2 keresse meg a paralelogramma területét. Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét? Képletek a paralelogramma területének meghatározásához
A paralelogramma területének képletének levezetése az adott paralelogrammával megegyező területű téglalap megalkotása. Vegyük alapnak a paralelogramma egyik oldalát, és az alapot tartalmazó egyenessel ellentétes oldal bármely pontjából húzott merőlegest a paralelogramma magasságának nevezzük. Ekkor a paralelogramma területe egyenlő lesz az alapja és a magassága szorzatával.
Tétel.A paralelogramma területe egyenlő az alapja és a magassága szorzatával.
Bizonyíték. Tekintsünk egy területű paralelogrammát. Vegyük az oldalt alapnak, és rajzoljuk meg a magasságokat (2.3.1. ábra). Ezt bizonyítani kell.
2.3.1. ábra
Először bizonyítsuk be, hogy a téglalap területe is egyenlő. A trapéz egy paralelogrammából és egy háromszögből áll. Másrészt egy NVSC téglalapból és egy háromszögből áll. De a derékszögű háromszögek befogói és hegyesszögei egyenlőek (befogóik egyenlőek egy paralelogramma szemközti oldalaival, az 1-es és 2-es szögek pedig egyenlőek a párhuzamos egyenesek és egy keresztirányú metszéspontjában bezárt szögekkel), tehát területük egyenlő. Ezért a paralelogramma és a téglalap területe is egyenlő, vagyis a téglalap területe egyenlő. A téglalap területére vonatkozó tétel szerint, de azóta.
A tétel bizonyítást nyert.
2.3.1. példa.
Egy kör van beírva egy rombuszba, amelynek oldala és hegyesszöge van. Határozza meg annak a négyszögnek a területét, amelynek csúcsai a kör érintkezési pontjai a rombusz oldalaival.
Megoldás:
A rombuszba írt kör sugara (2.3.2. ábra), mivel a Négyszög téglalap, mivel szögei a kör átmérőjén nyugszanak. Területe hol (a szöggel ellentétes oldal),. 
2.3.2. ábra
Így, 
Válasz:
Példa 2.3.2.
Adott egy rombusz, amelynek átlói 3 cm és 4 cm. A tompaszög csúcsából kirajzoljuk a magasságokat, és kiszámítjuk a négyszög területét
Megoldás:
Egy rombusz területe (2.3.3. ábra).
Így, 
Válasz:
2.3.3. példa.
Egy négyszög területe Keresse meg annak a paralelogrammának a területét, amelynek oldalai egyenlőek és párhuzamosak a négyszög átlóival.
Megoldás:
Mivel és (2.3.4. ábra), akkor egy paralelogramma, és ezért,.
2.3.4. ábra
Hasonlóképpen azt kapjuk, amiből az következik.
Válasz:.
2.4 Egy háromszög területe
Számos képlet létezik a háromszög területének kiszámítására. Nézzük azokat, amelyeket az iskolában tanulnak.
Az első képlet a paralelogramma területének képletéből következik, és tétel formájában kínálják a hallgatóknak.
Tétel.A háromszög területe egyenlő az alapja és magassága szorzatának felével.
Bizonyíték. Legyen a háromszög területe. Vegye ki a háromszög alján lévő oldalt, és rajzolja meg a magasságot. Bizonyítsuk be, hogy:
2.4.1. ábra
Építsük fel a háromszöget paralelogrammává az ábrán látható módon. A háromszögek három oldala egyenlő (közös oldaluk és egy paralelogramma szemközti oldala), tehát területük egyenlő. Következésképpen az ABC háromszög S területe egyenlő a paralelogramma területének felével, azaz. 
A tétel bizonyítást nyert.
Fontos felhívni a tanulók figyelmét a tételből következő két következményre. Ugyanis:
Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábai szorzatának felével.
Ha két háromszög magassága egyenlő, akkor területeik alapként viszonyulnak egymáshoz.
Ez a két következmény fontos szerepet játszik a különféle problémák megoldásában. Ennek alapján egy másik tétel bizonyítást nyer, amely széleskörűen alkalmazható a feladatok megoldásában.
Tétel. Ha az egyik háromszög szöge egyenlő egy másik háromszög szögével, akkor területeiket az egyenlő szögeket bezáró oldalak szorzataként viszonyítjuk.
Bizonyíték. Legyen és azon háromszögek területei, amelyek szögei egyenlők.
2.4.2. ábra
Bizonyítsuk be, hogy: 
.
Adjunk hozzá egy háromszöget. a háromszögre úgy, hogy a csúcs a csúcshoz igazodik, és az oldalak átfedik a sugarakat.
2.4.3. ábra
A háromszögeknek közös a magassága, így... A háromszögeknek is van közös magasságuk – ezért,. A kapott egyenlőségeket megszorozva kapjuk 
.
A tétel bizonyítást nyert.
Második képlet.Egy háromszög területe egyenlő a két oldala és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatának felével. Ezt a képletet többféleképpen is bizonyíthatjuk, ezek közül az egyiket fogom használni.
Bizonyíték. A geometriából van egy jól ismert tétel, amely szerint a háromszög területe egyenlő az alap és az alap által lesüllyesztett magasság szorzatának felével:
Hegyesszögű háromszög esetén. Tompaszög esetén. Ho, és ezért 
. Tehát mindkét esetben. A geometriai képletben a háromszög területét helyettesítve megkapjuk a háromszög területének trigonometrikus képletét:
A tétel bizonyítást nyert.
Harmadik képlet egy háromszög területére - Heron képlete, amelyet az ókori görög tudósról, Alexandriai Heronról neveztek el, aki az i.sz. első században élt. Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a háromszög területét, ismerve az oldalait. Kényelmes, mert lehetővé teszi, hogy ne készítsen további konstrukciókat vagy ne mérjen szögeket. Következtetése az általunk vizsgált háromszögterület képletek közül a második és a koszinusztételen alapul: és .
Mielőtt folytatná a terv végrehajtását, vegye figyelembe, hogy
Pontosan ugyanígy van nálunk:
Most fejezzük ki a koszinuszát és kifejezésekkel:
Mivel a háromszög bármely szöge nagyobb és kisebb, akkor. Eszközök, 
.
Most külön-külön transzformáljuk a gyökkifejezés egyes faktorait. Nekünk van:
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük a terület képletébe, a következőt kapjuk:
A „háromszög területe” téma nagy jelentőséggel bír az iskolai matematika kurzusban. A háromszög a legegyszerűbb geometriai alakzat. Az iskola geometriájának „szerkezeti eleme”. A geometriai feladatok túlnyomó többsége a háromszögek megoldásán múlik. Ez alól a szabályos és tetszőleges n-szög területének megtalálásának problémája sem kivétel.
2.4.1. példa.
Mekkora egy egyenlő szárú háromszög területe, ha alapja , oldala pedig ?
Megoldás:
-egyenlő szárú,
2.4.4. ábra
Használjuk az egyenlő szárú háromszög tulajdonságait - mediánt és magasságot. Akkor 
A Pitagorasz-tétel szerint:
A háromszög területének megkeresése:
Válasz:
Példa 2.4.2.
Egy derékszögű háromszögben a hegyesszög felezője a szemközti szárat 4 és 5 cm hosszú szakaszokra osztja. Határozza meg a háromszög területét.
Megoldás:
Legyen (2.4.5. ábra). Majd (mivel BD egy felező). Innentől megvan 
, vagyis. Eszközök,
2.4.5. ábra
Válasz: 
2.4.3. példa.
Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög területét, ha az alapja egyenlő -vel, és az alaphoz húzott magasság hossza megegyezik az alap és az oldal felezőpontját összekötő szakasz hosszával.
Megoldás:
A feltételnek megfelelően – a középvonal (2.4.6. ábra). Mivel nálunk van:
vagy 
, innentől, 
A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságok paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:
- A paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
- A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
- A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból érkező felezők párhuzamosak egymással, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek
- Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
- A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével
Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.
1. feladat.
Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!
Megoldás.
1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.
2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. ABCD kerület = 20 cm.
Válasz. 20 cm.
2. feladat.
Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.
Megoldás.
1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.
2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)
3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.
4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)
5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.
Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.
3. feladat.
Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,
Megoldás.
1. DOM háromszögben<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Derékszögű háromszögben DHC Akkor<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 De CD = AB. Ekkor AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Válasz: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. feladat. A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót. Megoldás.
1. AO = 2√6. 2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Válasz: 12.
5. feladat. Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét! Megoldás.
Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel. 1. Számoljunk két különbözőt S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Az 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. A paralelogramma oldalai és átlói közötti összefüggést felhasználva felírjuk az egyenlőséget (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Hozzunk létre egy rendszert: (d 1 2 + d 2 2 = 296, A rendszer második egyenletét szorozzuk meg 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz. Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24. Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24. Válasz: 24.
6. feladat. A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 fok. Keresse meg a paralelogramma területét. Megoldás.
1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját. Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. A d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk. 3. Van egy rendszerünk A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 · d 2 √2 = 80 ill. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, arra számítva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához. Válasz: 10. 7. feladat. A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a kisebb átló négyzetét! Megoldás.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Végezzünk helyettesítést a képletben. 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Ezért sin ВAD = 4/5. 2. Keressük meg a cos VAD-ot. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. A feladat feltételei szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A ВD átló kisebb lesz, ha a ВАD szög hegyes. Akkor cos VAD = 3/5. 3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Válasz: 145.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát? weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges. Mielőtt megtanulnánk, hogyan találjuk meg a paralelogramma területét, emlékeznünk kell arra, hogy mi a paralelogramma, és mit nevezünk magasságának. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak (párhuzamos egyeneseken fekszenek). A szemközti oldal tetszőleges pontjából az ezt az oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegest paralelogramma magasságának nevezzük. A négyzet, a téglalap és a rombusz a paralelogramma speciális esetei. A paralelogramma területét (S) jelöljük. S=a*h, ahol a az alap, h az alaphoz húzott magasság. S=a*b*sinα, ahol a és b az alapok, α pedig az a és b alapok közötti szög. S =p*r, ahol p a fél kerülete, r a paralelogrammába írt kör sugara. Az a és b vektorok által alkotott paralelogramma területe megegyezik az adott vektorok szorzatának modulusával, nevezetesen: Tekintsük az 1. példát: Adott egy paralelogramma, amelynek oldala 7 cm, magassága 3 cm. Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét, szükségünk van egy képletre a megoldáshoz. Így S=7x3. S=21. Válasz: 21 cm 2. Tekintsük a 2. példát: Adott alapok 6 és 7 cm, valamint adott 60 fokos szög az alapok között. Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét? A megoldáshoz használt képlet: Így először megkeressük a szög szinuszát. Szinusz 60 = 0,5, illetve S = 6*7*0,5=21 Válasz: 21 cm 2. Remélem, hogy ezek a példák segítenek a problémák megoldásában. És ne feledje, a fő dolog a képletek ismerete és a figyelmesség Mi az a paralelogramma? A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. 1. A paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki: \[ \NAGY S = a \cdot h_(a)\] Ahol: 2. Ha ismert a paralelogramma két szomszédos oldalának hossza és a köztük lévő szög, akkor a paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki: \[ \NAGY S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Ha egy paralelogramma átlói adottak, és ismert a köztük lévő szög, akkor a paralelogramma területét a következő képlettel számítjuk ki: \[ \NAGY S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \] Egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek: \(AB = CD\), \(BC = AD\) Egy paralelogrammában a szemközti szögek egyenlőek: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\) A paralelogramma metszéspontjában lévő átlóit fel kell osztani \(AO = OC\) , \(BO = OD\) A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja. Az egyik oldallal szomszédos paralelogramma szögeinek összege 180 o: \(\angle A + \angle B = 180^(o)\), \(\angle B + \angle C = 180^(o)\) \(\angle C + \angle D = 180^(o)\), \(\angle D + \angle A = 180^(o)\) A paralelogramma átlói és oldalai a következő összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz: \(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \) Egy paralelogrammában a magasságok közötti szög egyenlő annak hegyesszögével: \(\angle K B H =\angle A\) . A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögfelezők egymásra merőlegesek. Egy paralelogramma két szemközti szögének felezőpontja párhuzamos. Egy négyszög paralelogramma, ha: \(AB = CD\) és \(AB || CD\) \(AB = CD\) és \(BC = AD\) \(AO = OC\) és \(BO = OD\) \(\angle A = \angle C\) és \(\angle B = \angle D\) A paralelogramma területének képlete A paralelogramma területe egyenlő az oldalának és az oldal magasságának szorzatával. Bizonyíték Ha a paralelogramma téglalap, akkor az egyenlőséget a téglalap területére vonatkozó tétel teljesíti. Ezután feltételezzük, hogy a paralelogramma szögei nem megfelelőek. Legyen $\angle BAD$ hegyesszög az $ABCD$ paralelogrammában és $AD > AB$. Ellenkező esetben átnevezzük a csúcsokat. Ekkor a $B$ csúcstól a $AD$ egyenesig mért $BH$ magasság az $AD$ oldalra esik, mivel a $AH$ szár rövidebb, mint a $AB$ hipotenusz, és $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны. Hasonlítsuk össze az $ABCD$ paralelogramma és a $HBCK$ téglalap területét. A paralelogramma területe nagyobb az $\háromszög ABH$ területével, de kisebb a $\háromszög DCK$ területével. Mivel ezek a háromszögek egyenlőek, területük egyenlő. Ez azt jelenti, hogy a paralelogramma területe megegyezik egy téglalap területével, amelynek oldalai hossza egymás mellett van, és a paralelogramma magassága. A paralelogramma területének képlete oldalak és szinusz felhasználásával A paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Bizonyíték Az $AB$ oldalra ejtett $ABCD$ paralelogramma magassága megegyezik a $BC$ szakasz és az $\angle ABC$ szög szinuszának szorzatával. Marad az előző állítás alkalmazása. A paralelogramma területének képlete az átlók segítségével A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével. Bizonyíték Az $ABCD$ paralelogramma átlói a $O$ pontban $\alpha$ szögben metsszék egymást. Ekkor $AO=OC$ és $BO=OD$ a paralelogramma tulajdonság alapján. A $180^\circ$ összegű szögek szinuszai egyenlőek: $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Ez azt jelenti, hogy a szögek szinuszai az átlók metszéspontjában megegyeznek a $\sin \alpha$ értékkel. $S_(ABCD)=S_(\háromszög AOB) + S_(\háromszög BOC) + S_(\háromszög COD) + S_(\háromszög AOD)$ területmérés axiómája szerint. Ezekre a háromszögekre és szögekre alkalmazzuk a $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ háromszögterület képletet, amikor az átlók metszik egymást. Mindegyik oldala egyenlő az átlók felével, és a szinuszok is egyenlők. Ezért mind a négy háromszög területe egyenlő: $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Összegezve a fentieket, azt kapjuk $S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
(
(Mivel derékszögű háromszögben a 30°-os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a befogó felével).
módon a területét.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
Képletek a paralelogramma területének meghatározásához
a a paralelogramma oldala,
h a – erre az oldalra húzott magasság.A paralelogramma tulajdonságai
A paralelogramma jelei
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!
