हम कोणों के योग और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करते हैं: गुण और संकेत। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और उसके गुण समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं और कोणों के गुणों का प्रमाण

पाठ विषय

• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुण.

पाठ मकसद

• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का गुणधर्म निरूपित करें और सिद्ध करें।
• समस्याओं को सुलझाने में आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकसित होना - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - एक पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया विकसित करना, साथियों को सुनने की क्षमता, पारस्परिक सहायता, स्वतंत्रता पैदा करना।

पाठ मकसद

• विद्यार्थियों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

शिक्षण योजना

1. परिचय।
2. पहले से सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
3. समांतर चतुर्भुज, इसके गुण और चिह्न।
4. कार्य उदाहरण.
5. अपने चेक।

परिचय

"एक प्रमुख वैज्ञानिक खोज एक बड़ी समस्या का समाधान प्रदान करती है, लेकिन किसी भी समस्या के समाधान में खोज का एक अंश होता है।"

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के गुण

एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

सबूत।

माना कि ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के अनुसार Δ AOB = Δ COD (∠ AOB = ∠ COD, ऊर्ध्वाधर के रूप में, AO=OC, DO=OB, समांतर चतुर्भुज विकर्णों के गुण के अनुसार), तो AB=CD। इसी प्रकार, त्रिभुज BOC और DOA की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि BC=DA। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोनों की संपत्ति

समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं।

सबूत।

माना कि ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Δ ABC = Δ CDA पर प्रमेय में सिद्ध एक समांतर चतुर्भुज की तीन भुजाओं पर विपरीत भुजाओं के गुणों से (AB=CD, BC=DA सिद्ध से, AC सामान्य है)। त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ABC = ∠CDA.
यह भी सिद्ध है कि ∠ DAB = ∠ BCD, जो ∠ ABD = ∠ CDB से अनुसरण करता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होता है।

सबूत।

माना कि ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। आइए विकर्ण AC बनाएं। हम उस पर मध्य O को चिह्नित करते हैं। खंड DO की निरंतरता पर, हम खंड OB 1 को DO के बराबर अलग रखते हैं।
पिछले प्रमेय के अनुसार, AB 1 CD एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए, रेखा AB 1 DC के समानांतर है। लेकिन बिंदु A से होकर DC के समानांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है। अत: रेखा AB 1, रेखा AB से संपाती होती है।
यह भी सिद्ध है कि BC 1 BC से मेल खाता है। अतः बिंदु C, C 1 से संपाती है। समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज AB 1 CD से मेल खाता है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

सामान्य स्कूलों की पाठ्यपुस्तकों में (उदाहरण के लिए, पोगोरेलोव में), इसे इस प्रकार सिद्ध किया गया है: विकर्ण समांतर चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। एक जोड़ी पर विचार करें और पता लगाएं - वे बराबर हैं: उनके आधार विपरीत भुजाएं हैं, इसके आसन्न कोण समानांतर रेखाओं के साथ ऊर्ध्वाधर के बराबर हैं। अर्थात्, विकर्णों के खंड जोड़ीवार बराबर होते हैं। सभी।

बस इतना ही?
यह ऊपर साबित हुआ था कि प्रतिच्छेदन बिंदु विकर्णों को समद्विभाजित करता है - यदि यह मौजूद है। उपरोक्त तर्क किसी भी प्रकार से इसके अस्तित्व को सिद्ध नहीं करता है। अर्थात्, प्रमेय का भाग "समांतर चतुर्भुज विकर्ण प्रतिच्छेद" अप्रमाणित रहता है।

यह हास्यास्पद है कि इस भाग को साबित करना कितना कठिन है। वैसे, यह एक अधिक सामान्य परिणाम से निकलता है: किसी भी उत्तल चतुर्भुज के लिए, विकर्ण एक दूसरे को काटेंगे, किसी भी गैर-उत्तल चतुर्भुज के लिए, वे नहीं काटेंगे।

भुजा के अनुदिश त्रिभुजों की समानता और उससे सटे दो कोणों पर (त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिह्न) और अन्य।

एक भुजा के अनुदिश दो त्रिभुजों और उससे सटे दो कोणों की समानता पर प्रमेय को थेल्स ने एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया। मिलिटस के बंदरगाह में एक रेंजफाइंडर बनाया गया था, जो समुद्र में जहाज की दूरी निर्धारित करता है। इसमें तीन संचालित खूंटियां ए, बी और सी (एबी = बीसी) और सीए के लंबवत एक चिह्नित सीधी रेखा एसके शामिल थी। जब जहाज सीधी रेखा SC पर दिखाई दिया, तो एक बिंदु D इस प्रकार पाया गया कि बिंदु D, .B और E एक ही सीधी रेखा पर थे। जैसा कि चित्र से स्पष्ट है, जमीन पर दूरी सीडी जहाज से वांछित दूरी है।

प्रशन

1. क्या किसी वर्ग के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित होते हैं?
   
2. क्या समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं?
3. क्या समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं?
4. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा क्या है?
5. एक समांतर चतुर्भुज की कितनी विशेषताएँ होती हैं?
   
6. क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है?
   

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. कुज़नेत्सोव ए.वी., गणित के शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
2. “एकीकृत राज्य परीक्षा 2006। गणित। छात्रों की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री / रोसोब्रनाडज़ोर, आईएसओपी - एम।: इंटेलेक्ट-सेंटर, 2006 "
3. मज़ूर के.आई. "एम.आई. स्कैनावी द्वारा संपादित संग्रह की गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धी समस्याओं का समाधान"
4. एल. एस. अतानास्यान, वी. एफ. बुटुज़ोव, एस. बी. कदोमत्सेव, ई. जी. पॉज़्न्याक, आई. आई. युदिना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

पाठ पर काम करना

कुज़नेत्सोव ए.वी.

पोटर्नक एस.ए.

एवगेनी पेत्रोव

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समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं। यह परिभाषा पहले से ही पर्याप्त है, क्योंकि समांतर चतुर्भुज के शेष गुण इसी से अनुसरण करते हैं और प्रमेयों के रूप में सिद्ध होते हैं।

समांतर चतुर्भुज के मुख्य गुण हैं:

• एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है;
• एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़े में बराबर होती हैं;
• एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं जो जोड़े में बराबर होते हैं;
• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समद्विभाजित होते हैं।

समांतर चतुर्भुज - एक उत्तल चतुर्भुज

आइए पहले हम इस प्रमेय को सिद्ध करें समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है. एक बहुभुज उत्तल होता है जब उसकी किसी भी भुजा को एक सीधी रेखा तक बढ़ाया जाता है, बहुभुज की अन्य सभी भुजाएँ इस सीधी रेखा के एक ही तरफ होंगी।

मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसमें AB, CD के लिए विपरीत भुजा है, और BC, AD के लिए विपरीत भुजा है। तब समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि AB || सीडी, बीसी || ई.पू.

समानांतर खंडों में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते, वे प्रतिच्छेद नहीं करते। इसका मतलब है कि CD, AB के एक तरफ स्थित है। चूँकि खंड BC खंड AB के बिंदु B को खंड CD के बिंदु C से जोड़ता है, और खंड AD अन्य बिंदुओं AB और CD को जोड़ता है, खंड BC और AD भी रेखा AB के उसी तरफ स्थित हैं, जहाँ CD स्थित है। इस प्रकार, तीनों भुजाएँ - CD, BC, AD - AB के एक ही तरफ स्थित हैं।

इसी प्रकार, यह सिद्ध हो गया है कि समांतर चतुर्भुज की अन्य भुजाओं के संबंध में, अन्य तीन भुजाएँ एक ही तरफ स्थित हैं।

सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं

समांतर चतुर्भुज का एक गुण यह है एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर होते हैं. उदाहरण के लिए, यदि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, तो इसमें AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D है। यह प्रमेय इस प्रकार सिद्ध होता है।

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है। अतः इसके दो विकर्ण हैं। चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, उनमें से कोई भी इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। विकर्ण AC खींचकर प्राप्त समांतर चतुर्भुज ABCD में त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें।

इन त्रिभुजों में एक भुजा उभयनिष्ठ है - AC। कोण बीसीए कोण सीएडी के बराबर है, जैसे कि बीसी और एडी समानांतर होने पर ऊर्ध्वाधर होते हैं। कोण बीएसी और एसीडी भी बराबर होते हैं, जैसे एबी और सीडी समानांतर होने पर ऊर्ध्वाधर कोण होते हैं। इसलिए, ∆ABC = ∆ADC दो कोणों और उनके बीच की भुजा पर।

इन त्रिभुजों में, भुजा AB, भुजा CD से मेल खाती है, और भुजा BC, AD से मेल खाती है। इसलिए, एबी = सीडी और बीसी = एडी।

कोण B, कोण D से मेल खाता है, अर्थात ∠B = ∠D. समांतर चतुर्भुज का कोण A दो कोणों - ∠BAC और ∠CAD का योग है। कोण C में ∠BCA और ∠ACD शामिल हैं। चूँकि कोणों के जोड़े एक दूसरे के बराबर हैं, तो ∠A = ∠C.

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।

विकर्णों को आधा काटें

चूँकि एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है, इसमें दो विकर्ण होते हैं, और वे प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिया गया है, इसके विकर्ण AC और BD एक बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। उनसे बने त्रिभुज ABE और CDE पर विचार करें।

इन त्रिभुजों की भुजाएँ AB और CD एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के बराबर हैं। कोण ABE कोण CDE के बराबर है क्योंकि वे समानांतर रेखाओं AB और CD पर स्थित हैं। इसी कारण से, ∠BAE = ∠DCE. इसलिए, ∆ABE = ∆CDE दो कोणों और उनके बीच की भुजा पर।

आप यह भी देख सकते हैं कि कोण AEB और CED ऊर्ध्वाधर हैं, और इसलिए एक दूसरे के बराबर भी हैं।

चूँकि त्रिभुज ABE और CDE एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए उनके सभी संगत तत्व भी एक दूसरे के बराबर हैं। पहले त्रिभुज की भुजा AE दूसरे त्रिभुज की भुजा CE से मेल खाती है, इसलिए AE = CE। इसी प्रकार, BE = DE. समान खंडों का प्रत्येक जोड़ा समांतर चतुर्भुज का विकर्ण बनाता है। इस प्रकार यह सिद्ध हो गया है समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समद्विभाजित होते हैं.

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं, अर्थात् वे समांतर रेखाओं पर स्थित होती हैं (चित्र 1)।

प्रमेय 1. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और कोणों के गुणों पर।एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, सम्मुख कोण बराबर होते हैं और समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है।

सबूत। इस समांतर चतुर्भुज ABCD में, एक विकर्ण AC खींचिए और दो त्रिभुज ABC और ADC प्राप्त कीजिए (चित्र 2)।

ये त्रिभुज बराबर हैं, क्योंकि ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (समानांतर रेखाओं पर क्रॉस-झूठ वाले कोण), और भुजा AC उभयनिष्ठ है। समानता Δ एबीसी = Δ एडीसी से यह निष्कर्ष निकलता है कि एबी = सीडी, बीसी = एडी, ∠ बी = ∠ डी। एक तरफ के आसन्न कोणों का योग, उदाहरण के लिए, कोण ए और डी, एक के रूप में 180 डिग्री के बराबर है -समानांतर रेखाओं से युक्त। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी। समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की समानता का अर्थ है कि समांतर चतुर्भुज द्वारा काटे गए समांतर भुजाओं के खंड बराबर हैं।

उपफल 1. यदि दो रेखाएँ समान्तर हों तो एक रेखा के सभी बिंदु दूसरी रेखा से समान दूरी पर होते हैं।

सबूत। वास्तव में, चलो एक || बी (चित्र 3)।

आइए रेखा बी के कुछ दो बिंदुओं बी और सी से रेखा ए पर लंब बीए और सीडी बनाएं। चूंकि एबी || CD, तो आकृति ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, और इसलिए AB = CD है।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर एक मनमाने बिंदु से दूसरी रेखा तक की दूरी है।

जैसा कि सिद्ध किया गया है, यह एक समानांतर रेखा के किसी बिंदु से दूसरी रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई के बराबर है।

उदाहरण 1समांतर चतुर्भुज का परिमाप 122 सेमी है। इसकी एक भुजा दूसरी से 25 सेमी लंबी है। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान। प्रमेय 1 के अनुसार, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। आइए समांतर चतुर्भुज की एक भुजा को x, दूसरी भुजा को y निरूपित करें। फिर शर्त के अनुसार $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x = 43, y = 18 मिलता है। इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 18, 43, 18 और 43 सेमी हैं।

उदाहरण 2

समाधान। मान लीजिए चित्र 4 समस्या की स्थिति के अनुरूप है।

AB को x से और BC को y से निरूपित करें। शर्त के अनुसार, समांतर चतुर्भुज का परिमाप 10 सेमी है, यानी 2(x + y) = 10, या x + y = 5. त्रिभुज ABD का परिमाप 8 सेमी है. और चूंकि AB + AD = x + y = 5 , तो बीडी = 8 - 5 = 3 . तो BD = 3 सेमी.

उदाहरण 3समांतर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनमें से एक दूसरे से 50° बड़ा है।

समाधान। मान लीजिए चित्र 5 समस्या की स्थिति के अनुरूप है।

आइए हम कोण A के डिग्री माप को x के रूप में निरूपित करें। तब कोण D का डिग्री माप x + 50° है।

कोण BAD और ADC समानांतर रेखाओं AB और DC और छेदक AD के साथ आंतरिक एक तरफा हैं। तब इन नामित कोणों का योग 180° होगा, अर्थात।
x + x + 50° = 180°, या x = 65°. इस प्रकार, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

उदाहरण 4समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4.5 dm और 1.2 dm हैं। एक न्यून कोण के शीर्ष से एक समद्विभाजक खींचा जाता है। यह समांतर चतुर्भुज की लंबी भुजा को किन भागों में विभाजित करता है?

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 समस्या की स्थिति के अनुरूप है।

AE समांतर चतुर्भुज के न्यून कोण का समद्विभाजक है। इसलिए, ∠ 1 = ∠ 2.

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समांतर होती हैं। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार (ए) और उसकी ऊंचाई (एच) के गुणनफल के बराबर होता है। आप इसका क्षेत्रफल दो भुजाओं, एक कोण और विकर्णों के माध्यम से भी ज्ञात कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज गुण

1. सम्मुख भुजाएँ समान हैं

सबसे पहले विकर्ण \(AC \) खींचिए। दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं: \(ABC \) और \(ADC \) ​​​।

चूँकि \(ABCD \) एक समांतर चतुर्भुज है, निम्नलिखित सत्य है:

\(AD || BC \दायां तीर \कोण 1 = \कोण 2 \)जैसे झूठ बोलना।

\(एबी || सीडी \दायां तीर \कोण3 = \कोण 4 \)जैसे झूठ बोलना।

इसलिए, (दूसरे आधार पर: और \(AC\) सामान्य है)।

और इसलिए, \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \), फिर \(AB = CD \) और \(AD = BC \) ।

2. सम्मुख कोण समरूप होते हैं

प्रमाण के अनुसार गुण 1हम वह जानते हैं \(\कोण 1 = \कोण 2, \कोण 3 = \कोण 4 \). अतः सम्मुख कोणों का योग है: \(\कोण 1 + \कोण 3 = \कोण 2 + \कोण 4 \). मान लें कि \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \)हमें \(\कोण A = \कोण C \) , \(\कोण B = \कोण D \) मिलता है।

3. विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा समद्विभाजित होते हैं

द्वारा संपत्ति 1हम जानते हैं कि विपरीत भुजाएँ समान हैं: \(AB = CD \)। एक बार फिर हम आड़े-तिरछे पड़े समान कोणों को नोट करते हैं।

इस प्रकार, यह देखा गया है \(\त्रिकोण AOB = \त्रिकोण COD \)त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे मानदंड के अनुसार (दो कोण और उनके बीच एक भुजा)। अर्थात्, \(BO = OD \) (कोनों \(\कोण 2 \) और \(\कोण 1 \) के विपरीत) और \(AO = OC \) (कोनों के विपरीत \(\कोण 3 \) और \( \कोण 4 \) क्रमशः)।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

यदि आपकी समस्या में केवल एक चिह्न मौजूद है, तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज है और आप इस आकृति के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

बेहतर याद रखने के लिए, ध्यान दें कि समांतर चतुर्भुज का चिह्न निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देगा - "कैसे पता लगाएं?". यानी यह कैसे पता लगाया जाए कि दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

1. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं

\(एबी = सीडी \); \(एबी || सीडी \राइटएरो एबीसीडी \)- समांतर चतुर्भुज.

आइए अधिक विस्तार से विचार करें। क्यों \(AD|| BC \)?

\(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \)द्वारा संपत्ति 1: \(AB = CD \) , \(\कोण 1 = \कोण 2 \) समानांतर \(AB \) और \(CD \) और छेदक \(AC \) के साथ क्रॉसवाइज।

लेकिन अगर \(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी \), तो \(\कोण 3 = \कोण 4 \) (वे विपरीत स्थिति में हैं \(AD || BC \) (\(\कोण 3 \) और \(\कोण 4 \) - विपरीत स्थिति में भी बराबर हैं)।

पहला संकेत सही है.

2. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं

\(AB = CD \) , \(AD = BC \राइटएरो ABCD \) एक समांतर चतुर्भुज है।

आइए इस सुविधा पर विचार करें. विकर्ण \(AC \) फिर से खींचिए।

द्वारा संपत्ति 1\(\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी \).

यह इस प्रकार है कि: \(\कोण 1 = \कोण 2 \दायां तीर AD || BC \)और \(\कोण 3 = \कोण 4 \दायां तीर एबी || सीडी \), अर्थात्, \(ABCD\) एक समांतर चतुर्भुज है।

दूसरा चिन्ह सही है.

3. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं

\(\कोण ए = \कोण सी \), \(\कोण बी = \कोण डी \दायां तीर एबीसीडी \)- समांतर चतुर्भुज.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(क्योंकि परिभाषा के अनुसार \(\कोण A = \कोण C \) , \(\कोण B = \कोण D \))।

यह पता चला है, । लेकिन \(\alpha \) और \(\beta \) छेदक बिंदु \(AB \) पर आंतरिक एकतरफ़ा हैं।

और क्या \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \)यह भी कहता है कि \(AD || BC \) ।

सबूत

आइए पहले विकर्ण AC बनाएं। दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं: एबीसी और एडीसी।

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, निम्नलिखित सत्य है:

एडी || BC \दायां तीर \कोण 1 = \कोण 2जैसे झूठ बोलना।

एबी || सीडी \दायां तीर \कोण3 = \कोण 4जैसे झूठ बोलना।

इसलिए, \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC (दूसरी विशेषता के अनुसार: और AC उभयनिष्ठ है)।

और, इसलिए, \त्रिकोण एबीसी = \त्रिभुज एडीसी, फिर एबी = सीडी और एडी = बीसी।

सिद्ध किया हुआ!

2. सम्मुख कोण समरूप होते हैं।

सबूत

प्रमाण के अनुसार गुण 1हम वह जानते हैं \कोण 1 = \कोण 2, \कोण 3 = \कोण 4. अतः सम्मुख कोणों का योग है: \कोण 1 + \कोण 3 = \कोण 2 + \कोण 4. इस बात पर विचार करते हुए कि \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC, हमें \कोण A = \कोण C, \कोण B = \कोण D मिलता है।

सिद्ध किया हुआ!

3. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा विभाजित किया जाता है।

सबूत

आइए एक और विकर्ण बनाएं।

द्वारा संपत्ति 1हम जानते हैं कि विपरीत भुजाएँ समान हैं: AB = CD। एक बार फिर हम आड़े-तिरछे पड़े समान कोणों को नोट करते हैं।

इस प्रकार, त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न (दो कोण और उनके बीच एक भुजा) द्वारा यह देखा जा सकता है कि \त्रिभुज AOB = \त्रिभुज COD। अर्थात्, BO = OD (\कोण 2 और \कोण 1 के विपरीत) और AO = OC (क्रमशः \कोण 3 और \कोण 4 के विपरीत)।

सिद्ध किया हुआ!

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

यदि आपकी समस्या में केवल एक चिह्न मौजूद है, तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज है और आप इस आकृति के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

बेहतर याद रखने के लिए, ध्यान दें कि समांतर चतुर्भुज चिह्न निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देगा - "कैसे पता लगाएं?". यानी यह कैसे पता लगाया जाए कि दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

1. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं।

एबी=सीडी; एबी || CD \दायाँ तीर ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

सबूत

आइए अधिक विस्तार से विचार करें। एडी क्यों || ई.पू.?

\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एडीसी द्वारा संपत्ति 1: AB = CD, AC उभयनिष्ठ है और \कोण 1 = \कोण 2, AB और CD के समानांतर और छेदक AC के साथ क्रॉसवाइज है।

लेकिन यदि \त्रिभुज ABC = \त्रिभुज ADC है, तो \कोण 3 = \कोण 4 (वे क्रमशः AB और CD के विपरीत स्थित हैं)। और इसलिए AD || BC (\कोण 3 और \कोण 4 - आमने-सामने स्थित भी बराबर हैं)।

पहला संकेत सही है.

2. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

एबी = सीडी, एडी = बीसी \राइटएरो एबीसीडी एक समांतर चतुर्भुज है।

सबूत

आइए इस सुविधा पर विचार करें. आइए फिर से विकर्ण AC बनाएं।

द्वारा संपत्ति 1\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी।

यह इस प्रकार है कि: \कोण 1 = \कोण 2 \दायां तीर AD || ईसा पूर्वऔर \कोण 3 = \कोण 4 \दायां तीर एबी || सीडीअर्थात् ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

दूसरा चिन्ह सही है.

3. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

\कोण ए = \कोण सी , \कोण बी = \कोण डी \दायां तीर एबीसीडी- समांतर चतुर्भुज.

सबूत

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(क्योंकि ABCD एक चतुर्भुज है, और परंपरा के अनुसार \कोण A = \कोण C, \कोण B = \कोण D)।

तो \alpha + \beta = 180^(\circ) . लेकिन \alpha और \beta छेदक AB पर आंतरिक एकतरफ़ा हैं।

और यह तथ्य कि \alpha + \beta = 180^(\circ) का अर्थ यह भी है कि AD || ईसा पूर्व.

साथ ही, \alpha और \beta एक छेदक AD के साथ आंतरिक एकतरफ़ा हैं। और इसका मतलब है AB || सीडी.

तीसरा चिन्ह सही है.

4. समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित होते हैं।

एओ=ओसी; बीओ = ओडी \राइटएरो समांतर चतुर्भुज।

सबूत

बीओ=ओडी; AO = OC, \कोण 1 = \कोण 2 ऊर्ध्वाधर के रूप में \दायाँ तीर \त्रिकोण AOB = \त्रिकोण COD, \दायाँ तीर \कोण 3 = \कोण 4, और \राइटएरो एबी || सीडी.

इसी प्रकार BO = OD ; एओ=ओसी, \कोण 5 = \कोण 6 \दायां तीर \त्रिकोण एओडी = \त्रिकोण बीओसी \दायां तीर \कोण 7 = \कोण 8, और \राइटएरो एडी || ईसा पूर्व.

चौथा चिन्ह सही है.