एक जटिल फलन x x का व्युत्पन्न। जटिल व्युत्पन्न

किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की गणना करने के उदाहरण दिए गए हैं।

यह सभी देखें: किसी जटिल फलन के अवकलज के सूत्र का प्रमाण

मूल सूत्र

यहां हम निम्नलिखित कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण देते हैं:
; ; ; ; .

यदि किसी फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
तो इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
नीचे दिए गए उदाहरणों में, हम इस सूत्र को इस प्रकार लिखेंगे:
.
कहाँ ।
यहां, उपस्क्रिप्ट या, व्युत्पन्न चिह्न के नीचे स्थित, उन चर को दर्शाते हैं जिनके द्वारा भेदभाव किया जाता है।

आमतौर पर, डेरिवेटिव की तालिकाओं में, वेरिएबल x से फ़ंक्शन के डेरिवेटिव दिए जाते हैं। हालाँकि, x एक औपचारिक पैरामीटर है। वेरिएबल x को किसी अन्य वेरिएबल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन को किसी वेरिएबल से अलग करते समय, हम डेरिवेटिव की तालिका में, वेरिएबल x को वेरिएबल u में बदल देते हैं।

सरल उदाहरण

उदाहरण 1

किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए
.

आइए दिए गए फ़ंक्शन को समकक्ष रूप में लिखें:
.
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
;
.

एक जटिल फलन के व्युत्पन्न के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
.
यहाँ ।

उदाहरण 2

व्युत्पन्न खोजें
.

हम व्युत्पन्न चिह्न से स्थिरांक 5 निकालते हैं और व्युत्पन्न तालिका से हम पाते हैं:
.

.
यहाँ ।

उदाहरण 3

व्युत्पन्न खोजें
.

हम एक स्थिरांक निकालते हैं -1 व्युत्पन्न के चिह्न के लिए और व्युत्पन्न की तालिका से हम पाते हैं:
;
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.

हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
.
यहाँ ।

अधिक जटिल उदाहरण

अधिक जटिल उदाहरणों में, हम एक जटिल फलन को विभेदित करने के नियम को कई बार लागू करते हैं। इस मामले में, हम अंत से व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम फ़ंक्शन को उसके घटक भागों में तोड़ते हैं और उपयोग करके सबसे सरल भागों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं डेरिवेटिव की तालिका. हम भी प्रयोग करते हैं योगों में अंतर करने के नियम, उत्पाद और अंश। फिर हम प्रतिस्थापन करते हैं और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।

उदाहरण 4

व्युत्पन्न खोजें
.

आइए सूत्र का सबसे सरल भाग चुनें और उसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। .

.
यहां हमने संकेतन का प्रयोग किया है
.

हम प्राप्त परिणामों का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन के अगले भाग का व्युत्पन्न ढूंढते हैं। हम योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:
.

एक बार फिर हम जटिल फलनों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।

.
यहाँ ।

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.

आइए सूत्र का सबसे सरल भाग चुनें और डेरिवेटिव की तालिका से इसका व्युत्पन्न खोजें। .

हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
.
यहाँ
.

आइए प्राप्त परिणामों का उपयोग करके अगले भाग को अलग करें।
.
यहाँ
.

आइए अगले भाग को अलग करें।

.
यहाँ
.

अब हम वांछित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं।

.
यहाँ
.

जटिल प्रकार के फ़ंक्शन हमेशा जटिल फ़ंक्शन की परिभाषा में फिट नहीं होते हैं। यदि y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 के रूप का कोई फ़ंक्शन है, तो इसे y = sin 2 x के विपरीत, जटिल नहीं माना जा सकता है।

यह आलेख एक जटिल फ़ंक्शन की अवधारणा और उसकी पहचान दिखाएगा। आइए निष्कर्ष में समाधान के उदाहरणों के साथ व्युत्पन्न खोजने के सूत्रों के साथ काम करें। व्युत्पन्न तालिका और विभेदीकरण नियमों के उपयोग से व्युत्पन्न खोजने का समय काफी कम हो जाता है।

बुनियादी परिभाषाएँ

एक जटिल फलन वह होता है जिसका तर्क भी एक फलन होता है।

इसे इस प्रकार निरूपित किया जाता है: f (g (x)). हमारे पास यह है कि फ़ंक्शन g (x) को एक तर्क f (g (x)) माना जाता है।

परिभाषा 2

यदि कोई फ़ंक्शन f है और यह एक कोटैंजेंट फ़ंक्शन है, तो g(x) = ln x प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन है। हम पाते हैं कि सम्मिश्र फलन f (g (x)) को arctg(lnx) के रूप में लिखा जाएगा। या एक फ़ंक्शन f, जो चौथी घात तक उठाया गया एक फ़ंक्शन है, जहां g (x) = x 2 + 2 x - 3 को एक संपूर्ण तर्कसंगत फ़ंक्शन माना जाता है, हम पाते हैं कि f (g (x)) = (x 2 + 2 एक्स - 3) 4 .

स्पष्टतः g(x) जटिल हो सकता है। उदाहरण y = syn 2 x + 1 x 3 - 5 से यह स्पष्ट है कि g का मान भिन्न का घनमूल है। इस अभिव्यक्ति को y = f (f 1 (f 2 (x))) के रूप में दर्शाया जा सकता है। जहाँ से हमें पता चलता है कि f एक ज्या फलन है, और f 1 वर्गमूल के नीचे स्थित एक फलन है, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

परिभाषा 3

नेस्टिंग की डिग्री किसी भी प्राकृतिक संख्या से निर्धारित होती है और इसे y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) के रूप में लिखा जाता है।

परिभाषा 4

फ़ंक्शन संरचना की अवधारणा समस्या की स्थितियों के अनुसार नेस्टेड फ़ंक्शंस की संख्या को संदर्भित करती है। हल करने के लिए, फॉर्म के किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करें

(एफ (जी (एक्स))) " = एफ " (जी (एक्स)) जी " (एक्स)

उदाहरण

y = (2 x + 1) 2 के रूप के एक जटिल फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त दर्शाती है कि f एक वर्ग फलन है, और g(x) = 2 x + 1 को एक रैखिक फलन माना जाता है।

आइए एक जटिल फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें और लिखें:

एफ " (जी (एक्स)) = ((जी (एक्स)) 2) " = 2 (जी (एक्स)) 2 - 1 = 2 जी (एक्स) = 2 (2 एक्स + 1) ; जी " (एक्स) = (2 एक्स + 1) " = (2 एक्स) " + 1 " = 2 एक्स " + 0 = 2 1 एक्स 1 - 1 = 2 ⇒ (एफ (जी (एक्स))) " = एफ " (जी (एक्स)) जी " (एक्स) = 2 (2 एक्स + 1) 2 = 8 एक्स + 4

फ़ंक्शन के सरलीकृत मूल रूप के साथ व्युत्पन्न को ढूंढना आवश्यक है। हम पाते हैं:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

यहां से हमारे पास वह है

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

परिणाम वही थे.

इस प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि फॉर्म f और g (x) का फ़ंक्शन कहाँ स्थित होगा।

उदाहरण 2

आपको y = पाप 2 x और y = पाप x 2 के रूप के जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने चाहिए।

समाधान

पहला फ़ंक्शन नोटेशन कहता है कि f स्क्वेरिंग फ़ंक्शन है और g(x) साइन फ़ंक्शन है। तब हमें वह मिलता है

y " = (पाप 2 x) " = 2 पाप 2 - 1 x (पाप x) " = 2 पाप x cos x

दूसरी प्रविष्टि दर्शाती है कि f एक साइन फ़ंक्शन है, और g(x) = x 2 एक पावर फ़ंक्शन को दर्शाता है। इसका तात्पर्य यह है कि हम एक जटिल फ़ंक्शन के उत्पाद को इस प्रकार लिखते हैं

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

व्युत्पन्न y = f (f 1 (f 2 (f 3 (...f n (x))))) का सूत्र y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 ()) के रूप में लिखा जाएगा। ... ( एफ एन (एक्स))))) · एफ 1 " (एफ 2 (एफ 3 (... (एफ एन (एक्स)))) · · एफ 2 " (एफ 3 (... (एफ एन (एक्स) )) )) · . . . एफएन "(एक्स)

उदाहरण 3

फलन y = syn (ln 3 a r c t g (2 x)) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह उदाहरण लिखने और फ़ंक्शंस का स्थान निर्धारित करने की कठिनाई को दर्शाता है। फिर y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) इंगित करें कि f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) साइन फ़ंक्शन है, बढ़ाने का फ़ंक्शन है 3 डिग्री तक, लघुगणक और आधार ई, आर्कटेंजेंट और रैखिक फ़ंक्शन के साथ कार्य करें।

एक जटिल फलन को परिभाषित करने के सूत्र से हमारे पास वह है

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (एक्स)) एफ 3 " (एफ 4 (एक्स)) एफ 4 " (एक्स)

हमें वही मिलता है जो हमें खोजना होता है

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) डेरिवेटिव की तालिका के अनुसार साइन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ।
2. एफ 1 " (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4 (एक्स)))) एक पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में, फिर एफ 1 " (एफ 2 (एफ 3 (एफ 4 (एक्स)))) = 3 एलएन 3 - 1 ए आर सी टी जी (2 एक्स) = 3 एलएन 2 ए आर सी टी जी (2 एक्स)।
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) एक लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) ।
4. f 3 " (f 4 (x)) चाप स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के रूप में, फिर f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. व्युत्पन्न f 4 (x) = 2 x ज्ञात करते समय, 1 के बराबर घातांक वाले घात फलन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न के चिह्न से 2 हटा दें, फिर f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

हम मध्यवर्ती परिणामों को जोड़ते हैं और उसे प्राप्त करते हैं

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ऐसे कार्यों का विश्लेषण घोंसले बनाने वाली गुड़िया की याद दिलाता है। विभेदीकरण नियमों को हमेशा व्युत्पन्न तालिका का उपयोग करके स्पष्ट रूप से लागू नहीं किया जा सकता है। अक्सर आपको जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए एक सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

जटिल स्वरूप और जटिल कार्यों के बीच कुछ अंतर हैं। इसे अलग करने की स्पष्ट क्षमता के साथ, डेरिवेटिव ढूंढना विशेष रूप से आसान हो जाएगा।

उदाहरण 4

ऐसा उदाहरण देने पर विचार करना जरूरी है. यदि y = t g 2 x + 3 t g x + 1 के रूप का कोई फलन है, तो इसे g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 के रूप का एक जटिल फलन माना जा सकता है। . जाहिर है, जटिल व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है:

एफ " (जी (एक्स)) = (जी 2 (एक्स) + 3 जी (एक्स) + 1) " = (जी 2 (एक्स)) " + (3 जी (एक्स)) " + 1 " = = 2 · जी 2 - 1 (एक्स) + 3 जी " (एक्स) + 0 = 2 जी (एक्स) + 3 1 जी 1 - 1 (एक्स) = = 2 जी (एक्स) + 3 = 2 टीजी एक्स + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 के रूप का एक फ़ंक्शन जटिल नहीं माना जाता है, क्योंकि इसमें t g x 2, 3 t g x और 1 का योग होता है। हालाँकि, t g x 2 को एक जटिल फलन माना जाता है, तो हमें g (x) = x 2 और f के रूप का एक घात फलन प्राप्त होता है, जो एक स्पर्शरेखा फलन है। ऐसा करने के लिए, राशि के आधार पर अंतर करें. हमें वह मिल गया

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 कोस 2 एक्स

आइए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए आगे बढ़ें (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

हम पाते हैं कि y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

जटिल प्रकार के कार्यों को जटिल कार्यों में शामिल किया जा सकता है, और जटिल कार्य स्वयं जटिल प्रकार के कार्यों के घटक हो सकते हैं।

उदाहरण 5

उदाहरण के लिए, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) के रूप के एक जटिल फलन पर विचार करें।

इस फ़ंक्शन को y = f (g (x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f का मान आधार 3 लघुगणक का एक फ़ंक्शन है, और g (x) को h (x) = के रूप के दो कार्यों का योग माना जाता है। x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 और k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . जाहिर है, y = f (h (x) + k (x)).

फ़ंक्शन h(x) पर विचार करें। यह अनुपात है l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 से m (x) = e x 2 + 3 3

हमारे पास यह है कि l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) दो फलनों n (x) = x 2 + 7 और p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , जहां p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) संख्यात्मक गुणांक 3 के साथ एक जटिल फ़ंक्शन है, और p 1 एक घन फ़ंक्शन है, कोज्या फलन द्वारा p 2, रैखिक फलन द्वारा p 3 (x) = 2 x + 1।

हमने पाया कि m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) दो फलनों q (x) = e x 2 और r (x) = 3 3 का योग है, जहाँ q (x) = q 1 (q 2 (x)) एक जटिल फलन है, q 1 एक घातांक वाला फलन है, q 2 (x) = x 2 एक घात फलन है।

इससे पता चलता है कि h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) के रूप की अभिव्यक्ति की ओर बढ़ने पर, यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन को एक जटिल s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) एक परिमेय पूर्णांक t (x) = x 2 + 1 के साथ, जहां s 1 एक वर्ग फलन है, और s 2 (x) = ln x लघुगणकीय है आधार ई.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अभिव्यक्ति k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) का रूप लेगी।

तब हमें वह मिलता है

y = लॉग 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

फ़ंक्शन की संरचनाओं के आधार पर, यह स्पष्ट हो गया कि अभिव्यक्ति को विभेदित करते समय अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए कैसे और किन सूत्रों का उपयोग किया जाना चाहिए। ऐसी समस्याओं से परिचित होने और उनके समाधान की अवधारणा के लिए, किसी फ़ंक्शन को विभेदित करने के बिंदु पर जाना आवश्यक है, अर्थात उसका व्युत्पन्न खोजना।

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अगर जी(एक्स) और एफ(यू) - बिंदुओं पर क्रमशः उनके तर्कों के भिन्न-भिन्न कार्य एक्सऔर यू= जी(एक्स), तब जटिल फलन भी बिंदु पर अवकलनीय होता है एक्सऔर सूत्र द्वारा पाया जाता है

व्युत्पन्न समस्याओं को हल करते समय एक सामान्य गलती सरल कार्यों को जटिल कार्यों में विभेदित करने के नियमों को यांत्रिक रूप से स्थानांतरित करना है। आइये इस गलती से बचना सीखें।

उदाहरण 2.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:कोष्ठक में प्रत्येक पद के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करें और व्युत्पन्नों का योग देखें:

सही समाधान:फिर से हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा बनाया हुआ मांस" कहाँ है। यहां कोष्ठक में अभिव्यक्ति का प्राकृतिक लघुगणक एक "सेब" है, यानी, मध्यवर्ती तर्क पर एक फ़ंक्शन यू, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति "कीमा बनाया हुआ मांस" है, जो एक मध्यवर्ती तर्क है यूस्वतंत्र चर द्वारा एक्स.

फिर (व्युत्पन्न तालिका से सूत्र 14 का उपयोग करके)

वास्तविक जीवन की कई समस्याओं में, लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति कुछ अधिक जटिल हो सकती है, यही कारण है कि एक सबक है

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

ग़लत समाधान:

सही समाधान.एक बार फिर हम यह निर्धारित करते हैं कि "सेब" कहाँ है और "कीमा" कहाँ है। यहां, कोष्ठक में अभिव्यक्ति का कोसाइन (व्युत्पन्न की तालिका में सूत्र 7) एक "सेब" है, इसे मोड 1 में तैयार किया गया है, जो केवल इसे प्रभावित करता है, और कोष्ठक में अभिव्यक्ति (डिग्री का व्युत्पन्न संख्या 3 है) डेरिवेटिव की तालिका में) "कीमा बनाया हुआ मांस" है, इसे मोड 2 के तहत तैयार किया जाता है, जो केवल इसे प्रभावित करता है। और हमेशा की तरह, हम दो डेरिवेटिव को उत्पाद चिह्न से जोड़ते हैं। परिणाम:

जटिल लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न परीक्षणों में एक लगातार कार्य है, इसलिए हम दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं कि आप "लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न" पाठ में भाग लें।

पहले उदाहरण जटिल कार्यों पर थे, जिसमें स्वतंत्र चर पर मध्यवर्ती तर्क एक सरल कार्य था। लेकिन व्यावहारिक कार्यों में अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना आवश्यक होता है, जहां मध्यवर्ती तर्क या तो स्वयं एक जटिल फ़ंक्शन होता है या इसमें ऐसा कोई फ़ंक्शन होता है। ऐसे मामलों में क्या करें? तालिकाओं और विभेदीकरण नियमों का उपयोग करके ऐसे कार्यों के व्युत्पन्न खोजें। जब मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पाया जाता है, तो इसे सूत्र में सही स्थान पर प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यह कैसे किया जाता है इसके दो उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित जानना उपयोगी है। यदि एक जटिल फ़ंक्शन को तीन कार्यों की श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है

तो इसके व्युत्पन्न को इनमें से प्रत्येक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में पाया जाना चाहिए:

आपके कई होमवर्क असाइनमेंट के लिए आपको अपनी मार्गदर्शिकाएँ नई विंडो में खोलने की आवश्यकता हो सकती है। शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाएँऔर भिन्नों के साथ संचालन .

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

हम एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदीकरण के नियम को लागू करते हैं, यह नहीं भूलते कि डेरिवेटिव के परिणामी उत्पाद में स्वतंत्र चर के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क होता है एक्सबदलना मत:

हम उत्पाद का दूसरा कारक तैयार करते हैं और योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं:

दूसरा पद मूल है, इसलिए

इस प्रकार, हमने पाया कि मध्यवर्ती तर्क, जो एक योग है, में एक पद के रूप में एक जटिल कार्य शामिल है: एक शक्ति तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जा रहा है वह स्वतंत्र के संबंध में एक मध्यवर्ती तर्क है चर एक्स.

इसलिए, हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम को फिर से लागू करते हैं:

हम पहले कारक की डिग्री को मूल में बदलते हैं, और दूसरे कारक को विभेदित करते समय, यह न भूलें कि स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

अब हम समस्या कथन में आवश्यक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए आवश्यक मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न पा सकते हैं य:

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

सबसे पहले, हम योग को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

हमने दो जटिल फलनों के अवकलजों का योग प्राप्त किया। आइए पहला खोजें:

यहां, साइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है, और साइन स्वयं स्वतंत्र चर के लिए एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. इसलिए, हम रास्ते में एक जटिल फलन के विभेदन के नियम का उपयोग करेंगे गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना :

अब हम फलन के अवकलजों का दूसरा पद ज्ञात करते हैं य:

यहां कोसाइन को घात तक बढ़ाना एक जटिल कार्य है एफ, और कोसाइन स्वयं स्वतंत्र चर में एक मध्यवर्ती तर्क है एक्स. आइए हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए फिर से नियम का उपयोग करें:

परिणाम आवश्यक व्युत्पन्न है:

कुछ जटिल कार्यों के व्युत्पन्नों की तालिका

जटिल कार्यों के लिए, एक जटिल कार्य के विभेदीकरण के नियम के आधार पर, एक सरल कार्य के व्युत्पन्न का सूत्र एक अलग रूप लेता है।

1. एक जटिल शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यू एक्स
2. अभिव्यक्ति के मूल की व्युत्पत्ति
3. एक घातांकीय फलन का व्युत्पन्न
4. घातांकीय फलन का विशेष मामला
5. एक मनमाना सकारात्मक आधार के साथ एक लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ए
6. एक जटिल लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जहां यू- तर्क का विभेद्य कार्य एक्स
7. साइन का व्युत्पन्न
8. कोसाइन का व्युत्पन्न
9. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
11. आर्क्साइन की व्युत्पत्ति
12. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
13. आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न
14. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न

याद रखना बहुत आसान है.

ठीक है, आइए ज्यादा दूर न जाएं, आइए तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करें। कौन सा फलन घातांकीय फलन का व्युत्क्रम है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

यह किसके बराबर है? बिल्कुल, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: व्युत्पन्न परिप्रेक्ष्य से घातांकीय और प्राकृतिक लघुगणक विशिष्ट रूप से सरल कार्य हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातांकीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद बाद में करेंगे।

विभेदीकरण के नियम

किस चीज़ के नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में आप और क्या कह सकते हैं? व्युत्पन्न नहीं... गणितज्ञ अंतर को किसी फ़ंक्शन की समान वृद्धि कहते हैं। यह शब्द लैटिन डिफ़रेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. इसे रहने दो, या सरल।

उदाहरण।

फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

1. एक बिंदु पर;
2. एक बिंदु पर;
3. एक बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: आइए एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसकी वृद्धि ढूंढें:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि केवल घातांक ही नहीं, बल्कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि वह क्या है?)।

तो, कुछ संख्या कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर कम करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करेंगे:। तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

घटित?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र एक घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह मात्र एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसलिए, हम इसे उत्तर में इसी रूप में छोड़ते हैं।

ध्यान दें कि यहां दो कार्यों का भागफल है, इसलिए हम संबंधित विभेदन नियम लागू करते हैं:

इस उदाहरण में, दो कार्यों का उत्पाद:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यह यहाँ समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ एक मनमाना लघुगणक खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार तक कम करने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब हम इसके बजाय लिखेंगे:

हर केवल एक अचर है (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के)। व्युत्पन्न बहुत सरलता से प्राप्त किया जाता है:

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चापस्पर्शज्या भी नहीं है। इन फ़ंक्शंस को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि आपको लघुगणक कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और आप ठीक हो जाएंगे), लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। परिणाम एक मिश्रित वस्तु है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में उल्टे कदम उठाने होंगे।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट) दिया जाता है, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसका आप वर्ग कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहली क्रिया के परिणाम के साथ करते हैं।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन है: .

हमारे उदाहरण के लिए, .

हम समान चरणों को उल्टे क्रम में आसानी से कर सकते हैं: पहले आप इसका वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो फ़ंक्शन भी बदल जाता है।

दूसरा उदाहरण: (वही बात)। .

जो क्रिया हम अंतिम बार करेंगे वह कहलाएगी "बाहरी" फ़ंक्शन, और कार्रवाई पहले की गई - तदनुसार "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. हम पहले कौन सा कार्य करेंगे? सबसे पहले, आइए साइन की गणना करें, और उसके बाद ही इसे घन करें। इसका मतलब यह है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपना चॉकलेट बार निकालेंगे और व्युत्पन्न की तलाश करेंगे। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक इसे काटने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकलता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम इसमें से जड़ भी निकालते हैं, यानी हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में रखें) और ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: हम अभी भी इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम पहले जैसा ही है:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. ज्या. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदीकरण के नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

उत्पाद का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं और इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

"पुरानी" पाठ्यपुस्तकों में इसे "श्रृंखला" नियम भी कहा जाता है। तो यदि y = f (u), और u = φ (x), वह है

y = f (φ (x))

जटिल - समग्र कार्य (कार्यों की संरचना) तो

कहाँ , गणना के बाद पर विचार किया जाता है यू = φ (एक्स).

ध्यान दें कि यहां हमने समान कार्यों से "अलग-अलग" रचनाएं लीं, और भेदभाव का परिणाम स्वाभाविक रूप से "मिश्रण" के क्रम पर निर्भर हो गया।

श्रृंखला नियम स्वाभाविक रूप से तीन या अधिक कार्यों की रचनाओं तक विस्तारित होता है। इस मामले में, "श्रृंखला" में तीन या अधिक "लिंक" होंगे जो व्युत्पन्न बनाते हैं। यहाँ गुणन के साथ एक सादृश्य है: "हमारे पास" डेरिवेटिव की एक तालिका है; "वहाँ" - गुणन तालिका; "हमारे साथ" श्रृंखला नियम है और "वहाँ" "स्तंभ" गुणन नियम है। ऐसे "जटिल" डेरिवेटिव की गणना करते समय, कोई सहायक तर्क (यूवी, आदि) पेश नहीं किया जाता है, लेकिन, संरचना में शामिल कार्यों की संख्या और अनुक्रम को ध्यान में रखते हुए, संबंधित लिंक "स्ट्रंग" होते हैं। संकेतित क्रम में.

. यहां, "x" के साथ "y" का मान प्राप्त करने के लिए, पांच ऑपरेशन किए जाते हैं, यानी, पांच कार्यों की एक संरचना होती है: "बाहरी" (उनमें से अंतिम) - घातीय - ई  ; फिर उल्टे क्रम में, शक्ति। (♦) 2 ; त्रिकोणमितीय पाप(); बेहोश करना. ()3 और अंत में लघुगणकीय ln.(). इसीलिए

निम्नलिखित उदाहरणों के साथ हम "एक पत्थर से कुछ पक्षियों को मार डालेंगे": हम जटिल कार्यों को अलग करने का अभ्यास करेंगे और प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका में जोड़ देंगे। इसलिए:

4. एक पावर फ़ंक्शन के लिए - y = x α - प्रसिद्ध "बुनियादी लघुगणक पहचान" का उपयोग करके इसे फिर से लिखना - b=e ln b - x α = x α ln x के रूप में हम प्राप्त करते हैं

5. एक मनमाना घातीय फ़ंक्शन के लिए, उसी तकनीक का उपयोग करें जो हमारे पास होगी

6. एक मनमाना लघुगणकीय फ़ंक्शन के लिए, एक नए आधार पर संक्रमण के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके, हम लगातार प्राप्त करते हैं

.

7. स्पर्शरेखा (कोटैंजेंट) को अलग करने के लिए, हम भागफल को अलग करने के नियम का उपयोग करते हैं:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए, हम उस संबंध का उपयोग करते हैं जो दो परस्पर व्युत्क्रम फलनों के व्युत्पन्नों से संतुष्ट होता है, अर्थात्, संबंधों से संबंधित फलन φ (x) और f (x):

यह अनुपात है

परस्पर व्युत्क्रम फलनों के लिए यह इसी सूत्र से है

और
,

अंत में, आइए इन्हें और कुछ अन्य डेरिवेटिव को संक्षेप में प्रस्तुत करें जिन्हें निम्नलिखित तालिका में आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।