घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम की व्युत्पत्ति। किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम का सत्यापन किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति का मूल नियम

एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष बल का क्षणहे त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक वेक्टर भौतिक मात्रा है बिंदु से खींचा गयाहे बिल्कुलए बल का प्रयोग, बल (चित्र.1.4.1):

(1.4.1)

यहाँ - स्यूडोवेक्टर, जब यह घूमता है तो इसकी दिशा सही प्रोपेलर की गति की दिशा से मेल खाती है को .

बल के क्षण का मापांक

कहाँ
- बीच का कोण और ,
- बल की क्रिया रेखा और बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी के बारे में–कंधे की ताकत.

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर बल का क्षण जेड
, वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष परिभाषित बल का क्षणहे दी गई धुरीजेड (चित्र 1.4.1)।

जब कोई पिंड घूमता है तो किया गया कार्य कार्यशील बल के क्षण और घूर्णन के कोण के उत्पाद के बराबर होता है:

.

दूसरी ओर, यह कार्य इसकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाने की दिशा में जाता है:

, लेकिन

, इसीलिए

, या
.

ध्यान में रख कर
, हम पाते हैं

. (1.4.2)

प्राप्त एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष एक कठोर शरीर की घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण: शरीर पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का क्षण शरीर की जड़ता के क्षण और कोणीय त्वरण के उत्पाद के बराबर है।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि घूर्णन की धुरी द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली जड़ता की मुख्य धुरी के साथ मेल खाती है, तो वेक्टर समानता होती है:

,

कहाँ मैं- शरीर की जड़ता का मुख्य क्षण (मुख्य अक्ष के सापेक्ष जड़ता का क्षण)।

1.5 कोणीय संवेग और इसके संरक्षण का नियम

आवेग का क्षण भौतिक बिंदुए एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष के बारे में वेक्टर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक वेक्टर भौतिक मात्रा है:

(1.5.1)

कहाँ - बिंदु से खींचा गया त्रिज्या वेक्टर के बारे मेंबिल्कुल ए;
- किसी भौतिक बिंदु का संवेग (चित्र 1.5.1)।
- स्यूडोवेक्टर, जब यह घूमता है तो इसकी दिशा दाएं प्रोपेलर की ट्रांसलेशनल गति की दिशा से मेल खाती है को .

,

कहाँ
– सदिशों के बीच का कोण और ,- वेक्टर भुजा बिंदु के सापेक्ष के बारे में.

एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष आवेग की गति जेड अदिश राशि कहलाती है
, एक मनमाना बिंदु के सापेक्ष परिभाषित कोणीय गति वेक्टर के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबरके बारे में यह अक्ष.संवेग मूल्य
बिंदु की स्थिति पर निर्भर नहीं करता के बारे मेंअक्ष पर जेड.

जब एक बिल्कुल कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है जेड शरीर का प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु स्थिर त्रिज्या के एक वृत्त में घूमता है कुछ गति से . रफ़्तार और गति
इस त्रिज्या के लंबवत, अर्थात त्रिज्या वेक्टर की भुजा है
. इसलिए, हम लिख सकते हैं कि एक व्यक्तिगत कण का कोणीय संवेग

और अक्ष के अनुदिश सही पेंच नियम द्वारा निर्धारित दिशा में निर्देशित होता है।

एक कठोर पिंड का संवेगअक्ष के सापेक्ष व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग का योग है:

.

सूत्र का उपयोग करना
, हम पाते हैं

, अर्थात।
. (1.5.2)

इस प्रकार, किसी अक्ष के सापेक्ष किसी कठोर पिंड का कोणीय संवेग उसी अक्ष के सापेक्ष पिंड के जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है।

आइए समय के संबंध में समीकरण (1.5.2) को अलग करें:

, अर्थात।
. (1.5.3)

यह अभिव्यक्ति दूसरा रूप है किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल समीकरण (कानून)। एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष: अक्ष के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली (ठोस पिंड) के संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न उसी अक्ष के सापेक्ष इस प्रणाली पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के प्रमुख क्षण के बराबर होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एक वेक्टर समानता है
.

एक बंद प्रणाली में, बाहरी ताकतों का क्षण
और
, कहाँ

. (1.5.4)

अभिव्यक्ति (1.5.4) है कोणीय गति के संरक्षण का नियम : बंद-लूप प्रणाली का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

आइए उन मूल मात्राओं और समीकरणों की तुलना करें जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी पिंड के घूमने और उसकी अनुवादात्मक गति को निर्धारित करते हैं (तालिका 1.5.1)।

तालिका 1.5.1

बुनियादी अवधारणाओं।

शक्ति का क्षणघूर्णन अक्ष के सापेक्ष - यह त्रिज्या सदिश और बल का सदिश गुणनफल है।

बल का क्षण एक वेक्टर है , जिसकी दिशा शरीर पर लगने वाले बल की दिशा के आधार पर गिलेट (दायां पेंच) के नियम से निर्धारित होती है। बल का क्षण घूर्णन अक्ष के अनुदिश निर्देशित होता है और इसमें अनुप्रयोग का कोई विशिष्ट बिंदु नहीं होता है।

इस वेक्टर का संख्यात्मक मान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

एम=आर×एफ× सिना(1.15),

जहाँ एक - त्रिज्या वेक्टर और बल की दिशा के बीच का कोण।

यदि a=0या पी, शक्ति का क्षण एम=0, अर्थात। घूर्णन अक्ष से गुजरने वाला या उसके साथ मेल खाने वाला बल घूर्णन का कारण नहीं बनता है।

यदि बल किसी कोण पर कार्य करता है तो सबसे बड़ा मापांक बल उत्पन्न होता है ए=पी/2 (एम > 0)या ए=3पी/2 (एम< 0).

उत्तोलन की अवधारणा का उपयोग करना डी- यह घूर्णन के केंद्र से बल की क्रिया की रेखा तक उतारा गया एक लंबवत है), बल के क्षण का सूत्र इस प्रकार होता है:

कहाँ (1.16)

बलों के क्षणों का नियम(घूर्णन की एक निश्चित धुरी वाले शरीर के संतुलन की स्थिति):

घूर्णन की एक निश्चित धुरी वाले शरीर के संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक है कि इस शरीर पर कार्य करने वाले बलों के क्षणों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर हो।

एस एम मैं =0(1.17)

बल के क्षण के लिए SI इकाई [N×m] है

घूर्णी गति के दौरान, किसी पिंड की जड़ता न केवल उसके द्रव्यमान पर निर्भर करती है, बल्कि घूर्णन की धुरी के सापेक्ष अंतरिक्ष में उसके वितरण पर भी निर्भर करती है।

घूर्णन के दौरान जड़ता को घूर्णन की धुरी के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण की विशेषता है जे।

निष्क्रियता के पलघूर्णन अक्ष के सापेक्ष भौतिक बिंदु का मान घूर्णन अक्ष से उसकी दूरी के वर्ग द्वारा बिंदु के द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होता है:

जे आई =एम आई × आर आई 2(1.18)

किसी अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण शरीर को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों का योग है:

जे=एस एम आई × आर आई 2(1.19)

किसी पिंड की जड़ता का क्षण उसके द्रव्यमान और आकार के साथ-साथ घूर्णन अक्ष की पसंद पर भी निर्भर करता है। एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के क्षण को निर्धारित करने के लिए, स्टीनर-ह्यूजेंस प्रमेय का उपयोग किया जाता है:

जे=जे 0 +एम× डी 2(1.20),

कहाँ जे0– पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक समानांतर धुरी के बारे में जड़ता का क्षण, डी– दो समानांतर अक्षों के बीच की दूरी . SI में जड़त्व आघूर्ण को [kg × m 2 ] में मापा जाता है

मानव शरीर की घूर्णी गति के दौरान जड़ता का क्षण प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है और सिलेंडर, गोल छड़ या गेंद के सूत्रों का उपयोग करके लगभग गणना की जाती है।

घूर्णन के ऊर्ध्वाधर अक्ष के सापेक्ष किसी व्यक्ति की जड़ता का क्षण, जो द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है (मानव शरीर के द्रव्यमान का केंद्र दूसरे त्रिक कशेरुका के थोड़ा सामने धनु तल में स्थित है), इस पर निर्भर करता है व्यक्ति की स्थिति के निम्नलिखित मान होते हैं: ध्यान में खड़े होने पर - 1.2 किग्रा × मी 2; "अरबी" मुद्रा के साथ - 8 किग्रा × मी 2; क्षैतिज स्थिति में - 17 किग्रा × मी 2.

घूर्णी गति में कार्य करेंतब होता है जब कोई पिंड बाहरी ताकतों के प्रभाव में घूमता है।

घूर्णी गति में बल का प्राथमिक कार्य बल के क्षण और शरीर के घूर्णन के प्राथमिक कोण के उत्पाद के बराबर होता है:

डीए आई =एम आई × डीजे(1.21)

यदि किसी पिंड पर कई बल कार्य करते हैं, तो सभी लागू बलों के परिणामी का प्रारंभिक कार्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

dA=M×dj(1.22),

कहाँ एम- शरीर पर कार्य करने वाली सभी बाहरी शक्तियों का कुल क्षण।

घूमते हुए पिंड की गतिज ऊर्जाडब्ल्यू सेपिंड की जड़ता के क्षण और उसके घूर्णन के कोणीय वेग पर निर्भर करता है:

आवेग का कोण (कोणीय संवेग) –संख्यात्मक रूप से शरीर की गति और घूर्णन की त्रिज्या के उत्पाद के बराबर मात्रा।

एल=पी× आर=एम× वी× आर(1.24).

उपयुक्त परिवर्तनों के बाद, आप कोणीय गति निर्धारित करने के लिए सूत्र को इस रूप में लिख सकते हैं:

(1.25).

कोणीय संवेग एक वेक्टर है जिसकी दिशा दाहिने हाथ के पेंच नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। कोणीय संवेग की SI इकाई [kg×m 2/s] है

घूर्णी गति की गतिशीलता के बुनियादी नियम।

घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण:

घूर्णी गति से गुजरने वाले किसी पिंड का कोणीय त्वरण सभी बाहरी बलों के कुल क्षण के सीधे आनुपातिक और शरीर की जड़ता के क्षण के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(1.26).

यह समीकरण घूर्णी गति का वर्णन करने में वही भूमिका निभाता है जो न्यूटन का दूसरा नियम अनुवादात्मक गति के लिए करता है। समीकरण से यह स्पष्ट है कि बाहरी बलों की कार्रवाई के तहत, कोणीय त्वरण जितना अधिक होगा, शरीर की जड़ता का क्षण उतना ही कम होगा।

घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए न्यूटन का दूसरा नियम दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:

(1.27),

वे। समय के संबंध में किसी पिंड के कोणीय संवेग का पहला व्युत्पन्न किसी दिए गए पिंड पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के कुल क्षण के बराबर होता है।

किसी पिंड के कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम:

यदि शरीर पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का कुल क्षण शून्य के बराबर है, अर्थात।

एस एम मैं =0, तब डीएल/डीटी=0 (1.28).

इसका तात्पर्य या तो (1.29) है।

यह कथन किसी पिंड के कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का सार है, जिसे इस प्रकार तैयार किया गया है:

यदि किसी घूमते हुए पिंड पर कार्य करने वाले बाह्य बलों का कुल आघूर्ण शून्य हो तो किसी पिंड का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

यह नियम न केवल पूर्णतः कठोर शरीर के लिए मान्य है। एक उदाहरण एक फिगर स्केटर है जो एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है। अपने हाथों को दबाकर, स्केटर जड़ता के क्षण को कम कर देता है और कोणीय गति को बढ़ा देता है। घूर्णन को धीमा करने के लिए, इसके विपरीत, वह अपनी बाहों को चौड़ा फैलाता है; परिणामस्वरूप, जड़ता का क्षण बढ़ जाता है और घूर्णन की कोणीय गति कम हो जाती है।

अंत में, हम अनुवादात्मक और घूर्णी आंदोलनों की गतिशीलता को दर्शाने वाली मुख्य मात्राओं और कानूनों की एक तुलनात्मक तालिका प्रस्तुत करते हैं।

तालिका 1.4.

आगे बढ़ना	घूर्णी गति
भौतिक मात्रा	FORMULA	भौतिक मात्रा	FORMULA
वज़न	एम	निष्क्रियता के पल	जे=एम×आर 2
बल	एफ	शक्ति का क्षण	एम=एफ×आर, यदि
शारीरिक आवेग (गति की मात्रा)	पी=एम×वी	किसी पिंड का संवेग	एल=एम×वी×आर; एल=जे×डब्ल्यू
गतिज ऊर्जा		गतिज ऊर्जा
यांत्रिक कार्य	डीए=एफडीएस	यांत्रिक कार्य	डीए=एमडीजे
अनुवादात्मक गति गतिशीलता का मूल समीकरण		घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए बुनियादी समीकरण	,
शरीर की गति के संरक्षण का नियम	या अगर	किसी पिंड के कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम	या एसजे आई डब्ल्यू आई = स्थिरांक,अगर

अपकेंद्रित्र।

विभिन्न घनत्वों के कणों से युक्त अमानवीय प्रणालियों का पृथक्करण गुरुत्वाकर्षण और आर्किमिडीज़ बल (उत्प्लावन बल) के प्रभाव में किया जा सकता है। यदि विभिन्न घनत्वों के कणों का जलीय निलंबन होता है, तो उन पर एक शुद्ध बल कार्य करता है

एफ आर =एफ टी – एफ ए =आर 1 ×वी×जी - आर×वी×जी, अर्थात।

एफ आर =(आर 1 - आर)×वी ×जी(1.30)

जहाँ V कण का आयतन है, आर 1और आर- क्रमशः, कण और पानी के पदार्थ का घनत्व। यदि घनत्व एक-दूसरे से थोड़ा भिन्न होता है, तो परिणामी बल छोटा होता है और पृथक्करण (जमाव) काफी धीरे-धीरे होता है। इसलिए, पृथक माध्यम के घूर्णन के कारण कणों के बलपूर्वक पृथक्करण का उपयोग किया जाता है।

केन्द्रापसारणजड़ता के केन्द्रापसारक बल के प्रभाव में होने वाली विभिन्न द्रव्यमानों के कणों से युक्त विषम प्रणालियों, मिश्रण या निलंबन को अलग करने (पृथक्करण) की प्रक्रिया है।

सेंट्रीफ्यूज का आधार टेस्ट ट्यूबों के लिए घोंसले वाला एक रोटर है, जो एक बंद आवास में स्थित है, जो एक इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा संचालित होता है। जब अपकेंद्रित्र रोटर पर्याप्त उच्च गति से घूमता है, तो जड़ता के केन्द्रापसारक बल के प्रभाव में विभिन्न द्रव्यमानों के निलंबित कण, अलग-अलग गहराई पर परतों में वितरित होते हैं, और सबसे भारी परीक्षण ट्यूब के नीचे जमा होते हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि जिस बल के प्रभाव में पृथक्करण होता है वह सूत्र द्वारा निर्धारित होता है:

(1.31)

कहाँ डब्ल्यू- अपकेंद्रित्र के घूर्णन की कोणीय गति, आर– घूर्णन अक्ष से दूरी. अलग-अलग कणों और तरल के घनत्व में जितना अधिक अंतर होगा, सेंट्रीफ्यूजेशन का प्रभाव उतना ही अधिक होगा, और यह घूर्णन के कोणीय वेग पर भी महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है।

लगभग 10 5-10 6 चक्कर प्रति मिनट की रोटर गति से चलने वाले अल्ट्रासेंट्रीफ्यूज तरल में निलंबित या घुले हुए 100 एनएम से कम आकार के कणों को अलग करने में सक्षम हैं। उन्हें बायोमेडिकल अनुसंधान में व्यापक अनुप्रयोग मिला है।

अल्ट्रासेंट्रीफ्यूजेशन का उपयोग कोशिकाओं को ऑर्गेनेल और मैक्रोमोलेक्यूल्स में अलग करने के लिए किया जा सकता है। सबसे पहले, बड़े हिस्से (नाभिक, साइटोस्केलेटन) जम जाते हैं (तलछट)। सेंट्रीफ्यूजेशन गति में और वृद्धि के साथ, छोटे कण क्रमिक रूप से बाहर निकलते हैं - पहले माइटोकॉन्ड्रिया, लाइसोसोम, फिर माइक्रोसोम और अंत में, राइबोसोम और बड़े मैक्रोमोलेक्यूल्स। सेंट्रीफ्यूजेशन के दौरान, अलग-अलग अंश अलग-अलग दरों पर व्यवस्थित होते हैं, जिससे टेस्ट ट्यूब में अलग-अलग बैंड बनते हैं जिन्हें अलग किया जा सकता है और जांच की जा सकती है। खंडित कोशिका अर्क (सेल-मुक्त सिस्टम) का व्यापक रूप से इंट्रासेल्युलर प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रोटीन जैवसंश्लेषण का अध्ययन करने और आनुवंशिक कोड को समझने के लिए।

दंत चिकित्सा में हैंडपीस को स्टरलाइज़ करने के लिए, अतिरिक्त तेल को हटाने के लिए सेंट्रीफ्यूज के साथ एक तेल स्टरलाइज़र का उपयोग किया जाता है।

सेंट्रीफ्यूजेशन का उपयोग मूत्र में निलंबित तलछट कणों के लिए किया जा सकता है; रक्त प्लाज्मा से गठित तत्वों को अलग करना; बायोपॉलिमर, वायरस और उपकोशिकीय संरचनाओं का पृथक्करण; दवा की शुद्धता पर नियंत्रण.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए कार्य।

अभ्यास 1 . आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न.

एकसमान वृत्तीय गति और एकसमान रैखिक गति में क्या अंतर है? किस स्थिति में कोई वस्तु एक वृत्त में समान रूप से घूमेगी?

कारण स्पष्ट करें कि वृत्त में एकसमान गति त्वरण के साथ क्यों होती है।

क्या त्वरण के बिना वक्ररेखीय गति हो सकती है?

किस स्थिति में बल का क्षण शून्य के बराबर होता है? सबसे बड़ा मूल्य लेता है?

संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम की प्रयोज्यता की सीमाएँ इंगित करें।

गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में अलगाव की विशेषताएं बताएं।

विभिन्न आणविक भार वाले प्रोटीनों का पृथक्करण अपकेंद्रित्र का उपयोग करके क्यों किया जा सकता है, लेकिन आंशिक आसवन की विधि अस्वीकार्य है?

कार्य 2 . आत्म-नियंत्रण के लिए परीक्षण.

गायब शब्द को भरें:

कोणीय वेग के चिह्न में परिवर्तन _ _ _ _ _ घूर्णी गति में परिवर्तन को इंगित करता है।

कोणीय त्वरण के चिह्न में परिवर्तन _ _ _ घूर्णी गति में परिवर्तन को इंगित करता है

कोणीय वेग समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन कोण के व्युत्पन्न के बराबर है।

कोणीय त्वरण समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन कोण के व्युत्पन्न के बराबर है।

बल का क्षण _ _ _ _ _ के बराबर होता है यदि शरीर पर कार्य करने वाले बल की दिशा घूर्णन की धुरी के साथ मेल खाती है।

सही उत्तर खोजें:

बल का आघूर्ण केवल बल के अनुप्रयोग बिंदु पर निर्भर करता है।

किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण केवल पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर करता है।

एकसमान वृत्तीय गति बिना त्वरण के होती है।

ए. सही है. बी ग़लत.

को छोड़कर, उपरोक्त सभी मात्राएँ अदिश हैं

ए. बल का क्षण;

बी. यांत्रिक कार्य;

सी. संभावित ऊर्जा;

D. जड़ता का क्षण.

सदिश राशियाँ हैं

ए. कोणीय वेग;

बी. कोणीय त्वरण;

सी. बल का क्षण;

D. कोणीय संवेग.

जवाब: 1 - दिशाएँ; 2 - चरित्र; 3 - प्रथम; 4 - दूसरा; 5-शून्य; 6 - बी; 7 - बी; 8 - बी; 9 - ए; 10 - ए, बी, सी, डी.

कार्य 3. माप की इकाइयों के बीच संबंध प्राप्त करें :

रैखिक गति सेमी/मिनट और मी/से;

कोणीय त्वरण रेड/मिनट 2 और रेड/सेकंड 2;

बल का क्षण kN×सेमी और N×m;

शरीर का आवेग g×cm/s और kg×m/s;

जड़त्व आघूर्ण g×cm 2 और kg×m 2.

कार्य 4. चिकित्सा और जैविक सामग्री के कार्य।

कार्य क्रमांक 1.ऐसा क्यों है कि छलांग के उड़ान चरण के दौरान एक एथलीट शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के प्रक्षेपवक्र को बदलने के लिए किसी भी आंदोलन का उपयोग नहीं कर सकता है? क्या अंतरिक्ष में शरीर के अंगों की स्थिति बदलने पर एथलीट की मांसपेशियां काम करती हैं?

उत्तर:एक परवलय के साथ मुक्त उड़ान में चलते हुए, एक एथलीट केवल गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष शरीर और उसके अलग-अलग हिस्सों का स्थान बदल सकता है, जो इस मामले में घूर्णन का केंद्र है। एथलीट शरीर के घूर्णन की गतिज ऊर्जा को बदलने का कार्य करता है।

कार्य क्रमांक 2.यदि चलने की अवधि 0.5 सेकंड है तो चलते समय किसी व्यक्ति की औसत शक्ति कितनी विकसित होती है? इस बात पर विचार करें कि काम निचले छोरों को तेज और धीमा करने पर खर्च किया जाता है। पैरों की कोणीय गति लगभग Dj=30 o होती है। निचले अंग की जड़ता का क्षण 1.7 किग्रा है × मी 2. पैरों की गति को समान रूप से बारी-बारी से घूमने वाला माना जाना चाहिए।

समाधान:

1) आइए समस्या की संक्षिप्त स्थिति लिखें: डीटी= 0.5s; डीजे=30 0 =पी/ 6; मैं=1.7 किग्रा × मी 2

2) कार्य को एक चरण (दाएँ और बाएँ पैर) में परिभाषित करें: ए= 2×Iw 2 / 2=Iw 2 .

औसत कोणीय वेग सूत्र का उपयोग करना डब्ल्यू एवी =डीजे/डीटी,हम पाते हैं: डब्ल्यू= 2डब्ल्यू एवी = 2×डीजे/डीटी; एन=ए/डीटी= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3

3) संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करें: एन=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14.9(डब्ल्यू)

उत्तर: 14.9 डब्ल्यू.

कार्य क्रमांक 3.चलते समय हाथ की गति की क्या भूमिका होती है?

उत्तर: एक दूसरे से कुछ दूरी पर स्थित दो समानांतर विमानों में चलते हुए पैरों की गति, बल का एक क्षण पैदा करती है जो मानव शरीर को एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घुमाती है। एक व्यक्ति अपनी भुजाओं को अपने पैरों की गति की ओर "झूलाता है", जिससे विपरीत संकेत का बल उत्पन्न होता है।

टास्क नंबर 4.दंत चिकित्सा में उपयोग की जाने वाली ड्रिलों में सुधार के क्षेत्रों में से एक है बर की घूर्णन गति को बढ़ाना। फुट ड्रिल में बोरॉन टिप की रोटेशन गति 1500 आरपीएम है, स्थिर इलेक्ट्रिक ड्रिल में - 4000 आरपीएम, टरबाइन ड्रिल में - पहले से ही 300,000 आरपीएम तक पहुंच जाती है। समय की प्रति इकाई बड़ी संख्या में क्रांतियों के साथ ड्रिल के नए संशोधन क्यों विकसित किए जा रहे हैं?

उत्तर: डेंटिन त्वचा की तुलना में दर्द के प्रति कई हजार गुना अधिक संवेदनशील होता है: त्वचा के प्रति 1 मिमी में 1-2 दर्द बिंदु होते हैं, और इंसीज़र डेंटिन के प्रति 1 मिमी में 30,000 दर्द बिंदु होते हैं। शरीर विज्ञानियों के अनुसार, क्रांतियों की संख्या बढ़ाने से, कैविटी का इलाज करते समय दर्द कम हो जाता है।

जेड कार्य 5 . तालिकाएँ भरें:

तालिका क्रमांक 1. घूर्णी गति की रैखिक और कोणीय विशेषताओं के बीच एक सादृश्य बनाएं और उनके बीच संबंध को इंगित करें।

तालिका क्रमांक 2.

कार्य 6. सांकेतिक कार्रवाई कार्ड भरें:

अध्याय 2. बायोमैकेनिक्स के मूल सिद्धांत।

प्रशन।

मानव मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली में लीवर और जोड़। स्वतंत्रता की डिग्री की अवधारणा.

मांसपेशीय संकुचन के प्रकार. मांसपेशियों के संकुचन का वर्णन करने वाली बुनियादी भौतिक मात्राएँ।

मनुष्यों में मोटर विनियमन के सिद्धांत।

बायोमैकेनिकल विशेषताओं को मापने के तरीके और उपकरण।

2.1. मानव मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली में लीवर और जोड़।

मानव मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली की शारीरिक रचना और शरीर विज्ञान में निम्नलिखित विशेषताएं हैं जिन्हें बायोमैकेनिकल गणना में ध्यान में रखा जाना चाहिए: शरीर की गतिविधियां न केवल मांसपेशियों की ताकतों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, बल्कि बाहरी प्रतिक्रिया बलों, गुरुत्वाकर्षण, जड़त्वीय बलों, साथ ही लोचदार बलों द्वारा भी निर्धारित की जाती हैं। और घर्षण; लोकोमोटर प्रणाली की संरचना विशेष रूप से घूर्णी आंदोलनों की अनुमति देती है। गतिज श्रृंखलाओं के विश्लेषण का उपयोग करके, अनुवाद संबंधी आंदोलनों को जोड़ों में घूर्णी आंदोलनों तक कम किया जा सकता है; गतिविधियों को एक बहुत ही जटिल साइबरनेटिक तंत्र द्वारा नियंत्रित किया जाता है, ताकि त्वरण में निरंतर परिवर्तन हो।

मानव मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली में एक-दूसरे से जुड़ी कंकाल की हड्डियाँ होती हैं, जिनसे कुछ बिंदुओं पर मांसपेशियाँ जुड़ी होती हैं। कंकाल की हड्डियाँ लीवर के रूप में कार्य करती हैं जिनके जोड़ों पर एक आधार होता है और मांसपेशियों के संकुचन से उत्पन्न कर्षण बल द्वारा संचालित होते हैं। अंतर करना तीन प्रकार के लीवर:

1) लीवर जिस पर अभिनय बल है एफऔर प्रतिरोध बल आरआधार के विपरीत पक्षों पर लगाया जाता है। ऐसे लीवर का एक उदाहरण धनु तल में देखी गई खोपड़ी है।

2) एक लीवर जिसमें सक्रिय बल होता है एफऔर प्रतिरोध बल आरआधार के एक तरफ और बल लगाया गया एफलीवर के अंत और बल पर लागू किया गया आर-आधार के करीब. यह लीवर ताकत में लाभ और दूरी में हानि देता है, अर्थात। है शक्ति का लीवर. एक उदाहरण आधे पैर की उंगलियों, मैक्सिलोफेशियल क्षेत्र के लीवर पर उठाते समय पैर के आर्च की क्रिया है (चित्र 2.1)। चबाने वाले तंत्र की गतिविधियां बहुत जटिल होती हैं। मुंह बंद करते समय, निचले जबड़े को अधिकतम निचली स्थिति से ऊपरी जबड़े के दांतों के साथ उसके दांतों के पूर्ण रूप से बंद होने की स्थिति तक ऊपर उठाना निचले जबड़े को उठाने वाली मांसपेशियों की गति द्वारा किया जाता है। ये मांसपेशियाँ निचले जबड़े पर दूसरे प्रकार के लीवर के रूप में कार्य करती हैं, जो जोड़ में एक आधार होता है (चबाने की शक्ति में वृद्धि देता है)।

3) एक लीवर जिसमें अभिनय बल को प्रतिरोध बल की तुलना में आधार के करीब लगाया जाता है। यह लीवर है गति लीवर, क्योंकि शक्ति में हानि, लेकिन गति में लाभ देता है। इसका एक उदाहरण अग्रबाहु की हड्डियाँ हैं।

चावल। 2.1. मैक्सिलोफेशियल क्षेत्र के लीवर और पैर का आर्च।

कंकाल की अधिकांश हड्डियाँ कई मांसपेशियों के प्रभाव में होती हैं, जो अलग-अलग दिशाओं में ताकत विकसित करती हैं। उनका परिणाम समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार ज्यामितीय योग द्वारा ज्ञात किया जाता है।

मस्कुलोस्केलेटल प्रणाली की हड्डियाँ जोड़ों या जोड़ों पर एक दूसरे से जुड़ी होती हैं। जोड़ बनाने वाली हड्डियों के सिरों को संयुक्त कैप्सूल द्वारा एक साथ रखा जाता है जो उन्हें कसकर घेरता है, साथ ही हड्डियों से जुड़े स्नायुबंधन भी होते हैं। घर्षण को कम करने के लिए, हड्डियों की संपर्क सतहों को चिकनी उपास्थि से ढक दिया जाता है और उनके बीच चिपचिपे तरल की एक पतली परत होती है।

मोटर प्रक्रियाओं के बायोमैकेनिकल विश्लेषण का पहला चरण उनकी गतिकी का निर्धारण है। इस तरह के विश्लेषण के आधार पर, अमूर्त गतिज श्रृंखलाओं का निर्माण किया जाता है, जिनकी गतिशीलता या स्थिरता को ज्यामितीय विचारों के आधार पर जांचा जा सकता है। जोड़ों और उनके बीच स्थित कठोर कड़ियों द्वारा निर्मित बंद और खुली गतिज श्रृंखलाएँ होती हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मुक्त भौतिक बिंदु की स्थिति तीन स्वतंत्र निर्देशांकों द्वारा दी जाती है - एक्स, वाई, जेड. किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थिति को दर्शाने वाले स्वतंत्र चर कहलाते हैं स्वतंत्रता की कोटियां. अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अधिक हो सकती है। सामान्य तौर पर, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या न केवल स्वतंत्र चर की संख्या (जो एक यांत्रिक प्रणाली की स्थिति को दर्शाती है) निर्धारित करती है, बल्कि सिस्टम के स्वतंत्र आंदोलनों की संख्या भी निर्धारित करती है।

डिग्रियों की संख्यास्वतंत्रता जोड़ की मुख्य यांत्रिक विशेषता है, अर्थात। को परिभाषित करता है धुरों की संख्या, जिसके चारों ओर संधिबद्ध हड्डियों का पारस्परिक घुमाव संभव होता है। यह मुख्य रूप से जोड़ के संपर्क में आने वाली हड्डियों की सतह के ज्यामितीय आकार के कारण होता है।

जोड़ों में स्वतंत्रता की डिग्री की अधिकतम संख्या 3 है।

मानव शरीर में एकअक्षीय (सपाट) जोड़ों के उदाहरण ह्यूमरौलनार, सुप्राकैल्केनियल और फ़ैलान्जियल जोड़ हैं। वे केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ लचीलेपन और विस्तार की अनुमति देते हैं। इस प्रकार, अल्ना, एक अर्धवृत्ताकार पायदान की मदद से, ह्यूमरस पर एक बेलनाकार उभार को कवर करता है, जो जोड़ की धुरी के रूप में कार्य करता है। जोड़ में होने वाली हलचलें जोड़ की धुरी के लंबवत तल में लचीलापन और विस्तार हैं।

कलाई का जोड़, जिसमें लचीलापन और विस्तार, साथ ही जोड़ और अपहरण होता है, को दो डिग्री की स्वतंत्रता वाले जोड़ों के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

स्वतंत्रता की तीन डिग्री (स्थानिक अभिव्यक्ति) वाले जोड़ों में कूल्हे और स्कैपुलोहुमरल जोड़ शामिल हैं। उदाहरण के लिए, स्कैपुलोहुमरल जोड़ पर, ह्यूमरस का गेंद के आकार का सिर स्कैपुला के फलाव की गोलाकार गुहा में फिट बैठता है। जोड़ में होने वाली गतिविधियाँ लचीलेपन और विस्तार (धनु तल में), सम्मिलन और अपहरण (ललाट तल में) और अनुदैर्ध्य अक्ष के चारों ओर अंग का घूमना हैं।

बंद सपाट गतिज श्रृंखलाओं में स्वतंत्रता की कई कोटि होती हैं एफ एफ, जिसकी गणना लिंक की संख्या से की जाती है एनइस अनुसार:

अंतरिक्ष में गतिज श्रृंखलाओं की स्थिति अधिक जटिल है। यहीं रिश्ता कायम है

(2.2)

कहाँ एफ मैं -स्वतंत्रता प्रतिबंधों की डिग्री की संख्या मैं-वें लिंक.

किसी भी पिंड में, आप उन अक्षों का चयन कर सकते हैं जिनकी दिशा घूर्णन के दौरान बिना किसी विशेष उपकरण के बनी रहेगी। उनका एक नाम है मुफ़्त रोटेशन कुल्हाड़ियाँ

इस अध्याय में, एक कठोर पिंड को उन भौतिक बिंदुओं के संग्रह के रूप में माना जाता है जो एक दूसरे के सापेक्ष गति नहीं करते हैं। ऐसा पिंड जो विकृत न हो सके, पूर्णतः ठोस कहलाता है।

मनमाने आकार के एक ठोस पिंड को एक निश्चित अक्ष 00 के चारों ओर एक बल की क्रिया के तहत घूमने दें (चित्र 30)। फिर इसके सभी बिंदु इस अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों का वर्णन करते हैं। यह स्पष्ट है कि शरीर के सभी बिंदुओं पर समान कोणीय वेग और समान कोणीय त्वरण (एक निश्चित समय पर) होता है।

आइए हम अभिनय बल को तीन परस्पर लंबवत घटकों में विघटित करें: (अक्ष के समानांतर), (अक्ष के लंबवत और अक्ष से गुजरने वाली रेखा पर स्थित) और (लंबवत। जाहिर है, शरीर का घूमना केवल के कारण होता है) वह घटक जो बल के अनुप्रयोग के बिंदु द्वारा वर्णित वृत्त की स्पर्शरेखा है। घूर्णन के घटक कारण नहीं हैं। आइए इसे एक घूर्णन बल कहते हैं। जैसा कि एक स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम से ज्ञात है, एक बल की क्रिया न केवल पर निर्भर करती है इसका परिमाण, लेकिन इसके अनुप्रयोग के बिंदु A की घूर्णन अक्ष से दूरी पर भी, यानी, यह बल के क्षण पर निर्भर करता है। घूर्णन बल का क्षण (टोक़) घूर्णन बल और त्रिज्या का उत्पाद बल के अनुप्रयोग बिंदु द्वारा वर्णित वृत्त को कहा जाता है:

आइए हम मानसिक रूप से पूरे शरीर को बहुत छोटे कणों - प्राथमिक द्रव्यमानों में तोड़ दें। यद्यपि बल शरीर के एक बिंदु A पर लगाया जाता है, इसका घूर्णन प्रभाव सभी कणों तक प्रसारित होता है: प्रत्येक प्राथमिक द्रव्यमान पर एक प्राथमिक घूर्णन बल लागू किया जाएगा (चित्र 30 देखें)। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,

प्रारंभिक द्रव्यमान को रैखिक त्वरण कहाँ प्रदान किया जाता है। इस समानता के दोनों पक्षों को प्राथमिक द्रव्यमान द्वारा वर्णित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करना, और रैखिक के बजाय कोणीय त्वरण का परिचय देना (§ 7 देखें), हम प्राप्त करते हैं

यह मानते हुए कि टॉर्क प्राथमिक द्रव्यमान पर लागू होता है, और निरूपित करता है

प्राथमिक द्रव्यमान (भौतिक बिंदु) की जड़ता का क्षण कहां है। नतीजतन, घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष किसी भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण इस अक्ष से उसकी दूरी के वर्ग द्वारा भौतिक बिंदु के द्रव्यमान का गुणनफल होता है।

शरीर को बनाने वाले सभी प्राथमिक द्रव्यमानों पर लागू बलाघूर्णों का योग करने पर, हम पाते हैं

शरीर पर लगाया गया बल आघूर्ण कहाँ है, अर्थात घूमने वाले बल का क्षण शरीर की जड़ता का क्षण है। नतीजतन, किसी पिंड की जड़ता का क्षण शरीर को बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों का योग है।

अब हम फॉर्मूले (3) को दोबारा फॉर्म में लिख सकते हैं

सूत्र (4) घूर्णन गतिकी के मूल नियम को व्यक्त करता है (घूर्णी गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम):

पिंड पर लगाए गए घूर्णन बल का क्षण पिंड की जड़ता के क्षण और कोणीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है।

सूत्र (4) से यह स्पष्ट है कि टोक़ द्वारा शरीर को प्रदान किया गया कोणीय त्वरण शरीर की जड़ता के क्षण पर निर्भर करता है; जड़त्व आघूर्ण जितना अधिक होगा, कोणीय त्वरण उतना ही कम होगा। नतीजतन, जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान किसी पिंड के जड़त्वीय गुणों को दर्शाता है, जैसे द्रव्यमान अनुवादात्मक गति के दौरान किसी पिंड के जड़त्वीय गुणों को दर्शाता है। हालांकि, द्रव्यमान के विपरीत, किसी दिए गए पिंड की जड़ता के क्षण के कई मूल्य हो सकते हैं घूर्णन के कई संभावित अक्षों के अनुसार। इसलिए, जब किसी कठोर पिंड की जड़ता के क्षण के बारे में बात की जाती है, तो यह इंगित करना आवश्यक है कि इसकी गणना किस अक्ष के सापेक्ष की जाती है। व्यवहार में, हमें आमतौर पर शरीर की समरूपता अक्षों के सापेक्ष जड़ता के क्षणों से निपटना पड़ता है।

सूत्र (2) से यह निष्कर्ष निकलता है कि जड़त्व आघूर्ण की माप की इकाई किलोग्राम-वर्ग मीटर है

यदि शरीर की जड़ता का टॉर्क और क्षण, तो सूत्र (4) के रूप में दर्शाया जा सकता है

यह लेख भौतिकी के एक महत्वपूर्ण खंड - "गतिकी और घूर्णी गति की गतिशीलता" का वर्णन करता है।

घूर्णी गति की गतिकी की बुनियादी अवधारणाएँ

किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी भौतिक बिंदु की घूर्णी गति ऐसी गति कहलाती है, जिसका प्रक्षेप पथ अक्ष के लंबवत समतल में स्थित एक वृत्त होता है, और इसका केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होता है।

किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति एक ऐसी गति है जिसमें पिंड के सभी बिंदु किसी भौतिक बिंदु की घूर्णी गति के नियम के अनुसार संकेंद्रित (जिनके केंद्र एक ही अक्ष पर स्थित होते हैं) वृत्तों के साथ चलते हैं।

मान लीजिए कि एक मनमाना कठोर पिंड T, O अक्ष के चारों ओर घूमता है, जो चित्र के तल के लंबवत है। आइए इस पिंड पर बिंदु M का चयन करें। घुमाए जाने पर, यह बिंदु O अक्ष के चारों ओर त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करेगा आर.

कुछ समय बाद, त्रिज्या अपनी मूल स्थिति के सापेक्ष एक कोण Δφ से घूमेगी।

दाएँ पेंच की दिशा (घड़ी की दिशा में) को घूर्णन की सकारात्मक दिशा के रूप में लिया जाता है। समय के साथ घूर्णन के कोण में परिवर्तन को किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति का समीकरण कहा जाता है:

φ = φ(t).

यदि φ को रेडियन में मापा जाता है (1 रेड उसकी त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले चाप के अनुरूप कोण है), तो वृत्ताकार चाप ΔS की लंबाई, जिसे भौतिक बिंदु M समय Δt में पार करेगा, बराबर है:

ΔS = Δφr.

एकसमान घूर्णी गति की गतिकी के मूल तत्व

थोड़े समय में किसी भौतिक बिंदु की गति का माप डीटीएक प्राथमिक घूर्णन वेक्टर के रूप में कार्य करता है dφ.

किसी भौतिक बिंदु या पिंड का कोणीय वेग एक भौतिक मात्रा है जो प्राथमिक घूर्णन के वेक्टर और इस घूर्णन की अवधि के अनुपात से निर्धारित होता है। वेक्टर की दिशा O अक्ष के अनुदिश दाएँ पेंच के नियम द्वारा निर्धारित की जा सकती है। अदिश रूप में:

ω = dφ/dt.

अगर ω = dφ/dt = const,तो ऐसी गति को एकसमान घूर्णी गति कहा जाता है। इससे कोणीय वेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

ω = φ/t.

प्रारंभिक सूत्र के अनुसार कोणीय वेग का आयाम

[ω] = 1 रेड/सेकेंड.

किसी पिंड की एकसमान घूर्णी गति को घूर्णन की अवधि द्वारा वर्णित किया जा सकता है। घूर्णन की अवधि T एक भौतिक मात्रा है जो उस समय को निर्धारित करती है जिसके दौरान घूर्णन अक्ष के चारों ओर एक पिंड एक पूर्ण क्रांति करता है ([T] = 1 s)। यदि कोणीय वेग के सूत्र में हम t = T, φ = 2 π (त्रिज्या r की एक पूर्ण क्रांति) लेते हैं, तो

ω = 2π/टी,

इसलिए, हम घूर्णन अवधि को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

टी = 2π/ω.

किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या को घूर्णन आवृत्ति ν कहा जाता है, जो इसके बराबर है:

ν = 1/टी.

आवृत्ति इकाइयाँ: [ν]= 1/एस = 1 एस -1 = 1 हर्ट्ज।

कोणीय वेग और घूर्णन आवृत्ति के सूत्रों की तुलना करने पर, हमें इन मात्राओं को जोड़ने वाला एक अभिव्यक्ति प्राप्त होता है:

ω = 2πν.

असमान घूर्णी गति की गतिकी के मूल तत्व

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी कठोर पिंड या भौतिक बिंदु की असमान घूर्णी गति को उसके कोणीय वेग की विशेषता होती है, जो समय के साथ बदलता है।

वेक्टर ε , कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाले कोणीय त्वरण वेक्टर कहा जाता है:

ε = dω/dt.

यदि कोई पिंड तेजी से घूमता है, अर्थात् dω/dt > 0, वेक्टर की अक्ष के अनुदिश दिशा ω के समान होती है।

यदि घूर्णी गति धीमी है - dω/dt< 0 , तो सदिश ε और ω विपरीत दिशा में निर्देशित हैं।

टिप्पणी. जब असमान घूर्णी गति होती है, तो वेक्टर ω न केवल परिमाण में, बल्कि दिशा में भी बदल सकता है (जब घूर्णन की धुरी घूमती है)।

स्थानान्तरणीय और घूर्णी गति की विशेषता बताने वाली मात्राओं के बीच संबंध

यह ज्ञात है कि चाप की लंबाई त्रिज्या के घूर्णन के कोण और उसके मान के साथ संबंध से संबंधित है

ΔS = Δφ आर.

फिर घूर्णी गति करने वाले किसी भौतिक बिंदु की रैखिक गति

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

किसी भौतिक बिंदु का सामान्य त्वरण जो घूर्णी रूपान्तरणीय गति करता है, उसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ए = υ 2 /आर = ω 2 आर 2 /आर.

तो, अदिश रूप में

ए = ω 2 आर.

स्पर्शरेखा त्वरित सामग्री बिंदु जो घूर्णी गति करता है

ए = ε आर.

किसी भौतिक बिंदु का संवेग

द्रव्यमान m i के किसी भौतिक बिंदु के प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या वेक्टर और उसके संवेग के वेक्टर उत्पाद को घूर्णन अक्ष के बारे में इस बिंदु का कोणीय संवेग कहा जाता है। वेक्टर की दिशा सही पेंच नियम का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है।

किसी भौतिक बिंदु का संवेग ( एल मैं) को r i और υ i के माध्यम से खींचे गए विमान के लंबवत निर्देशित किया जाता है, और उनके साथ वैक्टर का एक दाहिना हाथ त्रिक बनाता है (अर्थात, जब वेक्टर के अंत से आगे बढ़ता है आर मैंको υ मैं दायां पेंच वेक्टर की दिशा दिखाऊंगा एलमैं)।

अदिश रूप में

एल = एम आई υ आई आर आई पाप(υ आई , आर आई).

यह ध्यान में रखते हुए कि किसी वृत्त में घूमते समय, त्रिज्या वेक्टर और i-वें भौतिक बिंदु के लिए रैखिक वेग वेक्टर परस्पर लंबवत होते हैं,

पाप(υ मैं , आर मैं) = 1.

तो घूर्णी गति के लिए किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग रूप लेगा

एल = एम आई υ आई आर आई .

बल का वह क्षण जो i-वें भौतिक बिंदु पर कार्य करता है

त्रिज्या वेक्टर का वेक्टर उत्पाद, जो बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर खींचा जाता है, और इस बल को घूर्णन अक्ष के सापेक्ष i-वें भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल का क्षण कहा जाता है।

अदिश रूप में

एम आई = आर आई एफ आई सिन(आर आई , एफ आई).

ध्यान में रख कर आर मैं पापα = मैं मैं ,एम आई = एल आई एफ आई।

परिमाण एल i, घूर्णन बिंदु से बल की कार्रवाई की दिशा पर डाले गए लंब की लंबाई के बराबर, बल की भुजा कहलाती है एफ मैं.

घूर्णी गति की गतिशीलता

घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

एम = डीएल/डीटी.

कानून का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर के कोणीय गति में परिवर्तन की दर शरीर पर लागू सभी बाहरी बलों के इस अक्ष के सापेक्ष परिणामी क्षण के बराबर होती है।

आवेग का क्षण और जड़ता का क्षण

यह ज्ञात है कि i-वें भौतिक बिंदु के लिए अदिश रूप में कोणीय गति सूत्र द्वारा दी गई है

एल आई = एम आई υ आई आर आई।

यदि हम इसकी अभिव्यक्ति को रैखिक गति के स्थान पर कोणीय गति से प्रतिस्थापित करें:

υ मैं = ωr मैं ,

तब कोणीय संवेग का व्यंजक रूप लेगा

एल आई = एम आई आर आई 2 ω.

परिमाण मैं मैं = मैं मैं 2किसी पूर्णतः कठोर पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले i-वें भौतिक बिंदु की धुरी के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण कहलाता है। फिर हम भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग लिखते हैं:

एल मैं = मैं मैं ω.

हम एक बिल्कुल कठोर पिंड के कोणीय संवेग को इस पिंड को बनाने वाले भौतिक बिंदुओं के कोणीय संवेग के योग के रूप में लिखते हैं:

एल = मैंω.

बल का क्षण और जड़ता का क्षण

घूर्णी गति का नियम कहता है:

एम = डीएल/डीटी.

यह ज्ञात है कि किसी पिंड के कोणीय संवेग को जड़ता के क्षण के माध्यम से दर्शाया जा सकता है:

एल = मैंω.

एम = आईडीω/डीटी।

यह मानते हुए कि कोणीय त्वरण अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

ε = dω/dt,

हम बल के क्षण के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसे जड़ता के क्षण के माध्यम से दर्शाया जाता है:

एम = मैंε.

टिप्पणी।बल का एक क्षण सकारात्मक माना जाता है यदि इसका कारण बनने वाला कोणीय त्वरण शून्य से अधिक है, और इसके विपरीत।

स्टीनर का प्रमेय. जड़ता के क्षणों को जोड़ने का नियम

यदि किसी पिंड के घूर्णन की धुरी उसके द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरती है, तो इस धुरी के सापेक्ष कोई स्टीनर के प्रमेय का उपयोग करके इसकी जड़ता का क्षण पा सकता है:
मैं = मैं 0 + मा 2,

कहाँ मैं 0- शरीर की जड़ता का प्रारंभिक क्षण; एम- शरीर का भार; ए- धुरों के बीच की दूरी.

यदि एक प्रणाली जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमती है, उसमें शामिल है एनपिंड, तो इस प्रकार की प्रणाली की जड़ता का कुल क्षण उसके घटकों के क्षणों के योग (जड़ता के क्षणों के योग का नियम) के बराबर होगा।

शक्ति का क्षण

किसी बल का घूर्णन प्रभाव उसके क्षण से निर्धारित होता है। किसी बिंदु के बारे में बल के क्षण को वेक्टर उत्पाद कहा जाता है

बल के अनुप्रयोग के बिंदु से बिंदु तक खींचा गया त्रिज्या वेक्टर (चित्र 2.12)। बल के क्षण की माप की इकाई.

चित्र 2.12

बल के क्षण का परिमाण

या आप लिख सकते हैं

बल की भुजा कहाँ है (बिंदु से बल की क्रिया की रेखा तक की सबसे छोटी दूरी)।

वेक्टर की दिशा वेक्टर उत्पाद नियम या "राइट स्क्रू" नियम द्वारा निर्धारित की जाती है (वेक्टर और समानांतर अनुवाद बिंदु O पर संयुक्त होते हैं, वेक्टर की दिशा निर्धारित की जाती है ताकि इसके अंत से वेक्टर k से घूर्णन दिखाई दे वामावर्त - चित्र 2.12 में वेक्टर को "हमसे" ड्राइंग विमान के लंबवत निर्देशित किया गया है (गिम्लेट नियम के समान - ट्रांसलेशनल मूवमेंट वेक्टर की दिशा से मेल खाता है, घूर्णी आंदोलन से रोटेशन से मेल खाता है))।

किसी भी बिंदु के बारे में बल का क्षण शून्य के बराबर होता है यदि बल की कार्रवाई की रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है।

किसी भी अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण, उदाहरण के लिए, z अक्ष, इस अक्ष के बारे में बल का क्षण कहलाता है। किसी अक्ष के चारों ओर बल के क्षण को निर्धारित करने के लिए, पहले बल को अक्ष के लंबवत एक समतल पर प्रक्षेपित करें (चित्र 2.13), और फिर अक्ष के लंबवत तल के साथ अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष इस प्रक्षेपण का क्षण ज्ञात करें। यह। यदि बल की क्रिया रेखा अक्ष के समानांतर हो या उसे काटती हो, तो इस अक्ष के परितः बल का आघूर्ण शून्य के बराबर होता है।

चित्र 2.13

गति

Momentumulse भौतिक बिंदु किसी संदर्भ बिंदु के सापेक्ष गति से गतिमान द्रव्यमान को वेक्टर उत्पाद कहा जाता है

किसी भौतिक बिंदु का त्रिज्या सदिश (चित्र 2.14) उसका संवेग है।

चित्र 2.14

किसी भौतिक बिंदु के कोणीय संवेग का परिमाण

सदिश रेखा से बिंदु तक की न्यूनतम दूरी कहां है।

आवेग के क्षण की दिशा बल के क्षण की दिशा के समान ही निर्धारित होती है।

यदि हम L 0 के लिए व्यंजक को गुणा करें और l से भाग दें तो हमें प्राप्त होता है:

किसी भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण कहां है - घूर्णी गति में द्रव्यमान का एक एनालॉग।

कोणीय वेग।

किसी कठोर पिंड की जड़ता का क्षण

यह देखा जा सकता है कि परिणामी सूत्र क्रमशः गति और न्यूटन के दूसरे नियम के लिए अभिव्यक्तियों के समान हैं, केवल रैखिक वेग और त्वरण के बजाय, कोणीय वेग और त्वरण का उपयोग किया जाता है, और द्रव्यमान के बजाय, मात्रा मैं=एमआर 2, कहा जाता है किसी भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण .

यदि किसी पिंड को भौतिक बिंदु नहीं माना जा सकता है, लेकिन बिल्कुल ठोस माना जा सकता है, तो उसके जड़त्व के क्षण को उसके अनंत छोटे भागों के जड़त्व के क्षणों का योग माना जा सकता है, क्योंकि इन भागों के घूर्णन के कोणीय वेग समान हैं। (चित्र 2.16)। इनफिनिटिमल्स का योग अभिन्न है:

किसी भी पिंड के लिए, उसके जड़त्व केंद्र से गुजरने वाली कुल्हाड़ियाँ होती हैं जिनमें निम्नलिखित गुण होते हैं: जब पिंड बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में ऐसी अक्षों के चारों ओर घूमता है, तो घूर्णन की कुल्हाड़ियाँ अपनी स्थिति नहीं बदलती हैं। ऐसी कुल्हाड़ियाँ कहलाती हैं मुक्त शरीर की कुल्हाड़ियाँ . यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी आकार और किसी भी घनत्व वितरण वाले पिंड के लिए तीन परस्पर लंबवत मुक्त अक्ष होते हैं, जिन्हें कहा जाता है जड़त्व की मुख्य धुरी शव. मुख्य अक्षों के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता के क्षण कहलाते हैं जड़ता के मुख्य (आंतरिक) क्षण शव.

कुछ पिंडों की जड़ता के मुख्य क्षण तालिका में दिए गए हैं:

ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय.

इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय : एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष किसी पिंड की जड़ता का क्षण दिए गए अक्ष के समानांतर और पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण के योग के बराबर होता है, और के उत्पाद के बराबर होता है अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा शरीर का द्रव्यमान।

घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए बुनियादी समीकरण

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से प्राप्त किया जा सकता है

कहाँ एफ- द्रव्यमान द्वारा किसी पिंड पर लगाया गया बल एम; ए– शरीर का रैखिक त्वरण.

यदि द्रव्यमान का एक ठोस पिंड एमबिंदु A पर (चित्र 2.15) बल लगाएं एफ, तो शरीर के सभी भौतिक बिंदुओं के बीच एक कठोर संबंध के परिणामस्वरूप, वे सभी कोणीय त्वरण ε और संबंधित रैखिक त्वरण प्राप्त करेंगे, जैसे कि एक बल F 1 ...F n प्रत्येक बिंदु पर कार्य करता है। प्रत्येक भौतिक बिंदु के लिए हम लिख सकते हैं:

इसलिए कहाँ

कहाँ एम मैं- वज़न मैं-वें अंक; ε - कोणीय त्वरण; आर मैं- घूर्णन अक्ष से इसकी दूरी।

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करना आर मैं, हम पाते हैं

कहा पे - बल का क्षण बल और उसके कंधे का उत्पाद है।

चावल। 2.15. किसी बल के प्रभाव में घूमने वाला कठोर पिंड एफअक्ष "OO" के बारे में

- निष्क्रियता के पल मैंवें भौतिक बिंदु (घूर्णी गति में द्रव्यमान का अनुरूप)।

अभिव्यक्ति इस प्रकार लिखी जा सकती है:

आइए शरीर के सभी बिंदुओं पर बाएँ और दाएँ भागों का योग करें:

समीकरण किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम है। परिमाण बल के सभी क्षणों का ज्यामितीय योग है, अर्थात बल का क्षण एफ, शरीर के सभी बिंदुओं पर त्वरण ε प्रदान करता है। - शरीर के सभी बिंदुओं की जड़ता के क्षणों का बीजगणितीय योग। कानून इस प्रकार तैयार किया गया है: "घूमते हुए पिंड पर लगने वाले बल का क्षण पिंड की जड़ता के क्षण और कोणीय त्वरण के उत्पाद के बराबर होता है।"

दूसरी ओर

बदले में - शरीर के कोणीय गति में परिवर्तन।

फिर घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल नियम को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

अथवा - किसी घूमते हुए पिंड पर लगने वाले बल के आघूर्ण का आवेग उसके कोणीय संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम

ZSI के समान.

घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण के अनुसार, Z अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण:। इसलिए, एक बंद प्रणाली में और इसलिए, बंद प्रणाली में शामिल सभी निकायों के Z अक्ष के सापेक्ष कुल कोणीय गति एक स्थिर मात्रा है। यह व्यक्त करता है कोणीय गति के संरक्षण का नियम . यह कानून केवल संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में काम करता है।

आइए हम स्थानांतरीय और घूर्णी गति की विशेषताओं के बीच एक सादृश्य बनाएं।