गुणा और भाग परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं। यदि आप उत्पाद को एक कारक से विभाजित करते हैं, तो आपको दूसरा कारक मिलता है

गुणाएक अंकगणितीय संक्रिया है जिसमें पहली संख्या को एक पद के रूप में उतनी बार दोहराया जाता है जितनी बार दूसरी संख्या दर्शाती है।

वह संख्या जो पद के रूप में दोहराई जाती है, कहलाती है गुणा करने योग्य(इसे गुणा किया जाता है), वह संख्या जो दर्शाती है कि पद को कितनी बार दोहराना है गुणक. गुणन से प्राप्त संख्या कहलाती है काम.

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या 2 को प्राकृत संख्या 5 से गुणा करने का अर्थ है पाँच पदों का योग ज्ञात करना, जिनमें से प्रत्येक 2 के बराबर है:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

इस उदाहरण में, हम साधारण योग द्वारा योग ज्ञात करते हैं। लेकिन जब समान पदों की संख्या बड़ी हो तो सभी पदों को जोड़कर योग ज्ञात करना बहुत कठिन हो जाता है।

गुणन लिखने के लिए × (स्लैश) या · (डॉट) चिह्न का उपयोग करें। इसे गुणक और गुणक के बीच रखा जाता है, गुणक को गुणन चिह्न के बाईं ओर और गुणक को दाईं ओर लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन 2 · 5 का अर्थ है कि संख्या 2 को संख्या 5 से गुणा किया जाता है। गुणन के अंकन के दाईं ओर = (बराबर) का चिह्न लगाएं, जिसके बाद गुणन का परिणाम लिखा जाता है। इस प्रकार, संपूर्ण गुणन प्रविष्टि इस प्रकार दिखती है:

यह प्रविष्टि इस प्रकार है: दो और पांच का गुणनफल दस के बराबर है या पांच का दो गुना दस के बराबर है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि गुणन समान पदों को जोड़ने का एक संक्षिप्त रूप है।

गुणन जांच

गुणन की जांच करने के लिए, आप गुणनफल को गुणनखंड से विभाजित कर सकते हैं। यदि भाग का परिणाम गुणनफल के बराबर एक संख्या है, तो गुणन सही ढंग से किया जाता है।

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

जहां 4 गुणक है, 3 गुणक है, और 12 गुणनफल है। आइए अब गुणनफल को गुणनखंड से विभाजित करके गुणन परीक्षण करें।

कार्य 2. कितनी स्ट्रॉबेरी? कितनी चेरी? गुणन का उपयोग करके लिखें. 3 · 5 = 15 (जेड.); 3 6 = 18 (इंच).

– स्ट्रॉबेरी को कितने बच्चों के बीच बांटा जा सकता है? (15:3 = 5 या 15:5 = 3.)

– चेरी को कितने बच्चों के बीच बांटा जा सकता है? (18:3 = 6 या 18:6 = 3.)

कार्य 3. कई छल्लों को समान रूप से तीन पिनों में विभाजित किया गया। प्रत्येक पिन पर 4 छल्ले थे। आपने कितनी अंगूठियाँ लीं? (4 3 = 12 (के.)

- 12 रिंगों को बराबर-बराबर 4 पिनों में बांट लें। यह प्रत्येक के लिए कितना होगा? समानता लिखिए. (12:4 = 3 (के.))

कार्य 4. छात्र गुणा करते हैं और विभाजन चिह्न के साथ संबंधित समानताएँ लिखते हैं।

6 4 = 24 5 6 = 30 7 4 = 28 8 3 = 24

4 6 = 24 6 5 = 30 4 7 = 28 3 8 = 24

24: 4 = 6 30: 6 = 5 28: 4 = 7 24: 3 = 8

24: 6 = 4 30: 5 = 6 28: 7 = 4 24: 8 = 3

कार्य 5. परी कथा "शलजम" याद रखें। इस परी कथा के नायकों के नाम बताइए। वहाँ कितने थे? (6 नायक।)दादाजी ने शलजम के 18 टुकड़े किये। क्या वह उन्हें परी कथा के सभी नायकों में समान रूप से वितरित करने में सक्षम होगा? प्रत्येक व्यक्ति को कितने टुकड़े मिलेंगे? (18:3 = 6 (के.))

कार्य 6. छात्र गणनाएँ करते हैं:

15 2 - 16 = 30 - 16 = 14 5 5 - 19 = 25 - 19 = 6

6 3 + 27 = 18 + 27 = 45 40: 2 - 9 = 20 - 9 = 11

60: 2 + 36 = 30 + 36 = 66 20 2 + 48 = 40 + 48 = 88

34 2 - 26 = 68 - 26 = 42 9 3 + 18 = 27 + 18 = 45

कार्य 7. संख्या 2, 8 और 16 से समानताएं बनाएं। और डेस्क पर अपने पड़ोसी को संख्या 6, 3 और 18 से समानताएं बनाने दें।

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

8 + 8 = 16 6 + 6 + 6 = 18

2 8 = 16 3 6 = 18

8 2 = 16 6 3 = 18

16: 2 = 8 18: 3 = 6

16: 8 = 2 18: 6 = 3

चतुर्थ. पाठ सारांश.

गुणा और भाग की संक्रियाएँ क्या कहलाती हैं?

पाठ 74
अंकगणितीय संक्रियाओं का अर्थ

शिक्षक के लक्ष्य:चार अंकगणितीय संक्रियाओं के अर्थ के बारे में विचारों को समेकित करने में सहायता; संख्याओं को 1 और 0 से गुणा करने के लिए नियम बनाने, शब्द समस्याओं को हल करने और 0 और 1 के साथ गणना करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।

विषय:विचार हैं तकनीकी जानकारी

व्यक्तिगत यूयूडी:शिक्षक (सहपाठियों) के उस भाषण को समझें जो सीधे छात्र को संबोधित न हो; उनकी सफलताओं (असफलताओं) के कारणों का स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन करें; सीखने की प्रक्रिया के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण व्यक्त करें।

नियामक:गतिविधियों (अन्य लोगों और स्वयं की) के परिणामों का मूल्यांकन (मानक के साथ तुलना) करें; शैक्षिक:जानकारी प्राप्त करने के लिए आरेखों का उपयोग करें; विभिन्न वस्तुओं की तुलना करें; संख्याओं के गुणों का अन्वेषण करें; गैर-मानक समस्याओं का समाधान करें; संचारी:शैक्षिक प्रक्रिया में सभी प्रतिभागियों को उनकी स्थिति बताएं - मौखिक भाषण में उनके विचारों को औपचारिक बनाएं; दूसरों (सहपाठियों, शिक्षकों) के भाषण को सुनें और समझें; समस्या का समाधान करो।

कक्षाओं के दौरान

I. मौखिक गिनती.

1. खाली कोशिकाओं को भरें ताकि तीन कोशिकाओं से बने प्रत्येक आयत में संख्याओं का योग 98 के बराबर हो।

2. लघु अंकन समस्या का समाधान करें।

क) पाइक का वजन कितना होता है?

ख) कार्प और पाइक का वजन कितने किलोग्राम है?

ग) दो कार्प का वजन कितना होता है? दो पाइक का वज़न कितना होता है?

3. ">", " चिन्हों का उपयोग किए बिना गणना किए बिना तुलना करें<», «=».

4. संख्याओं के समूहों से सभी संभावित उदाहरण बनाइये।

ए) 26, 2, 28; बी) 80, 4, 76; ग) 50, 3, 47.

द्वितीय. पाठ विषय संदेश.

– आज कक्षा में हम चित्रों और आरेखों का उपयोग करके समानताएं बनाएंगे।

तृतीय. पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें।

कार्य 1. पहली तस्वीर किस अंकगणितीय संक्रिया को दर्शाती है? (जोड़ना।)समानता लिखिए. (5 + 7 = 12.)

– “+” चिन्ह का क्या नाम है?

– दूसरा चित्र किस अंकगणितीय संक्रिया को दर्शाता है? (घटाव।)समानता लिखिए. (9 – 5 = 4.)

– “-” चिन्ह का क्या नाम है?

– तीसरी तस्वीर किस अंकगणितीय संक्रिया को दर्शाती है? (गुणा.)समानता लिखिए. (3 4 = 12.)

– चिन्ह “·” का क्या नाम है?

– चौथी तस्वीर किस अंकगणितीय संक्रिया को दर्शाती है? (विभाजन।)

– समानता लिखिए. (9: 3 = 3.)

– “:” चिन्ह का क्या नाम है?

कार्य 2। छात्र ड्राइंग और समानता का मिलान करते हैं।

कार्य 3. गणना करें.

1 3 = 1 + 1 + 1 = 3

1 10 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10

4 1 = 1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

100 1 = 1 100 = 100

– क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? (यदि आप किसी संख्या को 1 से गुणा करते हैं, तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है।)

– गणना करें.

0 3 = 0 + 0 + 0 = 0

5 0 = 0 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

100 0 = 0 100 = 0

– क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? (यदि आप किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं, तो आपको 0 मिलता है।)

कार्य 4. छात्र मॉडल के अनुसार गणना करते हैं।

कार्य 5. कमरे में 4 कोने हैं। हर कोने में एक बिल्ली है. प्रत्येक बिल्ली के पास 4 बिल्ली के बच्चे हैं। प्रत्येक बिल्ली के बच्चे के पास 4 चूहे हैं।

– कमरे में कितनी बिल्लियाँ हैं?

4 · 4 = 16 (जीवित) - कमरे में बिल्ली के बच्चे।

16 + 4 = 20 (जीवित) - बिल्लियाँ और बिल्ली के बच्चे।

- कितने चूहे?

16 · 4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 32 + 32 = 64 (जीवित) - चूहे।

– कुल कितने जानवर हैं?

64 + 20 = 84 (जीवित) – कुल।

– चूहों से कितनी कम बिल्लियाँ?

64 - 20 = 44 (जीवित) - चूहों की तुलना में बिल्लियाँ कम हैं।

कार्य 6. गणना करें.

- विभिन्न स्तंभों से अभिव्यक्तियाँ लिखें जिनके लिए गणना परिणाम समान हैं।

कार्य 7. जोड़ियों में कार्य करें।

35 – 5 = 30 20 – 5 = 15 10 – 5 = 5

30 – 5 = 25 15 – 5 = 10 5 – 5 = 0

– कितने लोगों को मिलेगा आलू? (सात लोगों को)

चतुर्थ. कार्ड के साथ काम करना.

1. तुलना करें.

5 2 … 5 3 2 5 … 2 4

2 7 … 8 2 3 7 … 6 3

3 6 … 3 5 4 8 … 4 7

2. उदाहरण हल करें.

2 4 = 2 3 = 2 8 =

4 2 = 3 2 = 8 2 =

3. गुणन को जोड़ से प्रतिस्थापित करके गणना करें:

8 5 = 7 4 = 16 3 =

4. लुप्त संख्याएँ भरें:

5. विभाजन के उदाहरण बनाएं:

वी. पाठ सारांश.

– आपने पाठ में क्या नया सीखा? अंकगणितीय संक्रियाओं को नाम दें। यदि हम किसी संख्या को 1 से गुणा करें तो हमें क्या प्राप्त होता है? यदि हम किसी संख्या को 0 से गुणा करें तो हमें क्या प्राप्त होता है?

पाठ 75
गुणा और भाग की समस्याओं को हल करना

शिक्षक के लक्ष्य:गुणा और भाग पर शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना; किसी शब्द समस्या के अर्थ के अनुसार अंकगणितीय ऑपरेशन चुनने की क्षमता में सुधार करने और सही समानताएं बहाल करने में मदद करें।

नियोजित शैक्षिक परिणाम.

विषय:विचार हैंसंख्या 0 और 1 के गुणों के बारे में (यदि आप एक गुणनखंड को 2 गुना बढ़ाते हैं और दूसरे को 2 गुना घटाते हैं, तो परिणाम नहीं बदलेगा); तकनीकी जानकारीसंख्याओं को 2 के कारक से बढ़ाना/घटाना, संख्याओं को 0 और 1 से गुणा करना, जोड़ का उपयोग करके उत्पाद ढूंढना, दो चरणों में गणना करना, 2 के कारक से बढ़ने/घटाने से संबंधित समस्याओं को हल करना, उत्पाद ढूंढना (जोड़, भाग का उपयोग करके) भागों में और सामग्री (चयन) में।

व्यक्तिगत यूयूडी:अपनी स्वयं की शैक्षिक गतिविधियों का मूल्यांकन करें: उनकी उपलब्धियाँ, स्वतंत्रता, पहल, जिम्मेदारी, विफलताओं के कारण।

मेटा-विषय (सार्वभौमिक शिक्षण गतिविधियों के घटकों के गठन/मूल्यांकन के लिए मानदंड - यूयूडी):नियामक:गतिविधियों को समायोजित करें: आने वाली कठिनाइयों और त्रुटियों को ध्यान में रखते हुए प्रक्रिया में बदलाव करें; उन्हें ख़त्म करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार कर सकेंगे; सफल (असफल) गतिविधियों से प्राप्त भावनात्मक स्थिति का विश्लेषण कर सकेंगे; शैक्षिक:आवश्यक जानकारी खोजें; प्रस्तावित प्रावधानों के साक्ष्य के रूप में उदाहरण दें; परिणाम निकालना; उनकी ज्ञान प्रणाली को नेविगेट करें; संचारी:एक अलग राय और स्थिति को स्वीकार करें, विभिन्न दृष्टिकोणों के अस्तित्व की अनुमति दें; विभिन्न संचार समस्याओं को हल करने के लिए वाक् साधनों का पर्याप्त रूप से उपयोग करें; एकालाप कथन तैयार करें और भाषण के संवादात्मक रूप में महारत हासिल करें।

कक्षाओं के दौरान

I. मौखिक गिनती.

1. बिना गणना किये तुलना करें।

2. समस्या का समाधान करें.

एक बत्तख को प्रतिदिन 7 किलोग्राम भोजन की आवश्यकता होती है, एक मुर्गी को एक बत्तख से 3 किलोग्राम कम भोजन की आवश्यकता होती है, और एक हंस को मुर्गी से 5 किलोग्राम अधिक भोजन की आवश्यकता होती है। एक हंस को प्रतिदिन कितने किलोग्राम चारे की आवश्यकता होती है?

3. लुप्त संख्याएँ भरें:

4. तस्वीर में आप दो पेड़ देख सकते हैं: बर्च और स्प्रूस। इनके बीच की दूरी 15 मीटर है. एक लड़का पेड़ों के बीच खड़ा है. यह स्प्रूस की तुलना में बर्च से 3 मीटर अधिक निकट है।

– बर्च पेड़ और लड़के के बीच की दूरी क्या है? (6 मी.)

द्वितीय. पाठ विषय संदेश.

- आज कक्षा में हम गुणा और भाग के सवाल हल करेंगे।

तृतीय. पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें।

– कार्य पढ़ें 1. क्या ज्ञात है? आप क्या जानना चाहते हैं? प्रत्येक समस्या को हल करने के लिए भाव लिखिए।

- प्रत्येक अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें।

कार्य प्रश्नों के उत्तर तैयार करें।

ए) 1 बार - 3 आर। समाधान:

4 बार - ? आर। 3 · 4 = 12 (आर.).

बी) 1 पंक्ति - 9 कि. समाधान:

4 पंक्तियाँ - ? क. 9 · 4 = 36 (क.).

ग) 1 बार - 8 अंक प्रत्येक समाधान:

3 बार - 9 अंक प्रत्येक 8 2 + 9 3 = 16 + 27 = 43 (अंक)।

कुल - ? अंक

घ) 3 ढेर - 12 ख. समाधान:

1 ढेर - ? बी। 12:3 = 4 (बी.).

यह 12 अंक था. समाधान:

4 जीवितों को समान रूप से विभाजित किया गया। - द्वारा? बी। 12:4 = 3 (बी.).

घ) 3 लोग - द्वारा? आर। समाधान:

कुल - 60 रूबल। 60: 3 = 20 (आर.).

कार्य 2. निर्धारित करें कि किसने कितने ब्लेड बनाए। सबसे अधिक ब्लेड किसने बनाए?

1) 7 + 2 = 9 (सीएल.) दिली द्वारा बनाया गया;

2) 9 · 2 = 18 (सीएल) - किली द्वारा जाली;

3) 9 · 2 = 18 (सीएल) - बालिन द्वारा जाली;

4) 18: 2 = 9 (सीएल) - ड्वालिन द्वारा जाली;

5) 9 - 2 = 7 (सीएल.) बॉम्बुर द्वारा जाली।

कार्य 3. तराजू को संतुलित करने के लिए दूसरे कप पर कितनी गेंदें रखी जानी चाहिए?

टास्क 4. सेंटीपीड के कितने पैर होते हैं? (40 पैर।)
हंस पर? (2.) सुअर? (4.) एक भृंग? (6.)

– इन सभी जानवरों के पैर गिनने के लिए एक अभिव्यक्ति लिखें।

चतुर्थ. ललाट कार्य.

- चित्र के आधार पर गुणन समस्या और दो विभाजन समस्याएँ बनाएँ।

पाठ 76
गैर-मानक समस्याओं का समाधान

शिक्षक के कार्य लक्ष्य:गैर-मानक समस्याओं (कॉम्बिनेटोरियल) को हल करने और डेटा को एक तालिका में प्रस्तुत करने के लिए एक ग्राफिकल विधि पर विचार को बढ़ावा देना; गुणन का उपयोग करके संयुक्त समस्याओं को हल करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना, दी गई संख्याओं से दो अंकों की संख्या बनाना, योग और अंतर बनाना, प्राकृतिक संख्याओं के साथ मौखिक और लिखित गणना करना; गणनाओं की शुद्धता की जांच करने की क्षमता, वर्गीकृत करने और समूहों में विभाजित करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।

नियोजित शैक्षिक परिणाम.

विषय:विचार हैंसंख्या 0 और 1 के गुणों के बारे में (यदि आप एक गुणनखंड को 2 गुना बढ़ाते हैं और दूसरे को 2 गुना घटाते हैं, तो परिणाम नहीं बदलेगा); तकनीकी जानकारीसंख्याओं को 2 के गुणक से बढ़ाना/घटाना, संख्याओं को 0 और 1 से गुणा करना, जोड़ का उपयोग करके उत्पाद ढूंढना, दो चरणों में गणना करना, 2 के गुणक से बढ़ने/घटाने से संबंधित समस्याओं को हल करना, गुणनफल ढूंढना (जोड़, भाग का उपयोग करके) भागों में और सामग्री (चयन) के संदर्भ में, गैर-मानक समस्याओं को हल करें।

व्यक्तिगत यूयूडी:अपनी स्वयं की शैक्षिक गतिविधियों का मूल्यांकन करें; व्यावसायिक सहयोग के नियम लागू करें; विभिन्न दृष्टिकोणों की तुलना करें.

मेटा-विषय (सार्वभौमिक शिक्षण गतिविधियों के घटकों के गठन/मूल्यांकन के लिए मानदंड - यूयूडी):नियामक:पाठ्यपुस्तक में सटीक और परिचालन अभिविन्यास के लिए उनके कार्यों को नियंत्रित करें; शिक्षक की सहायता से पाठ में गतिविधि का उद्देश्य निर्धारित करना और तैयार करना; शैक्षिक:उनकी ज्ञान प्रणाली को संचालित करना, उसका पूरक बनाना और उसका विस्तार करना; संचारी:सामूहिक शैक्षिक सहयोग में प्रवेश करें, शैक्षिक प्रक्रिया में सभी प्रतिभागियों को अपनी स्थिति बताएं - मौखिक और लिखित भाषण में अपने विचारों को औपचारिक रूप दें; दूसरों (सहपाठियों, शिक्षकों) के भाषण को सुनें और समझें; समस्या का समाधान करो।

कक्षाओं के दौरान

I. मौखिक गिनती.

1. लुप्त पदों को भरें ताकि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पर संख्याओं का योग त्रिभुज के अंदर लिखी संख्या के बराबर हो।

2. प्रत्येक पेंसिल किस बॉक्स से आती है, यह बताने के लिए एक तीर का उपयोग करें।

3. कॉफी, जूस और चाय को एक गिलास, कप और जग में डाला गया। गिलास में कॉफ़ी नहीं है. कप में कोई जूस या चाय नहीं है. जग में चाय नहीं है. यह किस कंटेनर में है?

द्वितीय. पाठ्यपुस्तक के अनुसार कार्य करें।

– आज कक्षा में हम अलग-अलग तरीकों से कार्यों को हल करेंगे।

कार्य 1. कितने लड़के थे? लड़कियाँ? आपको कितने अलग-अलग जोड़े मिले? आरेख का उपयोग करके अलग-अलग जोड़े बनाएं।

– जोड़ और फिर गुणा का उपयोग करके जोड़ियों की कुल संख्या लिखें।

3 + 3 + 3 = 9 (पी.). 3 · 3 = 9 (पी.).

कार्य 2. एक तालिका का उपयोग करके एक संयुक्त समस्या को हल करें।

- आपको कितने जोड़े मिले? (20 जोड़े)

- अलग-अलग तरीकों से गिनें।

4 5 = 20 5 4 = 20

कार्य 3. जोड़ियों में काम करते हुए, योजना ○ · □ के अनुसार सभी संभावित उत्पाद बनाएं, जहां ○ एक विषम संख्या है, □ एक सम संख्या है (0 सहित)।

- इन सभी उत्पादों की गणना करें।

– आप कितनी रचनाएँ लिख सकते हैं?

कार्य 4. ध्वज में अलग-अलग रंगों की दो पट्टियाँ होती हैं। इनमें से कितने झंडे चार अलग-अलग रंगों के कागज से बनाए जा सकते हैं? (24 चेकबॉक्स।)

– आप कितने तीन रंगों वाले झंडे बना सकते हैं? (6 चेकबॉक्स।)

– दो रंग वाले झंडे की तुलना में कितने अधिक तीन रंग वाले झंडे होंगे? (6 – 2 = 4.)

कार्य 5. संयोजनात्मक समस्या को हल करने के लिए एक तालिका बनाएं।

उत्तर: 20 विकल्प.

कार्य 6 (जोड़ियों में कार्य करें)।

- संख्या 2, 4, 7, 5 से दो अंकों की संख्या बनाएं।

प्रविष्टि: 24, 25, 27, 22.

- संख्याओं के इन युग्मों से योग और अंतर बनाएं। उनके अर्थ खोजें.

कार्य 7. भोजन कक्ष के मेनू में तीन प्रथम पाठ्यक्रम और छह दूसरे पाठ्यक्रम हैं। दो-समय का भोजन चुनने के कितने तरीके हैं? (6 3 = 18.)

छात्र तालिका भरते हैं।

- पहली और दूसरी के अलावा आप तीन मिठाइयों में से एक भी चुन सकते हैं। गुणन का उपयोग करके तीन-कोर्स भोजन विकल्पों की संख्या लिखें। (18·3.)

- इस संख्या को जोड़कर गणना करें।

18 · 3 = 18 + 18 + 18 = 36 + 18 = 54.

पाठ 77
नई गतिविधियों से परिचित होना
(पुनरावृत्ति)

शिक्षक के लक्ष्य:जोड़, घटाव, गुणा, भाग की सफल पुनरावृत्ति और उपयुक्त शब्दों के उपयोग के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ; प्राचीन मिस्र में गुणन के उपयोग के बारे में विचारों के निर्माण में योगदान करें।

नियोजित शैक्षिक परिणाम.

विषय:विचार हैंसंख्या 0 और 1 के गुणों के बारे में (यदि आप एक गुणनखंड को 2 गुना बढ़ाते हैं और दूसरे को 2 गुना घटाते हैं, तो परिणाम नहीं बदलेगा); तकनीकी जानकारीसंख्याओं को 2 के कारक से बढ़ाना/घटाना, संख्याओं को 0 और 1 से गुणा करना, जोड़ का उपयोग करके उत्पाद ढूंढना, दो चरणों में गणना करना, 2 के कारक से बढ़ने/घटाने से संबंधित समस्याओं को हल करना, उत्पाद ढूंढना (जोड़, भाग का उपयोग करके) भागों में और सामग्री द्वारा (चयन); जाननाप्राचीन मिस्र में गणना के तरीकों के बारे में।

व्यक्तिगत यूयूडी:उनके कार्यों को प्रेरित करें; व्यवहार के नियमों के अनुसार कार्य करने के लिए किसी भी स्थिति में तत्परता व्यक्त करना; दयालुता, विश्वास, सावधानी दिखाएं और विशिष्ट परिस्थितियों में मदद करें।

मेटा-विषय (सार्वभौमिक शिक्षण गतिविधियों के घटकों के गठन/मूल्यांकन के लिए मानदंड - यूयूडी):नियामक:कक्षा में अपने काम का मूल्यांकन करना जानते हैं; पाठ में सफल (असफल) गतिविधियों से प्राप्त भावनात्मक स्थिति का विश्लेषण करें; शैक्षिक:विभिन्न वस्तुओं की तुलना करें - एक सेट से एक या अधिक वस्तुओं का चयन करें जिनमें सामान्य गुण हों; प्रस्तावित प्रावधानों के साक्ष्य के रूप में उदाहरण दें; संचारी:एक अलग राय और स्थिति को स्वीकार करें, विभिन्न दृष्टिकोणों के अस्तित्व की अनुमति दें; विभिन्न संचार समस्याओं को हल करने के लिए वाक् साधनों का पर्याप्त रूप से उपयोग करें।

कक्षाओं के दौरान

I. मौखिक गिनती.

1. साशा और पेट्या ने शूटिंग रेंज में 3-3 गोलियाँ चलाईं, जिसके बाद उनके लक्ष्य इस तरह दिखे:

-विजेता का नाम बताएं.

– तीसरा पद ज्ञात करें.

2. लड़की ने किताब तीन दिन में पढ़ी। पहले दिन उसने 9 पृष्ठ पढ़े, और प्रत्येक अगले दिन उसने पिछले दिन की तुलना में 3 पृष्ठ अधिक पढ़े। किताब में कितने पृष्ठ हैं?

अन्य सभी डिवीजन टेबल इसी तरह से प्राप्त की जाती हैं।

डिविज़न टेबल को याद करने की तकनीक

सारणीबद्ध विभाजन मामलों को याद रखने की तकनीक संबंधित सारणीबद्ध गुणन मामलों से एक विभाजन तालिका प्राप्त करने के तरीकों से जुड़ी हुई है।

1. विभाजन की क्रिया के अर्थ से सम्बंधित एक तकनीक

लाभांश और भाजक के छोटे मूल्यों के साथ, बच्चा या तो विभाजन के परिणाम को सीधे प्राप्त करने के लिए वस्तुनिष्ठ क्रियाएं कर सकता है, या इन क्रियाओं को मानसिक रूप से कर सकता है, या उंगली मॉडल का उपयोग कर सकता है।

उदाहरण के लिए: 10 फूलों के गमले दो खिड़कियों पर समान रूप से रखे गए थे। प्रत्येक खिड़की पर कितने बर्तन हैं?

परिणाम प्राप्त करने के लिए, बच्चा ऊपर उल्लिखित किसी भी मॉडल का उपयोग कर सकता है।

लाभांश और भाजक के बड़े मूल्यों के लिए, यह तकनीक असुविधाजनक है। उदाहरण के लिए: 8 खिड़कियों पर 72 फूलों के गमले रखे गए थे। प्रत्येक खिड़की पर कितने बर्तन हैं?

इस मामले में डोमेन मॉडल का उपयोग करके परिणाम खोजना असुविधाजनक है।

2. गुणन और भाग के घटकों के बीच संबंध के नियम से जुड़ी एक तकनीक

इस मामले में, बच्चा उन्मुख है। उदाहरण के लिए, परस्पर जुड़े मामलों की तिकड़ी को याद करने के लिए:

यदि कोई बच्चा इनमें से किसी एक मामले को अच्छी तरह से याद करने में कामयाब हो जाता है (आमतौर पर संदर्भ मामला गुणन का मामला होता है) या वह गुणन सारणी को याद करने के लिए किसी भी तकनीक का उपयोग करके इसे प्राप्त कर सकता है, तो नियम का उपयोग करके "यदि उत्पाद को एक से विभाजित किया जाता है कारकों में से, आपको दूसरा कारक मिलता है," दूसरी और तीसरी तालिका के मामले प्राप्त करना आसान है।

№ 13 दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करने की तकनीक का अध्ययन करने की पद्धति

दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करने की तकनीक का अध्ययन करते समय, योग को संख्या से विभाजित करने के नियम का उपयोग करें। उदाहरणों के समूह पर विचार किया जाता है:

1) 46: 2 = "(40 + 6) : 2=40: 2 +-"6: 2=20 + 3=23 (लाभांश को बिट शर्तों के योग से बदलें)

2) 50: 2= (40 + 10) : 2=40: 2 + 10: 2=20 + 5=25 (लाभांश को सुविधाजनक पदों के योग से बदल दिया जाता है - गोल संख्याएँ)

3) 72: 6= (60 +12) : 6=60: 6+ 12: 6= 10 + 2= 12 (लाभांश को दो संख्याओं के योग से बदल दिया जाता है: एक गोल संख्या और एक दो अंकों की संख्या)

सभी उदाहरणों में, ये पद सुविधाजनक होंगे यदि इन्हें किसी दिए गए भाजक से विभाजित करने पर भागफल के अंकीय पद प्राप्त हों।

तैयारी की अवधि के दौरान, व्यायाम का उपयोग किया जाता है: 100 तक की पूर्ण संख्याओं को उजागर करें जो 2 (10, 20, 40, 60, 80), 3 (30, 60, 90), 4 (40, 80), आदि से विभाज्य हों; संख्याओं को दो पदों के योग के रूप में अलग-अलग तरीकों से कल्पना करें, जिनमें से प्रत्येक बिना किसी शेषफल के किसी दी गई संख्या से विभाज्य है: 24 को एक योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसका प्रत्येक पद 2 से विभाज्य है: 20 + 4, 12 + 12, 10 + 14, आदि; फॉर्म के उदाहरणों को हल करें: (18 + 45) : 9 विभिन्न तरीकों से।

प्रारंभिक कार्य के बाद, तीन समूहों के उदाहरणों पर विचार किया जाता है, जिसमें सुविधाजनक शर्तों के योग के साथ लाभांश को बदलने और सबसे सुविधाजनक विधि चुनने पर बहुत ध्यान दिया जाता है:

42: 3= (30+12) : 3=30: 3+12: 3= 14

42:3=(27+15) :3=27: 3+15: 3=14 42:3= (24+1&) : 3 = 24: 3+18:3=14

42: 3= (36 + 6) : 3=36:3+6: 3=14, आदि।

सबसे सुविधाजनक विधि पहली विधि है, क्योंकि सुविधाजनक पदों (30 और 12) को विभाजित करने पर भागफल के अंकीय पद (10 + 4 = 14) प्राप्त होते हैं।

कठिन उदाहरण हैं: 96:4. ऐसे मामलों में, लाभांश को सुविधाजनक शब्दों के योग से बदलने की सलाह दी जाती है, जिनमें से पहला भाजक द्वारा विभाज्य दहाई की सबसे बड़ी संख्या को व्यक्त करता है: 96: 4 = (80+16): 4।

1. संख्या की बिट संरचना

2. किसी राशि को किसी संख्या से विभाजित करने का गुण

3. 0 से समाप्त होने वाली संख्या को विभाजित करें

4. सारणीबद्ध विभाजन के मामले

5. "सुविधाजनक" संख्या रचना.

शेषफल सहित विभाजन.

गुणा और भाग के गैर-तालिका मामलों पर काम पूरा करने के बाद ग्रेड II में शेषफल के साथ विभाजन का अध्ययन किया जाता है।

100 के भीतर शेषफल के साथ विभाजन पर काम करने से विभाजन के संचालन के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार होता है, गुणन और विभाजन के सारणीबद्ध परिणामों के ज्ञान को लागू करने के लिए नई स्थितियाँ बनती हैं, गैर-सारणीबद्ध गुणन और विभाजन के लिए कम्प्यूटेशनल तकनीकों को लागू करने के लिए, और छात्रों को एक में भी तैयार किया जाता है। लिखित विभाजन तकनीकों का समय पर अध्ययन करने का तरीका।

बच्चों को ज्ञात संक्रियाओं की तुलना में शेषफल के साथ विभाजन की एक विशेष विशेषता यह है कि यहां, दो दी गई संख्याओं - लाभांश और भाजक - का उपयोग करके दो संख्याएँ पाई जाती हैं: भागफल और शेषफल।

अपने अनुभव में, बच्चों को बार-बार वस्तुओं (कैंडी, सेब, मेवे, आदि) को विभाजित करते समय शेषफल के साथ विभाजन के मामलों का सामना करना पड़ा है। इसलिए, शेषफल के साथ भाग का अध्ययन करते समय, बच्चों के इस अनुभव पर भरोसा करना और साथ ही इसे समृद्ध करना महत्वपूर्ण है। अत्यंत व्यावहारिक समस्याओं का समाधान करके कार्य प्रारंभ करना उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए: “छात्रों को 15 नोटबुक वितरित करें, प्रत्येक में 2 नोटबुक। कितने छात्रों को नोटबुक मिलीं और कितनी नोटबुक बची हैं?”

छात्र वस्तुओं को वितरित करते हैं, व्यवस्थित करते हैं और पूछे गए प्रश्नों का मौखिक उत्तर देते हैं।

इन कार्यों के साथ-साथ उपदेशात्मक सामग्री एवं रेखाचित्रों पर भी कार्य किया जाता है।

हम 14 वृत्तों को 3 वृत्तों में विभाजित करते हैं। 14 मग में 3 मग कितनी बार होते हैं? (4 बार) कितने वृत्त बचे हैं? (2.) शेषफल के साथ विभाजन दर्ज करें: 14:3=4 (शेष 2)। छात्र वस्तुओं या रेखाचित्रों का उपयोग करके कई समान उदाहरणों और समस्याओं को हल करते हैं। आइए समस्या लें: "माँ 11 सेब लाई और बच्चों को बाँट दी, प्रत्येक को 2 सेब। कितने बच्चों को ये सेब मिले और कितने सेब बचे?" छात्र वृत्तों का उपयोग करके समस्या का समाधान करते हैं।

समस्या का समाधान और उत्तर इस प्रकार लिखा गया है: 11:2=5 (शेष 1)।

उत्तर: 5 बच्चे और 1 सेब बाकी है।

तब भाजक और शेषफल के बीच संबंध प्रकट होता है, यानी, छात्र स्थापित करते हैं: यदि कोई विभाजन शेषफल उत्पन्न करता है, तो यह हमेशा भाजक से कम होता है। ऐसा करने के लिए, पहले लगातार संख्याओं को 2 से, फिर 3 (4, 5) से विभाजित करने के उदाहरण हल करें। उदाहरण के लिए:

10:2=5 12:3 = 4 16:4 = 4
11:2=5(शेष 1) 13:3 = 4 (शेष 1) 17:4 = 4(शेष 1)
12:2=6 14:3 = 4(शेष 2) 18:4 = 4 (शेष 2)

13:2=6(शेष 1) 15:3 = 5 19:4 = 4 (शेष 3)

छात्र शेषफल की तुलना भाजक से करते हैं और ध्यान देते हैं कि जब 2 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल केवल संख्या 1 उत्पन्न करता है और 2 (3, 4, आदि) नहीं हो सकता है। इसी प्रकार, यह पता चलता है कि जब 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल संख्या 1 या 2 हो सकता है, जब 4 से विभाजित किया जाता है, तो केवल संख्याएँ 1, 2, 3, आदि हो सकती हैं। शेषफल और भाजक की तुलना करने के बाद, बच्चे निष्कर्ष निकालते हैं कि शेषफल सदैव भाजक से कम होता है।

इस अनुपात को सीखने के लिए, निम्नलिखित के समान अभ्यास पेश करने की सलाह दी जाती है:

5, 7, 10 से विभाजित करने पर कौन सी संख्याएँ शेष बच सकती हैं? 8, 11, 14 से विभाजित करने पर कितने अलग-अलग शेषफल आ सकते हैं? 9, 15, 18 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला सबसे बड़ा शेषफल क्या है? क्या 7 से विभाजित करने पर शेषफल 8, 3, 10 हो सकता है?

छात्रों को शेषफल के साथ डिविजन में महारत हासिल करने के लिए तैयार करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों की पेशकश करना उपयोगी है:

6 से 60 तक कौन सी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के b, 7, 9 से विभाज्य हैं? 47 (52, 61) के निकटतम सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो बिना किसी शेषफल के 8, 9, 6 से विभाज्य है?

शेषफल के साथ विभाजन की सामान्य तकनीक का खुलासा करते हुए, उदाहरणों को जोड़े में लेना बेहतर है: उनमें से एक शेषफल के बिना विभाजन के लिए है, और दूसरा शेषफल के साथ विभाजन के लिए है, लेकिन उदाहरणों में समान भाजक और भागफल होने चाहिए।

इसके बाद, शेषफल के साथ विभाजन के उदाहरण बिना किसी सहायक उदाहरण के हल किए जाते हैं। -आइए 37 को 8 से विभाजित करें। छात्र को निम्नलिखित तर्क को समझना चाहिए: "37 को शेषफल के बिना 8 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। सबसे बड़ी संख्या जो 37 से कम है और बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य है, 32 है। 32 को 8 से विभाजित करने पर 4 होता है; 37 में से हम 32 घटाते हैं, हमें 5 मिलता है, शेषफल 5 होता है। इसलिए, 37 को 8 से विभाजित करें, हमें 4 मिलता है और शेषफल 5 होता है।

शेषफल के साथ विभाजन का कौशल अभ्यास के माध्यम से विकसित किया जाता है, इसलिए मौखिक अभ्यास और लिखित कार्य दोनों में शेष के साथ विभाजन के अधिक उदाहरण शामिल करना आवश्यक है।

शेषफल के साथ विभाजन करते समय, छात्रों को कभी-कभी भाजक से अधिक शेषफल मिलता है, उदाहरण के लिए: 47:5=8 (शेष 7)। ऐसी त्रुटियों को रोकने के लिए, बच्चों को गलत तरीके से हल किए गए उदाहरण देना, उन्हें त्रुटि ढूंढने देना, उसके घटित होने का कारण बताना और उदाहरण को सही ढंग से हल करना उपयोगी है।

1. लाभांश के करीब एक संख्या चुनें, जो उससे कम हो और शेषफल के बिना विभाज्य हो;

2. इस संख्या को विभाजित करें;

3. शेषफल ज्ञात करें;

4. जांचें कि क्या शेष भाजक से कम है;

5. एक उदाहरण लिखिए

ग्रेड II और III में, गुणा और भाग के सभी अध्ययन किए गए मामलों के लिए यथासंभव विभिन्न अभ्यासों को शामिल करना आवश्यक है: एक और कई क्रियाओं में उदाहरण, अभिव्यक्तियों की तुलना करना, तालिकाओं को भरना, समीकरणों को हल करना आदि।

№ 14. एक यौगिक कार्य की अवधारणा.

एक यौगिक समस्या में कई सरल समस्याएँ शामिल होती हैं जो इस तरह से परस्पर जुड़ी होती हैं कि कुछ सरल समस्याओं के आवश्यक मान दूसरों के लिए डेटा के रूप में काम करते हैं। किसी मिश्रित समस्या को हल करने के लिए उसे कई सरल समस्याओं में तोड़ना और उन्हें क्रमिक रूप से हल करना होता है। इस प्रकार, एक यौगिक समस्या को हल करने के लिए, डेटा और आवश्यक के बीच कई कनेक्शन स्थापित करना आवश्यक है, जिसके अनुसार चयन करें और फिर अंकगणितीय संचालन करें।

एक यौगिक समस्या को हल करने में, एक साधारण समस्या को हल करने की तुलना में अनिवार्य रूप से कुछ नया सामने आया है: यहां एक कनेक्शन स्थापित नहीं किया गया है, बल्कि कई कनेक्शन स्थापित किए गए हैं, जिसके अनुसार अंकगणितीय संचालन का चयन किया जाता है। इसलिए, बच्चों को यौगिक समस्या से परिचित कराने के साथ-साथ यौगिक समस्याओं को हल करने में उनके कौशल को विकसित करने के लिए विशेष कार्य किया जाता है।

घटक कार्यों से परिचित होने के लिए प्रारंभिक कार्यछात्रों को एक मिश्रित समस्या और एक सरल समस्या के बीच मुख्य अंतर को समझने में मदद करनी चाहिए - इसे तुरंत हल नहीं किया जा सकता है, अर्थात, एक क्रिया में, लेकिन इसे हल करने के लिए सरल समस्याओं को अलग करना, डेटा और क्या है के बीच उचित संबंध स्थापित करना आवश्यक है मांगा जा रहा। इस प्रयोजन के लिए, विशेष अभ्यास प्रदान किए जाते हैं।