Adott egy diszkrét valószínűségi változó eloszlása, keresse meg. A valószínűségi változók eloszlásának törvénye

x; jelentése F(5); annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x a szegmens értékeit veszi át. Készítsen eloszlási sokszöget.

1. Egy diszkrét valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye ismert x:

Állítsa be egy valószínűségi változó eloszlásának törvényét x táblázat formájában.

1. Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

1. 0,7 annak a valószínűsége, hogy az üzlet minőségi tanúsítvánnyal rendelkezik a teljes termékskála tekintetében. A bizottság négy környékbeli üzletben ellenőrizte a tanúsítványok elérhetőségét. Készítsen elosztási törvényt, számítsa ki azon üzletek számának matematikai elvárását és szórását, amelyekben az ellenőrzés során nem találtak minőségi tanúsítványt.

1. Az elektromos lámpák átlagos égési idejének meghatározásához egy 350 egyforma dobozból álló tételben minden dobozból egy-egy villanylámpát vettünk vizsgálatra. Becsülje meg alulról annak valószínűségét, hogy a kiválasztott villanylámpák átlagos égési időtartama abszolút értékben kevesebb mint 7 órával eltér a teljes tétel átlagos égési időtartamától, ha ismert, hogy az elektromos lámpák égési időtartamának szórása minden doboz kevesebb, mint 9 óra.

1. Egy telefonközpontban 0,002 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 500 kapcsolat között a következők fordulnak elő:

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x. Szerkesszünk függvénygráfokat és . Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, varianciáját, módusát és mediánját! x.

1. Egy automata gép hengereket gyárt. Úgy gondolják, hogy átmérőjük egy normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek átlagos értéke 10 mm. Mekkora a szórás, ha 0,99 valószínűséggel az átmérő 9,7 mm és 10,3 mm közötti tartományba esik.

A minta: 6 9 7 6 4 4

B minta: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

17. lehetőség.

1. A 35 részből 7 nem szabványos. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két véletlenszerűen vett rész szabványos lesz.

1. Három kockát dobnak. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az elejtett oldalakon lévő pontok összege 9 többszöröse.

1. A „KALAND” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki anélkül, hogy visszaküldenék. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a megjelenési sorrendben kivett betűk a következő szót alkotják: a) KALAND; b) FOGoly.

1. Egy urnában 6 fekete és 5 fehér golyó található. Véletlenszerűen 5 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:
1. 2 fehér golyó;
2. kevesebb, mint 2 fehér golyó;
3. legalább egy fekete golyót.

1. A egy tesztben 0,4. Keresse meg a következő események valószínűségét:
1. esemény A 7 független vizsgálatból álló sorozatban háromszor jelenik meg;
2. esemény A nem kevesebb, mint 220 és legfeljebb 235 alkalommal jelenik meg egy 400 próbasorozatban.

1. Az üzem 5000 jó minőségű terméket küldött a bázisra. Az egyes szállított termékek sérülésének valószínűsége 0,002. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legfeljebb 3 termék sérül meg az utazás során.

1. Az első urnában 4 fehér és 9 fekete, a másodikban 7 fehér és 3 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen 3, a második urnából 4 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kihúzott golyó azonos színű!

1. Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

Számítsa ki annak matematikai elvárását és szórását!

1. A dobozban 10 db ceruza található. Véletlenszerűen 4 ceruzát húzunk. Véletlenszerű érték x– a kiválasztottak közül a kék ceruzák száma. Keresse meg eloszlásának törvényét, a 2. és 3. rend kezdeti és központi momentumait!

1. A műszaki ellenőrzési osztály 475 terméket vizsgál meg hibásodás szempontjából. Annak a valószínűsége, hogy a termék hibás, 0,05. Keresse meg 0,95 valószínűséggel azokat a határokat, amelyeken belül a hibás termékek száma a tesztelt termékek között lesz.

1. Egy telefonközpontban 0,003 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 1000 kapcsolat között a következők fordulnak elő:
1. legalább 4 hibás csatlakozás;
2. kettőnél több hibás csatlakozás.

1. A valószínűségi változót az eloszlássűrűség függvény határozza meg:

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x. Szerkesszünk függvénygráfokat és . Számítsa ki az X valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását, módusát és mediánját!

1. A valószínűségi változót az eloszlásfüggvény határozza meg:

1. Minta alapján A oldja meg a következő problémákat:
1. variációs sorozat létrehozása;

· mintaátlag;

· minta szórása;

Módus és medián;

A minta: 0 0 2 2 1 4

1. számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· mintaátlag;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

B minta: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

18. lehetőség.

1. 10 sorsjegy közül 2 nyerő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy öt véletlenszerűen vett jegyből egy lesz a nyerő.

1. Három kockát dobnak. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a hengerelt pontok összege nagyobb, mint 15.

1. A „KERÜLET” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki anélkül, hogy visszaküldenék. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kivett betűk a következő szót alkotják: a) KERÜLET; b) MÉRŐ.

1. Egy urnában 5 fekete és 7 fehér golyó található. Véletlenszerűen 5 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:
1. 4 fehér golyó;
2. kevesebb, mint 2 fehér golyó;
3. legalább egy fekete golyót.

1. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egy kísérletben egyenlő 0,55-tel. Keresse meg a következő események valószínűségét:
1. esemény A 3 alkalommal jelenik meg egy 5 kihívásból álló sorozatban;
2. esemény A nem kevesebb, mint 130 és legfeljebb 200 alkalommal jelenik meg egy 300 próbasorozatban.

1. Egy konzervdoboz eltörésének valószínűsége 0,0005. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 2000 doboz közül kettő szivárog.

1. Az első urnában 4 fehér és 8 fekete, a másodikban 7 fehér és 4 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen két, a második urnából három golyót húznak ki véletlenszerűen. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összes kihúzott golyó azonos színű.

1. Az összeszerelésre érkező alkatrészek közül az első géptől 0,1%, a másodiktól 0,2%, a harmadiktól 0,25%, a negyediktől 0,5% hibás. A gép termelékenységi aránya 4:3:2:1. A véletlenszerűen vett rész szabványosnak bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az alkatrész az első gépen készült.

1. Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

Számítsa ki annak matematikai elvárását és szórását!

1. Egy villanyszerelőnek három izzója van, mindegyik 0,1-es valószínűséggel hibás.Az izzókat becsavarják a foglalatba, és bekapcsolják az áramot. Az áram bekapcsolásakor a hibás izzó azonnal kiég, és egy másikra cserélik. Keresse meg a vizsgált izzók számának eloszlási törvényét, matematikai elvárását és szórását!

1. A cél eltalálásának valószínűsége 900 független lövés mindegyikére 0,3. Csebisev-egyenlőtlenség segítségével becsülje meg annak valószínűségét, hogy a célpontot legalább 240-szer és legfeljebb 300-szor találják el.

1. Egy telefonközpontban 0,002 valószínűséggel hibás kapcsolat jön létre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 800 kapcsolat között a következők fordulnak elő:
1. legalább három hibás csatlakozás;
2. több mint négy hibás csatlakozás.

1. A valószínűségi változót az eloszlássűrűség függvény határozza meg:

Határozza meg az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Rajzolja meg az és függvények grafikonjait. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, varianciáját, módusát és mediánját! X.

1. A valószínűségi változót az eloszlásfüggvény határozza meg:

1. Minta alapján A oldja meg a következő problémákat:
1. variációs sorozat létrehozása;
2. relatív és halmozott frekvenciák kiszámítása;
3. empirikus eloszlásfüggvény összeállítása és ábrázolása;
4. számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· mintaátlag;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

A minta: 4 7 6 3 3 4

1. A B minta használatával oldja meg a következő problémákat:
1. csoportosított variációs sorozat létrehozása;
2. hisztogramot és frekvenciapoligont készíteni;
3. számítsa ki a variációs sorozat numerikus jellemzőit:

· mintaátlag;

· minta szórása;

standard minta eltérés;

· mód és medián;

B minta: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

19. lehetőség.

1. A telephelyen 16 nő és 5 férfi dolgozik. 3 személyt véletlenszerűen választottak ki a személyi számuk alapján. Határozza meg annak valószínűségét, hogy minden kiválasztott ember férfi lesz.

2. Négy érmét dobunk fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy csak két érmén lesz „címer”.

3. A „PSZICHOLÓGIA” szó kártyákból áll, amelyek mindegyikére egy betű van írva. A kártyákat megkeverik és egyenként veszik ki anélkül, hogy visszaküldenék. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kivett betűk egy szót alkotnak: a) PSZICHOLÓGIA; b) SZEMÉLYZET.

4. Az urnában 6 fekete és 7 fehér golyó található. Véletlenszerűen 5 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek között vannak:

a. 3 fehér golyó;

b. kevesebb mint 3 fehér golyó;

c. legalább egy fehér golyót.

5. Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége A egy kísérletben egyenlő 0,5-tel. Keresse meg a következő események valószínűségét:

a. esemény A 5 független vizsgálatból álló sorozatban háromszor jelenik meg;

b. esemény A legalább 30 és legfeljebb 40 alkalommal jelenik meg egy 50 próbasorozatban.

6. 100 db azonos teljesítményű, egymástól függetlenül, azonos üzemmódban működő gép van, amelyekben 0,8 munkaórára bekapcsolják a hajtásukat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott pillanatban 70-86 gép fog bekapcsolni?

7. Az első urnában 4 fehér és 7 fekete, a másodikban 8 fehér és 3 fekete golyó található. Az első urnából véletlenszerűen 4, a másodikból 1 golyó kerül kihúzásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyók között csak 4 fekete golyó van.

8. Az autóértékesítési szalonba naponta három márkájú autó érkezik mennyiségben: „Moskvich” – 40%; "Oké" - 20%; "Volga" - az összes importált autó 40% -a. A Moskvich autók közül 0,5%-ban van lopásgátló, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az átvizsgálásra vitt autó lopásgátló berendezéssel rendelkezik.

9. A és a számok véletlenszerűen kerülnek kiválasztásra a szakaszon. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek a számok kielégítik az egyenlőtlenségeket!

10. Adott egy valószínűségi változó eloszlásának törvénye x:

Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! x; jelentése F(2); annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó x intervallumból veszi az értékeket. Készítsen eloszlási sokszöget.

Mint ismeretes, valószínűségi változó változó mennyiségnek nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűivel (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelöljük. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) használva F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan megadható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amelyek az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözik. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó „átlagértékét” jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

• Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiális eloszlásnál M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
• Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2)− 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
  Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
• Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák problémák megoldására a „Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye” témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: közülük 5 500 rubelt, 10 100 rubelt, 20 50 rubelt, 50 10 rubelt nyer. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Megoldás. A probléma körülményei szerint az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 – (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Mutassuk be a kapott törvényt táblázat formájában:

Határozzuk meg az X érték matematikai elvárását: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt egy kísérlet sikertelen elemeinek számára, alkosson eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Megoldás. 1. Az X = diszkrét valószínűségi változó (a sikertelen elemek száma egy kísérletben) a következő lehetséges értékeket tartalmazza: x 1 = 0 (egyik eszközelem sem hibásodott meg), x 2 = 1 (egy elem meghibásodott), x 3 = 2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 =3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő, ezért alkalmazható Bernoulli képlete . Figyelembe véve, hogy a feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így az X kívánt binomiális eloszlási törvénye a következőképpen alakul:

Az abszcissza tengely mentén ábrázoljuk x i lehetséges értékeit, az ordináta tengely mentén pedig a megfelelő p i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat egyenes szakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keressük az F(x) = Р(Х) eloszlásfüggvényt

F(x) függvény grafikonja

4. X binomiális eloszlás esetén:
- matematikai elvárás M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- szórás D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

FORGALMAZÁS TÖRVÉNYE ÉS JELLEMZŐI

VÉLETLEN VÁLTOZÓK

Véletlen változók, osztályozásuk és leírási módszerek.

A véletlenszerű mennyiség olyan mennyiség, amely kísérlet eredményeként felvehet ilyen vagy olyan értéket, amely azonban nem ismert előre. Egy valószínűségi változóhoz ezért csak olyan értékeket adhatunk meg, amelyek közül egyet a kísérlet eredményeként biztosan felvesz. A következőkben ezeket az értékeket a valószínűségi változó lehetséges értékeinek nevezzük. Mivel egy valószínűségi változó mennyiségileg jellemzi egy kísérlet véletlenszerű eredményét, egy véletlen esemény mennyiségi jellemzőjének tekinthető.

A véletlenszerű változókat általában a latin ábécé nagybetűivel, például X..Y..Z-vel jelölik, lehetséges értékeit pedig a megfelelő kis betűkkel.

Háromféle valószínűségi változó létezik:

Diszkrét; Folyamatos; Vegyes.

Diszkrét egy valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei egy megszámlálható halmazt alkotnak. Azt a halmazt viszont, amelynek elemei számozhatók, megszámlálhatónak nevezzük. A „diszkrét” szó a latin discretus szóból származik, jelentése „szakadt, különálló részekből álló”.

1. példa: Egy diszkrét valószínűségi változó a hibás X alkatrészek száma egy n-termék kötegében. Valójában ennek a valószínűségi változónak a lehetséges értékei 0-tól n-ig terjedő egész számok sorozata.

2. példa: A diszkrét valószínűségi változó a célpont első találata előtti lövések száma. Itt is, mint az 1. példában, a lehetséges értékek számozhatók, bár határesetben a lehetséges érték végtelenül nagy szám.

Folyamatos egy valószínűségi változó, amelynek lehetséges értékei folyamatosan kitöltik a numerikus tengely egy bizonyos intervallumát, amelyet néha e valószínűségi változó létezési intervallumának neveznek. Így a létezés bármely véges intervallumán egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelenül nagy.

3. példa Folyamatos valószínűségi változó egy vállalkozás havi villamosenergia-fogyasztása.

4. példa A folytonos valószínűségi változó a magasságmérővel történő magasságmérés hibája. A magasságmérő működési elvéből tudható meg, hogy a hiba 0-2 m tartományban van, ezért ennek a valószínűségi változónak a létezési intervalluma 0 és 2 m közötti intervallum.

A valószínűségi változók eloszlásának törvénye.

Egy valószínűségi változó akkor tekinthető teljesen meghatározottnak, ha lehetséges értékei a numerikus tengelyen vannak feltüntetve, és az eloszlási törvény létrejött.

Valószínűségi változó eloszlásának törvénye egy olyan reláció, amely kapcsolatot hoz létre egy valószínűségi változó lehetséges értékei és a megfelelő valószínűségek között.

Egy valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy egy adott törvény szerint eloszlik, vagy egy adott eloszlási törvény hatálya alá tartozik. Eloszlási törvényként számos valószínűséget, eloszlásfüggvényt, valószínűségi sűrűséget és karakterisztikus függvényt használnak.

Az eloszlási törvény egy valószínűségi változó teljes valószínűségi leírását adja. Az eloszlási törvény szerint a kísérlet előtt meg lehet ítélni, hogy egy valószínűségi változó melyik lehetséges értéke jelenik meg gyakrabban és melyik ritkábban.

Egy diszkrét valószínűségi változó esetén az eloszlási törvény megadható táblázat formájában, analitikusan (képlet formájában) és grafikusan.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényének megadásának legegyszerűbb formája egy táblázat (mátrix), amely növekvő sorrendben felsorolja a valószínűségi változó összes lehetséges értékét és a hozzájuk tartozó valószínűségeket, pl.

Az ilyen táblázatot diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozatának nevezzük. 1

Az X 1, X 2,..., X n események, amelyek abból állnak, hogy a teszt eredményeként az X valószínűségi változó x 1, x 2,... x n értékeket vesz fel, inkonzisztensek és az egyetlen lehetségesek (mivel a táblázat egy valószínűségi változó összes lehetséges értékét felsorolja), pl. alkotnak egy teljes csoportot. Ezért valószínűségeik összege egyenlő 1-gyel. Így bármely diszkrét valószínűségi változóra

(Ez az egység valahogy eloszlik a valószínűségi változó értékei között, ezért az "eloszlás" kifejezés).

Az eloszlássorozat grafikusan ábrázolható, ha a valószínűségi változó értékeit az abszcissza tengely mentén, a megfelelő valószínűségeket pedig az ordináta tengely mentén ábrázoljuk. A kapott pontok összekapcsolása a valószínűségi eloszlás sokszögének vagy sokszögének nevezett szaggatott vonalat képez (1. ábra).

Példa A lottó tartalma: egy 5000 den értékű autó. egységek, 4 TV 250 den-ért. egységek, 5 db 200 den értékű videórögzítő. egységek Összesen 1000 jegy kel el 7 napra. egységek Készítsen felosztási törvényt az egy szelvényt vásárló lottórésztvevő nettó nyereményére.

Megoldás. Az X valószínűségi változó lehetséges értékei - a jegyenkénti nettó nyeremény - 0-7 = -7 pénz. egységek (ha nem nyert a jegy), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. egységek (ha a jegyen videomagnó, tévé vagy autó nyereménye szerepel). Figyelembe véve, hogy 1000 jegyből a nem nyertesek száma 990, a feltüntetett nyeremények pedig 5, 4 és 1, és a valószínűség klasszikus definícióját használva kapjuk.

Adott egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozata. Keresse meg a hiányzó valószínűséget, és ábrázolja az eloszlásfüggvényt. Számítsa ki ennek a mennyiségnek a matematikai elvárását és szórását!

Az X valószínűségi változó csak négy értéket vesz fel: -4, -3, 1 és 2. Mindegyik értéket bizonyos valószínűséggel veszi fel. Mivel az összes valószínűség összegének 1-nek kell lennie, a hiányzó valószínűség egyenlő:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Állítsuk össze az X valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. Ismeretes, hogy az eloszlásfüggvény, akkor:

Ennélfogva,

Ábrázoljuk a függvényt F(x) .

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása egyenlő a valószínűségi változó értékének és a megfelelő valószínűség szorzatának összegével, azaz.

Meghatározzuk egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját a következő képlet segítségével:

ALKALMAZÁS

A kombinatorika elemei Itt: - egy szám faktoriálisa

Az eseményekkel kapcsolatos műveletek Esemény minden olyan tény, amely egy élmény eredményeként megtörténhet vagy nem. Események összevonása AÉs BAN BEN- ez az esemény VAL VEL amely egy megjelenésből vagy eseményből áll A, vagy eseményeket BAN BEN, vagy mindkét eseményt egyszerre. Kijelölés: ; Crossing események AÉs BAN BEN- ez az esemény VAL VEL, amely mindkét esemény egyidejű bekövetkezéséből áll. Kijelölés: ;

A valószínűség klasszikus meghatározása Az esemény valószínűsége A a kísérletek számának aránya , kedvező egy esemény bekövetkezéséhez A, a kísérletek teljes számához :

Valószínűségi szorzóképlet Az esemény valószínűsége képlet segítségével találhatjuk meg: - az esemény valószínűsége A, - az esemény valószínűsége BAN BEN, - az esemény valószínűsége BAN BEN feltéve, hogy az esemény A már megtörtént. Ha A és B események függetlenek (az egyik előfordulása nem befolyásolja a másik bekövetkezését), akkor az esemény valószínűsége egyenlő:

Képlet a valószínűségek összeadásához Az esemény valószínűségét a következő képlet segítségével lehet meghatározni: Az esemény valószínűsége A, Az esemény valószínűsége BAN BEN, - események együttes előfordulásának valószínűsége AÉs BAN BEN. Ha az A és B esemény nem kompatibilis (nem fordulhat elő egyszerre), akkor az esemény valószínűsége egyenlő:

Teljes valószínűségi képlet Legyen az esemény A történhet az egyik eseménnyel egyidejűleg is , , …, - nevezzük őket hipotéziseknek. Úgy is ismert mint - a végrehajtás valószínűsége én-th hipotézis és - az A esemény bekövetkezésének valószínűsége végrehajtáskor én- a hipotézis. Aztán az esemény valószínűsége A képlettel lehet megtalálni:

Bernoulli-séma Legyen n független teszt. Egy esemény bekövetkezésének (sikerének) valószínűsége A mindegyikben állandó és egyenlő p, a meghibásodás valószínűsége (azaz az esemény nem következik be A) q = 1 - p. Aztán az előfordulás valószínűsége k siker benne n A teszteket a Bernoulli-képlet segítségével találhatjuk meg: Valószínűleg a sikerek száma a Bernoulli-sémában ez egy bizonyos esemény legnagyobb valószínűségű előfordulásának száma. Megtalálható a következő képlet segítségével:

Véletlen változók diszkrét folyamatos (például a lányok száma egy 5 gyermekes családban) (például a vízforraló megfelelő működési ideje) Diszkrét valószínűségi változók numerikus jellemzői Adjon meg egy diszkrét mennyiséget egy eloszlási sorozat: x R , , …, - egy valószínűségi változó értékei x; , , …, a megfelelő valószínűségi értékek. Elosztási funkció Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x a teljes számegyenesen definiált függvény, és egyenlő annak valószínűségével x kevesebb lesz x:

Kérdések a vizsgához

Esemény. Műveletek véletlenszerű eseményeken.

Az esemény valószínűségének fogalma.

A valószínűségek összeadásának és szorzásának szabályai. Feltételes valószínűségek.

Teljes valószínűségi képlet. Bayes képlete.

Bernoulli-séma.

Véletlen változó, eloszlásfüggvénye és eloszlási sorozata.

Az eloszlási függvény alapvető tulajdonságai.

Várható érték. A matematikai várakozás tulajdonságai.

Diszperzió. A diszperzió tulajdonságai.

Egydimenziós valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége.

Az eloszlások típusai: egyenletes, exponenciális, normál, binomiális és Poisson-eloszlás.

Moivre-Laplace lokális és integrál tételei.

Két valószínűségi változóból álló rendszer törvénye és eloszlásfüggvénye.

Két valószínűségi változóból álló rendszer eloszlási sűrűsége.

Az eloszlás feltételes törvényei, feltételes matematikai elvárás.

Függő és független valószínűségi változók. Korrelációs együttható.

Minta. Mintafeldolgozás. Sokszög és frekvencia hisztogram. Empirikus eloszlásfüggvény.

Az eloszlási paraméterek becslésének fogalma. Az értékelés követelményei. Megbízhatósági intervallum. Matematikai várakozás és szórás becslésére szolgáló intervallumok felépítése.

Statisztikai hipotézisek. Hozzájárulási feltételek.

A valószínűségszámítás alkalmazásaiban a kísérlet mennyiségi jellemzői elsődleges fontosságúak. Olyan mennyiséget, amely mennyiségileg meghatározható, és amely egy kísérlet eredményeként esettől függően eltérő értéket vehet fel, ún. valószínűségi változó.

Példák a véletlen változókra:

1. Ahányszor páros számú pont jelenik meg tíz kockadobás során.

2. Egy sorozatos lövést leadó lövő célba ért találatainak száma.

3. Egy felrobbanó lövedék töredékeinek száma.

A megadott példák mindegyikében a valószínűségi változó csak izolált értékeket vehet fel, vagyis olyan értékeket, amelyek természetes számsorral számozhatók.

Egy ilyen valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei egyedi izolált számok, amelyeket ez a változó bizonyos valószínűséggel vesz fel, az ún. diszkrét.

Egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma lehet véges vagy végtelen (megszámlálható).

Az elosztás törvénye A diszkrét valószínűségi változó a lehetséges értékeinek és a megfelelő valószínűségeinek listája. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye megadható táblázat formájában (valószínűségi eloszlási sorozat), analitikusan és grafikusan (valószínűségi eloszlási sokszög).

Kísérlet végrehajtásakor szükségessé válik a vizsgált érték „átlagos” értékelése. A valószínűségi változó átlagértékének szerepét egy numerikus karakterisztiká játssza, ún matematikai elvárás, amelyet a képlet határoz meg

Ahol x 1 , x 2 ,.. , x n– valószínűségi változók értékei x, A p 1 ,p 2 , ... , p n– ezeknek az értékeknek a valószínűsége (vegye figyelembe p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Példa. A célba lövés történik (11. ábra).

Az I-ben elért találat három pontot, a II-ben két pontot, a III-ban egy pontot ad. Az egy lövő által egy lövéssel szerzett pontok számának megoszlási törvénye a következő

A lövészek ügyességének összehasonlításához elég összehasonlítani a szerzett pontok átlagértékeit, pl. matematikai elvárások M(x) És M(Y):

M(x) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

A második lövő átlagosan valamivel magasabb pontszámot ad, i.e. jobb eredményeket ad, ha többszöri tüzelést végez.

Figyeljük meg a matematikai elvárás tulajdonságait:

1. Egy állandó érték matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval:

M(C) = C.

2. A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a kifejezések matematikai elvárásainak összegével:

M =(x 1 + x 2 +…+ x n)= M(x 1)+ M(x 2)+…+ M(x n).

3. Az egymástól független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a faktorok matematikai elvárásainak szorzatával

M(x 1 x 2 … x n) = M(x 1)M(x 2)… M(x n).

4. A binomiális eloszlás matematikai negációja megegyezik a kísérletek számának és egy próbában bekövetkező esemény valószínűségének szorzatával (4.6. feladat).

M(x) = pr.

Annak felmérésére, hogy egy valószínűségi változó „átlagosan” hogyan tér el a matematikai elvárásától, pl. Egy valószínűségi változó értékeinek terjedésének jellemzésére a valószínűségszámításban a diszperzió fogalmát használjuk.

Variancia valószínűségi változó x az eltérés négyzetes matematikai elvárásának nevezzük:

D(x) = M[(x - M(x)) 2 ].

A diszperzió egy valószínűségi változó diszperziójának numerikus jellemzője. A definícióból kitűnik, hogy minél kisebb egy valószínűségi változó szórása, annál szorosabban helyezkednek el a lehetséges értékei a matematikai elvárás körül, vagyis annál jobban jellemzi a valószínűségi változó értékeit a matematikai elvárása. .

A definícióból az következik, hogy a variancia a képlet segítségével számítható ki

.

Kényelmes a variancia kiszámítása egy másik képlet segítségével:

D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2 .

A diszperzió a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. Az állandó varianciája nulla:

D(C) = 0.

2. Az állandó tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

D(CX) = C 2 D(x).

3. A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő a tagok szórásának összegével:

D(x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n)= D(x 1)+ D(x 2)+…+ D(x n)

4. A binomiális eloszlás varianciája megegyezik a kísérletek számának és az esemény bekövetkezésének és meg nem következésének valószínűségével egy kísérletben:

D(x) = npq.

A valószínűségszámításban gyakran használnak egy valószínűségi változó varianciájának négyzetgyökével egyenlő numerikus karakterisztikát. Ezt a numerikus jellemzőt négyzetes eltérésnek nevezzük, és szimbólummal jelöljük

.

Egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének hozzávetőleges nagyságát jellemzi, és a valószínűségi változóval azonos dimenziójú.

4.1. A lövő három lövést ad le a célpontra. Annak a valószínűsége, hogy minden lövéssel eltalálja a célt, 0,3.

Készítsen elosztási sorozatot a találatok számára.

Megoldás. A találatok száma egy diszkrét valószínűségi változó x. Mindegyik érték x n valószínűségi változó x egy bizonyos valószínűségnek felel meg P n .

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye ebben az esetben megadható elosztás közelében.

Ebben a problémában x 0, 1, 2, 3 értékeket vesz fel. Bernoulli képlete szerint

,

Keressük meg a valószínűségi változó lehetséges értékeinek valószínűségét:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

A valószínűségi változó értékeinek rendezésével x növekvő sorrendben megkapjuk az eloszlási sorozatot:

Vegye figyelembe, hogy az összeg

azt a valószínűséget jelenti, hogy a valószínűségi változó x legalább egy értéket vesz fel a lehetségesek közül, és ezért ez az esemény megbízható

.

4.2 .Négy golyó van az urnában 1-től 4-ig terjedő számokkal. Két golyót veszünk ki. Véletlenszerű érték x– a golyók számainak összege. Készítsen eloszlássorozatot egy valószínűségi változóból x.

Megoldás. Véletlen változó értékek x 3, 4, 5, 6, 7. Keressük meg a megfelelő valószínűségeket. Véletlenszerű változó értéke 3 x csak abban az esetben fogadható el, ha az egyik kiválasztott golyó 1-es, a másik 2-es. A lehetséges teszteredmények száma megegyezik a négyes kombinációk számával (a lehetséges labdapárok számával) kettő.

A klasszikus valószínűségi képlet segítségével kapjuk

Hasonlóképpen,

R(x= 4) =R(x= 6) =R(x= 7) = 1/6.

Az 5-ös összeg két esetben fordulhat elő: 1 + 4 és 2 + 3, tehát

.

x a következő formában van:

Keresse meg az eloszlási függvényt F(x) valószínűségi változó xés kirajzolódik. Számítsa ki x annak matematikai elvárása és varianciája.

Megoldás. Egy valószínűségi változó eloszlási törvénye az eloszlásfüggvénnyel adható meg

F(x) =P(x x).

Elosztási funkció F(x) a teljes számegyenesen definiált, nem csökkenő, balra folytonos függvény, míg

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Egy diszkrét valószínűségi változó esetén ezt a függvényt a képlet fejezi ki

.

Ezért ebben az esetben

Eloszlási függvény grafikonja F(x) egy lépcsős vonal (12. ábra)

Várható értékM(x) az értékek súlyozott számtani átlaga x 1 , X 2 ,……X n valószínűségi változó x mérleggel ρ 1, ρ 2, …… , ρ n és a valószínűségi változó középértékének nevezzük x. A képlet szerint

M(x)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

M(x) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Diszperzió egy valószínűségi változó értékeinek átlagos értékétől való szórásának mértékét jellemzi, és jelöli D(x):

D(x)=M[(HM(x)) 2 ]= M(x 2) –[M(x)] 2 .

Egy diszkrét valószínűségi változó esetében a variancia alakja

vagy a képlet segítségével számítható ki

A feladat numerikus adatait behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:

M(x 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(x) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Két kockával egyszerre kétszer kell dobni. Írja fel egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának binomiális törvényét! x- a páros számú pont előfordulásának száma két kockán.

Megoldás. Mutassunk be egy véletlenszerű eseményt

A= (két dobókocka egy dobással összesen páros pontot eredményezett).

A valószínűség klasszikus definícióját használva azt találjuk

R(A)= ,

Ahol n - a lehetséges teszteredmények számát megtaláljuk a szabály szerint

szorzás:

n = 6∙6 =36,

m - az eseményt kedvelők száma A eredmények – egyenlők

m= 3∙6=18.

Így egy próba sikerének valószínűsége az

ρ = P(A)= 1/2.

A problémát Bernoulli tesztséma segítségével oldjuk meg. Az egyik kihívás itt az lenne, hogy egyszer két kockával dobjunk. Az ilyen vizsgálatok száma n = 2. Véletlen változó x 0, 1, 2 értékeket vesz fel valószínűségekkel

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Egy valószínűségi változó szükséges binomiális eloszlása x eloszlási sorozatként ábrázolható:

4.5 . A hat részből álló tételben négy szabványos alkatrész található. Három részt véletlenszerűen választottak ki. Szerkessze meg egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlását x– a standard alkatrészek számát a kiválasztottak között, és találja meg annak matematikai elvárását.

Megoldás. Véletlen változó értékek x a számok 0,1,2,3. Ez egyértelmű R(x=0)=0, mivel csak két nem szabványos rész van.

R(x=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(x=3) =
= 1/5.

Valószínűségi változó eloszlási törvénye x Mutassuk be terjesztési sorozat formájában:

Várható érték

M(x)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Bizonyítsuk be, hogy egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása x- az esemény előfordulásának száma A V n független kísérletek, amelyek mindegyikében egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő ρ – egyenlő a kísérletek számának a szorzatával, hogy egy próbában egy esemény bekövetkezik, vagyis annak bizonyítására, hogy a binomiális eloszlás matematikai elvárása

M(x) =n . ρ ,

és diszperzió

D(x) =n.p. .

Megoldás. Véletlenszerű érték x 0, 1, 2 értéket vehet fel..., n. Valószínűség R(x= k) Bernoulli képletével található:

R(x=k)= R n(k)= ρ Nak nek (1-ρ ) n- Nak nek

Valószínűségi változó eloszlási sorozata x a következő formában van:

Ahol q= 1- ρ .

A matematikai elvárásokhoz a következő kifejezést használjuk:

M(x)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Egy teszt esetén, vagyis azzal n= 1 a valószínűségi változóhoz x 1 – az esemény előfordulásának száma A- a terjesztési sorozat alakja:

M(x 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p

D(x 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Ha x k – az esemény előfordulásának száma A akkor melyik tesztben R(x Nak nek)= ρ És

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Innen kapunk

M(x)=M(x 1 )+M(x 2)+ … +M(x n)= nρ,

D(x)=D(x 1)+D(x 2)+ ... +D(x n)=npq.

4.7. A minőség-ellenőrzési osztály ellenőrzi a termékek szabványosságát. Annak a valószínűsége, hogy a termék szabványos, 0,9. Minden tétel 5 terméket tartalmaz. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását! x- a tételek száma, amelyek mindegyike 4 szabványos terméket tartalmaz - ha 50 tétel tartozik ellenőrzés alá.

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy minden véletlenszerűen kiválasztott tételben 4 standard termék lesz, állandó; jelöljük azzal ρ .Akkor a valószínűségi változó matematikai elvárása x egyenlő M(x)= 50∙ρ.

Keressük a valószínűséget ρ Bernoulli képlete szerint:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(x)= 50∙0,32=16.

4.8 . Három kockát dobnak. Határozza meg a kiesett pontok összegének matematikai elvárását!

Megoldás. Megtalálható egy valószínűségi változó eloszlása x- a kiesett pontok összege, majd annak matematikai elvárása. Ez az út azonban túl nehézkes. Könnyebb más technikát használni, amely egy valószínűségi változót reprezentál x, amelynek matematikai elvárását ki kell számítani, több egyszerűbb valószínűségi változó összege formájában, amelyek matematikai elvárása könnyebben kiszámítható. Ha a valószínűségi változó x én a továbbgurított pontok száma én- csontok ( én= 1, 2, 3), akkor a pontok összege x formában lesz kifejezve

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Az eredeti valószínűségi változó matematikai elvárásának kiszámításához csak a matematikai elvárás tulajdonságát kell használni

M(x 1 + X 2 + X 3 )= M(x 1 )+ M(x 2)+ M(x 3 ).

Ez nyilvánvaló

R(x én = K)= 1/6, NAK NEK= 1, 2, 3, 4, 5, 6, én= 1, 2, 3.

Ezért a valószínűségi változó matematikai elvárása x énúgy néz ki, mint a

M(x én) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(x) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Határozza meg a tesztelés során meghibásodott eszközök számának matematikai elvárását, ha:

a) a meghibásodás valószínűsége minden eszköz esetében azonos R, és a tesztelt eszközök száma egyenlő n;

b) a meghibásodás valószínűsége én – a készülék értéke egyenlő p én , én= 1, 2, … , n.

Megoldás. Legyen a valószínűségi változó x akkor a meghibásodott eszközök száma

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

x én =

Ez egyértelmű

R(x én = 1)= R én , R(x én = 0)= 1– R én ,i= 1, 2, … ,n.

M(x én)= 1∙R én + 0∙(1-R én)=P én ,

M(x)=M(x 1)+M(x 2)+ … +M(x n)=P 1 +P 2 + … + P n .

Az „a” esetben a készülék meghibásodásának valószínűsége azonos, azaz

R én =p,i= 1, 2, … ,n.

M(x)= n.p..

Ezt a választ azonnal megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy a valószínűségi változó x binomiális eloszlása ​​van paraméterekkel ( n, p).

4.10. Két kockával egyszerre kétszer dobnak. Írja fel egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának binomiális törvényét! X - a páros számú pont dobásainak száma két kockán.

Megoldás. Hadd

A=(páros szám dobása az első kockán),

B =(páros szám dobása a második kockán).

Ha egy dobás során mindkét kockán páros számot kap, azt a szorzat fejezi ki AB. Akkor

R (AB) = R(A)∙R(BAN BEN) =
.

Két dobókocka második dobásának eredménye nem függ az elsőtől, ezért Bernoulli képlete akkor érvényes, ha

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Véletlenszerű érték x 0, 1, 2 értéket vehet fel , amelynek valószínűsége Bernoulli képletével meghatározható:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Valószínűségi változó eloszlási sorozata X:

4.11. Az eszköz nagyszámú, egymástól függetlenül működő elemből áll, amelyeknél az egyes elemek időbeli meghibásodásának nagyon kicsi a valószínűsége t. Keresse meg az elutasítások átlagos számát az idő függvényében t elemek, ha annak a valószínűsége, hogy ez idő alatt legalább egy elem meghibásodik, 0,98.

Megoldás. Az idő múlásával visszautasító emberek száma t elemek – valószínűségi változó x, amely a Poisson-törvény szerint oszlik el, mivel az elemek száma nagy, az elemek egymástól függetlenül működnek, és az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége kicsi. Egy esemény előfordulásának átlagos száma itt: n tesztek egyenlők

M(x) = n.p..

Mivel a kudarc valószínűsége NAK NEK elemekből n képlettel fejezzük ki

R n (NAK NEK)
,

ahol  = n.p., akkor annak a valószínűsége, hogy egyetlen elem sem fog meghibásodni az idő alatt t elérünk K = 0:

R n (0)= e -  .

Ezért az ellenkező esemény valószínűsége időben van t legalább egy elem meghibásodik – egyenlő 1-gyel - e -  . A probléma feltételei szerint ez a valószínűség 0,98. Az Eq.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

innen  = -ln 0,02  4.

Szóval időben t az eszköz működése esetén átlagosan 4 elem fog meghibásodni.

4.12 . Addig dobjuk a kockákat, amíg a „kettes” fel nem jön. Keresse meg a dobások átlagos számát.

Megoldás. Vezessünk be egy valószínűségi változót x– a számunkra érdekes esemény bekövetkeztéig elvégzendő vizsgálatok száma. Annak a valószínűsége x= 1 egyenlő annak a valószínűségével, hogy egy kockadobás során „kettő” jelenik meg, azaz.

R(X= 1) = 1/6.

Esemény x A = 2 azt jelenti, hogy az első teszten nem jött fel a „kettő”, a másodiknál ​​viszont igen. Az esemény valószínűsége x= 2 a független események valószínűségének szorzásának szabálya alapján:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Hasonlóképpen,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

stb. Egy sor valószínűségi eloszlást kapunk:

Az átlagos dobások (próbák) száma a matematikai elvárás

M(x) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + NAK NEK (5/6) NAK NEK -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + NAK NEK (5/6) NAK NEK -1 + …)

Nézzük meg a sorozat összegét:

NAK NEKg NAK NEK -1 = (g NAK NEK) g 
.

Ennélfogva,

M(x) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Így átlagosan 6 kockadobást kell végrehajtania, amíg a „kettő” nem jön ki.

4.13. A független teszteket az esemény bekövetkezésének azonos valószínűségével hajtják végre A minden tesztben. Keresse meg egy esemény bekövetkezésének valószínűségét A, ha egy esemény előfordulási számának varianciája három független kísérletben 0,63 .

Megoldás. Egy esemény előfordulásának száma három kísérletben véletlenszerű változó x, a binomiális törvény szerint oszlik el. Egy esemény előfordulási számának varianciája független kísérletekben (az esemény bekövetkezésének minden kísérletben azonos valószínűséggel) egyenlő a kísérletek számának az esemény bekövetkezésének és meg nem következésének valószínűségével való szorzatával. (4.6-os probléma)

D(x) = npq.

Feltétel szerint n = 3, D(x) = 0,63, szóval lehet R egyenletből találni

0,63 = 3∙R(1-R),

amelynek két megoldása van R 1 = 0,7 és R 2 = 0,3.