भौतिकी में स्थिर और अस्थिर संतुलन। स्थिति-विज्ञान

एक यांत्रिक प्रणाली का संतुलन उसकी वह स्थिति है जिसमें विचाराधीन प्रणाली के सभी बिंदु चुने गए संदर्भ फ्रेम के संबंध में आराम पर होते हैं।

किसी अक्ष के परितः बल का क्षण इस बल F और भुजा d के परिमाण का गुणनफल होता है।

संतुलन की स्थिति का पता लगाने का सबसे आसान तरीका सबसे सरल यांत्रिक प्रणाली - एक भौतिक बिंदु का उदाहरण है। गतिशीलता के पहले नियम (यांत्रिकी देखें) के अनुसार, एक जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में एक भौतिक बिंदु के आराम (या एकसमान सीधी गति) की स्थिति उस पर लागू सभी बलों के वेक्टर योग के शून्य के बराबर है।

अधिक जटिल यांत्रिक प्रणालियों में संक्रमण में, उनके संतुलन के लिए अकेले यह स्थिति पर्याप्त नहीं है। ट्रांसलेशनल गति के अलावा, जो असंबद्ध बाहरी ताकतों के कारण होता है, एक जटिल यांत्रिक प्रणाली घूर्णी गति या विरूपण कर सकती है। आइए हम एक बिल्कुल कठोर शरीर के लिए संतुलन की स्थिति का पता लगाएं - एक यांत्रिक प्रणाली जिसमें कणों का संग्रह होता है, जिनके बीच पारस्परिक दूरी नहीं बदलती है।

एक यांत्रिक प्रणाली की अनुवादात्मक गति (त्वरण के साथ) की संभावना को उसी तरह समाप्त किया जा सकता है जैसे किसी भौतिक बिंदु के मामले में, जिसके लिए सिस्टम के सभी बिंदुओं पर लागू बलों का योग शून्य के बराबर होना आवश्यक है। किसी यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए यह पहली शर्त है।

हमारे मामले में, एक कठोर पिंड को विकृत नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हम इस बात पर सहमत हैं कि इसके बिंदुओं के बीच की पारस्परिक दूरियाँ नहीं बदलती हैं। लेकिन एक भौतिक बिंदु के विपरीत, एक बिल्कुल कठोर शरीर पर उसके विभिन्न बिंदुओं पर समान और विपरीत निर्देशित बलों की एक जोड़ी लागू की जा सकती है। इसके अलावा, चूंकि इन दोनों बलों का योग शून्य के बराबर है, इसलिए अनुवादात्मक गति की मानी गई यांत्रिक प्रणाली कार्य नहीं करेगी। हालाँकि, यह स्पष्ट है कि बलों की ऐसी जोड़ी की कार्रवाई के तहत, शरीर किसी अक्ष के चारों ओर लगातार बढ़ते कोणीय वेग के साथ घूमना शुरू कर देगा।

विचाराधीन प्रणाली में घूर्णी गति की घटना बलों के असम्बद्ध क्षणों की उपस्थिति के कारण होती है। किसी भी अक्ष के बारे में बल का क्षण इस बल $F$ की भुजा $d,$ के परिमाण का गुणनफल है, अर्थात बिंदु $O$ से गिराए गए लंबवत की लंबाई (आंकड़ा देखें), जिसके माध्यम से अक्ष गुजरता है , बल की दिशा से . ध्यान दें कि इस परिभाषा के साथ बल का क्षण एक बीजगणितीय मात्रा है: यदि बल वामावर्त घूर्णन की ओर ले जाता है तो इसे सकारात्मक माना जाता है, और अन्यथा नकारात्मक माना जाता है। इस प्रकार, एक कठोर पिंड के संतुलन के लिए दूसरी शर्त यह है कि घूर्णन के किसी भी अक्ष के चारों ओर सभी बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर हो।

ऐसी स्थिति में जब दोनों पाई गई संतुलन स्थितियाँ पूरी हो जाती हैं, कठोर शरीर आराम की स्थिति में होगा, यदि बलों के कार्य शुरू करने के समय, इसके सभी बिंदुओं का वेग शून्य के बराबर था। अन्यथा, यह जड़त्व द्वारा एकसमान गति करेगा।

एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन की सुविचारित परिभाषा इस बारे में कुछ नहीं कहती है कि यदि प्रणाली संतुलन की स्थिति को थोड़ा छोड़ देती है तो क्या होगा। इस मामले में, तीन संभावनाएँ हैं: सिस्टम संतुलन की अपनी पिछली स्थिति में वापस आ जाएगा; प्रणाली, विचलन के बावजूद, अपनी संतुलन की स्थिति को नहीं बदलेगी; सिस्टम संतुलन से बाहर हो जाएगा. पहले मामले को संतुलन की स्थिर स्थिति कहा जाता है, दूसरे को उदासीन, तीसरे को अस्थिर कहा जाता है। संतुलन स्थिति की प्रकृति निर्देशांक पर सिस्टम की संभावित ऊर्जा की निर्भरता से निर्धारित होती है। यह आंकड़ा एक भारी गेंद के उदाहरण पर सभी तीन प्रकार के संतुलन को दर्शाता है जो एक अवकाश (स्थिर संतुलन) में, एक चिकनी क्षैतिज मेज (उदासीन) पर, एक ट्यूबरकल (अस्थिर) के शीर्ष पर स्थित है।

एक यांत्रिक प्रणाली के संतुलन की समस्या के लिए उपरोक्त दृष्टिकोण पर प्राचीन दुनिया के वैज्ञानिकों द्वारा विचार किया गया था। तो, लीवर के संतुलन का नियम (अर्थात, घूर्णन की एक निश्चित धुरी के साथ एक कठोर शरीर) तीसरी शताब्दी में आर्किमिडीज़ द्वारा पाया गया था। ईसा पूर्व इ।

1717 में, जोहान बर्नौली ने एक यांत्रिक प्रणाली के लिए संतुलन की स्थिति खोजने के लिए एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण विकसित किया - आभासी विस्थापन की विधि। यह ऊर्जा संरक्षण कानून से उत्पन्न होने वाले बंधन प्रतिक्रिया बलों की संपत्ति पर आधारित है: संतुलन स्थिति से सिस्टम के एक छोटे से विचलन के साथ, बंधन प्रतिक्रिया बलों का कुल कार्य शून्य है।

स्टैटिक्स की समस्याओं को हल करते समय (यांत्रिकी देखें), ऊपर वर्णित संतुलन स्थितियों के आधार पर, सिस्टम में मौजूद कनेक्शन (समर्थन, धागे, छड़) को उनमें उत्पन्न होने वाली प्रतिक्रिया बलों द्वारा विशेषता दी जाती है। कई निकायों से युक्त प्रणालियों के मामले में संतुलन की स्थिति का निर्धारण करते समय इन बलों को ध्यान में रखने की आवश्यकता बोझिल गणना की ओर ले जाती है। हालाँकि, इस तथ्य के कारण कि संतुलन स्थिति से छोटे विचलन के लिए बंधन प्रतिक्रिया बलों का कार्य शून्य के बराबर है, इन बलों पर सामान्य रूप से विचार करने से बचना संभव है।

प्रतिक्रिया बलों के अलावा, बाहरी बल भी यांत्रिक प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करते हैं। संतुलन स्थिति से थोड़े से विचलन के साथ उनका कार्य क्या है? चूँकि सिस्टम शुरू में आराम की स्थिति में है, इसके किसी भी आंदोलन के लिए, कुछ सकारात्मक कार्य करना आवश्यक है। सिद्धांत रूप में, यह कार्य बाह्य शक्तियों और बंधों की प्रतिक्रिया शक्तियों दोनों द्वारा किया जा सकता है। लेकिन, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रतिक्रिया बलों का कुल कार्य शून्य है। इसलिए, सिस्टम को संतुलन की स्थिति छोड़ने के लिए, किसी भी संभावित विस्थापन के लिए बाहरी बलों का कुल कार्य सकारात्मक होना चाहिए। नतीजतन, गति की असंभवता की स्थिति, यानी, संतुलन की स्थिति, को इस आवश्यकता के रूप में तैयार किया जा सकता है कि बाहरी बलों का कुल कार्य किसी भी संभावित विस्थापन के लिए गैर-सकारात्मक हो: $ΔA≤0.$

आइए मान लें कि जब सिस्टम के बिंदु $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ चलते हैं, तो बाहरी बलों के कार्य का योग $ΔA1 के बराबर हो जाता है।$ और क्या ऐसा तब होता है जब सिस्टम $−Δ\overrightarrow(γ ​​)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ चलता है ये विस्थापन पहले वाले विस्थापन की तरह ही संभव हैं; हालाँकि, बाहरी ताकतों का कार्य अब संकेत बदल देगा: $ΔA2 =−ΔA1.$ पिछले मामले के समान तर्क देते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि अब सिस्टम के लिए संतुलन की स्थिति का रूप है: $ΔA1≥0,$ यानी, बाहरी ताकतों का कार्य गैर-नकारात्मक होना चाहिए। इन दो लगभग विरोधाभासी स्थितियों को "सामंजस्य" करने का एकमात्र तरीका संतुलन स्थिति से सिस्टम के किसी भी संभावित (आभासी) विस्थापन के लिए बाहरी बलों के कुल कार्य के शून्य के बराबर सटीक समानता की आवश्यकता है: $ΔA=0.$ संभव ( यहां आभासी) विस्थापन का अर्थ है सिस्टम का एक असीम मानसिक विस्थापन, जो उस पर लगाए गए कनेक्शन का खंडन नहीं करता है।

तो, आभासी विस्थापन के सिद्धांत के रूप में एक यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति निम्नानुसार तैयार की जाती है:

"आदर्श कनेक्शन वाले किसी भी यांत्रिक प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि किसी भी संभावित विस्थापन के लिए बलों की प्रणाली पर कार्य करने वाले प्राथमिक कार्यों का योग शून्य के बराबर हो।"

आभासी विस्थापन के सिद्धांत का उपयोग करके न केवल स्थैतिकी, बल्कि हाइड्रोस्टैटिक्स और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की समस्याएं भी हल की जाती हैं।

इस व्याख्यान में निम्नलिखित प्रश्न शामिल हैं:

1. यांत्रिक प्रणालियों के संतुलन के लिए शर्तें।

2. संतुलन की स्थिरता.

3. संतुलन की स्थिति निर्धारित करने और उनकी स्थिरता का अध्ययन करने का एक उदाहरण।

इन मुद्दों का अध्ययन "मशीन भागों" अनुशासन में संतुलन स्थिति के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली के दोलन आंदोलनों का अध्ययन करने के लिए आवश्यक है, "मशीनों और तंत्रों का सिद्धांत" और "सामग्रियों की ताकत" विषयों में समस्याओं को हल करने के लिए।

यांत्रिक प्रणालियों की गति का एक महत्वपूर्ण मामला उनकी दोलन गति है। दोलन किसी यांत्रिक प्रणाली की उसकी कुछ स्थितियों के संबंध में बार-बार होने वाली गतियाँ हैं, जो समय के साथ कमोबेश नियमित रूप से घटित होती हैं। पाठ्यक्रम कार्य संतुलन स्थिति (सापेक्ष या निरपेक्ष) के सापेक्ष एक यांत्रिक प्रणाली की दोलन गति पर विचार करता है।

एक यांत्रिक प्रणाली केवल स्थिर संतुलन की स्थिति के निकट ही पर्याप्त लंबी अवधि तक दोलन कर सकती है। इसलिए, दोलन गति के समीकरणों को संकलित करने से पहले, संतुलन की स्थिति का पता लगाना और उनकी स्थिरता की जांच करना आवश्यक है।

यांत्रिक प्रणालियों के लिए संतुलन की स्थिति।

संभावित विस्थापन के सिद्धांत (स्थिरता के मूल समीकरण) के अनुसार, एक यांत्रिक प्रणाली के लिए, जिस पर आदर्श, स्थिर, सीमित और होलोनोमिक बाधाएं लगाई जाती हैं, संतुलन में होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सभी सामान्यीकृत बल यह प्रणाली शून्य के बराबर होगी:

कहाँ के अनुरूप सामान्यीकृत बल है जे-ओह सामान्यीकृत समन्वय;

एस- यांत्रिक प्रणाली में सामान्यीकृत निर्देशांक की संख्या।

यदि अध्ययन के तहत प्रणाली के लिए गति के विभेदक समीकरणों को दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों के रूप में संकलित किया गया था, तो संभावित संतुलन स्थितियों को निर्धारित करने के लिए, सामान्यीकृत बलों को शून्य के बराबर करना और परिणामी समीकरणों को हल करना पर्याप्त है सामान्यीकृत निर्देशांक.

यदि यांत्रिक प्रणाली संभावित बल क्षेत्र में संतुलन में है, तो समीकरण (1) से हमें निम्नलिखित संतुलन स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:

इसलिए, संतुलन स्थिति में, स्थितिज ऊर्जा का अत्यधिक मान होता है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा परिभाषित प्रत्येक संतुलन को व्यवहार में साकार नहीं किया जा सकता है। संतुलन स्थिति से विचलित होने पर सिस्टम के व्यवहार के आधार पर, इस स्थिति की स्थिरता या अस्थिरता की बात की जाती है।

संतुलन स्थिरता

संतुलन स्थिति की स्थिरता की अवधारणा की परिभाषा 19वीं शताब्दी के अंत में रूसी वैज्ञानिक ए.एम. ल्यपुनोव के कार्यों में दी गई थी। आइए इस परिभाषा को देखें.

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, हम आगे सामान्यीकृत निर्देशांक पर सहमत होंगे क्यू 1 , क्यू 2 ,...,क्यू एस सिस्टम की संतुलन स्थिति से गणना करें:

कहाँ

यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए संतुलन की स्थिति को स्थिर कहा जाता हैआप दूसरा नंबर ढूंढ सकते हैं , उस स्थिति में जब सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग के प्रारंभिक मान अधिक नहीं होंगे:

सिस्टम की आगे की गति के दौरान सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग का मान अधिक नहीं होगा .

दूसरे शब्दों में, सिस्टम की संतुलन स्थिति क्यू 1 = क्यू 2 = ...= क्यूएस= 0 कहा जाता है टिकाऊ, यदि ऐसे पर्याप्त छोटे प्रारंभिक मान ज्ञात करना हमेशा संभव हो, जिस पर सिस्टम की गतिसंतुलन स्थिति के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस को नहीं छोड़ेगा. एक डिग्री की स्वतंत्रता वाले सिस्टम के लिए, सिस्टम की स्थिर गति को चरण तल में देखा जा सकता है (चित्र 1)।एक स्थिर संतुलन स्थिति के लिए, क्षेत्र में शुरू होने वाले प्रतिनिधि बिंदु की गति [ ] , भविष्य में क्षेत्र से आगे नहीं जाएंगे.

चित्र .1

संतुलन स्थिति कहलाती है स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर , यदि समय के साथ सिस्टम संतुलन की स्थिति तक पहुंच जाएगा, अर्थात

संतुलन स्थिति की स्थिरता के लिए शर्तों को निर्धारित करना एक कठिन कार्य है, इसलिए, हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखते हैं: रूढ़िवादी प्रणालियों के संतुलन की स्थिरता का अध्ययन।

ऐसी प्रणालियों के लिए संतुलन स्थितियों की स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ परिभाषित की गई हैं लैग्रेंज - डिरिचलेट प्रमेय : एक रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति स्थिर होती है यदि, संतुलन स्थिति में, सिस्टम की संभावित ऊर्जा एक पृथक न्यूनतम होती है .

किसी यांत्रिक प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा एक स्थिरांक तक निर्धारित होती है। हम इस स्थिरांक को चुनते हैं ताकि संतुलन स्थिति में संभावित ऊर्जा शून्य के बराबर हो:

पी(0)=0.

फिर, एक डिग्री की स्वतंत्रता वाली प्रणाली के लिए, आवश्यक शर्त (2) के साथ-साथ एक पृथक न्यूनतम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त है

चूँकि संतुलन स्थिति में स्थितिज ऊर्जा का एक पृथक न्यूनतम होता है औरपी(0)=0 , फिर इस स्थिति के कुछ सीमित पड़ोस में

П(q)=0.

वे फ़ंक्शन जिनमें एक स्थिर चिह्न होता है और शून्य के बराबर होते हैं, केवल तभी कॉल किए जाते हैं जब उनके सभी तर्क शून्य हों संकेत-निश्चित. इसलिए, एक यांत्रिक प्रणाली की संतुलन स्थिति स्थिर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि, इस स्थिति के आसपास, संभावित ऊर्जा सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सकारात्मक रूप से परिभाषित कार्य हो।

रैखिक प्रणालियों के लिए और उन प्रणालियों के लिए जिन्हें संतुलन स्थिति (रैखिकीकृत) से छोटे विचलन के लिए रैखिक में घटाया जा सकता है, संभावित ऊर्जा को सामान्यीकृत निर्देशांक के द्विघात रूप के रूप में दर्शाया जा सकता है

कहाँ - सामान्यीकृत कठोरता गुणांक।

सामान्यीकृत गुणांकस्थिर संख्याएँ हैं जिन्हें संभावित ऊर्जा के एक श्रृंखला में विस्तार से या संतुलन स्थिति में सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में संभावित ऊर्जा के दूसरे डेरिवेटिव के मूल्यों से सीधे निर्धारित किया जा सकता है:

सूत्र (4) से यह पता चलता है कि सामान्यीकृत कठोरता गुणांक सूचकांकों के संबंध में सममित हैं

उसके लिए संतुलन स्थिति की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्तों को पूरा करने के लिए, संभावित ऊर्जा को इसके सामान्यीकृत निर्देशांक का एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप होना चाहिए।

गणित में है सिल्वेस्टर की कसौटी , जो द्विघात रूपों की सकारात्मक निश्चितता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है: द्विघात रूप (3) सकारात्मक निश्चित होगा यदि इसके गुणांकों और इसके सभी प्रमुख विकर्ण अवयस्कों से बना निर्धारक सकारात्मक है, यानी। यदि गुणांक शर्तों को पूरा करेंगे

.....

विशेष रूप से, स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ एक रैखिक प्रणाली के लिए, संभावित ऊर्जा और सिल्वेस्टर मानदंड की शर्तों का रूप होगा

इसी तरह, कोई सापेक्ष संतुलन की स्थिति का अध्ययन कर सकता है यदि, संभावित ऊर्जा के बजाय, कम प्रणाली की संभावित ऊर्जा को ध्यान में रखा जाए।

पी संतुलन की स्थिति निर्धारित करने और उनकी स्थिरता का अध्ययन करने का एक उदाहरण

अंक 2

एक ट्यूब से युक्त एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें अब, जो धुरी है ऊ 1घूर्णन के क्षैतिज अक्ष से जुड़ा हुआ, और एक गेंद जो बिना घर्षण के ट्यूब के माध्यम से चलती है और एक बिंदु से जुड़ी होती है एस्प्रिंग वाली ट्यूब (चित्र 2)। आइए हम सिस्टम की संतुलन स्थिति निर्धारित करें और निम्नलिखित मापदंडों के लिए उनकी स्थिरता का मूल्यांकन करें: ट्यूब की लंबाई एल 2 = 1 एम , रॉड की लंबाई एल 1 = 0,5 एम . विकृत स्प्रिंग लंबाई एल 0 = 0.6 मीटर, वसंत दर सी= 100 एन/एम. ट्यूब का वजन एम 2 = 2 किग्रा, छड़ - एम 1 = 1 किग्रा और गेंद - एम 3 = 0.5 किग्रा. दूरी ओएके बराबर होती है एल 3 = 0.4 मी.

आइए हम विचाराधीन प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें। इसमें एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में तीन पिंडों की स्थितिज ऊर्जा और एक विकृत स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा शामिल होती है।

गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा उस पिंड के वजन और तल के ऊपर उसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होती है जिसमें संभावित ऊर्जा शून्य मानी जाती है। मान लीजिए कि छड़ के घूर्णन अक्ष से गुजरने वाले तल में स्थितिज ऊर्जा शून्य है ऊ 1 , फिर गुरुत्वाकर्षण के लिए

लोचदार बल के लिए, संभावित ऊर्जा विरूपण की मात्रा से निर्धारित होती है

आइए सिस्टम की संभावित संतुलन स्थिति ज्ञात करें। संतुलन स्थितियों में समन्वय मान समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली की जड़ें हैं।

स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ किसी भी यांत्रिक प्रणाली के लिए समीकरणों की एक समान प्रणाली संकलित की जा सकती है। कुछ मामलों में, सिस्टम का सटीक समाधान प्राप्त करना संभव है। सिस्टम (5) के लिए, ऐसा कोई समाधान मौजूद नहीं है, इसलिए संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके जड़ों की तलाश की जानी चाहिए।

पारलौकिक समीकरणों (5) की प्रणाली को हल करने पर, हमें दो संभावित संतुलन स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:

प्राप्त संतुलन स्थितियों की स्थिरता का आकलन करने के लिए, हम सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में संभावित ऊर्जा के सभी दूसरे व्युत्पन्न पाते हैं और उनसे सामान्यीकृत कठोरता गुणांक निर्धारित करते हैं।

एक यांत्रिक प्रणाली का संतुलनएक ऐसी स्थिति है जिसमें एक यांत्रिक प्रणाली के सभी बिंदु विचाराधीन संदर्भ फ्रेम के संबंध में आराम पर हैं। यदि संदर्भ का ढांचा जड़त्वीय है, तो संतुलन कहा जाता है निरपेक्ष, यदि गैर-जड़त्वीय - रिश्तेदार.

एक बिल्कुल कठोर शरीर के लिए संतुलन की स्थिति खोजने के लिए, इसे मानसिक रूप से बड़ी संख्या में पर्याप्त छोटे तत्वों में विभाजित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक को एक भौतिक बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। ये सभी तत्व एक दूसरे के साथ अंतःक्रिया करते हैं - इन अंतःक्रिया बलों को कहा जाता है आंतरिक. इसके अलावा, बाहरी ताकतें शरीर के कई बिंदुओं पर कार्य कर सकती हैं।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, किसी बिंदु का त्वरण शून्य होने के लिए (और आराम पर स्थित बिंदु का त्वरण शून्य होने के लिए), उस बिंदु पर कार्य करने वाले बलों का ज्यामितीय योग शून्य होना चाहिए। यदि शरीर आराम की स्थिति में है, तो उसके सभी बिंदु (तत्व) भी आराम की स्थिति में हैं। इसलिए, शरीर के किसी भी बिंदु के लिए, हम लिख सकते हैं:

कार्य करने वाली सभी बाहरी और आंतरिक शक्तियों का ज्यामितीय योग कहां है मैंशरीर का वां तत्व.

समीकरण का अर्थ है कि किसी पिंड के संतुलन के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस पिंड के किसी भी तत्व पर कार्य करने वाले सभी बलों का ज्यामितीय योग शून्य के बराबर हो।

इससे किसी पिंड (निकायों की प्रणाली) के संतुलन के लिए पहली शर्त प्राप्त करना आसान है। ऐसा करने के लिए, शरीर के सभी तत्वों के समीकरण का योग करना पर्याप्त है:

.

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार दूसरा योग शून्य के बराबर है: सिस्टम के सभी आंतरिक बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है, क्योंकि कोई भी आंतरिक बल निरपेक्ष मान के बराबर और दिशा में विपरीत बल से मेल खाता है।

इस तरह,

.

किसी कठोर पिंड के संतुलन के लिए पहली शर्त(बॉडी सिस्टम)शरीर पर लागू सभी बाह्य बलों के ज्यामितीय योग के शून्य के बराबर है।

यह शर्त आवश्यक तो है परंतु पर्याप्त नहीं है। बलों की एक जोड़ी की घूर्णन क्रिया को याद करके इसे सत्यापित करना आसान है, जिसका ज्यामितीय योग भी शून्य के बराबर है।

किसी कठोर पिंड के संतुलन के लिए दूसरी शर्तकिसी भी अक्ष के सापेक्ष, शरीर पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों के क्षणों के योग की शून्य के बराबर समानता है।

इस प्रकार, बाहरी बलों की एक मनमानी संख्या के मामले में एक कठोर शरीर के लिए संतुलन की स्थिति इस तरह दिखती है:

.

कक्षा: 10

पाठ के लिए प्रस्तुति

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पाठ मकसद:निकायों के संतुलन की स्थिति का अध्ययन करना, विभिन्न प्रकार के संतुलन से परिचित होना; उन परिस्थितियों का पता लगाएं जिनके तहत शरीर संतुलन में है।

पाठ मकसद:

• प्रशिक्षण:संतुलन की दो स्थितियों, संतुलन के प्रकार (स्थिर, अस्थिर, उदासीन) का अध्ययन करना। पता लगाएँ कि किन परिस्थितियों में शरीर अधिक स्थिर होते हैं।
• विकसित होना:भौतिकी में संज्ञानात्मक रुचि के विकास को बढ़ावा देना। तुलना करने, सामान्यीकरण करने, मुख्य बात को उजागर करने, निष्कर्ष निकालने के कौशल का विकास।
• शैक्षिक:ध्यान आकर्षित करना, अपनी बात व्यक्त करने और उसका बचाव करने की क्षमता, छात्रों में संचार कौशल विकसित करना।

पाठ का प्रकार:कंप्यूटर सहायता से नई सामग्री सीखना।

उपकरण:

1. डिस्क "कार्य और शक्ति" "इलेक्ट्रॉनिक पाठ और परीक्षण" से।
2. तालिका "संतुलन की स्थिति"।
3. प्रिज्म एक साहुल रेखा के साथ झुका हुआ है।
4. ज्यामितीय निकाय: सिलेंडर, घन, शंकु, आदि।
5. कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड या स्क्रीन।
6. प्रस्तुति।

कक्षाओं के दौरान

आज पाठ में हम सीखेंगे कि क्रेन क्यों नहीं गिरती, रोली-वस्टंका खिलौना हमेशा अपनी मूल स्थिति में क्यों लौट आता है, पीसा की झुकी हुई मीनार क्यों नहीं गिरती?

I. ज्ञान की पुनरावृत्ति और अद्यतनीकरण।

1. न्यूटन का प्रथम नियम बनाइये। कानून की स्थिति क्या है?
2. न्यूटन का दूसरा नियम किस प्रश्न का उत्तर देता है? सूत्र और शब्दांकन.
3. न्यूटन का तीसरा नियम किस प्रश्न का उत्तर देता है? सूत्र और शब्दांकन.
4. परिणामी बल क्या है? वह कैसी है?
5. डिस्क से "निकायों की गति और अंतःक्रिया" पूर्ण कार्य संख्या 9 "विभिन्न दिशाओं के साथ बलों का परिणाम" (वेक्टर जोड़ का नियम (2, 3 अभ्यास))।

द्वितीय. नई सामग्री सीखना.

1. संतुलन किसे कहते हैं?

संतुलन विश्राम की अवस्था है।

2. संतुलन की स्थिति.(स्लाइड 2)

क) शरीर कब आराम की स्थिति में होता है? यह किस कानून से आता है?

पहली संतुलन स्थिति:यदि शरीर पर लागू बाहरी बलों का ज्यामितीय योग शून्य है तो एक शरीर संतुलन में है। ∑ एफ = 0

बी) मान लीजिए कि दो समान बल बोर्ड पर कार्य करते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

क्या वह संतुलन में रहेगी? (नहीं, वह पलट जाएगी)

केवल केंद्रीय बिंदु ही विरामावस्था में है, जबकि अन्य गतिमान हैं। इसका मतलब है कि शरीर के संतुलन में रहने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रत्येक तत्व पर कार्य करने वाले सभी बलों का योग 0 के बराबर हो।

दूसरी संतुलन स्थिति:दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करने वाले बलों के क्षणों का योग वामावर्त दिशा में कार्य करने वाले बलों के क्षणों के योग के बराबर होना चाहिए।

∑ M दक्षिणावर्त = ∑ M वामावर्त

बल का क्षण: एम = एफ एल

एल - बल का कंधा - आधार से बल की क्रिया की रेखा तक की सबसे छोटी दूरी।

3. पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र और उसका स्थान।(स्लाइड 4)

शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र- यह वह बिंदु है जिसके माध्यम से शरीर के अलग-अलग तत्वों पर कार्य करने वाले सभी समानांतर गुरुत्वाकर्षण बलों का परिणाम (अंतरिक्ष में शरीर की किसी भी स्थिति में) गुजरता है।

निम्नलिखित आकृतियों का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए:

4. संतुलन के प्रकार.

ए) (स्लाइड्स 5-8)

निष्कर्ष:संतुलन स्थिर होता है यदि, संतुलन स्थिति से एक छोटे से विचलन के साथ, कोई बल इसे इस स्थिति में वापस लाने के लिए प्रवृत्त होता है।

वह स्थिति जिसमें इसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है, स्थिर होती है। (स्लाइड 9)

बी) आधार या आधार पर स्थित पिंडों की स्थिरता।(स्लाइड्स 10-17)

निष्कर्ष:किसी एक बिंदु या समर्थन रेखा पर स्थित पिंड की स्थिरता के लिए यह आवश्यक है कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र समर्थन बिंदु (रेखा) के नीचे हो।

ग) समतल सतह पर पिंडों की स्थिरता।

(स्लाइड 18)

1) समर्थन सतह- यह हमेशा वह सतह नहीं होती जो शरीर के संपर्क में होती है (बल्कि वह सतह जो मेज, तिपाई के पैरों को जोड़ने वाली रेखाओं द्वारा सीमित होती है)

2) "इलेक्ट्रॉनिक पाठ और परीक्षण", डिस्क "कार्य और शक्ति", पाठ "संतुलन के प्रकार" से एक स्लाइड का विश्लेषण।

चित्र 1।

1. मल कैसे भिन्न हैं? (स्क्वायर फ़ुटिंग)
2. कौन सा अधिक स्थिर है? (बड़े क्षेत्र के साथ)
3. मल कैसे भिन्न हैं? (गुरुत्वाकर्षण केंद्र का स्थान)
4. कौन सा सबसे अधिक स्थिर है? (गुरुत्वाकर्षण का कौन सा केंद्र निचला है)
5. क्यों? (क्योंकि इसे बिना पलटे बड़े कोण पर विक्षेपित किया जा सकता है)

3) भटकते प्रिज्म के साथ अनुभव

1. आइए बोर्ड पर प्लंब लाइन के साथ एक प्रिज्म रखें और धीरे-धीरे इसे एक किनारे से ऊपर उठाना शुरू करें। हम क्या देखते हैं?
2. जब तक साहुल रेखा समर्थन से घिरी सतह को पार करती है, तब तक संतुलन बना रहता है। लेकिन जैसे ही गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाला ऊर्ध्वाधर समर्थन सतह की सीमाओं से परे जाना शुरू होता है, किताबों की अलमारी पलट जाती है।

पदच्छेद स्लाइड 19-22.

निष्कर्ष:

1. सबसे बड़े समर्थन क्षेत्र वाला शरीर स्थिर होता है।
2. एक ही क्षेत्र के दो पिंडों में से जिस पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कम होता है, वह स्थिर होता है, क्योंकि इसे बड़े कोण पर पलटे बिना विक्षेपित किया जा सकता है।

पदच्छेद स्लाइड 23-25।

कौन से जहाज सबसे अधिक स्थिर हैं? क्यों? (जिसके लिए कार्गो होल्ड में स्थित है, न कि डेक पर)

कौन सी कारें सबसे अधिक स्थिर हैं? क्यों? (मोड़ पर कारों की स्थिरता बढ़ाने के लिए, सड़क के किनारे को मोड़ की दिशा में झुकाया जाता है।)

निष्कर्ष:संतुलन स्थिर, अस्थिर, उदासीन हो सकता है। पिंडों की स्थिरता अधिक होती है, समर्थन क्षेत्र जितना बड़ा होता है और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उतना ही कम होता है।

तृतीय. निकायों की स्थिरता के बारे में ज्ञान का अनुप्रयोग।

1. शरीर के संतुलन के बारे में किन विशिष्टताओं के ज्ञान की सबसे अधिक आवश्यकता है?
2. विभिन्न संरचनाओं (ऊंची इमारतें, पुल, टेलीविजन टावर, आदि) के डिजाइनर और निर्माता
3. सर्कस कलाकार.
4. ड्राइवर और अन्य पेशेवर।

(स्लाइड्स 28-30)

1. खिलौने के किसी भी झुकाव पर रोली-वस्टंका संतुलन स्थिति में क्यों लौट आती है?
2. पीसा की झुकी मीनार झुकी हुई और गिरती क्यों नहीं है?
3. साइकिल चालक और मोटरसाइकिल चालक अपना संतुलन कैसे बनाए रखते हैं?

पाठ के निष्कर्ष:

1. संतुलन तीन प्रकार के होते हैं: स्थिर, अस्थिर, उदासीन।
2. पिंड की स्थिति स्थिर होती है, जिसमें उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
3. समतल सतह पर पिंडों की स्थिरता अधिक होती है, समर्थन क्षेत्र जितना बड़ा होता है और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उतना ही कम होता है।

गृहकार्य: § 54 – 56 (जी.या. मायकिशेव, बी.बी. बुखोवत्सेव, एन.एन. सोत्स्की)

प्रयुक्त स्रोत और साहित्य:

1. जी.या. मयाकिशेव, बी.बी. बुखोवत्सेव, एन.एन. सोत्स्की।भौतिक विज्ञान। ग्रेड 10।
2. फ़िल्मस्ट्रिप "स्थिरता" 1976 (मेरे द्वारा फ़िल्म स्कैनर पर स्कैन किया गया)।
3. "इलेक्ट्रॉनिक पाठ और परीक्षण" से डिस्क "निकायों की गति और अंतःक्रिया"।
4. "इलेक्ट्रॉनिक पाठ और परीक्षण" से डिस्क "कार्य और शक्ति"।

परिभाषा

स्थायी संतुलन- यह एक संतुलन है जिसमें शरीर, संतुलन से बाहर निकाला जाता है और अपने आप पर छोड़ दिया जाता है, अपनी पिछली स्थिति में वापस आ जाता है।

ऐसा तब होता है, जब प्रारंभिक स्थिति से किसी भी दिशा में शरीर के थोड़े से विस्थापन के साथ, शरीर पर कार्य करने वाले बलों का परिणाम शून्य नहीं हो जाता है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है। उदाहरण के लिए, एक गोलाकार गुहा के तल पर पड़ी एक गेंद (चित्र 1ए)।

परिभाषा

अस्थिर संतुलन- यह एक संतुलन है जिसमें शरीर को संतुलन की स्थिति से बाहर निकाला जाता है और अपने आप पर छोड़ दिया जाता है, तो यह संतुलन की स्थिति से और भी अधिक विचलित हो जाएगा।

इस मामले में, संतुलन स्थिति से शरीर के एक छोटे से विस्थापन के साथ, उस पर लागू बलों का परिणाम शून्य नहीं होता है और संतुलन स्थिति से निर्देशित होता है। एक उदाहरण उत्तल गोलाकार सतह के शीर्ष पर स्थित एक गेंद है (चित्र 1 बी)।

परिभाषा

उदासीन संतुलन- यह एक संतुलन है जिसमें शरीर को संतुलन से बाहर निकालकर अपने आप पर छोड़ दिया जाता है, जिससे उसकी स्थिति (अवस्था) नहीं बदलती है।

इस मामले में, पिंड के अपनी मूल स्थिति से छोटे विस्थापन के साथ, पिंड पर लगाए गए बलों का परिणाम शून्य के बराबर रहता है। उदाहरण के लिए, एक सपाट सतह पर पड़ी एक गेंद (चित्र 1, सी)।

चित्र .1। एक सहारे पर विभिन्न प्रकार के शारीरिक संतुलन: क) स्थिर संतुलन; बी) अस्थिर संतुलन; ग) उदासीन संतुलन।

निकायों का स्थिर और गतिशील संतुलन

यदि, बलों की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, शरीर को त्वरण प्राप्त नहीं होता है, तो यह आराम की स्थिति में हो सकता है या एक सीधी रेखा में समान रूप से आगे बढ़ सकता है। इसलिए, हम स्थैतिक और गतिशील संतुलन के बारे में बात कर सकते हैं।

परिभाषा

स्थैतिक संतुलन- यह एक ऐसा संतुलन है, जब लागू बलों की कार्रवाई के तहत शरीर आराम की स्थिति में होता है।

गतिशील संतुलन- यह एक ऐसा संतुलन है, जब बलों की कार्रवाई के तहत शरीर अपनी गति नहीं बदलता है।

स्थैतिक संतुलन की स्थिति में, किसी भी भवन संरचना में केबलों पर लटका हुआ लालटेन होता है। गतिशील संतुलन के उदाहरण के रूप में, हम एक ऐसे पहिये पर विचार कर सकते हैं जो घर्षण बलों की अनुपस्थिति में एक सपाट सतह पर घूमता है।