दाहिना दाएँ या बाएँ दस्ताने में जाता है। दस्ताने क्यों खो जाते हैं: संकेत और अंधविश्वास

पाठ मकसद:

अध्ययन किए जा रहे विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित करना;

समस्या समाधान कौशल में सुधार.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना

कक्षा के साथ फ्रंटल कार्य: निम्नलिखित प्रश्नों पर सैद्धांतिक सर्वेक्षण:

1. अंतरिक्ष की गति किसे कहते हैं?

2. आंदोलनों के उदाहरण दीजिए।

3. अंतरिक्ष के स्वयं पर मानचित्रण को केंद्रीय समरूपता कहा जाता है?

4. अंतरिक्ष के स्वयं पर मानचित्रण को अक्षीय समरूपता कहा जाता है?

5. दर्पण समरूपता किसे कहते हैं?

6. अंतरिक्ष के स्वयं पर मानचित्रण को समानांतर अनुवाद कहा जाता है?

7. बिंदु A के क्या निर्देशांक हैं, यदि केंद्र A के साथ केंद्रीय समरूपता के साथ, बिंदु B(1; 0; 2) बिंदु C(2; -1; 4) पर जाता है। (उत्तर: ए(1.5; -0.5; 3).)

8. समन्वय अक्ष ऑक्स और ओज़ के संबंध में विमान कैसे स्थित है, यदि, इस विमान के सापेक्ष दर्पण समरूपता के साथ, बिंदु एम (2; 2; 3) बिंदु एम 1 (2; -2; 3) में जाता है . (उत्तर: वह तल जिसके संबंध में दर्पण समरूपता पर विचार किया जाता है, जिसमें बिंदु M(2; 2; 3) बिंदु M1(2; -2; 3) में जाता है, ऑक्स और ओज़ अक्षों के समानांतर है।)

9. दायां दस्ताना दर्पण समरूपता के साथ किस दस्ताने (दाएं या बाएं) में जाता है? (उत्तर: बाईं ओर), अक्षीय समरूपता? (उत्तर: बाएँ), केंद्रीय समरूपता? (उत्तर: सही)।

जबकि कक्षा के साथ फ्रंटल कार्य चल रहा है, छात्र ब्लैकबोर्ड पर समस्या संख्या 480 (ए) को हल करता है (होमवर्क की जाँच करता है)।

समस्या संख्या 480 ए).

साबित करें कि केंद्रीय समरूपता के साथ, एक विमान जो समरूपता के केंद्र से नहीं गुजरता है उसे इसके समानांतर एक विमान पर मैप किया जाता है।

1) केंद्र O और एक मनमाना विमान a के साथ अंतरिक्ष की केंद्रीय समरूपता पर विचार करें जो बिंदु O से नहीं गुजरता है (चित्र 1)।

माना सीधी रेखाएँ a और b, बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते हुए, समतल a में स्थित हैं। केंद्र O के साथ समरूपता के साथ, रेखाएँ a और b क्रमशः समानांतर रेखाओं a1 और b1 में परिवर्तित हो जाती हैं (देखें संख्या 479 a)। इस मामले में, बिंदु A किसी बिंदु A1 पर जाता है, जो रेखा a1 और रेखा b1 दोनों पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a1 और b1 प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक एकल तल को परिभाषित करती हैं, अर्थात सीधी रेखाएँ a1 और b1 समतल a1 को परिभाषित करती हैं। समतलों की समानता के आधार पर a || a1.

2) इसके बाद, हम साबित कर सकते हैं कि केंद्र O के साथ केंद्रीय समरूपता के साथ, विमान a को विमान a1 पर मैप किया जाता है। इसे समस्या संख्या 479 1ए) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है, जहां यह साबित हुआ कि सीधी रेखा एबी को सीधी रेखा ए1बी1 पर मैप किया गया है।

तृतीय. समस्या समाधान।

समस्या संख्या 483 ए).

समतल a के सापेक्ष दर्पण समरूपता के साथ, β समतल को β1 समतल पर मैप किया जाता है। साबित करें कि यदि β || a1, फिर β1 || एक।

समाधान: हम विरोधाभास द्वारा प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। आइए मान लें कि β || a, लेकिन समतल β1 और a प्रतिच्छेद करते हैं। फिर उनके पास एक सामान्य बिंदु एम है। चूंकि एम ∈ ए, तो किसी दिए गए दर्पण समरूपता के लिए बिंदु एम को स्वयं में मैप किया जाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु M, जो समतल β1 से संबंधित है, वह भी समतल β में स्थित है। लेकिन फिर समतल a और β प्रतिच्छेद करते हैं। परिणामी विरोधाभास दर्शाता है कि हमारा प्रस्ताव गलत है, इसलिए β1 || एक।

चतुर्थ. स्वतंत्र कार्य (परिशिष्ट देखें)

वी. सारांश

आज हमने "आंदोलन" विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित किया और जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में उनका उपयोग करने का कौशल विकसित किया।

गृहकार्य

समस्याएँ हल करें: संख्या 480 (बी), 483 (बी) (कक्षा में इसी तरह की चर्चा की गई)।

अतिरिक्त काम:

क्रमांक 519 (निर्देश: समतल ए और β, ए और β1 द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोणों के रैखिक कोणों पर विचार करें)।

संख्या 520 (निर्देश: समतल ए पर दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ लें और समस्या संख्या 484 का उपयोग करें)।

केंद्रीय समरूपता (चित्र 2)

1. सिद्ध कीजिए कि केन्द्रीय सममिति गति है।

2. चतुष्फलकीय MABC दिया गया है। बिंदु O के सापेक्ष इस चतुष्फलक के केंद्रीय रूप से सममित एक आकृति बनाएं (चित्र 3)।

स्लाइड में सैद्धांतिक संदर्भ सामग्री है। इसका उपयोग करके, आप सिद्धांत को दोहरा सकते हैं और छात्रों का सर्वेक्षण कर सकते हैं।

इस स्लाइड का उपयोग स्वतंत्र कार्य (I स्तर) के परिणामों की जांच करने के लिए किया जा सकता है।

दर्पण समरूपता

ए विमान ऑक्सी विमान के साथ मेल खाता है (चित्र 4)।

बिंदु O1 और O2 खंड AA1 और BB1 के मध्य बिंदु हैं।

1. सिद्ध करें कि दर्पण समरूपता गति है (चित्र 5)।

2. चतुष्फलकीय MABC दिया गया है। β तल के सापेक्ष इस चतुष्फलक के दर्पण-सममित आकृति की रचना कीजिए।

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

पाठ का प्रकार:संयुक्त.

पाठ मकसद:

कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय, केंद्रीय और दर्पण समरूपता पर विचार करें।
सममित बिंदु बनाना और अक्षीय समरूपता और केंद्रीय समरूपता वाली आकृतियों को पहचानना सिखाएं।
समस्या समाधान कौशल में सुधार करें.

पाठ मकसद:

छात्रों के स्थानिक प्रतिनिधित्व का गठन।
अवलोकन और तर्क करने की क्षमता विकसित करना; सूचना प्रौद्योगिकी के उपयोग के माध्यम से विषय में रुचि विकसित करना।
एक ऐसे व्यक्ति का पालन-पोषण करना जो सुंदरता की सराहना करना जानता हो।

पाठ उपकरण:

सूचना प्रौद्योगिकी का उपयोग (प्रस्तुति)।
चित्र.
होमवर्क कार्ड.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण.

पाठ का विषय बताएं, पाठ के उद्देश्य बताएं।

द्वितीय. परिचय.

समरूपता क्या है?

उत्कृष्ट गणितज्ञ हरमन वेइल ने आधुनिक विज्ञान में समरूपता की भूमिका की अत्यधिक सराहना की: "समरूपता, चाहे हम इस शब्द को कितना भी व्यापक या संकीर्ण रूप से समझें, एक विचार है जिसकी मदद से मनुष्य ने व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझाने और बनाने की कोशिश की।"

हम एक बहुत ही सुंदर और सामंजस्यपूर्ण दुनिया में रहते हैं। हम उन वस्तुओं से घिरे हुए हैं जो आंखों को भाती हैं। उदाहरण के लिए, एक तितली, एक मेपल का पत्ता, एक बर्फ का टुकड़ा। देखो वे कितने सुंदर हैं. क्या आपने उन पर ध्यान दिया है? आज हम इस अद्भुत गणितीय घटना - समरूपता पर बात करेंगे। आइए अक्षीय की अवधारणा से परिचित हों, केंद्रीय और दर्पण समरूपता. हम ऐसी आकृतियाँ बनाना और पहचानना सीखेंगे जो अक्ष, केंद्र और तल के सापेक्ष सममित हों।

ग्रीक से अनुवादित "समरूपता" शब्द "सद्भाव" जैसा लगता है, जिसका अर्थ है भागों की व्यवस्था में सुंदरता, आनुपातिकता, आनुपातिकता, एकरूपता। मनुष्य ने लंबे समय से वास्तुकला में समरूपता का उपयोग किया है। यह प्राचीन मंदिरों, मध्यकालीन महलों की मीनारों और आधुनिक इमारतों को सद्भाव और पूर्णता प्रदान करता है।

सबसे सामान्य रूप में, गणित में "समरूपता" को अंतरिक्ष (तल) के ऐसे परिवर्तन के रूप में समझा जाता है, जिसमें प्रत्येक बिंदु M किसी समतल (या रेखा) a के सापेक्ष दूसरे बिंदु M" पर जाता है, जब खंड MM" होता है समतल (या रेखा) a पर लंबवत और इसे आधे में विभाजित करता है। समतल (सीधी रेखा) a को सममिति का समतल (या अक्ष) कहा जाता है। समरूपता की मूलभूत अवधारणाओं में समरूपता का तल, समरूपता की धुरी, समरूपता का केंद्र शामिल हैं। सममिति तल P वह समतल है जो किसी आकृति को दो दर्पण जैसे समान भागों में विभाजित करता है, जो एक वस्तु और उसकी दर्पण छवि के समान एक दूसरे के सापेक्ष स्थित होते हैं।

तृतीय. मुख्य हिस्सा। समरूपता के प्रकार.

केंद्रीय समरूपता

किसी बिंदु के बारे में समरूपता या केंद्रीय समरूपता एक ज्यामितीय आकृति का गुण है जब समरूपता केंद्र के एक तरफ स्थित कोई भी बिंदु केंद्र के दूसरी तरफ स्थित किसी अन्य बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, बिंदु केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खंड पर स्थित होते हैं, जो खंड को आधे में विभाजित करता है।

व्यावहारिक कार्य.

अंक दिए गए हैं ए, मेंऔर एम एमखंड के मध्य के सापेक्ष अब.
निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का केंद्र है: A, O, M, X, K?
क्या उनके पास समरूपता का केंद्र है: ए) एक खंड; बी) किरण; ग) प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी; घ) वर्ग?

अक्षीय समरूपता

एक रेखा के बारे में समरूपता (या अक्षीय समरूपता) एक ज्यामितीय आकृति का गुण है जब रेखा के एक तरफ स्थित कोई भी बिंदु हमेशा रेखा के दूसरी तरफ स्थित एक बिंदु के अनुरूप होगा, और इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड लंबवत होंगे समरूपता के अक्ष पर और इसके द्वारा आधे में विभाजित।

व्यावहारिक कार्य.

दो अंक दिए गए एऔर में, कुछ रेखा और एक बिंदु के संबंध में सममित एम. बिंदु के सममित एक बिंदु का निर्माण करें एमउसी पंक्ति के सापेक्ष.
निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का अक्ष है: A, B, D, E, O?
a) एक खंड में सममिति के कितने अक्ष होते हैं? बी) सीधा; ग) किरण?
चित्र में सममिति के कितने अक्ष हैं? (चित्र 1 देखें)

दर्पण समरूपता

अंक एऔर मेंविमान α (समरूपता का विमान) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि विमान α खंड के मध्य से होकर गुजरता है अबऔर इस खंड के लंबवत। α तल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

व्यावहारिक कार्य.

उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर बिंदु A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2) जाते हैं: a) मूल बिंदु के सापेक्ष केंद्रीय समरूपता; बी) समन्वय अक्षों के सापेक्ष अक्षीय समरूपता; ग) समन्वित तलों के सापेक्ष दर्पण समरूपता।
क्या दर्पण समरूपता में दायाँ दस्ताना दाएँ या बाएँ दस्ताना में जाता है? अक्षीय समरूपता? केंद्रीय समरूपता?
चित्र से पता चलता है कि संख्या 4 दो दर्पणों में कैसे परिलक्षित होती है। यदि संख्या 5 के साथ भी ऐसा ही किया जाए तो प्रश्न चिह्न के स्थान पर क्या दिखाई देगा? (चित्र 2 देखें)
तस्वीर में दिखाया गया है कि कैसे कंगारू शब्द दो दर्पणों में प्रतिबिंबित होता है। यदि आप संख्या 2011 के साथ भी ऐसा ही करें तो क्या होगा? (चित्र 3 देखें)

चावल। 2

यह दिलचस्प है।

जीवित प्रकृति में समरूपता।

लगभग सभी जीवित प्राणी समरूपता के नियमों के अनुसार निर्मित होते हैं; यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि ग्रीक से अनुवादित होने पर "समरूपता" शब्द का अर्थ "आनुपातिकता" होता है।

उदाहरण के लिए, फूलों में घूर्णी समरूपता होती है। कई फूलों को घुमाया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंखुड़ी अपने पड़ोसी की स्थिति ले ले, फूल अपने साथ संरेखित हो जाए। ऐसे घूर्णन का न्यूनतम कोण विभिन्न रंगों के लिए समान नहीं होता है। आईरिस के लिए यह 120° है, बेलफ़्लॉवर के लिए - 72°, नार्सिसस के लिए - 60°।

पौधे के तनों पर पत्तियों की व्यवस्था में पेचदार समरूपता होती है। तने के साथ एक पेंच की तरह स्थित, पत्तियां अलग-अलग दिशाओं में फैली हुई लगती हैं और प्रकाश से एक-दूसरे को अस्पष्ट नहीं करती हैं, हालांकि पत्तियों में स्वयं भी समरूपता की धुरी होती है। किसी भी जानवर की संरचना की सामान्य योजना पर विचार करते हुए, हम आमतौर पर शरीर के अंगों या अंगों की व्यवस्था में एक निश्चित नियमितता देखते हैं, जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर दोहराई जाती हैं या एक निश्चित विमान के संबंध में एक ही स्थिति पर कब्जा कर लेती हैं। इस नियमितता को शरीर समरूपता कहा जाता है। समरूपता की घटनाएँ पशु जगत में इतनी व्यापक हैं कि ऐसे समूह को इंगित करना बहुत कठिन है जिसमें शरीर की कोई समरूपता नज़र नहीं आती। छोटे कीड़ों और बड़े जानवरों दोनों में समरूपता होती है।

निर्जीव प्रकृति में समरूपता.

निर्जीव प्रकृति के अनंत रूपों में से ऐसे परिपूर्ण चित्र बहुतायत में पाए जाते हैं, जिनका स्वरूप बरबस ही हमारा ध्यान आकर्षित कर लेता है। प्रकृति की सुंदरता का अवलोकन करते हुए, आप देख सकते हैं कि जब वस्तुएँ पोखरों और झीलों में परावर्तित होती हैं, तो दर्पण समरूपता दिखाई देती है (चित्र 4 देखें)।

क्रिस्टल निर्जीव प्रकृति की दुनिया में समरूपता का आकर्षण लाते हैं। प्रत्येक बर्फ का टुकड़ा जमे हुए पानी का एक छोटा क्रिस्टल है। बर्फ के टुकड़ों का आकार बहुत विविध हो सकता है, लेकिन उन सभी में घूर्णी समरूपता और, इसके अलावा, दर्पण समरूपता होती है।

कोई भी मुखयुक्त रत्नों में समरूपता देखने से बच नहीं सकता। कई कटर हीरे को टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन या इकोसाहेड्रोन का आकार देने का प्रयास करते हैं। चूंकि गार्नेट में क्यूब के समान तत्व होते हैं, इसलिए रत्न विशेषज्ञों द्वारा इसे अत्यधिक महत्व दिया जाता है। गार्नेट से बनी कलात्मक वस्तुएं प्राचीन मिस्र की कब्रों में पूर्व-वंश काल (दो सहस्राब्दी ईसा पूर्व) की खोज की गई थीं (चित्र 5 देखें)।

हर्मिटेज संग्रह में, प्राचीन सीथियन के सोने के गहनों पर विशेष ध्यान दिया जाता है। सोने की मालाओं, मुकुटों, लकड़ी का कलात्मक काम और कीमती लाल-बैंगनी गार्नेट से सजाया गया असामान्य रूप से बढ़िया है।

जीवन में समरूपता के नियमों का सबसे स्पष्ट उपयोग वास्तुशिल्प संरचनाओं में होता है। यही तो हम अक्सर देखते हैं. वास्तुकला में, समरूपता के अक्षों का उपयोग वास्तुशिल्प डिजाइन को व्यक्त करने के साधन के रूप में किया जाता है (चित्र 6 देखें)। ज्यादातर मामलों में, कालीन, कपड़े और इनडोर वॉलपेपर पर पैटर्न अक्ष या केंद्र के बारे में सममित होते हैं।

किसी व्यक्ति द्वारा अपने अभ्यास में समरूपता का उपयोग करने का एक और उदाहरण प्रौद्योगिकी है। इंजीनियरिंग में, समरूपता अक्षों को सबसे स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है जहां शून्य स्थिति से विचलन का अनुमान लगाना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, ट्रक के स्टीयरिंग व्हील पर या जहाज के स्टीयरिंग व्हील पर। या मानव जाति के सबसे महत्वपूर्ण आविष्कारों में से एक जिसमें समरूपता का केंद्र है वह पहिया है; प्रोपेलर और अन्य तकनीकी साधनों में भी समरूपता का केंद्र है।

"आईने में देखो!"

क्या हमें यह सोचना चाहिए कि हम स्वयं को केवल "दर्पण छवि" में देखते हैं? या, ज़्यादा से ज़्यादा, क्या हम केवल फ़ोटो और फ़िल्मों से ही पता लगा सकते हैं कि हम "वास्तव में" कैसे दिखते हैं? बिलकुल नहीं: अपना असली चेहरा देखने के लिए दर्पण की छवि को दूसरी बार दर्पण में प्रतिबिंबित करना पर्याप्त है। ट्रेलिस बचाव के लिए आते हैं। उनके बीच में एक बड़ा मुख्य दर्पण और किनारों पर दो छोटे दर्पण हैं। अगर आप ऐसे साइड मिरर को बीच वाले मिरर से समकोण पर लगाएं तो आप खुद को ठीक उसी रूप में देख सकते हैं, जिस रूप में दूसरे आपको देखते हैं। अपनी बाईं आंख बंद करें, और दूसरे दर्पण में आपका प्रतिबिंब आपकी बाईं आंख के साथ आपकी गति को दोहराएगा। जाली से पहले, आप चुन सकते हैं कि आप स्वयं को दर्पण छवि में देखना चाहते हैं या प्रत्यक्ष छवि में।

यह कल्पना करना आसान है कि यदि प्रकृति में समरूपता टूट गई तो पृथ्वी पर किस प्रकार का भ्रम व्याप्त हो जाएगा!


चावल। 4	चावल। 5	चावल। 6

चतुर्थ. शारीरिक शिक्षा मिनट.

« आलसी आठ» – ऐसी संरचनाओं को सक्रिय करें जो याद रखना सुनिश्चित करती हैं, ध्यान की स्थिरता बढ़ाती हैं।
संख्या आठ को हवा में क्षैतिज तल में तीन बार बनाएं, पहले एक हाथ से, फिर दोनों हाथों से एक साथ।
« सममित चित्र »- हाथ-आंख समन्वय में सुधार करें और लेखन प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाएं।
दोनों हाथों से हवा में सममित पैटर्न बनाएं।

वी. स्वतंत्र परीक्षण कार्य.

Ι विकल्प

ΙΙ विकल्प

आयत MPKH में O विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, RA और BH शीर्ष P और H से सीधी रेखा MK पर खींचे गए लंबवत हैं। यह ज्ञात है कि एमए = ओबी। कोण POM ज्ञात कीजिए।
समचतुर्भुज MPKH में विकर्ण बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं के बारे में।पक्षों पर एमके, केएच, पीएच बिंदु ए, बी, सी क्रमशः लिए गए हैं, एके = केवी = आरएस। सिद्ध कीजिए कि OA = OB है और कोण POC तथा MOA का योग ज्ञात कीजिए।
दिए गए विकर्ण के अनुदिश एक वर्ग का निर्माण करें ताकि इस वर्ग के दो विपरीत शीर्ष दिए गए तीव्र कोण के विपरीत पक्षों पर स्थित हों।

VI. पाठ का सारांश. आकलन।

आपने कक्षा में किस प्रकार की समरूपता के बारे में सीखा?
किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन से दो बिंदु सममित कहलाते हैं?
किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?
किसी दिए गए बिंदु के बारे में किन दो बिंदुओं को सममित कहा जाता है?
किसी दिए गए बिंदु के बारे में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?
दर्पण समरूपता क्या है?
उन आकृतियों के उदाहरण दीजिए जिनमें: a) अक्षीय समरूपता; बी) केंद्रीय समरूपता; ग) अक्षीय और केंद्रीय समरूपता दोनों।
सजीव और निर्जीव प्रकृति में समरूपता के उदाहरण दीजिए।

सातवीं. गृहकार्य।

1. व्यक्तिगत: अक्षीय समरूपता का उपयोग करके संरचना को पूरा करें (चित्र 7 देखें)।

चावल। 7

2. निम्नलिखित के संबंध में दी गई आकृति के सममित एक आकृति बनाएं: ए) एक बिंदु; बी) सीधा (चित्र 8, 9 देखें)।


चावल। 8	चावल। 9

3. रचनात्मक कार्य: "जानवरों की दुनिया में।" पशु जगत से एक प्रतिनिधि का चित्र बनाइये और समरूपता का अक्ष दिखाइये।

आठवीं. प्रतिबिंब।

आपको पाठ के बारे में क्या पसंद आया?
कौन सी सामग्री सबसे दिलचस्प थी?
इस या उस कार्य को पूरा करते समय आपको किन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा?
पाठ के दौरान आप क्या बदलेंगे?

रेडियस बेस जेनरेटर ऊंचाई अक्ष पार्श्व सतह पृष्ठ

1. एक बेलन की त्रिज्या उसके आधार की त्रिज्या होती है। 2. एक बेलन का आधार उसके वृत्त हैं। 3. एक सिलेंडर के जनरेटर उसके आधारों के वृत्तों के बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड हैं। 4. सिलेंडर की ऊंचाई आधारों के बीच की दूरी है। 5. बेलन की धुरी उसके आधारों के केन्द्रों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा है। 6. बेलन की पार्श्व सतह उसकी बेलनाकार सतह होती है।

खंड AB के सिरे, a के बराबर, सिलेंडर के आधार के वृत्तों पर स्थित हैं। सिलेंडर की त्रिज्या r के बराबर है, ऊंचाई h है, सीधी रेखा AB और 1 सिलेंडर के अक्ष OO के बीच की दूरी d के बराबर है। 1. बताएं कि एक खंड का निर्माण कैसे करें जिसकी लंबाई क्रॉसिंग लाइनों एबी और ओओ 1 ए बी ओ ओ ओ 1 ओ 1 एएच आर सी के डी के बीच की दूरी के बराबर है। 2. दिए गए मान ए, एच, आर से डी का मान खोजने के लिए एक योजना बनाएं। . योजना: 1) एबीसी से, एसी खोजें, फिर एके 2) एकेओ से, डी खोजें 3। दिए गए मान ए, डी, आर से मान एच खोजने के लिए एक योजना बनाएं। योजना: 1) AKO से AK, फिर AC 2) ABC से BC = h खोजें कार्य 1।

समस्या 2. समतल γ, सिलेंडर अक्ष के समानांतर, आधार वृत्त से डिग्री माप α के साथ चाप AmD को काटता है। सिलेंडर की ऊंचाई h है, सिलेंडर अक्ष और काटने वाले तल के बीच की दूरी d है। γ D В А С O m α K h 1. सिद्ध करें कि समतल γ द्वारा बेलन का खंड एक आयत है। 2. समझाएं कि एक खंड का निर्माण कैसे किया जाए जिसकी लंबाई सिलेंडर की धुरी और काटने वाले विमान के बीच की दूरी के बराबर हो। 3. डेटा α, d, h O1O1 के आधार पर क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र की गणना के लिए एक योजना बनाएं और समझाएं

1. एक आयत जिसकी भुजाएँ 6 सेमी और 4 सेमी हैं, छोटी भुजा के चारों ओर घूमता है। घूर्णन पिंड का सतह क्षेत्र और उसके अक्षीय खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। 2. बेलन का अक्षीय अनुप्रस्थ काट एक वर्ग है, जिसका विकर्ण 12 सेमी है। बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सिलेंडर की ऊंचाई H है, इसके आधार की त्रिज्या R है। सिलेंडर में एक पिरामिड रखा गया है, जिसकी ऊंचाई सिलेंडर के जनरेटर AA1 से मेल खाती है, और आधार एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC (AB = AC) है। , सिलेंडर के आधार में अंकित है। यदि A = 120° है तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें। दिया गया है: ऊंचाई H और त्रिज्या R वाले एक सिलेंडर में एक पिरामिड अंकित है, जिससे AA1 बनता है - पिरामिड की ऊंचाई, ABC, AB=AC, ABC - सिलेंडर के आधार में अंकित है, कोण A = 120° है। खोजें: पिरामिड का किनारा। समाधान: 1) आइए AD BC बनाएं और बिंदु A 1 और D को जोड़ें। प्रमेय के अनुसार, हमारे पास A 1 D BC है। चूँकि चाप CAB में 120° है, और चाप AC और AB में प्रत्येक में 60° है, तो BC = R, AB = R. 2) ABD में हमारे पास AD = R/2 है। इसके बाद, AA 1 D से हमें A 1 D = ½ प्राप्त होता है इसलिए S А1АВ = ½ АВ · АА1 = ½ RH S А1ВС = ½ ВС · А 1 D = ½ R ½ = ¼ R 3) पार्श्व = 2 S А1АВ + S А1ВС = आरएच + ¼ आर = = आर/4(4एच +). उत्तर: R/4(4H+). ओ ओ1ओ1 ए ए1ए1 सी बी डी

सिलेंडर की ऊंचाई 12 सेमी है। सिलेंडर के जेनरेटर के मध्य से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है, जो सिलेंडर की धुरी को निचले आधार से 4 सेमी की दूरी पर काटती है। यह रेखा सिलेंडर के निचले आधार वाले तल को निचले आधार के केंद्र से 18 सेमी की दूरी पर काटती है। बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। M2M2 M1M1 O1O1 O2O2 R BC A दिया गया है: सिलेंडर, ऊंचाई O1O2 = 12 सेमी, B जेनरेट्रिक्स M1M2 का मध्य है, AB बिंदु C पर O1O2 को काटता है, CO2 = 4 सेमी, AO2 = 18 सेमी। खोजें: R आधार। समाधान: आइए समस्या कथन में दी गई रेखा एबी और सिलेंडर ओ 1 ओ 2 की धुरी के माध्यम से एक विमान खींचें। इस विमान में जनरेटर एम 1 एम 2 भी शामिल है, जिसमें यह सिलेंडर की सतह के साथ प्रतिच्छेद करता है। लंबाई एम 1 एम 2 सिलेंडर की ऊंचाई के बराबर है, यानी। एम 1 एम 2 = 12 सेमी, फिर शर्त के अनुसार वीएम 2 = 6 सेमी। एम 1 एम 2 || O 1 O 2, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज ABM 2 और ACO 2 में भी एक उभयनिष्ठ कोण A है, और इसका अर्थ है कि वे समान हैं। इसलिए उत्तर: 9 सेमी

विषय: सिलेंडर समस्याएं 1. सिलेंडर की ऊंचाई H है, आधार की त्रिज्या R है। सिलेंडर की धुरी के समानांतर एक विमान द्वारा खंड एक वर्ग है। इस खंड की अक्ष से दूरी ज्ञात कीजिए। 2. सिलेंडर की ऊंचाई 8 सेमी है, त्रिज्या 5 सेमी है। अपनी धुरी के समानांतर एक विमान के साथ सिलेंडर का क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र ज्ञात करें यदि इस विमान और सिलेंडर की धुरी के बीच की दूरी 3 सेमी है प्रशिक्षण अभ्यास टास्क 1(α=1): आयत एबीसीडी बड़ी (छोटी) भुजाओं के चारों ओर घूमता है। a) घूर्णन के इस पिंड का चित्र बनाएं। इसे एक परिभाषा दें ख) घुमाने पर खंड BC क्या बनता है? धारा एबी? ग) कौन से खंड सिलेंडर की त्रिज्या, ऊंचाई और अक्ष हैं? घ) सिलेंडर के आधार क्षेत्र और अक्षीय क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र की गणना करने के लिए एक सूत्र लिखें।

"समरूपता" विषय पर समस्या

"व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता"

व्यक्तिगत रूप से महत्वपूर्ण संज्ञानात्मक प्रश्न

"समरूपता, चाहे हम इस शब्द को कितना भी व्यापक या संकीर्ण रूप से समझें, एक विचार है जिसकी मदद से मनुष्य ने व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझाने और बनाने की कोशिश की," ये शब्द उत्कृष्ट गणितज्ञ हरमन वेइल के हैं।

अक्षीय, केंद्रीय और दर्पण समरूपता क्या है? और ये अवधारणाएँ हमारे आस-पास की दुनिया में कैसे प्रकट होती हैं?

इस मुद्दे पर जानकारी विभिन्न रूपों में प्रस्तुत की गई है

पाठ 1।

समरूपता की अवधारणा मानव रचनात्मकता के पूरे सदियों पुराने इतिहास में व्याप्त है।“एक बार, एक ब्लैक बोर्ड के सामने खड़ा होकर और उस पर चॉक से अलग-अलग आकृतियाँ बनाते हुए, मेरे मन में अचानक यह विचार आया: समरूपता आँख को क्यों अच्छी लगती है? समरूपता क्या है? यह एक सहज भावना है, मैंने स्वयं उत्तर दिया। क्या उस पर आधारित है? क्या जीवन में हर चीज़ में समरूपता है?” एल. एन. टॉल्स्टॉय "किशोरावस्था"।

टी.एफ. एफ़्रेमोवा द्वारा रूसी भाषा का नया शब्दकोश:

समरूपता - किसी चीज़ के हिस्सों की आनुपातिक, आनुपातिक व्यवस्था। केंद्र के संबंध में, मध्य।

डी.एन. उषाकोव द्वारा रूसी भाषा का व्याख्यात्मक शब्दकोश:

समरूपता - आनुपातिकता, अंतरिक्ष में पूरे के हिस्सों की व्यवस्था में आनुपातिकता, पूरे के एक आधे हिस्से का दूसरे आधे हिस्से से पूर्ण पत्राचार (स्थान, आकार में)।

सामान्य तौर पर, गणित में "समरूपता" को अंतरिक्ष (तल) के परिवर्तन के रूप में समझा जाता है जिसमें प्रत्येक बिंदु M किसी समतल (या रेखा) के सापेक्ष दूसरे बिंदु M" पर जाता है, जब खंड MM" समतल के लंबवत होता है ( या रेखा) a और इसे आधे में विभाजित करती है। समतल (सीधी रेखा) a को सममिति का समतल (या अक्ष) कहा जाता है। समरूपता की मूलभूत अवधारणाओं में समरूपता का तल, समरूपता की धुरी, समरूपता का केंद्र शामिल हैं। सममिति तल P वह समतल है जो किसी आकृति को दो दर्पण जैसे समान भागों में विभाजित करता है, जो एक वस्तु और उसकी दर्पण छवि के समान एक दूसरे के सापेक्ष स्थित होते हैं।

पाठ 2.समरूपता के प्रकार.

केंद्रीय समरूपता

अक्षीय समरूपता

दर्पण समरूपता

टी चश्माएऔर मेंविमान α (समरूपता का विमान) के संबंध में सममित कहा जाता है यदि विमान α खंड के मध्य से होकर गुजरता हैअबऔर इस खंड के लंबवत। α तल का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

पाठ 3. यह दिलचस्प है.

जीवित प्रकृति में समरूपता।

साथ
उदाहरण के लिए, फूलों में घूर्णी समरूपता देखी जाती है। कई फूलों को घुमाया जा सकता है ताकि प्रत्येक पंखुड़ी अपने पड़ोसी की स्थिति ले ले, फूल अपने साथ संरेखित हो जाए। ऐसे घूर्णन का न्यूनतम कोण विभिन्न रंगों के लिए समान नहीं होता है। आईरिस के लिए यह 120° है, बेलफ़्लॉवर के लिए - 72°, नार्सिसस के लिए - 60°।

20वीं सदी में, रूसी वैज्ञानिकों - वी. बेक्लेमिशेव, वी. वर्नाडस्की, वी. अल्पाटोव, जी. गॉज़ - के प्रयासों से समरूपता के अध्ययन में एक नई दिशा बनाई गई - बायोसिमेट्री। आणविक और सुपरमॉलेक्यूलर स्तरों पर जैविक संरचनाओं की समरूपता का अध्ययन हमें जैविक वस्तुओं में समरूपता के लिए संभावित विकल्पों को पहले से निर्धारित करने और किसी भी जीव के बाहरी आकार और आंतरिक संरचना का सख्ती से वर्णन करने की अनुमति देता है।

निर्जीव प्रकृति में समरूपता.

अपने आस-पास की दुनिया का अवलोकन करते हुए, मनुष्य ने ऐतिहासिक रूप से विभिन्न प्रकार की कलाओं में इसे कमोबेश यथार्थवादी रूप से चित्रित करने का प्रयास किया है, इसलिए चित्रकला, मूर्तिकला, वास्तुकला, साहित्य, संगीत और नृत्य में समरूपता पर विचार करना बहुत दिलचस्प है।

चित्रकला में समरूपता हम पहले से ही आदिम लोगों की गुफा चित्रों में देख सकते हैं। प्राचीन काल में, चित्रण की कला का एक महत्वपूर्ण हिस्सा प्रतीक थे, जिसके निर्माण में कलाकारों ने दर्पण समरूपता के गुणों का उपयोग किया था। आज उन्हें देखकर, आप संतों की छवियों में अद्भुत समरूपता से आश्चर्यचकित हो जाते हैं, हालांकि कभी-कभी एक दिलचस्प बात होती है - असममित छवियों में हम समरूपता को एक आदर्श के रूप में महसूस करते हैं, जिसे कलाकार बाहरी कारकों के प्रभाव में भटका देता है।

इमारतों की सामान्य योजनाओं में समरूपता के तत्व देखे जा सकते हैं।

मूर्तिकला और चित्रकला भी सौंदर्य संबंधी समस्याओं को हल करने के लिए समरूपता के उपयोग के कई उल्लेखनीय उदाहरण प्रदान करते हैं। इसके उदाहरण हैं महान माइकलएंजेलो द्वारा बनाई गई गिउलिआनो डे मेडिसी की कब्र, कीव में सेंट सोफिया कैथेड्रल के शिखर की पच्चीकारी, जिसमें ईसा मसीह की दो आकृतियों को दर्शाया गया है, एक रोटी के साथ साम्य देता है, दूसरा शराब के साथ।

चित्रकला और वास्तुकला से बाहर कर दी गई समरूपता ने धीरे-धीरे लोगों के जीवन के नए क्षेत्रों - संगीत और नृत्य - पर कब्जा कर लिया। इस प्रकार, 15वीं शताब्दी के संगीत में, एक नई दिशा की खोज की गई - अनुकरणात्मक पॉलीफोनी, जो एक आभूषण का एक संगीत एनालॉग है; बाद में फ्यूग्यू, एक जटिल पैटर्न के ध्वनि संस्करण दिखाई दिए। मेरा मानना है कि आधुनिक गीत शैली में, कोरस (गीत के पाठ की) धुरी के साथ सबसे सरल आलंकारिक समरूपता का एक उदाहरण है।

साहित्य ने भी समरूपता की उपेक्षा नहीं की। इस प्रकार, साहित्य में समरूपता का एक उदाहरण पैलिंड्रोम हो सकता है, ये पाठ के भाग हैं जिनके अक्षरों का उल्टा और सीधा क्रम मेल खाता है। उदाहरण के लिए, "और गुलाब अज़ोर के पंजे पर गिर गया" (ए. फ़ेट), "मैं शायद ही कभी अपने हाथ से सिगरेट का बट पकड़ता हूँ।" पैलिंड्रोम्स के एक विशेष मामले के रूप में, हम रूसी भाषा में कई उल्टे शब्दों को जानते हैं: कोक, टोपोट, कज़ाक और कई अन्य। पहेलियाँ - पहेलियाँ - अक्सर ऐसे शब्दों के प्रयोग पर बनाई जाती हैं।

इस जानकारी के साथ काम करने के लिए कार्य

परिचय

1.हमारे विद्यालय में फर्नीचर, दृश्य सामग्री और खेल उपकरण सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं को देखें, जो ज्यामितीय आकृतियों से मिलती जुलती हैं। निर्धारित करें कि उनमें से किसमें समरूपता है?

प्रश्नों के उत्तर दें:

आप किस प्रकार की समरूपता से परिचित हैं?

किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन से दो बिंदु सममित कहलाते हैं?

किसी दी गई रेखा के संबंध में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?

किसी दिए गए बिंदु के बारे में किन दो बिंदुओं को सममित कहा जाता है?

किसी दिए गए बिंदु के बारे में कौन सी आकृति सममित कहलाती है?

दर्पण समरूपता क्या है?

सजीव और निर्जीव प्रकृति में समरूपता के उदाहरण दीजिए।

-a) एक खंड में सममिति के कितने अक्ष होते हैं? बी) सीधा; ग) किरण?

क्या दर्पण समरूपता में दायाँ दस्ताना दाएँ या बाएँ दस्ताना में जाता है? अक्षीय समरूपता? केंद्रीय समरूपता?

समझ

में
कार्य पूरा करें: बच्चे समुद्र तट के किनारे दौड़े और रेत पर पैरों के निशान छोड़े। दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तारित होने वाली निशानों की श्रृंखलाओं को ध्यान में रखते हुए, प्रत्येक श्रृंखला के लिए उसके संयोजनों के प्रकार को तीरों से इंगित करें, अर्थात। आंदोलन जो इसे अपने आप में लाते हैं।

प्रश्नों के उत्तर दें:

निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का केंद्र है: A, O, M, X, K?

निम्नलिखित में से किस अक्षर में समरूपता का अक्ष है: A, B, D, E, O?

उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिन पर बिंदु A (0; 1; 2), B (3; -1; 4), C (1; 0; -2) जाते हैं: a) मूल बिंदु के सापेक्ष केंद्रीय समरूपता; बी) समन्वय अक्षों के सापेक्ष अक्षीय समरूपता; ग) समन्वित तलों के सापेक्ष दर्पण समरूपता।

आवेदन

निम्नलिखित के संबंध में दी गई आकृति के सममित एक आकृति बनाएं: ए) एक बिंदु; बी) सीधा

समूहों में समस्याओं का समाधान करें

1.एक आयत मेंएबीसीडी ओ– विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु,बी.एच.और डे-त्रिकोणों की ऊंचाईएबीओऔर सी.ओ.डी.क्रमश, वाह= 60°, ए.एच.= 5 सेमी ज्ञात कीजिए ँ.

2. एक समचतुर्भुज में ए बी सी डीविकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंओ. ओम, ठीक है, ओई– लंबवत् पक्षों पर गिरा दिया गयाएबी, बीसी, सीडीक्रमश। साबित करें किओम = ठीक है, और कोणों का योग ज्ञात करेंसमझौता ज्ञापनऔर कोए.

3. किसी दिए गए न्यून कोण के अंदर, एक निश्चित भुजा वाला एक वर्ग बनाएं ताकि वर्ग के दो शीर्ष कोण की एक भुजा के हों और तीसरा दूसरे की ओर।

4. आयत MPKH में O विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, RA और BH शीर्ष P और H से सीधी रेखा MK पर खींचे गए लंबवत हैं। यह ज्ञात है कि एमए = ओबी। कोण POM ज्ञात कीजिए।

5. एक समचतुर्भुज MPKH में, विकर्ण बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंके बारे में।पक्षों पर एमके, केएच, पीएच बिंदु ए, बी, सी क्रमशः लिए गए हैं, एके = केवी = आरएस। सिद्ध कीजिए कि OA = OB है और कोण POC तथा MOA का योग ज्ञात कीजिए।

6. दिए गए विकर्ण के अनुदिश एक वर्ग का निर्माण करें ताकि इस वर्ग के दो विपरीत शीर्ष दिए गए न्यून कोण के विपरीत भुजाओं पर स्थित हों।

विश्लेषण करें कि छवि में समरूपता के कितने अक्ष हैं।

एक रेखाचित्र बनाएँ पशु और पौधे की दुनिया के प्रतिनिधि और चित्रों में दर्पण समरूपता का उपयोग करके केंद्र, समरूपता की धुरी दिखाते हैं।

पैलिंड्रोम लिखें या पहेलियाँ बनाने के लिए ऐसे शब्दों का उपयोग करें - विद्रोह।

अपने रेखाचित्रों और साहित्यिक कार्यों के मूल्यांकन के लिए संभावित मानदंड सुझाएंकला और साहित्यिक आलोचक