एक बहुपद की तर्कसंगत जड़ों पर प्रमेय। परिमेय संख्याएँ, परिभाषा, उदाहरण

वगैरह। सामान्य शैक्षिक प्रकृति का है और उच्च गणित के संपूर्ण पाठ्यक्रम के अध्ययन के लिए इसका बहुत महत्व है। आज हम "स्कूल" समीकरणों को दोहराएंगे, लेकिन केवल "स्कूल" वाले ही नहीं - बल्कि वे भी जो विभिन्न विषम समस्याओं में हर जगह पाए जाते हैं। हमेशा की तरह, कहानी को व्यावहारिक तरीके से बताया जाएगा, यानी। मैं परिभाषाओं और वर्गीकरणों पर ध्यान केंद्रित नहीं करूंगा, बल्कि इसे हल करने का अपना व्यक्तिगत अनुभव आपके साथ साझा करूंगा। जानकारी मुख्य रूप से शुरुआती लोगों के लिए है, लेकिन अधिक उन्नत पाठकों को अपने लिए कई दिलचस्प बिंदु भी मिलेंगे। और, निःसंदेह, ऐसी नई सामग्री होगी जो हाई स्कूल से आगे बढ़ेगी।

तो समीकरण... कई लोग इस शब्द को सिहर कर याद करते हैं। जड़ों वाले "परिष्कृत" समीकरणों का मूल्य क्या है... ...उनके बारे में भूल जाओ! क्योंकि तब आप इस प्रजाति के सबसे हानिरहित "प्रतिनिधियों" से मिलेंगे। या दर्जनों समाधान विधियों के साथ उबाऊ त्रिकोणमितीय समीकरण। सच कहूँ तो, मैं स्वयं उन्हें वास्तव में पसंद नहीं करता था... घबड़ाएं नहीं! - तो अधिकतर "डंडेलियंस" 1-2 चरणों में एक स्पष्ट समाधान के साथ आपका इंतजार करते हैं। हालाँकि "बोझ" निश्चित रूप से चिपक जाता है, आपको यहाँ वस्तुनिष्ठ होने की आवश्यकता है।

अजीब तरह से, उच्च गणित में बहुत ही आदिम समीकरणों से निपटना बहुत आम है रेखीयसमीकरण

इस समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है "x" (रूट) का ऐसा मान खोजना जो इसे वास्तविक समानता में बदल दे। आइए चिह्न परिवर्तन के साथ "तीन" को दाईं ओर फेंकें:

और "दो" को दाहिनी ओर छोड़ें (या, एक ही बात - दोनों पक्षों को गुणा करें) :

जाँच करने के लिए, आइए जीती हुई ट्रॉफी को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि पाया गया मान वास्तव में इस समीकरण का मूल है। या, जैसा कि वे भी कहते हैं, इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

कृपया ध्यान दें कि मूल को दशमलव भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है:
और कोशिश करें कि इस ख़राब शैली पर अड़े न रहें! मैंने कारण को एक से अधिक बार दोहराया, विशेष रूप से, पहले पाठ में उच्चतर बीजगणित.

वैसे, समीकरण को "अरबी में" भी हल किया जा सकता है:

और सबसे दिलचस्प बात यह है कि यह रिकॉर्डिंग पूरी तरह से कानूनी है! लेकिन अगर आप शिक्षक नहीं हैं तो ऐसा न करना ही बेहतर है, क्योंकि यहां मौलिकता दंडनीय है=)

और अब थोड़ा इसके बारे में

ग्राफ़िकल समाधान विधि

समीकरण का रूप और उसका मूल है "एक्स" समन्वय प्रतिच्छेदन बिंदु रैखिक फ़ंक्शन ग्राफ़एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ (एक्स अक्ष):

ऐसा प्रतीत होता है कि उदाहरण इतना प्राथमिक है कि यहां विश्लेषण करने के लिए और कुछ नहीं है, लेकिन एक और अप्रत्याशित बारीकियों को इसमें से "निचोड़" लिया जा सकता है: आइए उसी समीकरण को रूप में प्रस्तुत करें और कार्यों के ग्राफ़ बनाएं:

वहीं, कृपया दोनों अवधारणाओं को भ्रमित न करें: एक समीकरण एक समीकरण है, और समारोह- यह एक फ़ंक्शन है! कार्य केवल मददसमीकरण की जड़ें खोजें. जिनमें से दो, तीन, चार या यहां तक ​​कि अनंत रूप से कई भी हो सकते हैं। इस अर्थ में निकटतम उदाहरण प्रसिद्ध है द्विघात समीकरण, समाधान एल्गोरिथ्म जिसके लिए एक अलग पैराग्राफ प्राप्त हुआ "हॉट" स्कूल सूत्र. और यह कोई संयोग नहीं है! यदि आप द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं और जान सकते हैं पाइथागोरस प्रमेय, तो, कोई कह सकता है, "उच्च गणित का आधा हिस्सा पहले से ही आपकी जेब में है" =) अतिरंजित, निश्चित रूप से, लेकिन सच्चाई से इतना दूर नहीं!

इसलिए, आइए आलसी न बनें और कुछ द्विघात समीकरण का उपयोग करके हल करें मानक एल्गोरिदम:

, जिसका अर्थ है कि समीकरण में दो भिन्न हैं वैधजड़:

यह सत्यापित करना आसान है कि दोनों पाए गए मान वास्तव में इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

यदि आप अचानक समाधान एल्गोरिदम भूल गए, और हाथ में कोई साधन/मदद करने वाला हाथ नहीं है तो क्या करें? यह स्थिति उत्पन्न हो सकती है, उदाहरण के लिए, किसी परीक्षण या परीक्षा के दौरान। हम ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करते हैं! और दो तरीके हैं: आप कर सकते हैं बिंदु दर बिंदु निर्माण करेंपरवलय , जिससे यह पता चलता है कि यह अक्ष को कहां काटता है (यदि यह बिल्कुल भी पार हो जाए). लेकिन कुछ और चालाकी करना बेहतर है: फॉर्म में समीकरण की कल्पना करें, सरल कार्यों के ग्राफ़ बनाएं - और "एक्स" निर्देशांकउनके प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहे हैं!


यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को छूती है, तो समीकरण के दो मेल खाने वाले (एकाधिक) मूल हैं। यदि यह पता चलता है कि सीधी रेखा परवलय को नहीं काटती है, तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

ऐसा करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको निर्माण करने में सक्षम होने की आवश्यकता है प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़, लेकिन दूसरी ओर, एक स्कूली बच्चा भी ये कौशल कर सकता है।

और फिर - एक समीकरण एक समीकरण है, और फ़ंक्शन, फ़ंक्शन हैं केवल मदद कीप्रश्न हल करें!

और यहाँ, वैसे, एक और बात याद रखना उचित होगा: यदि किसी समीकरण के सभी गुणांकों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाए, तो उसके मूल नहीं बदलेंगे.

तो, उदाहरण के लिए, समीकरण जड़ें समान हैं. एक सरल "प्रमाण" के रूप में, मैं कोष्ठक से स्थिरांक निकालूंगा:
और मैं इसे बिना किसी दर्द के हटा दूँगा (मैं दोनों भागों को "शून्य से दो" से विभाजित करूंगा):

लेकिन!यदि हम फ़ंक्शन पर विचार करें, तो यहां हम स्थिरांक से छुटकारा नहीं पा सकते हैं! गुणक को केवल कोष्ठक से बाहर निकालना अनुमत है: .

बहुत से लोग ग्राफ़िकल समाधान पद्धति को "अपमानजनक" मानते हुए इसे कम आंकते हैं, और कुछ तो इस संभावना के बारे में पूरी तरह से भूल भी जाते हैं। और यह मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि ग्राफ़ बनाने से कभी-कभी स्थिति बच जाती है!

एक अन्य उदाहरण: मान लीजिए कि आपको सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ें याद नहीं हैं:। सामान्य सूत्र स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, प्रारंभिक गणित की सभी संदर्भ पुस्तकों में है, लेकिन वे आपके लिए उपलब्ध नहीं हैं। हालाँकि, समीकरण को हल करना महत्वपूर्ण है (उर्फ "दो")। वहाँ एक निकास है! - कार्यों के ग्राफ बनाएं:


जिसके बाद हम शांति से उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के "X" निर्देशांक लिखते हैं:

जड़ें अनंत रूप से अनेक हैं, और बीजगणित में उनका संक्षिप्त संकेतन स्वीकार किया जाता है:
, कहाँ ( – पूर्णांकों का समुच्चय) .

और, "दूर जाए बिना", एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के बारे में कुछ शब्द। सिद्धांत वही है. इसलिए, उदाहरण के लिए, असमानता का समाधान कोई "x" है, क्योंकि साइनसॉइड लगभग पूरी तरह से सीधी रेखा के नीचे स्थित होता है। असमानता का समाधान अंतरालों का वह सेट है जिसमें साइनसॉइड के टुकड़े सीधी रेखा से बिल्कुल ऊपर स्थित होते हैं (एक्स-अक्ष):

या, संक्षेप में:

लेकिन यहां असमानता के कई समाधान हैं: खाली, चूँकि साइनसॉइड का कोई भी बिंदु सीधी रेखा के ऊपर नहीं होता है।

क्या कोई ऐसी बात है जो तुम्हें समझ में नहीं आ रही? के बारे में पाठों का तत्काल अध्ययन करें सेटऔर फ़ंक्शन ग्राफ़!

थोड़ी गर्मी आये:

अभ्यास 1

निम्नलिखित त्रिकोणमितीय समीकरणों को आलेखीय रूप से हल करें:

पाठ के अंत में उत्तर

जैसा कि आप देख सकते हैं, सटीक विज्ञान का अध्ययन करने के लिए सूत्रों और संदर्भ पुस्तकों को रटना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है! इसके अलावा, यह एक मौलिक रूप से त्रुटिपूर्ण दृष्टिकोण है।

जैसा कि मैंने आपको पाठ की शुरुआत में ही आश्वस्त किया था, उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम में जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को बहुत कम ही हल करना पड़ता है। सभी जटिलताएँ, एक नियम के रूप में, जैसे समीकरणों के साथ समाप्त होती हैं, जिसका समाधान सरलतम समीकरणों से उत्पन्न जड़ों के दो समूह हैं और . उत्तरार्द्ध को हल करने के बारे में बहुत अधिक चिंता न करें - किसी पुस्तक में देखें या इंटरनेट पर खोजें =)

ग्राफिकल समाधान विधि कम मामूली मामलों में भी मदद कर सकती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित "रैगटैग" समीकरण पर विचार करें:

इसके समाधान की संभावनाएं दिखती हैं... बिल्कुल नहीं दिखतीं, लेकिन आपको बस समीकरण के रूप में कल्पना करनी है, निर्माण करना है फ़ंक्शन ग्राफ़और सब कुछ अविश्वसनीय रूप से सरल हो जाएगा। के बारे में लेख के मध्य में एक चित्र है अतिसूक्ष्म कार्य (अगले टैब में खुलेगा).

उसी ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि समीकरण में पहले से ही दो जड़ें हैं, और उनमें से एक शून्य के बराबर है, और दूसरा, जाहिरा तौर पर, तर्कहीनऔर खंड के अंतर्गत आता है. इस मूल की गणना लगभग की जा सकती है, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा विधि. वैसे, कुछ समस्याओं में ऐसा होता है कि आपको जड़ें ढूंढने की नहीं, बल्कि खोजने की जरूरत होती है क्या वे बिल्कुल मौजूद हैं?. और यहां भी, एक चित्र मदद कर सकता है - यदि ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो कोई जड़ें नहीं हैं।

पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की परिमेय जड़ें।
हॉर्नर योजना

और अब मैं आपको अपना ध्यान मध्य युग की ओर मोड़ने और शास्त्रीय बीजगणित के अनूठे माहौल को महसूस करने के लिए आमंत्रित करता हूं। सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप कम से कम थोड़ा पढ़ें जटिल आंकड़े.

वे अच्छे हैं। बहुपद।

हमारी रुचि का उद्देश्य फॉर्म के सबसे सामान्य बहुपद होंगे साबुतगुणांकों प्राकृतिक संख्या कहलाती है बहुपद की डिग्री, संख्या - उच्चतम डिग्री का गुणांक (या सिर्फ उच्चतम गुणांक), और गुणांक है स्वतंत्र सदस्य.

मैं इस बहुपद को संक्षेप में से निरूपित करूंगा।

एक बहुपद की जड़ेंसमीकरण की जड़ों को बुलाओ

मुझे लौह तर्क पसंद है =)

उदाहरण के लिए, लेख की शुरुआत में जाएँ:

पहली और दूसरी डिग्री के बहुपदों की जड़ों को खोजने में कोई समस्या नहीं है, लेकिन जैसे-जैसे आप बढ़ते हैं यह कार्य और अधिक कठिन होता जाता है। हालाँकि दूसरी ओर, सब कुछ अधिक दिलचस्प है! और पाठ का दूसरा भाग बिल्कुल इसी के लिए समर्पित होगा।

सबसे पहले, वस्तुतः सिद्धांत की आधी स्क्रीन:

1)परिणाम के अनुसार बीजगणित का मौलिक प्रमेय, डिग्री बहुपद बिल्कुल है जटिलजड़ें. कुछ जड़ें (या यहां तक ​​कि सभी) विशेष रूप से हो सकती हैं वैध. इसके अलावा, वास्तविक जड़ों के बीच समान (एकाधिक) जड़ें हो सकती हैं (न्यूनतम दो, अधिकतम टुकड़े).

यदि कोई सम्मिश्र संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो संयुग्मइसकी संख्या भी आवश्यक रूप से इस बहुपद का मूल है (संयुग्मित जटिल जड़ों का रूप होता है ).

सबसे सरल उदाहरण एक द्विघात समीकरण है, जिसका पहली बार सामना 8 में हुआ था (पसंद करना)कक्षा, और जिसे हमने अंततः विषय में "समाप्त" कर दिया जटिल आंकड़े. मैं आपको याद दिला दूं: एक द्विघात समीकरण में या तो दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें होती हैं, या कई जड़ें होती हैं, या संयुग्मित जटिल जड़ें होती हैं।

2)से बेज़ाउट का प्रमेयइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई संख्या किसी समीकरण का मूल है, तो संबंधित बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है:
, डिग्री का बहुपद कहां है .

और फिर, हमारा पुराना उदाहरण: चूँकि समीकरण का मूल है, तो। जिसके बाद सुप्रसिद्ध "स्कूल" विस्तार प्राप्त करना कठिन नहीं है।

बेज़ाउट के प्रमेय के परिणाम का बहुत व्यावहारिक महत्व है: यदि हम तीसरी डिग्री के समीकरण की जड़ जानते हैं, तो हम इसे इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं और द्विघात समीकरण से शेष मूल ज्ञात करना आसान है। यदि हम चौथी डिग्री के समीकरण का मूल जानते हैं, तो बाईं ओर को उत्पाद आदि में विस्तारित करना संभव है।

और यहाँ दो प्रश्न हैं:

प्रश्न एक. इसी मूल को कैसे खोजें? सबसे पहले, आइए इसकी प्रकृति को परिभाषित करें: उच्च गणित की कई समस्याओं में इसे खोजना आवश्यक है तर्कसंगत, विशेष रूप से साबुतबहुपदों की जड़ें, और इस संबंध में, आगे हम मुख्य रूप से उनमें रुचि लेंगे.... ...वे इतने अच्छे, इतने रोएंदार हैं कि आप बस उन्हें ढूंढना चाहेंगे! =)

पहली बात जो मन में आती है वह चयन पद्धति है। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें। यहाँ समस्या मुक्त पद में है - यदि यह शून्य के बराबर होती, तो सब कुछ ठीक होता - हम "x" को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और जड़ें स्वयं सतह पर "गिर जाती हैं":

लेकिन हमारा स्वतंत्र पद "तीन" के बराबर है, और इसलिए हम समीकरण में विभिन्न संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करते हैं जो "मूल" होने का दावा करते हैं। सबसे पहले, एकल मानों का प्रतिस्थापन स्वयं सुझाता है। आइए स्थानापन्न करें:

प्राप्त गलतसमानता, इस प्रकार, इकाई "फिट नहीं हुई।" अच्छा, ठीक है, चलो प्रतिस्थापित करें:

प्राप्त सत्यसमानता! अर्थात् मान ही इस समीकरण का मूल है।

तृतीय डिग्री के बहुपद के मूल ज्ञात करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि है (तथाकथित कार्डानो सूत्र), लेकिन अब हम थोड़े अलग कार्य में रुचि रखते हैं।

चूँकि - हमारे बहुपद का मूल है, बहुपद को रूप में दर्शाया जा सकता है और उत्पन्न होता है दूसरा सवाल: "छोटा भाई" कैसे खोजें?

सबसे सरल बीजगणितीय विचार सुझाते हैं कि ऐसा करने के लिए हमें से भाग देना होगा। एक बहुपद को एक बहुपद से कैसे विभाजित करें? वही स्कूल पद्धति जो सामान्य संख्याओं को विभाजित करती है - "कॉलम"! मैंने पाठ के पहले उदाहरणों में इस विधि पर विस्तार से चर्चा की है। जटिल सीमाएँ, और अब हम एक और विधि देखेंगे, जिसे कहा जाता है हॉर्नर योजना.

सबसे पहले हम "उच्चतम" बहुपद लिखते हैं हर किसी के साथ , शून्य गुणांक सहित:
, जिसके बाद हम इन गुणांकों को (सख्ती से क्रम में) तालिका की शीर्ष पंक्ति में दर्ज करते हैं:

हम बाईं ओर मूल लिखते हैं:

मैं तुरंत आरक्षण कर दूंगा कि हॉर्नर की योजना "लाल" संख्या होने पर भी काम करती है नहींबहुपद का मूल है. हालाँकि, आइए चीजों में जल्दबाजी न करें।

हम ऊपर से अग्रणी गुणांक हटाते हैं:

निचली कोशिकाओं को भरने की प्रक्रिया कुछ हद तक कढ़ाई की याद दिलाती है, जहां "माइनस वन" एक प्रकार की "सुई" है जो बाद के चरणों में प्रवेश करती है। हम "कैरीड डाउन" संख्या को (-1) से गुणा करते हैं और शीर्ष सेल से संख्या को उत्पाद में जोड़ते हैं:

हम पाए गए मान को "लाल सुई" से गुणा करते हैं और उत्पाद में निम्नलिखित समीकरण गुणांक जोड़ते हैं:

और अंत में, परिणामी मान को फिर से "सुई" और ऊपरी गुणांक के साथ "संसाधित" किया जाता है:

अंतिम सेल में शून्य हमें बताता है कि बहुपद को विभाजित किया गया है एक का पता लगाए बिना (जैसा होना चाहिए), जबकि विस्तार गुणांक सीधे तालिका की निचली रेखा से "हटा दिए" जाते हैं:

इस प्रकार, हम समीकरण से समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ गए और शेष दो जड़ों के साथ सब कुछ स्पष्ट है (इस मामले में हमें संयुग्मित जटिल जड़ें मिलती हैं).

वैसे, समीकरण को ग्राफ़िक तरीके से भी हल किया जा सकता है: प्लॉट "बिजली चमकना" और देखें कि ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है () बिंदु पर. या वही "चालाक" चाल - हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं, प्राथमिक ग्राफ़ बनाते हैं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु के "एक्स" समन्वय का पता लगाते हैं।

वैसे, तीसरी डिग्री के किसी भी फ़ंक्शन-बहुपद का ग्राफ़ अक्ष को कम से कम एक बार काटता है, जिसका अर्थ है कि संबंधित समीकरण है कम से कमएक वैधजड़। यह तथ्य विषम डिग्री वाले किसी भी बहुपद फलन के लिए सत्य है।

और यहाँ मैं भी ध्यान केन्द्रित करना चाहूँगा महत्वपूर्ण बिंदुजो शब्दावली से संबंधित है: बहुपदऔर बहुपदीय फलन – यह वही बात नहीं है! लेकिन व्यवहार में वे अक्सर बात करते हैं, उदाहरण के लिए, "बहुपद के ग्राफ" के बारे में, जो निस्संदेह लापरवाही है।

हालाँकि, आइए हॉर्नर की योजना पर वापस लौटें। जैसा कि मैंने हाल ही में उल्लेख किया है, यह योजना अन्य नंबरों के लिए काम करती है, लेकिन यदि नंबर नहींसमीकरण का मूल है, तो हमारे सूत्र में एक गैर-शून्य जोड़ (शेष) दिखाई देता है:

आइए हॉर्नर की योजना के अनुसार "असफल" मान को "चलाएं"। इस मामले में, उसी तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक है - बाईं ओर एक नई "सुई" लिखें, ऊपर से अग्रणी गुणांक को स्थानांतरित करें (बायां हरा तीर), और हम चले गए:

जाँच करने के लिए, आइए कोष्ठक खोलें और समान शब्द प्रस्तुत करें:
, ठीक है।

यह देखना आसान है कि शेषफल ("छह") बिल्कुल बहुपद का मान है। और वास्तव में - यह कैसा है:
, और इससे भी अच्छा - इस तरह:

उपरोक्त गणनाओं से यह समझना आसान है कि हॉर्नर की योजना न केवल बहुपद का गुणनखंड करने की अनुमति देती है, बल्कि मूल का "सभ्य" चयन करने की भी अनुमति देती है। मेरा सुझाव है कि आप एक छोटे से कार्य के साथ गणना एल्गोरिथ्म को स्वयं समेकित करें:

कार्य 2

हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, समीकरण का पूर्णांक मूल ज्ञात करें और संबंधित बहुपद का गुणनखंड करें

दूसरे शब्दों में, यहां आपको क्रमिक रूप से संख्याओं 1, -1, 2, -2, ... की जांच करने की आवश्यकता है जब तक कि अंतिम कॉलम में शून्य शेष "खींचा" न जाए। इसका अर्थ यह होगा कि इस रेखा की "सुई" बहुपद का मूल है

गणनाओं को एक ही तालिका में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है। पाठ के अंत में विस्तृत समाधान और उत्तर।

जड़ों को चुनने की विधि अपेक्षाकृत सरल मामलों के लिए अच्छी है, लेकिन यदि बहुपद के गुणांक और/या डिग्री बड़ी हैं, तो प्रक्रिया में लंबा समय लग सकता है। या हो सकता है कि एक ही सूची 1, -1, 2, -2 से कुछ मान हों और उन पर विचार करने का कोई मतलब नहीं है? और, इसके अलावा, जड़ें आंशिक हो सकती हैं, जिससे पूरी तरह से अवैज्ञानिक पोकिंग हो जाएगी।

सौभाग्य से, दो शक्तिशाली प्रमेय हैं जो तर्कसंगत जड़ों के लिए "उम्मीदवार" मूल्यों की खोज को काफी कम कर सकते हैं:

प्रमेय 1चलो गौर करते हैं अलघुकरणीयअंश , कहाँ . यदि संख्या समीकरण का मूल है, तो मुक्त पद को विभाजित किया जाता है और अग्रणी गुणांक को विभाजित किया जाता है।

विशेष रूप से, यदि अग्रणी गुणांक है, तो यह तर्कसंगत मूल एक पूर्णांक है:

और हम इस स्वादिष्ट विवरण के साथ प्रमेय का उपयोग करना शुरू करते हैं:

आइए समीकरण पर वापस लौटें। चूँकि इसका अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें विशेष रूप से पूर्णांक हो सकती हैं, और मुक्त पद को आवश्यक रूप से बिना किसी अवशेष के इन जड़ों में विभाजित किया जाना चाहिए। और "तीन" को केवल 1, -1, 3 और -3 में विभाजित किया जा सकता है। यानी, हमारे पास केवल 4 "रूट उम्मीदवार" हैं। और, के अनुसार प्रमेय 1, सिद्धांततः अन्य परिमेय संख्याएँ इस समीकरण के मूल नहीं हो सकतीं।

समीकरण में कुछ और "दावेदार" हैं: मुक्त पद को 1, -1, 2, - 2, 4 और -4 में विभाजित किया गया है।

कृपया ध्यान दें कि संख्याएँ 1, -1 संभावित मूलों की सूची की "नियमित" हैं (प्रमेय का एक स्पष्ट परिणाम)और प्राथमिकता परीक्षण के लिए सर्वोत्तम विकल्प।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ें:

समस्या 3

समाधान: चूंकि अग्रणी गुणांक है, तो काल्पनिक तर्कसंगत जड़ें केवल पूर्णांक हो सकती हैं, और वे आवश्यक रूप से मुक्त पद के विभाजक होने चाहिए। "माइनस चालीस" को संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों में विभाजित किया गया है:
- कुल 16 "उम्मीदवार"।

और यहां एक आकर्षक विचार तुरंत प्रकट होता है: क्या सभी नकारात्मक या सभी सकारात्मक जड़ों को खत्म करना संभव है? कुछ मामलों में यह संभव है! मैं दो संकेत तैयार करूंगा:

1) यदि सभीयदि बहुपद के गुणांक गैर-ऋणात्मक या सभी गैर-धनात्मक हैं, तो इसके सकारात्मक मूल नहीं हो सकते। दुर्भाग्य से, यह हमारा मामला नहीं है (अब, यदि हमें एक समीकरण दिया गया है - तो हाँ, बहुपद के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते समय, बहुपद का मान सख्ती से सकारात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि सभी सकारात्मक संख्याएं (और तर्कहीन भी)समीकरण की जड़ें नहीं हो सकतीं।

2) यदि विषम घातों के लिए गुणांक गैर-ऋणात्मक हैं, और सभी सम घातों के लिए (निःशुल्क सदस्य सहित)ऋणात्मक हैं, तो बहुपद के मूल ऋणात्मक नहीं हो सकते। या "दर्पण": विषम शक्तियों के लिए गुणांक गैर-सकारात्मक हैं, और सभी सम शक्तियों के लिए वे सकारात्मक हैं।

यह हमारा मामला है! थोड़ा करीब से देखने पर, आप देख सकते हैं कि समीकरण में किसी भी नकारात्मक "X" को प्रतिस्थापित करने पर, बाईं ओर का पक्ष सख्ती से नकारात्मक होगा, जिसका अर्थ है कि नकारात्मक जड़ें गायब हो जाती हैं

इस प्रकार, शोध के लिए 8 संख्याएँ शेष हैं:

हम हॉर्नर की योजना के अनुसार उन्हें क्रमिक रूप से "चार्ज" करते हैं। मुझे आशा है कि आप पहले से ही मानसिक गणना में महारत हासिल कर चुके हैं:

"दो" का परीक्षण करते समय भाग्य हमारा इंतजार कर रहा था। इस प्रकार, विचाराधीन समीकरण का मूल है, और

यह समीकरण का अध्ययन करना बाकी है . विवेचक के माध्यम से ऐसा करना आसान है, लेकिन मैं उसी योजना का उपयोग करके एक सांकेतिक परीक्षण आयोजित करूंगा। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि मुक्त पद 20 के बराबर है, जिसका अर्थ है प्रमेय 1संख्याएँ 8 और 40 संभावित जड़ों की सूची से बाहर हो जाती हैं, जिससे मान अनुसंधान के लिए रह जाते हैं (हॉर्नर की योजना के अनुसार एक को हटा दिया गया).

हम त्रिपद के गुणांकों को नई तालिका की शीर्ष पंक्ति में लिखते हैं और हम उसी "दो" से जाँच शुरू करते हैं. क्यों? और क्योंकि जड़ें एकाधिक हो सकती हैं, कृपया: - इस समीकरण में 10 समान जड़ें हैं। लेकिन आइए विचलित न हों:

और यहाँ, निस्संदेह, मैं थोड़ा झूठ बोल रहा था, यह जानते हुए कि जड़ें तर्कसंगत हैं। आख़िरकार, यदि वे तर्कहीन या जटिल होते, तो मुझे शेष सभी संख्याओं की असफल जाँच का सामना करना पड़ता। इसलिए, व्यवहार में, विवेचक द्वारा निर्देशित रहें।

उत्तर: तर्कसंगत जड़ें: 2, 4, 5

जिस समस्या का हमने विश्लेषण किया, उसमें हम भाग्यशाली थे, क्योंकि: ए) नकारात्मक मान तुरंत गायब हो गए, और बी) हमें जड़ बहुत जल्दी मिल गई (और सैद्धांतिक रूप से हम पूरी सूची की जांच कर सकते थे)।

लेकिन हकीकत में हालात काफी बदतर हैं. मैं आपको "द लास्ट हीरो" नामक एक रोमांचक गेम देखने के लिए आमंत्रित करता हूं:

समस्या 4

समीकरण के तर्कसंगत मूल ज्ञात कीजिए

समाधान: द्वारा प्रमेय 1काल्पनिक तर्कसंगत जड़ों के अंशों को शर्त को पूरा करना होगा (हम पढ़ते हैं "बारह को एल से विभाजित किया जाता है"), और हर स्थिति के अनुरूप हैं . इसके आधार पर, हमें दो सूचियाँ मिलती हैं:

"सूची एल":
और "सूची उम": (सौभाग्य से, यहाँ संख्याएँ प्राकृतिक हैं).

आइए अब सभी संभावित जड़ों की एक सूची बनाएं। सबसे पहले, हम "एल सूची" को विभाजित करते हैं। यह बिल्कुल साफ है कि वही नंबर मिलेंगे. सुविधा के लिए, आइए उन्हें एक तालिका में रखें:

कई अंशों को कम कर दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप वे मान पहले से ही "हीरो सूची" में हैं। हम केवल "नौसिखिया" जोड़ते हैं:

इसी प्रकार, हम उसी "सूची" को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और अंत में आगे

इस प्रकार, हमारे खेल में प्रतिभागियों की टीम पूरी हो गई है:


दुर्भाग्य से, इस समस्या में बहुपद "सकारात्मक" या "नकारात्मक" मानदंड को पूरा नहीं करता है, और इसलिए हम ऊपर या नीचे की पंक्ति को नहीं छोड़ सकते। आपको सभी नंबरों के साथ काम करना होगा।

तुम कैसा महसूस कर रहे हो? आइए, अपना सिर ऊपर उठाएं - एक और प्रमेय है जिसे लाक्षणिक रूप से "हत्यारा प्रमेय" कहा जा सकता है... ..."उम्मीदवार", बिल्कुल =)

लेकिन पहले आपको कम से कम एक के लिए हॉर्नर के आरेख को स्क्रॉल करना होगा पूरानंबर. परंपरागत रूप से, आइए एक लेते हैं। शीर्ष पंक्ति में हम बहुपद के गुणांक लिखते हैं और सब कुछ हमेशा की तरह है:

चूँकि चार स्पष्ट रूप से शून्य नहीं है, मान प्रश्न में बहुपद का मूल नहीं है। लेकिन वह हमारी बहुत मदद करेगी.

प्रमेय 2अगर कुछ के लिए सामान्य रूप मेंबहुपद का मान शून्येतर है: , तो इसकी तर्कसंगत जड़ें (अगर वे हैं)शर्त पूरी करो

हमारे मामले में और इसलिए सभी संभावित जड़ों को शर्त पूरी करनी चाहिए (चलिए इसे शर्त संख्या 1 कहते हैं). ये चार कई "उम्मीदवारों" के "हत्यारे" होंगे। प्रदर्शन के तौर पर, मैं कुछ जाँचें देखूँगा:

आइए "उम्मीदवार" की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, आइए इसे कृत्रिम रूप से एक अंश के रूप में प्रस्तुत करें, जिससे यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके। आइए परीक्षण अंतर की गणना करें: . चार को "माइनस दो" से विभाजित किया गया है:, जिसका अर्थ है कि संभावित रूट ने परीक्षण पास कर लिया है।

आइए मूल्य की जाँच करें। यहाँ परीक्षण अंतर है: . बेशक, और इसलिए दूसरा "विषय" भी सूची में बना हुआ है।

इस बहुपद में पूर्णांक गुणांक हैं। यदि एक पूर्णांक इस बहुपद का मूल है, तो यह संख्या 16 का भाजक है। इस प्रकार, यदि किसी दिए गए बहुपद के मूल पूर्णांक हैं, तो ये केवल संख्याएँ ±1 हो सकती हैं; ±2; ±4; ±8; ±16. प्रत्यक्ष सत्यापन से, हम आश्वस्त हैं कि संख्या 2 इस बहुपद का मूल है, अर्थात, x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), जहां Q (x) एक बहुपद है दूसरी डिग्री. परिणामस्वरूप, बहुपद गुणनखंडों में विघटित हो जाता है, जिनमें से एक (x – 2) है। बहुपद Q (x) का प्रकार ज्ञात करने के लिए हम तथाकथित हॉर्नर योजना का उपयोग करते हैं। इस पद्धति का मुख्य लाभ अंकन की सघनता और एक बहुपद को शीघ्रता से द्विपद में विभाजित करने की क्षमता है। वास्तव में, हॉर्नर की योजना समूहीकरण विधि को रिकॉर्ड करने का दूसरा रूप है, हालांकि, बाद वाले के विपरीत, यह पूरी तरह से गैर-दृश्य है। उत्तर (कारकीकरण) यहाँ स्वयं ही प्राप्त हो जाता है, और हम इसे प्राप्त करने की प्रक्रिया नहीं देखते हैं। हम हॉर्नर की योजना की कठोर पुष्टि में संलग्न नहीं होंगे, बल्कि केवल यह दिखाएंगे कि यह कैसे काम करती है।

इसके ऊपर की सेल से संख्या को निचली पंक्ति के दूसरे सेल में "स्थानांतरित" किया जाता है, यानी 1. फिर वे ऐसा करते हैं। समीकरण की जड़ (संख्या 2) को अंतिम लिखित संख्या (1) से गुणा किया जाता है और परिणाम को उस संख्या के साथ जोड़ा जाता है जो अगले मुक्त सेल के ऊपर शीर्ष पंक्ति में है, हमारे उदाहरण में हमारे पास है:

अपरिमेय संख्या- यह वास्तविक संख्या, जो तर्कसंगत नहीं है, अर्थात, भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां पूर्णांक हैं। एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बिना छायांकन के मोटे अक्षरों में बड़े लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है। इस प्रकार: , यानी कई अपरिमेय संख्याएँ हैं वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच अंतर.

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व के बारे में, अधिक सटीक रूप से इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत खंड प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग के किनारे की असंगतता, जो संख्या की अतार्किकता के बराबर है।

गुण

• किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं को केवल गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।
• अपरिमेय संख्याएँ उन परिमेय संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कट्स को परिभाषित करती हैं जिनकी निम्न वर्ग में सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और उच्च वर्ग में सबसे छोटी संख्या नहीं होती है।
• प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय है।
• प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजगणितीय या पारलौकिक होती है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
• अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय के समरूपी होता है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है और दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।

उदाहरण

तर्कहीन हैं:

अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

2 की जड़

आइए इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां एक पूर्णांक है और एक प्राकृतिक संख्या है। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम सम और है। इसे वहीं रहने दो जहां संपूर्ण है। तब

अत: सम का अर्थ सम और है। हमने पाया कि और सम हैं, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसका मतलब यह है कि मूल धारणा गलत थी, और यह एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 का द्विआधारी लघुगणक

आइए हम इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे भिन्न के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और को सकारात्मक चुना जा सकता है। तब

लेकिन सम और विषम. हमें एक विरोधाभास मिलता है.

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। .

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था, जिसने पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके यह प्रमाण पाया था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जो किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक में प्रवेश करती थी। हालाँकि, हिप्पासस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या सम और विषम दोनों होनी चाहिए। प्रमाण इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ एऔर बीजितना संभव हो उतना छोटा चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए² = 2 बी².
• क्योंकि ए- यहां तक ​​की, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• क्योंकि ए:बीअलघुकरणीय बीअजीब होना चाहिए.
• क्योंकि एयहां तक ​​कि, हम निरूपित करते हैं ए = 2य.
• तब ए² = 4 य² = 2 बी².
• बी² = 2 य², इसलिए बी- फिर भी बीयहां तक ​​की।
• हालाँकि, यह बात सिद्ध हो चुकी है बीविषम। विरोधाभास।

यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, बहुपदों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक उनकी जड़ों को खोजने की समस्या है। इस समस्या को हल करने के लिए, आप चयन विधि का उपयोग कर सकते हैं, अर्थात। यादृच्छिक रूप से एक संख्या लें और जांचें कि क्या यह किसी दिए गए बहुपद का मूल है।

इस मामले में, आप जल्दी से जड़ से "टक्कर" मार सकते हैं, अन्यथा आप इसे कभी नहीं पा सकेंगे। आख़िरकार, सभी संख्याओं की जाँच करना असंभव है, क्योंकि उनमें से अनगिनत संख्याएँ हैं।

यह दूसरी बात होगी यदि हम खोज क्षेत्र को सीमित करने में सक्षम होते, उदाहरण के लिए, यह जानने के लिए कि हम जिन जड़ों की तलाश कर रहे हैं, वे तीस निर्दिष्ट संख्याओं में से हैं। और तीस नंबरों के लिए आप जांच कर सकते हैं. ऊपर जो कुछ कहा गया है, उसके संबंध में यह कथन महत्वपूर्ण और दिलचस्प लगता है।

यदि अपरिवर्तनीय भिन्न l/m (l,m पूर्णांक हैं) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद f (x) का मूल है, तो इस बहुपद के अग्रणी गुणांक को m से विभाजित किया जाता है, और मुक्त पद को 1 से विभाजित किया जाता है।

वास्तव में, यदि f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, जहां an, an-1,...,a1, a0 पूर्णांक हैं, तो f (l/ m) =0, अर्थात an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को mn से गुणा करें। हमें anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 मिलता है।

यह संकेत करता है:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

हम देखते हैं कि पूर्णांक anln m से विभाज्य है। लेकिन l/m एक अप्रासंगिक अंश है, अर्थात। संख्याएँ l और m सहअभाज्य हैं, और फिर, जैसा कि पूर्णांकों की विभाज्यता के सिद्धांत से ज्ञात होता है, संख्याएँ ln और m भी सहअभाज्य हैं। तो, anln m से विभाज्य है और m, ln का सहअभाज्य है, जिसका अर्थ है कि an, m से विभाज्य है।

सिद्ध विषय हमें पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की तर्कसंगत जड़ों के लिए खोज क्षेत्र को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करने की अनुमति देता है। आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण से प्रदर्शित करें। आइए बहुपद f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 के परिमेय मूल ज्ञात करें। प्रमेय के अनुसार, इस बहुपद की परिमेय जड़ें l/m रूप के अप्रासंगिक अंशों में से हैं, जहां l मुक्त पद a0=8 का भाजक है, और m अग्रणी गुणांक a4=6 का भाजक है। इसके अलावा, यदि भिन्न l/m ऋणात्मक है, तो अंश को "-" चिह्न सौंपा जाएगा। उदाहरण के लिए, - (1/3) = (-1) /3. तो हम कह सकते हैं कि l संख्या 8 का एक भाजक है, और m संख्या 6 का एक धनात्मक भाजक है।

चूँकि संख्या 8 के भाजक ±1, ±2, ±4, ±8 हैं, और संख्या 6 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6 हैं, तो प्रश्न में बहुपद की तर्कसंगत जड़ें संख्याओं में से हैं ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3। आइए हम याद करें कि हमने केवल अघुलनशील भिन्नों को ही लिखा है।

इस प्रकार, हमारे पास बीस संख्याएँ हैं - जड़ों के लिए "उम्मीदवार"। जो कुछ बचा है वह उनमें से प्रत्येक की जांच करना और उन लोगों का चयन करना है जो वास्तव में जड़ें हैं। लेकिन फिर भी, आपको काफी जांच करनी होगी। लेकिन निम्नलिखित प्रमेय इस कार्य को सरल बनाता है।

यदि अपरिवर्तनीय भिन्न l/m पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद f (x) का मूल है, तो f (k) किसी भी पूर्णांक k के लिए l-km द्वारा विभाज्य है, बशर्ते कि l-km?0 हो।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, शेषफल के साथ f (x) को x-k से विभाजित करें। हमें एफ मिलता है (एक्स) = (एक्स-के) एस (एक्स) +एफ (क)।चूँकि f (x) पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है, इसलिए बहुपद s (x) भी है, और f (k) एक पूर्णांक है। मान लीजिए s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. फिर f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). आइए हम इस समानता में x=l/m रखें। यह मानते हुए कि f (l/m) =0, हमें मिलता है

एफ (के) = ((एल/एम) - के) (बीएन-1 (एल/एम) एन-1+बीएन-2 (एल/एम) एन-2+…+बी1 (एल/एम) +बी0) .

आइए अंतिम समानता के दोनों पक्षों को mn से गुणा करें:

एमएनएफ (के) = (एल-किमी) (बीएन-1एलएन-1+बीएन-2एलएन-2एम+…+बी1एलएमएन-2+बी0एमएन-1)।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्णांक mnf (k) l-km से विभाज्य है। लेकिन चूँकि l और m सहअभाज्य हैं, तो mn और l-km भी सहअभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि f (k) l-km से विभाज्य है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके तर्कसंगत जड़ों की खोज के दायरे को और कम कर देंगे। आइए हम इस प्रमेय को k=1 और k=-1 के लिए लागू करें, अर्थात। यदि अपरिवर्तनीय भिन्न l/m बहुपद f (x) का मूल है, तो f (1) / (l-m), और f (-1) / (l+m)। हम आसानी से पाते हैं कि हमारे मामले में f (1) = -5, और f (-1) = -15। ध्यान दें कि उसी समय हमने ±1 को विचार से बाहर कर दिया।

इसलिए, हमारे बहुपद की तर्कसंगत जड़ों को संख्याओं ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 के बीच खोजा जाना चाहिए। /3.

l/m=1/2 पर विचार करें। फिर l-m=-1 और f (1) =-5 को इस संख्या से विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, l+m=3 और f (1) =-15 भी 3 से विभाज्य है। इसका मतलब है कि अंश 1/2 मूल के लिए "उम्मीदवारों" के बीच रहता है।

मान लीजिए अब lm=- (1/2) = (-1) /2. इस मामले में, l-m=-3 और f (1) =-5, - 3 से विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि भिन्न - 1/2 इस बहुपद का मूल नहीं हो सकता है, और हम इसे आगे के विचार से बाहर कर देते हैं। आइए ऊपर लिखे प्रत्येक भिन्न की जांच करें और पता लगाएं कि आवश्यक जड़ें 1/2, ±2/3, 2, - 4 संख्याओं में से हैं।

इस प्रकार, काफी सरल तकनीक का उपयोग करके, हमने विचाराधीन बहुपद की तर्कसंगत जड़ों के लिए खोज क्षेत्र को काफी सीमित कर दिया है। खैर, शेष संख्याओं की जांच करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करेंगे:

तालिका 10

हमने पाया कि g (x) को x-2/3 से विभाजित करने पर शेषफल - 80/9 के बराबर होता है, यानी 2/3 बहुपद g (x) का मूल नहीं है, और इसलिए f (x) भी नहीं है।

इसके बाद, हम आसानी से पाते हैं कि - 2/3 बहुपद g (x) और g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) का मूल है। फिर f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). बहुपद x2+2x-4 के लिए आगे सत्यापन किया जा सकता है, जो निश्चित रूप से, g (x) की तुलना में सरल है या f (x) के लिए और भी अधिक सरल है। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि संख्याएँ 2 और - 4 मूल नहीं हैं।

तो, बहुपद f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 के दो परिमेय मूल हैं: 1/2 और - 2/3।

याद रखें कि ऊपर वर्णित विधि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के केवल परिमेय मूल ज्ञात करना संभव बनाती है। इस बीच, एक बहुपद में अपरिमेय जड़ें भी हो सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, उदाहरण में माने गए बहुपद की दो और जड़ें हैं: - 1±v5 (ये बहुपद x2+2x-4 की जड़ें हैं)। और, आम तौर पर कहें तो, एक बहुपद में तर्कसंगत जड़ें बिल्कुल नहीं हो सकती हैं।

अब चलिए कुछ टिप्स देते हैं.

ऊपर साबित किए गए दूसरे प्रमेय का उपयोग करके बहुपद f (x) की जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" का परीक्षण करते समय, बाद वाले का उपयोग आमतौर पर k=±1 मामलों के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि l/m एक "उम्मीदवार" मूल है, तो जांचें कि क्या f (1) और f (-1) क्रमशः l-m और l+m से विभाज्य हैं। लेकिन ऐसा हो सकता है कि, उदाहरण के लिए, f (1) = 0, यानी 1 एक मूल है, और फिर f (1) किसी भी संख्या से विभाज्य है, और हमारा चेक अर्थहीन हो जाता है। इस स्थिति में, आपको f (x) को x-1 से विभाजित करना चाहिए, अर्थात। f(x) = (x-1)s(x) प्राप्त करें, और बहुपद s(x) के लिए परीक्षण करें। साथ ही, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि हम बहुपद f (x) - x1=1 का एक मूल पहले ही ढूंढ चुके हैं। यदि, तर्कसंगत जड़ों पर दूसरे प्रमेय का उपयोग करने के बाद शेष जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" की जांच करते समय, हॉर्नर की योजना का उपयोग करके हम पाते हैं कि, उदाहरण के लिए, एल/एम एक जड़ है, तो इसकी बहुलता पाई जानी चाहिए। यदि यह, मान लीजिए, k के बराबर है, तो f (x) = (x-l/m) ks (x), और s (x) के लिए आगे का परीक्षण किया जा सकता है, जिससे गणना कम हो जाती है।

इस प्रकार, हमने पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के परिमेय मूल ज्ञात करना सीख लिया है। यह पता चलता है कि ऐसा करने से हमने परिमेय गुणांक वाले बहुपद के अपरिमेय मूल ज्ञात करना सीख लिया है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास एक बहुपद f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 है, तो, गुणांकों को एक सामान्य हर में लाते हुए और इसे कोष्ठक से बाहर रखते हुए, हम f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) प्राप्त करें। यह स्पष्ट है कि बहुपद f (x) की जड़ें कोष्ठक में बहुपद की जड़ों के साथ मेल खाती हैं, और इसके गुणांक पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि पाप100 एक अपरिमेय संख्या है। आइए सुप्रसिद्ध सूत्र syn3?=3sin?-4sin3? का उपयोग करें। अत: syn300=3sin100-4sin3100. यह मानते हुए कि syn300=0.5 और सरल परिवर्तन करने पर, हमें 8sin3100-6sin100+1=0 मिलता है। इसलिए, syn100 बहुपद f (x) =8x3-6x+1 का मूल है। यदि हम इस बहुपद की तर्कसंगत जड़ों की तलाश करें, तो हमें विश्वास हो जाएगा कि कोई भी नहीं है। इसका मतलब यह है कि मूल syn100 एक परिमेय संख्या नहीं है, अर्थात। पाप100 एक अपरिमेय संख्या है.

चर x में एक बहुपद इस रूप की अभिव्यक्ति है: anxn+an-1 xn-1+। . . +ए 1 एक्स+ए 0, जहां एन एक प्राकृतिक संख्या है; аn, an-1, . . . , ए 1, ए 0 - कोई भी संख्या जिसे इस बहुपद का गुणांक कहा जाता है। भाव anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 को बहुपद के पद कहा जाता है, और 0 मुक्त पद है। an xn का गुणांक है, an-1 xn-1 का गुणांक है, आदि। एक बहुपद जिसमें सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं, शून्य कहलाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद 0 x2+0 x+0 शून्य है। बहुपद के अंकन से यह स्पष्ट है कि इसमें कई सदस्य होते हैं। यहीं से शब्द ‹‹बहुपद›› (कई पद) आता है। कभी-कभी एक बहुपद को बहुपद कहा जाता है। यह शब्द ग्रीक शब्द πολι - अनेक और νομχ - सदस्य से आया है।

एक चर x में एक बहुपद को निरूपित किया जाता है: . f (x), g (x), h (x), आदि उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त बहुपदों में से पहले को f (x) दर्शाया गया है, तो हम लिख सकते हैं: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. बहुपद h(x) को बहुपद f(x) और g(x) का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कहा जाता है यदि यह f(x), g को विभाजित करता है (x) और उनके प्रत्येक सामान्य विभाजक। 2. घात n के क्षेत्र P से गुणांक वाले एक बहुपद f(x) को क्षेत्र P पर न्यूनीकरणीय कहा जाता है यदि n से कम घात वाले बहुपद h(x), g(x) О P[x] मौजूद हों। वह f(x) = h( x)g(x).

यदि कोई बहुपद f (x) =anxn+an-1 xn-1+ है। . . +a 1 x+a 0 और an≠ 0, तो संख्या n को बहुपद f (x) की घात कहा जाता है (या वे कहते हैं: f (x) - nवीं घात) और st लिखें। एफ(एक्स)=एन. इस मामले में, an को अग्रणी गुणांक कहा जाता है, और anxn इस बहुपद का अग्रणी पद है। उदाहरण के लिए, यदि f (x) =5 x 4 -2 x+3, तो कला। f (x) =4, अग्रणी गुणांक - 5, अग्रणी पद - 5 x4. किसी बहुपद की घात उसके गुणांकों की सबसे बड़ी गैर-शून्य संख्या होती है। घात शून्य वाले बहुपद शून्य के अलावा अन्य संख्याएँ हैं। , शून्य बहुपद की कोई डिग्री नहीं होती; बहुपद f (x) =a, जहां a एक गैर-शून्य संख्या है और इसकी घात 0 है; किसी अन्य बहुपद की घात चर x के सबसे बड़े घातांक के बराबर होती है, जिसका गुणांक शून्य के बराबर होता है।

बहुपदों की समानता. दो बहुपद f (x) और g (x) को समान माना जाता है यदि चर x और मुक्त पदों की समान शक्तियों के लिए उनके गुणांक समान हैं (उनके संगत गुणांक समान हैं)। एफ (एक्स) =जी (एक्स). उदाहरण के लिए, बहुपद f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 और g(x) =2 x 23 x+1 समान नहीं हैं, उनमें से पहले का गुणांक x3 1 के बराबर है, और दूसरे में शून्य है (स्वीकृत परंपराओं के अनुसार, हम लिख सकते हैं: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1। इस मामले में: f (x) ≠g (x)। बहुपद समान नहीं हैं: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, क्योंकि x के लिए उनके गुणांक भिन्न हैं।

लेकिन बहुपद f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 और g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 बराबर हैं यदि और केवल यदि a = 3, a b = -2. मान लीजिए बहुपद f (x) =anxn+an-1 xn-1+ दिया गया है। . . +a 1 x+a 0 और कुछ संख्या c. संख्या f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 को x=c पर बहुपद f (x) का मान कहा जाता है। इस प्रकार, f (c) को खोजने के लिए, आपको बहुपद में x के स्थान पर c को प्रतिस्थापित करना होगा और आवश्यक गणनाएँ करनी होंगी। उदाहरण के लिए, यदि f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, तो f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. एक बहुपद चर x के विभिन्न मानों के लिए अलग-अलग मान ले सकता है। संख्या c को बहुपद f (x) का मूल कहा जाता है यदि f (c) =0.

आइए हम दो कथनों के बीच के अंतर पर ध्यान दें: "बहुपद f (x) शून्य के बराबर है (या, जो समान है, बहुपद f (x) शून्य है)" और "बहुपद f (x) का मान ) x = c पर शून्य के बराबर है। उदाहरण के लिए, बहुपद f (x) =x 2 -1 शून्य के बराबर नहीं है, इसमें गैर-शून्य गुणांक हैं, और x=1 पर इसका मान शून्य के बराबर है। एफ (एक्स) ≠ 0, और एफ (1) =0. बहुपदों की समानता की अवधारणा और एक बहुपद के मान के बीच घनिष्ठ संबंध है। यदि दो समान बहुपद f (x) और g (x) दिए गए हैं, तो उनके संगत गुणांक बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक संख्या c के लिए f (c) = g (c)।

बहुपदों पर संक्रियाएँ कोष्ठक खोलने और समान पद लाने के सामान्य नियमों का उपयोग करके बहुपदों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है। परिणाम पुनः एक बहुपद है। इन संक्रियाओं के ज्ञात गुण हैं: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

मान लीजिए दो बहुपद f(x) =anxn+an-1 xn-1+ दिए गए हैं। . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, और g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +बी 1 एक्स+बीएम≠ 0. यह स्पष्ट है कि कला। f(x)=n, और कला। g(x)=m. यदि हम इन दो बहुपदों को गुणा करते हैं, तो हमें f(x) g(x)=anbmxm+n+ के रूप का एक बहुपद प्राप्त होता है। . . +a 0 b 0. चूँकि an≠ 0 और bn≠ 0, तो anbm≠ 0, जिसका अर्थ है st। (f(x)g(x))=m+n. इससे एक महत्वपूर्ण कथन निकलता है।

दो गैर-शून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री गुणनखंडों की डिग्री के योग के बराबर होती है, कला। (एफ (एक्स) जी (एक्स)) = सेंट। एफ (एक्स) +सेंट। जी(एक्स). दो गैर-शून्य बहुपदों के गुणनफल का अग्रणी पद (गुणांक) गुणनखंडों के अग्रणी पदों (गुणांक) के गुणनफल के बराबर होता है। दो बहुपदों के गुणनफल का मुक्त पद गुणनखंडों के मुक्त पदों के गुणनफल के बराबर होता है। बहुपद f (x), g (x) और f (x) ±g (x) की घातें निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं: कला। (एफ (एक्स) ±जी (एक्स)) ≤ अधिकतम (सेंट एफ (एक्स), सेंट जी (एक्स))।

बहुपद f (x) और g (x) का अध्यारोपण कहलाता है। एक बहुपद f (g (x)) को दर्शाता है, जो तब प्राप्त होता है जब बहुपद f (x) में हम x के स्थान पर बहुपद g (x) को प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f(x)=x 2+2 x-1 और g(x) =2 x+3, तो f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. यह देखा जा सकता है कि f (g (x)) ≠g (f (x)), यानी, बहुपद f (x), g (x) का सुपरपोजिशन और बहुपद g (x), f ( का सुपरपोजिशन) x) भिन्न हैं। इस प्रकार, सुपरपोज़िशन ऑपरेशन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है।

, शेषफल के साथ विभाजन एल्गोरिथ्म किसी भी f(x), g(x) के लिए, q(x) (भागफल) और r(x) (शेष) मौजूद है जैसे कि f(x)=g(x)q(x)+ r(x), और डिग्री r(x)

बहुपद के भाजक बहुपद f(x) का भाजक एक बहुपद g(x) होता है, जैसे कि f(x)=g(x)q(x). दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक बहुपद f(x) और g(x) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक उनका सामान्य भाजक d(x) है जो उनके किसी भी अन्य सामान्य भाजक से विभाज्य है।

बहुपद f(x) और g(x) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम (अनुक्रमिक विभाजन एल्गोरिदम) फिर f(x) और g(x) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

भिन्न को कम करें समाधान: यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके इन बहुपदों की जीसीडी खोजें 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 इसलिए, बहुपद (- x2 – 3 x – 2) अंश का gcd है और किसी दिए गए भिन्न का हर. इस बहुपद से हर को विभाजित करने पर परिणाम ज्ञात होता है।

आइए अंश को विभाजित करने का परिणाम ज्ञात करें। x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 इस प्रकार, उत्तर:

हॉर्नर की योजना एक बहुपद f(x) को शेषफल के साथ एक गैरशून्य बहुपद g(x) से विभाजित करने का अर्थ है f(x) को f(x)=g(x) s(x)+r(x) ​​के रूप में प्रस्तुत करना, जहां s (x ) और r(x) बहुपद हैं और या तो r(x)=0 या st। आर(एक्स)

इस संबंध के बाएँ और दाएँ पक्ष के बहुपद बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि उनके संगत गुणांक बराबर हैं। आइए पहले कोष्ठकों को खोलकर और इस समानता के दाईं ओर समान पदों को लाकर उनकी बराबरी करें। हम पाते हैं: ए= बीएन-1, ए-1 = बीएन-2 - सीबीएन-1, ए-2 = बीएन-3 - सीबीएन-2, ए 2 = बी 1 - सीबी 2, ए 1 = बी 0 - सीबी 1 , ए 0 = आर - सीबी 0. याद रखें कि हमें अपूर्ण भागफल, यानी इसके गुणांक, और शेषफल को खोजने की आवश्यकता है। आइए हम उन्हें प्राप्त समानताओं से व्यक्त करें: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , बी 0 = सीबी 1 +ए 1, आर = सीबी 0 + ए 0। हमें ऐसे सूत्र मिले हैं जिनका उपयोग आंशिक भागफल एस (एक्स) और शेष आर के गुणांक की गणना करने के लिए किया जा सकता है। इस मामले में, गणना निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत की गई है; इसे हॉर्नर योजना कहा जाता है।

तालिका 1. गुणांक f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 गुणांक s (x) शेष इस तालिका की पहली पंक्ति में, बहुपद f (x) के सभी गुणांकों को एक पंक्ति में लिखें, पहली कोशिका को खाली छोड़ दें। दूसरी पंक्ति में, पहले सेल में, संख्या c लिखें। इस पंक्ति के शेष कक्षों को अपूर्ण भागफल s (x) और शेष r के गुणांकों की एक-एक करके गणना करके भरा जाता है। दूसरे सेल में, गुणांक bn-1 लिखें, जो, जैसा कि हमने स्थापित किया है, a के बराबर है।

प्रत्येक बाद के सेल में गुणांक की गणना निम्नलिखित नियम के अनुसार की जाती है: संख्या c को पिछले सेल की संख्या से गुणा किया जाता है, और भरे जाने वाले सेल के ऊपर की संख्या को परिणाम में जोड़ा जाता है। याद रखने के लिए, मान लीजिए, पाँचवीं कोशिका, अर्थात्, इसमें गुणांक ज्ञात करने के लिए, आपको चौथी कोशिका की संख्या से c को गुणा करना होगा, और परिणाम में पाँचवीं कोशिका के ऊपर की संख्या को जोड़ना होगा। आइए, उदाहरण के लिए, हॉर्नर की योजना का उपयोग करके, बहुपद f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 को शेषफल के साथ x-2 से विभाजित करें। इस आरेख की पहली पंक्ति भरते समय, हमें बहुपद के शून्य गुणांकों के बारे में नहीं भूलना चाहिए। तो, गुणांक f (x) संख्याएँ 3, 0, - 5, 3, - 1 हैं। और आपको यह भी याद रखना चाहिए कि अपूर्ण भागफल की घात बहुपद f (x) की घात से एक कम है।

इसलिए, हम हॉर्नर की योजना के अनुसार विभाजन करते हैं: तालिका 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 हम आंशिक भागफल प्राप्त करते हैं s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 और शेषफल r=33. ध्यान दें कि उसी समय हमने बहुपद f (2) =33 के मान की गणना की। आइए अब उसी बहुपद f (x) को शेषफल के साथ x+2 से विभाजित करें। इस मामले में c=-2. हमें मिलता है: तालिका 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 परिणामस्वरूप, हमारे पास f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- है) 11) +21 .

बहुपदों के मूल मान लीजिए c1, c2, …, cm बहुपद f (x) के विभिन्न मूल हैं। फिर f (x) को x-c1 से विभाजित किया जाता है, अर्थात f (x) = (x-c 1) s 1 (x)। आइए इस समानता में x=c2 रखें। हमें f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) और, इसलिए f (c 2) =0, फिर (c2 -c1) s 1 (c 2) =0 मिलता है। लेकिन с2≠с1, यानी с2 -с1≠ 0, जिसका अर्थ है s 1 (c 2) =0. इस प्रकार, c2 बहुपद s 1 (x) का मूल है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि s 1 (x) x-c2 से विभाज्य है, अर्थात s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x)। आइए हम s 1 (x) के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को समानता f (x) = (x-c 1) s 1 (x) में प्रतिस्थापित करें। हमारे पास f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x) है। अंतिम समानता में x=c3 रखने पर, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, हम पाते हैं कि c3 बहुपद s 2 (x) का मूल है। इसका मतलब है s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), और फिर f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), आदि। इस तर्क को जारी रखते हुए शेष जड़ें c4, c5, ..., सेमी, हम अंततः f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) प्राप्त करते हैं, अर्थात नीचे दिया गया कथन सिद्ध होता है।

यदि с1, с2, …, сm बहुपद f (x) की अलग-अलग जड़ें हैं, तो f (x) को f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x) के रूप में दर्शाया जा सकता है ). इससे एक महत्वपूर्ण परिणाम निकलता है। यदि c1, c2, ..., cm बहुपद f(x) के विभिन्न मूल हैं, तो f(x) को बहुपद (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) से विभाजित किया जाता है। एक शून्येतर बहुपद f (x) के विभिन्न मूलों की संख्या उसकी घात से अधिक नहीं होती है। वास्तव में, यदि f(x) की कोई जड़ें नहीं हैं, तो यह स्पष्ट है कि प्रमेय सत्य है, क्योंकि कला। f(x) ≥ 0. अब मान लीजिए कि f(x) की जड़ें m हैं с1, с2, …, сm, और वे सभी अलग-अलग हैं। फिर, जो अभी सिद्ध हुआ है, उसके अनुसार f (x) को (x-c1) (x -c2)…(x-cm) में विभाजित किया गया है। इस मामले में, कला. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, यानी कला। f(x)≥m, और m प्रश्न में बहुपद की जड़ों की संख्या है। लेकिन शून्य बहुपद के अनंत रूप से कई मूल होते हैं, क्योंकि किसी भी x के लिए इसका मान 0 के बराबर होता है। विशेष रूप से, इस कारण से इसकी कोई विशिष्ट डिग्री निर्धारित नहीं है। निम्नलिखित कथन अभी सिद्ध किए गए प्रमेय से अनुसरण करता है।

यदि एक बहुपद f(x) n से अधिक घात वाला बहुपद नहीं है और उसके मूल n से अधिक हैं, तो f(x) एक शून्य बहुपद है। वास्तव में, इस कथन की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि या तो f (x) एक शून्य बहुपद है, या कला। एफ (एक्स) ≤n. यदि हम मान लें कि बहुपद f (x) शून्य नहीं है, तो कला। f (x) ≤n, और फिर f (x) के अधिकतम n मूल हैं। हम एक विरोधाभास पर पहुँचते हैं। इसका मतलब है कि f(x) एक गैर-शून्य बहुपद है। मान लीजिए कि f (x) और g (x) अधिकतम n डिग्री वाले अशून्य बहुपद हैं। यदि ये बहुपद चर x के n+1 मानों के लिए समान मान लेते हैं, तो f (x) =g (x)।

इसे सिद्ध करने के लिए, बहुपद h (x) =f (x) - g (x) पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि या तो h (x) =0 या st. h (x) ≤n, अर्थात h (x) n से अधिक घात वाला बहुपद नहीं है। अब मान लीजिए कि संख्या c इस प्रकार है कि f (c) = g (c)। तब h (c) = f (c) - g (c) = 0, अर्थात c बहुपद h (x) का मूल है। इसलिए, बहुपद h (x) के n+1 मूल हैं, और जब, जैसा कि अभी सिद्ध हुआ, h (x) =0, यानी f (x) =g (x)। यदि f (x) और g (x) वेरिएबल x के सभी मानों के लिए समान मान लेते हैं, तो ये बहुपद बराबर हैं

एक बहुपद के अनेक मूल यदि कोई संख्या c एक बहुपद f (x) का मूल है, तो इस बहुपद को x-c से विभाज्य माना जाता है। ऐसा हो सकता है कि f (x) बहुपद x-c की कुछ घात से भी विभाज्य हो, यानी (x-c) k, k>1 से। इस स्थिति में, c को एकाधिक रूट कहा जाता है। आइए हम परिभाषा को और अधिक स्पष्ट रूप से तैयार करें। एक संख्या c को एक बहुपद f (x) का गुणन k (k-गुना मूल) का मूल कहा जाता है यदि बहुपद (x - c) k, k>1 (k एक प्राकृतिक संख्या है) से विभाज्य है, लेकिन विभाज्य नहीं है (x - c) k+ 1 द्वारा। यदि k=1, तो c को सरल मूल कहा जाता है, और यदि k>1, तो इसे बहुपद f (x) का गुणज मूल कहा जाता है।

यदि बहुपद f(x) को f(x)=(x-c)mg(x) के रूप में दर्शाया जाता है, m एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह (x-c) m+1 से विभाज्य है यदि और केवल यदि g(x) विभाज्य है एक्स-एस पर. वास्तव में, यदि g(x) x-c से विभाज्य है, अर्थात g(x)=(x-c)s(x), तो f(x)=(x-c) m+1 s(x), और इसका अर्थ है f(x) ) (x-c) m+1 से विभाज्य है। इसके विपरीत, यदि f(x) (x-c) m+1 से विभाज्य है, तो f(x)=(x-c) m+1 s(x). फिर (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) और (x-c)m से कमी के बाद हमें g(x)=(x-c)s(x) मिलता है। इसका तात्पर्य यह है कि g(x) x-c से विभाज्य है।

उदाहरण के लिए, आइए जानें कि क्या संख्या 2 बहुपद f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 का मूल है, और यदि हां, तो इसकी बहुलता ज्ञात करें। पहले प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए हॉर्नर सर्किट का उपयोग करके जांच करें कि क्या f (x) x-2 से विभाज्य है। हमारे पास है: तालिका 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 जैसा कि आप देख सकते हैं, f(x) को x-2 से विभाजित करने पर शेषफल 0 के बराबर है, यानी, यह है x-2 से विभाजित। इसका मतलब यह है कि 2 इस बहुपद का मूल है। इसके अलावा, हमें वह मिला f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12)। अब आइए जानें कि क्या f(x) (x-2) 2 पर है। यह निर्भर करता है, जैसा कि हमने अभी साबित किया है, बहुपद g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x की विभाज्यता पर -12 बटा x-2.

आइए फिर से हॉर्नर की योजना का उपयोग करें: तालिका 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 हमने पाया कि g(x) x-2 से विभाज्य है और g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). फिर f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). तो f(x) (x-2)2 से विभाज्य है, अब हमें यह पता लगाना होगा कि क्या f(x) (x-2)3 से विभाज्य है। ऐसा करने के लिए, आइए जांचें कि क्या h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6, x-2 से विभाज्य है: तालिका 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 हम पाते हैं कि h(x ) x-2 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि f(x) को (x-2) 3, और f(x)=(x-2)3(x 2+x-3) से विभाजित किया गया है।

इसके बाद, हम इसी तरह जांचते हैं कि क्या f(x) (x-2)4 से विभाज्य है, यानी कि क्या s(x)=x 2+x-3 x-2 से विभाज्य है: तालिका 7. 2 1 1 1 3 -3 3 हम पाते हैं कि s(x) को x-2 से विभाजित करने पर शेषफल 3 के बराबर होता है, अर्थात s(x) x-2 से विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि f(x) (x-2)4 से विभाज्य नहीं है। इस प्रकार, f(x) (x-2)3 से विभाज्य है लेकिन (x-2)4 से विभाज्य नहीं है। इसलिए, संख्या 2 बहुपद f(x) के गुणन 3 का मूल है।

आमतौर पर, बहुलता के लिए मूल की जाँच एक तालिका में की जाती है। इस उदाहरण के लिए, यह तालिका इस तरह दिखती है: तालिका 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 3 16 6 0 -12 0 0 दूसरे शब्दों में, हॉर्नर की बहुपद f (x) को x-2 से विभाजित करने की योजना के अनुसार, दूसरी पंक्ति में हमें बहुपद g (x) के गुणांक मिलते हैं। फिर हम इस दूसरी पंक्ति को नई हॉर्नर प्रणाली की पहली पंक्ति मानते हैं और g (x) को x-2 आदि से विभाजित करते हैं। हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हमें शून्य से भिन्न शेषफल नहीं मिल जाता। इस मामले में, जड़ की बहुलता प्राप्त शून्य अवशेषों की संख्या के बराबर है। अंतिम गैर-शून्य शेषफल वाली रेखा में f (x) को (x-2) 3 से विभाजित करने पर भागफल के गुणांक भी शामिल होते हैं।

अब, बहुलता के मूल की जाँच के लिए प्रस्तावित योजना का उपयोग करके, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करेंगे। बहुपद f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 के बहुपद a और b के लिए बहुपद 2 के मूल के रूप में संख्या - 2 है? चूँकि मूल - 2 की बहुलता 2 के बराबर होनी चाहिए, तो, प्रस्तावित योजना के अनुसार x+2 से विभाजित करने पर, हमें दो बार 0 का शेषफल प्राप्त करना चाहिए, और तीसरी बार - शून्य से भिन्न शेषफल प्राप्त करना चाहिए। हमारे पास तालिका 9 है। -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

इस प्रकार, संख्या - 2 मूल बहुपद यदि और केवल यदि के गुणन 2 का मूल है

एक बहुपद के परिमेय मूल यदि अप्रासंगिक अंश l/m (l, m पूर्णांक हैं) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद f (x) का मूल है, तो इस बहुपद के अग्रणी गुणांक को m से विभाजित किया जाता है, और मुक्त पद है 1 से विभाजित। वास्तव में, यदि f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, जहां an, an-1,। . . , a 1, a 0 पूर्णांक हैं, तो f(l/m) =0, अर्थात an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+। . . +ए 1 एल/एम+ए 0=0. आइए इस समानता के दोनों पक्षों को mn से गुणा करें। हमें anln+an-1 ln-1 m+ प्राप्त होता है। . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. इसका तात्पर्य है anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1)।

हम देखते हैं कि पूर्णांक anln m से विभाज्य है। लेकिन l/m एक अप्रासंगिक भिन्न है, अर्थात संख्याएँ l और m सहअभाज्य हैं, और फिर, जैसा कि पूर्णांकों की विभाज्यता के सिद्धांत से ज्ञात होता है, संख्याएँ ln और m भी सहअभाज्य हैं। तो, anln m से विभाज्य है और m, ln का सहअभाज्य है, जिसका अर्थ है कि an, m से विभाज्य है। आइए बहुपद f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 के परिमेय मूल ज्ञात करें। प्रमेय के अनुसार, इस बहुपद की परिमेय जड़ें l/m रूप के अप्रासंगिक अंशों में से हैं, जहां l मुक्त पद a 0=8 का भाजक है, और m अग्रणी गुणांक a 4=6 का भाजक है . इसके अलावा, यदि भिन्न l/m ऋणात्मक है, तो अंश को "-" चिह्न सौंपा जाएगा। उदाहरण के लिए, - (1/3) = (-1) /3. तो हम कह सकते हैं कि l संख्या 8 का एक भाजक है, और m संख्या 6 का एक धनात्मक भाजक है।

चूँकि संख्या 8 के भाजक ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 हैं, और संख्या 6 के धनात्मक भाजक 1, 2, 3, 6 हैं, तो प्रश्न में बहुपद की तर्कसंगत जड़ें संख्याओं में से हैं ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3। आइए हम याद करें कि हमने केवल अघुलनशील भिन्नों को ही लिखा है। इस प्रकार, हमारे पास बीस संख्याएँ हैं - जड़ों के लिए "उम्मीदवार"। जो कुछ बचा है वह उनमें से प्रत्येक की जांच करना और उन लोगों का चयन करना है जो वास्तव में जड़ें हैं। निम्नलिखित प्रमेय इस कार्य को सरल बनाता है। यदि अपरिवर्तनीय भिन्न l/m पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद f (x) का मूल है, तो f (k) किसी भी पूर्णांक k के लिए l-km द्वारा विभाज्य है, बशर्ते कि l-km≠ 0 हो।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, शेषफल के साथ f(x) को x-k से विभाजित करें। हमें f(x)=(x-k)s(x)+f(k) मिलता है। चूँकि f(x) पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है, इसलिए बहुपद s(x) भी है, और f(k) एक पूर्णांक है। चलो s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. फिर f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +बी 1 एक्स+बी 0). आइए इस समानता में 1 x=l/m रखें। उस पर विचार करते हुए f(l/m)=0, हमें f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- मिलता है 2+…+बी 1(एल/एम)+बी 0). आइए अंतिम समानता के दोनों पक्षों को mn से गुणा करें: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्णांक mnf (k) l-km से विभाज्य है। लेकिन चूँकि l और m सहअभाज्य हैं, तो mn और l-km भी सहअभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि f(k) l-km से विभाज्य है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए अपने उदाहरण पर लौटें और, सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके, हम तर्कसंगत जड़ों की खोज के दायरे को और कम कर देंगे। आइए हम इस प्रमेय को k=1 और k=-1 के लिए लागू करें, अर्थात यदि अपरिवर्तनीय भिन्न l/m बहुपद f(x) का मूल है, तो f(1)/(l-m), और f(-1) /(एल +एम). हम आसानी से पाते हैं कि हमारे मामले में f(1)=-5, और f(-1)= -15. ध्यान दें कि उसी समय हमने ± 1 को विचार से बाहर कर दिया। इसलिए, हमारे बहुपद की तर्कसंगत जड़ों को संख्याओं ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, के बीच खोजा जाना चाहिए। ± 4/3, ± 8 /3. l/m=1/2 पर विचार करें। फिर l-m=-1 और f (1) =-5 को इस संख्या से विभाजित किया जाता है। इसके अलावा, l+m=3 और f (1) =-15 भी 3 से विभाज्य है। इसका मतलब है कि अंश 1/2 मूल के लिए "उम्मीदवारों" के बीच रहता है।

चलो अब lm=-(1/2)=(-1)/2. इस मामले में, l-m=-3 और f (1) =-5, - 3 से विभाज्य नहीं है। इसका मतलब है कि भिन्न -1/2 इस बहुपद का मूल नहीं हो सकता है, और हम इसे आगे के विचार से बाहर कर देते हैं। आइए ऊपर लिखे गए प्रत्येक भिन्न की जांच करें और पता लगाएं कि आवश्यक जड़ें 1/2, ± 2/3, 2, - 4 संख्याओं में से हैं। इस प्रकार, एक काफी सरल तकनीक का उपयोग करके, हमने तर्कसंगत के लिए खोज क्षेत्र को काफी कम कर दिया है प्रश्न में बहुपद की जड़ें। खैर, शेष संख्याओं की जांच करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करेंगे: तालिका 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

हम देखते हैं कि 1/2 बहुपद f(x) का मूल है और f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). यह स्पष्ट है कि बहुपद f (x) की अन्य सभी जड़ें बहुपद g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 की जड़ों के साथ मेल खाती हैं, जिसका अर्थ है कि जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" का आगे सत्यापन इस बहुपद के लिए किया जा सकता है। हमने पाया: तालिका 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 हमने पाया कि g(x) को x-2/3 से विभाजित करने पर शेषफल - 80/9 के बराबर है, यानी 2/3 बहुपद g(x) का मूल नहीं है, और इसलिए f(x) भी नहीं है। आगे हम पाते हैं कि - 2/3 बहुपद g(x) का मूल है और g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4)।

फिर f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). बहुपद x 2+2 x-4 के लिए आगे सत्यापन किया जा सकता है, जो निश्चित रूप से, g (x) या इससे भी अधिक, f (x) की तुलना में सरल है। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि संख्याएँ 2 और - 4 मूल नहीं हैं। तो, बहुपद f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 के दो तर्कसंगत मूल हैं: 1/2 और - 2/3। यह विधि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के केवल परिमेय मूल ज्ञात करना संभव बनाती है। इस बीच, एक बहुपद में अपरिमेय जड़ें भी हो सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, उदाहरण में माने गए बहुपद की दो और जड़ें हैं: - 1±√ 5 (ये बहुपद x2+2 x-4 की जड़ें हैं)। एक बहुपद में तर्कसंगत जड़ें बिल्कुल नहीं हो सकती हैं।

ऊपर साबित किए गए दूसरे प्रमेय का उपयोग करके बहुपद f(x) के "उम्मीदवार" मूलों का परीक्षण करते समय, बाद वाले का उपयोग आमतौर पर k = ± 1 के मामलों के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि l/m एक "उम्मीदवार" मूल है, तो जांचें कि क्या f( 1) और f (-1) क्रमशः l-m और l+m द्वारा हैं। लेकिन ऐसा हो सकता है कि, उदाहरण के लिए, f(1) =0, यानी 1 एक मूल है, और फिर f(1) किसी भी संख्या से विभाज्य है, और हमारा चेक अर्थहीन हो जाता है। इस मामले में, आपको f(x) को x-1 से विभाजित करना चाहिए, यानी f(x)=(x-1)s(x) प्राप्त करना चाहिए, और बहुपद s(x) के लिए परीक्षण करना चाहिए। साथ ही, हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि हम बहुपद f(x)-x 1=1 का एक मूल पहले ही ढूंढ चुके हैं। यदि हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करके तर्कसंगत जड़ों पर दूसरे प्रमेय का उपयोग करने के बाद शेष जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" की जांच करते हैं, तो हम पाते हैं कि, उदाहरण के लिए, एल/एम एक जड़ है, तो इसकी बहुलता पाई जानी चाहिए। यदि यह, मान लीजिए, k के बराबर है, तो f(x)=(x-l/m) ks (x), और आगे का परीक्षण s(x) पर किया जा सकता है, जिससे गणना कम हो जाती है।

समाधान। चर y=2 x को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम उच्चतम डिग्री पर एक के बराबर गुणांक वाले बहुपद पर आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले अभिव्यक्ति को 4 से गुणा करें। यदि परिणामी फ़ंक्शन में पूर्णांक जड़ें हैं, तो वे मुक्त पद के विभाजकों में से हैं। आइए उन्हें लिखें: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

आइए हम इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन g(y) के मानों की क्रमिक रूप से गणना करें जब तक कि हम शून्य तक नहीं पहुंच जाते। अर्थात्, y=-5 एक मूल है और इसलिए मूल फलन का मूल है। आइए हम एक स्तंभ (कोने) का उपयोग करके बहुपद को द्विपद से विभाजित करें

शेष विभाजकों की जाँच जारी रखना उचित नहीं है, क्योंकि परिणामी द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित करना आसान है। इसलिए,

एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों और न्यूटन के द्विपद का उपयोग करना कभी-कभी एक बहुपद की उपस्थिति इसका गुणनखंड करने का एक तरीका सुझाती है। उदाहरण के लिए, सरल परिवर्तनों के बाद, गुणांकों को न्यूटन के द्विपद के गुणांकों के लिए पास्कल के त्रिकोण से एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध किया जाता है। उदाहरण। बहुपद का गुणनखंड करें.

समाधान। आइए अभिव्यक्ति को इस रूप में रूपांतरित करें: कोष्ठक में योग के गुणांकों का क्रम स्पष्ट रूप से इंगित करता है कि यह इसलिए है, अब हम वर्गों के अंतर सूत्र को लागू करते हैं: दूसरे कोष्ठक में अभिव्यक्ति की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और बहुपद के लिए से पहले ब्रैकेट में हम एक बार फिर वर्गों के अंतर का फॉर्मूला लागू करते हैं

विएटा सूत्र एक बहुपद के गुणांकों को उसकी जड़ों के माध्यम से व्यक्त करते हैं। किसी बहुपद के मूल ज्ञात करने की शुद्धता की जाँच करने के साथ-साथ उसके दिए गए मूलों के आधार पर बहुपद की रचना करने के लिए इन सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक है। सूत्रीकरण यदि किसी बहुपद के मूल हैं, तो गुणांकों को मूलों के सममित बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात्

दूसरे शब्दों में, ak, k जड़ों के सभी संभावित उत्पादों के योग के बराबर है। यदि अग्रणी गुणांक एक बहुपद है, तो विएटा सूत्र को लागू करने के लिए पहले सभी गुणांकों को 0 से विभाजित करना आवश्यक है। इस मामले में, विएटा सूत्र अग्रणी गुणांक के सभी गुणांकों के अनुपात के लिए एक अभिव्यक्ति देते हैं। विएटा के अंतिम सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि किसी बहुपद के मूल पूर्णांक हैं, तो वे उसके मुक्त पद के विभाजक हैं, जो पूर्णांक भी है। बहुपद को मूलों द्वारा विस्तारित करके प्राप्त समानता पर विचार करके प्रमाण किया जाता है, यह ध्यान में रखते हुए कि 0 = 1 x की समान शक्तियों पर गुणांक को बराबर करने पर, हम विएटा सूत्र प्राप्त करते हैं।

समीकरण x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 हल करें। आइए हम y = x 3 को निरूपित करें, फिर मूल समीकरण y 2 - 5 y + 4 = 0 का रूप ले लेता है, जिसे हल करने पर हमें Y 1 = 1 प्राप्त होता है; Y 2 = 4. इस प्रकार, मूल समीकरण समीकरणों के एक सेट के बराबर है: x 3 = 1 या x 3 = 4, यानी X 1 = 1 या X 2 = उत्तर: 1;

बेज़ाउट की प्रमेय परिभाषा 1. एक तत्व को बहुपद का मूल कहा जाता है यदि f(c)=0। बेज़ाउट का प्रमेय. बहुपद Pn(x) को द्विपद (x-a) से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल x = a पर इस बहुपद के मान के बराबर होता है। सबूत। विभाजन एल्गोरिथ्म के आधार पर, f(x)=(xc)q(x)+r(x), जहां या तो r(x)=0, या, और इसलिए। तो f(x)=(x-c)q(x)+r, इसलिए f(c)=(c-c)q(c)+r=r, और इसलिए f(x)=(xc)q(x) +f (सी)।

उपफल 1: बहुपद Pn (x) को द्विपद ax+b से विभाजित करने का शेषफल x = -b/a पर इस बहुपद के मान के बराबर है, अर्थात R=Pn (-b/a)। उपफल 2: यदि संख्या a बहुपद P (x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाज्य है। उपफल 3: यदि बहुपद P(x) की जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें a 1, a 2, ..., an हैं, तो इसे बिना किसी शेषफल के गुणनफल (x-a 1) ... (x-an) से विभाजित किया जाता है। उपफल 4: घात n वाले बहुपद में अधिकतम n विभिन्न मूल होते हैं। उपफल 5: किसी भी बहुपद P(x) और संख्या a के लिए, अंतर (P(x)-P(a)) बिना किसी शेषफल के द्विपद (x-a) से विभाज्य है। उपफल 6: एक संख्या a कम से कम प्रथम घात वाले बहुपद P(x) का मूल है यदि और केवल यदि P(x) बिना किसी शेषफल के (x-a) से विभाज्य है।

एक परिमेय भिन्न को सरल भिन्नों में विघटित करना आइए हम दिखाते हैं कि किसी भी उचित परिमेय भिन्न को सरल भिन्नों के योग में विघटित किया जा सकता है। मान लीजिए कि एक उचित परिमेय भिन्न (1) दिया गया है।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि x=a संक्षिप्तता k के हर का मूल है, यानी, जहां f(a)≠ 0 है, तो इस उचित भिन्न को दो अन्य उचित भिन्नों के योग के रूप में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: (2) , जहां A एक स्थिरांक है जो शून्य के बराबर नहीं है, और F 1(x) एक बहुपद है जिसकी डिग्री हर की डिग्री से कम है