Az y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja. y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik - Tudáshipermarket Az y függvény grafikonja egyenlő szinusz x-szel

"Yoshkar-Ola Szolgáltatástechnológiai Főiskola"

Az y=sinx trigonometrikus függvény grafikonjának felépítése és tanulmányozása táblázatbanKISASSZONY Excel

/módszertani fejlesztés/

Yoshkar – Ola

Tantárgy. Trigonometrikus függvény grafikonjának felépítése és tanulmányozásay = sinx MS Excel táblázatban

Az óra típusa- integrált (új ismeretek megszerzése)

Célok:

Didaktikai cél - a trigonometrikus függvénygráfok viselkedésének feltárásay= sinxaz esélyektől függően számítógép használatával

Nevelési:

1. Határozza meg a változást egy trigonometrikus függvény grafikonjában! y= bűn x az esélyektől függően

2. Mutassa be a számítástechnika bevezetését a matematika tanításában, két tantárgy integrálását: algebra és számítástechnika!

3. Fejleszteni kell a számítástechnika matematika órákon való használatának készségeit

4. A függvénytanulmányozás és grafikonok készítésének készségeinek erősítése

Nevelési:

1. Fejleszteni kell a tanulók kognitív érdeklődését az akadémiai tudományok iránt és tudásukat gyakorlati helyzetekben alkalmazni.

2. Fejleszteni kell az elemzés, összehasonlítás, a legfontosabb kiemelés képességét

3. Hozzájárulni a tanulók általános fejlődési szintjének javításához

Nevelés :

1. Elősegíti a függetlenséget, a pontosságot és a kemény munkát

2. A párbeszéd kultúrájának előmozdítása

Munkaformák az órán - kombinált

Didaktikai létesítmények és felszerelések:

1. Számítógépek

2. Multimédiás projektor

4. Kiosztók

5. Bemutató diák

Az órák alatt

én. Az óra kezdetének megszervezése

· Diákok és vendégek köszöntése

· Hangulat a leckéhez

II. Célkitűzés és témamegvalósítás

Sok időbe telik egy függvény tanulmányozása és grafikonjának elkészítése, sok körülményes számítást kell végezni, nem kényelmes, a számítástechnika segít.

Ma megtanuljuk, hogyan készítsünk trigonometrikus függvények grafikonjait az MS Excel 2007 táblázatkezelő környezetében.

Óránk témája: „Trigonometrikus függvény grafikonjának megalkotása és tanulmányozása y= sinx asztali processzorban"

Az algebra tantárgyból ismerjük a függvény tanulmányozásának és gráfjának megszerkesztésének sémáját. Emlékezzünk, hogyan kell ezt csinálni.

2. dia

Funkcióvizsgálati séma

1. A függvény tartománya (D(f))

2. Az E(f) függvény tartománya

3. A paritás meghatározása

4. Gyakoriság

5. A függvény nullai (y=0)

6. Állandó előjel intervallumai (y>0, y<0)

7. Az egyhangúság időszakai

8. A függvény extrémje

III. Az új oktatási anyagok elsődleges asszimilációja

Nyissa meg az MS Excel 2007 programot.

Ábrázoljuk az y=sin függvényt x

Grafikonok készítése táblázatkezelőbenKISASSZONY Excel 2007

Ennek a függvénynek a grafikonját ábrázoljuk a szakaszon xЄ [-2π; 2π]

Az argumentumértékeket növekményekkel vesszük , hogy a grafikon pontosabb legyen.

Mivel a szerkesztő számokkal dolgozik, ennek tudatában alakítsuk át a radiánokat számokká P ≈ 3,14 . (fordítási táblázat a tájékoztatóban).

1. Keresse meg a függvény értékét a pontban! x=-2P. A többi esetben a szerkesztő automatikusan kiszámítja a megfelelő függvényértékeket.

2. Most van egy táblázatunk az argumentum és a függvény értékeivel. Ezekkel az adatokkal kell ábrázolnunk ezt a függvényt a Chart Wizard segítségével.

3. Grafikon felépítéséhez ki kell választani a szükséges adattartományt, sorokat argumentum- és függvényértékekkel

4..jpg" width="667" height="236 src=">

A következtetéseket leírjuk egy füzetbe (5. dia)

Következtetés. Az y=sinx+k formájú függvény grafikonját az y=sinx függvény grafikonjából kapjuk meg az op-erősítő tengelye mentén k egységnyi párhuzamos fordítással.

Ha k >0, akkor a grafikon k egységgel feljebb tolódik

Ha k<0, то график смещается вниз на k единиц

A forma függvényének felépítése és tanulmányozásay=k*sinx,k- const

2. feladat. Munkában 2. lap rajzolja meg a függvények grafikonjait egy koordinátarendszerben y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, a (-2π; 2π) intervallumon, és figyelje meg, hogyan változik a grafikon megjelenése.

(Annak érdekében, hogy ne állítsa be újra az argumentum értékét, másoljuk át a meglévő értékeket. Most be kell állítania a képletet, és a kapott táblázat segítségével grafikont kell készítenie.)

Összehasonlítjuk a kapott grafikonokat. Tanulókkal együtt elemezzük egy trigonometrikus függvény grafikonjának viselkedését az együtthatók függvényében. (6. dia)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , a (-2π; 2π) intervallumon, és figyelje meg, hogyan változik a grafikon megjelenése.

Összehasonlítjuk a kapott grafikonokat. Tanulókkal közösen elemezzük egy trigonometrikus függvény grafikonjának viselkedését az együtthatók függvényében. (8. dia)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

A következtetéseket leírjuk egy füzetbe (11. dia)

Következtetés. Az y=sin(x+k) alakú függvény grafikonját az y=sinx függvény grafikonjából kapjuk meg az OX tengely mentén k egységgel párhuzamos fordítással

Ha k >1, akkor a grafikon az OX tengely mentén jobbra tolódik

Ha 0

IV. A megszerzett tudás elsődleges megszilárdítása

Differenciált kártyák függvény grafikon segítségével történő felépítésére és tanulmányozására vonatkozó feladattal

V. Házi feladat szervezése

Rajzolja fel az y=-2*sinх+1 függvény grafikonját, vizsgálja meg és ellenőrizze a konstrukció helyességét Microsoft Excel táblázatkezelő környezetben. (12. dia)

VI. Visszaverődés

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás hatálya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Azok az időközök, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkciók:

13) Maximális pont:

14) Maximális funkciók:

Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára haladó szintű matematikával - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Vizsgafelkészítő oktatási portál ().

Hogyan ábrázoljuk az y=sin x függvényt? Először nézzük meg az intervallum szinuszgrafikonját.

Egyetlen 2 cella hosszúságú szegmenst veszünk fel a notebookban. Az Oy tengelyen jelölünk egyet.

A kényelem kedvéért a π/2 számot 1,5-re kerekítjük (és nem 1,6-ra, ahogy azt a kerekítési szabályok előírják). Ebben az esetben egy π/2 hosszúságú szegmens 3 cellának felel meg.

Az Ox tengelyen nem egyedi szegmenseket jelölünk, hanem π/2 hosszúságú szakaszokat (minden 3 cellában). Ennek megfelelően egy π hosszúságú szegmens 6 cellának, egy π/6 hosszúságú szegmens pedig 1 cellának felel meg.

Ezzel az egységszegmens kiválasztásával a füzetlapon egy dobozban ábrázolt grafikon a leginkább megegyezik az y=sin x függvény grafikonjával.

Készítsünk egy táblázatot az intervallum szinuszértékeiről:

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük:

Mivel y=sin x páratlan függvény, a szinuszgráf szimmetrikus az origóhoz - O(0;0) ponthoz. Ezt a tényt figyelembe véve folytatjuk a grafikon ábrázolását balra, majd a -π pontokat:

Az y=sin x függvény periodikus, T=2π periódussal. Ezért a [-π;π] intervallumon felvett függvény grafikonja végtelen számú alkalommal ismétlődik jobbra és balra.

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás hatálya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Azok az időközök, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkciók:

13) Maximális pont:

14) Maximális funkciók:

Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára haladó szintű matematikával - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Vizsgafelkészítő oktatási portál ().

Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékeket tartalmazó táblázatot kellene összeállítani y = sin x .

1. Oszd fel az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre A kör osztópontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2.A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk fel 8 egyenlő részre.

3. Rajzoljunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket! x, és az osztási pontokból merőlegeseket építünk, amíg nem metszik egymást vízszintes vonalakkal.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < x < π .
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).

Tengelypontok x abszcisszákkal π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a függvény grafikonját y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan paritásfüggvény y = sin x,

bűn(- x) = - bűn x,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y = sin x függvény 2π periódusú periodikus ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának elkészítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . A függvény grafikonját ábrázolja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amit korábban már bebizonyítottunk. Emlékezzünk vissza ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre meghatározva x , tehát a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az általa elfogadott összes érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Következésképpen ennek a függvénynek a változási tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π a függvény a legnagyobb 1-gyel egyenlő értékeket veszi fel, és x = - esetén π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinuszhullám szimmetrikus az origóra).

4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k-nél π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) függvényeket nulláknak nevezzük y = sin x

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az x bármely értékéhez

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = x.

Aztán bűn x= AC. De AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0-nál< x < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0

| bűn x| < | x | .

Végül, mikor x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodott. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | bűn x | < 1, a π / 2 > 1

Feladatok

1.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2.A függvénygrafikon szerint y = sin x határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. A függvény grafikonja szerint y = sin x határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2.

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").