लघुगणकीय असमानताओं के बारे में सब कुछ। उदाहरणों का विश्लेषण

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

"∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: अधिक या कम। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इस तरह हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं दृढ़तापूर्वक इसे दोहराने की सलाह देता हूं - "लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ(एक्स) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; के(एक्स) ≠ 1.

ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल गई है, तो जो कुछ बचा है उसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ जोड़ना है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता का समाधान करें:

सबसे पहले, आइए लघुगणक का ODZ लिखें:

पहली दो असमानताएँ स्वतः संतुष्ट हो जाती हैं, लेकिन अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
एक्स ≠ 0.

यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता में परिवर्तन करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिन्ह होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता में "इससे कम" चिन्ह भी होना चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) · (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 − एक्स 2) एक्स 2< 0;
(3 − एक्स) · (3 + एक्स) · एक्स 2< 0.

इस अभिव्यक्ति के शून्य हैं: x = 3; एक्स = −3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) मिलता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं को परिवर्तित करना

अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के मानक नियमों का उपयोग करके इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहूंगा। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का VA ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का VA ज्ञात करें;
लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को एक मानक स्तर तक कम करें;
ऊपर दी गई योजना का उपयोग करके परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता का समाधान करें:

आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (डीओ) खोजें:

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात करना:

3x − 2 = 0;
एक्स = 2/3.

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) मिलता है। दूसरे लघुगणक में समान VA होगा। अगर आपको यकीन नहीं है तो आप इसे चेक कर सकते हैं. अब हम दूसरे लघुगणक को बदलते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने तीन को कम कर दिया गया है। हमें समान आधार वाले दो लघुगणक मिले। आइए उन्हें जोड़ें:

लॉग 2 (x − 1) 2< 2;
लॉग 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की। हम सूत्र का उपयोग करके लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूंकि मूल असमानता में "इससे कम" चिह्न शामिल है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्ति भी शून्य से कम होनी चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 − 2एक्स − 3< 0;
(एक्स − 3)(एक्स + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

हमें दो सेट मिले:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
उम्मीदवार का उत्तर: x ∈ (−1; 3).

इन समुच्चयों को प्रतिच्छेद करना बाकी है - हमें वास्तविक उत्तर मिलता है:

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जो दोनों तीरों पर छायांकित हैं। हमें x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु छिद्रित हैं।

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लघुगणक के आधार में एक चर युक्त लघुगणकीय असमानताओं को हल करना: विधियाँ, तकनीक, समतुल्य संक्रमण, गणित शिक्षक, माध्यमिक विद्यालय संख्या 143 कन्याज़किना टी.वी.

लघुगणकीय असमानताओं की संपूर्ण विविधता के बीच, चर आधार वाली असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है: लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 "∨" चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं। इस तरह हम लघुगणक से छुटकारा पा लेते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता तक कम कर देते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लघुगणक को त्यागने पर अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का पता लगाना पर्याप्त है। लघुगणक का ODZ मत भूलना! स्वीकार्य मानों की सीमा से संबंधित हर चीज़ को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए: f (x) > 0; जी(एक्स) > 0; के(एक्स) > 0; k(x) ≠ 1. ये चार असमानताएँ एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ संतुष्ट किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा मिल गई है, तो जो कुछ बचा है उसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ जोड़ना है - और उत्तर तैयार है।

असमानता को हल करें: समाधान सबसे पहले, आइए लघुगणक का OD लिखें। पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती हैं, लेकिन अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि संख्या स्वयं शून्य के बराबर हो, तो हमारे पास है: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; एक्स ≠ 0. यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं: हम लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता में परिवर्तन करते हैं। मूल असमानता में "इससे कम" चिन्ह होता है, जिसका अर्थ है कि परिणामी असमानता में "इससे कम" चिन्ह भी होना चाहिए।

हमारे पास है: (10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)

लघुगणकीय असमानताओं को बदलना अक्सर मूल असमानता उपरोक्त से भिन्न होती है। लघुगणक के साथ काम करने के लिए मानक नियमों का उपयोग करके इसे आसानी से ठीक किया जा सकता है। अर्थात्: किसी भी संख्या को किसी दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है; समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एक लघुगणक से बदला जा सकता है। अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहूंगा। चूँकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का VA ज्ञात करना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है: असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का VA ज्ञात करें; लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को एक मानक स्तर तक कम करें; ऊपर दी गई योजना का उपयोग करके परिणामी असमानता को हल करें।

असमानता को हल करें: समाधान आइए पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (डीओ) खोजें: अंतराल की विधि से हल करें। अंश के शून्यक ज्ञात कीजिए: 3 x − 2 = 0; एक्स = 2/3. तब - हर के शून्य: x − 1 = 0; x = 1. निर्देशांक रेखा पर शून्य और चिह्न अंकित करें:

हमें x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) मिलता है। दूसरे लघुगणक में समान VA होगा। अगर आपको यकीन नहीं है तो आप इसे चेक कर सकते हैं. अब दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार पर दो हो: जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने तीन को रद्द कर दिया गया है। हमें समान आधार वाले दो लघुगणक मिले। उन्हें जोड़ें: लॉग 2 (x − 1) 2

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)

हम सेटों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम उन अंतरालों का चयन करते हैं जो दोनों तीरों पर छायांकित हैं। हमें मिलता है: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - सभी बिंदु छिद्रित हैं। उत्तर: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

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असमानताओं की प्रणाली को हल करें। समाधान। ओडीजेड:  1) 2)

असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (जारी)

असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4) सामान्य समाधान: और -7 -3 - 5 x -1 -8 7 लॉग 2 129 (जारी)

असमानता को हल करें (जारी) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

असमानता समाधान हल करें. ओडीजेड: 

असमानता का समाधान करें (जारी)

असमानता समाधान हल करें. ओडीजेड:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

उनके साथ अंदर लघुगणक हैं.

उदाहरण:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

लघुगणकीय असमानताओं को कैसे हल करें:

हमें किसी भी लघुगणकीय असमानता को $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x)))$ के रूप में कम करने का प्रयास करना चाहिए (प्रतीक $˅$ का अर्थ इनमें से कोई भी है)। यह प्रकार आपको लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जिससे लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता में परिवर्तन होता है, अर्थात, फॉर्म $f(x) ˅ g(x)$ में।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
$-$ यदि एक संख्या है और यह 1 से बड़ी है, तो संक्रमण के दौरान असमानता का चिह्न वही रहता है,
$-$ यदि आधार 0 से बड़ा लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच स्थित) संख्या है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाना चाहिए, यानी।

उदाहरण:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ओडीजेड: $8-x>0$
$-x>-8$
$एक्स<8$

समाधान:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
उत्तर: $(6;8)$

$\log$$_(0.5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0.5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\बाएंदायां तीर$ $x\in(2;\infty)$

समाधान:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
उत्तर: $(2;5]$

बहुत ज़रूरी!किसी भी असमानता में, फॉर्म $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ से लघुगणक के तहत अभिव्यक्ति की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है:

उदाहरण . असमानता को हल करें: $\log$$≤-1$

समाधान:

$\लकड़ी का लट्ठा$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	आइए ODZ लिखें।
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	हम कोष्ठक खोलते हैं और लाते हैं।
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	हम असमानता को $-1$ से गुणा करते हैं, तुलना चिह्न को उल्टा करना नहीं भूलते।
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर बिंदु $\frac(7)(3)$ और $\frac(3)(2)$ अंकित करें। कृपया ध्यान दें कि बिंदु को हर से हटा दिया गया है, इस तथ्य के बावजूद कि असमानता सख्त नहीं है। तथ्य यह है कि यह बिंदु कोई समाधान नहीं होगा, क्योंकि जब इसे असमानता में प्रतिस्थापित किया जाएगा तो यह हमें शून्य से विभाजन की ओर ले जाएगा।
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर आलेखित करते हैं और प्रतिक्रिया में ODZ में आने वाले अंतराल को लिखते हैं।
	हम अंतिम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

उदाहरण . असमानता को हल करें: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

समाधान:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: $x>0$	आइये समाधान की ओर बढ़ते हैं।
समाधान: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	यहां हमारे पास एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणकीय असमानता है। चलो यह करते हैं।
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	हम असमानता के बाईं ओर का विस्तार करते हैं।
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	अब हमें मूल वेरिएबल - x पर लौटने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आइए जाएं, जिसका समाधान समान है, और विपरीत प्रतिस्थापन करें।
$\left[ \begin(इकट्ठा) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	$2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$ को रूपांतरित करें।
$\left[ \begin(इकट्ठा) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	आइए तर्कों की तुलना करने की ओर आगे बढ़ें। लघुगणक का आधार $1$ से बड़ा है, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
$\left[ \begin(एकत्रित) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आंकड़े में संयोजित करें।
	चलिए उत्तर लिखते हैं.

उत्तर: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

हमने सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं और असमानताओं को हल करने पर ध्यान दिया जहां पिछले पाठ में लघुगणक का आधार तय किया गया है।

लेकिन क्या होगा यदि लघुगणक के आधार पर कोई चर हो?

तब यह हमारी सहायता के लिए आएगा असमानताओं का युक्तिकरण.यह कैसे काम करता है यह समझने के लिए, आइए, उदाहरण के लिए, असमानता पर विचार करें:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

जैसा कि अपेक्षित था, आइए ODZ से शुरुआत करें।

ओडीजेड

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

असमानता का समाधान

आइए ऐसे तर्क करें जैसे कि हम एक निश्चित आधार के साथ असमानता का समाधान कर रहे हों। यदि आधार एक से बड़ा है, तो हमें लघुगणक से छुटकारा मिल जाता है, और असमानता का चिह्न नहीं बदलता है; यदि यह एक से कम है, तो यह बदल जाता है।

आइए इसे एक सिस्टम के रूप में लिखें:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

आगे के तर्क के लिए, आइए हम असमानताओं के सभी दाहिने पक्षों को बाईं ओर ले जाएँ।

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

हमें क्या मिला? यह पता चला है कि हमें अभिव्यक्ति `2x-1` और `x^2 - x` को एक ही समय में सकारात्मक या नकारात्मक होने की आवश्यकता है। यदि हम असमानता को हल करें तो वही परिणाम प्राप्त होगा:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

यह असमानता, मूल प्रणाली की तरह, सत्य है यदि दोनों कारक या तो सकारात्मक या नकारात्मक हैं। यह पता चला है कि आप लघुगणकीय असमानता से तर्कसंगत असमानता (ओडीजेड को ध्यान में रखते हुए) की ओर बढ़ सकते हैं।

आइए सूत्रबद्ध करें लघुगणकीय असमानताओं को युक्तिसंगत बनाने की विधि$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ जहां `\vee` कोई असमानता चिह्न है। (`>` चिह्न के लिए, हमने अभी-अभी सूत्र की वैधता की जाँच की है। बाकी के लिए, मेरा सुझाव है कि आप इसे स्वयं जाँचें - यह बेहतर याद रहेगा)।

आइए अपनी असमानता को हल करने की ओर लौटें। इसे कोष्ठक में विस्तारित करने पर (फ़ंक्शन के शून्य को देखना आसान बनाने के लिए), हमें मिलता है

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

अंतराल विधि निम्नलिखित चित्र देगी:

(चूंकि असमानता सख्त है और हमें अंतरालों के सिरों में कोई दिलचस्पी नहीं है, इसलिए उन्हें छायांकित नहीं किया गया है।) जैसा कि देखा जा सकता है, परिणामी अंतराल ODZ को संतुष्ट करते हैं। हमें उत्तर मिला: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

उदाहरण दो. चर आधार के साथ लघुगणकीय असमानता को हल करना

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ओडीजेड

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1,\\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0.\end(सरणी)\दाएं.$$

असमानता का समाधान

नियम के अनुसार जो हमें अभी प्राप्त हुआ लघुगणकीय असमानताओं का युक्तिकरण,हम पाते हैं कि यह असमानता निम्नलिखित के समान है (ओडीजेड को ध्यान में रखते हुए):

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

इस समाधान को ODZ के साथ संयोजित करने पर, हमें उत्तर मिलता है: `(1,2)`।

तीसरा उदाहरण. भिन्न का लघुगणक

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ओडीजेड

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

चूँकि प्रणाली अपेक्षाकृत जटिल है, आइए तुरंत संख्या रेखा पर असमानताओं का समाधान निकालें:

इस प्रकार, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

असमानता का समाधान

आइए `-1` को आधार `x` के साथ लघुगणक के रूप में निरूपित करें।

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

का उपयोग करके लघुगणकीय असमानता का युक्तिकरणहमें एक तर्कसंगत असमानता मिलती है:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

\(\लकड़ी का लट्ठा\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं और लाते हैं।
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	हम असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं, तुलना चिह्न को उल्टा करना नहीं भूलते।
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर बिंदु \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) अंकित करें। कृपया ध्यान दें कि बिंदु को हर से हटा दिया गया है, इस तथ्य के बावजूद कि असमानता सख्त नहीं है। तथ्य यह है कि यह बिंदु कोई समाधान नहीं होगा, क्योंकि जब इसे असमानता में प्रतिस्थापित किया जाएगा तो यह हमें शून्य से विभाजन की ओर ले जाएगा।
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर आलेखित करते हैं और प्रतिक्रिया में ODZ में आने वाले अंतराल को लिखते हैं।
	हम अंतिम उत्तर लिखते हैं।

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(x>0\)	आइये समाधान की ओर बढ़ते हैं।
समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	यहां हमारे पास एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणकीय असमानता है। चलो यह करते हैं।
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	हम असमानता के बाईं ओर का विस्तार करते हैं।
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	अब हमें मूल वेरिएबल - x पर लौटने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आइए जाएं, जिसका समाधान समान है, और विपरीत प्रतिस्थापन करें।
\(\left[ \begin(इकट्ठा) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	\(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\) को रूपांतरित करें।
\(\left[ \begin(इकट्ठा) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए तर्कों की तुलना करने की ओर आगे बढ़ें। लघुगणक का आधार \(1\) से बड़ा है, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\(\left[ \begin(एकत्रित) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आंकड़े में संयोजित करें।
	चलिए उत्तर लिखते हैं.