गणितीय मॉडल तैयार करना। व्यवहार में गणितीय मॉडल किस प्रकार के गणितीय मॉडल एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं

गणित मॉडलिंग

1. गणितीय मॉडलिंग क्या है?

20वीं सदी के मध्य से. मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय विधियों और कंप्यूटरों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। नए विषय सामने आए हैं जैसे "गणितीय अर्थशास्त्र", "गणितीय रसायन विज्ञान", "गणितीय भाषाविज्ञान", आदि, प्रासंगिक वस्तुओं और घटनाओं के गणितीय मॉडल का अध्ययन, साथ ही इन मॉडलों का अध्ययन करने के तरीके।

गणितीय मॉडल गणित की भाषा में वास्तविक दुनिया की घटनाओं या वस्तुओं के किसी भी वर्ग का अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य इन वस्तुओं का पता लगाना और भविष्य के अवलोकनों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालाँकि, मॉडलिंग भी हमारे आस-पास की दुनिया को समझने का एक तरीका है, जिससे इसे नियंत्रित करना संभव हो जाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबंधित कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जहां एक या किसी अन्य कारण से पूर्ण पैमाने पर प्रयोग असंभव या कठिन है। उदाहरण के लिए, "क्या होता अगर..." की जाँच करने के लिए इतिहास में एक प्राकृतिक प्रयोग स्थापित करना असंभव है, किसी या किसी अन्य ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत की शुद्धता की जाँच करना असंभव है। प्लेग जैसी बीमारी के प्रसार पर प्रयोग करना, या इसके परिणामों का अध्ययन करने के लिए परमाणु विस्फोट करना संभव है, लेकिन उचित होने की संभावना नहीं है। हालाँकि, यह सब पहले अध्ययन की जा रही घटनाओं के गणितीय मॉडल बनाकर कंप्यूटर पर किया जा सकता है।

2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, कुछ "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट की जाती है - एक प्राकृतिक घटना, डिजाइन, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया, आदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का स्पष्ट विवरण मुश्किल है। सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच संबंध की पहचान की जाती है। फिर पाई गई गुणात्मक निर्भरता को गणित की भाषा में तैयार किया जाता है, यानी एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन चरण है।

2) उस गणितीय समस्या को हल करना जिस तक मॉडल ले जाता है. इस स्तर पर, कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक तरीकों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी मदद से परिणाम आवश्यक सटीकता के साथ और स्वीकार्य समय के भीतर पाया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।गणित की भाषा में मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।इस स्तर पर, यह निर्धारित किया जाता है कि प्रयोगात्मक परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों से सहमत हैं या नहीं।

5) मॉडल का संशोधन.इस स्तर पर, या तो मॉडल को जटिल बनाया जाता है ताकि यह वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त हो, या व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे सरल बनाया जाए।

3. मॉडलों का वर्गीकरण

मॉडलों को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति के अनुसार, मॉडलों को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, किसी घटना या वस्तु की विशेषता बताने वाली सभी मात्राएँ मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। इसके अलावा, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर के रूप में माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्य के रूप में माना जाता है। एक गणितीय मॉडल आमतौर पर विभिन्न प्रकार (अंतर, बीजीय, आदि) के समीकरणों की एक प्रणाली होती है जो विचाराधीन मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करती है। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल वस्तु की संरचना को दर्शाता है जिसमें अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिनके बीच कुछ निश्चित संबंध होते हैं। आमतौर पर, ये कनेक्शन मापनीय नहीं हैं। ऐसे मॉडलों के निर्माण के लिए ग्राफ़ सिद्धांत का उपयोग करना सुविधाजनक है। ग्राफ़ एक गणितीय वस्तु है जो किसी समतल या अंतरिक्ष में बिंदुओं (शीर्षों) के एक समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से कुछ रेखाओं (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा और परिणामों की प्रकृति के आधार पर, भविष्यवाणी मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, स्पष्ट भविष्यवाणियाँ करते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं और उनकी सहायता से प्राप्त पूर्वानुमान प्रकृति में संभाव्य होते हैं।

4. गणितीय मॉडल के उदाहरण

1) प्रक्षेप्य गति के बारे में समस्याएँ।

निम्नलिखित यांत्रिकी समस्या पर विचार करें।

प्रक्षेप्य को पृथ्वी से इसकी सतह पर प्रारंभिक गति v 0 = 30 m/s के कोण a = 45° पर प्रक्षेपित किया जाता है; इसके आंदोलन के प्रक्षेप पथ और इस प्रक्षेप पथ के आरंभ और अंत बिंदुओं के बीच की दूरी एस का पता लगाना आवश्यक है।

फिर, जैसा कि स्कूल के भौतिकी पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है, प्रक्षेप्य की गति का वर्णन सूत्रों द्वारा किया जाता है:

जहाँ t समय है, g = 10 m/s 2 गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है। ये सूत्र समस्या का गणितीय मॉडल प्रदान करते हैं। पहले समीकरण से x के माध्यम से t को व्यक्त करने और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह वक्र (परवलय) x अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है: x 1 = 0 (प्रक्षेपवक्र की शुरुआत) और (वह स्थान जहाँ प्रक्षेप्य गिरा)। परिणामी सूत्रों में v0 और a के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर: y = x – 90x 2, S = 90 मीटर।

ध्यान दें कि इस मॉडल का निर्माण करते समय, कई धारणाओं का उपयोग किया गया था: उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि पृथ्वी समतल है, और हवा और पृथ्वी का घूमना प्रक्षेप्य की गति को प्रभावित नहीं करता है।

2) सबसे छोटे सतह क्षेत्र वाले टैंक के बारे में समस्या।

एक टिन टैंक की ऊंचाई h 0 और त्रिज्या r 0 ज्ञात करना आवश्यक है, जिसका आयतन V = 30 m 3 है, जिसका आकार एक बंद गोलाकार सिलेंडर जैसा है, जिस पर इसका सतह क्षेत्र S न्यूनतम है (इस मामले में, सबसे कम) इसके उत्पादन के लिए टिन की मात्रा का उपयोग किया जाएगा)।

आइए ऊंचाई h और त्रिज्या r वाले सिलेंडर के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए निम्नलिखित सूत्र लिखें:

वी = पी आर 2 एच, एस = 2 पी आर (आर + एच)।

पहले सूत्र से h को r और V के माध्यम से व्यक्त करने और परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

इस प्रकार, गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या r का मान निर्धारित करने तक आती है जिस पर फ़ंक्शन S(r) अपने न्यूनतम तक पहुँच जाता है। आइए हम r 0 के उन मानों को खोजें जिनके लिए व्युत्पन्न

शून्य पर जाता है: आप जांच सकते हैं कि जब तर्क r बिंदु r 0 से गुजरता है तो फ़ंक्शन S(r) का दूसरा व्युत्पन्न चिह्न शून्य से प्लस में बदल जाता है। परिणामस्वरूप, बिंदु r0 पर फलन S(r) का न्यूनतम मान होता है। संगत मान h 0 = 2r 0 है। दिए गए मान V को r 0 और h 0 के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित त्रिज्या प्राप्त होती है और ऊंचाई

3) परिवहन समस्या.

शहर में दो आटे के गोदाम और दो बेकरी हैं। हर दिन, पहले गोदाम से 50 टन आटा, और दूसरे से 70 टन आटा कारखानों तक, 40 टन पहले से, और 80 टन दूसरे से कारखानों तक पहुँचाया जाता है।

आइए हम इसे निरूपित करें ए ij, i-वें गोदाम से j-वें संयंत्र तक 1 टन आटा ले जाने की लागत है (i, j = 1.2)। होने देना

ए 11 = 1.2 रूबल, ए 12 = 1.6 रूबल, ए 21 = 0.8 रूबल, ए 22 = 1 रगड़.

परिवहन की योजना कैसे बनाई जानी चाहिए ताकि इसकी लागत न्यूनतम हो?

आइए समस्या को गणितीय सूत्रीकरण दें। आइए हम आटे की मात्रा को x 1 और x 2 से निरूपित करें जिसे पहले गोदाम से पहली और दूसरी फ़ैक्टरियों तक ले जाया जाना चाहिए, और x 3 और x 4 द्वारा - दूसरे गोदाम से क्रमशः पहली और दूसरी फ़ैक्टरियों तक। तब:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80। (1)

सभी परिवहन की कुल लागत सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

एफ = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4।

गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या चार संख्याओं x 1, x 2, x 3 और x 4 को ढूंढना है जो सभी दी गई शर्तों को पूरा करती हैं और फ़ंक्शन f का न्यूनतम देती हैं। आइए अज्ञात को हटाकर xi (i = 1, 2, 3, 4) के लिए समीकरण (1) की प्रणाली को हल करें। हमें वह मिल गया

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

और x 4 को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। चूँकि x i 0 (i = 1, 2, 3, 4) है, समीकरण (2) से यह पता चलता है कि 30Ј x 4 Ј 70। x 1, x 2, x 3 के लिए व्यंजक को f के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

एफ = 148 – 0.2x 4.

यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का न्यूनतम x 4 के अधिकतम संभव मान पर, यानी x 4 = 70 पर प्राप्त किया जाता है। अन्य अज्ञात के संबंधित मान सूत्र (2) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) रेडियोधर्मी क्षय की समस्या।

मान लीजिए N(0) एक रेडियोधर्मी पदार्थ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है, और N(t) समय t पर अविघटित परमाणुओं की संख्या है। प्रयोगात्मक रूप से यह स्थापित किया गया है कि इन परमाणुओं की संख्या N"(t) में परिवर्तन की दर N(t) के समानुपाती होती है, अर्थात N"(t)=–l N(t), l >0 है किसी दिए गए पदार्थ की रेडियोधर्मिता स्थिरांक। गणितीय विश्लेषण के स्कूल पाठ्यक्रम में यह दिखाया गया है कि इस अंतर समीकरण के समाधान का रूप N(t) = N(0)e –l t है। वह समय T जिसके दौरान प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या आधी हो जाती है, अर्ध-जीवन कहलाता है, और यह किसी पदार्थ की रेडियोधर्मिता का एक महत्वपूर्ण लक्षण है। T निर्धारित करने के लिए, हमें सूत्र डालना होगा तब उदाहरण के लिए, रेडॉन के लिए एल = 2.084 · 10-6, और इसलिए टी = 3.15 दिन।

5) ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या।

शहर A 1 में रहने वाले एक ट्रैवलिंग सेल्समैन को शहर A 2, A 3 और A 4, प्रत्येक शहर का ठीक एक बार दौरा करना होगा, और फिर A 1 पर वापस लौटना होगा। यह ज्ञात है कि सभी शहर सड़कों द्वारा जोड़े में जुड़े हुए हैं, और शहरों A i और A j (i, j = 1, 2, 3, 4) के बीच सड़कों की लंबाई b ij इस प्रकार है:

बी 12 = 30, बी 14 = 20, बी 23 = 50, बी 24 = 40, बी 13 = 70, बी 34 = 60।

उन शहरों का दौरा करने का क्रम निर्धारित करना आवश्यक है जिनमें संबंधित पथ की लंबाई न्यूनतम है।

आइए प्रत्येक शहर को समतल पर एक बिंदु के रूप में चित्रित करें और इसे संबंधित लेबल Ai (i = 1, 2, 3, 4) से चिह्नित करें। आइए इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ें: वे शहरों के बीच की सड़कों का प्रतिनिधित्व करेंगे। प्रत्येक "सड़क" के लिए हम उसकी लंबाई किलोमीटर में दर्शाते हैं (चित्र 2)। परिणाम एक ग्राफ़ है - एक गणितीय वस्तु जिसमें समतल पर बिंदुओं का एक निश्चित समूह (जिन्हें शीर्ष कहा जाता है) और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं का एक निश्चित समूह (किनारे कहा जाता है) शामिल होता है। इसके अलावा, इस ग्राफ़ को लेबल किया गया है, क्योंकि इसके शीर्षों और किनारों को कुछ लेबल दिए गए हैं - संख्याएँ (किनारे) या प्रतीक (शीर्ष)। ग्राफ़ पर एक चक्र शीर्षों V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 का एक क्रम है, जिससे शीर्ष V 1 , ..., V k अलग-अलग होते हैं, और शीर्षों का कोई भी जोड़ा V i , V होता है। i+1 (i = 1, ..., k – 1) और जोड़ी V 1, V k एक किनारे से जुड़े हुए हैं। इस प्रकार, विचाराधीन समस्या सभी चार शीर्षों से गुजरने वाले ग्राफ़ पर एक चक्र ढूंढना है जिसके लिए सभी किनारों के भार का योग न्यूनतम है। आइए हम चार शीर्षों से गुजरने वाले और ए 1 से शुरू होने वाले सभी अलग-अलग चक्रों की खोज करें:

1) ए 1, ए 4, ए 3, ए 2, ए 1;
2) ए 1, ए 3, ए 2, ए 4, ए 1;
3) ए 1, ए 3, ए 4, ए 2, ए 1।

आइए अब इन चक्रों की लंबाई (किमी में) ज्ञात करें: एल 1 = 160, एल 2 = 180, एल 3 = 200। तो, सबसे कम लंबाई का मार्ग पहला है।

ध्यान दें कि यदि किसी ग्राफ में n शीर्ष हैं और सभी शीर्ष किनारों द्वारा जोड़े में जुड़े हुए हैं (ऐसे ग्राफ को पूर्ण कहा जाता है), तो सभी शीर्षों से गुजरने वाले चक्रों की संख्या है, इसलिए, हमारे मामले में बिल्कुल तीन चक्र हैं।

6) पदार्थों की संरचना और गुणों के बीच संबंध खोजने की समस्या।

आइए कई रासायनिक यौगिकों को देखें जिन्हें सामान्य अल्केन्स कहा जाता है। इनमें n कार्बन परमाणु और n + 2 हाइड्रोजन परमाणु (n = 1, 2 ...) शामिल हैं, जो आपस में जुड़े हुए हैं जैसा कि n = 3 के लिए चित्र 3 में दिखाया गया है। इन यौगिकों के क्वथनांक के प्रयोगात्मक मान ज्ञात करें:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°।

इन यौगिकों के क्वथनांक और संख्या n के बीच एक अनुमानित संबंध खोजना आवश्यक है। आइए मान लें कि इस निर्भरता का एक रूप है

य" एएन+बी,

कहाँ ए, बी - निर्धारित किए जाने वाले स्थिरांक। ढूँढ़ने के लिए एऔर बी हम इस सूत्र में क्रमिक रूप से n = 3, 4, 5, 6 और क्वथनांक के संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास है:

– 42 » 3 ए+ बी, 0 »4 ए+बी, 28 »5 ए+ बी, 69 » 6 ए+ बी.

सर्वोत्तम का निर्धारण करना एऔर बी कई अलग-अलग विधियां हैं। आइए उनमें से सबसे सरल का उपयोग करें। आइए बी को इसके माध्यम से व्यक्त करें एइन समीकरणों से:

बी »-42-3 ए, बी 4 ए, बी » 28 – 5 ए, बी » 69 – 6 ए.

आइए हम इन मानों के अंकगणितीय माध्य को वांछित b के रूप में लें, अर्थात हम b रखते हैं »16 – 4.5 ए. आइए हम b के इस मान को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करें और, गणना करें ए, हमें मिलता है एनिम्नलिखित मान: ए»37, ए»28, ए»28, ए»36.आवश्यकतानुसार लें एइन संख्याओं का औसत मान, अर्थात् आइए डालते हैं ए" 34. अतः, अभीष्ट समीकरण का रूप है

y » 34एन – 139.

आइए मूल चार यौगिकों पर मॉडल की सटीकता की जांच करें, जिसके लिए हम परिणामी सूत्र का उपयोग करके क्वथनांक की गणना करते हैं:

y р (3) = - 37°, y р (4) = - 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°।

इस प्रकार, इन यौगिकों के लिए इस गुण की गणना करने में त्रुटि 5° से अधिक नहीं होती है। हम n = 7 वाले यौगिक के क्वथनांक की गणना करने के लिए परिणामी समीकरण का उपयोग करते हैं, जो मूल सेट में शामिल नहीं है, जिसके लिए हम इस समीकरण में n = 7 को प्रतिस्थापित करते हैं: y р (7) = 99°। परिणाम काफी सटीक था: यह ज्ञात है कि क्वथनांक y e (7) = 98° का प्रयोगात्मक मान।

7) विद्युत परिपथ की विश्वसनीयता निर्धारित करने की समस्या।

यहां हम संभाव्य मॉडल का एक उदाहरण देखेंगे। सबसे पहले, हम संभाव्यता सिद्धांत से कुछ जानकारी प्रस्तुत करते हैं - एक गणितीय अनुशासन जो प्रयोगों की बार-बार पुनरावृत्ति के दौरान देखी गई यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है। आइए हम एक यादृच्छिक घटना A को किसी प्रयोग का संभावित परिणाम कहते हैं। घटनाएँ A 1, ..., A k एक पूर्ण समूह बनाती हैं यदि उनमें से एक आवश्यक रूप से प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित होती है। घटनाएँ असंगत कहलाती हैं यदि वे एक ही अनुभव में एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। मान लीजिए कि प्रयोग की n-गुना पुनरावृत्ति के दौरान घटना A m बार घटित होती है। घटना A की आवृत्ति संख्या W = है। जाहिर है, W के मान की सटीक भविष्यवाणी तब तक नहीं की जा सकती जब तक कि n प्रयोगों की एक श्रृंखला नहीं की जाती। हालाँकि, यादृच्छिक घटनाओं की प्रकृति ऐसी होती है कि व्यवहार में कभी-कभी निम्नलिखित प्रभाव देखा जाता है: जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ती है, मूल्य व्यावहारिक रूप से यादृच्छिक होना बंद हो जाता है और कुछ गैर-यादृच्छिक संख्या P(A) के आसपास स्थिर हो जाता है, जिसे प्रायिकता कहा जाता है। घटना A. एक असंभव घटना के लिए (जो किसी प्रयोग में कभी नहीं घटित होती है) P(A)=0, और एक विश्वसनीय घटना के लिए (जो हमेशा अनुभव में घटित होती है) P(A)=1. यदि घटनाएँ A 1 , ..., A k असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो P(A 1)+...+P(A k)=1.

उदाहरण के लिए, प्रयोग में एक पासा उछालना और निकाले गए बिंदुओं असंगत समान रूप से संभावित घटनाओं का एक पूरा समूह बनाएं, इसलिए P(A i) = (i = 1, ..., 6)।

घटनाओं ए और बी का योग घटना ए + बी है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि उनमें से कम से कम एक अनुभव में घटित होता है। घटना A और B का गुणनफल घटना AB है, जिसमें इन घटनाओं का एक साथ घटित होना शामिल है। स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

पी(एबी) = पी(ए) पी(बी), पी(ए + बी) = पी(ए) + पी(बी)।

8) आइए अब निम्नलिखित पर विचार करें काम. आइए मान लें कि तीन तत्व श्रृंखला में एक विद्युत सर्किट से जुड़े हुए हैं और एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की विफलता संभावनाएँ क्रमशः P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2 के बराबर हैं। हम किसी सर्किट को विश्वसनीय मानेंगे यदि सर्किट में कोई करंट न होने की संभावना 0.4 से अधिक न हो। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कोई दिया गया सर्किट विश्वसनीय है या नहीं।

चूँकि तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, यदि कम से कम एक तत्व विफल हो जाता है तो सर्किट (घटना ए) में कोई करंट नहीं होगा। मान लीजिए कि A i घटना है कि i-वां तत्व काम करता है (i = 1, 2, 3)। तब P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. जाहिर है, ए 1 ए 2 ए 3 एक ऐसी घटना है जिसमें सभी तीन तत्व एक साथ काम करते हैं, और

पी(ए 1 ए 2 ए 3) = पी(ए 1) पी(ए 2) पी(ए 3) = 0.612।

तब P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, इसलिए P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि गणितीय मॉडल (कार्यात्मक और संरचनात्मक, नियतात्मक और संभाव्य सहित) के दिए गए उदाहरण प्रकृति में उदाहरणात्मक हैं और, जाहिर है, प्राकृतिक विज्ञान और मानविकी में उत्पन्न होने वाले गणितीय मॉडल की विविधता समाप्त नहीं होती है।

गणितीय मॉडल क्या है?

गणितीय मॉडल की अवधारणा.

गणितीय मॉडल एक बहुत ही सरल अवधारणा है। और बहुत महत्वपूर्ण है. यह गणितीय मॉडल हैं जो गणित और वास्तविक जीवन को जोड़ते हैं।

सामान्य शर्तों में, गणितीय मॉडल किसी भी स्थिति का गणितीय विवरण है।बस इतना ही। मॉडल आदिम हो सकता है, या यह अति जटिल हो सकता है। स्थिति जो भी हो, मॉडल ऐसा ही है।)

किसी में (मैं दोहराता हूं - मेँ कोई!) ऐसे मामले में जहां आपको कुछ गिनने और गणना करने की आवश्यकता है - हम गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं। भले ही हमें इस पर संदेह न हो।)

पी = 2 सीबी + 3 सीएम

यह प्रविष्टि हमारी खरीदारी की लागत का गणितीय मॉडल होगी। मॉडल पैकेजिंग के रंग, समाप्ति तिथि, कैशियर की विनम्रता आदि को ध्यान में नहीं रखता है। इसीलिए वह नमूना,वास्तविक खरीदारी नहीं. लेकिन खर्च, यानी. हमें क्या चाहिये- हम निश्चित रूप से पता लगा लेंगे। यदि मॉडल सही है, तो अवश्य।

यह कल्पना करना उपयोगी है कि गणितीय मॉडल क्या है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण बात इन मॉडलों को बनाने में सक्षम होना है।

समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करना (निर्माण)।

गणितीय मॉडल बनाने का अर्थ है समस्या की स्थितियों को गणितीय रूप में अनुवाद करना। वे। शब्दों को समीकरण, सूत्र, असमानता आदि में बदलें। इसके अलावा, इसे रूपांतरित करें ताकि यह गणित स्रोत पाठ से सख्ती से मेल खाए। अन्यथा, हम किसी अन्य अज्ञात समस्या के गणितीय मॉडल के साथ समाप्त हो जाएंगे।)

अधिक विशेष रूप से, आपको चाहिए

संसार में अनगिनत कार्य हैं। इसलिए, गणितीय मॉडल तैयार करने के लिए स्पष्ट चरण-दर-चरण निर्देश प्रदान करें कोईकार्य असंभव हैं.

लेकिन तीन मुख्य बिंदु हैं जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है।

1. किसी भी समस्या में पाठ शामिल होता है, अजीब तरह से पर्याप्त है।) इस पाठ में, एक नियम के रूप में, शामिल है स्पष्ट, खुली जानकारी.संख्याएँ, मान इत्यादि।

2. कोई भी समस्या हो छुपी हुई जानकारी.यह एक ऐसा पाठ है जो आपके दिमाग में अतिरिक्त ज्ञान रखता है। उनके बिना कोई रास्ता नहीं है. इसके अलावा, गणितीय जानकारी अक्सर सरल शब्दों के पीछे छिपी होती है और... ध्यान भटकाती है।

3. कोई भी कार्य अवश्य देना चाहिए डेटा का एक दूसरे से कनेक्शन.यह कनेक्शन सादे पाठ में दिया जा सकता है (कुछ कुछ के बराबर होता है), या इसे सरल शब्दों के पीछे छिपाया जा सकता है। लेकिन सरल और स्पष्ट तथ्यों को अक्सर नजरअंदाज कर दिया जाता है। और मॉडल किसी भी तरह से संकलित नहीं है.

मैं तुरंत कहूंगा: इन तीन बिंदुओं को लागू करने के लिए, आपको समस्या को कई बार (और ध्यान से!) पढ़ना होगा। सामान्य बात.

और अब - उदाहरण.

आइए एक साधारण समस्या से शुरुआत करें:

पेत्रोविच मछली पकड़ने से लौटा और गर्व से अपनी पकड़ी मछली परिवार को भेंट की। करीब से जांच करने पर, यह पता चला कि 8 मछलियाँ उत्तरी समुद्र से आई थीं, सभी मछलियों में से 20% दक्षिणी समुद्र से आई थीं, और एक भी मछलियाँ उस स्थानीय नदी से नहीं आई थीं जहाँ पेत्रोविच मछली पकड़ रहा था। पेत्रोविच ने सीफ़ूड स्टोर से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

इन सभी शब्दों को किसी प्रकार के समीकरण में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए आपको आवश्यकता है, मैं दोहराता हूँ, समस्या के सभी डेटा के बीच गणितीय संबंध स्थापित करें।

कहां से शुरू करें? सबसे पहले, आइए कार्य से सारा डेटा निकालें। आइए क्रम से शुरू करें:

आइए पहले बिंदु पर ध्यान दें।

यहाँ कौन सा है? मुखरगणितीय जानकारी? 8 मछलियाँ और 20%। बहुत ज़्यादा नहीं, लेकिन हमें बहुत ज़्यादा की ज़रूरत नहीं है।)

आइए दूसरे बिंदु पर ध्यान दें.

की तलाश में छिपा हुआजानकारी। यह यहाँ है। ये शब्द हैं: "सभी मछलियों का 20%"यहां आपको यह समझने की आवश्यकता है कि प्रतिशत क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है। अन्यथा, समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। यह बिल्कुल अतिरिक्त जानकारी है जो आपके दिमाग में होनी चाहिए।

वहाँ भी है गणितीयऐसी जानकारी जो पूरी तरह से अदृश्य है. यह कार्य प्रश्न: "मैंने कितनी मछलियाँ खरीदीं..."ये भी एक संख्या है. और इसके बिना कोई मॉडल नहीं बनेगा. इसलिए, आइए इस संख्या को अक्षर से निरूपित करें "एक्स"।हम अभी तक नहीं जानते कि x किसके बराबर है, लेकिन यह पदनाम हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा। एक्स के लिए क्या लेना है और इसे कैसे संभालना है, इसके बारे में अधिक विवरण गणित में समस्याओं को कैसे हल करें पाठ में लिखा गया है। आइए इसे तुरंत लिखें:

x टुकड़े - मछलियों की कुल संख्या।

हमारी समस्या में, दक्षिणी मछली को प्रतिशत के रूप में दिया गया है। हमें उन्हें टुकड़ों में बदलने की जरूरत है.' किस लिए? तो फिर किसमें कोईमॉडल की समस्या तैयार की जानी चाहिए एक ही प्रकार की मात्रा में.टुकड़े-टुकड़े - तो सब कुछ टुकड़ों में है। यदि घंटे और मिनट दिए जाएं, तो हम हर चीज़ को एक चीज़ में बदल देते हैं - या तो केवल घंटे, या केवल मिनट। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है. यह महत्वपूर्ण है कि सभी मान एक ही प्रकार के थे.

चलिए सूचना प्रकटीकरण पर वापस आते हैं। जो कोई नहीं जानता कि प्रतिशत क्या है, वह कभी भी इसका खुलासा नहीं करेगा, हां... लेकिन जो कोई भी जानता है वह तुरंत कहेगा कि यहां प्रतिशत मछली की कुल संख्या पर आधारित है। और हम यह संख्या नहीं जानते. कुछ भी काम नहीं करेगा!

यह अकारण नहीं है कि हम मछलियों की कुल संख्या (टुकड़ों में!) लिखते हैं "एक्स"नामित. दक्षिणी मछलियों की संख्या गिनना संभव नहीं होगा, लेकिन हम उन्हें लिख सकते हैं? इस कदर:

0.2 x टुकड़े - दक्षिणी समुद्र से मछलियों की संख्या।

अब हमने टास्क से सारी जानकारी डाउनलोड कर ली है। स्पष्ट और छिपा हुआ दोनों।

आइए तीसरे बिंदु पर ध्यान दें.

की तलाश में गणितीय संबंधकार्य डेटा के बीच. यह कनेक्शन इतना सरल है कि कई लोग इस पर ध्यान नहीं देते... ऐसा अक्सर होता है। यहां एकत्र किए गए डेटा को एक ढेर में लिखना और देखना उपयोगी है कि क्या है।

हमारे पास क्या है? खाओ 8 टुकड़ेउत्तरी मछली, 0.2 x टुकड़े- दक्षिणी मछली और एक्स मछली- कुल राशि। क्या इस डेटा को किसी तरह एक साथ जोड़ना संभव है? हाँ आसान! मछलियों की कुल संख्या के बराबर होती हैदक्षिणी और उत्तरी का योग! खैर, किसने सोचा होगा...) तो हम इसे लिखते हैं:

x = 8 + 0.2x

ये है समीकरण हमारी समस्या का गणितीय मॉडल।

कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमें कुछ भी मोड़ने के लिए नहीं कहा जाता!यह हम स्वयं थे, हमारे दिमाग से, जिन्होंने महसूस किया कि दक्षिणी और उत्तरी मछलियों का योग हमें कुल संख्या देगा। बात इतनी स्पष्ट है कि उस पर ध्यान ही नहीं जाता। लेकिन इस प्रमाण के बिना गणितीय मॉडल नहीं बनाया जा सकता। इस कदर।

अब आप इस समीकरण को हल करने के लिए गणित की पूरी शक्ति का उपयोग कर सकते हैं)। ठीक इसी कारण से गणितीय मॉडल संकलित किया गया था। हम इस रैखिक समीकरण को हल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

उत्तर: एक्स=10

आइए एक अन्य समस्या का गणितीय मॉडल बनाएं:

उन्होंने पेट्रोविच से पूछा: "क्या आपके पास बहुत पैसा है?" पेट्रोविच रोने लगा और उत्तर दिया: "हाँ, बस थोड़ा सा। अगर मैं सारे पैसे का आधा और बाकी का आधा खर्च कर दूं, तो मेरे पास केवल एक बैग पैसे बचेगा..." पेट्रोविच के पास कितना पैसा है?

हम फिर से बिंदु दर बिंदु काम करते हैं।

1. हम स्पष्ट जानकारी की तलाश में हैं। आपको यह तुरंत नहीं मिलेगा! स्पष्ट जानकारी है एकपैसे का बैग। कुछ अन्य हिस्से भी हैं... ठीक है, हम उस पर दूसरे बिंदु में गौर करेंगे।

2. हम छिपी हुई जानकारी की तलाश कर रहे हैं। ये आधे हैं. क्या? बहुत स्पष्ट नहीं. हम आगे देख रहे हैं. एक और कार्य प्रश्न है: "पेत्रोविच के पास कितना पैसा है?"आइए हम धन की राशि को अक्षर से निरूपित करें "एक्स":

एक्स- सब पैसे

और फिर से हमने समस्या पढ़ी। पेट्रोविच को पहले से ही पता है एक्सधन। यहीं पर आधे हिस्से काम करेंगे! हम लिखते हैं:

0.5 एक्स- सारे पैसे का आधा.

शेष भी आधा होगा, अर्थात्। 0.5 एक्स.और आधे का आधा भाग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0.5 0.5 x = 0.25x-शेष का आधा.

अब सारी छुपी जानकारी सामने आ गई है और दर्ज हो गई है.

3. हम रिकॉर्ड किए गए डेटा के बीच संबंध ढूंढ रहे हैं। यहां आप पेत्रोविच की पीड़ा को आसानी से पढ़ सकते हैं और इसे गणितीय रूप से लिख सकते हैं):

अगर मैं सारे पैसे का आधा हिस्सा खर्च कर दूं...

आइए इस प्रक्रिया को रिकॉर्ड करें। सब पैसे - एक्स।आधा - 0.5 एक्स. खर्च करना छीन लेना है। वाक्यांश रिकॉर्डिंग में बदल जाता है:

एक्स - 0.5 एक्स

हाँ आधा बाकी...

आइए शेष का आधा भाग घटाएँ:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x

तब मेरे पास पैसों का केवल एक थैला बचेगा...

और यहाँ हमें समानता मिली है! सभी घटावों के बाद, पैसे का एक थैला बचता है:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x = 1

यहाँ यह है, एक गणितीय मॉडल! यह फिर से एक रैखिक समीकरण है, हम इसे हल करते हैं, हमें मिलता है:

विचारार्थ प्रश्न. चार क्या है? रूबल, डॉलर, युआन? और हमारे गणितीय मॉडल में पैसा किन इकाइयों में लिखा जाता है? थैलों में!यानी चार थैलापेत्रोविच से पैसा. भी ठीक।)

निस्संदेह, कार्य प्राथमिक हैं। यह विशेष रूप से गणितीय मॉडल तैयार करने के सार को समझने के लिए है। कुछ कार्यों में बहुत अधिक डेटा हो सकता है, जिसे खोना आसान हो सकता है। ऐसा अक्सर तथाकथित में होता है। योग्यता कार्य. शब्दों और संख्याओं के ढेर से गणितीय सामग्री कैसे निकाली जाए, इसे उदाहरणों के साथ दिखाया गया है

एक और नोट. क्लासिक स्कूल समस्याओं में (पूल भरने वाले पाइप, कहीं तैरती नावें, आदि), सभी डेटा, एक नियम के रूप में, बहुत सावधानी से चुना जाता है। दो नियम हैं:
- समस्या को हल करने के लिए उसमें पर्याप्त जानकारी है,
- किसी समस्या में कोई अनावश्यक जानकारी नहीं है.

यह एक संकेत है. यदि गणितीय मॉडल में कुछ मूल्य अप्रयुक्त छोड़ दिया गया है, तो सोचें कि क्या कोई त्रुटि है। यदि पर्याप्त डेटा नहीं है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सभी छिपी हुई जानकारी की पहचान और रिकॉर्ड नहीं किया गया है।

योग्यता-संबंधी और जीवन के अन्य कार्यों में इन नियमों का कड़ाई से पालन नहीं किया जाता है। कोई सुराग नहीं। लेकिन ऐसी समस्याओं का समाधान भी किया जा सकता है. यदि, निश्चित रूप से, आप क्लासिक पर अभ्यास करते हैं।)

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (अव्य। मापांक - माप) मूल वस्तु के लिए एक स्थानापन्न वस्तु है, जो मूल के कुछ गुणों के अध्ययन को सुनिश्चित करता है।" (पृ. 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल ऑब्जेक्ट के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक ऑब्जेक्ट को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृ. 6) "गणितीय मॉडलिंग से हम किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के साथ एक निश्चित गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के साथ पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया को समझते हैं, और इस मॉडल का अध्ययन करते हैं, जो हमें वास्तविक की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है विचाराधीन वस्तु. गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक समीकरण एक विचार व्यक्त करता है।"

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण प्रयुक्त गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित है। अक्सर द्विभाजन के रूप में निर्मित होता है। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक:

और इसी तरह। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रैखिक, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित, आदि।

वस्तु को प्रस्तुत करने के तरीके के अनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ-साथ, मॉडल किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडल किसी वस्तु को उसकी अपनी संरचना और कार्यप्रणाली के साथ एक प्रणाली के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और किसी वस्तु के केवल बाहरी रूप से अनुमानित व्यवहार (कार्यप्रणाली) को प्रतिबिंबित करते हैं। अपनी चरम अभिव्यक्ति में इन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है।

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखक संकेत करते हैं कि पहले एक विशेष आदर्श संरचना का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इसे आदर्श वस्तु कहते हैं संकल्पनात्मक निदर्श , सट्टा मॉडलया प्रीमॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया किसी दिए गए सार्थक मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त एक गणितीय मॉडल। एक सार्थक मॉडल का निर्माण तैयार आदर्शीकरणों के एक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर निकाय, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया इत्यादि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालाँकि, ज्ञान के उन क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों में अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक कठिन हो जाता है।

मॉडलों का सामग्री वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना एक बार और हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से तैयार किया:

“हमारे पास हमेशा किसी सिद्धांत को अस्वीकार करने का अवसर होता है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। आइए मान लें कि आपने एक सफल परिकल्पना प्रस्तुत की है, गणना की है कि यह कहां ले जाती है, और पाया कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा मतलब यह है कि आप इसका खंडन करने में असफल रहे।”

यदि पहले प्रकार का मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि इसे अस्थायी रूप से सत्य के रूप में पहचाना जाता है और व्यक्ति अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालाँकि, यह शोध का एक बिंदु नहीं हो सकता है, बल्कि केवल एक अस्थायी विराम हो सकता है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

प्रकार 2: घटनात्मक मॉडल (हम ऐसा व्यवहार करते हैं जैसे…)

एक घटनात्मक मॉडल में एक घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त करने वाला नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा पर्याप्त रूप से इसकी पुष्टि नहीं की जा सकती है, या वस्तु के बारे में मौजूदा सिद्धांतों और संचित ज्ञान के साथ अच्छी तरह से फिट नहीं बैठता है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। ऐसा माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रहनी चाहिए। उदाहरण के लिए, पीयरल्स में दूसरे प्रकार के रूप में कैलोरी मॉडल और प्राथमिक कणों का क्वार्क मॉडल शामिल है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, और ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटनात्मक मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में बढ़ावा दिया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के साथ संघर्ष में आ सकता है, और उन्हें दूसरे प्रकार में अनुवादित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पनाओं की श्रेणी में जा रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के साथ यह पहला प्रकार बन गया। लेकिन ईथर मॉडल ने टाइप 1 से टाइप 2 तक अपना रास्ता बना लिया है, और अब विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण विभिन्न रूपों में आता है। पीयरल्स ने मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरणों की पहचान की है।

टाइप 3: सन्निकटन (हम किसी चीज़ को बहुत बड़ा या बहुत छोटा मानते हैं)

यदि ऐसे समीकरण बनाना संभव है जो अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। एक मानक उदाहरण ओम का नियम है।

यहां टाइप 8 आता है, जो जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में व्यापक है।

टाइप 8: फ़ीचर प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ विचार प्रयोग भी हैं, जो प्रदर्शित करते हैं कल्पित घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में से सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा था)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक कंपन, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। क्वांटम यांत्रिकी की असंगतता को प्रदर्शित करने के लिए आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास की कल्पना टाइप 7 मॉडल के रूप में की गई थी। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक छोर पर एक स्प्रिंग जुड़ा हुआ है और द्रव्यमान का एक द्रव्यमान है एमस्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा हुआ। हम मान लेंगे कि भार केवल स्प्रिंग अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति रॉड के साथ होती है)। आइए इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल बनाएं। हम दूरी के आधार पर सिस्टम की स्थिति का वर्णन करेंगे एक्सभार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक। आइए हम स्प्रिंग और लोड के उपयोग की परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम (एफ = − कएक्स ) और फिर इसे विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करें:

जहां का मतलब दूसरा व्युत्पन्न है एक्ससमय तक: ।

परिणामी समीकरण विचाराधीन भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस मॉडल को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ बनाईं (बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की लघुता आदि के बारे में), जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है सरलीकरण("स्पष्टता के लिए हम कुछ विवरण छोड़ देंगे"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ दी गई हैं। कुछ अनुमान के अनुसार (मान लीजिए, जबकि संतुलन से भार का विचलन छोटा है, कम घर्षण के साथ, बहुत अधिक समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन है), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि छोड़े गए कारक हैं उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालाँकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखकर मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। इससे प्रयोज्यता के व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नया मॉडल सामने आएगा।

हालाँकि, मॉडल को परिष्कृत करते समय, इसके गणितीय अनुसंधान की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली की बेहतर और गहरी खोज की अनुमति देता है।

यदि हम हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडल को भौतिकी से दूर की वस्तुओं पर लागू करते हैं, तो इसकी मूल स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे संभवतः प्रकार 6 के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

कठोर और मुलायम मॉडल

हार्मोनिक ऑसिलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल का अध्ययन करना आवश्यक है, जो "कठोर" के एक छोटे से गड़बड़ी से प्राप्त होता है। इसे, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:

यहां कुछ फ़ंक्शन दिए गए हैं जो घर्षण बल या इसके खिंचाव की डिग्री पर स्प्रिंग कठोरता गुणांक की निर्भरता को ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। स्पष्ट प्रकार का कार्य एफहमें फिलहाल कोई दिलचस्पी नहीं है. यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार कठोर मॉडल के व्यवहार से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है (स्पष्ट प्रकार के परेशान करने वाले कारकों की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने तक कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन से प्राप्त परिणामों के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला के समीकरण का समाधान फॉर्म के कार्य हैं, अर्थात, एक स्थिर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक स्थिर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) वाले सिस्टम पर विचार करने पर, हमें नम दोलन मिलते हैं। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली छोटी-छोटी गड़बड़ियों के बावजूद अपना गुणात्मक व्यवहार बनाए रखती है, तो उसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर एक संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-रफ) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालाँकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय में प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की बहुमुखी प्रतिभा

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर महत्वपूर्ण गुण होते हैं बहुमुखी प्रतिभा: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक घटनाओं का वर्णन एक ही गणितीय मॉडल द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर न केवल स्प्रिंग पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति की होती हैं: एक पेंडुलम के छोटे दोलन, एक तरल के स्तर में उतार-चढ़ाव यू-आकार का बर्तन या ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करके, हम तुरंत इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न खंडों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों की समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फ़ी को "सिस्टम का सामान्य सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, आपको मॉडल की गई वस्तु का एक मूल आरेख तैयार करने की आवश्यकता है, इसे इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर पुन: पेश करें। इस प्रकार, एक ट्रेन कार विभिन्न सामग्रियों से प्लेटों और अधिक जटिल निकायों की एक प्रणाली में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मॉड्यूल, मानक ताकत विशेषताओं) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं, और रास्ते में कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर खारिज कर दिया जाता है, गणना की जाती है, माप के साथ तुलना की जाती है, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, इत्यादि। हालाँकि, गणितीय मॉडलिंग तकनीकों को विकसित करने के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटकों में विभाजित करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम।

सीधा कार्य: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल कितना स्थैतिक भार सहन करेगा? यह गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च पर, या विभिन्न गति से ट्रेन के गुजरने पर), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे पार करेगा, क्या यह फड़फड़ाहट से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष समस्या के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या निर्धारित करने (सही प्रश्न पूछने) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए, तो एक पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। तो, 1879 में, इंग्लैंड में ताई नदी पर एक धातु पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, गणना की कि इसमें पेलोड की कार्रवाई के लिए 20 गुना सुरक्षा कारक है, लेकिन लगातार हवाओं के बारे में भूल गए उन जगहों पर उड़ना. और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सबसे सरल मामले में (उदाहरण के लिए, एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के स्पष्ट समाधान को कम करती है।

उलटी समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल का चयन किया जाना चाहिए। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है, और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु के लिए आवश्यकताएं शामिल हो सकती हैं ( डिजाइन समस्या). व्युत्क्रम समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या समाधान के दौरान विशेष रूप से नियोजित किसी प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण उपयोग के साथ एक व्युत्क्रम समस्या के उत्कृष्ट समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई. न्यूटन द्वारा प्रेक्षित नम दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए बनाई गई विधि थी।

अतिरिक्त उदाहरण

कहाँ एक्स एस- "संतुलन" जनसंख्या का आकार, जिस पर जन्म दर की क्षतिपूर्ति मृत्यु दर से होती है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार एक संतुलन मूल्य की ओर प्रवृत्त होता है एक्स एस, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

जब खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है तो इस प्रणाली में संतुलन की स्थिति होती है। इस अवस्था से विचलन के परिणामस्वरूप खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव होता है, जो एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के उतार-चढ़ाव के समान होता है। हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा बदलाव (उदाहरण के लिए, खरगोशों के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और संख्याओं में उतार-चढ़ाव समाप्त हो जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन स्थिति से कोई भी छोटा विचलन विनाशकारी परिणामों को जन्म देगा, किसी एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक। वोल्टेरा-लोटका मॉडल इस सवाल का जवाब नहीं देता है कि इनमें से कौन सा परिदृश्य साकार हो रहा है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

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10. “सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को केंद्रित या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक ही प्रणाली को या तो संकेंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनिश्चेंको वी. एस., डायनेमिक सिस्टम, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
11. “सिस्टम एस में अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को दर्शाता है, यानी ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मानी जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को दर्शाता है। ... स्थैतिक मॉडलिंग किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने का कार्य करती है, और गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाती है। असतत मॉडलिंग का उपयोग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग हमें सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जब वे असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। ” सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
12. आमतौर पर, एक गणितीय मॉडल मॉडल की गई वस्तु की संरचना (उपकरण), इस वस्तु के घटकों के गुणों और संबंधों को दर्शाता है जो अनुसंधान के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं. मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ
13. “गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का स्पष्ट, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण, अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर, मॉडलिंग की जा रही वस्तु के बारे में यथासंभव स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करना और उसके सार्थक मॉडल को परिष्कृत करना है। आपको इस स्तर पर समय और प्रयास बर्बाद नहीं करना चाहिए; पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। ऐसा एक से अधिक बार हुआ है कि गणितीय समस्या को हल करने पर किया गया महत्वपूर्ण कार्य मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण अप्रभावी या यहां तक ​​कि बर्बाद हो गया। मायश्किस ए.डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 के साथ, पृ. 35.
14. « सिस्टम के वैचारिक मॉडल का विवरण.सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उपचरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) मानक गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और धारणाओं को अंततः स्वीकार कर लिया जाता है; घ) मॉडल का निर्माण करते समय वास्तविक प्रक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए प्रक्रिया का चुनाव उचित है। सोवेटोव बी. हां., याकोवलेव एस. ए., सिस्टम की मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम.: उच्चतर. स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.
15. ब्लेखमैन आई.आई., मायश्किस ए.डी., पनोव्को एन.जी., अनुप्रयुक्त गणित: विषय, तर्क, दृष्टिकोण की विशेषताएं। यांत्रिकी से उदाहरणों के साथ: पाठ्यपुस्तक। - तीसरा संस्करण, रेव। और अतिरिक्त - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 376 पी। आईएसबीएन 5-484-00163-3, अध्याय 2।

व्याख्यान 1.

मॉडलिंग की पद्धति संबंधी मूल बातें

सिस्टम मॉडलिंग की समस्या की वर्तमान स्थिति

मॉडलिंग और सिमुलेशन अवधारणाएँ

मोडलिंगइसे अध्ययनाधीन वस्तु (मूल) के उसकी पारंपरिक छवि, विवरण या अन्य वस्तु के प्रतिस्थापन के रूप में माना जा सकता है नमूनाऔर कुछ मान्यताओं और स्वीकार्य त्रुटियों के ढांचे के भीतर मूल के करीब व्यवहार प्रदान करना। मॉडलिंग आमतौर पर मूल वस्तु के मॉडल का अध्ययन करके उसके गुणों को समझने के लक्ष्य के साथ की जाती है, न कि स्वयं वस्तु की। निःसंदेह, मॉडलिंग तभी उचित है जब यह मूल रचना बनाने से अधिक सरल हो, या जब किसी कारणवश मूल रचना न बनाना ही बेहतर हो।

अंतर्गत नमूनाइसे एक भौतिक या अमूर्त वस्तु के रूप में समझा जाता है, जिसके गुण एक निश्चित अर्थ में अध्ययन के तहत वस्तु के गुणों के समान होते हैं, इस मामले में, मॉडल की आवश्यकताएं हल की जा रही समस्या और उपलब्ध साधनों द्वारा निर्धारित की जाती हैं। मॉडलों के लिए कई सामान्य आवश्यकताएँ हैं:

2) पूर्णता - प्राप्तकर्ता को सभी आवश्यक जानकारी प्रदान करना

वस्तु के बारे में;

3) लचीलापन - हर चीज़ में विभिन्न स्थितियों को पुन: उत्पन्न करने की क्षमता

स्थितियों और मापदंडों में परिवर्तन की सीमा;

4) विकास की जटिलता मौजूदा के लिए स्वीकार्य होनी चाहिए

समय और सॉफ्टवेयर.

मोडलिंगकिसी वस्तु का एक मॉडल बनाने और मॉडल की जांच करके उसके गुणों का अध्ययन करने की प्रक्रिया है।

इस प्रकार, मॉडलिंग में 2 मुख्य चरण शामिल हैं:

1) एक मॉडल का विकास;

2) मॉडल का अध्ययन करना और निष्कर्ष निकालना।

साथ ही, प्रत्येक चरण में अलग-अलग कार्य हल किए जाते हैं और

मूलतः अलग-अलग तरीके और साधन।

व्यवहार में, विभिन्न मॉडलिंग विधियों का उपयोग किया जाता है। कार्यान्वयन की विधि के आधार पर, सभी मॉडलों को दो बड़े वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: भौतिक और गणितीय।

गणित मॉडलिंगइसे आमतौर पर गणितीय मॉडल का उपयोग करके प्रक्रियाओं या घटनाओं का अध्ययन करने का एक साधन माना जाता है।

अंतर्गत शारीरिक मॉडलिंगभौतिक मॉडलों पर वस्तुओं और घटनाओं के अध्ययन को संदर्भित करता है, जब अध्ययन की जा रही प्रक्रिया को उसकी भौतिक प्रकृति को संरक्षित करते हुए पुन: प्रस्तुत किया जाता है या अध्ययन की जा रही प्रक्रिया के समान किसी अन्य भौतिक घटना का उपयोग किया जाता है। जिसमें भौतिक मॉडलएक नियम के रूप में, वे मूल के उन भौतिक गुणों का वास्तविक अवतार मानते हैं जो किसी विशेष स्थिति में महत्वपूर्ण होते हैं, उदाहरण के लिए, एक नया विमान डिजाइन करते समय, एक मॉक-अप बनाया जाता है जिसमें समान वायुगतिकीय गुण होते हैं; किसी विकास की योजना बनाते समय, आर्किटेक्ट एक मॉडल बनाते हैं जो उसके तत्वों की स्थानिक व्यवस्था को दर्शाता है। इस संबंध में फिजिकल मॉडलिंग भी कहा जाता है प्रोटोटाइप.

आधा जीवन मॉडलिंगमॉडल में वास्तविक उपकरणों को शामिल करने के साथ मॉडलिंग कॉम्प्लेक्स पर नियंत्रणीय प्रणालियों का अध्ययन है। वास्तविक उपकरणों के साथ, बंद मॉडल में प्रभाव और हस्तक्षेप के सिमुलेटर, बाहरी वातावरण के गणितीय मॉडल और प्रक्रियाएं शामिल हैं जिनके लिए पर्याप्त सटीक गणितीय विवरण अज्ञात है। मॉडलिंग जटिल प्रक्रियाओं के सर्किट में वास्तविक उपकरण या वास्तविक प्रणालियों को शामिल करने से प्राथमिक अनिश्चितता को कम करना और उन प्रक्रियाओं का पता लगाना संभव हो जाता है जिनके लिए कोई सटीक गणितीय विवरण नहीं है। अर्ध-प्राकृतिक मॉडलिंग का उपयोग करते हुए, वास्तविक उपकरणों में निहित छोटे समय स्थिरांक और रैखिकताओं को ध्यान में रखते हुए अनुसंधान किया जाता है। वास्तविक उपकरणों का उपयोग करके मॉडल का अध्ययन करते समय, अवधारणा का उपयोग किया जाता है गतिशील अनुकरण, जटिल प्रणालियों और घटनाओं का अध्ययन करते समय - विकासवादी, नकलऔर साइबरनेटिक मॉडलिंग.

जाहिर है, मॉडलिंग का वास्तविक लाभ तभी प्राप्त किया जा सकता है जब दो शर्तें पूरी हों:

1) मॉडल गुणों का सही (पर्याप्त) प्रदर्शन प्रदान करता है

मूल, अध्ययनाधीन ऑपरेशन के दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण;

2) मॉडल आपको ऊपर सूचीबद्ध अंतर्निहित समस्याओं को खत्म करने की अनुमति देता है

वास्तविक वस्तुओं पर अनुसंधान करना।

2. गणितीय मॉडलिंग की बुनियादी अवधारणाएँ

गणितीय तरीकों का उपयोग करके व्यावहारिक समस्याओं को हल करना समस्या को तैयार करने (गणितीय मॉडल विकसित करने), परिणामी गणितीय मॉडल का अध्ययन करने के लिए एक विधि चुनने और प्राप्त गणितीय परिणाम का विश्लेषण करके लगातार किया जाता है। समस्या का गणितीय सूत्रीकरण आमतौर पर ज्यामितीय छवियों, कार्यों, समीकरणों की प्रणालियों आदि के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। किसी वस्तु (घटना) का विवरण निरंतर या असतत, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक और अन्य गणितीय रूपों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

गणितीय मॉडलिंग का सिद्धांतपूर्ण पैमाने पर परीक्षण किए बिना उनके गणितीय विवरण और मॉडलिंग के माध्यम से आसपास की दुनिया में विभिन्न घटनाओं की घटना या सिस्टम और उपकरणों के संचालन के पैटर्न की पहचान सुनिश्चित करता है। इस मामले में, गणित के प्रावधानों और कानूनों का उपयोग किया जाता है जो उनके आदर्शीकरण के कुछ स्तर पर अनुरूपित घटनाओं, प्रणालियों या उपकरणों का वर्णन करते हैं।

गणितीय मॉडल (एमएम)किसी अमूर्त भाषा में किसी सिस्टम (या ऑपरेशन) का औपचारिक विवरण है, उदाहरण के लिए, गणितीय संबंधों के एक सेट या एल्गोरिदम आरेख के रूप में, यानी। यानी एक गणितीय विवरण जो सिस्टम या उपकरणों के पूर्ण पैमाने पर परीक्षण के दौरान प्राप्त उनके वास्तविक व्यवहार के काफी करीब के स्तर पर सिस्टम या उपकरणों के संचालन का अनुकरण प्रदान करता है।

कोई भी एमएम किसी वास्तविक वस्तु, घटना या प्रक्रिया का कुछ हद तक वास्तविकता के सन्निकटन के साथ वर्णन करता है। एमएम का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और अध्ययन के उद्देश्यों दोनों पर निर्भर करता है।

गणित मॉडलिंगसामाजिक, आर्थिक, जैविक और भौतिक घटनाओं, वस्तुओं, प्रणालियों और विभिन्न उपकरणों का अध्ययन प्रकृति को समझने और विभिन्न प्रकार की प्रणालियों और उपकरणों को डिजाइन करने के सबसे महत्वपूर्ण साधनों में से एक है। वायुमंडलीय और समुद्री घटनाओं, मौसम आदि की भविष्यवाणी में, परमाणु प्रौद्योगिकियों, विमानन और एयरोस्पेस प्रणालियों के निर्माण में मॉडलिंग के प्रभावी उपयोग के ज्ञात उदाहरण हैं।

हालाँकि, मॉडलिंग के ऐसे गंभीर क्षेत्रों में अक्सर मॉडलिंग और इसकी डिबगिंग के लिए डेटा तैयार करने के लिए सुपर कंप्यूटर और वैज्ञानिकों की बड़ी टीमों द्वारा वर्षों के काम की आवश्यकता होती है। हालाँकि, इस मामले में, जटिल प्रणालियों और उपकरणों का गणितीय मॉडलिंग न केवल अनुसंधान और परीक्षण पर पैसा बचाता है, बल्कि पर्यावरणीय आपदाओं को भी समाप्त कर सकता है - उदाहरण के लिए, यह आपको उनके गणितीय मॉडलिंग के पक्ष में परमाणु और थर्मोन्यूक्लियर हथियारों के परीक्षण को छोड़ने की अनुमति देता है। या उनकी वास्तविक उड़ानों से पहले एयरोस्पेस प्रणालियों का परीक्षण, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, इलेक्ट्रॉनिक्स, रेडियो इंजीनियरिंग और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के कई अन्य क्षेत्रों से सरल समस्याओं को हल करने के स्तर पर गणितीय मॉडलिंग अब बन गया है। आधुनिक पीसी पर प्रदर्शन के लिए उपलब्ध है। और सामान्यीकृत मॉडल का उपयोग करते समय, काफी जटिल प्रणालियों का अनुकरण करना संभव हो जाता है, उदाहरण के लिए, दूरसंचार प्रणाली और नेटवर्क, रडार या रेडियो नेविगेशन सिस्टम।

गणितीय मॉडलिंग का उद्देश्यगणितीय तरीकों का उपयोग करके वास्तविक प्रक्रियाओं (प्रकृति या प्रौद्योगिकी में) का विश्लेषण है। बदले में, इसके अध्ययन के लिए एमएम प्रक्रिया की औपचारिकता की आवश्यकता होती है। मॉडल एक गणितीय अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें चर होते हैं जिनका व्यवहार वास्तविक प्रणाली के व्यवहार के समान होता है। मॉडल में यादृच्छिकता के तत्व शामिल हो सकते हैं जो संभावनाओं को ध्यान में रखते हैं दो या दो से अधिक "खिलाड़ियों" की संभावित गतिविधियाँ, उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक खेलों में; या यह ऑपरेटिंग सिस्टम के परस्पर जुड़े भागों के वास्तविक चर का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

सिस्टम की विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए गणितीय मॉडलिंग को विश्लेषणात्मक, सिमुलेशन और संयुक्त में विभाजित किया जा सकता है। बदले में, एमएम को सिमुलेशन और विश्लेषणात्मक में विभाजित किया गया है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग

के लिए विश्लेषणात्मक मॉडलिंगयह विशेषता है कि सिस्टम के कामकाज की प्रक्रियाएं कुछ कार्यात्मक संबंधों (बीजगणितीय, अंतर, अभिन्न समीकरण) के रूप में लिखी जाती हैं। विश्लेषणात्मक मॉडल का अध्ययन निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके किया जा सकता है:

1) विश्लेषणात्मक, जब वे सामान्य रूप में, सिस्टम की विशेषताओं के लिए स्पष्ट निर्भरता प्राप्त करने का प्रयास करते हैं;

2) संख्यात्मक, जब सामान्य रूप में समीकरणों का समाधान ढूंढना संभव नहीं होता है और उन्हें विशिष्ट प्रारंभिक डेटा के लिए हल किया जाता है;

3) गुणात्मक, जब समाधान के अभाव में इसके कुछ गुण पाए जाते हैं।

विश्लेषणात्मक मॉडल केवल अपेक्षाकृत सरल प्रणालियों के लिए ही प्राप्त किए जा सकते हैं। जटिल प्रणालियों के लिए, अक्सर बड़ी गणितीय समस्याएं उत्पन्न होती हैं। विश्लेषणात्मक पद्धति को लागू करने के लिए, वे मूल मॉडल के एक महत्वपूर्ण सरलीकरण पर जाते हैं। हालाँकि, सरलीकृत मॉडल का उपयोग करके अनुसंधान केवल सांकेतिक परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। विश्लेषणात्मक मॉडल गणितीय रूप से इनपुट और आउटपुट चर और मापदंडों के बीच संबंध को सही ढंग से दर्शाते हैं। लेकिन उनकी संरचना वस्तु की आंतरिक संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करती है।

विश्लेषणात्मक मॉडलिंग के दौरान इसके परिणाम विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत किये जाते हैं। उदाहरण के लिए, कनेक्ट करके आर.सी.- एक स्थिर वोल्टेज स्रोत के लिए सर्किट इ(आर, सीऔर इ- इस मॉडल के घटक), हम वोल्टेज की समय निर्भरता के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति बना सकते हैं यू(टी) संधारित्र पर सी:

यह रैखिक विभेदक समीकरण (DE) इस सरल रैखिक सर्किट का विश्लेषणात्मक मॉडल है। प्रारंभिक स्थिति के तहत इसका विश्लेषणात्मक समाधान यू(0) = 0, जिसका अर्थ है एक डिस्चार्ज कैपेसिटर सीमॉडलिंग की शुरुआत में, आपको वांछित निर्भरता खोजने की अनुमति मिलती है - एक सूत्र के रूप में:

यू(टी) = इ(1− पूर्वपी(- टी/आरसी)). (2)

हालाँकि, इस सरलतम उदाहरण में भी, DE (1) को हल करने या लागू करने के लिए कुछ प्रयासों की आवश्यकता होती है कंप्यूटर गणित प्रणाली(एससीएम) प्रतीकात्मक गणनाओं के साथ - कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली। इस पूरी तरह से तुच्छ मामले के लिए, एक रैखिक मॉडलिंग की समस्या को हल करना आर.सी.-सर्किट काफी सामान्य रूप की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति (2) देता है - यह किसी भी घटक रेटिंग के लिए सर्किट के संचालन का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है आर, सीऔर इ, और संधारित्र के घातीय आवेश का वर्णन करता है सीएक अवरोधक के माध्यम से आरएक स्थिर वोल्टेज स्रोत से इ.

बेशक, विश्लेषणात्मक मॉडलिंग के दौरान विश्लेषणात्मक समाधान ढूंढना सरल रैखिक सर्किट, सिस्टम और उपकरणों के सामान्य सैद्धांतिक पैटर्न की पहचान करने के लिए बेहद मूल्यवान साबित होता है, हालांकि, इसकी जटिलता तेजी से बढ़ जाती है क्योंकि मॉडल पर प्रभाव अधिक जटिल हो जाते हैं और क्रम और संख्या बढ़ जाती है प्रतिरूपित वस्तु वृद्धि का वर्णन करने वाले राज्य समीकरण। दूसरे या तीसरे क्रम की वस्तुओं का मॉडलिंग करते समय आप कम या ज्यादा दृश्यमान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन उच्च क्रम के साथ, विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ अत्यधिक बोझिल, जटिल और समझने में कठिन हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, एक साधारण इलेक्ट्रॉनिक एम्पलीफायर में भी अक्सर दर्जनों घटक होते हैं। हालाँकि, कई आधुनिक एससीएम, उदाहरण के लिए, प्रतीकात्मक गणित की प्रणालियाँ मेपल, गणितज्ञया पर्यावरण मतलब, जटिल विश्लेषणात्मक मॉडलिंग समस्याओं के समाधान को बड़े पैमाने पर स्वचालित करने में सक्षम हैं।

मॉडलिंग का एक प्रकार है संख्यात्मक मॉडलिंग,जिसमें किसी भी उपयुक्त संख्यात्मक विधि, जैसे यूलर या रनगे-कुट्टा विधियों द्वारा सिस्टम या उपकरणों के व्यवहार पर आवश्यक मात्रात्मक डेटा प्राप्त करना शामिल है। व्यवहार में, संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके गैर-रेखीय प्रणालियों और उपकरणों की मॉडलिंग करना व्यक्तिगत निजी रैखिक सर्किट, सिस्टम या उपकरणों के विश्लेषणात्मक मॉडलिंग की तुलना में बहुत अधिक प्रभावी होता है। उदाहरण के लिए, अधिक जटिल मामलों में डीई (1) या डीई सिस्टम को हल करने के लिए, विश्लेषणात्मक रूप में समाधान प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन संख्यात्मक सिमुलेशन डेटा का उपयोग करके, आप सिम्युलेटेड सिस्टम और उपकरणों के व्यवहार पर भी काफी संपूर्ण डेटा प्राप्त कर सकते हैं। इस व्यवहार का वर्णन करने वाली निर्भरता के ग्राफ़ का निर्माण करें।

सिमुलेशन मॉडलिंग

पर नकल 10और मॉडलिंग, मॉडल को लागू करने वाला एल्गोरिदम समय के साथ सिस्टम के कामकाज की प्रक्रिया को पुन: पेश करता है। प्रक्रिया को बनाने वाली प्राथमिक घटनाओं को समय के साथ उनकी तार्किक संरचना और घटनाओं के अनुक्रम को संरक्षित करते हुए अनुकरण किया जाता है।

विश्लेषणात्मक मॉडलों की तुलना में सिमुलेशन मॉडल का मुख्य लाभ अधिक जटिल समस्याओं को हल करने की क्षमता है।

सिमुलेशन मॉडल असतत या निरंतर तत्वों, गैर-रेखीय विशेषताओं, यादृच्छिक प्रभावों आदि की उपस्थिति को ध्यान में रखना आसान बनाते हैं। इसलिए, जटिल प्रणालियों के डिजाइन चरण में इस पद्धति का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सिमुलेशन मॉडलिंग को लागू करने का मुख्य साधन एक कंप्यूटर है, जो सिस्टम और सिग्नल के डिजिटल मॉडलिंग की अनुमति देता है।

इस संबंध में, आइए हम वाक्यांश को परिभाषित करें " कंप्यूटर मॉडलिंग”, जिसका प्रयोग साहित्य में तेजी से हो रहा है। चलिए मान लेते हैं कंप्यूटर मॉडलिंगकंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके गणितीय मॉडलिंग है। तदनुसार, कंप्यूटर मॉडलिंग तकनीक में निम्नलिखित क्रियाएं करना शामिल है:

1) मॉडलिंग का उद्देश्य निर्धारित करना;

2) एक वैचारिक मॉडल का विकास;

3) मॉडल का औपचारिकरण;

4) मॉडल का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन;

5) मॉडल प्रयोगों की योजना बनाना;

6) प्रायोगिक योजना का कार्यान्वयन;

7) सिमुलेशन परिणामों का विश्लेषण और व्याख्या।

पर सिमुलेशन मॉडलिंगप्रयुक्त एमएम सिस्टम मापदंडों और बाहरी वातावरण के मूल्यों के विभिन्न संयोजनों के लिए समय के साथ अध्ययन के तहत सिस्टम के कामकाज के एल्गोरिदम ("तर्क") को पुन: पेश करता है।

सरलतम विश्लेषणात्मक मॉडल का एक उदाहरण सरलरेखीय एकसमान गति का समीकरण है। सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करके ऐसी प्रक्रिया का अध्ययन करते समय, समय के साथ यात्रा किए गए पथ में परिवर्तनों का अवलोकन लागू किया जाना चाहिए, कुछ मामलों में विश्लेषणात्मक मॉडलिंग अधिक बेहतर है, दूसरों में - सिमुलेशन (या दोनों का संयोजन)। एक सफल विकल्प चुनने के लिए, आपको दो प्रश्नों के उत्तर देने होंगे।

मॉडलिंग का उद्देश्य क्या है?

प्रतिरूपित घटना को किस वर्ग में वर्गीकृत किया जा सकता है?

इन दोनों प्रश्नों के उत्तर मॉडलिंग के पहले दो चरणों के दौरान प्राप्त किए जा सकते हैं।

सिमुलेशन मॉडल न केवल गुणों में, बल्कि संरचना में भी मॉडल की गई वस्तु के अनुरूप होते हैं। इस मामले में, मॉडल पर प्राप्त प्रक्रियाओं और वस्तु पर होने वाली प्रक्रियाओं के बीच एक स्पष्ट और स्पष्ट पत्राचार होता है। अनुकरण का नुकसान यह है कि अच्छी सटीकता प्राप्त करने के लिए समस्या को हल करने में लंबा समय लगता है।

स्टोकेस्टिक प्रणाली के संचालन के सिमुलेशन मॉडलिंग के परिणाम यादृच्छिक चर या प्रक्रियाओं की प्राप्ति हैं। इसलिए, सिस्टम की विशेषताओं को खोजने के लिए, कई दोहराव और बाद में डेटा प्रोसेसिंग की आवश्यकता होती है। इस मामले में अक्सर एक प्रकार के अनुकरण का उपयोग किया जाता है - सांख्यिकीय

मॉडलिंग(या मोंटे कार्लो विधि), अर्थात्। मॉडलों में यादृच्छिक कारकों, घटनाओं, मात्राओं, प्रक्रियाओं, क्षेत्रों का पुनरुत्पादन।

सांख्यिकीय मॉडलिंग के परिणामों के आधार पर, प्रबंधित प्रणाली की कार्यप्रणाली और दक्षता को दर्शाने वाले सामान्य और विशिष्ट संभाव्य गुणवत्ता मानदंड के अनुमान निर्धारित किए जाते हैं। विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में वैज्ञानिक और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जटिल गतिशील प्रणालियों के अध्ययन, उनकी कार्यप्रणाली और दक्षता का आकलन करने में सांख्यिकीय मॉडलिंग विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय मॉडलिंग का अंतिम चरण प्राप्त परिणामों के गणितीय प्रसंस्करण पर आधारित है। यहां, गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का उपयोग किया जाता है (पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक अनुमान, परिकल्पना परीक्षण)। पैरामीट्रिक अनुमानक का एक उदाहरण प्रदर्शन माप का नमूना माध्य है। गैरपैरामीट्रिक तरीकों के बीच, व्यापक हिस्टोग्राम विधि.

विचाराधीन योजना प्रणाली के बार-बार सांख्यिकीय परीक्षणों और स्वतंत्र यादृच्छिक चर के आंकड़ों के तरीकों पर आधारित है। यह योजना हमेशा व्यवहार में प्राकृतिक और लागत के मामले में इष्टतम नहीं होती है। अधिक सटीक मूल्यांकन विधियों के उपयोग के माध्यम से सिस्टम परीक्षण समय को कम किया जा सकता है। जैसा कि गणितीय आँकड़ों से ज्ञात होता है, किसी दिए गए नमूना आकार के लिए प्रभावी अनुमानों में सबसे बड़ी सटीकता होती है। इष्टतम फ़िल्टरिंग और अधिकतम संभावना विधि ऐसे अनुमान प्राप्त करने के लिए एक सामान्य विधि प्रदान करती है, सांख्यिकीय मॉडलिंग समस्याओं में, न केवल आउटपुट प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं का प्रसंस्करण कार्यान्वयन आवश्यक है।

यादृच्छिक इनपुट प्रभावों की विशेषताओं का नियंत्रण भी बहुत महत्वपूर्ण है। नियंत्रण में दिए गए वितरणों के साथ उत्पन्न प्रक्रियाओं के वितरण के अनुपालन की जाँच करना शामिल है। इस समस्या को अक्सर इस प्रकार तैयार किया जाता है परिकल्पना परीक्षण समस्या.

जटिल नियंत्रित प्रणालियों के कंप्यूटर मॉडलिंग में सामान्य प्रवृत्ति मॉडलिंग समय को कम करने के साथ-साथ वास्तविक समय में अनुसंधान करने की इच्छा है। कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम को आवर्ती रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, जिससे वर्तमान जानकारी प्राप्त होने की दर पर उनके कार्यान्वयन की अनुमति मिलती है।

मॉडलिंग में सिस्टम दृष्टिकोण के सिद्धांत

सिस्टम सिद्धांत के मूल सिद्धांत

सिस्टम सिद्धांत के मूल सिद्धांत गतिशील प्रणालियों और उनके कार्यात्मक तत्वों के अध्ययन के दौरान उत्पन्न हुए। एक सिस्टम को परस्पर जुड़े हुए तत्वों के एक समूह के रूप में समझा जाता है जो एक पूर्व निर्धारित कार्य को पूरा करने के लिए एक साथ कार्य करते हैं। सिस्टम का विश्लेषण हमें किसी दिए गए कार्य को करने के सबसे यथार्थवादी तरीके निर्धारित करने की अनुमति देता है, जिससे बताई गई आवश्यकताओं की अधिकतम संतुष्टि सुनिश्चित होती है।

सिस्टम सिद्धांत का आधार बनने वाले तत्व परिकल्पनाओं के माध्यम से नहीं बनाए जाते हैं, बल्कि प्रयोगात्मक रूप से खोजे जाते हैं। किसी सिस्टम का निर्माण शुरू करने के लिए, तकनीकी प्रक्रियाओं की सामान्य विशेषताओं का होना आवश्यक है। गणितीय रूप से तैयार किए गए मानदंड बनाने के सिद्धांतों के संबंध में भी यही सच है कि एक प्रक्रिया या उसके सैद्धांतिक विवरण को संतुष्ट करना होगा। मॉडलिंग वैज्ञानिक अनुसंधान और प्रयोग के सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है।

वस्तुओं के मॉडल बनाते समय, एक सिस्टम दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है, जो जटिल समस्याओं को हल करने की एक पद्धति है, जो वस्तु को एक निश्चित वातावरण में काम करने वाले सिस्टम के रूप में मानने पर आधारित है। एक व्यवस्थित दृष्टिकोण में किसी वस्तु की अखंडता को प्रकट करना, उसकी आंतरिक संरचना की पहचान करना और उसका अध्ययन करना, साथ ही बाहरी वातावरण के साथ संबंध शामिल हैं। इस मामले में, वस्तु को वास्तविक दुनिया के एक हिस्से के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे एक मॉडल के निर्माण की समस्या के संबंध में अलग किया जाता है और अध्ययन किया जाता है। इसके अलावा, सिस्टम दृष्टिकोण में सामान्य से विशिष्ट तक लगातार संक्रमण शामिल होता है, जब डिजाइन लक्ष्य विचार का आधार होता है, और वस्तु को पर्यावरण के संबंध में माना जाता है।

एक जटिल वस्तु को उप-प्रणालियों में विभाजित किया जा सकता है, जो वस्तु के भाग हैं जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करते हैं:

1) एक सबसिस्टम किसी वस्तु का कार्यात्मक रूप से स्वतंत्र हिस्सा है। यह अन्य उपप्रणालियों से जुड़ा है, उनके साथ सूचना और ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है;

2) प्रत्येक सबसिस्टम के लिए ऐसे कार्यों या गुणों को परिभाषित किया जा सकता है जो पूरे सिस्टम के गुणों से मेल नहीं खाते हैं;

3) प्रत्येक उपप्रणाली को तत्वों के स्तर पर आगे विभाजित किया जा सकता है।

इस मामले में, एक तत्व को निम्न-स्तरीय उपप्रणाली के रूप में समझा जाता है, जिसका आगे का विभाजन समस्या के समाधान के दृष्टिकोण से अव्यावहारिक है।

इस प्रकार, एक प्रणाली को उसके निर्माण, अनुसंधान या सुधार के उद्देश्य से उपप्रणाली, तत्वों और कनेक्शन के एक सेट के रूप में किसी वस्तु के प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस मामले में, सिस्टम का एक विस्तृत प्रतिनिधित्व, जिसमें मुख्य उपप्रणाली और उनके बीच कनेक्शन शामिल हैं, को मैक्रोस्ट्रक्चर कहा जाता है, और तत्वों के स्तर तक सिस्टम की आंतरिक संरचना का विस्तृत खुलासा माइक्रोस्ट्रक्चर कहा जाता है।

सिस्टम के साथ, आमतौर पर एक सुपरसिस्टम होता है - एक उच्च स्तर की प्रणाली, जिसमें प्रश्न में वस्तु शामिल होती है, और किसी भी सिस्टम का कार्य केवल सुपरसिस्टम के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है।

बाहरी दुनिया की वस्तुओं के एक समूह के रूप में पर्यावरण की अवधारणा को उजागर करना आवश्यक है जो सिस्टम की दक्षता को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है, लेकिन सिस्टम और उसके सुपरसिस्टम का हिस्सा नहीं है।

मॉडलों के निर्माण के लिए सिस्टम दृष्टिकोण के संबंध में, बुनियादी ढांचे की अवधारणा का उपयोग किया जाता है, जो सिस्टम के उसके पर्यावरण (पर्यावरण) के साथ संबंध का वर्णन करता है, इस मामले में, किसी वस्तु के गुणों की पहचान, विवरण और अध्ययन आवश्यक है किसी विशिष्ट कार्य के ढांचे के भीतर वस्तु का स्तरीकरण कहा जाता है, और वस्तु का कोई भी मॉडल उसका स्तरीकृत विवरण होता है।

सिस्टम दृष्टिकोण के लिए, सिस्टम की संरचना का निर्धारण करना महत्वपूर्ण है, अर्थात। सिस्टम के तत्वों के बीच कनेक्शन का एक सेट, जो उनकी बातचीत को दर्शाता है। ऐसा करने के लिए, हम पहले मॉडलिंग के संरचनात्मक और कार्यात्मक दृष्टिकोण पर विचार करते हैं।

संरचनात्मक दृष्टिकोण से, सिस्टम के चयनित तत्वों की संरचना और उनके बीच संबंध का पता चलता है। तत्वों और कनेक्शनों का सेट हमें सिस्टम की संरचना का न्याय करने की अनुमति देता है। किसी संरचना का सबसे सामान्य विवरण टोपोलॉजिकल विवरण है। यह आपको ग्राफ़ का उपयोग करके सिस्टम के घटकों और उनके कनेक्शन को निर्धारित करने की अनुमति देता है। कार्यात्मक विवरण कम सामान्य है, जब व्यक्तिगत कार्यों पर विचार किया जाता है, यानी, सिस्टम के व्यवहार के लिए एल्गोरिदम। इस मामले में, एक कार्यात्मक दृष्टिकोण लागू किया जाता है जो सिस्टम द्वारा किए जाने वाले कार्यों को परिभाषित करता है।

सिस्टम दृष्टिकोण के आधार पर, मॉडल विकास का एक क्रम प्रस्तावित किया जा सकता है, जब दो मुख्य डिज़ाइन चरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है: मैक्रोडिज़ाइन और माइक्रोडिज़ाइन।

मैक्रो-डिज़ाइन चरण में, बाहरी वातावरण का एक मॉडल बनाया जाता है, संसाधनों और सीमाओं की पहचान की जाती है, एक सिस्टम मॉडल और पर्याप्तता का आकलन करने के लिए मानदंड चुने जाते हैं।

सूक्ष्म-डिज़ाइन चरण काफी हद तक चुने गए विशिष्ट प्रकार के मॉडल पर निर्भर करता है। सामान्य तौर पर, इसमें सूचना, गणितीय, तकनीकी और सॉफ्टवेयर मॉडलिंग सिस्टम का निर्माण शामिल है। इस स्तर पर, बनाए गए मॉडल की मुख्य तकनीकी विशेषताओं को स्थापित किया जाता है, इसके साथ काम करने के लिए आवश्यक समय और मॉडल की निर्दिष्ट गुणवत्ता प्राप्त करने के लिए संसाधनों की लागत का अनुमान लगाया जाता है।

मॉडल के प्रकार के बावजूद, इसे बनाते समय व्यवस्थित दृष्टिकोण के कई सिद्धांतों द्वारा निर्देशित होना आवश्यक है:

1) एक मॉडल बनाने के चरणों के माध्यम से लगातार प्रगति;

2) सूचना, संसाधन, विश्वसनीयता और अन्य विशेषताओं का समन्वय;

3) मॉडल निर्माण के विभिन्न स्तरों के बीच सही संबंध;

4) मॉडल डिजाइन के व्यक्तिगत चरणों की अखंडता।

इस लेख में, हम गणितीय मॉडल के उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इसके अलावा, हम मॉडल बनाने के चरणों पर ध्यान देंगे और गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कुछ समस्याओं का विश्लेषण करेंगे।

हमारे पास एक और प्रश्न अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल है, जिसके उदाहरणों की परिभाषा हम थोड़ी देर बाद देखेंगे। हम "मॉडल" की अवधारणा के साथ अपनी बातचीत शुरू करने का प्रस्ताव करते हैं, संक्षेप में उनके वर्गीकरण पर विचार करते हैं और अपने मुख्य प्रश्नों पर आगे बढ़ते हैं।

"मॉडल" की अवधारणा

हम अक्सर "मॉडल" शब्द सुनते हैं। यह क्या है? इस शब्द की कई परिभाषाएँ हैं, यहाँ उनमें से केवल तीन हैं:

• एक विशिष्ट वस्तु जो जानकारी प्राप्त करने और संग्रहीत करने के लिए बनाई गई है, जो इस वस्तु के मूल के कुछ गुणों या विशेषताओं आदि को दर्शाती है (इस विशिष्ट वस्तु को विभिन्न रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: मानसिक, संकेतों का उपयोग करके विवरण, और इसी तरह);
• एक मॉडल का अर्थ किसी विशिष्ट स्थिति, जीवन या प्रबंधन का प्रतिबिंब भी होता है;
• एक मॉडल किसी वस्तु की एक छोटी प्रति हो सकता है (वे अधिक विस्तृत अध्ययन और विश्लेषण के लिए बनाए जाते हैं, क्योंकि मॉडल संरचना और संबंधों को दर्शाता है)।

पहले कही गई हर बात के आधार पर, हम एक छोटा सा निष्कर्ष निकाल सकते हैं: मॉडल आपको एक जटिल प्रणाली या वस्तु का विस्तार से अध्ययन करने की अनुमति देता है।

सभी मॉडलों को कई विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• उपयोग के क्षेत्र के अनुसार (शैक्षिक, प्रयोगात्मक, वैज्ञानिक और तकनीकी, गेमिंग, सिमुलेशन);
• गतिशीलता द्वारा (स्थिर और गतिशील);
• ज्ञान की शाखा द्वारा (भौतिक, रासायनिक, भौगोलिक, ऐतिहासिक, समाजशास्त्रीय, आर्थिक, गणितीय);
• प्रस्तुति की विधि द्वारा (सामग्री और सूचनात्मक)।

सूचना मॉडल, बदले में, प्रतीकात्मक और मौखिक में विभाजित हैं। और प्रतीकात्मक वाले - कंप्यूटर और गैर-कंप्यूटर वाले में। आइए अब गणितीय मॉडल के उदाहरणों पर विस्तृत विचार करें।

गणित का मॉडल

जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक गणितीय मॉडल विशेष गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके किसी वस्तु या घटना की किसी भी विशेषता को दर्शाता है। आसपास की दुनिया के पैटर्न को अपनी विशिष्ट भाषा में मॉडल करने के लिए गणित की आवश्यकता होती है।

गणितीय मॉडलिंग की पद्धति की उत्पत्ति काफी समय पहले, हजारों साल पहले, इस विज्ञान के आगमन के साथ ही हुई थी। हालाँकि, इस मॉडलिंग पद्धति के विकास को प्रोत्साहन कंप्यूटर (इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर) के उद्भव से मिला।

अब चलिए वर्गीकरण की ओर बढ़ते हैं। इसे कुछ संकेतों के अनुसार भी किया जा सकता है। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

हम रुकने और नवीनतम वर्गीकरण पर करीब से नज़र डालने का प्रस्ताव करते हैं, क्योंकि यह मॉडलिंग के सामान्य पैटर्न और बनाए जा रहे मॉडलों के लक्ष्यों को दर्शाता है।

वर्णनात्मक मॉडल

इस अध्याय में, हम वर्णनात्मक गणितीय मॉडल पर अधिक विस्तार से ध्यान देने का प्रस्ताव करते हैं। सब कुछ बिल्कुल स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दिया जाएगा.

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि इस दृश्य को वर्णनात्मक कहा जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि हम केवल गणना और पूर्वानुमान करते हैं, लेकिन किसी भी तरह से घटना के परिणाम को प्रभावित नहीं कर सकते हैं।

वर्णनात्मक गणितीय मॉडल का एक उल्लेखनीय उदाहरण हमारे सौर मंडल के विस्तार पर आक्रमण करने वाले धूमकेतु के उड़ान पथ, गति और पृथ्वी से दूरी की गणना है। यह मॉडल वर्णनात्मक है, क्योंकि प्राप्त सभी परिणाम हमें केवल किसी खतरे से आगाह कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, हम घटना के नतीजे को प्रभावित नहीं कर सकते। हालाँकि, प्राप्त गणनाओं के आधार पर, पृथ्वी पर जीवन को संरक्षित करने के लिए कोई भी उपाय करना संभव है।

अनुकूलन मॉडल

अब हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करेंगे, जिनके उदाहरण विभिन्न मौजूदा स्थितियों के रूप में काम कर सकते हैं। इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो कुछ शर्तों के तहत सही उत्तर खोजने में मदद करते हैं। उनके पास निश्चित रूप से कुछ पैरामीटर हैं. इसे पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, आइए कृषि क्षेत्र से एक उदाहरण देखें।

हमारे पास अन्न भंडार है, लेकिन अनाज बहुत जल्दी खराब हो जाता है। इस मामले में, हमें सही तापमान की स्थिति चुनने और भंडारण प्रक्रिया को अनुकूलित करने की आवश्यकता है।

इस प्रकार, हम "अनुकूलन मॉडल" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। गणितीय अर्थ में, यह समीकरणों (रैखिक और गैर दोनों) की एक प्रणाली है, जिसका समाधान किसी विशिष्ट आर्थिक स्थिति में इष्टतम समाधान खोजने में मदद करता है। हमने गणितीय मॉडल (अनुकूलन) का एक उदाहरण देखा, लेकिन मैं जोड़ना चाहूंगा: यह प्रकार अत्यधिक समस्याओं के वर्ग से संबंधित है, वे आर्थिक प्रणाली के कामकाज का वर्णन करने में मदद करते हैं।

आइए एक और बारीकियों पर ध्यान दें: मॉडल अलग-अलग प्रकृति के हो सकते हैं (नीचे तालिका देखें)।

बहुमानदंड मॉडल

अब हम आपको बहुमानदंड अनुकूलन के गणितीय मॉडल के बारे में थोड़ी बात करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इससे पहले, हमने किसी एक मानदंड के अनुसार किसी प्रक्रिया को अनुकूलित करने के लिए गणितीय मॉडल का एक उदाहरण दिया था, लेकिन यदि उनमें से कई हों तो क्या होगा?

बहु-मापदंड कार्य का एक उल्लेखनीय उदाहरण लोगों के बड़े समूहों के लिए उचित, स्वस्थ और साथ ही किफायती पोषण का संगठन है। ऐसे कार्य अक्सर सेना, स्कूल कैंटीन, ग्रीष्मकालीन शिविरों, अस्पतालों आदि में सामने आते हैं।

इस कार्य में हमें क्या मापदंड दिए गए हैं?

1. पोषण स्वस्थ होना चाहिए.
2. भोजन का खर्च न्यूनतम होना चाहिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये लक्ष्य बिल्कुल भी मेल नहीं खाते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी समस्या को हल करते समय, एक इष्टतम समाधान, दो मानदंडों के बीच संतुलन की तलाश करना आवश्यक है।

खेल मॉडल

गेम मॉडल के बारे में बात करते समय, "गेम थ्योरी" की अवधारणा को समझना आवश्यक है। सीधे शब्दों में कहें तो ये मॉडल वास्तविक संघर्षों के गणितीय मॉडल को दर्शाते हैं। आपको बस यह समझना होगा कि, वास्तविक संघर्ष के विपरीत, गेम गणितीय मॉडल के अपने विशिष्ट नियम होते हैं।

अब हम गेम थ्योरी से न्यूनतम जानकारी प्रदान करेंगे जिससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि गेम मॉडल क्या है। और इसलिए, मॉडल में आवश्यक रूप से पार्टियाँ (दो या अधिक) शामिल होती हैं, जिन्हें आमतौर पर खिलाड़ी कहा जाता है।

सभी मॉडलों में कुछ विशेषताएं होती हैं।

गेम मॉडल को युग्मित या एकाधिक किया जा सकता है। यदि हमारे पास दो विषय हैं, तो संघर्ष युग्मित है, यदि अधिक हैं, तो यह एकाधिक है। आप एक विरोधी खेल को भी अलग कर सकते हैं, इसे शून्य-योग खेल भी कहा जाता है। यह एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक प्रतिभागी का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर होता है।

सिमुलेशन मॉडल

इस अनुभाग में हम सिमुलेशन गणितीय मॉडल पर ध्यान देंगे। कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• सूक्ष्मजीव जनसंख्या गतिशीलता का मॉडल;
• आणविक गति का मॉडल, इत्यादि।

इस मामले में, हम उन मॉडलों के बारे में बात कर रहे हैं जो वास्तविक प्रक्रियाओं के यथासंभव करीब हैं। कुल मिलाकर, वे प्रकृति में किसी अभिव्यक्ति की नकल करते हैं। पहले मामले में, उदाहरण के लिए, हम एक कॉलोनी में चींटियों की संख्या की गतिशीलता का अनुकरण कर सकते हैं। साथ ही, आप प्रत्येक व्यक्ति के भाग्य का निरीक्षण कर सकते हैं। इस मामले में, गणितीय विवरण का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है, लिखित स्थितियाँ अधिक बार मौजूद होती हैं:

• पाँच दिनों के बाद मादा अंडे देती है;
• बीस दिनों के बाद चींटी मर जाती है, इत्यादि।

इस प्रकार, उनका उपयोग एक बड़ी प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जाता है। गणितीय निष्कर्ष प्राप्त सांख्यिकीय डेटा का प्रसंस्करण है।

आवश्यकताएं

यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि इस प्रकार के मॉडल की कुछ आवश्यकताएँ हैं, जिनमें नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध चीज़ें भी शामिल हैं।

मॉडलिंग चरण

कुल मिलाकर, गणितीय मॉडलिंग को आमतौर पर चार चरणों में विभाजित किया जाता है।

1. मॉडल के हिस्सों को जोड़ने वाले कानूनों का निर्माण।
2. गणितीय समस्याओं का अध्ययन.
3. व्यावहारिक और सैद्धांतिक परिणामों के संयोग का निर्धारण।
4. मॉडल का विश्लेषण और आधुनिकीकरण।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

इस अनुभाग में हम इस मुद्दे पर संक्षेप में प्रकाश डालेंगे। कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• मांस उत्पादों के उत्पादन के लिए एक उत्पादन कार्यक्रम का गठन जो अधिकतम उत्पादन लाभ सुनिश्चित करता है;
• किसी फ़र्निचर फ़ैक्टरी में उत्पादित मेज़ों और कुर्सियों की इष्टतम मात्रा की गणना करके संगठन के लाभ को अधिकतम करना, इत्यादि।

आर्थिक-गणितीय मॉडल आर्थिक अमूर्तता को प्रदर्शित करता है, जिसे गणितीय शब्दों और प्रतीकों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

कंप्यूटर गणितीय मॉडल

कंप्यूटर गणितीय मॉडल के उदाहरण हैं:

• फ़्लोचार्ट, आरेख, तालिकाओं आदि का उपयोग करके हाइड्रोलिक समस्याएं;
• ठोस यांत्रिकी पर समस्याएँ, इत्यादि।

एक कंप्यूटर मॉडल किसी वस्तु या सिस्टम की एक छवि है, जिसे इस रूप में प्रस्तुत किया गया है:

• टेबल;
• ब्लॉक आरेख;
• आरेख;
• ग्राफ़िक्स, इत्यादि.

इसके अलावा, यह मॉडल सिस्टम की संरचना और अंतर्संबंधों को दर्शाता है।

एक आर्थिक और गणितीय मॉडल का निर्माण

हम पहले ही बात कर चुके हैं कि आर्थिक-गणितीय मॉडल क्या है। समस्या को हल करने का एक उदाहरण अभी माना जाएगा। हमें वर्गीकरण में बदलाव के साथ बढ़ते मुनाफे के लिए रिजर्व की पहचान करने के लिए उत्पादन कार्यक्रम का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

हम समस्या पर पूरी तरह विचार नहीं करेंगे, बल्कि केवल एक आर्थिक और गणितीय मॉडल बनाएंगे। हमारे कार्य की कसौटी लाभ अधिकतमीकरण है। फिर फ़ंक्शन का रूप है: А=р1*х1+р2*х2..., अधिकतम की ओर रुझान। इस मॉडल में, p प्रति यूनिट लाभ है और x उत्पादित इकाइयों की संख्या है। अगला, निर्मित मॉडल के आधार पर, गणना करना और सारांशित करना आवश्यक है।

एक सरल गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण

काम।मछुआरा निम्नलिखित कैच लेकर लौटा:

• 8 मछलियाँ - उत्तरी समुद्र के निवासी;
• पकड़ी गई मछली का 20% दक्षिणी समुद्र के निवासी हैं;
• स्थानीय नदी से एक भी मछली नहीं मिली।

उसने दुकान से कितनी मछलियाँ खरीदीं?

तो, इस समस्या का गणितीय मॉडल बनाने का एक उदाहरण इस तरह दिखता है। हम मछलियों की कुल संख्या को x से दर्शाते हैं। स्थिति के अनुसार, दक्षिणी अक्षांशों में रहने वाली मछलियों की संख्या 0.2x है। अब हम सभी उपलब्ध जानकारी को जोड़ते हैं और समस्या का गणितीय मॉडल प्राप्त करते हैं: x=0.2x+8. हम समीकरण को हल करते हैं और मुख्य प्रश्न का उत्तर प्राप्त करते हैं: उसने दुकान में 10 मछलियाँ खरीदीं।