रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के उदाहरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें। मौलिक निर्णय प्रणाली (विशिष्ट उदाहरण)

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर को SLAE के लिए एक गैर-तुच्छ और मौलिक समाधान खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है। परिणामी समाधान एक Word फ़ाइल में सहेजा जाता है (उदाहरण समाधान देखें)।

निर्देश। मैट्रिक्स आयाम चुनें:

रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणालियों के गुण

प्रमेय. मामले में एक प्रणाली एम=एन एक गैर-तुच्छ समाधान है यदि और केवल यदि इस प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है।

प्रमेय. किसी प्रणाली के समाधानों का कोई भी रैखिक संयोजन भी उस प्रणाली का एक समाधान है।
परिभाषा. रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के समुच्चय को कहा जाता है समाधान की मौलिक प्रणाली, यदि इस सेट में रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान शामिल हैं और सिस्टम का कोई भी समाधान इन समाधानों का एक रैखिक संयोजन है।

प्रमेय. यदि सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक r अज्ञात की संख्या n से कम है, तो (n-r) समाधानों से युक्त समाधानों की एक मौलिक प्रणाली मौजूद है।

रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना.
2. हम मूल लघु का चयन करते हैं। हम आश्रित (मूल) और मुक्त अज्ञात में अंतर करते हैं।
3. हम सिस्टम के उन समीकरणों को काट देते हैं जिनके गुणांकों को आधार माइनर में शामिल नहीं किया जाता है, क्योंकि वे दूसरों के परिणाम हैं (बेस माइनर पर प्रमेय के अनुसार)।
4. हम मुक्त अज्ञात वाले समीकरणों के पदों को दाईं ओर ले जाते हैं। परिणामस्वरूप, हमें r अज्ञात के साथ r समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है, जो दिए गए समीकरण के बराबर है, जिसका निर्धारक गैर-शून्य है।
5. हम अज्ञात को हटाकर परिणामी प्रणाली का समाधान करते हैं। हम ऐसे संबंध पाते हैं जो आश्रित चरों को स्वतंत्र चरों के माध्यम से व्यक्त करते हैं।
6. यदि मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या के बराबर नहीं है, तो हम सिस्टम का मौलिक समाधान ढूंढते हैं।
7. रंग = n के मामले में हमारे पास एक तुच्छ समाधान है।

उदाहरण। सदिशों की प्रणाली (a 1, a 2,...,a m) का आधार खोजें, आधार के आधार पर सदिशों को रैंक करें और व्यक्त करें। यदि 1 =(0,0,1,-1), और 2 =(1,1,2,0), और 3 =(1,1,1,1), और 4 =(3,2,1) ,4), और 5 =(2,1,0,3).
आइए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लिखें:

एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है और इसका एक तुच्छ समाधान होता है
. एक गैर-तुच्छ समाधान के अस्तित्व के लिए, मैट्रिक्स की रैंक आवश्यक है अज्ञातों की संख्या से कम थी:

.

समाधान की मौलिक प्रणाली सजातीय प्रणाली
कॉलम वैक्टर के रूप में समाधानों की एक प्रणाली को कॉल करें
, जो विहित आधार के अनुरूप है, अर्थात। आधार जिसमें मनमाना स्थिरांक
बारी-बारी से एक के बराबर सेट किया जाता है, जबकि बाकी को शून्य पर सेट किया जाता है।

तब सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान का रूप होता है:

कहाँ
- मनमाना स्थिरांक. दूसरे शब्दों में, समग्र समाधान समाधान की मौलिक प्रणाली का एक रैखिक संयोजन है।

इस प्रकार, सामान्य समाधान से बुनियादी समाधान प्राप्त किया जा सकता है यदि मुक्त अज्ञात को बदले में एक का मान दिया जाए, अन्य सभी को शून्य के बराबर सेट किया जाए।

उदाहरण. आइए सिस्टम का समाधान खोजें

आइए स्वीकार करें, फिर हमें इस रूप में एक समाधान मिलता है:

आइए अब हम समाधानों की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें:

.

सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:

सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

दूसरे शब्दों में, एक सजातीय प्रणाली के समाधानों का कोई भी रैखिक संयोजन फिर से एक समाधान है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में कई शताब्दियों से गणितज्ञों की रुचि रही है। पहला परिणाम 18वीं शताब्दी में प्राप्त हुआ। 1750 में, जी. क्रेमर (1704-1752) ने वर्ग आव्यूह के निर्धारकों पर अपना काम प्रकाशित किया और व्युत्क्रम आव्यूह खोजने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तावित किया। 1809 में, गॉस ने एक नई समाधान विधि की रूपरेखा तैयार की जिसे उन्मूलन की विधि के रूप में जाना जाता है।

गॉस विधि, या अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि, इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण (या त्रिकोणीय) रूप की समकक्ष प्रणाली में घटा दिया जाता है। ऐसी प्रणालियाँ एक निश्चित क्रम में सभी अज्ञात को क्रमिक रूप से खोजना संभव बनाती हैं।

आइए मान लें कि सिस्टम (1) में
(जो सदैव संभव है)।

(1)

पहले समीकरण को तथाकथित से एक-एक करके गुणा करना उपयुक्त संख्याएँ

और सिस्टम के संगत समीकरणों के साथ गुणन के परिणाम को जोड़ने पर, हमें एक समतुल्य सिस्टम प्राप्त होता है जिसमें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में कोई अज्ञात नहीं होगा एक्स 1

(2)

आइए अब हम सिस्टम (2) के दूसरे समीकरण को यह मानते हुए उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें

,

और इसे निचले वाले के साथ जोड़कर, हम वेरिएबल को खत्म कर देते हैं सभी समीकरणों से, तीसरे से शुरू करके।

इसके बाद भी यह प्रक्रिया जारी रहेगी
चरण हमें मिलता है:

(3)

यदि संख्याओं में से कम से कम एक
शून्य के बराबर नहीं है, तो संगत समानता विरोधाभासी है और प्रणाली (1) असंगत है। इसके विपरीत, किसी भी संयुक्त संख्या प्रणाली के लिए
शून्य के बराबर हैं. संख्या सिस्टम (1) के मैट्रिक्स की रैंक से अधिक कुछ नहीं है।

सिस्टम (1) से (3) में संक्रमण कहा जाता है सीधा गॉस विधि, और (3) से अज्ञात का पता लगाना - उलटे हुए .

टिप्पणी : स्वयं समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स (1) के साथ परिवर्तन करना अधिक सुविधाजनक है।

उदाहरण. आइए सिस्टम का समाधान खोजें

.

आइए सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखें:

.

आइए पंक्ति 2,3,4 में पहले वाले को क्रमशः (-2), (-3), (-2) से गुणा करके जोड़ें:

.

आइए पंक्तियों 2 और 3 की अदला-बदली करें, फिर परिणामी मैट्रिक्स में पंक्ति 2 को पंक्ति 4 से गुणा करके जोड़ें :

.

पंक्ति 4 में पंक्ति 3 से गुणा करके जोड़ें
:

.

यह तो स्पष्ट है
, इसलिए, प्रणाली सुसंगत है। समीकरणों की परिणामी प्रणाली से

हम विपरीत प्रतिस्थापन द्वारा समाधान पाते हैं:

,
,
,
.

उदाहरण 2.सिस्टम का समाधान खोजें:

.

यह स्पष्ट है कि व्यवस्था असंगत है, क्योंकि
, ए
.

गॉस विधि के लाभ :

क्रैमर विधि की तुलना में कम श्रम गहन।

स्पष्ट रूप से सिस्टम की अनुकूलता स्थापित करता है और आपको समाधान खोजने की अनुमति देता है।

किसी भी मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना संभव बनाता है।

रेखीय समीकरण कहलाता है सजातीय, यदि इसका मुक्त पद शून्य के बराबर है, और अन्यथा अमानवीय है। सजातीय समीकरणों से युक्त प्रणाली को सजातीय कहा जाता है और इसका सामान्य रूप होता है:

यह स्पष्ट है कि प्रत्येक सजातीय प्रणाली सुसंगत है और इसका एक शून्य (तुच्छ) समाधान है। इसलिए, जब रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों पर लागू किया जाता है, तो अक्सर गैर-शून्य समाधानों के अस्तित्व के प्रश्न का उत्तर ढूंढना पड़ता है। इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है।

प्रमेय . रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल तभी जब इसकी रैंक अज्ञात की संख्या से कम हो .

सबूत: आइए मान लें कि जिस प्रणाली की रैंक बराबर है उसका समाधान गैर-शून्य है। जाहिर है यह इससे अधिक नहीं है. यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। चूँकि सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली में हमेशा शून्य समाधान होता है, तो शून्य समाधान यह अद्वितीय समाधान होगा। इस प्रकार, गैर-शून्य समाधान केवल के लिए संभव हैं।

परिणाम 1 : समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है, का हमेशा एक गैर-शून्य समाधान होता है।

सबूत: यदि समीकरणों की एक प्रणाली है, तो प्रणाली की रैंक समीकरणों की संख्या से अधिक नहीं है, अर्थात। . इस प्रकार, शर्त पूरी हो जाती है और इसलिए, सिस्टम के पास एक गैर-शून्य समाधान होता है।

परिणाम 2 : अज्ञात के साथ समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल तभी जब इसका निर्धारक शून्य हो।

सबूत: आइए मान लें कि रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली, जिसके मैट्रिक्स में निर्धारक के साथ एक गैर-शून्य समाधान होता है। फिर, सिद्ध प्रमेय के अनुसार, और इसका अर्थ है कि मैट्रिक्स एकवचन है, अर्थात। .

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली.

n चर वाले m रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली कहा जाता है यदि सभी मुक्त पद 0 के बराबर हों। रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि इसका हमेशा कम से कम शून्य समाधान होता है। रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल तभी जब चर के लिए इसके गुणांक के मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या से कम हो, यानी। रैंक ए के लिए (एन। कोई रैखिक संयोजन

लिन सिस्टम समाधान. सजातीय. ur-ii भी इस प्रणाली का एक समाधान है।

रैखिक स्वतंत्र समाधान e1, e2,...,ek की एक प्रणाली को मौलिक कहा जाता है यदि प्रणाली का प्रत्येक समाधान समाधानों का एक रैखिक संयोजन है। प्रमेय: यदि रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली के चर के लिए गुणांक के मैट्रिक्स का रैंक आर चर एन की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समाधान की प्रत्येक मौलिक प्रणाली में एनआर समाधान होते हैं। इसलिए, रैखिक प्रणाली का सामान्य समाधान. एक दिन ur-th का रूप है: c1e1+c2e2+...+skek, जहां e1, e2,..., ek समाधान की कोई मौलिक प्रणाली है, c1, c2,...,ck मनमानी संख्याएं हैं और k=n-r। n चर वाले m रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान योग के बराबर है

इसके अनुरूप प्रणाली का सामान्य समाधान सजातीय है। रैखिक समीकरण और इस प्रणाली का एक मनमाना विशेष समाधान।

7. रैखिक स्थान. उपस्थान। आधार, आयाम. रैखिक खोल. रैखिक स्थान कहलाता है n आयामी, यदि इसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की एक प्रणाली है, और बड़ी संख्या में वैक्टर की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। नंबर पर कॉल किया जाता है आयाम (आयामों की संख्या)रैखिक स्थान और द्वारा निरूपित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी स्थान का आयाम इस स्थान के रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टरों की अधिकतम संख्या है। यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद है, तो स्थान को परिमित-आयामी कहा जाता है। यदि, किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए, अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर से युक्त एक प्रणाली है, तो ऐसे स्थान को अनंत-आयामी (लिखित:) कहा जाता है। निम्नलिखित में, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो, परिमित-आयामी स्थानों पर विचार किया जाएगा।

एन-आयामी रैखिक स्थान का आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक क्रमबद्ध संग्रह है ( आधार वैक्टर).

आधार के संदर्भ में एक वेक्टर के विस्तार पर प्रमेय 8.1। यदि एन-आयामी रैखिक स्थान का आधार है, तो किसी भी वेक्टर को आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
और, इसके अलावा, एकमात्र तरीके से, अर्थात्। गुणांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को एक आधार में और इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से विस्तारित किया जा सकता है।

दरअसल, अंतरिक्ष का आयाम है। सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है (यह एक आधार है)। किसी भी वेक्टर को आधार में जोड़ने के बाद, हमें एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त होती है (क्योंकि इस प्रणाली में एन-आयामी अंतरिक्ष के वैक्टर होते हैं)। 7 रैखिक रूप से आश्रित और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की संपत्ति का उपयोग करके, हम प्रमेय का निष्कर्ष प्राप्त करते हैं।

6.3. रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ

आइए अब सिस्टम में (6.1).

एक सजातीय प्रणाली सदैव सुसंगत रहती है। समाधान () कहा जाता है शून्य, या मामूली.

एक सजातीय प्रणाली (6.1) का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल यदि इसकी रैंक ( ) अज्ञात की संख्या से कम है। विशेष रूप से, एक सजातीय प्रणाली जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या के बराबर होती है, उसका एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल तभी जब इसका निर्धारक शून्य हो।

क्योंकि इस बार सब कुछ, सूत्र (6.6) के बजाय हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:

(6.7)

सूत्र (6.7) में सजातीय प्रणाली (6.1) का कोई समाधान होता है।

1. रैखिक समीकरणों (6.1) की सजातीय प्रणाली के सभी समाधानों का समुच्चय एक रैखिक स्थान बनाता है।

2. रैखिक स्थानआररैखिक समीकरणों (6.1) की सजातीय प्रणाली के सभी समाधानएनअज्ञात और मुख्य मैट्रिक्स की रैंक के बराबरआर, आयाम हैएन–आर.

का कोई भी सेट (एन–आर) सजातीय प्रणाली (6.1) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैंआरसभी निर्णय. यह कहा जाता है मौलिकसमीकरणों की सजातीय प्रणाली (6.1) के समाधान का एक सेट। पर विशेष बल दिया गया है "सामान्य"सजातीय प्रणाली के समाधान का मौलिक सेट (6.1):

(6.8)

आधार की परिभाषा से, कोई समाधान एक्ससजातीय प्रणाली (6.1) को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

(6.9)

कहाँ - मनमाना स्थिरांक.

चूँकि सूत्र (6.9) में सजातीय प्रणाली (6.1) का कोई समाधान शामिल है, यह देता है सामान्य निर्णययह प्रणाली।

उदाहरण।

समाधानकैलकुलेटर का उपयोग करके खोजें। समाधान एल्गोरिथ्म रैखिक अमानवीय समीकरणों की प्रणालियों के समान है।
केवल पंक्तियों के साथ संचालन करते हुए, हम मैट्रिक्स की रैंक पाते हैं, आधार मामूली; हम आश्रित और मुक्त अज्ञात की घोषणा करते हैं और एक सामान्य समाधान ढूंढते हैं।

उदाहरण 2. सिस्टम का सामान्य समाधान और समाधान की मौलिक प्रणाली खोजें
समाधान।



,
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मैट्रिक्स की रैंक 3 है और अज्ञात की संख्या के बराबर है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम में मुक्त अज्ञात नहीं है, और इसलिए इसका एक अनूठा समाधान है - एक तुच्छ समाधान।

व्यायाम । रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अन्वेषण करें और हल करें।
उदाहरण 4

व्यायाम । प्रत्येक प्रणाली के सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
समाधान।आइए सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लिखें:

काम । रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का एक मौलिक सेट खोजें।