त्रिभुज की परिभाषा एवं प्रकार. त्रिभुज के गुण

आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों पर विचार करें और उनमें से "अतिरिक्त" को ढूंढें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज के शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज होते हैं तीव्र, आयताकार और कुंठित.

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।

चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को आयताकार कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के आधार पर त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.

एक विषमकोण त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।

न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.

समकोण त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 6।

अधिक त्रिभुज: क्रमांक 4, क्रमांक 5।

हम समान त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में वितरित करेंगे।

स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।

समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.

चित्रों को देखो।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप ऐसा सोच सकते हैं.

तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। तस्वीर में उन्हें तीसरे नंबर पर दिखाया गया है.

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में विभाजित किया गया है, ताकि इसका उपयोग स्केलीन त्रिकोण बनाने के लिए किया जा सके। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दो भागों की लंबाई समान है, जिसका अर्थ है कि इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है। तस्वीर में उन्हें दूसरे नंबर पर दिखाया गया है.

आज कक्षा में हमने विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में सीखा।

ग्रन्थसूची

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एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा और अन्य। गणित: पाठ्यपुस्तक। तीसरी कक्षा: 2 भागों में, भाग 2. - एम.: "ज्ञानोदय", 2012।
एम.आई. मोरो. गणित पाठ: शिक्षकों के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें। तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
विनियामक दस्तावेज़. सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
"रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम.: "ज्ञानोदय", 2011।
एस.आई. वोल्कोवा। गणित: परीक्षण पत्र. तीसरा ग्रेड। - एम.: शिक्षा, 2012।
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Do.gendocs.ru ()।

गृहकार्य

1. वाक्यांशों को पूरा करें.

a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ... जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और ... जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

ग) कोण के आकार के अनुसार, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

घ) समान भुजाओं की संख्या के आधार पर, त्रिभुज हैं ... , ... , ... .

2. ड्रा

ए) समकोण त्रिभुज;

बी) तीव्र त्रिकोण;

ग) कुंठित त्रिभुज;

घ) समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने दोस्तों के लिए पाठ के विषय पर एक असाइनमेंट बनाएं।

विषय: गणित

कक्षा: तीसरी कक्षा

पाठ्यपुस्तक: "गणित" भाग 2।

विषय: त्रिभुजों के प्रकार

पाठ का प्रकार: नये ज्ञान की खोज

लक्ष्य: त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई मापकर उनके प्रकारों की पहचान करना सीखें।

कार्य :

1) ज्यामितीय आकृतियों - आयत, वर्ग, त्रिभुज के बारे में ज्ञान अद्यतन करें।

2) तीन अंकों की संख्याओं के जोड़ और घटाव को अद्यतन करें, दो अंकों की संख्या को एकल अंक, दो अंक और पूर्णांक में विभाजित करें; दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से गुणा करना।

3) शब्दों का परिचय दें: समद्विबाहु, समबाहु, विषमबाहु त्रिभुज।

कक्षाओं के दौरान

1.सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा

देखो, बताओ, यह क्या है?

(पिरामिड)

मुझे बताओ, इसमें क्या शामिल है? (भागों, स्तरों से...)

क्या इस पिरामिड की तुलना हमारे ज्ञान से की जा सकती है? (हाँ)

हर दिन आप अधिक से अधिक नए पिरामिड बनाते हैं, पिरामिड का प्रत्येक स्तर नया ज्ञान है जो आप कक्षा में प्राप्त करते हैं। यदि हम नीला स्तर हटा दें तो पिरामिड का क्या होगा? (यह ढह जाएगा और छोटा हो जाएगा।)

हमारे ज्ञान के पिरामिड के ढहने का क्या कारण हो सकता है? (होमवर्क पूरा न होने, पाठ छूट जाने, शिक्षक की बात ध्यान से न सुनने के कारण।)

हमारे पिरामिड को मजबूत और विकसित बनाने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? (होमवर्क का अध्ययन करें, कक्षा में अच्छे से काम करें, होमवर्क करें, स्कूल न छोड़ें।)

दोस्तों, आपने सब कुछ सही कहा। अब आइए कल्पना करें कि हमारे पिरामिड पर एक छाया पड़ती है। मुझे बताओ, छाया किस ज्यामितीय आकृति की तरह दिखती है?

(त्रिभुज पर।)

आज हम त्रिभुज जैसी ज्यामितीय आकृति के साथ काम करना जारी रखेंगे।

2. किसी समस्या की स्थिति में ज्ञान को अद्यतन करना और कठिनाइयों को दर्ज करना

आप किन ज्यामितीय आकृतियों से परिचित हैं? (वर्ग, आयत, त्रिकोण).

बोर्ड पर एक तालिका है, इसे अपने ज्ञान के आधार पर भरें (प्रत्येक छात्र के पास ऐसी तालिका वाला एक कार्ड है):

प्रथम दो ज्यामितीय आकृतियाँ क्या कहलाती हैं? (एक आयत और एक वर्ग, एक शब्द में, ये चतुर्भुज हैं।)

मुझे बताओ, आप किस प्रकार के चतुर्भुजों को जानते हैं? स्लाइड पर उनकी छवि आपको इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करेगी।

बच्चों के उत्तर के बाद चतुर्भुजों के नाम आते हैं।

(समचतुर्भुज, वर्ग, आयत, समलम्ब चतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज - इन्हें स्लाइड या बोर्ड पर छवियों द्वारा बुलाया जाता है।)

क्या आप बता सकते हैं कि आयत क्या है और वर्ग क्या है?

(आयत एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं।

एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं)

तालिका के परिणामों के आधार पर अतिरिक्त ज्यामितीय आकृति खोजें। (त्रिकोण)।

ठीक है, सभी चतुर्भुज बहुत भिन्न होते हैं, लेकिन आप त्रिभुज के बारे में क्या जानते हैं? (त्रिकोण हैं: न्यून, अधिक, आयताकार।)

आप त्रिभुज के बारे में और क्या जानते हैं? (परिभाषा)

त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें 3 कोण, 3 शीर्ष और 3 भुजाएँ होती हैं।

अपने ज्ञान के आधार पर निम्नलिखित तालिका भरें:

(शिक्षक बच्चों के उत्तरों के अनुसार तालिका भरते हैं। "शीर्षक" कॉलम में अलग-अलग राय उत्पन्न होती हैं, और कुछ बच्चे उन्हें खाली छोड़ देते हैं।)

3. स्थान की पहचान और कठिनाई का कारण।

आप कौन सा कार्य कर रहे थे? (तालिका भरें।)

समस्या कहां उत्पन्न हुई? (त्रिभुजों के नाम लिखते समय)

समस्या क्यों उत्पन्न हुई? (हम नहीं जानते कि उन्हें क्या कहा जाता है)

पाठ का लक्ष्य क्या है? (पता लगाएं कि अध्ययन किए गए त्रिभुजों के अलावा और कौन से प्रकार के त्रिभुज हैं (अधिक, न्यून, आयताकार), इस प्रकार के त्रिभुजों की पहचान करना सीखें।)

हमारे पाठ का विषय क्या है? (त्रिभुज के प्रकार)

4. नये ज्ञान की खोज.

चलो मेज पर वापस चलते हैं.

आइए त्रिभुजों की भुजाओं के आयाम दर्ज करें। (प्रवेश करना।)

ठीक है, अब देखो और बताओ तुमने क्या देखा? (पहले त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं, दूसरे की 2 भुजाएँ समान हैं, और तीसरे की सभी भुजाएँ भिन्न-भिन्न हैं।)

ठीक है, क्या आप अभी दिए गए स्पष्टीकरण के आधार पर इन त्रिकोणों के लिए नाम बता सकते हैं? (हाँ)

आप उस त्रिभुज को क्या कहते हैं जिसकी सभी भुजाएँ समान हों? 2 शब्दों से युक्त एक विशेषण बनाएं: समान भुजाएँ। (समबाहु)

आप उस त्रिभुज को क्या कहते हैं जिसकी सभी भुजाएँ अलग-अलग हों? (बहुमुखी प्रतिभा संपन्न)

दो बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज का क्या नाम है? (बच्चों को संदेह है; इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए वे पाठ्यपुस्तक पृष्ठ 73 का उपयोग करते हैं) (समद्विबाहु) हम किस अन्य त्रिभुज को समद्विबाहु कह सकते हैं? (समबाहु)

अपने नए ज्ञान के आधार पर तालिका स्वयं भरें।

क्या अब हम त्रिभुजों के प्रकार परिभाषित कर सकते हैं? (हाँ)

समभुज - एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों।

समद्विबाहु - कम से कम दो समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज। एक समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज भी होता है।

बहुमुखी - एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ अलग-अलग हों।

अपनी परिभाषाएँ जाँचें पृष्ठ 73 - पाठ्यपुस्तक। (जाँच करना।)

क्या आपने परिभाषाएँ सही ढंग से बनाई हैं? (हाँ।)

5.बाह्य वाणी में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन

पाठ्यपुस्तक पृष्ठ 74 (अंडर?) से कार्य पूरा करें

1) बहुमुखी: 2,3,5

2)समद्विबाहु: 1,4 , 6, 7

(छात्र नोटबुक में लिखते हैं। कारण बताते हुए बारी-बारी से उत्तर देते हैं। नमूना बोर्ड पर दर्ज किया गया है)।

6.मानक के अनुरूप स्वपरीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।

कार्य स्वयं पूरा करना। कार्य के अंत में - नमूने के अनुसार स्व-परीक्षण (बोर्ड पर या व्यक्तिगत कार्ड पर)।

№1.तालिका भरें , योजनाबद्ध रूप से त्रिभुज बनाएं।

№2. संख्याएँ लिखिए:

1) स्केलीन त्रिकोण।

2) समद्विबाहु, लिखी गई संख्याओं से, समबाहु त्रिभुजों की संख्या को रेखांकित करें।

संदर्भ:

कार्य संख्या 1:

कार्य संख्या 2:

1) स्केलीन त्रिकोण: 2,3,4

2)समद्विबाहु त्रिभुज (समबाहु त्रिभुज की संख्या रेखांकित है): 1,5

7. ज्ञान प्रणाली में समावेशन एवं पुनरावृत्ति

लड़के ने रेत पर त्रिकोण बनाए और शब्दों को लिपिबद्ध किया, त्रिकोणों में लिखे भावों के अर्थ ढूंढे। पहले विषमकोण त्रिभुजों में लिखे प्रश्नों को हल करें और फिर समद्विबाहु त्रिभुजों में लिखे प्रश्नों को हल करें। और आप एन्क्रिप्टेड शब्दों का अनुमान लगा लेंगे.

संकेत: संख्याओं को आरोही क्रम में लिखें और आपको शब्द मिल जाएंगे।

कार्ड:

समाधान:

उत्तर: त्रिभुजों के प्रकार

8. शैक्षणिक गतिविधियों पर चिंतन.

तदनुसार 7 स्तरों वाला ज्ञान का एक पिरामिड बनाएं। प्रत्येक स्तर एक प्रश्न का उत्तर है।

प्रश्नों के उत्तर दें:

1) दोस्तों, आपने "त्रिभुज के प्रकार" क्या लिखा? (हमारे पाठ का विषय)

2)हमारा लक्ष्य क्या था? (पता लगाएं कि सभी 3 प्रकार के त्रिभुजों को क्या कहा जाता है, भुजाओं की लंबाई मापकर इन प्रकारों को पहचानना सीखें।)

3) आपने किस प्रकार के त्रिभुजों को पहचाना? (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु)

4) उन्हें ऐसा क्यों कहा जाता है?

( समभुज - एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों।

समद्विबाहु - कम से कम दो बराबर भुजाओं वाला एक त्रिभुज, जिसमें एक समबाहु त्रिभुज भी शामिल है, क्योंकि इसकी दो बराबर भुजाएँ होती हैं।)

बहुमुखी - एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ अलग-अलग हों।)

5) क्या आपने सभी प्रकार के त्रिभुजों को योजनाबद्ध तरीके से चित्रित करना सीख लिया है? (हाँ, स्वतंत्र कार्य पर।)

6) आज आपने क्या खोजें कीं? (नए प्रकार के त्रिभुज, उनके नाम।)

7) दोस्तों, क्या आप त्रिभुज के आयामों के आधार पर उसका प्रकार निर्धारित कर सकते हैं? (हां) अब मैं आपको माप बताऊंगा, और आप त्रिकोण के प्रकार के नाम के साथ एक कार्ड उठाएंगे (कार्ड अतिरिक्त रूप से जारी किए जाते हैं - प्रत्येक में 3 कार्ड।)

1. 2 सेमी, 3 सेमी, 5 सेमी - बहुमुखी

2. 4 सेमी, 4 सेमी, 2 सेमी - समद्विबाहु

3.6 सेमी, 6 सेमी, 6 सेमी - समबाहु, समद्विबाहु

हाथ उठाओ, आज इस ज्ञान के शिखर पर कौन पहुंचा है? (उठाना)

यदि 1 या 2 स्तर पर्याप्त नहीं हैं तो अपने हाथ उठाएँ। (वे इसे उठाते हैं।)

(शिक्षक बच्चों में ज्ञान के पिरामिडों का विश्लेषण करता है, निष्कर्ष निकालता है - कौन सा स्तर गिरता है और अगले पाठ में इससे ज्ञान को अद्यतन करना शुरू होता है।)

गणित का अध्ययन करते समय, छात्र विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से परिचित होने लगते हैं। आज हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में बात करेंगे।

परिभाषा

ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।

बिंदुओं को जोड़ने वाले खंडों को भुजाएँ कहा जाता है, और बिंदुओं को शीर्ष कहा जाता है। शीर्षों को बड़े अक्षरों में दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए: ए, बी, सी।

भुजाओं को उन दो बिंदुओं के नाम से निर्दिष्ट किया जाता है जिनसे वे बने हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए भुजाएँ कोण बनाती हैं। निचला भाग आकृति का आधार माना जाता है।

चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।

कोनों पर तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:

तीव्र कोण वाला;
आयताकार;
कुंठित कोण वाला.

सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यूनकोण होते हैं, अर्थात प्रत्येक का डिग्री माप 90 0 से अधिक नहीं होता है।

आयताकारएक त्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण सदैव न्यूनकोण होंगे, अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, और यह असंभव है। जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो को पाद कहा जाता है। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।

कुंठितत्रिभुज में एक अधिककोण है। यानी 90 डिग्री से बड़ा कोण. ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।

चावल। 2. कोनों पर त्रिभुजों के प्रकार.

पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।

इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।

ऐसे त्रिभुजों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में सरल समस्याओं के निर्माण के लिए किया जाता है। इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 के बराबर हैं, तो तीसरी निश्चित रूप से 5 होगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।

भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:

समबाहु;
समद्विबाहु;
बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।

समभुजत्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह सदैव न्यूनकोण होता है।

समद्विबाहुत्रिभुज - एक त्रिभुज जिसकी केवल दो भुजाएँ बराबर हों। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरे को आधार कहा जाता है। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून कोण होते हैं।

बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

यदि समस्या में आकृति के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि हम एक मनमाना त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं।

चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।

किसी त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे उसका प्रकार कुछ भी हो, 1800 होता है।

बड़े कोण के विपरीत बड़ी भुजा होती है। और किसी भी भुजा की लंबाई हमेशा उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।

स्वर्णिम त्रिभुज की अवधारणा है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो भुजाएँ आधार के समानुपाती और एक निश्चित संख्या के बराबर होती हैं। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।

काम:

क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?