Irracionális függvények. Grafikus módszer irracionális egyenletek megoldására

Ez az oktatási anyag csak referenciaként szolgál, és számos témakörhöz kapcsolódik. A cikk áttekintést nyújt az alapvető elemi függvények grafikonjairól, és megvizsgálja a legfontosabb kérdést - hogyan készítsünk grafikont helyesen és GYORSAN. A felsőbb matematika tanulmányozása során az alapvető elemi függvények grafikonjainak ismerete nélkül nehéz lesz, ezért nagyon fontos megjegyezni, hogyan néznek ki egy parabola, hiperbola, szinusz, koszinusz stb. grafikonjai, és emlékezzünk néhányra. a függvények jelentéséről. Szó lesz a fő funkciók néhány tulajdonságáról is.

Nem tartom igényem az anyagok teljességét és tudományos alaposságát, a hangsúly elsősorban a gyakorlaton lesz – azon dolgokon, amelyekkel szó szerint minden lépésnél találkozunk, a felsőbb matematika bármely témájában. Táblázatok a bábokhoz? Mondhatná valaki.

Számos olvasói kérésnek köszönhetően kattintható tartalomjegyzék:

Ezen kívül van egy ultrarövid szinopszis is a témában
– sajátíts el 16 féle diagramot HAT oldal tanulmányozásával!

Komolyan, hat, még én is meglepődtem. Ez az összefoglaló továbbfejlesztett grafikát tartalmaz, és névleges díj ellenében érhető el; a demóverzió megtekinthető. Kényelmes a fájl kinyomtatása, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!

És mindjárt kezdjük is:

Hogyan készítsünk helyesen koordinátatengelyeket?

A gyakorlatban a teszteket a tanulók szinte mindig külön füzetben, négyzetbe sorakozva töltik ki. Miért van szükség kockás jelölésekre? Végül is a munka elvileg A4-es lapokon is elvégezhető. És a ketrec csak a rajzok kiváló minőségű és pontos tervezéséhez szükséges.

A függvénygráf bármely rajza koordinátatengelyekkel kezdődik.

A rajzok lehetnek kétdimenziósak vagy háromdimenziósak.

Nézzük először a kétdimenziós esetet Derékszögű derékszögű koordinátarendszer:

1) Rajzolj koordinátatengelyeket. A tengelyt ún x tengely , és a tengely az y tengely . Mindig megpróbáljuk lerajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilak sem hasonlíthatnak Carlo papa szakállára.

2) A tengelyeket nagy „X” és „Y” betűkkel írjuk alá. Ne felejtse el felcímkézni a tengelyeket.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén: rajzolj egy nullát és két egyest. Rajzkészítésnél a legkényelmesebb és leggyakrabban használt lépték: 1 egység = 2 cella (bal oldali rajz) - ha lehetséges, ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem fér fel a füzetlapra - ekkor csökkentjük a léptéket: 1 egység = 1 cella (jobb oldali rajz). Ritka, de előfordul, hogy a rajz léptékét még jobban csökkenteni (vagy növelni) kell

NINCS SZÜKSÉGES „géppisztolyra” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. A koordinátasík ugyanis nem Descartes emlékműve, és a diák sem galamb. Rakjuk nullaÉs két egység a tengelyek mentén. Néha ahelyett egységek, kényelmes más értékeket „megjelölni”, például „kettőt” az abszcissza tengelyen és „hármat” az ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg határozza meg a koordináta-rácsot is.

Jobb, ha a rajz becsült méreteit a rajz elkészítése előtt megbecsüljük. Így például, ha a feladathoz olyan háromszöget kell rajzolni, amelynek csúcsai , , , akkor teljesen egyértelmű, hogy a népszerű 1 egység = 2 cella skála nem fog működni. Miért? Nézzük a lényeget - itt tizenöt centimétert kell lefelé mérnie, és nyilvánvalóan a rajz nem fog (vagy alig fér el) egy notebook lapon. Ezért azonnal kisebb léptéket választunk: 1 egység = 1 cella.

Apropó, centiméterekről és notebook cellákról. Igaz, hogy 30 notebook cella 15 centimétert tartalmaz? A szórakozás kedvéért mérj le 15 centimétert a füzetedben egy vonalzóval. A Szovjetunióban ez igaz lehetett... Érdekes megjegyezni, hogy ha ezeket a centimétereket vízszintesen és függőlegesen méred, akkor az eredmény (a cellákban) más lesz! Szigorúan véve a modern notebookok nem kockásak, hanem téglalap alakúak. Ez hülyeségnek tűnhet, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel ilyen helyzetekben nagyon kényelmetlen. Hogy őszinte legyek, ilyen pillanatokban az ember elkezd gondolkodni Sztálin elvtárs helyességén, akit gyártási munkák miatt táborokba küldtek, nem is beszélve a hazai autóiparról, a zuhanó repülőgépekről vagy a felrobbanó erőművekről.

Ha már a minőségről beszélünk, vagy egy rövid ajánlás az írószerekkel kapcsolatban. Ma a legtöbb eladó notebook enyhén szólva is teljes baromság. Azért, mert beáznak, és nem csak zselés tolltól, hanem golyóstollal is! Pénzt takarítanak meg papíron. A tesztek elvégzéséhez javaslom az Arhangelszki Pép- és Papírgyár (18 lap, négyzet) vagy a „Pyaterochka” notebookok használatát, bár drágábbak. Célszerű zselés tollat ​​választani, a legolcsóbb kínai zselés utántöltő is sokkal jobb, mint a golyóstoll, ami vagy elkenődik, vagy elszakítja a papírt. Az egyetlen „versenyképes” golyóstoll, amire emlékszem, az Erich Krause. Világosan, szépen és következetesen ír – akár teli maggal, akár csaknem üresen.

Továbbá: A téglalap alakú koordinátarendszer látásmódja az analitikus geometria szemével a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja, a koordinátanegyedekről részletes információ a lecke második bekezdésében található Lineáris egyenlőtlenségek.

3D tok

Itt is majdnem ugyanaz.

1) Rajzolj koordinátatengelyeket. Alapértelmezett: tengelyt alkalmazni – felfelé, tengely – jobbra, tengely – lefelé balra irányított szigorúan 45 fokos szögben.

2) Jelölje fel a tengelyeket.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén. A tengely menti skála kétszer kisebb, mint a többi tengely mentén. Azt is vegye figyelembe, hogy a jobb oldali rajzon egy nem szabványos "bevágást" használtam a tengely mentén (erről a lehetőségről fentebb már volt szó). Az én szempontomból ez pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb - nem kell mikroszkóp alatt keresni a cella közepét, és a koordináták origójához közeli egységet „faragni”.

3D rajz készítésekor ismételten adjon elsőbbséget a méretaránynak
1 egység = 2 cella (bal oldali rajz).

Mire szolgálnak ezek a szabályok? A szabályok azért vannak, hogy megszegjük őket. Most ezt fogom tenni. A helyzet az, hogy a cikk későbbi rajzait én készítem el Excelben, és a koordináta tengelyei a helyes tervezés szempontjából helytelennek tűnnek. Az összes grafikont meg tudtam rajzolni kézzel, de valójában félelmetes megrajzolni őket, mivel az Excel nem szívesen rajzolja meg őket sokkal pontosabban.

Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai

Egy lineáris függvényt az egyenlet ad meg. A lineáris függvények grafikonja az közvetlen. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pontot ismerni.

1. példa

Szerkessze meg a függvény grafikonját. Keressünk két pontot. A pontok közül előnyös a nullát választani.

Ha akkor

Vegyünk egy másik pontot, például az 1.

Ha akkor

A feladatok elvégzésekor a pontok koordinátáit általában táblázatban foglaljuk össze:

Magukat az értékeket pedig szóban vagy vázlaton, számológépen számítják ki.

Két pontot találtunk, készítsünk rajzot:

A rajz elkészítésekor mindig aláírjuk a grafikát.

Hasznos lenne felidézni egy lineáris függvény speciális eseteit:

Figyeld meg, hogyan helyeztem el az aláírásokat, az aláírások nem engedhetnek eltéréseket a rajz tanulmányozása során. Ebben az esetben rendkívül nem volt kívánatos, hogy a vonalak metszéspontja mellé, vagy a jobb alsó sarokban a grafikonok közé aláírást helyezzenek el.

1) A () alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például, . Az egyenes arányossági gráf mindig az origón halad át. Így az egyenes építése leegyszerűsödik - elég csak egy pontot találni.

2) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja azonnal, pont keresése nélkül jelenik meg. Vagyis a bejegyzést a következőképpen kell érteni: „az y mindig egyenlő –4-gyel, bármely x érték esetén.”

3) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonját is azonnal ábrázoljuk. A bejegyzést a következőképpen kell érteni: „x mindig, y bármely értéke esetén egyenlő 1-gyel.”

Egyesek azt kérdezik, miért emlékeznek a 6. osztályra?! Ez így van, lehet, hogy így van, de a gyakorlati évek során jó tucat diákkal találkoztam, akik értetlenül álltak a feladat előtt, hogy olyan gráfot készítsenek, mint pl.

A rajzok készítésekor az egyenes vonal felépítése a leggyakoribb művelet.

Az egyenest az analitikus geometria során részletesen tárgyaljuk, az érdeklődők a cikkre hivatkozhatnak Egy síkon lévő egyenes egyenlete.

Másodfokú, köbfüggvény grafikonja, polinom gráfja

Parabola. Másodfokú függvény grafikonja () egy parabola. Tekintsük a híres esetet:

Emlékezzünk vissza a függvény néhány tulajdonságára.

Tehát az egyenletünk megoldása: – ezen a ponton található a parabola csúcsa. Hogy miért van ez így, azt a deriváltról szóló elméleti cikkben és a függvény szélsőségeiről szóló leckében találjuk meg. Addig is számítsuk ki a megfelelő „Y” értéket:

Így a csúcs a pontban van

Most más pontokat találunk, miközben pimaszul a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció – nem egyenletes, de ennek ellenére senki sem törölte a parabola szimmetriáját.

Azt hiszem, a döntő táblázatból kiderül, hogy milyen sorrendben találjuk meg a maradék pontokat:

Ezt az építési algoritmust átvitt értelemben nevezhetjük „shuttle”-nek vagy „oda-vissza” elvnek Anfisa Chekhova-val.

Készítsük el a rajzot:

A vizsgált grafikonokból egy másik hasznos funkció is eszembe jut:

Másodfokú függvényhez () a következő igaz:

Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.

Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

A görbével kapcsolatos alapos ismeretek a Hiperbola és parabola leckében szerezhetők be.

A függvény egy köbös parabolát ad meg. Íme egy iskolából ismerős rajz:

Soroljuk fel a függvény főbb tulajdonságait

Egy függvény grafikonja

A parabola egyik ágát képviseli. Készítsük el a rajzot:

A funkció főbb tulajdonságai:

Ebben az esetben a tengely az függőleges aszimptota helyen lévő hiperbola gráfjához.

NAGY hiba lenne, ha egy rajz elkészítésekor hanyagul megengedné, hogy a gráf metszen egy aszimptotát.

Az egyoldalú határértékek is azt mondják, hogy a hiperbola felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

Vizsgáljuk meg a függvényt a végtelenben: , azaz ha elkezdünk a tengely mentén balra (vagy jobbra) a végtelenbe haladni, akkor a „játékok” egy rendezett lépés lesz. végtelenül közel nullához közelít, és ennek megfelelően a hiperbola ágai végtelenül közel közelítse meg a tengelyt.

Tehát a tengely az vízszintes aszimptota egy függvény grafikonjára, ha „x” a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik.

A funkció az páratlan, és ezért a hiperbola szimmetrikus az origóra. Ez a tény nyilvánvaló a rajzból, ráadásul analitikusan is könnyen ellenőrizhető: .

A () alakú függvény grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.

Ha , akkor a hiperbola az első és a harmadik koordinátanegyedben található(lásd a fenti képet).

Ha , akkor a hiperbola a második és a negyedik koordinátanegyedben található.

A hiperbola-rezidencia jelzett mintája könnyen elemezhető a gráfok geometriai transzformációi szempontjából.

3. példa

Szerkessze meg a hiperbola jobb oldali ágát!

Pontos szerkesztési módszert alkalmazunk, és célszerű úgy kiválasztani az értékeket, hogy azok egy egésszel oszthatók legyenek:

Készítsük el a rajzot:

Nem lesz nehéz megszerkeszteni a hiperbola bal ágát, itt a függvény páratlansága segít. Nagyjából elmondható, hogy a pontszerű felépítés táblázatában gondolatban minden számhoz hozzáadunk egy mínuszt, feltesszük a megfelelő pontokat, és megrajzoljuk a második ágat.

A vizsgált vonalról részletes geometriai információk találhatók a Hiperbola és parabola cikkben.

Egy exponenciális függvény grafikonja

Ebben a részben rögtön az exponenciális függvényre térek ki, hiszen a felsőbb matematikai feladatokban az esetek 95%-ában az exponenciális jelenik meg.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy ez egy irracionális szám: , ez szükséges lesz egy gráf összeállításánál, amit valójában ceremónia nélkül fogok megépíteni. Három pont valószínűleg elég:

A függvény grafikonját egyelőre hagyjuk békén, erről majd később.

A funkció főbb tulajdonságai:

A függvénygrafikonok stb. alapvetően ugyanúgy néznek ki.

Azt kell mondanom, hogy a második eset ritkábban fordul elő a gyakorlatban, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam, hogy ebbe a cikkbe belefoglaljam.

Egy logaritmikus függvény grafikonja

Tekintsünk egy természetes logaritmusú függvényt.
Készítsünk egy pontonkénti rajzot:

Ha elfelejtette, mi az a logaritmus, olvassa el iskolai tankönyveit.

A funkció főbb tulajdonságai:

Tartomány:

Értéktartomány: .

A funkció felülről nincs korlátozva: , ha lassan is, de a logaritmus ága felmegy a végtelenbe.
Vizsgáljuk meg a jobb oldali nullához közeli függvény viselkedését: . Tehát a tengely az függőleges aszimptota mert egy függvény grafikonja „x”-ként jobbról nullára hajlik.

Feltétlenül ismerni és emlékezni kell a logaritmus tipikus értékére: .

Elvileg a bázishoz viszonyított logaritmus grafikonja ugyanúgy néz ki: , , (tizedes logaritmus 10-hez) stb. Ráadásul minél nagyobb az alap, annál laposabb lesz a grafikon.

Nem foglalkozunk az esettel; nem emlékszem, mikor építettem utoljára ilyen alapon grafikont. És úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai feladatokban.

A bekezdés végén elmondok még egy tényt: Exponenciális függvény és logaritmikus függvény– ez két kölcsönösen inverz függvény. Ha alaposan megnézi a logaritmus grafikonját, láthatja, hogy ez ugyanaz a kitevő, csak egy kicsit másképp helyezkedik el.

Trigonometrikus függvények grafikonjai

Hol kezdődik a trigonometrikus gyötrelem az iskolában? Jobb. Szinuszból

Ábrázoljuk a függvényt

Ezt a vonalat hívják szinuszos.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a „pi” egy irracionális szám: , és a trigonometriában elkápráztatja a szemét.

A funkció főbb tulajdonságai:

Ez a funkció az időszakos időszakkal. Mit jelent? Nézzük a szegmenst. Tőle balra és jobbra a grafikon pontosan ugyanaz a darabja ismétlődik a végtelenségig.

Tartomány: , azaz bármely „x” értékhez van szinuszérték.

Értéktartomány: . A funkció az korlátozott: , vagyis az összes „játékos” szigorúan a szegmensben ül.
Ez nem történik meg: pontosabban megtörténik, de ezeknek az egyenleteknek nincs megoldásuk.

„Függvénygrafikonok átalakítása” - Nyújtás. Szimmetria. Erősítse meg a függvénygráfok felépítését elemi függvények gráfjainak transzformációival. Összetett függvények grafikonjainak ábrázolása. Önálló munkavégzés 1. lehetőség 2. lehetőség. Párhuzamos átvitel. Párosítsd az egyes grafikonokat egy függvénnyel! Függvénygráfok transzformációja. Nézzünk példákat az átalakításokra, és magyarázzuk el az egyes transzformációk típusait.

„Irracionális egyenlet” - Algoritmus egyenletek megoldására. Az ésszerűtlen számok története. Az egyenlet megoldásának melyik lépése vezet többletgyökök megjelenéséhez. "lecke-vita". Találd meg a hibát. Bevezetés. "Egyenletek és tételek segítségével sok különböző problémát megoldottam." Az órák alatt. Egy vitában elfogadhatatlan az osztálytársaival szembeni sértés, szemrehányás és ellenségeskedés.

„Függvény grafikonja” - Ha egy lineáris függvényt egy y = khx alakú képlettel adunk meg, azaz b = 0, akkor azt egyenes arányosságnak nevezzük. Ha egy lineáris függvényt az y = b képlettel adunk meg, azaz k = 0, akkor a grafikonja az OX tengellyel párhuzamos koordinátákkal (b; 0) halad át. Funkció. A lineáris függvény az y = kx + b képlettel megadható függvény, ahol x a független változó, k és b néhány szám.

Hogyan rajzoljunk lineáris függvényt? - Az y értéke, amelynél x=3. A fedett anyag megerősítése. Módszertani téma. Szerkessze meg az y=-3x+6 lineáris függvény grafikonját. - Határozza meg ennek a függvénynek a tulajdonságait. Ellenőrzés: Diák a táblánál. Funkciók tanulmányozása. Írásban igazolással. Az iskolai tanterv keretein belül.

„Y X függvény grafikonja” – 1. példa. Készítsük el az y=(x - 2)2 függvény grafikonját az y=x2 függvény grafikonja alapján (egérkattintás). A grafikonok megtekintéséhez kattintson az egérrel. 2. példa Építsük meg az y = x2 + 1 függvény grafikonját az y=x2 függvény grafikonja alapján (egérkattintás). Parabola minta y = x2. Az y=(x - m)2 függvény grafikonja egy parabola, amelynek csúcsa az (m; 0) pontban van.

„Irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek” - Megoldási módszerek. 3. Segédváltozók bevezetése. 1. Hatványozás. Irracionális egyenletek Megoldási módszerek. Irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek. 2. Szorzás a konjugált kifejezéssel. 4. Egy teljes négyzet kiválasztása a gyökjel alatt. 6. Grafikus módszer. Irracionális egyenlőtlenségek.

Tudás alapvető elemi függvények, tulajdonságaik és grafikonjai nem kevésbé fontos, mint a szorzótáblák ismerete. Olyanok, mint az alap, minden rájuk épül, minden belőlük épül fel, és minden náluk jön le.

Ebben a cikkben felsoroljuk az összes fő elemi függvényt, megadjuk grafikonjaikat, és következtetések és bizonyítékok nélkül megadjuk alapvető elemi függvények tulajdonságai séma szerint:

• függvény viselkedése a definíciós tartomány határain, vertikális aszimptoták (szükség esetén lásd a függvény diszkontinuitási pontjainak osztályozását);
• páros és páratlan;
• konvexitás (konvexitás felfelé) és konvexitás (konvexitás lefelé) intervallumai, inflexiós pontok (ha szükséges, lásd a függvény konvexitása, a konvexitás iránya, az inflexiós pontok, a konvexitás és az inflexió feltételeit);
• ferde és vízszintes aszimptoták;
• függvények szinguláris pontjai;
• egyes függvények speciális tulajdonságai (például a trigonometrikus függvények legkisebb pozitív periódusa).

Ha érdekli a vagy, akkor ugorjon az elmélet ezen részeire.

Alapvető elemi funkciók a következők: állandó függvény (konstans), n-edik gyök, hatványfüggvény, exponenciális, logaritmikus függvény, trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvény.

Oldalnavigáció.

Állandó funkció.

Egy állandó függvényt az összes valós szám halmazán a képlet határoz meg, ahol C valamilyen valós szám. Egy konstans függvény az x független változó minden valós értékét az y függő változó azonos értékéhez - a C értékhez - társítja. Az állandó függvényt konstansnak is nevezik.

Egy konstans függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos, a (0,C) koordinátájú ponton áthaladó egyenes. Példaként bemutatjuk az y=5, y=-2 és konstans függvények grafikonjait, amelyek az alábbi ábrán a fekete, piros és kék vonalaknak felelnek meg.

Egy állandó függvény tulajdonságai.

• Domain: a valós számok teljes halmaza.
• Az állandó függvény páros.
• Értéktartomány: a C egyes számból álló halmaz.
• Az állandó függvény nem növekvő és nem csökkenő (ezért állandó).
• Nincs értelme konvexitásról és konkávságról beszélni.
• Nincsenek aszimptoták.
• A függvény áthalad a koordinátasík (0,C) pontján.

n-edik fok gyökere.

Tekintsük az alapvető elemi függvényt, amelyet a képlet ad meg, ahol n egynél nagyobb természetes szám.

Az n-edik fokú gyöke, n páros szám.

Kezdjük az n-edik gyökérfüggvénnyel az n gyökérkitevő páros értékeihez.

Példaként álljon itt egy kép a függvénygrafikonok képeivel és , ezek fekete, piros és kék vonalaknak felelnek meg.

A páros fokú gyökfüggvények grafikonjai hasonló megjelenésűek a kitevő más értékeinél.

Az n-edik gyökfüggvény tulajdonságai páros n-re.

Az n-edik gyök, n páratlan szám.

A páratlan n gyökkitevőjű n-edik gyökfüggvény a valós számok teljes halmazán definiálva van. Például itt vannak a függvénygrafikonok és , ezek a fekete, piros és kék görbéknek felelnek meg.

A gyökkitevő más páratlan értékei esetén a függvénygrafikonok hasonló megjelenésűek lesznek.

Az n-edik gyökfüggvény tulajdonságai páratlan n-re.

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvényt az alak képlete adja meg.

Tekintsük a hatványfüggvény grafikonjainak alakját és a hatványfüggvény tulajdonságait a kitevő értékétől függően.

Kezdjük egy hatványfüggvénnyel, amelynek egész kitevője a. Ebben az esetben a hatványfüggvények grafikonjainak megjelenése és a függvények tulajdonságai függenek a kitevő páratlanságától vagy páratlanságától, valamint az előjelétől. Ezért először a hatványfüggvényeket az a kitevő páratlan pozitív értékeire, majd a páros pozitív kitevőkre, majd a páratlan negatív kitevőkre és végül a páros negatív a kitevőkre tekintjük.

A tört és irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságai (valamint az ilyen hatványfüggvények grafikonjainak típusa) az a kitevő értékétől függenek. Először a nullától egyig terjedő értékre, másodszor egynél nagyobb értékre, harmadszor a mínusz egytől nullára, negyedszer pedig mínusz egynél kisebbre fogjuk tekinteni.

A rész végén a teljesség kedvéért egy nulla kitevővel rendelkező hatványfüggvényt írunk le.

Hatványfüggvény páratlan pozitív kitevővel.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt páratlan pozitív kitevővel, azaz a = 1,3,5,....

Az alábbi ábra a hatványfüggvények grafikonját mutatja – fekete vonal, – kék vonal, – piros vonal, – zöld vonal. Az a=1-re van lineáris függvény y=x.

Páratlan pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páros pozitív kitevővel.

Tekintsünk páros pozitív kitevőjű hatványfüggvényt, azaz a = 2,4,6,... esetén.

Példaként adjuk meg a hatványfüggvények grafikonjait – fekete vonal, – kék vonal, – piros vonal. A=2-re van egy másodfokú függvényünk, melynek grafikonja a másodfokú parabola.

Páros pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páratlan negatív kitevővel.

Nézze meg a hatványfüggvény grafikonjait a kitevő páratlan negatív értékeire, azaz a = -1, -3, -5,...

Az ábrán példaként a hatványfüggvények grafikonjai láthatók - fekete vonal, - kék vonal, - piros vonal, - zöld vonal. A=-1-re van fordított arányosság, melynek grafikonja hiperbola.

Páratlan negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páros negatív kitevővel.

Térjünk át az a=-2,-4,-6,… hatványfüggvényére.

Az ábrán a hatványfüggvények grafikonjai láthatók – fekete vonal, – kék vonal, – piros vonal.

Páros negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Racionális vagy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvény, amelynek értéke nagyobb, mint nulla és kisebb, mint egy.

Jegyzet! Ha a páratlan nevezőjű pozitív tört, akkor egyes szerzők a hatványfüggvény definíciós tartományának tekintik az intervallumot. Előírják, hogy az a kitevő egy irreducibilis tört. Most az algebráról és az elemzési elvekről szóló számos tankönyv szerzői NEM DEFINÍCIÓK A hatványfüggvényeket kitevővel az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjével rendelkező tört formájában. Pontosan ehhez a nézethez fogunk ragaszkodni, vagyis a halmazt a tört pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvények definíciós tartományának fogjuk tekinteni. Javasoljuk, hogy a nézeteltérések elkerülése érdekében a tanulók tájékozódjanak tanára véleményéről ebben a finom kérdésben.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt, amelynek racionális vagy irracionális kitevője a, és .

Mutassuk be a hatványfüggvények grafikonját a=11/12 (fekete vonal), a=5/7 (piros vonal), (kék vonal), a=2/5 (zöld vonal) esetén.

Hatványfüggvény egynél nagyobb nem egész racionális vagy irracionális kitevővel.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt, amelynek nem egész racionális vagy irracionális kitevője a, és .

Mutassuk be a képletekkel megadott hatványfüggvények grafikonjait (fekete, piros, kék és zöld vonalak).

Az a kitevő más értékeinél a függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

A hatványfüggvény tulajdonságai itt: .

Hatványfüggvény, amelynek valós kitevője nagyobb, mint mínusz egy és kisebb, mint nulla.

Jegyzet! Ha a negatív tört páratlan nevezővel, akkor egyes szerzők a hatványfüggvény definíciós tartományát az intervallumnak tekintik. . Előírják, hogy az a kitevő egy irreducibilis tört. Most az algebráról és az elemzési elvekről szóló számos tankönyv szerzői NEM DEFINÍCIÓK A hatványfüggvényeket kitevővel az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjével rendelkező tört formájában. Pontosan ehhez a nézethez fogunk ragaszkodni, azaz a tört tört negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények definíciós tartományait halmaznak fogjuk, ill. Javasoljuk, hogy a nézeteltérések elkerülése érdekében a tanulók tájékozódjanak tanára véleményéről ebben a finom kérdésben.

Térjünk át a hatványfüggvényre, isten.

Ahhoz, hogy jó elképzelésünk legyen a hatványfüggvények grafikonjairól, példákat adunk a függvények grafikonjaira (fekete, piros, kék és zöld görbék).

Az a, kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény, amelynek nem egész valós kitevője kisebb, mint mínusz egy.

Adjunk példákat a hatványfüggvények grafikonjaira , fekete, piros, kék és zöld vonalak ábrázolják őket.

Egy mínusz egynél kisebb negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Ha a = 0, akkor van egy függvényünk - ez egy egyenes, amelyből a (0;1) pont ki van zárva (megegyeztünk, hogy a 0 0 kifejezésnek semmilyen jelentőséget nem tulajdonítunk).

Exponenciális függvény.

Az egyik fő elemi függvény az exponenciális függvény.

Az exponenciális függvény grafikonja, ahol és az a bázis értékétől függően különböző formákat ölt. Találjuk ki ezt.

Először nézzük meg azt az esetet, amikor az exponenciális függvény bázisa nulláról egyre vesz fel értéket, azaz .

Példaként bemutatjuk az exponenciális függvény grafikonjait a = 1/2 – kék vonal, a = 5/6 – piros vonal esetén. Az exponenciális függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek az intervallumból származó bázis többi értékénél.

Egynél kisebb bázisú exponenciális függvény tulajdonságai.

Térjünk át arra az esetre, amikor az exponenciális függvény bázisa nagyobb egynél, azaz .

Szemléltetésképpen bemutatjuk az exponenciális függvények grafikonját - kék vonal és - piros vonal. Az egynél nagyobb alapértékek esetén az exponenciális függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

Egynél nagyobb bázisú exponenciális függvény tulajdonságai.

Logaritmikus függvény.

A következő alapvető elemi függvény a logaritmikus függvény, ahol , . A logaritmikus függvény csak az argumentum pozitív értékeihez van definiálva, vagyis a .

A logaritmikus függvény grafikonja az a bázis értékétől függően különböző formákat ölt.

Ebben a cikkben röviden összefoglaljuk azokat az információkat, amelyek egy olyan fontos matematikai fogalomra vonatkoznak, mint a függvény. Megbeszéljük, mi az numerikus függvényés akkor tudnia kell és tudnia kell kutatni.

Mi történt numerikus függvény? Legyen két numerikus halmazunk: X és Y, és ezek között van egy bizonyos kapcsolat. Vagyis az X halmazból egy bizonyos szabály szerint minden x elem hozzá van rendelve egyetlen elem y az Y halmazból.

Fontos, hogy Az X halmaz minden x eleme egy és csak egy y elemnek felel meg az Y halmazból.

Azt a szabályt, amellyel az X halmaz minden elemét az Y halmaz egyetlen eleméhez társítjuk, numerikus függvénynek nevezzük.

Az X halmazt hívjuk a függvény meghatározásának tartománya.

Az Y halmazt nevezzük függvényértékek halmaza.

Egyenlőséget hívnak függvényegyenlet. Ebben az egyenletben - független változó vagy függvény argumentum. - függő változó.

Ha vesszük az összes párt és hozzárendeljük a megfelelő pontokat a koordinátasíkon, akkor azt kapjuk függvénygrafikon. A függvénygráf az X és Y halmazok közötti kapcsolat grafikus ábrázolása.

Funkció tulajdonságai a függvény grafikonját megnézve, és fordítva, megvizsgálva határozhatjuk meg megrajzolhatjuk.

A függvények alapvető tulajdonságai.

1. A függvény tartománya.

A D(y) függvény tartománya az x argumentum összes megengedett értékének halmaza (független x változó), amelyre a függvényegyenlet jobb oldalán lévő kifejezésnek van értelme. Más szóval, ezek kifejezések.

Nak nek A függvény grafikonja segítségével keresse meg a definíciós tartományát, n már, költözni balról jobbra az OX tengely mentén, írja le az összes olyan x érték intervallumot, amelyen a függvénygrafikon létezik.

2. Függvényértékek halmaza.

Az E(y) függvény értékkészlete az összes érték halmaza, amelyet az y függő változó felvehet.

Nak nek a függvény grafikonja szerintértékkészletének megtalálásához alulról felfelé kell haladnia az OY tengely mentén, és fel kell írnia az y értékek összes intervallumát, amelyen a függvénygrafikon létezik.

3. Funkció nullák.

Funkció nullák - Ezek az x argumentum azon értékei, amelyeknél az (y) függvény értéke nulla.

Egy függvény nulláinak megtalálásához meg kell oldani az egyenletet. Ennek az egyenletnek a gyökerei a függvény nullái lesznek.

Ahhoz, hogy egy függvény nulláit a grafikonjáról megtaláljuk, meg kell találnunk a gráf metszéspontjait az OX tengellyel. A metszéspontok abszcisszán a függvény nullái lesznek.

4. Egy függvény állandó előjelének intervallumai.

Egy függvény konstans előjelének intervallumai az argumentumértékek azon intervallumai, amelyeken át a függvény megtartja előjelét, azaz vagy.

Megtalálni , meg kell oldania az egyenlőtlenségeket és.

Megtalálni függvény állandó előjelének intervallumaiütemezése szerint szükséges

5. Egy függvény monotonitásának intervallumai.

Egy függvény monotonitási intervallumai az x argumentum azon értékintervallumai, amelyeknél a függvény növekszik vagy csökken.

Azt mondjuk, hogy egy függvény növekszik az I intervallumon, ha az argumentum I intervallumhoz tartozó bármely két értékére úgy, hogy a következő összefüggés teljesül: .

Más szavakkal, egy függvény az I intervallumon növekszik, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke felel meg a függvény nagyobb értékének.

A függvény grafikonjából a növekvő függvény intervallumainak meghatározásához balról jobbra kell mozognia a függvény grafikonjának vonala mentén, hogy kiemelje az x argumentum értékeinek intervallumait, amelyeknél a grafikon felmegy.

Azt mondjuk, hogy egy függvény az I intervallumon csökken, ha az argumentum I intervallumhoz tartozó bármely két értékére úgy, hogy a következő összefüggés teljesül: .

Más szavakkal, egy függvény az I intervallumon csökken, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

A csökkenő függvény intervallumainak meghatározásához egy függvény grafikonjából, balról jobbra kell mozognia a függvény grafikonjának vonala mentén, hogy kiemelje az x argumentum értékeinek intervallumait, amelyeknél a grafikon lemegy.

6. A függvény maximum- és minimumpontja.

Egy pontot akkor nevezünk egy függvény maximumpontjának, ha van a pontnak olyan I környéke, hogy ebből a szomszédságból bármely x pontra teljesül a reláció:

.

Grafikusan ez azt jelenti, hogy az x_0 abszcisszával rendelkező pont az y=f(x) függvény gráfjának I szomszédságából származó többi pont felett helyezkedik el.

Egy pontot akkor nevezünk egy függvény minimumpontjának, ha van a pontnak olyan I környéke, hogy ebből a szomszédságból bármely x pontra teljesül a reláció:

Grafikusan ez azt jelenti, hogy az abszcisszájú pont a függvény I grafikonjának szomszédságában lévő többi pont alatt van.

Egy függvény maximum és minimum pontját általában úgy találjuk meg, hogy a függvényt deriváltja segítségével vizsgáljuk.

7. Páros (páratlan) függvény.

Egy függvény akkor is meghívódik, ha két feltétel teljesül:

Más szavakkal, A páros függvény definíciós tartománya szimmetrikus az origóra.

b) A függvény definíciós tartományába tartozó x argumentum bármely értékére az összefüggés teljesül .

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha két feltétel teljesül:

a) A függvény tartományába tartozó argumentum bármely értékére a függvény tartományába is tartozik.