नौसिखियों के लिए गणित की सीमाएँ: स्पष्टीकरण, सिद्धांत, समाधान के उदाहरण।
कैलकुलस श्रेणी में इस विषय पर निःशुल्क ऑनलाइन वीडियो पाठ शामिल हैं। गणितीय विश्लेषण गणित की शाखाओं का एक समूह है जो अंतर और अभिन्न कलन के तरीकों का उपयोग करके कार्यों और उनके सामान्यीकरण के अध्ययन से संबंधित है। इनमें शामिल हैं: कार्यात्मक विश्लेषण, जिसमें लेबेस्ग इंटीग्रल का सिद्धांत, जटिल विश्लेषण (टीएफकेपी) शामिल है, जो जटिल विमान पर परिभाषित कार्यों का अध्ययन करता है, श्रृंखला और बहुआयामी इंटीग्रल का सिद्धांत, गैर-मानक विश्लेषण, जो अनंत और असीम रूप से बड़ी संख्याओं का अध्ययन करता है, वेक्टर विश्लेषण, और विविधताओं की गणना। वीडियो पाठों से कैलकुलस सीखना शुरुआती और अधिक अनुभवी गणितज्ञों दोनों के लिए उपयोगी होगा। आप किसी भी सुविधाजनक समय पर गणितीय विश्लेषण अनुभाग के वीडियो पाठ निःशुल्क देख सकते हैं। गणितीय विश्लेषण पर कुछ वीडियो पाठों में अतिरिक्त सामग्रियां हैं जिन्हें डाउनलोड किया जा सकता है। सीखने का आनंद!
कुल सामग्री: 12
दिखाई गई सामग्री: 1-10
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है
क्या आप जानना चाहते हैं कि गणित में किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है? निःसंदेह, आपने व्युत्पन्न के बारे में कई बार सुना है, और संभवतः आपने स्कूल में भी इस व्युत्पन्न को लिया होगा, अपने कार्यों के अर्थ को पूरी तरह से समझे बिना। इस वीडियो में, मैं आपको सूत्र नहीं सिखाऊंगा, लेकिन उंगलियों पर व्युत्पत्ति का अर्थ समझाऊंगा ताकि एक गोल चायदानी भी समझ सके। लेकिन पहले, बेहतर होगा कि आप मेरा पिछला वीडियो देखें, जहां मैं सुलभ तरीके से फ़ंक्शन के बारे में भी बात करता हूं। इस वीडियो ट्यूटोरियल में, हम सरल, स्पष्ट और उदाहरणात्मक जीवन उदाहरण हैं...
विश्लेषण का परिचय. सेट की शक्ति
ऑनलाइन पाठ “विश्लेषण का परिचय। सेट की शक्ति'' सेट की शक्ति जैसी अवधारणा के प्रश्न के प्रति समर्पित है। यह प्रश्न सेटों के मात्रात्मक लक्षण वर्णन से संबंधित है। यदि समुच्चय परिमित है, तो हम उसके तत्वों की संख्या के बारे में बात कर सकते हैं। लेकिन अनंत समुच्चय के बारे में क्या? दरअसल, इस मामले में कम या ज्यादा की कोई अवधारणा नहीं होगी। इस समस्या को हल करने के लिए, शक्ति जैसी अवधारणा पेश की गई है। पावर अनंत सेटों की मात्रात्मक तुलना करने का एक उपकरण है। यह सीख देता है...
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा - परिभाषा, उदाहरण
यह ऑनलाइन पाठ एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा जैसी अवधारणा के बारे में बात करता है - परिभाषा, उदाहरण। फ़ंक्शंस के अध्ययन के अधिकांश तत्व किसी फ़ंक्शन की सीमा की मूल अवधारणा पर आधारित होते हैं। यहां, एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा पर एक सरल उदाहरण का उपयोग करके विचार किया जाएगा, जिसके बाद सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए ग्राफ़ पर एक विस्तृत चित्रण के साथ एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की सख्त परिभाषा दी जाएगी। यह पाठ अन्य उदाहरणों पर भी गौर करता है और एकतरफा की एक कठोर परिभाषा प्रदान करता है...
शक्ति श्रृंखला का अभिसरण - अभिसरण, अनुसंधान का क्षेत्र कैसे खोजें इसका एक उदाहरण
यह वीडियो ट्यूटोरियल शक्ति श्रृंखला के अभिसरण जैसी अवधारणा के बारे में बात करता है, अभिसरण, अनुसंधान के क्षेत्र को कैसे ढूंढें इसका एक उदाहरण। एक शक्ति श्रृंखला एक कार्यात्मक श्रृंखला का एक विशेष मामला है जब इसके सदस्य तर्क x के शक्ति कार्य होते हैं। अभिसरण का क्षेत्र चर x के सभी मान हैं जिनके लिए संबंधित संख्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है। अनुसंधान के लिए, आप डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं और इसका उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि शक्ति श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है, और जब ...
आदिम क्या है
इस वीडियो में, मैं आपको प्रतिअवकलन के बारे में बताऊंगा, जो व्युत्पन्न का करीबी रिश्तेदार है। वास्तव में, यदि आपने मेरे पिछले वीडियो देखे हैं तो आप उसके बारे में लगभग सब कुछ पहले से ही जानते हैं, और हमें बस i पर बिंदु लगाना है। प्रतिअवकलन व्युत्पन्न के लिए "मूल" कार्य है। प्रतिअवकलन खोजने का अर्थ है प्रश्न का उत्तर देना: यह किसका बच्चा है? बेटी का पता है तो मां को भी ढूंढना होगा. पहले, इसके विपरीत, हम किसी माँ के लिए बेटी की तलाश कर रहे थे। हम अब से परिवर्तन कर रहे हैं...
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ
इस वीडियो में मैं व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के बारे में बात करूंगा। आप सीखेंगे कि अवकलज का ज्यामितीय अर्थ यह है कि अवकलज और स्पर्शरेखा का ढलान लगभग एक ही चीज़ है। मैं "लगभग" कहता हूं क्योंकि व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है। हम मान सकते हैं कि व्युत्पन्न और स्पर्शरेखा का ढलान निकटता से संबंधित हैं। यदि ढलान बड़ा है, तो व्युत्पन्न भी बड़ा है, और इस बिंदु पर कार्य तेजी से बढ़ता है। यदि झुकाव का कोण छोटा है, तो व्युत्पन्न भी छोटा है...
गणित में फंक्शन क्या है
जानना चाहते हैं कि गणित में फ़ंक्शन क्या है? इस वीडियो ट्यूटोरियल में, हम सरल और स्पष्ट रूप से, ग्राफिक चित्रण और उदाहरणात्मक जीवन उदाहरणों का उपयोग करके, आपको बताएंगे कि एक फ़ंक्शन क्या है, इसका तर्क क्या है, फ़ंक्शन क्या हैं (बढ़ते, घटते, मिश्रित), आप एक फ़ंक्शन कैसे सेट कर सकते हैं (का उपयोग करके) एक ग्राफ़, तालिका, सूत्र)। आप देखेंगे कि वह संबंध जो दर्शाता है कि एक मात्रा दूसरी मात्रा से कैसे संबंधित है, फलन कहलाता है। कोई भी फलन मात्राओं के बीच एक संबंध है...
अनंत पर किसी फ़ंक्शन की सीमा - परिभाषा, उदाहरण
पाठ "अनंत पर किसी फ़ंक्शन की सीमा - परिभाषा, उदाहरण" इस प्रश्न के लिए समर्पित है कि अनंत पर सीमाएं क्या हैं। अधिकांश प्राथमिक कार्यों को तर्क के मनमाने ढंग से बड़े मूल्य के लिए परिभाषित किया गया है। इस मामले में, अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार को जानना महत्वपूर्ण है। ऐसे व्यवहार के अध्ययन का एक तत्व अनंत पर फ़ंक्शन की सीमा का पता लगाना है। हालाँकि अनंत कोई संख्या नहीं है, और संख्या रेखा पर कोई भी बिंदु इसके अनुरूप नहीं है, सीमा की परिभाषा...
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लिखित।
नया। नटानज़ोन एस.एम. गणितीय विश्लेषण में एक लघु पाठ्यक्रम. 2004 98 पृष्ठ डीजेवीयू। 1.2 एमबी.
यह प्रकाशन 1997-1998 और 2002-2003 शैक्षणिक वर्षों में स्वतंत्र मॉस्को विश्वविद्यालय के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए लेखक द्वारा पढ़े गए व्याख्यानों के पाठ्यक्रम का सारांश है।
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नया। ई.बी. बोरोनिन। गणितीय विश्लेषण। लेक्चर नोट्स। 2007 160 पृष्ठ पीडीएफ. 2.1 एमबी.
यह पुस्तक उन इंजीनियरिंग छात्रों के लिए लिखी गई है जो कैलकुलस की परीक्षा के लिए अध्ययन करना चाहते हैं। इस पुस्तक की सामग्री पूरी तरह से "गणितीय विश्लेषण" पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के अनुरूप है, जिसके लिए परीक्षा रूस के अधिकांश उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रदान की जाती है। कार्यक्रम प्रश्न का आवश्यक उत्तर शीघ्रता से और अनावश्यक कठिनाइयों के बिना खोजने में मदद करता है।
शिक्षकों की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए, लेखक द्वारा व्यक्तिगत अनुभव के आधार पर प्रश्नों का संकलन किया जाता है।
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आर्किपोव, सदोव्निची, चुबारिकोव। गणितीय विश्लेषण पर व्याख्यान. पाठ्यपुस्तक.विश्लेषण। 1999 635 पीपी. डीजेवीयू. 5.2 एमबी.
यह पुस्तक गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम पर एक पाठ्यपुस्तक है और एक और कई चर के कार्यों के अंतर और अभिन्न कलन के लिए समर्पित है। यह मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय में लेखकों द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित है। एम. वी. लोमोनोसोव। पाठ्यपुस्तक कई बुनियादी अवधारणाओं और विश्लेषण के प्रमेयों के साथ-साथ पाठ्यक्रम की सामग्री की प्रस्तुति के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित करती है। गणित के गहन अध्ययन वाले विश्वविद्यालयों, शैक्षणिक विश्वविद्यालयों और विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए
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अक्स्योनोव ए.पी. गणितीय विश्लेषण। (फूरियर श्रृंखला। फूरियर इंटीग्रल। अपसारी श्रृंखला का सारांश।) पाठ्यपुस्तक। 1999 86 पृष्ठ पीडीएफ 1.2 एमबी।
मैनुअल स्नातक की डिग्री 510200 "अनुप्रयुक्त गणित और सूचना विज्ञान" के अनुशासन "गणितीय विश्लेषण" के राज्य मानक से मेल खाता है।
विषयों पर वर्तमान कार्यक्रम के अनुसार सैद्धांतिक सामग्री की एक प्रस्तुति शामिल है: "फूरियर श्रृंखला", "फूरियर इंटीग्रल", "डाइवर्जेंट श्रृंखला का सारांश"। बड़ी संख्या में उदाहरण दिये गये हैं। श्रृंखला के सिद्धांत में सेसरो और एबेल-पॉइसन की विधियों के अनुप्रयोग का वर्णन किया गया है। अनुभवजन्य रूप से दिए गए कार्यों के हार्मोनिक विश्लेषण के प्रश्न पर विचार किया जाता है।
यह विशिष्टताओं 010200, 010300, 071100, 210300 के भौतिकी और यांत्रिकी संकाय के छात्रों के साथ-साथ व्यावहारिक कक्षाएं संचालित करने वाले शिक्षकों के लिए है।
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अक्सेनोव। गणितीय विश्लेषण। (पैरामीटर के आधार पर इंटीग्रल। डबल इंटीग्रल। वक्ररेखीय इंटीग्रल।) पाठ्यपुस्तक एसपीबी। वर्ष 2000. 145 पृष्ठ पीडीएफ। आकार 2.3 एमबी. djvu.
मैनुअल स्नातक की डिग्री 510200 "अनुप्रयुक्त गणित और सूचना विज्ञान" के अनुशासन "गणितीय विश्लेषण" के राज्य मानक से मेल खाता है। विषयों पर वर्तमान कार्यक्रम के अनुसार सैद्धांतिक सामग्री की एक प्रस्तुति शामिल है: "एक पैरामीटर, ईजेन और अनुचित के आधार पर इंटीग्रल", "डबल इंटीग्रल", "पहले और दूसरे प्रकार के वक्रीय इंटीग्रल", "क्षेत्रों की गणना" घुमावदार सतहें, स्पष्ट रूप से और पैरामीट्रिक समीकरण दोनों दिए गए", "यूलेरियन इंटीग्रल्स (बीटा फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन)"। बड़ी संख्या में उदाहरणों और समस्याओं का विश्लेषण किया गया है (कुल 47)।
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डी ब्रुइन. विश्लेषण में स्पर्शोन्मुख विधियाँ। 245 पीपी. डीजेवीयू. 1.6 एमबी.
पुस्तक में एसिम्प्टोटिक सूत्र प्राप्त करने के लिए विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली कई विधियों का प्रारंभिक विवरण शामिल है। पुस्तक में प्रस्तुत विधियों का महत्व, प्रस्तुति की स्पष्टता और पहुंच इस पुस्तक को सभी शुरुआती लोगों के लिए ऐसी विधियों से परिचित कराने के लिए बहुत मूल्यवान बनाती है। यह पुस्तक निस्संदेह उन लोगों के लिए भी रुचिकर है जो विश्लेषण के इस क्षेत्र से पहले से ही परिचित हैं।
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स्टीफ़न बानाच. विभेदक और अभिन्न कलन. 1966 437 पीपी. डीजेवीयू. 7.7 एमबी.
स्टीफन बानाच 20वीं सदी के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। इस पुस्तक की कल्पना उन्होंने विषय से प्रारंभिक परिचय के लिए एक मैनुअल के रूप में की थी। इस बीच, छोटी मात्रा की एक पुस्तक में, लेखक प्रस्तुति की गहन कठोरता से पाठक को डराए बिना, अंतर और अभिन्न कलन की लगभग सभी बुनियादी सामग्री को कुशलता से कवर करने में कामयाब रहा है।
पुस्तक की विशेषता सरलता और प्रस्तुति की संक्षिप्तता है। इसमें कई अच्छी तरह से चुने गए उदाहरण, साथ ही स्वतंत्र समाधान के कार्य भी शामिल हैं। तकनीकी कॉलेजों (विशेष रूप से पत्राचार वाले), शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के साथ-साथ इंजीनियरिंग और तकनीकी कर्मचारियों के लिए डिज़ाइन किया गया है जो अंतर और अभिन्न कलन के बुनियादी तथ्यों पर ध्यान देना चाहते हैं।
दूसरे संस्करण को तैयार करने में कुछ उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों में इस पुस्तक पर अध्यापन के अनुभव को ध्यान में रखा गया; इस संबंध में, पुस्तक में थोड़ी संख्या में परिवर्धन किया गया है, और पाठ में कुछ स्थानों को सही भी किया गया है। इसने पुस्तक को गणितीय विश्लेषण पर आधुनिक पाठ्यपुस्तकों के स्तर के करीब ला दिया और तकनीकी कॉलेजों में इसका उपयोग करना संभव बना दिया।
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बी.एम. बुडक, एस.वी. फोमिन. एकाधिक अभिन्न और श्रृंखला। पाठ्यपुस्तक.1965. 606 पीपी. डीजेवीयू. 4.6 एमबी.
भौतिक विज्ञान-गणित के लिए। विश्वविद्यालय संकाय.
मेरा सुझाव है!!!। विशेषकर भौतिकविदों के लिए.
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वियोसाग्मीर आई.ए. नौसिखियों के लिए उच्च गणित। कार्य सीमा. 2011. 95 पृष्ठ पीडीएफ. 6.1 एमबी.
मैं एक समारोह की सीमाओं पर अपनी पहली पुस्तक में आपका स्वागत करता हूं। यह मेरी आगामी श्रृंखला "डमीज़ के लिए उच्च गणित" का पहला भाग है। पुस्तक का शीर्षक आपको पहले से ही इसके बारे में बहुत कुछ बता देना चाहिए, लेकिन आप इसे पूरी तरह गलत समझ सकते हैं। यह पुस्तक "डम्मीज़" को नहीं, बल्कि उन सभी को समर्पित है, जिन्हें यह समझना मुश्किल लगता है कि प्रोफेसर अपनी किताबों में क्या करते हैं। मुझे यकीन है कि आप मुझे समझते हैं. मैं स्वयं ऐसी स्थिति में था और हूं कि मुझे बस एक ही वाक्य को कई बार पढ़ना पड़ता है। यह ठीक है? मुझे नहीं लगता।
तो क्या चीज़ मेरी किताब को अन्य सभी से अलग बनाती है? सबसे पहले, यहाँ की भाषा सामान्य है, "अस्पष्ट" नहीं; दूसरे, यहां बहुत सारे उदाहरणों का विश्लेषण किया गया है, जो निश्चित रूप से आपके काम आएंगे; तीसरा, पाठ में अपने आप में एक महत्वपूर्ण अंतर है - मुख्य चीजों को कुछ मार्करों के साथ हाइलाइट किया गया है, और अंत में, मेरा लक्ष्य केवल एक है - आपकी समझ। आपको केवल एक चीज़ की आवश्यकता है: इच्छा और कौशल। "कौशल?" - आप पूछना। हाँ! याद रखने और समझने की क्षमता.
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वी.एन. गोर्बुज़ोव। गणितीय विश्लेषण: मापदंडों के आधार पर अभिन्न। उच. भत्ता. 2006 496 पृष्ठ पीडीएफ. 1.6 एमबी.
कुछ अनुचित इंटीग्रल्स द्वारा दिए गए कार्यों का अंतर और इंटीग्रल कैलकुलस, जो मापदंडों पर निर्भर करता है, प्रस्तुत किया गया है। गणित और भौतिकी में पढ़ने वाले विश्वविद्यालय के छात्रों के साथ-साथ गणित में एक विस्तारित कार्यक्रम के साथ तकनीकी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए डिज़ाइन किया गया है।
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डोरोगोव्त्सेव ए.या. गणितीय विश्लेषण। आधुनिक परिवेश में एक लघु पाठ्यक्रम। दूसरा संस्करण। 2004 560 पीपी. डीजेवीयू. 5.1 एमबी.
पुस्तक में गणितीय विश्लेषण के आधुनिक पाठ्यक्रम की एक संक्षिप्त और साथ ही पूरी प्रस्तुति शामिल है। यह पुस्तक मुख्य रूप से विश्वविद्यालयों और तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए है और पाठ्यक्रम के प्रारंभिक अध्ययन के लिए है। कई खंडों की एक आधुनिक प्रस्तुति दी गई है: कई चर के कार्य, एकाधिक अभिन्न, कई गुना पर अभिन्न, स्टोक्स सूत्र समझाया गया है, आदि। सैद्धांतिक सामग्री को बड़ी संख्या में अभ्यास और उदाहरणों द्वारा चित्रित किया गया है। . विश्वविद्यालय के छात्रों, गणित शिक्षकों, इंजीनियरिंग और तकनीकी कर्मचारियों के लिए।
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ईगोरोव वी.आई., सालिमोवा ए.एफ. निश्चित और एकाधिक अभिन्न। क्षेत्र सिद्धांत के तत्व. 2004 256 पीपी. डीजेवीयू. 1.6 एमबी.
प्रकाशन निश्चित और एकाधिक अभिन्नों के सिद्धांत और मुख्य अनुप्रयोगों के साथ-साथ क्षेत्र सिद्धांत के तत्वों को प्रस्तुत करता है। कंप्यूटर शिक्षण प्रणालियों में उपयोग के लिए सामग्री को उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों में गणितीय शिक्षा के आधुनिक कार्यक्रम के लिए अनुकूलित किया गया है। यह पुस्तक तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए है। यह शिक्षकों, इंजीनियरों और शोधकर्ताओं के लिए भी उपयोगी हो सकता है।
स्पष्ट रूप से एक अच्छी तरह से लिखी गई किताब। सिद्धांत के सभी कथन उदाहरणों द्वारा दर्शाए गए हैं। मैं सामग्री को समझने के लिए अतिरिक्त साहित्य के रूप में इसकी अनुशंसा करता हूँ।
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एवग्राफोव। स्पर्शोन्मुख अनुमान और संपूर्ण कार्य। 320 पेज डीजेवीयू। 3.2 एमबी.
यह पुस्तक संपूर्ण कार्यों के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले एसिम्प्टोटिक अनुमान (लाप्लास की विधि, सैडल पॉइंट विधि, अवशेषों का सिद्धांत) के विभिन्न तरीकों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। विधियों को मुख्य रूप से इस सिद्धांत की सामग्री पर चित्रित किया गया है। संपूर्ण कार्यों के सिद्धांत के मूल तथ्यों को पाठक को ज्ञात नहीं माना जाता है - उनकी प्रस्तुति पुस्तक की संरचना में व्यवस्थित रूप से शामिल है। तीसरे संस्करण में अनुरूप मानचित्रण के स्पर्शोन्मुखता पर एक अध्याय जोड़ा गया है। यह पुस्तक पाठकों के व्यापक समूह के लिए है - छात्रों से लेकर वैज्ञानिकों तक, गणितज्ञों और व्यावहारिक वैज्ञानिकों दोनों के लिए।
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मैं करूँगा। ज़ेल्डोविच, आई.एम. याग्लोम। शुरुआती भौतिकविदों और तकनीशियनों के लिए उच्च गणित। 1982 514 पीपी. डीजेवीयू. 12.3 एमबी.
यह पुस्तक गणितीय विश्लेषण का परिचय है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण (अंतर और अभिन्न कलन) के सिद्धांतों की प्रस्तुति के साथ, पुस्तक में शक्ति और त्रिकोणमितीय श्रृंखला और सबसे सरल अंतर समीकरणों के बारे में अवधारणाएं शामिल हैं, और भौतिकी (यांत्रिकी और) से कई अनुभागों और विषयों को भी छुआ गया है। दोलनों का सिद्धांत, विद्युत परिपथों का सिद्धांत, रेडियोधर्मी क्षय, लेजर, आदि)। यह पुस्तक उच्च गणित, विश्वविद्यालय के प्रोफेसरों और तकनीकी कॉलेजों के प्राकृतिक-विज्ञान अनुप्रयोगों में रुचि रखने वाले पाठकों के साथ-साथ भविष्य के भौतिकविदों और इंजीनियरों के लिए है।
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ज़ेल्डोविच, याग्लोम। पुस्तक तीन भागों में है: 1. उच्च गणित के तत्व। इसमें शामिल हैं: फ़ंक्शन और ग्राफ़ (50 पृष्ठ)(, व्युत्पन्न क्या है (50 पृष्ठ), अभिन्न क्या है (20 पृष्ठ), व्युत्पन्न की गणना (20 पृष्ठ), एकीकरण तकनीक (20 पृष्ठ), श्रृंखला, सरल अंतर समीकरण (35) पृष्ठ), कार्यों की जांच, ज्यामिति में कई समस्याएं (55 पृष्ठ) 2. भौतिकी और प्रौद्योगिकी के कुछ प्रश्नों के लिए उच्च गणित के अनुप्रयोग (160 पृष्ठ) इसमें शामिल हैं: रेडियोधर्मी क्षय और नाभिक का विखंडन, यांत्रिकी, कंपन, अणुओं की थर्मल गति, वायुमंडल में वायु घनत्व का वितरण, प्रकाश का अवशोषण और उत्सर्जन, लेजर, इलेक्ट्रिक सर्किट और उनमें दोलन गति 3. उच्च गणित से अतिरिक्त विषय (50 पृष्ठ) शामिल हैं: जटिल संख्याएं, भौतिकी को किन कार्यों की आवश्यकता है, डिराक का अद्भुत डेल्टा फ़ंक्शन, कुछ एक जटिल चर और डेल्टा फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के अनुप्रयोग 4. एप्लिकेशन, उत्तर, दिशानिर्देश, समाधान क्या आपने किस प्रकार की पुस्तक पर ठोकर खाई है? आप सामग्री की एक तालिका को पढ़कर पागल हो सकते हैं। लेकिन यह गणित की पाठ्यपुस्तक नहीं है, यह पुस्तक है गणित का उपयोग कैसे करें के बारे में। वैसे, इसका अध्ययन करने से आप अनिवार्य रूप से भौतिकी सीखेंगे। बहुत अच्छा।डीजेवीयू, 500 पृष्ठ। आकार 8.7 एमबी।
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ज़ोरिच वी.ए. गणितीय विश्लेषण। 2 भागों में. पाठ्यपुस्तक। 1 - 1997, 2 - 1984. 567+640 पृष्ठ डीजेवीयू। 9.6+7.4 एमबी.
शारीरिक और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए विश्वविद्यालय की पाठ्यपुस्तक। यह उन्नत गणितीय प्रशिक्षण वाले संकायों और विश्वविद्यालयों के छात्रों के साथ-साथ गणित और इसके अनुप्रयोगों के क्षेत्र के विशेषज्ञों के लिए उपयोगी हो सकता है। पुस्तक शास्त्रीय विश्लेषण और आधुनिक गणितीय पाठ्यक्रमों (बीजगणित, अंतर ज्यामिति, अंतर) के पाठ्यक्रम के बीच संबंध को दर्शाती है समीकरण, जटिल और कार्यात्मक विश्लेषण)।
पहले भाग में शामिल हैं: विश्लेषण का परिचय (तार्किक प्रतीकवाद, सेट, फ़ंक्शन, वास्तविक संख्या, सीमा, निरंतरता); एक चर के फ़ंक्शन का अंतर और अभिन्न कलन; कई चरों के कार्यों की विभेदक गणना।
पाठ्यपुस्तक के दूसरे भाग में निम्नलिखित अनुभाग शामिल हैं: बहुआयामी अभिन्न। विभेदक रूप और उनका एकीकरण। एक पैरामीटर के आधार पर श्रृंखला और इंटीग्रल (श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण, साथ ही स्पर्शोन्मुख विस्तार सहित)।
समस्याओं के समाधान में सहायता.
नया। बागवानी आई.वी., खोरोशिलोवा ई.वी. निश्चित अभिन्न: कंप्यूटिंग का सिद्धांत और अभ्यास। 2008 528 पीपी. डीजेवीयू. 2.7 एमबी.
यह प्रकाशन निश्चित अभिन्नों की गणना के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पहलुओं के साथ-साथ विभिन्न ज्यामितीय और भौतिक समस्याओं को हल करने के लिए उनके मूल्यांकन, गुणों और अनुप्रयोगों के तरीकों के लिए समर्पित है। पुस्तक में आइजेनइंटीग्रल्स की गणना करने के तरीकों, अनुचित इंटीग्रल्स के गुणों, निश्चित इंटीग्रल के ज्यामितीय और भौतिक अनुप्रयोगों के साथ-साथ रीमैन इंटीग्रल के कुछ सामान्यीकरण - लेब्सग्यू और स्टिल्टजेस इंटीग्रल्स पर अनुभाग शामिल हैं।
सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति कुछ अभिन्नों के गुणों की गणना, मूल्यांकन और अध्ययन के विश्लेषण किए गए उदाहरणों की एक बड़ी संख्या (220 से अधिक) द्वारा समर्थित है; प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में, स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य दिए गए हैं (640 से अधिक, विशाल बहुमत - समाधान के साथ)।
मैनुअल का उद्देश्य व्याख्यान और व्यावहारिक अभ्यास में "निश्चित अभिन्न" विषय के पारित होने के दौरान छात्र की मदद करना है। जो समस्या उत्पन्न हुई है उसकी पृष्ठभूमि की जानकारी के लिए छात्र उनसे संपर्क कर सकता है। यह पुस्तक शिक्षकों और उन सभी लोगों के लिए भी उपयोगी हो सकती है जो इस विषय का पर्याप्त विस्तार से और व्यापक रूप से अध्ययन करना चाहते हैं।
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नया। खोरोशिलोवा ई.वी. गणितीय विश्लेषण: अनिश्चितकालीन अभिन्न। (अभ्यास में मदद के लिए)। 2007 184 पीपी. डीजेवीयू. 822 केबी.
पुस्तक अनिश्चितकालीन अभिन्नों के बारे में बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी प्रदान करती है, एकीकरण की अधिकांश ज्ञात तकनीकों और तरीकों और एकीकृत कार्यों के विभिन्न वर्गों (एकीकरण विधियों के संकेत के साथ) पर विचार करती है। सामग्री की प्रस्तुति इंटीग्रल्स (200 से अधिक इंटीग्रल्स) की गणना के बड़ी संख्या में विश्लेषण किए गए उदाहरणों द्वारा समर्थित है, प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य (उत्तर के साथ 200 से अधिक कार्य) हैं।
मैनुअल में निम्नलिखित खंड शामिल हैं: "अनिश्चित अभिन्न की अवधारणा", "एकीकरण के बुनियादी तरीके", "तर्कसंगत अंशों का एकीकरण", "तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण", "त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण", "अतिशयोक्तिपूर्ण, घातीय का एकीकरण" , लघुगणक और अन्य पारलौकिक कार्य"। पुस्तक का उद्देश्य अभ्यास में अनिश्चितकालीन अभिन्न के सिद्धांत में महारत हासिल करना, व्यावहारिक एकीकरण कौशल विकसित करना, व्याख्यान के पाठ्यक्रम को समेकित करना, सेमिनारों में और होमवर्क की तैयारी के दौरान इसका उपयोग करना है। मैनुअल का उद्देश्य छात्र को एकीकरण की विभिन्न तकनीकों और तरीकों में महारत हासिल करने में मदद करना है।
गणितीय विशिष्टताओं सहित विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए, जो गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के भाग के रूप में इंटीग्रल कैलकुलस का अध्ययन करते हैं।
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नया। वी.एफ. बुटुज़ोव, एन.सी.एच. क्रुतित्सकाया, जी.एन. मेदवेदेव, ए.ए. शिश्किन। प्रश्नों एवं कार्यों में गणितीय विश्लेषण: प्रो. भत्ता. 5वां संस्करण, रेव. 2002 480 पेज डीजेवीयू। 3.8 एमबी.
मैनुअल एक और कई चर के कार्यों के गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के सभी अनुभागों को शामिल करता है। प्रत्येक विषय के लिए, मुख्य सैद्धांतिक जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है और नियंत्रण प्रश्न प्रस्तावित किए गए हैं; मानक और गैर-मानक समस्याओं के समाधान दिए गए हैं; उत्तर और निर्देशों के साथ स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य और अभ्यास दिए गए हैं। चौथा संस्करण 2001
विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए.
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ए.ए. बर्टसेव। प्रथम वर्ष के दूसरे सेमेस्टर के गणितीय विश्लेषण में परीक्षा समस्याओं को हल करने की विधियाँ। 2010 पीडीएफ, 56 पेज 275 केबी।
पिछले चार के लिए कार्यों के प्रकार। साल का।
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विनोग्राडोवा आई. ए. एट अल. गणितीय विश्लेषण में समस्याएं और अभ्यास (भाग 1)। 1988 डीजेवीयू, 416 पृष्ठ 5.0 एमबी।
यह संग्रह मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय के पहले वर्ष में गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम पर पाठों की सामग्री पर संकलित किया गया है और गणितीय विश्लेषण विभाग को पढ़ाने के अनुभव को दर्शाता है। इसमें I और II सेमेस्टर के अनुरूप दो भाग होते हैं। प्रत्येक भाग में, कम्प्यूटेशनल अभ्यास और सैद्धांतिक समस्याओं पर अलग से प्रकाश डाला गया है। पहले भाग में कार्यों के ग्राफ़ के रेखाचित्रों का निर्माण, सीमाओं की गणना, एक वास्तविक चर के कार्यों की अंतर गणना और सैद्धांतिक समस्याएं शामिल हैं। दूसरा भाग - अनिश्चितकालीन अभिन्न, रीमैन का निश्चित अभिन्न, कई चर के कार्यों की अंतर गणना, सैद्धांतिक समस्याएं। कम्प्यूटेशनल अभ्यास वाले अध्यायों में, प्रत्येक पैराग्राफ विस्तृत पद्धति संबंधी निर्देशों से पहले दिया गया है। उनमें इस खंड में प्रयुक्त सभी परिभाषाएँ, मुख्य प्रमेयों का सूत्रीकरण, कुछ आवश्यक संबंधों की व्युत्पत्ति, विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान शामिल हैं, और सामान्य त्रुटियों की ओर ध्यान आकर्षित किया गया है। अधिकांश कार्य और अभ्यास बी.पी. डेमिडोविच की प्रसिद्ध समस्या पुस्तक में शामिल कार्यों से भिन्न हैं। संग्रह के दोनों भागों में गणना के लिए लगभग 1800 अभ्यास और 350 सैद्धांतिक समस्याएं शामिल हैं।
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विनोग्रादोवा आई. ए. एट अल. गणितीय विश्लेषण में समस्याएं और अभ्यास (भाग 2)। 1991 डीजेवीयू, 352 पेज 3.2 एमबी।
समस्या पुस्तक दूसरे वर्ष में प्रस्तुत गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम से मेल खाती है, और इसमें निम्नलिखित खंड शामिल हैं: डबल और ट्रिपल इंटीग्रल और उनके ज्यामितीय और भौतिक अनुप्रयोग, पहले और दूसरे प्रकार के वक्रीय और सतह इंटीग्रल। आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी दी गई है, समस्याओं के संपूर्ण वर्गों को हल करने के लिए उपयुक्त विशिष्ट एल्गोरिदम दिए गए हैं, विस्तृत पद्धति संबंधी निर्देश दिए गए हैं।
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विनोग्रादोव और अन्य। एड। सदोवनिची। गणितीय विश्लेषण में समस्याएँ और अभ्यास। 51 पृष्ठ पीडीएफ. 1.9 एमबी.
प्लॉटिंग अनुभाग पर बहुत विस्तार से चर्चा की गई है। सुविचारित उदाहरणों में 35 पृष्ठ भरे हुए हैं।
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झेल्तुखिन। अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग: गणना के तरीके। 2005 वर्ष. आकार 427 Kb. पीडीएफ, 80 पृष्ठ। उपयोगी मार्गदर्शिका, संदर्भ के रूप में उपयोग की जा सकती है। यह न केवल अभिन्नों की गणना के लिए सभी तरीकों का परिचय देता है, बल्कि प्रत्येक नियम के लिए बहुत सारे उदाहरण भी प्रदान करता है। मेरा सुझाव है।
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Zaporzhets. गणितीय विश्लेषण में समस्याओं को हल करने के लिए मार्गदर्शिका। चौथा संस्करण. 460 पेज डीजेवीयू। 7.7 एमबी.
कार्यों के अध्ययन से लेकर अंतर समीकरणों के समाधान तक सभी अनुभागों को कवर करता है। उपयोगी पुस्तक.
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कलिनिन, पेट्रोवा, खारिन। अनिश्चित और निश्चित अभिन्न. 2005 वर्ष. 230 पृष्ठ पीडीएफ. 1.2 एमबी.
अंततः, गणितज्ञों ने भौतिकविदों और तकनीकी विशिष्टताओं के अन्य छात्रों के लिए किताबें लिखना शुरू किया, न कि अपने लिए। यदि आप गणना करना सीखना चाहते हैं, न कि लेम्मा और प्रमेयों को सिद्ध करना, तो मैं इसकी अनुशंसा करता हूँ।
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कलिनिन, पेट्रोवा। एकाधिक, वक्ररेखीय और सतह अभिन्न। ट्यूटोरियल। 2005 वर्ष. 230 पृष्ठ पीडीएफ. 1.2 एमबी.
यह ट्यूटोरियल विभिन्न इंटीग्रल्स की गणना के उदाहरण प्रदान करता है।
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कापलान. उच्च गणित में व्यावहारिक पाठ. विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अंतर कलन, अभिन्न कलन, अंतर समीकरणों का एकीकरण। एक संग्रह में 2 फ़ाइलों में। सामान्य 925 पीपी. डीजेवीयू। 6.9 एमबी.
सामान्य गणित के पूरे पाठ्यक्रम में समस्या समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाता है।
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के.एन. लुंगु, एट अल। उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह। दूसरे कोर्स के लिए भाग 2। 2007 डीजेवीयू, 593 पृष्ठ 4.1 एमबी।
श्रृंखला और अभिन्न. वेक्टर और जटिल विश्लेषण. विभेदक समीकरण। सिद्धांत संभावना। परिचालन गणना. यह सिर्फ एक समस्या पुस्तक नहीं है, बल्कि एक ट्यूटोरियल भी है। यह आपको समस्याओं को हल करना सिखा सकता है।
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लुंगु, मकारोव। उच्च गणित. समस्या समाधान के लिए मार्गदर्शन. भाग 1. 2005 आकार 2.2 एमबी. डीजेवीयू, 315 पृष्ठ
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मैं एक। मैरून. उदाहरणों और कार्यों में विभेदक और अभिन्न कलन (एक चर के कार्य)। 1970 djvu. 400 पेज 11.3 एमबी।
यह पुस्तक गणितीय विश्लेषण (एक चर के कार्य) की समस्याओं को हल करने के लिए एक मैनुअल है। इसमें संक्षिप्त सैद्धांतिक परिचय, विशिष्ट उदाहरणों के समाधान और स्वतंत्र समाधान के कार्य शामिल हैं। एल्गोरिथम-कम्प्यूटेशनल प्रकृति के कार्यों के अलावा, इसमें कई कार्य शामिल हैं जो सिद्धांत को चित्रित करते हैं और छात्रों की स्वतंत्र गणितीय सोच विकसित करते हुए इसके गहन आत्मसात में योगदान करते हैं। पुस्तक का उद्देश्य छात्रों को गणितीय विश्लेषण के दौरान समस्याओं को स्वतंत्र रूप से हल करना सिखाना है
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डी.टी. लिखना। उच्च गणित 100 परीक्षा प्रश्न। 1999 djvu. 304 पृष्ठ 9.3 एमबी।
यह मैनुअल मुख्य रूप से प्रथम वर्ष में उच्च गणित में परीक्षा की तैयारी करने वाले छात्रों के लिए है। इसमें मौखिक परीक्षा के परीक्षा प्रश्नों के उत्तर संक्षिप्त और सुलभ रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। यह मैनुअल किसी न किसी रूप में उच्च गणित का अध्ययन करने वाले सभी श्रेणियों के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है। इसमें उच्च गणित के पाठ्यक्रम के 10 खंडों के लिए आवश्यक सामग्री शामिल है, जो आमतौर पर विश्वविद्यालय (तकनीकी स्कूल) के पहले वर्ष के छात्रों द्वारा अध्ययन किया जाता है। 108 परीक्षा प्रश्नों के उत्तर (उप-आइटम के साथ - और भी बहुत कुछ) आमतौर पर प्रासंगिक उदाहरणों और कार्यों के समाधान के साथ होते हैं।
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सोबोल बी.वी., मिश्न्याकोव एन.टी., पोर्कशेयन वी.एम. उच्च गणित पर कार्यशाला. 2006 630 पीपी. डीजेवीयू. 5.4 एमबी.
पुस्तक में उच्च शिक्षण संस्थानों की विशिष्टताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम के सभी खंड शामिल हैं।
प्रत्येक अध्याय (पाठ्यक्रम के संबंधित अनुभाग) में संदर्भ सामग्री, साथ ही समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक मुख्य सैद्धांतिक प्रावधान शामिल हैं। इस प्रकाशन की एक विशिष्ट विशेषता समाधान के साथ कार्यों की एक बड़ी संख्या है, जो इसे न केवल कक्षा अध्ययन के लिए, बल्कि छात्रों के स्वतंत्र कार्य के लिए भी उपयोग करने की अनुमति देती है। कार्य विषय के अनुसार प्रस्तुत किए जाते हैं, समाधान विधियों द्वारा व्यवस्थित किए जाते हैं। प्रत्येक अध्याय को स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों के सेट के साथ उत्तर सहित पूरा करें।
सामग्री की प्रस्तुति की पूर्णता और इस प्रकाशन की सापेक्ष सघनता इसे उच्च शिक्षण संस्थानों के शिक्षकों और छात्रों के साथ-साथ उन्नत प्रशिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए अनुशंसित करना संभव बनाती है जो इस विषय में अपने ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित करना चाहते हैं।
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ई.पी. सुलिआंडज़िगा, जी.ए. उषाकोव। गणित में परीक्षण: सीमा, व्युत्पन्न, बीजगणित और ज्यामिति के तत्व। उच. भत्ता. वर्ष 2009. पीडीएफ, 127 पृष्ठ 1.1 एमबी।
प्रस्तावित ट्यूटोरियल को कार्यों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है। कार्य पारंपरिक विषयों को कवर करते हैं - गणितीय विश्लेषण की मूल बातें: एक फ़ंक्शन, इसकी सीमा और व्युत्पन्न। रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मूल बातें पर कार्य हैं। चूँकि किसी फ़ंक्शन की सीमा और व्युत्पन्न अधिक कठिन होते हैं, और इसके अलावा, ये विषय अभिन्न कलन के लिए मौलिक होते हैं, इसलिए उन पर सबसे अधिक ध्यान दिया जाता है: विशिष्ट समस्याओं के समाधान का विस्तार से विश्लेषण किया जाता है। प्रशिक्षण नियमावली में एकत्रित सामग्री का बार-बार व्यावहारिक कक्षाओं में उपयोग किया गया।
सभी विश्वविद्यालयों के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए।
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जो लोग सीखना चाहते हैं कि सीमाएँ कैसे खोजें, इस लेख में हम इसके बारे में बात करेंगे। हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, यह आमतौर पर शिक्षकों द्वारा व्याख्यान में दिया जाता है। तो "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में रेखांकित किया जाना चाहिए। यदि यह मामला नहीं है, तो आप शैक्षणिक संस्थान के पुस्तकालय या अन्य इंटरनेट संसाधनों से ली गई पाठ्यपुस्तकें पढ़ सकते हैं।
इसलिए, उच्च गणित के पाठ्यक्रम के अध्ययन में सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन से परिचित होते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच संबंध को समझते हैं। वर्तमान सामग्री में सरल उदाहरणों के साथ-साथ उन्हें हल करने के तरीकों पर भी विचार किया जाएगा।
समाधान के उदाहरण
| उदाहरण 1 |
| गणना करें a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; बी)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| समाधान |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ बी)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ हमें अक्सर इन सीमाओं को हल करने के लिए मदद मांगने के लिए भेजा जाता है। हमने उन्हें एक अलग उदाहरण के रूप में उजागर करने और यह समझाने का निर्णय लिया कि इन सीमाओं को एक नियम के रूप में याद रखने की आवश्यकता है। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति से परिचित हो सकेंगे और जानकारी एकत्र कर सकेंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी! |
| उत्तर |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \to 0) \frac (1 )(x) = 0 $$ |
फॉर्म की अनिश्चितता के साथ क्या करें: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| उदाहरण 3 |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ को हल करें |
| समाधान |
|
हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के नीचे अभिव्यक्ति में $ x $ के मान को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ आगे क्या होगा? परिणाम क्या होना चाहिए? चूँकि यह एक अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूँकि हमारे पास अंशों में एक बहुपद है, हम इसे परिचित सूत्र $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ का उपयोग करके गुणनखंडों में विघटित करते हैं। याद आ गई? महान! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ लागू करें :) हम पाते हैं कि अंश $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को हल करना जारी रखते हैं: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| उत्तर |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
आइए पिछले दो उदाहरणों की सीमा को अनंत तक लें और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| उदाहरण 5 |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ की गणना करें |
| समाधान |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ क्या करें? हो कैसे? घबराओ मत, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर दोनों में कोष्ठक को हटाना और फिर उसे छोटा करना आवश्यक है। उसके बाद, सीमा की गणना करने का प्रयास करें। कोशिश कर रहे हैं... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ उदाहरण 2 से परिभाषा का उपयोग करने और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| उत्तर |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
सीमा की गणना के लिए एल्गोरिदम
तो, आइए विश्लेषण किए गए उदाहरणों को संक्षेप में सारांशित करें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:
- सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x रखें। यदि एक निश्चित संख्या, या अनंत प्राप्त हो जाए, तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अनिश्चितता है: "शून्य को शून्य से विभाजित किया गया" या "अनंत को अनंत से विभाजित किया गया" और निर्देश के अगले पैराग्राफ पर आगे बढ़ें।
- "शून्य को शून्य से विभाजित करें" की अनिश्चितता को खत्म करने के लिए आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा। समान कम करें. अभिव्यक्ति में सीमा चिन्ह के नीचे बिंदु x रखें।
- यदि अनिश्चितता "अनंत को अनंत से विभाजित" है, तो हम अंश और हर दोनों में सबसे बड़ी डिग्री का x निकाल देते हैं। हम x को छोटा करते हैं। हम सीमा के नीचे से x मानों को शेष अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं।
इस लेख में, आप कैलकुलस पाठ्यक्रम में अक्सर उपयोग की जाने वाली सीमाओं को हल करने की बुनियादी बातों से परिचित हुए। बेशक, ये परीक्षकों द्वारा पेश की जाने वाली सभी प्रकार की समस्याएं नहीं हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। हम भविष्य के लेखों में अन्य प्रकार के कार्यों के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। हम चर्चा करेंगे कि यदि जड़ें, डिग्री हों तो क्या करें, हम अनंत तुल्य फलन, अद्भुत सीमाएँ, एल'हॉपिटल के नियम का अध्ययन करेंगे।
यदि आप स्वयं सीमाओं का पता नहीं लगा सकते, तो घबराएं नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!
भयानक फ़ार्मुलों का ढेर, उच्च गणित पर मैनुअल जिन्हें आप खोलते हैं और तुरंत बंद कर देते हैं, एक बहुत ही सरल प्रतीत होने वाली समस्या के समाधान की दर्दनाक खोज.... यह स्थिति असामान्य नहीं है, खासकर जब गणित की पाठ्यपुस्तक आखिरी बार 11वीं कक्षा में खोली गई थी। इस बीच, विश्वविद्यालयों में, कई विशिष्टताओं के पाठ्यक्रम हर किसी के पसंदीदा उच्च गणित के अध्ययन के लिए प्रदान करते हैं। और इस स्थिति में, आप अक्सर भयानक गणितीय बकवास के ढेर के सामने एक पूर्ण चायदानी की तरह महसूस करते हैं। इसके अलावा, ऐसी ही स्थिति किसी भी विषय के अध्ययन में उत्पन्न हो सकती है, विशेषकर प्राकृतिक विज्ञान के चक्र से।
क्या करें? एक पूर्णकालिक छात्र के लिए, सब कुछ बहुत सरल है, जब तक कि, निश्चित रूप से, विषय बहुत उपेक्षित न हो। आप किसी शिक्षक, सहपाठियों से सलाह ले सकते हैं और डेस्क पर बैठे किसी पड़ोसी से भी सलाह ले सकते हैं। यहां तक कि उच्च गणित में एक पूर्ण चायदानी भी ऐसे परिदृश्यों में सत्र में जीवित रहेगी।
और यदि कोई व्यक्ति किसी विश्वविद्यालय के पत्राचार विभाग में पढ़ रहा है, और उच्च गणित, इसे हल्के ढंग से कहें तो, भविष्य में इसकी आवश्यकता होने की संभावना नहीं है? इसके अलावा कक्षाओं के लिए भी समय नहीं है। ज्यादातर मामलों में ऐसा ही है, लेकिन किसी ने भी परीक्षणों के प्रदर्शन और परीक्षा उत्तीर्ण करने को रद्द नहीं किया (अक्सर, लिखित)। उच्च गणित में परीक्षणों के साथ, सब कुछ आसान हो जाता है, चाहे आप चायदानी हों या नहीं - गणित की परीक्षा का आदेश दिया जा सकता है. उदाहरण के लिए, मेरे पास है। अन्य सामान भी ऑर्डर किया जा सकता है. अब यहाँ नहीं. लेकिन समीक्षा के लिए परीक्षण पत्रों के कार्यान्वयन और प्रस्तुतीकरण से अभी तक ग्रेड बुक में प्रतिष्ठित प्रविष्टि नहीं होगी। अक्सर ऐसा होता है कि ऑर्डर पर बनाई गई कला की कृति का बचाव करने की आवश्यकता होती है, और यह बताना आवश्यक है कि वह सूत्र इन अक्षरों से क्यों अनुसरण करता है। इसके अलावा, परीक्षाएं आ रही हैं, और वहां आपको पहले से ही निर्धारकों, सीमाओं और व्युत्पन्नों को स्वतंत्र रूप से हल करना होगा। जब तक, निश्चित रूप से, शिक्षक मूल्यवान उपहार स्वीकार नहीं करता है, या कक्षा के बाहर कोई किराए का शुभचिंतक नहीं है।
आइए मैं आपको कुछ बहुत महत्वपूर्ण सलाह देता हूं। सटीक और प्राकृतिक विज्ञान में परीक्षणों, परीक्षाओं में, कुछ समझना बहुत महत्वपूर्ण है। याद रखें, कम से कम कुछ तो। विचार प्रक्रियाओं की पूर्ण अनुपस्थिति बस शिक्षक को क्रोधित करती है, मैं ऐसे मामलों को जानता हूं जब अंशकालिक छात्रों को 5-6 बार लपेटा गया था। मुझे याद है कि एक युवक ने 4 बार परीक्षा उत्तीर्ण की, और प्रत्येक रीटेक के बाद वह निःशुल्क वारंटी परामर्श के लिए मेरे पास आया। अंत में, मैंने देखा कि उत्तर में उन्होंने "पी" अक्षर के बजाय "पे" अक्षर लिखा था, जिसके बाद समीक्षक की ओर से गंभीर प्रतिबंध लगाए गए थे। छात्र असाइनमेंट को देखना भी नहीं चाहता था, जिसे उसने लापरवाही से दोबारा लिख दिया
आप उच्च गणित में पूरी तरह से नकली हो सकते हैं, लेकिन यह जानना बेहद वांछनीय है कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। क्योंकि यदि आप किसी प्रारंभिक प्रश्न का कुछ मूर्खतापूर्ण उत्तर देते हैं, तो इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि विश्वविद्यालय में आपकी पढ़ाई आपके लिए समाप्त हो जाएगी। शिक्षक उस छात्र के प्रति अधिक अनुकूल होते हैं जो कम से कम विषय को समझने की कोशिश करता है, उस व्यक्ति के लिए जो गलती से ही सही, लेकिन कुछ हल करने, समझाने या साबित करने की कोशिश करता है। और यह कथन सभी विषयों के लिए सत्य है। इसलिए, "मैं कुछ नहीं जानता, मैं कुछ नहीं समझता" स्थिति को दृढ़तापूर्वक अस्वीकार कर दिया जाना चाहिए।
दूसरी महत्वपूर्ण सलाह व्याख्यानों में भाग लेने की है, भले ही उनमें से बहुत सारे न हों। मैंने इसका उल्लेख साइट के मुख्य पृष्ठ पर पहले ही कर दिया है। पत्राचार छात्रों के लिए गणित. यह दोहराने का कोई मतलब नहीं है कि यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है, वहां पढ़ें।
तो, अगर नाक पर कोई परीक्षा हो, उच्च गणित में परीक्षा हो, और चीजें दयनीय हों - एक पूर्ण, या बल्कि, खाली चायदानी की स्थिति, तो क्या करें?
एक विकल्प एक ट्यूटर नियुक्त करना है। ट्यूटर्स का सबसे बड़ा डेटाबेस (मुख्य रूप से मॉस्को) या (मुख्य रूप से सेंट पीटर्सबर्ग) पाया जा सकता है। एक खोज इंजन का उपयोग करके, आपके शहर में एक शिक्षक मिलने या स्थानीय विज्ञापन समाचार पत्रों को देखने की काफी संभावना है। शिक्षक की योग्यता के आधार पर, ट्यूटर की सेवाओं की कीमत प्रति घंटे 400 या अधिक रूबल से भिन्न हो सकती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सस्ते का मतलब बुरा नहीं है, खासकर यदि आपके पास अच्छी गणितीय पृष्ठभूमि है। वहीं, 2-3K रूबल के लिए आपको बहुत कुछ मिलेगा। व्यर्थ में कोई भी ऐसे पैसे नहीं लेता है, और व्यर्थ में कोई भी ऐसे पैसे का भुगतान नहीं करता है ;-)। एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु - एक विशेष शैक्षणिक शिक्षा के साथ एक ट्यूटर चुनने का प्रयास करें। और वास्तव में, हम कानूनी मदद के लिए दंत चिकित्सक के पास नहीं जाते हैं।
हाल ही में, ऑनलाइन ट्यूशन सेवा लोकप्रियता प्राप्त कर रही है। यह बहुत सुविधाजनक है जब आपको एक या दो समस्याओं को तत्काल हल करने, किसी विषय को समझने या किसी परीक्षा की तैयारी करने की आवश्यकता होती है। निस्संदेह लाभ कीमतें हैं, जो ऑफ़लाइन ट्यूटर की तुलना में कई गुना कम हैं + यात्रा पर समय की बचत होती है, जो विशेष रूप से मेगासिटी के निवासियों के लिए महत्वपूर्ण है।
उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, शिक्षक के बिना कुछ चीजों में महारत हासिल करना बहुत मुश्किल है, आपको बस एक "लाइव" स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।
फिर भी, कई प्रकार की समस्याओं को स्वयं समझना काफी संभव है, और साइट के इस अनुभाग का उद्देश्य आपको विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं को हल करना सिखाना है जो लगभग हमेशा परीक्षाओं में पाए जाते हैं। इसके अलावा, कई कार्यों के लिए "कठिन" एल्गोरिदम हैं, जहां सही समाधान से कोई बच नहीं सकता है। और, जहां तक मेरी जानकारी है, मैं आपकी मदद करने की कोशिश करूंगा, खासकर जब से मेरे पास अपनी विशेषज्ञता में शैक्षणिक शिक्षा और कार्य अनुभव है।
आइए गणितीय अस्पष्टता को समझना शुरू करें। यह ठीक है, भले ही आप चायदानी हों, उच्च गणित वास्तव में सरल और वास्तव में सुलभ है।
और आपको गणित के स्कूल पाठ्यक्रम को दोहराकर शुरुआत करनी होगी। दोहराव दर्द की जननी है.
इससे पहले कि आप मेरी पद्धति संबंधी सामग्रियों का अध्ययन शुरू करें, और सामान्य तौर पर उच्च गणित में किसी भी सामग्री का अध्ययन करना शुरू करें, मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि आप निम्नलिखित को पढ़ें।
उच्च गणित में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:
एक माइक्रोकैलकुलेटर प्राप्त करें.
कार्यक्रमों में से - एक्सेल (एक उत्कृष्ट विकल्प!)। मैंने लाइब्रेरी में "डमीज़" के लिए मैनुअल अपलोड किया।
खाओ? पहले से ही अच्छा है.
– पदों की पुनर्व्यवस्था से - योग नहीं बदलता है: .
लेकिन ये बिल्कुल अलग चीजें हैं:
"x" और "चार" को पुनर्व्यवस्थित करना बिल्कुल असंभव है। उसी समय, हम प्रतिष्ठित अक्षर "x" को याद करते हैं, जिसका गणित में अर्थ अज्ञात या परिवर्तनशील मान है।
– कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से - उत्पाद नहीं बदलता है: .
विभाजन के साथ, ऐसी चाल काम नहीं करेगी, और ये दो पूरी तरह से अलग भिन्न हैं, और अंश को हर के साथ पुनर्व्यवस्थित करने से परिणाम के बिना काम नहीं चलता है।
हमें यह भी याद है कि गुणन चिह्न ("बिंदु") अक्सर नहीं लिखा जाता है:,
– कोष्ठक के विस्तार के नियमों को याद करें:
- यहां पदों के चिह्न नहीं बदलते
- और यहां वे उलटे हैं।
और गुणन के लिए: 
सामान्य तौर पर, यह याद रखना पर्याप्त है दो माइनस एक प्लस देता है, ए तीन माइनस - माइनस दें. और, उच्च गणित में समस्याओं को हल करते समय इसमें भ्रमित न होने का प्रयास करें (एक बहुत ही लगातार और कष्टप्रद गलती)।
– समान पदों की कमी को याद करें, आपको निम्नलिखित ऑपरेशन की अच्छी समझ होनी चाहिए:
– याद रखें डिग्री क्या होती है:
, , 
, 
.
एक डिग्री सिर्फ एक सामान्य गुणन है.
–याद रखें कि भिन्नों को कम किया जा सकता है: (2 से कम), (पांच से कम), (2 से कम)।
– भिन्नों वाली क्रियाओं को याद रखें:
और साथ ही, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम: 
यदि ये उदाहरण स्पष्ट नहीं हैं, तो स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।
इसके बिना, यह कठिन होगा.
सलाह: उच्च गणित में सभी मध्यवर्ती गणनाएँ सामान्य दाएँ और अनियमित भिन्नों में सबसे अच्छी तरह से की जाती हैं, भले ही डरावने भिन्न जैसे हों। इस भिन्न को के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाना चाहिए, और, इसके अलावा, कैलकुलेटर पर अंश को हर से विभाजित न करें, जिससे 4.334552102 प्राप्त हो ....
नियम का अपवाद कार्य का अंतिम उत्तर है, तो इसे लिखना बेहतर है या।
– समीकरण. इसका एक बायाँ भाग और एक दायाँ भाग है। उदाहरण के लिए:
आप किसी भी पद का चिह्न बदलकर उसे दूसरे भाग में स्थानांतरित कर सकते हैं:
आइए, उदाहरण के लिए, सभी शब्दों को बाईं ओर ले जाएँ:
या दाईं ओर:
आव्यूहसंख्याओं से भरी आयताकार मेज कहलाती है। मैट्रिक्स की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँ पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या हैं। यदि किसी मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान है, तो इसे कहा जाता है वर्ग. मैट्रिक्स को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
संख्याओं को स्वयं कहा जाता है मैट्रिक्स तत्वऔर उन्हें पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या देकर और उन्हें दोहरे सूचकांक के रूप में लिखकर, पहले पंक्ति संख्या और फिर स्तंभ संख्या के साथ, मैट्रिक्स में उनकी स्थिति के आधार पर चिह्नित करें। उदाहरण के लिए, ए 14 पहली पंक्ति और चौथे कॉलम में मैट्रिक्स तत्व है, ए 32 तीसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में है।
वर्गाकार मैट्रिक्स का मुख्य विकर्णउन तत्वों को कॉल करें जिनका सूचकांक समान है, अर्थात वे तत्व जिनकी पंक्ति संख्या स्तंभ संख्या से मेल खाती है। पार्श्व विकर्णमुख्य विकर्ण पर "लंबवत" जाता है।
तथाकथित का विशेष महत्व है पहचान मैट्रिक्स. ये वर्गाकार आव्यूह हैं जिनके मुख्य विकर्ण पर 1 है और अन्य सभी संख्याएँ 0 के बराबर हैं। ये सर्वसमिका आव्यूह E को दर्शाते हैं। आव्यूह कहलाते हैं बराबरयदि उनमें पंक्तियों की संख्या, स्तंभों की संख्या समान है, और समान सूचकांक वाले सभी तत्व समान हैं। मैट्रिक्स कहा जाता है व्यर्थ, यदि इसके सभी तत्व 0 के बराबर हैं। शून्य मैट्रिक्स O को दर्शाया गया है।
मैट्रिक्स के साथ सबसे सरल क्रियाएं
1. किसी मैट्रिक्स का किसी संख्या से गुणा करना।ऐसा करने के लिए, आपको मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को किसी दिए गए नंबर से गुणा करना होगा।
2. मैट्रिक्स जोड़.आप केवल समान आकार के मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं, यानी, पंक्तियों की समान संख्या और स्तंभों की समान संख्या वाले। जब आव्यूहों को जोड़ा जाता है, तो उनके संगत अवयव भी जोड़े जाते हैं।
3. मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन।जब एक मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ किया जाता है, तो पंक्तियाँ कॉलम बन जाती हैं और इसके विपरीत। परिणामी मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है और ए टी द्वारा दर्शाया जाता है। निम्नलिखित गुण मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन के लिए मान्य हैं:
4. मैट्रिक्स गुणन.मैट्रिक्स उत्पाद में निम्नलिखित गुण हैं:
- यदि पहले मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर है तो आप मैट्रिक्स को गुणा कर सकते हैं।
- परिणाम एक मैट्रिक्स है जिसकी पंक्तियों की संख्या पहले मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर है, और स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या के बराबर है।
- मैट्रिक्स गुणन गैर क्रमविनिमेय है।इसका मतलब यह है कि उत्पाद में मैट्रिक्स को पुनर्व्यवस्थित करने से परिणाम बदल जाता है। इसके अलावा, यदि उत्पाद A∙B की गणना की जा सकती है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि उत्पाद B∙A की गणना की जा सकती है।
- माना C = A∙B. मैट्रिक्स सी के तत्व को निर्धारित करने के लिए, जो अंदर है मैं-वह पंक्ति और क-वां कॉलम अवश्य लिया जाना चाहिए मैं-पहली गुणा मैट्रिक्स की पंक्ति और क-वां कॉलम दूसरा. इसके बाद बारी-बारी से इन पंक्तियों और स्तंभों के तत्वों को लें और उन्हें गुणा करें। हम पहले मैट्रिक्स की पंक्ति से पहला तत्व लेते हैं और दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम के पहले तत्व से गुणा करते हैं। इसके बाद, हम पहले मैट्रिक्स की पंक्ति का दूसरा तत्व लेते हैं और दूसरे मैट्रिक्स के कॉलम के दूसरे तत्व से गुणा करते हैं, और इसी तरह। और फिर इन सभी कार्यों को जोड़ना होगा।
मैट्रिक्स निर्धारक
निर्धारक (निर्धारक)वर्ग मैट्रिक्स A को एक संख्या कहा जाता है, जिसे det द्वारा दर्शाया जाता है ए, कम अक्सर | ए| या बस Δ, और एक निश्चित तरीके से गणना की जाती है। 1x1 मैट्रिक्स के लिए, निर्धारक मैट्रिक्स का एकल तत्व ही है। 2x2 मैट्रिक्स के लिए, निर्धारक निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:
लघु और बीजगणितीय जोड़
मैट्रिक्स ए पर विचार करें। हम इसमें चुनते हैं एसलाइनें और एसकॉलम. आइए प्राप्त पंक्तियों और स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर खड़े तत्वों से एक वर्ग मैट्रिक्स बनाएं। नाबालिगक्रम के मैट्रिक्स ए एसपरिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक कहा जाता है।
एक वर्ग मैट्रिक्स ए पर विचार करें। हम इसमें चुनते हैं एसलाइनें और एसकॉलम. अतिरिक्त लघुमामूली आदेश के लिए एसदी गई पंक्तियों और स्तंभों को हटाने के बाद शेष तत्वों से बने निर्धारक को कॉल करें।
बीजगणितीय जोड़तत्व के लिए एआइकेवर्ग मैट्रिक्स ए को इस तत्व का अतिरिक्त लघु कहा जाता है, जिसे (-1) से गुणा किया जाता है मैं+क, कहाँ मैं+कतत्व की पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग है एआइके. बीजगणितीय पूरक ए को निरूपित करें इंद्रकुमार.
बीजगणितीय पूरकों के माध्यम से मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना
एक वर्ग मैट्रिक्स ए पर विचार करें। इसके निर्धारक की गणना करने के लिए, आपको इसकी किसी भी पंक्ति या स्तंभ को चुनना होगा और इस पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व और इसके बीजगणितीय पूरक का उत्पाद ढूंढना होगा। और फिर आपको इन सभी कार्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।
बीजगणितीय जोड़ की गणना को 2x2 से अधिक आकार वाले निर्धारक की गणना तक कम किया जा सकता है। इस मामले में, ऐसी गणना को बीजगणितीय जोड़ के माध्यम से भी करने की आवश्यकता होती है, और इसी तरह जब तक कि बीजगणितीय जोड़ की गणना करने की आवश्यकता 2x2 आकार में न हो जाए, जिसके बाद उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया जाता है।
उलटा मैट्रिक्स
एक वर्ग मैट्रिक्स ए पर विचार करें। मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है रिवर्समैट्रिक्स ए के लिए यदि उनके उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर हैं। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल तभी मौजूद होता है जब मैट्रिक्स ए गैर पतित, अर्थात इसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है। अन्यथा, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना नहीं की जा सकती। व्युत्क्रम मैट्रिक्स बनाने के लिए, आपको चाहिए:
- मैट्रिक्स निर्धारक खोजें.
- मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के लिए बीजगणितीय पूरक खोजें।
- बीजगणितीय योगों से एक मैट्रिक्स बनाएं और इसे स्थानांतरित करना सुनिश्चित करें। ट्रांसपोज़िशन को अक्सर भुला दिया जाता है।
- परिणामी मैट्रिक्स को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करें।
इस प्रकार, यदि मैट्रिक्स A का आकार 3x3 है, तो इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स का रूप इस प्रकार है:
यौगिक
कुछ फ़ंक्शन पर विचार करें एफ(एक्स) तर्क पर निर्भर करता है एक्स. मान लीजिए कि इस फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित किया गया है एक्स 0 और इसके कुछ पड़ोस इस बिंदु और इसके पड़ोस पर निरंतर हैं। फ़ंक्शन तर्क ∆ में एक छोटे से बदलाव पर विचार करें एक्स. फ़ंक्शन को ∆ में बदलने दें एफ(एक्स). तब व्युत्पन्न कार्यइस बिंदु पर निम्नलिखित संबंध कहा जाता है।
