8 módja a szorzásnak. Projekt a témában: "Szokatlan szorzási módok"

probléma: megértse a szorzás típusait

Cél: az órákon nem használt természetes számok szorzásának különféle módszereinek megismerése, azok alkalmazása a numerikus kifejezések számításakor.
Feladatok:
1. Keresse meg és elemezze a különböző szorzási módszereket.
2. Tanuljon meg bemutatni néhány szorzási módszert.
3. Beszéljen a szorzás új módjairól, és tanítsa meg a tanulókat ezek használatára.
4. Az önálló munkavégzés képességeinek fejlesztése: információkeresés, a talált anyag kiválasztása, feldolgozása.
5. Kísérletezzen „melyik módszer gyorsabb”
Hipotézis:Meg kell ismernem a szorzótáblát?
Relevancia: Az utóbbi időben a diákok jobban bíznak a kütyükben, mint magukban. És ezért csak a számológépekre számítanak. Meg akartuk mutatni, hogy a szorzásnak többféle módja van, hogy a tanulók könnyebben számolhassanak, és érdekesebb legyen a tanulás.
BEVEZETÉS
Nem fog tudni többjegyű számokat – még a kétjegyűeket sem – szorozni, ha nem jegyzi meg az egyjegyű szorzás összes eredményét, vagyis az úgynevezett szorzótáblát.
Különböző időkben a különböző népek eltérő módon szorozták a természetes számokat.
Miért használ ma már minden nép egyetlen „oszlop” szorzási módszert?
Miért hagyták el az emberek a régi szorzási módszereket a modernek javára?
Van-e létjogosultsága korunkban az elfeledett szorzási módszereknek?
A kérdések megválaszolásához a következő munkát végeztem:
1. Az Internet segítségével információkat találtam néhány korábban használt szorzási módszerről.;
2. Tanulmányozta a tanár által javasolt irodalmat;
3. Az összes vizsgált módszerrel megoldottam néhány példát, hogy feltárjam azok hiányosságait;
4) Azonosította közülük a leghatékonyabbakat;
5. Kísérletet végzett;
6. Következtetések levonása.
1. Keresse meg és elemezze a különböző szorzási módszereket.
Szorzás az ujjakon.

Az ujjakon történő szorzás régi orosz módszere az egyik leggyakrabban használt módszer, amelyet az orosz kereskedők évszázadok óta sikeresen alkalmaztak. Megtanulták ujjaikon szorozni az egyjegyű számokat 6-tól 9-ig, ebben az esetben elegendő volt az ujjszámlálás alapkészsége az „egységek”, „párok”, „hármasok”, „négyesek”, „ötösök” ill. „tízek”. Az ujjak itt kiegészítő számítástechnikai eszközként szolgáltak.

Ehhez egyrészt annyi ujjat nyújtottak ki, amennyi az első faktor meghaladja az 5-ös számot, másrészt ugyanezt tették a második faktorral is. A megmaradt ujjak be voltak hajlítva. Ezután vettük a kiterjesztett ujjak számát (összesen), és megszoroztuk 10-zel, majd a számokat megszoroztuk, megmutatva, hogy hány ujj hajlított meg, és az eredményeket összeadtuk.

Például szorozzuk meg a 7-et 8-cal. A vizsgált példában 2 és 3 ujj hajlított lesz. Ha összeadja a hajlított ujjak számát (2+3=5) és megszorozza a nem hajlottak számát (2 3=6), akkor a kívánt szorzat tízes, illetve egyes számait 56-ot kapjuk. Így kiszámíthatja bármely 5-nél nagyobb egyjegyű szám szorzatát.

A számok szorzásának módszerei a különböző országokban

Szorozd meg 9-cel.

A 9 - 9 1, 9 2 ... 9 10 szám szorzása - könnyebben elfelejthető a memóriából, és nehezebb manuálisan újraszámolni az összeadás módszerével, azonban kifejezetten a 9-es szám esetében a szorzás könnyen reprodukálható az ujjakon ”. Nyújtsa szét az ujjait mindkét kezére, és fordítsa el a kezét úgy, hogy a tenyere öntől elfelé nézzen. Gondolatban rendeljen 1-től 10-ig terjedő számokat az ujjaihoz, kezdve a bal keze kisujjával és a jobb kezének kisujjával (ez látható az ábrán).

Aki feltalálta a szorzást az ujjakon

Tegyük fel, hogy meg akarjuk szorozni a 9-et 6-tal. Hajlítsuk meg az ujjunkat egy számmal, amely megegyezik azzal a számmal, amellyel kilencet megszorozunk. Példánkban a 6-os számú ujjat kell behajlítanunk. A hajlított ujjtól balra lévő ujjak száma a válaszban szereplő tízesek számát mutatja, a jobb oldali ujjak száma pedig az egyesek számát. A bal oldalon 5 nem hajlított ujjunk van, a jobb oldalon - 4 ujjunk. Így 9·6=54. Az alábbi ábra részletesen bemutatja a „számítás” teljes elvét.

Szokatlan módon szaporodik

Egy másik példa: 9·8=?-t kell kiszámítani. Tegyük fel, hogy az ujjak nem feltétlenül működhetnek „számítógépként”. Vegyünk például 10 cellát egy jegyzetfüzetben. Húzd át a 8. négyzetet. A bal oldalon 7, a jobb oldalon 2 cella maradt. Tehát 9·8=72. Minden nagyon egyszerű.

7 cella 2 cella.

A szorzás indiai módja.

A matematikai tudás kincstárához a legértékesebb hozzájárulás Indiában történt. A hinduk azt a módszert javasolták, amellyel számokat írhatunk tíz jellel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Ennek a módszernek az alapja az az elképzelés, hogy ugyanaz a számjegy egységet, tízet, százat vagy ezret jelent, attól függően, hogy a számjegy hol helyezkedik el. Az elfoglalt helyet számjegyek hiányában a számokhoz rendelt nullák határozzák meg.

Az indiánok remekül tudtak számolni. Nagyon egyszerű módszert találtak ki a szorzásra. A szorzást a legjelentősebb számjegytől kezdve végezték, a hiányos szorzatokat pedig a szorzószám fölé írták fel, apránként. Ebben az esetben a komplett termék legjelentősebb számjegye azonnal látható volt, ráadásul az esetleges számjegyek kihagyása is megszűnt. A szorzójelet még nem ismerték, ezért hagytak egy kis távolságot a tényezők között. Például az 537-es módszerrel szorozzuk meg őket 6-tal:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

6
Szorzás a „KIS VÁR” módszerrel.

A számok szorzását ma már az iskola első osztályában tanulják. De a középkorban nagyon kevesen sajátították el a szorzás művészetét. Ritka arisztokrata volt, aki még akkor is dicsekedhetett a szorzótábla ismeretével, ha egy európai egyetemet végzett.

A matematika évezredes fejlődése során számos módszert találtak fel a számok szorzására. Luca Pacioli olasz matematikus „Az aritmetika, arányok és arányosság összege” című értekezésében (1494) nyolc különböző szorzási módszert ad meg. Az elsőt „Kisvárnak”, a másodikat pedig nem kevésbé romantikusan „Féltékenységnek vagy rácsos szorzásnak” hívják.

A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.

A felső szám számjegyeit a legjelentősebb számjegytől kezdve sorra megszorozzuk az alsó számmal, és egy oszlopba írjuk a szükséges számú nullával. Az eredményeket ezután összeadják.

A számok szorzásának módszerei a különböző országokban

Számok szorzása „féltékenység” módszerrel.

„Szorzási módszerek A második módszer romantikus neve féltékenység”, vagy „rácsos szorzás”.

Először egy téglalapot rajzolunk, amelyet négyzetekre osztunk, és a téglalap oldalainak mérete megfelel a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek számának. Ezután a négyzet alakú cellákat átlósan felosztjuk, és „...az eredmény a rácsos redőnyökhöz hasonló kép” – írja Pacioli. "Ilyen redőnyöket akasztottak a velencei házak ablakaira, megakadályozva, hogy az utcai járókelők lássák az ablakoknál ülő hölgyeket és apácákat."

A 347-et így szorozzuk meg 29-cel, rajzoljunk egy táblázatot, fölé írjuk a 347-es számot, jobbra pedig a 29-et.

Minden sorba e cella fölé és tőle jobbra írjuk a számok szorzatát, míg a perjel fölé a szorzat tízes számjegyét, alatta pedig az egységjegyeket. Most hozzáadjuk a számokat minden ferde csíkban, végrehajtva ezt a műveletet, jobbról balra. Ha az összeg 10-nél kisebb, akkor a csík alsó száma alá írjuk. Ha 10-nél nagyobbnak bizonyul, akkor az összegnek csak az egységszámjegyét írjuk, és a tízes számjegyet adjuk hozzá a következő összeghez. Ennek eredményeként megkapjuk a kívánt 10063 terméket.

Paraszti szorzási módszer.

A szorzás „legnatívabb” és legegyszerűbb módja véleményem szerint az orosz parasztok által használt módszer. Ez a technika egyáltalán nem követeli meg a 2-es számon túli szorzótábla ismeretét, lényege, hogy bármely két szám szorzását az egyik szám egymást követő felezési sorozatára redukáljuk, miközben a másik számot egyidejűleg megduplázzuk. A felezés addig folytatódik, amíg a hányados el nem éri az 1-et, miközben egyidejűleg megduplázza a másik számot. Az utolsó duplázott szám adja a kívánt eredményt.

Ha a szám páratlan, távolítson el egyet, és a maradékot ossza ketté; de a jobb oldali oszlop utolsó számához hozzá kell adni ennek az oszlopnak mindazokat a számait, amelyek a bal oldali oszlop páratlan számaival szemben állnak: az összeg lesz a kívánt szorzat

Az összes megfelelő számpár szorzata azonos, tehát

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Abban az esetben, ha az egyik szám páratlan, vagy mindkét szám páratlan, a következőképpen járjon el:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
A szaporodás új módja.

A közelmúltban egy érdekes, új szorzási módszerről számoltak be. Az új mentális számlálórendszer feltalálója, a filozófia kandidátusa, Vaszilij Okoneshnikov azt állítja, hogy az ember hatalmas mennyiségű információra képes emlékezni, a lényeg az, hogy hogyan rendezze el ezeket az információkat. Maga a tudós szerint a legelőnyösebb ebben a tekintetben a kilencszeres rendszer - minden adat egyszerűen kilenc cellába kerül, amelyek úgy helyezkednek el, mint a számológép gombjai.

Nagyon könnyű kiszámítani egy ilyen táblázat segítségével. Például szorozzuk meg az 15647-es számot 5-tel. A táblázat ötnek megfelelő részében válassza ki a számjegyeknek megfelelő számokat sorrendben: egy, öt, hat, négy és hét. Ezt kapjuk: 05 25 30 20 35

A bal oldali számjegyet (példánkban nulla) változatlanul hagyjuk, és páronként összeadjuk a következő számokat: ötöt kettővel, ötöt hármassal, nullát kettővel, nullát hármassal. Az utolsó számjegy is változatlan.

Ennek eredményeként a következőt kapjuk: 078235. A 78235 szám szorzás eredménye.

Ha két számjegy összeadásakor kilencnél nagyobb számot kapunk, akkor annak első számjegye hozzáadódik az eredmény előző számjegyéhez, a második pedig a „saját” helyére kerül.

 Következtetés.

Miközben ezen a témán dolgoztam, megtudtam, hogy körülbelül 30 különböző, szórakoztató és érdekes módszer létezik a szaporodásra. Néhányat még mindig használnak különböző országokban. Érdekes módokat választottam magamnak. De nem minden módszer kényelmesen használható, különösen többjegyű számok szorzásakor.

Szorzási módszerek

Kutatómunka matematikával az általános iskolában

A kutatómunka rövid összefoglalása
Minden iskolás tudja, hogyan kell többjegyű számokat szorozni egy oszlopban. Ebben a munkában a szerző felhívja a figyelmet az általános iskolások számára elérhető alternatív szorzási módszerek létezésére, amelyek az „unalmas” számításokat szórakoztató játékká változtathatják.
A munka a többjegyű számok szorzásának hat nem szokványos módszerét vizsgálja, amelyeket különböző történelmi korokban használtak: orosz paraszt, rácsos, kisvár, kínai, japán V. Okoneshnikov táblázata szerint.
A projekt célja a tanult tárgy iránti kognitív érdeklődés felkeltése és a matematikai ismeretek elmélyítése.
Tartalomjegyzék
Bevezetés 3
1. fejezet Alternatív szorzási módszerek 4
1.1. Egy kis történelem 4
1.2. Orosz paraszti szorzási módszer 4
1.3. Szorzás „Kisvár” módszerrel 5
1.4. Számok szorzása „féltékenység” vagy „rácsszorzás” módszerrel 5
1.5. A szorzás kínai módja 5
1.6. A szorzás japán módja 6
1.7. Okoneshnikov 6. táblázat
1.8.Szorzás oszloponként. 7
2. fejezet Gyakorlati rész 7
2.1. Parasztmód 7
2.2. Kis kastély 7
2.3. Számok szorzása „féltékenység” vagy „rácsszorzás” módszerrel 7
2.4. Kínai mód 8
2.5. Japán módszer 8
2.6. Okoneshnikov 8. táblázat
2.7. 8. kérdezés
9. következtetés
10. függelék

"A matematika olyan komoly tantárgy, hogy jó minden alkalmat megragadni egy kicsit szórakoztatóvá tenni."
B. Pascal
Bevezetés
Lehetetlen, hogy az ember számítások nélkül nélkülözze a mindennapi életben. Ezért a matematika órákon elsősorban a számokkal való műveletek elvégzésére, azaz a számolásra tanítanak bennünket. Az iskolában tanult szokásos módszerekkel szorozunk, osztunk, összeadunk és kivonunk. Felmerült a kérdés: van-e más alternatív számítási módszer? Részletesebben szerettem volna tanulmányozni őket. Ezekre a kérdésekre keresve a választ, ez a tanulmány készült.
A vizsgálat célja: a nem konvencionális szorzási módszerek azonosítása, azok alkalmazási lehetőségének vizsgálata.
A célnak megfelelően a következő feladatokat fogalmaztuk meg:
- Találja meg a lehető legtöbb szokatlan szorzási módot.
- Tanuld meg használni őket.
- Válassza ki magának a legérdekesebbet vagy a legkönnyebbet, mint az iskolában kínáltakat, és használja fel a számolás során.
- Ellenőrizze a gyakorlatban a többjegyű számok szorzását.
- A 4. osztályos tanulók körében felmérés lebonyolítása
Tanulmányi tárgy: különböző nem szabványos algoritmusok többjegyű számok szorzására
Tanulmány tárgya: matematikai cselekvés „szorzás”
Hipotézis: Ha vannak szabványos módszerek a többjegyű számok szorzására, akkor talán vannak alternatív módszerek.
Relevancia: Ismeretterjesztés az alternatív szorzási módszerekről.
Gyakorlati jelentősége. A munka során számos példa megfejtésére és egy album létrehozására is sor került, melyben különböző algoritmusokkal ellátott példák szerepeltek a többjegyű számok többféle alternatív módon történő szorzására. Ez érdekelheti az osztálytársakat, hogy bővítsék matematikai látókörüket, és új kísérletek kezdeteként szolgálhat.

1. fejezet: Alternatív szorzási módszerek

1.1. Egy kis történelem
A most használt számítási módszerek nem mindig voltak ilyen egyszerűek és kényelmesek. A régi időkben körülményesebb és lassabb technikákat alkalmaztak. És ha egy modern iskolás ötszáz évet tudna visszamenni, mindenkit lenyűgözne számításai gyorsaságával és pontosságával. A róla szóló pletykák elterjedtek volna a környező iskolákban és kolostorokban, elhomályosítva a korszak legképzettebb számológépeinek dicsőségét, és mindenhonnan érkeztek az emberek, hogy az új nagy mesterhez tanuljanak.
A szorzás és osztás műveletei különösen nehézkesek voltak a régi időkben.
V. Bellustin „Hogyan jutottak el az emberek fokozatosan a valódi aritmetikához” című könyvében 27 szorzási módszert vázolnak fel, és a szerző megjegyzi: „nagyon lehetséges, hogy a könyvtárak mélyedéseiben más módszerek is rejtőznek, amelyek számos, főként kézzel írt formában vannak elszórva. gyűjtemények.” Mindezek a szorzási technikák pedig versenyeztek egymással, és nagy nehezen megtanulták.
Nézzük meg a szorzás legérdekesebb és legegyszerűbb módjait.
1.2. Orosz paraszti szorzási módszer
Oroszországban 2-3 évszázaddal ezelőtt néhány tartományban a parasztok körében elterjedt egy olyan módszer, amely nem követelte meg a teljes szorzótábla ismeretét. Csak tudni kellett szorozni és osztani 2-vel. Ezt a módszert parasztmódszernek nevezték.
Két szám szorzásához egymás mellé írtuk, majd a bal oldali számot elosztottuk 2-vel, a jobb oldali számot megszoroztuk 2-vel. Az eredményeket egy oszlopba írtuk, amíg 1 maradt a bal oldalon, a maradékot eldobtuk. Húzd át azokat a sorokat, amelyek bal oldalán páros számok vannak. A jobb oldali oszlopban összeadjuk a fennmaradó számokat.
1.3. Szorzás „Kisvár” módszerrel
Luca Pacioli olasz matematikus „Az aritmetika, arányok és arányosság összege” című értekezésében (1494) nyolc különböző szorzási módszert ad meg. Közülük az első a „kis kastély”.
A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.
A felső szám számjegyeit a legjelentősebb számjegytől kezdve sorra megszorozzuk az alsó számmal, és egy oszlopba írjuk a szükséges számú nullával. Az eredményeket ezután összeadják.
1.4. Számok szorzása „féltékenység” vagy „rácsszorzás” módszerrel
Luca Pacioli második módszerét „féltékenységnek” vagy „rácsos szorzásnak” nevezik.
Először egy téglalapot rajzolunk, amelyet négyzetekre osztunk. Ezután a négyzet alakú cellákat átlósan felosztják, és „... az eredmény a rácsos redőnyökhöz hasonló kép” – írja Pacioli. "Ilyen redőnyöket akasztottak a velencei házak ablakaira, megakadályozva, hogy az utcai járókelők lássák az ablakoknál ülő hölgyeket és apácákat."
Az első tényező minden számjegyét megszorozva a második számjegyével, a szorzatokat a megfelelő cellákba írjuk, tízeseket az átló fölé, egyeseket pedig alá. A termék számjegyeit a számjegyek ferde csíkokkal történő összeadásával kapjuk meg. A kiegészítések eredményeit a táblázat alatt, valamint attól jobbra írjuk.
1.5. Kínai szorzási mód
Most pedig mutassuk be az interneten élénken tárgyalt szorzási módszert, amelyet kínainak hívnak. A számok szorzásakor a vonalak metszéspontjait számítjuk ki, amelyek mindkét tényező egyes számjegyeinek számjegyeihez tartoznak.
1.6. Japán szorzási mód
A japán szorzási módszer egy grafikus módszer, amely köröket és vonalakat használ. Nem kevésbé vicces és érdekes, mint a kínai. Méghozzá némileg hasonlítani rá.
1.7. Okoneshnikov asztal
A filozófia kandidátusa, Vaszilij Okonesnyikov, egy új mentális számlálórendszer részmunkaidős feltalálója úgy véli, hogy az iskolások képesek lesznek megtanulni szóban összeadni és szorozni milliókat, milliárdokat, sőt hatmilliárdokat és kvadrilliókat is. Maga a tudós szerint a legelőnyösebb ebben a tekintetben a kilencszeres rendszer - minden adat egyszerűen kilenc cellába kerül, amelyek úgy helyezkednek el, mint a számológép gombjai.
A tudós szerint, mielőtt számítástechnikai „számítógépgé” válna, meg kell jegyezni az általa készített táblázatot.
A táblázat 9 részre van osztva. A mini számológép elve szerint helyezkednek el: „1” a bal alsó sarokban, „9” a jobb felső sarokban. Mindegyik rész egy szorzótábla 1-től 9-ig terjedő számokhoz (ugyanazt a „nyomógombos” rendszert használva). Ahhoz, hogy bármilyen számot megszorozhassunk, például 8-cal, keressünk egy nagy négyzetet, amely megfelel a 8-as számnak, és ebből írjuk ki a többjegyű szorzó számjegyeinek megfelelő számokat. A kapott számokat külön-külön adjuk hozzá: az első számjegy változatlan marad, a többi pedig páronként összeadódik. A kapott szám a szorzás eredménye lesz.
Ha két számjegy összeadásakor kilencnél nagyobb számot kapunk, akkor annak első számjegye hozzáadódik az eredmény előző számjegyéhez, a második pedig a „saját” helyére kerül.
Az új technikát több orosz iskolában és egyetemen is tesztelték. Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma engedélyezte egy új szorzótábla közzétételét kockás füzetekben a szokásos Pitagorasz-táblázat mellett - egyelőre csak az ismerkedés kedvéért.
1.8. Oszlopszorzás.
Nem sokan tudják, hogy a többjegyű számot egy többjegyű számmal többjegyű számmal oszloppal szorzó szokásos módszerünk szerzőjét Adam Riese-nek kell tekinteni (7. melléklet). Ezt az algoritmust tartják a legkényelmesebbnek.
2. fejezet Gyakorlati rész
A felsorolt szorzási módszerek elsajátítása során számos példát sikerült megoldani, és album készült a különféle számítási algoritmusok mintáival. (Alkalmazás). Nézzük meg a számítási algoritmust példákon keresztül.
2.1. Paraszti mód
Szorozzuk meg 47-et 35-tel (1. függelék),
-írd fel egy sorra a számokat, húzz közéjük egy függőleges vonalat;
-a bal oldali számot elosztjuk 2-vel, a jobb oldali számot megszorozzuk 2-vel (ha az osztás során maradék keletkezik, akkor a maradékot eldobjuk);
- az osztás akkor ér véget, amikor egy egység jelenik meg a bal oldalon;
-húzd át azokat a sorokat, amelyekben páros számok vannak a bal oldalon;
-összeadjuk a maradék számokat a jobb oldalon - ez az eredmény.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Következtetés. A módszer kényelmes abból a szempontból, hogy elég csak 2-re ismerni a táblázatot. Nagy számokkal való munka esetén azonban ez nagyon körülményes. Kényelmes, ha kétjegyű számokkal dolgozik.
2.2. Kis kastély
(2. melléklet). Következtetés. A módszer nagyon hasonlít a mi modern „oszlopunkhoz”. Ezenkívül a legmagasabb számjegyek száma azonnal meghatározásra kerül. Ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülnie egy értéket.
2.3. Számok szorzása „féltékenység” vagy „rácsszorzás” módszerrel
Szorozzuk meg például a 6827-et és a 345-öt (3. melléklet):
1. Rajzoljon egy négyzetrácsot, és írja be az egyik tényezőt az oszlopok fölé, a másodikat pedig a magasság mentén.
2. Szorozzuk meg az egyes sorok számát egymás után az egyes oszlopok számával. Sorban megszorozzuk a 3-at 6-tal, 8-cal, 2-vel és 7-tel stb.
4. Adja hozzá a számokat az átlós csíkok után. Ha egy átló összege tízeseket tartalmaz, akkor adja hozzá őket a következő átlóhoz.
A számok átlói mentén történő összeadásának eredményéből a 2355315 szám alakul ki, amely a 6827 és 345 számok szorzata, azaz 6827 ∙ 345 = 2355315.
Következtetés. A „rácsos szorzás” módszer nem rosszabb, mint az általánosan elfogadott. Még egyszerűbb, mivel a számok közvetlenül a szorzótáblából kerülnek be a táblázat celláiba, anélkül, hogy a szabványos módszerben jelen lenne az egyidejű összeadás.
2.4. kínai módon
Tegyük fel, hogy meg kell szoroznia 12-t 321-gyel (4. melléklet). Egy papírlapra egyenként vonalakat rajzolunk, amelyek számát ebből a példából határozzuk meg.
Kihúzzuk az első számot – 12. Ehhez fentről lefelé, balról jobbra húzzuk:
egy zöld bot (1)
és két narancssárga (2).
Rajzolja le a második számot – 321, alulról felfelé, balról jobbra:
három kék pálca (3);
két piros (2);
egy lila (1).
Most egy egyszerű ceruzával szétválasztjuk a metszéspontokat, és elkezdjük számolni őket. Jobbról balra haladunk (az óramutató járásával megegyezően): 2, 5, 8, 3.
Olvassuk balról jobbra az eredményt - 3852
Következtetés. Érdekes módszer, de a 9 egyenes rajzolása 9-cel szorozva valahogy hosszú és érdektelen, majd a metszéspontokat számolni. Szakértelem nélkül nehéz megérteni a számok számjegyekre osztását. Általában véve nem nélkülözheti a szorzótáblát!
2.5. Japán módra
Szorozzuk meg a 12-t 34-gyel (5. melléklet). Mivel a második tényező egy kétjegyű szám, és az első faktor első számjegye 1, ezért a felső sorban két szimpla kört, az alsó sorban két bináris kört készítünk, mivel az első tényező második számjegye 2 .
Mivel a második tényező első számjegye 3, a második pedig 4, ezért az első oszlop köreit három részre, a második oszlop köreit pedig négy részre osztjuk.
A válasz azon részek száma, amelyekre a köröket felosztották, azaz 12 x 34 = 408.
Következtetés. A módszer nagyon hasonló a kínai grafikushoz. Csak az egyenes vonalakat helyettesítik körök. Egy szám számjegyeit könnyebb meghatározni, de a körök rajzolása kevésbé kényelmes.
2.6. Okoneshnikov asztal
Meg kell szoroznia 15647 x 5-öt. Azonnal eszünkbe jut a nagy „gomb” 5 (középen van), és gondolatban megkeressük rajta a kis gombokat (1, 5, 6, 4, 7) (ezek is úgy helyezkednek el, mint a számológépen) . Ezek a 05, 25, 30, 20, 35 számoknak felelnek meg. A kapott számokat összeadjuk: az első számjegy 0 (változatlan marad), az 5-öt gondolatban hozzáadjuk 2-hez, 7-et kapunk - ez az eredmény második számjegye , 5-öt hozzáadjuk 3-hoz, megkapjuk a harmadik számjegyet - 8 , 0+2=2, 0+3=3 és a szorzat utolsó számjegye marad - 5. Az eredmény 78 235.
Következtetés. A módszer nagyon kényelmes, de fejből kell megtanulnia, vagy mindig legyen kéznél egy asztal.
2.7. Diákfelmérés
A negyedik osztályosok körében felmérés készült. 26 fő vett részt (8. sz. melléklet). A felmérés alapján kiderült, hogy minden válaszadó tudta, hogyan kell hagyományos módon szorozni. De a legtöbb srác nem ismeri a nem hagyományos szorzási módszereket. És vannak, akik meg akarják ismerni őket.
A kezdeti felmérést követően „Szorzás szenvedéllyel” tanórán kívüli órát tartottak, ahol alternatív szorzási algoritmusokkal ismerkedtek meg a gyerekek. Ezt követően felmérést végeztünk a számunkra leginkább tetsző módszerek azonosítására. A vitathatatlan vezető Vaszilij Okoneshnikov legmodernebb módszere volt. (9. függelék)
Következtetés
Miután megtanultam számolni az összes bemutatott módszerrel, úgy gondolom, hogy a legkényelmesebb szorzási módszer a „Kisvár” módszer - elvégre annyira hasonlít a jelenlegihez!
Az általam talált szokatlan számlálási módszerek közül a „japán” módszer tűnt érdekesebbnek. A legegyszerűbb módszernek a „kettőzés és hasítás” tűnt, amit az orosz parasztok használtak. Nem túl nagy számok szorzásakor használom. Nagyon kényelmes a használata kétjegyű számok szorzásakor.
Így elértem kutatásom célját - tanultam és megtanultam használni a többjegyű számok szorzásának nem szokványos módszereit. Hipotézisem beigazolódott - elsajátítottam hat alternatív módszert, és rájöttem, hogy ezek nem mindegyik lehetséges algoritmus.
Az általam tanulmányozott nem hagyományos szorzási módszerek nagyon érdekesek és létjogosultsággal bírnak. És bizonyos esetekben még könnyebben használhatók. Hiszem, hogy ezeknek a módszereknek a létezéséről lehet beszélni az iskolában, otthon, és meglepheti barátait, ismerőseit.
Eddig csak a már ismert szorzási módszereket tanulmányoztuk és elemeztük. De ki tudja, talán a jövőben mi magunk is felfedezhetjük a szorzás új módjait. Ezenkívül nem akarok itt megállni, és folytatni a nem hagyományos szorzási módszerek tanulmányozását.
Információforrások listája
1. Hivatkozások
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Szórakoztató matematika. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 p.
1.2. Bellustina V. Hogyan jutottak el az emberek fokozatosan a valódi aritmetikához. - LKI, 2012.-208 p.
1.3. Depman I. Történetek a matematikáról. – Leningrád: Nevelés, 1954. – 140 p.
1.4. Likum A. Minden mindenről. T. 2. - M.: „Slovo” Filológiai Társaság, 1993. - 512 p.
1.5. Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., Potapov M.K.. Régi szórakoztató problémák. – M.: Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főszerkesztősége, 1985. – 160 p.
1.6. Perelman Ya.I. Érdekes aritmetika. - M.: Rusanova, 1994 – 205 p.
1.7. Perelman Ya.I. Gyors számolás. Harminc egyszerű fejszámolási technika. L.: Lenizdat, 1941 - 12 p.
1.8. Savin A.P. Matematikai miniatúrák. Szórakoztató matematika gyerekeknek. - M.: Gyermekirodalom, 1998 - 175 p.
1.9. Enciklopédia gyerekeknek. Matematika. – M.: Avanta +, 2003. – 688 p.
1.10. Felfedem a világot: Gyermekenciklopédia: Matematika / összeáll. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 p.
2. Egyéb információforrások
Internetes források:
2.1. Korneev A.A. Az orosz szorzás jelensége. Sztori. [Elektronikus forrás]

közzétett 20.04.2012
Elena Petrovna Karinskaya-nak ajánlotta ,
iskolai matektanáromnak és osztályfőnökömnek
Almaty, ROFMSH, 1984–1987
"A tudomány csak akkor éri el a tökéletességet, ha képes használni a matematikát". Karl Heinrich Marx
ezek a szavak a matematika tantermünk táblája fölé voltak írva ;-)
Számítástechnika órák(előadás anyagok és workshopok)

Mi a szorzás?
Ez az összeadás művelete.
De nem túl kellemes
Mert sokszor...
Tim Sobakin

Próbáljuk meg végrehajtani ezt a műveletet
élvezetes és izgalmas ;-)

SZORZÁSI MÓDSZEREK SZORZÓTÁBLÁZAT NÉLKÜL (torna az elmének)

A zöld oldalak olvasóinak két olyan szorzási módszert ajánlok, amelyek nem használnak szorzótáblát;-) Remélem, hogy az informatika tanároknak is tetszeni fog ez az anyag, amelyet a tanórán kívüli órák levezetése során használhatnak.

Ez a módszer elterjedt volt az orosz parasztok körében, és az ókortól örökölték. Lényege, hogy bármely két szám szorzása az egyik szám egymást követő felezési sorozatára redukálódik, miközben egyidejűleg a másik számot megduplázza. Ilyenkor nem kell szorzótábla :-)

A felezést addig folytatjuk, amíg a hányados 1 nem lesz, miközben a másik számot megduplázzuk. Az utolsó duplázott szám adja a kívánt eredményt(1. kép). Nem nehéz megérteni, mire alapoz ez a módszer: a szorzat nem változik, ha az egyik tényezőt felére, a másikat pedig megduplázzuk. Nyilvánvaló tehát, hogy ennek a műveletnek az ismételt megismétlése eredményeként a kívánt terméket kapjuk.

Azonban mit kell tennie, ha muszáj felez egy páratlan számot? Ebben az esetben a páratlan számból eltávolítunk egyet, a maradékot pedig kettéosztjuk, míg a jobb oldali oszlop utolsó számához hozzá kell adnunk ebben az oszlopban mindazokat a számokat, amelyek a bal oldali oszlopban lévő páratlan számokkal szemben állnak - a összeg lesz a szükséges szorzat (2., 3. ábra).
Más szóval, minden olyan sort kihúzunk, ahol páros bal számok vannak; hagyd el, majd add össze a számok nincsenek áthúzva jobb oldali oszlop.

A 2. ábrához: 192 + 48 + 12 = 252
A vétel helyessége világossá válik, ha figyelembe vesszük, hogy:
5× 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21× 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Egyértelmű, hogy a számok 48 , 12 , amelyet páratlan szám felezésekor veszítenek, hozzá kell adni az utolsó szorzás eredményéhez, hogy megkapjuk a szorzatot.
Az orosz szorzási módszer egyszerre elegáns és extravagáns ;-)

§ Logikai probléma kb Zmeya Gorynych és a híres orosz hősök tovább zöld oldal „Melyik hős győzte le Gorynych kígyót?”
logikai feladatok megoldása logikai algebra segítségével
Tanulni szeretőknek! Azoknak, akik boldogok torna az elmének ;-)
§ Logikai feladatok megoldása táblázatos módszerrel

Folytassuk a beszélgetést :-)

Kínai??? A szorzás rajzi módszere

A fiam ismertetett meg ezzel a szorzási módszerrel, egy jegyzetfüzetből több papírlapot bocsátott rendelkezésemre kész megoldásokkal, bonyolult rajzok formájában. Az algoritmus megfejtésének folyamata forrni kezdett a szorzás rajzos módja :-) A tisztánlátás kedvéért úgy döntöttem, hogy színes ceruza segítségét veszem, és... megtört a jég, zsűri uraim :-)
Három példát ajánlok a figyelmébe színes képeken (a jobb felső sarokban check post).

1. példa: 12 × 321 = 3852
Rajzoljunk első szám fentről lefelé, balról jobbra: egy zöld bot ( 1 ); két narancssárga rúd ( 2 ). 12 rajzolt :-)
Rajzoljunk második szám alulról felfelé, balról jobbra: három kis kék pálcika ( 3 ); két piros ( 2 ); egy lila ( 1 ). 321 rajzolt :-)

Most egy egyszerű ceruzával végigsétálunk a rajzon, részekre osztjuk a pálcaszámok metszéspontjait, és elkezdjük számolni a pontokat. Mozgás jobbról balra (óramutató járásával megegyezően): 2 , 5 , 8 , 3 . Eredmény száma balról jobbra (az óramutató járásával ellentétes irányba) fogunk „gyűjteni” és... íme, megvan 3852 :-)

2. példa: 24 × 34 = 816
Ebben a példában vannak árnyalatok;-) Az első rész pontjainak számolásakor kiderült 16 . Küldünk egyet, és hozzáadjuk a második rész pontjaihoz ( 20 + 1 )…

3. példa: 215 × 741 = 159315
Nincs hozzászólás:-)

Eleinte kissé igényesnek tűnt, ugyanakkor érdekfeszítőnek és meglepően harmonikusnak. Az ötödik példában azon kaptam magam, hogy a szorzás felszáll :-) és működik autopilot módban: rajzolni, pontokat számolni, Nem emlékszünk a szorzótáblára, mintha nem is ismernénk :-)))

Hogy őszinte legyek, ellenőrzéskor szorzás rajzos módszereés áttérve az oszlopszorzásra, és szégyenszemre nem egyszer-kétszer, néhány lassulást észleltem, ami arra utalt, hogy a szorzótáblám néhol rozsdás volt: - (és ezt nem szabad elfelejteni. Ha „komolyabb”-al dolgozunk számok szorzás rajzos módszere túl terjedelmes lett, és szorzás oszloponkéntöröm volt.

Szorzótábla(a jegyzetfüzet hátoldalának vázlata)

P.S.: Dicsőség és dicséret a bennszülött szovjet oszlopnak!
Felépítését tekintve a módszer szerény és kompakt, nagyon gyors, Edzi a memóriát - megakadályozza, hogy elfelejtse a szorzótáblát :-) Ezért azt javaslom, hogy Ön és önmaga, ha lehetséges, felejtse el a számológépeket a telefonokon és a számítógépeken ;-) és időnként engedje át magát a szorzásnak. Ellenkező esetben a „Rise of the Machines” című film cselekménye nem a mozivásznon bontakozik ki, hanem a konyhánkban vagy a házunk melletti pázsiton...
Háromszor a bal váll fölött..., kopogj a fán... :-))) ...és ami a legfontosabb Ne feledkezzünk meg a szellemi gimnasztikáról sem!

A kíváncsiaknak: Szorzás[×] vagy [·] jelzi
A [×] jelet egy angol matematikus vezette be William Ooughtred 1631-ben.
A [ · ] jelet egy német tudós vezette be Gottfried Wilhelm Leibniz 1698-ban.
A betűjelölésben ezek a jelek kimaradtak és helyette a × b vagy a · bír ab.

A webmester malacperselyébe: Néhány matematikai szimbólum a HTML-ben

°	° vagy °	fokozat
±	± vagy ±	plusz vagy mínusz
¼	¼ vagy ¼	töredék - egy negyed
½	½ vagy ½	töredék - egy fele
¾	¾ vagy ¾	frakció - háromnegyed
×	× vagy ×	szorzójel
÷	÷ vagy ÷	osztás jele
ƒ	ƒ vagy ƒ	funkció jele
′	'vagy'	egyetlen ütés – perc és láb
″	"vagy"	dupla prím – másodperc és hüvelyk
≈	≈ vagy ≈	közelítő egyenlőségjel
≠	≠ vagy ≠	nem egyenlőségjel
≡	≡ vagy ≡	azonosan
>	> vagy >	több
<	< или	Kevésbé
≥	≥ vagy ≥	több vagy egyenlő
≤	≤ vagy ≤	kisebb vagy egyenlő
∑	∑ vagy ∑	összegző jel
√	√ vagy √	négyzetgyök (gyök)
∞	∞ vagy ∞	végtelenség
Ø	Ø vagy Ø	átmérő
∠	∠ vagy ∠	sarok
⊥	⊥ vagy ⊥	merőleges

Városi oktatási intézmény "Kurovskaya 6. sz. középiskola"

A TÉMÁBÓL A MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÁSA:

« A SZORZÁS SZOKATLAN MÓDJAI».

6. „b” osztályos tanuló fejezte be

Kresztnyikov Vaszilij.

Felügyelő:

Szmirnova Tatyana Vladimirovna.

Bevezetés…………………………………………………………………………2

Fő rész. Szokatlan szorzási módok…………………………3

2.1. Egy kis történelem………………………………………………………………..3

2.2. Szorzás az ujjakon…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3. Szorzás 9-cel……………………………………………………………………………………5

2.4. A szorzás indiai módja……………………………………………….6

2.5. Szorzás „Kisvár” módszerrel……………………………………7

2.6. Szorzás „féltékenység” módszerrel…………………………………………………………8

2.7. Paraszti szorzásmód………………………………………………..9

2.8 Új út……………………………………………………………………………………..10

Következtetés……………………………………………………………………………………11

Hivatkozások……………………………………………………………….1 2

én. Bevezetés.

Lehetetlen, hogy az ember számítások nélkül nélkülözze a mindennapi életben. Ezért a matematika órákon mindenekelőtt megtanítanak számokkal műveleteket végrehajtani, azaz számolni. Az iskolában tanult szokásos módszerekkel szorozunk, osztunk, összeadunk és kivonunk.

Egy nap véletlenül a kezembe akadt S. N. Olekhnik, Yu. V. Nesterenko és M. K. Potapov „Régi szórakoztató problémák” című könyve. A könyvet lapozgatva a figyelmemet felkeltette a „Szorzás az ujjakon” című oldal. Kiderült, hogy nem csak úgy lehet szorozni, ahogy a matematika tankönyvekben javasolják nekünk. Kíváncsi voltam, van-e más számítási módszer. Végül is a számítások gyors elvégzésének képessége őszintén meglepő.

A modern számítástechnika folyamatos alkalmazása oda vezet, hogy a tanulók nehezen tudnak számításokat végezni anélkül, hogy táblázatok vagy számológép állna rendelkezésükre. Az egyszerűsített számítási technikák ismerete lehetővé teszi nemcsak az egyszerű számítások fejben történő gyors elvégzését, hanem a gépesített számítások eredményeként a hibák ellenőrzését, értékelését, megtalálását és javítását is. Emellett a számítási készségek elsajátítása fejleszti a memóriát, növeli a matematikai gondolkodási kultúra szintjét, segíti a fizikai és matematikai ciklus tantárgyainak maradéktalan elsajátítását.

A munka célja:

Szokatlan megjelenítésszorzás módszerei.

Feladatok:

Keress minél többetszokatlan számítási módszerek.

Tanuld meg használni őket.

Válassza ki magának a legérdekesebbet vagy a legkönnyebbet azoknálkínálnakaz iskolában, és használja őket a számolás során.

II. Fő rész. Szokatlan szorzási módok.

2.1. Egy kis történelem.

A most használt számítási módszerek nem mindig voltak ilyen egyszerűek és kényelmesek. A régi időkben körülményesebb és lassabb technikákat alkalmaztak. És ha egy 21. századi iskolás öt évszázadot vissza tudna utazni, számításai gyorsaságával és pontosságával ámulatba ejtené őseinket. A róla szóló pletykák elterjedtek volna a környező iskolákban és kolostorokban, elhomályosítva a korszak legképzettebb számológépeinek dicsőségét, és mindenhonnan érkeztek az emberek, hogy az új nagy mesterhez tanuljanak.

A szorzás és osztás műveletei különösen nehézkesek voltak a régi időkben. Akkor nem volt egyetlen gyakorlat által kifejlesztett módszer minden egyes akcióhoz. Ellenkezőleg, közel egy tucat különböző szorzási és osztási módszert használtak egyszerre – egyik bonyolultabb technikát a másiknál, amire egy átlagos képességű ember nem tudott emlékezni. Minden számlálótanár ragaszkodott kedvenc technikájához, minden „osztásmester” (voltak ilyen szakemberek) dicsérte a saját módját ennek a műveletnek.

V. Bellustin „Hogyan jutottak el az emberek fokozatosan a valódi aritmetikához” című könyvében 27 szorzási módszert vázolnak fel, és a szerző megjegyzi: „nagyon lehetséges, hogy a könyvtárak mélyedéseiben más módszerek is rejtőznek, amelyek számos, főként kézzel írt formában vannak elszórva. gyűjtemények.”

És mindezek a szorzási módszerek - „sakk vagy orgona”, „hajtogatás”, „kereszt”, „rács”, „hátul előre”, „gyémánt” és mások versenyeztek egymással, és nagy nehézségek árán tanulták meg.

Nézzük meg a szorzás legérdekesebb és legegyszerűbb módjait.

2.2. Szorzás az ujjakon.

2.3. Szorozd meg 9-cel.

A 9-es szám szorzása– 9·1, 9·2 ... 9·10 – könnyebben elfelejthető a memóriából, és nehezebb kézzel újraszámolni az összeadás módszerével, azonban kifejezetten a 9-es szám esetében a szorzás könnyen reprodukálható „az ujjakon”. Nyújtsa szét az ujjait mindkét kezére, és fordítsa el a kezét úgy, hogy a tenyere öntől elfelé nézzen. Gondolatban rendeljen 1-től 10-ig terjedő számokat az ujjaihoz, kezdve a bal keze kisujjával és a jobb kezének kisujjával (ez látható az ábrán).

Tegyük fel, hogy meg akarjuk szorozni a 9-et 6-tal. Hajlítsuk meg az ujjunkat egy számmal, amely megegyezik azzal a számmal, amellyel kilencet megszorozunk. Példánkban a 6-os számú ujjat kell behajlítanunk. A hajlított ujjtól balra lévő ujjak száma a válaszban szereplő tízesek számát mutatja, a jobb oldali ujjak száma pedig az egységek számát. Bal oldalon 5 nem hajlított, jobb oldalon 4 ujjunk van. Így 9·6=54. Az alábbi ábra részletesen bemutatja a „számítás” teljes elvét.

7 cella 2 cella.

2.4. A szorzás indiai módja.

A matematikai tudás kincstárához a legértékesebb hozzájárulás Indiában történt. A hinduk azt a módszert javasolták, amellyel számokat írhatunk tíz jellel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Szorzás módja"KIS KASTÉLY".

A „Kisvár” szorzási módszer előnye, hogy a kezdő számjegyeket már az elején meghatározzák, és ez akkor lehet fontos, ha gyorsan meg kell becsülni egy értéket.

2.6. Számok szorzása"féltékenység" módszerével.

A második módszer romantikus neve „féltékenység”, vagy „rácsszorzás”.

Először egy téglalapot rajzolunk, amelyet négyzetekre osztunk, és a téglalap oldalainak mérete megfelel a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek számának. Ezután a négyzet alakú cellákat átlósan felosztják, és „... az eredmény a rácsos redőnyökhöz hasonló kép” – írja Pacioli. "Ilyen redőnyöket akasztottak a velencei házak ablakaira, megakadályozva, hogy az utcai járókelők lássák az ablakoknál ülő hölgyeket és apácákat."

A 347-et így szorozzuk meg 29-cel, rajzoljunk egy táblázatot, fölé írjuk a 347-es számot, jobbra pedig a 29-et.

2.7. NAK NEKparaszti szorzási módszer.

Az összes megfelelő számpár szorzata azonos, tehát

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

Abban az esetben, ha az egyik szám páratlan, vagy mindkét szám páratlan, a következőképpen járjon el:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . A szaporodás új módja.

Érdekes egy új szorzási módszer, amelyről nemrégiben számoltak be. Az új mentális számlálórendszer feltalálója, a filozófia kandidátusa, Vaszilij Okoneshnikov azt állítja, hogy az ember hatalmas mennyiségű információra képes emlékezni, a lényeg az, hogy hogyan rendezze el ezeket az információkat. Maga a tudós szerint a legelőnyösebb ebben a tekintetben a kilencszeres rendszer - minden adat egyszerűen kilenc cellába kerül, amelyek úgy helyezkednek el, mint a számológép gombjai.

Ennek eredményeként a következőt kapjuk: 078235. A 78235 szám szorzás eredménye.

Ha két számjegy összeadásakor kilencnél nagyobb számot kapunk, akkor annak első számjegye hozzáadódik az eredmény előző számjegyéhez, a második pedig a „saját” helyére kerül.

III. Következtetés.

Az általam talált szokatlan számolási módszerek közül a „rácsos szorzás vagy féltékenység” módszer tűnt érdekesebbnek. Megmutattam az osztálytársaimnak és nekik is nagyon tetszett.

A legegyszerűbb módszernek a „kettőzés és hasítás” tűnt, amit az orosz parasztok használtak. Nem túl nagy számok szorzásakor használom (kétjegyű számok szorzásakor nagyon kényelmes a használata).

Érdekelt az új szorzási módszer, mert így hatalmas számokat „dobhatok fel” gondolatban.

Úgy gondolom, hogy az oszlopos szorzás módszerünk nem tökéletes, és még gyorsabb és megbízhatóbb módszereket tudunk kitalálni.

Irodalom.

Depman I. „Történetek a matematikáról”. – Leningrád: Nevelés, 1954. – 140 p.

Korneev A.A. Az orosz szorzás jelensége. Sztori. http://numbernautics.ru/

Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. „Régi szórakoztató problémák”. – M.: Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főszerkesztősége, 1985. – 160 p.

Perelman Ya.I. Gyors számolás. Harminc egyszerű fejszámolási technika. L., 1941 - 12 p.

Perelman Ya.I. Érdekes aritmetika. M. Rusanova, 1994–205 p.

Enciklopédia „Felfedezem a világot. Matematika". – M.: Astrel Ermak, 2004.

Enciklopédia gyerekeknek. "Matematika". – M.: Avanta +, 2003. – 688 p.