Az y függvény vizsgálata 4x x 2. Feladatok Kuznyecov L. gyűjteményéből

Kuznyecov megoldó.
III Diagramok

7. feladat Végezze el a függvény teljes tanulmányozását, és készítse el grafikonját!

        Mielőtt elkezdené az opciók letöltését, próbálja meg megoldani a problémát az alábbi, a 3. lehetőséghez tartozó példa szerint. Egyes opciók .rar formátumban vannak archiválva

        7.3 Végezze el a függvény teljes tanulmányozását és ábrázolja azt

Megoldás.

        1) A meghatározás hatálya:         vagy        , azaz        .
.
Így:         .

        2) Nincsenek metszéspontok az Ox tengellyel. Valójában az         egyenletnek nincs megoldása.
Nincsenek metszéspontok az Oy tengellyel, mivel        .

        3) A függvény nem páros és nem páratlan. Nincs szimmetria az ordinátatengely körül. Szintén nincs szimmetria az eredet tekintetében. Mert
.
Azt látjuk, hogy         és        .

        4) A függvény folytonos a definíció tartományában
.

; .

; .
Következésképpen az         pont a második típusú szakadási pont (végtelen folytonossági hiány).

5) Függőleges aszimptoták:       

Keressük meg a ferde aszimptotát        . Itt

;
.
Következésképpen van egy vízszintes aszimptotánk: y=0. Nincsenek ferde aszimptoták.

        6) Keressük meg az első származékot. Első származék:
.
És ezért
.
Keressünk olyan stacionárius pontokat, ahol a derivált egyenlő nullával, azaz
.

        7) Keressük meg a második származékot. Második származék:
.
És ezt könnyű ellenőrizni, hiszen

Hogyan lehet egy függvényt tanulmányozni és grafikonját felépíteni?

Úgy tűnik, kezdem megérteni a világproletariátus vezetőjének, az 55 kötetben összegyűjtött művek szerzőjének szellemileg éleslátó arcát... A hosszú út az alapvető információkkal kezdődött függvények és grafikonok, és most egy munkaigényes témán végzett munka logikus eredménnyel – egy cikkel – zárul a funkció teljes tanulmányozásáról. A régóta várt feladat a következőképpen fogalmazódik meg:

Tanulmányozzon egy függvényt differenciálszámítási módszerekkel, és készítse fel grafikonját a vizsgálat eredményei alapján

Vagy röviden: vizsgálja meg a függvényt és készítsen grafikont.

Miért fedezze fel? Egyszerű esetekben nem lesz nehéz megértenünk az elemi függvényeket, rajzoljunk egy grafikont, amely a felhasználásával készült elemi geometriai transzformációk stb. Az összetettebb függvények tulajdonságai és grafikus ábrázolása azonban korántsem nyilvánvaló, ezért egy egész tanulmányra van szükség.

A megoldás főbb lépéseit a referenciaanyag foglalja össze Funkcióvizsgálati séma, ez az útmutató a szakaszhoz. A báboknak egy-egy téma lépésről lépésre történő magyarázatára van szükségük, az olvasók egy része nem tudja, hol kezdje el, vagy hogyan szervezze meg kutatását, a haladókat pedig csak néhány pont érdekli. De bárki is vagy, kedves látogató, a javasolt összefoglaló a különböző leckékre mutató mutatókkal gyorsan eligazítja és elvezeti az érdeklődési körbe. Könnyeket hullattak a robotok =) A kézikönyv pdf fájlként lett kirakva, és elfoglalta az őt megillető helyet az oldalon Matematikai képletek és táblázatok.

Megszoktam, hogy egy függvény kutatását 5-6 pontra bontjam:

6) További pontok és grafikon a kutatási eredmények alapján.

Ami a végső műveletet illeti, azt hiszem, mindenki számára minden világos - nagyon kiábrándító lesz, ha pillanatok alatt áthúzzák, és a feladatot visszaküldik felülvizsgálatra. A HELYES ÉS PONTOS RAJZ a megoldás legfőbb eredménye! Valószínűleg „elfedi” az elemzési hibákat, míg a helytelen és/vagy gondatlan ütemezés még egy tökéletesen lebonyolított vizsgálat esetén is problémákat okoz.

Megjegyzendő, hogy más forrásokban a kutatási pontok száma, megvalósításuk sorrendje és a tervezési stílus jelentősen eltérhet az általam javasolt sémától, de a legtöbb esetben ez teljesen elegendő. A probléma legegyszerűbb változata mindössze 2-3 szakaszból áll, és valahogy így van megfogalmazva: „vizsgálja meg a függvényt a derivált segítségével, és készítsen grafikont” vagy „vizsgálja meg a függvényt az 1. és 2. derivált segítségével, készítsen gráfot”.

Természetesen, ha az Ön kézikönyve részletesen leír egy másik algoritmust, vagy tanára szigorúan megköveteli, hogy tartsa be az előadásait, akkor néhány módosítást kell végrehajtania a megoldáson. Nem bonyolultabb, mint egy láncfűrész villát kanálra cserélni.

Ellenőrizzük a páros/páratlan függvényt:

Ezt követi egy sablonválasz:
, ami azt jelenti, hogy ez a függvény nem páros vagy páratlan.

Mivel a függvény folyamatos bekapcsolt állapotban van, nincsenek függőleges aszimptoták.

Nincsenek ferde aszimptoták sem.

jegyzet : Emlékeztetlek arra, hogy minél magasabb növekedési sorrend, mint , ezért a végső határ pontosan " plusz végtelenség."

Nézzük meg, hogyan viselkedik a függvény a végtelenben:

Vagyis ha jobbra megyünk, akkor végtelenül felfelé megy a grafikon, ha balra, végtelenül lefelé. Igen, egy bejegyzés alatt két korlát is van. Ha nehézségei vannak a jelek megfejtésével, kérjük, látogassa meg a következő leckét végtelenül kicsi függvények.

Tehát a funkció felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott. Figyelembe véve, hogy nincsenek töréspontjaink, ez világossá válik funkció tartomány: – bármilyen valós szám is.

HASZNOS MŰSZAKI TECHNIKA

A feladat minden szakasza új információkat hoz a függvény grafikonjáról, ezért a megoldás során célszerű egyfajta LAYOUT alkalmazása. Rajzoljunk egy vázlatra egy derékszögű koordináta-rendszert. Mi az, ami már biztosan ismert? Először is, a gráfnak nincsenek aszimptotái, ezért nincs szükség egyenes vonalak rajzolására. Másodszor, tudjuk, hogyan viselkedik a függvény a végtelenben. Az elemzés alapján elkészítjük az első közelítést:

Felhívjuk figyelmét, hogy mivel folytonosság funkció bekapcsolása és az a tény, hogy a grafikonnak legalább egyszer kereszteznie kell a tengelyt. Vagy talán több metszéspont is van?

3) A függvény nullái és az állandó előjelű intervallumok.

Először keressük meg a gráf ordinátatengellyel való metszéspontját. Ez egyszerű. A függvény értékét a következő helyen kell kiszámítani:

Másfél tengerszint feletti magasságban.

A tengellyel való metszéspontok (a függvény nullái) megtalálásához meg kell oldanunk az egyenletet, és itt kellemetlen meglepetés vár ránk:

A végén egy szabad tag bújik meg, ami jelentősen megnehezíti a feladatot.

Egy ilyen egyenletnek legalább egy valós gyöke van, és ez a gyök leggyakrabban irracionális. A legrosszabb tündérmesében a három kismalac vár ránk. Az egyenlet az ún Cardano képletek, de a papír károsodása szinte az egész tanulmányhoz hasonlítható. E tekintetben bölcsebb megpróbálni legalább egyet kiválasztani, akár szóban, akár piszkozatban. egész gyökér. Ellenőrizzük, hogy ezek a számok:
- nem megfelelő;
- Van!

Szerencsés itt. Sikertelenség esetén tesztelheti is, és ha ezek a számok nem egyeznek, akkor attól tartok, nagyon kicsi az esély az egyenlet jövedelmező megoldására. Akkor jobb teljesen kihagyni a kutatási pontot - talán az utolsó lépésnél kiderül valami, amikor a további pontokat áttörik. És ha a gyökér(ek) egyértelműen „rossz”, akkor jobb, ha szerényen hallgatunk a jelek állandóságának intervallumáról, és óvatosabban rajzolunk.

Viszont van egy szép gyökünk, ezért felosztjuk a polinomot maradék nélkül:

A polinom polinommal való osztásának algoritmusát a lecke első példája részletesen tárgyalja Összetett határok.

Ennek eredményeként az eredeti egyenlet bal oldala termékre bomlik:

És most egy kicsit az egészséges életmódról. Ezt persze megértem másodfokú egyenletek minden nap meg kell oldani, de ma kivételt teszünk: az egyenletet két igazi gyökere van.

A talált értékeket ábrázoljuk a számegyenesen És intervallum módszer Határozzuk meg a függvény jeleit:


og Így az intervallumokon a menetrend található
az x tengely alatt és az intervallumokban – e tengely felett.

Az eredmények lehetővé teszik az elrendezés finomítását, és a grafikon második közelítése így néz ki:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy egy függvénynek legalább egy maximummal kell rendelkeznie egy intervallumon, és legalább egy minimummal egy intervallumon. De még nem tudjuk, hányszor, hol és mikor fog a menetrend. Egyébként egy függvénynek végtelen sok lehet szélsőségek.

4) A funkció növelése, csökkentése és szélsőségei.

Keressük a kritikus pontokat:

Ennek az egyenletnek két valós gyökere van. Tegyük őket a számegyenesbe, és határozzuk meg a derivált előjeleit:


Ezért a függvény a és -kal csökken.
Amikor a függvény eléri a maximumot: .
Ezen a ponton a függvény eléri a minimumot: .

A megalapozott tények meglehetősen merev keretbe helyezik sablonunkat:

Mondanom sem kell, hogy a differenciálszámítás erős dolog. Értsük meg végre a grafikon alakját:

5) Konvexitás, homorúság és inflexiós pontok.

Keressük meg a második derivált kritikus pontjait:

Határozzuk meg a jeleket:


A függvény grafikonja konvex -on és konkáv -on. Számítsuk ki az inflexiós pont ordinátáját: .

Szinte minden világossá vált.

6) Meg kell találni további pontokat, amelyek segítenek pontosabban felépíteni egy grafikont és elvégezni az öntesztet. Ebben az esetben kevés van belőlük, de nem hagyjuk figyelmen kívül őket:

Készítsük el a rajzot:

Az inflexiós pontot zölddel, a további pontokat keresztekkel jelöltük. Egy köbös függvény grafikonja szimmetrikus az inflexiós pontjára, amely mindig szigorúan középen helyezkedik el a maximum és a minimum között.

A feladat előrehaladtával három hipotetikus közbenső rajzot készítettem. A gyakorlatban elég egy koordinátarendszert felrajzolni, a talált pontokat bejelölni, és minden egyes kutatási pont után fejben megbecsülni, hogy nézhet ki a függvény grafikonja. A megfelelő felkészültséggel rendelkező diákok számára nem lesz nehéz egy ilyen elemzést kizárólag a fejükben, tervezet bevonása nélkül elvégezni.

A megoldás saját kezűleg:

2. példa

Fedezze fel a függvényt, és készítsen grafikont.

Itt minden gyorsabb és szórakoztatóbb, egy hozzávetőleges példa a végső tervezésre a lecke végén.

A tört racionális függvények tanulmányozása sok titkot feltár:

3. példa

Használjon differenciálszámítási módszereket egy függvény tanulmányozásához, és a vizsgálat eredményei alapján készítse el a grafikonját.

Megoldás: a vizsgálat első szakaszát semmi figyelemre méltó nem különbözteti meg, kivéve egy lyukat a definíciós területen:

1) A függvény meghatározott és folytonos a pont kivételével a teljes számegyenesen, tartomány: .

, ami azt jelenti, hogy ez a függvény nem páros vagy páratlan.

Nyilvánvaló, hogy a függvény nem periodikus.

A függvény grafikonja két folytonos ágat ábrázol, amelyek a bal és a jobb félsíkban helyezkednek el – ez az 1. pont talán legfontosabb következtetése.

2) Aszimptoták, egy függvény viselkedése a végtelenben.

a) Egyoldali határértékekkel megvizsgáljuk a függvény viselkedését egy gyanús pont közelében, ahol egyértelműen függőleges aszimptotának kell lennie:

Valójában a funkciók tartósak végtelen szakadék azon a ponton
és az egyenes (tengely) az függőleges aszimptota grafikai művészetek.

b) Ellenőrizzük, hogy léteznek-e ferde aszimptoták:

Igen, egyenes ferde aszimptota grafika , ha .

Nincs értelme a határértékeket elemezni, mert már most világos, hogy a függvény átfogja ferde aszimptotáját felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

A második kutatási pont sok fontos információt adott a funkcióról. Készítsünk egy durva vázlatot:

Az 1. következtetés az állandó előjelű intervallumokra vonatkozik. A „mínusz végtelennél” a függvény grafikonja egyértelműen az x tengely alatt, a „plusz végtelennél” pedig e tengely felett helyezkedik el. Ezenkívül az egyoldali határértékek azt mutatták, hogy a ponttól balra és jobbra is a függvény nullánál nagyobb. Vegye figyelembe, hogy a bal félsíkban a grafikonnak legalább egyszer kereszteznie kell az x tengelyt. Előfordulhat, hogy a jobb oldali félsíkban a függvény nullái nem találhatók.

A 2. következtetés az, hogy a függvény a ponton és attól balra nő (alulról felfelé halad). Ettől a ponttól jobbra a funkció csökken (felülről lefelé halad). A gráf jobb oldali ágának minden bizonnyal rendelkeznie kell legalább egy minimummal. A bal oldalon a szélsőségek nem garantáltak.

A 3. számú következtetés megbízható információt nyújt a gráf konkávitásáról a pont közelében. Konvexitásról/konkavitásról a végtelennél még nem tudunk semmit mondani, hiszen egy vonal felülről és alulról is az aszimptota felé nyomható. Általánosságban elmondható, hogy jelenleg van egy analitikus módszer ennek kiderítésére, de a grafikon alakja egy későbbi szakaszban világosabb lesz.

Miért ennyi szó? A későbbi kutatási pontok ellenőrzése és a hibák elkerülése érdekében! A további számítások nem mondanak ellent a levont következtetéseknek.

3) A grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjai, a függvény konstans előjelének intervallumai.

A függvény grafikonja nem metszi a tengelyt.

Az intervallum módszerrel meghatározzuk a jeleket:

, Ha ;
, Ha .

Ennek a pontnak az eredményei teljes mértékben összhangban vannak az 1. következtetéssel. Minden szakasz után nézze meg a piszkozatot, fejben ellenőrizze a kutatást, és töltse ki a függvény grafikonját.

A vizsgált példában a számlálót tagokra osztja a nevező, ami nagyon előnyös a megkülönböztetés szempontjából:

Valójában ez már megtörtént az aszimptoták megtalálásakor.

- kritikus pont.

Határozzuk meg a jeleket:

-vel nő és ezzel csökken

Ezen a ponton a függvény eléri a minimumot: .

A 2. következtetéssel sem volt eltérés, és nagy valószínűséggel jó úton haladunk.

Ez azt jelenti, hogy a függvény gráfja konkáv a teljes definíciós tartományon.

Remek – és nem kell semmit rajzolnia.

Nincsenek inflexiós pontok.

A homorúság összhangban van a 3. következtetéssel, sőt azt jelzi, hogy a végtelenben (ott is, ott is) a függvény grafikonja található magasabb ferde aszimptotája.

6) Lelkiismeretesen további pontokkal rögzítjük a feladatot. Itt keményen kell dolgoznunk, hiszen csak két pontot tudunk a kutatásból.

És egy kép, amit valószínűleg sokan már régen elképzeltek:

A feladat végrehajtása során gondosan ügyelni kell arra, hogy a kutatás egyes szakaszai között ne legyen ellentmondás, de esetenként sürgős vagy akár kétségbeejtően zsákutcába kerül a helyzet. Az analitika „nem jön össze” – ez minden. Ebben az esetben vésztechnikát javaslok: keressünk meg minél több pontot, ami a grafikonhoz tartozik (annyi türelem van), és jelöljük meg a koordinátasíkon. A talált értékek grafikus elemzése a legtöbb esetben megmondja, hol az igazság és hol hamis. Ezenkívül a grafikon előre elkészíthető valamilyen programmal, például Excelben (persze ehhez jártasság kell).

4. példa

Használjon differenciálszámítási módszereket egy függvény tanulmányozásához és grafikonjának elkészítéséhez.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Ebben az önkontrollt fokozza a függvény paritása - a grafikon szimmetrikus a tengelyre, és ha a kutatásban valami ellentmond ennek a ténynek, keressen hibát.

Egy páros vagy páratlan függvényt csak a -nál lehet tanulmányozni, majd a gráf szimmetriáját használni. Ez a megoldás optimális, de véleményem szerint nagyon szokatlannak tűnik. Én személy szerint a teljes számsort nézem, de még mindig csak a jobb oldalon találok további pontokat:

5. példa

Végezze el a függvény teljes tanulmányozását, és készítse el a grafikonját.

Megoldás: keményre sikerült a dolog:

1) A függvény meghatározott és folyamatos a teljes számegyenesen: .

Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páratlan, grafikonja szimmetrikus az origóra.

Nyilvánvaló, hogy a függvény nem periodikus.

2) Aszimptoták, egy függvény viselkedése a végtelenben.

Mivel a függvény folyamatos bekapcsolt állapotban van, nincsenek függőleges aszimptoták

Kitevőt tartalmazó függvényre jellemző különálló a „plusz” és a „végtelen mínusz” tanulmányozása, azonban életünket megkönnyíti a gráf szimmetriája - vagy van aszimptota a bal és a jobb oldalon is, vagy nincs. Ezért mindkét végtelen határérték egyetlen bejegyzés alá írható. A megoldás során használjuk L'Hopital szabálya:

Az egyenes (tengely) a grafikon vízszintes aszimptotája.

Figyeld meg, hogy ravaszul elkerültem a teljes algoritmust a ferde aszimptota megtalálásához: a határ teljesen törvényes, és tisztázza a függvény végtelenben való viselkedését, a vízszintes aszimptotát pedig „mintha egy időben” fedezték fel.

A folytonosságból és a horizontális aszimptota létezéséből az következik, hogy a függvény fent határoltÉs alul határolt.

3) A gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjai, konstans előjelű intervallumok.

Itt is lerövidítjük a megoldást:
A grafikon az origón halad át.

Nincs más metszéspont a koordinátatengelyekkel. Ráadásul az előjelállandóság intervallumai nyilvánvalóak, és a tengelyt nem kell megrajzolni: , ami azt jelenti, hogy a függvény előjele csak az „x”-től függ:
, Ha ;
, Ha .

4) A funkció növekedése, csökkentése, szélsőségei.


– kritikus pontok.

A pontok szimmetrikusak a nullára, ahogyan annak lennie kell.

Határozzuk meg a derivált előjeleit:


A funkció időközönként növekszik, időnként csökken

Amikor a függvény eléri a maximumot: .

Az ingatlan miatt (a függvény páratlansága) a minimumot nem kell kiszámítani:

Mivel a függvény az intervallum alatt csökken, a grafikon nyilvánvalóan a „mínusz végtelenben” helyezkedik el. alatt az aszimptota. Az intervallum felett a függvény is csökken, de itt az ellenkezője igaz - a maximális ponton való áthaladás után az egyenes felülről közelíti meg a tengelyt.

A fentiekből az is következik, hogy a függvény grafikonja a „mínusz végtelennél” konvex, a „plusz végtelennél” konkáv.

Ezt a vizsgálati pontot követően a függvényértékek tartományát rajzoltuk ki:

Ha valamelyik ponttal kapcsolatban félreérti, ismételten arra buzdítom, hogy rajzoljon koordinátatengelyeket a füzetébe, és ceruzával a kezében elemezze újra a feladat minden következtetését.

5) A gráf konvexitása, konkávsága, törései.

– kritikus pontok.

A pontok szimmetriája megmarad, és valószínűleg nem tévedünk.

Határozzuk meg a jeleket:


A függvény grafikonja konvex on és homorú tovább .

A szélsőséges időközönkénti konvexitás/konkavitás megerősítést nyert.

A grafikon minden kritikus pontján törés található. Keressük meg az inflexiós pontok ordinátáit, és ismét csökkentsük a számítások számát a függvény páratlanságával:

Ha a probléma megköveteli az f (x) = x 2 4 x 2 - 1 függvény teljes tanulmányozását a grafikonjának felépítésével, akkor ezt az elvet részletesen megvizsgáljuk.

Egy ilyen típusú probléma megoldásához az alapvető elemi függvények tulajdonságait és grafikonjait kell használni. A kutatási algoritmus a következő lépéseket tartalmazza:

A definíciós tartomány megtalálása

Mivel a kutatás a függvény definíciójának területén folyik, ezzel a lépéssel kell kezdeni.

1. példa

A megadott példa magában foglalja a nevező nulláinak megtalálását, hogy kizárjuk őket az ODZ-ből.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ennek eredményeként gyököket, logaritmusokat és így tovább kaphat. Ekkor az ODZ-ben a g (x) ≥ 0 egyenlőtlenséggel, a log a g (x) logaritmusra a g (x) > 0 egyenlőtlenséggel kereshető a g (x) 4 típusú páros fokú gyök.

Az ODZ határainak tanulmányozása és vertikális aszimptoták keresése

Függőleges aszimptoták vannak a függvény határain, amikor az ilyen pontokban az egyoldali határok végtelenek.

2. példa

Tekintsük például az x = ± 1 2 határpontokat.

Ezután tanulmányozni kell a függvényt, hogy megtaláljuk az egyoldalú határértéket. Ekkor azt kapjuk, hogy: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ez azt mutatja, hogy az egyoldali határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy az x = ± 1 2 egyenesek a gráf függőleges aszimptotái.

Egy függvény tanulmányozása, és hogy páros-e vagy páratlan

Ha az y (- x) = y (x) feltétel teljesül, a függvényt párosnak tekintjük. Ez arra utal, hogy a gráf szimmetrikusan helyezkedik el Oy-hez képest. Ha az y (- x) = - y (x) feltétel teljesül, a függvényt páratlannak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a szimmetria a koordináták origójához viszonyított. Ha legalább egy egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az általános forma függvényét kapjuk.

Az y (- x) = y (x) egyenlőség azt jelzi, hogy a függvény páros. Az építésnél figyelembe kell venni, hogy az Oy-hez képest szimmetria lesz.

Az egyenlőtlenség megoldására növekvő és csökkentési intervallumokat használunk f " (x) ≥ 0, illetve f " (x) ≤ 0 feltételekkel.

1. definíció

Helyhez kötött pontok- ezek azok a pontok, amelyek a derivált nullára fordítják.

Kritikus pontok- ezek olyan belső pontok a definíciós tartományból, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik.

A döntés meghozatalakor a következő megjegyzéseket kell figyelembe venni:

• az f " (x) > 0 alakú növekvő és csökkenő egyenlőtlenségek meglévő intervallumainál a kritikus pontok nem szerepelnek a megoldásban;
• azokat a pontokat, ahol a függvény véges derivált nélkül definiálunk, be kell venni a növekedés és a csökkenés intervallumába (például y = x 3, ahol az x = 0 pont definiálja a függvényt, a derivált ekkor végtelen pont, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 benne van a növekvő intervallumban);
• A nézeteltérések elkerülése érdekében az Oktatási Minisztérium által javasolt matematikai szakirodalom használata javasolt.

Kritikus pontok felvétele a növekedési és csökkenési intervallumokba, ha kielégítik a függvény definíciós tartományát.

2. definíció

Mert függvény növekedési és csökkenési intervallumainak meghatározásához meg kell találni:

• derivált;
• kritikus pontok;
• ossza fel a definíciós tartományt intervallumokra kritikus pontok segítségével;
• határozzuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokon, ahol + a növekedés és - a csökkenés.

3. példa

Keresse meg az f definíciós tartomány deriváltját " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Megoldás

A megoldáshoz szüksége van:

• stacionárius pontok keresése, ebben a példában x = 0;
• keresse meg a nevező nulláit, a példa a nulla értéket veszi fel x = ± 1 2-nél.

Pontokat helyezünk el a számtengelyen, hogy meghatározzuk az egyes intervallumok deriváltját. Ehhez elegendő bármely pontot kivenni az intervallumból, és elvégezni egy számítást. Ha az eredmény pozitív, akkor a + jelet ábrázoljuk a grafikonon, ami azt jelenti, hogy a függvény növekszik, a - pedig azt, hogy csökken.

Például f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ami azt jelenti, hogy a bal oldali első intervallumnak + jele van. Tekintsük a számegyenest.

Válasz:

• a függvény a - ∞ intervallumon növekszik; - 1 2 és (- 1 2 ; 0 ] ;
• az intervallum csökkenése [0; 1 2) és 1 2; + ∞ .

Az ábrán a + és - használatával a függvény pozitivitása és negativitása látható, a nyilak pedig csökkenést és növekedést jeleznek.

A függvény szélsőpontjai azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és amelyeken keresztül a derivált előjelet vált.

4. példa

Ha egy olyan példát tekintünk, ahol x = 0, akkor a benne szereplő függvény értéke f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Amikor a derivált előjele +-ról --ra változik, és áthalad az x = 0 ponton, akkor a (0; 0) koordinátákkal rendelkező pontot tekintjük a maximális pontnak. Amikor az előjel -ról +-ra változik, akkor minimális pontot kapunk.

A konvexitást és a konkávitást az f "" (x) ≥ 0 és f "" (x) ≤ 0 alakú egyenlőtlenségek megoldásával határozzuk meg. Ritkábban használják a homorúság helyett a konvexitás lefelé, a domborúság helyett a konvexitás felfelé nevet.

3. definíció

Mert a homorúság és a konvexitás intervallumainak meghatározása szükséges:

• keresse meg a második származékot;
• keresse meg a második derivált függvény nulláit;
• ossza fel a definíciós területet intervallumokra a megjelenő pontokkal;
• határozza meg az intervallum előjelét.

5. példa

Keresse meg a definíciós tartomány második deriváltját.

Megoldás

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Megtaláljuk a számláló és a nevező nulláit, ahol példánkban azt kapjuk, hogy az x nevező nullái = ± 1 2

Most meg kell ábrázolnia a pontokat a számegyenesen, és meg kell határoznia a második derivált előjelét minden intervallumból. Ezt értjük

Válasz:

• a függvény konvex a -1 2 intervallumból; 12;
• a függvény konkáv a - ∞ intervallumokból; - 1 2 és 1 2; + ∞ .

4. definíció

Inflexiós pont– ez egy x 0 alakú pont; f (x 0) . Ha van érintője a függvény grafikonjához, akkor amikor áthalad x 0-n, a függvény az ellenkező előjelét váltja.

Más szóval, ez egy olyan pont, amelyen a második derivált áthalad és előjelet vált, és magukban a pontokban egyenlő nullával, vagy nem létezik. Minden pontot a függvény tartományának tekintünk.

A példában jól látható volt, hogy nincsenek inflexiós pontok, mivel a második derivált az x = ± 1 2 pontokon áthaladva előjelet változtat. Ők viszont nem tartoznak a definíció hatálya alá.

Vízszintes és ferde aszimptoták keresése

Ha egy függvényt végtelenben definiálunk, akkor vízszintes és ferde aszimptotákat kell keresni.

5. definíció

Ferde aszimptoták Az y = k x + b egyenlet által adott egyenesekkel ábrázoljuk, ahol k = lim x → ∞ f (x) x és b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Ha k = 0 és b nem egyenlő a végtelennel, azt találjuk, hogy a ferde aszimptota lesz vízszintes.

Más szavakkal, az aszimptoták olyan egyenesek, amelyekhez egy függvény grafikonja a végtelenben közelít. Ez megkönnyíti a függvénygrafikonok gyors elkészítését.

Ha nincsenek aszimptoták, de a függvény mindkét végtelenben definiálva van, akkor ki kell számítani a függvény határát ezeken a végteleneken, hogy megértsük, hogyan fog viselkedni a függvény grafikonja.

6. példa

Tekintsük példaként azt

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

vízszintes aszimptota. Miután megvizsgálta a függvényt, megkezdheti a felépítését.

Függvény értékének kiszámítása köztes pontokban

A grafikon pontosabbá tétele érdekében ajánlatos több függvényértéket megtalálni a közbenső pontokon.

7. példa

Az általunk vizsgált példából meg kell találni a függvény értékeit az x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 pontokban. Mivel a függvény páros, azt kapjuk, hogy az értékek egybeesnek az ezekben a pontokban lévő értékekkel, azaz x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Írjuk és oldjuk meg:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

A függvény maximumának és minimumának, az inflexiós pontoknak és a köztes pontoknak a meghatározásához aszimptotákat kell konstruálni. A kényelmes kijelölés érdekében a növekvő, csökkenő, konvexitás és homorúság intervallumait rögzítjük. Nézzük az alábbi képet.

A megjelölt pontokon grafikonvonalakat kell húzni, amelyek segítségével a nyilak követésével közelíthetjük meg az aszimptotákat.

Ezzel a funkció teljes feltárása véget ért. Vannak olyan esetek, amikor néhány elemi függvényt készítenek, amelyekhez geometriai transzformációkat használnak.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A TheBat beépített SSL-tanúsítvány-adatbázisa egy ideje nem működik megfelelően (nem világos, hogy mi okból).

A bejegyzés ellenőrzésekor hibaüzenet jelenik meg:

Ismeretlen CA-tanúsítvány
A kiszolgáló nem mutatott be gyökértanúsítványt a munkamenetben, és a megfelelő gyökértanúsítvány nem található a címjegyzékben.
Ez a kapcsolat nem lehet titkos. Kérem
forduljon a szerver rendszergazdájához.

És a válaszok közül választhat – IGEN/NEM. És így minden alkalommal, amikor eltávolítja a leveleket.

Megoldás

Ebben az esetben az S/MIME és TLS implementációs szabványt Microsoft CryptoAPI-ra kell cserélni a TheBat beállításainál!

Mivel az összes fájlt egybe kellett egyesítenem, először az összes doc fájlt egyetlen pdf fájlba konvertáltam (az Acrobat programmal), majd egy online konverteren keresztül átvittem fb2-re. A fájlokat egyenként is konvertálhatja. A formátumok teljesen bármilyen (forrás) lehetnek - doc, jpg, és még egy zip archívum is!

Az oldal neve megfelel a lényegnek :) Online Photoshop.

Frissítés 2015. május

Találtam még egy szuper oldalt! Még kényelmesebb és funkcionálisabb egy teljesen egyedi kollázs létrehozásához! Ez a webhely http://www.fotor.com/ru/collage/. Élvezze egészsége érdekében. És én magam is használni fogom.

Életem során találkoztam az elektromos tűzhely javításának problémájával. Már sok mindent csináltam, sokat tanultam, de valahogy kevés közöm volt a csempéhez. Cserélni kellett az érintkezőket a szabályozókon és az égőkön. Felmerült a kérdés - hogyan lehet meghatározni az égő átmérőjét egy elektromos tűzhelyen?

A válasz egyszerűnek bizonyult. Nem kell semmit mérni, szemmel könnyen meghatározhatod, hogy milyen méretre van szükséged.

A legkisebb égő- ez 145 milliméter (14,5 centiméter)

Középső égő- ez 180 milliméter (18 centiméter).

És végül a legtöbb nagy égő- ez 225 milliméter (22,5 centiméter).

Elég, ha szemmel határozza meg a méretet, és megérti, milyen átmérőjű égőre van szüksége. Amikor ezt nem tudtam, aggódtam ezek miatt a méretek miatt, nem tudtam, hogyan kell mérni, melyik élen kell navigálni stb. Most okoskodtam :) Remélem neked is segítettem!

Életem során szembesültem egy ilyen problémával. Azt hiszem, nem én vagyok az egyetlen.