha a csúcsok az óramutató járásával megegyező irányban vannak számozva. Egyszerűnek nevezzük azt a sokszöget, amelynek az oldalai nem metszik egymást. Egyszerűen az n-A következő igaz
2. tétel. Ha egy prím területe n-gon, hol, akkor igaz az egyenlőség
prím területének meghatározóját fogjuk nevezni n-gon.
Bizonyíték. Két eset lehetséges.
1. eset. n-gon - domború. Bizonyítsuk be az (1.11) képletet a matematikai indukció módszerével.
Ugyanis már bebizonyosodott (1. tétel). Tegyük fel, hogy ez igaz rá n-gon; bizonyítsuk be, hogy érvényes marad a konvex ( n+1)-gon.
Adjunk hozzá még egy csúcsot a sokszöghez (1.33. ábra).
Így a képlet érvényes ( n+1)-gon, és ezért teljesülnek a matematikai indukció feltételei, azaz az (1.11) képlet konvex esetén n-gon bebizonyosodott.
2. eset. n-gon - nem domború.
Bármilyen nem domború n-gon lehet rajzolni egy benne fekvő átlót, és így a 2. eset bizonyítása nem konvexre n-gon hasonló a konvex bizonyításához n-gon.
Jegyzet 2. A kifejezéseket nem könnyű megjegyezni. Ezért értékeinek kiszámításához célszerű egy oszlopba felírni az első, második, harmadik, ... koordinátáit. n-edik és ismét az első csúcsok n-gon és szorozzuk meg a séma szerint:
Az (1.12) oszlopban lévő jeleket az (1.13) ábra szerint kell elhelyezni.
3. megjegyzés. Ha egy háromszög oszlopát (1.12) állítja össze, bármelyik csúcsból indulhat.
4. megjegyzés. Az (1.12) oszlop összeállításakor a n-gon () követni kell a csúcsok koordinátáinak kiírásának sorrendjét n-gon (nem mindegy, hogy melyik csúcsból kezdjük a bejárást). Ezért a terület kiszámítása n-gon egy „durva” rajz felépítésével kell kezdenie.
A háromszög az egyik legelterjedtebb geometriai forma, amelyet általános iskolában ismerünk meg. Minden diák szembesül azzal a kérdéssel, hogyan találja meg a háromszög területét a geometria órákon. Tehát milyen jellemzők azonosíthatók egy adott figura területének megtalálásához? Ebben a cikkben megvizsgáljuk az ilyen feladat elvégzéséhez szükséges alapvető képleteket, és elemezzük a háromszögek típusait.
A háromszögek típusai
A háromszög területét teljesen különböző módon találhatja meg, mivel a geometriában több típusú alak is létezik, amelyek három szöget tartalmaznak. Ezek a típusok a következők:
- Tompa.
- Egyenlő oldalú (helyes).
- Derékszögű háromszög.
- Egyenlő szárú.
Nézzük meg közelebbről a létező háromszögtípusokat.
Ezt a geometriai ábrát tekintik a leggyakoribbnak a geometriai problémák megoldása során. Ha szükség van egy tetszőleges háromszög rajzolására, ez a lehetőség megmentő.
Egy hegyesszögű háromszögben, ahogy a neve is sugallja, minden szög hegyesszögű, és összeadva 180°-ot tesz ki.
Ez a fajta háromszög is nagyon gyakori, de valamivel kevésbé gyakori, mint a hegyes háromszög. Például háromszögek megoldásánál (vagyis annak több oldala és szöge ismert, és meg kell találni a fennmaradó elemeket), néha meg kell határozni, hogy a szög tompa-e vagy sem. A koszinusz negatív szám.
B, az egyik szög értéke meghaladja a 90°-ot, így a fennmaradó két szög kis értéket vehet fel (például 15° vagy akár 3°).
Az ilyen típusú háromszög területének megtalálásához ismernie kell néhány árnyalatot, amelyekről később fogunk beszélni.
Szabályos és egyenlő szárú háromszögek
A szabályos sokszög olyan alakzat, amely n szöget tartalmaz, és amelynek oldalai és szögei egyenlőek. Ez a szabályos háromszög. Mivel egy háromszög összes szögének összege 180°, akkor a három szög mindegyike 60°.
A szabályos háromszöget tulajdonságai miatt egyenlő oldalú alakzatnak is nevezik.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy egy szabályos háromszögbe csak egy kör írható be, körülötte pedig csak egy kör írható le, és ezek középpontja ugyanabban a pontban található.
Az egyenlő oldalú típuson kívül megkülönböztethetünk egy egyenlő szárú háromszöget is, amely kissé eltér tőle. Egy ilyen háromszögben két oldal és két szög egyenlő egymással, és a harmadik oldal (amelyhez egyenlő szögek vannak szomszédos) az alap.
Az ábrán egy DEF egyenlő szárú háromszög látható, amelynek D és F szögei egyenlőek, és DF az alapja.
Derékszögű háromszög
A derékszögű háromszöget azért nevezik így, mert az egyik szöge derékszögű, azaz egyenlő 90°-kal. A másik két szög 90°-ot tesz ki.
Egy ilyen háromszög legnagyobb oldala, amely a 90°-os szöggel szemben fekszik, a hipotenusz, míg a fennmaradó két oldal a lábak. Az ilyen típusú háromszögekre a Pitagorasz-tétel érvényes:
A lábak hosszának négyzetösszege megegyezik a befogó hosszának négyzetével.
Az ábrán egy BAC derékszögű háromszög látható, AC hipotenusszal és AB és BC lábakkal.
A derékszögű háromszög területének meghatározásához ismernie kell a lábainak számértékeit.
Térjünk át az adott ábra területének megkeresésére szolgáló képletekre.
Alapképletek a terület megtalálásához
A geometriában két olyan képlet létezik, amelyek alkalmasak a legtöbb háromszögtípus területének meghatározására, nevezetesen a hegyes, tompa, szabályos és egyenlő szárú háromszögekre. Nézzük meg mindegyiket.
Oldal és magasság szerint
Ez a képlet univerzális az általunk vizsgált ábra területének megtalálásához. Ehhez elég tudni az oldal hosszát és a hozzá húzott magasság hosszát. Maga a képlet (az alap és a magasság szorzatának fele) a következő:
ahol A egy adott háromszög oldala, H pedig a háromszög magassága.
Például egy ACB hegyes háromszög területének meghatározásához meg kell szorozni az AB oldalát a CD magassággal, és el kell osztani a kapott értéket kettővel.
Azonban nem mindig könnyű így megtalálni a háromszög területét. Például, ha ezt a képletet egy tompa háromszögre szeretné használni, meg kell hosszabbítania az egyik oldalát, és csak ezután kell megrajzolnia hozzá a magasságot.
A gyakorlatban ezt a képletet gyakrabban használják, mint mások.
Mindkét oldalon és sarokban
Ez a képlet, az előzőhöz hasonlóan, a legtöbb háromszögre alkalmas, és jelentésében a háromszög területének és magasságának meghatározására szolgáló képlet következménye. Vagyis a kérdéses képlet könnyen levezethető az előzőből. A megfogalmazása így néz ki:
S = ½*sinO*A*B,
ahol A és B a háromszög oldalai, O pedig az A és B oldalak közötti szög.
Emlékezzünk vissza, hogy egy szög szinuszát a kiváló szovjet matematikusról, V. M. Bradisről elnevezett speciális táblázatban tekinthetjük meg.
Most térjünk át más képletekre, amelyek csak kivételes típusú háromszögekhez alkalmasak.
Egy derékszögű háromszög területe
Az univerzális képlet mellett, amely magában foglalja a magasság megtalálásának szükségességét egy háromszögben, a derékszöget tartalmazó háromszög területe megtalálható a lábaiból.
Így a derékszöget tartalmazó háromszög területe a lábak szorzatának fele, vagy:
ahol a és b egy derékszögű háromszög lábai.
Szabályos háromszög
Ez a fajta geometriai alakzat abban különbözik, hogy területe csak az egyik oldalának feltüntetett értékével található meg (mivel egy szabályos háromszög minden oldala egyenlő). Tehát, amikor azzal a feladattal szembesül, hogy „meg kell találni egy háromszög területét, amikor az oldalak egyenlőek”, a következő képletet kell használnia:
S = A 2 *√3/4,
ahol A az egyenlő oldalú háromszög oldala.
Heron képlete
Az utolsó lehetőség a háromszög területének megtalálására a Heron képlete. Használatához ismerni kell az ábra három oldalának hosszát. A Heron képlete így néz ki:
S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),
ahol a, b és c egy adott háromszög oldalai.
Néha megadják a problémát: "egy szabályos háromszög területe az oldala hosszának meghatározása." Ebben az esetben egy szabályos háromszög területének meghatározásához a már ismert képletet kell használnunk, és ebből származtatjuk az oldal (vagy négyzet) értékét:
A 2 = 4S / √3.
Vizsgafeladatok
A matematikai GIA-feladatokban sok képlet található. Ezenkívül gyakran meg kell találni egy háromszög területét kockás papíron.
Ebben az esetben a legkényelmesebb a magasságot az ábra egyik oldalára rajzolni, meghatározni a hosszát a cellákból, és az univerzális képletet használni a terület megtalálásához:
Tehát a cikkben bemutatott képletek tanulmányozása után nem lesz probléma a háromszög területének megtalálásával.
