त्रिभुज का क्षेत्रफल - समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण। त्रिभुज क्षेत्र प्रमेय, ज्या और कोज्या प्रमेय, कोज्या और दो भुजाओं द्वारा त्रिभुज क्षेत्र

आधार और ऊंचाई जानकर पाया जा सकता है। योजना की संपूर्ण सरलता इस तथ्य में निहित है कि ऊंचाई आधार a को दो भागों a 1 और a 2 में विभाजित करती है, और त्रिभुज स्वयं दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित होती है, जिसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है और। तब पूरे त्रिभुज का क्षेत्रफल दो संकेतित क्षेत्रों का योग होगा, और यदि हम कोष्ठक से ऊँचाई का आधा हिस्सा निकालते हैं, तो कुल मिलाकर हमें आधार वापस मिलता है:

गणना के लिए एक अधिक कठिन विधि हेरॉन सूत्र है, जिसके लिए आपको तीनों पक्षों को जानना आवश्यक है। इस सूत्र के लिए, आपको पहले त्रिभुज की अर्धपरिधि की गणना करनी होगी: हेरॉन का सूत्र स्वयं अर्ध-परिधि के वर्गमूल को दर्शाता है, जो प्रत्येक पक्ष पर इसके अंतर से गुणा होता है।

निम्नलिखित विधि, जो किसी भी त्रिभुज के लिए भी प्रासंगिक है, आपको दो भुजाओं से होकर गुजरने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल और उनके बीच का कोण ज्ञात करने की अनुमति देती है। इसका प्रमाण ऊंचाई वाले सूत्र से मिलता है - हम किसी भी ज्ञात पक्ष की ऊंचाई खींचते हैं और कोण α की ज्या के माध्यम से हमें वह h=a⋅sinα मिलता है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आधी ऊंचाई को दूसरी भुजा से गुणा करें।

दूसरा तरीका यह है कि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाए जिसमें 2 कोण और उनके बीच की भुजा दी गई हो। इस सूत्र का प्रमाण काफी सरल है, और इसे आरेख से स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

हम तीसरे कोने के शीर्ष से ज्ञात पक्ष तक ऊंचाई कम करते हैं और परिणामी खंडों को क्रमशः x कहते हैं। समकोण त्रिभुजों से यह देखा जा सकता है कि पहला खंड x गुणनफल के बराबर है

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और अंतिम परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष सलाद को दर्शाता है, दूसरा पक्ष पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को निरूपित करेगा। ऐसे "बोर्स्ट" आयत का विकर्ण और क्षेत्रफल विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणाएँ हैं और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी इसका उपयोग नहीं किया जाता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण कार्यों के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना कोई गणित नहीं हो सकता. गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं, चाहे हम जानते हों कि उनका अस्तित्व है या नहीं।

रैखिक कोणीय फलन जोड़ के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में बदल जाता है और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय फलनों के बिना ऐसा करना संभव है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना काम चला लेते हैं। गणितज्ञों की चाल इस तथ्य में निहित है कि वे हमें हमेशा केवल उन समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल कर सकते हैं, और हमें उन समस्याओं के बारे में कभी नहीं बताते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। सभी। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते और उनका समाधान नहीं कर पाते। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पद नहीं जानते तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके अलावा, हम स्वयं चुनते हैं कि एक पद क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय फलन दर्शाते हैं कि दूसरा पद क्या होना चाहिए ताकि जोड़ का परिणाम बिल्कुल वही हो जो हमें चाहिए। ऐसे पदों के युग्मों की संख्या अनंत हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम योग को विघटित किए बिना बहुत अच्छा करते हैं; घटाव हमारे लिए पर्याप्त है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अध्ययन में योग का पदों में विस्तार बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल) के लिए शर्तों की माप की एक ही इकाई की आवश्यकता होती है। सलाद, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, मात्रा, लागत या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए अंतर के दो स्तर दिखाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जिसे दर्शाया गया है ए, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और अक्षर द्वारा दर्शाया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के दायरे में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की समान संख्या हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, यह हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के लिए एक ही नोटेशन में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम सटीक रूप से कह सकते हैं कि कौन सी गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलती है। पत्र डब्ल्यूमैं जल को अक्षर से अंकित कर दूँगा एसमैं सलाद को पत्र से चिह्नित करूंगा बी- बोर्श। यहां बताया गया है कि बोर्स्ट के लिए रैखिक कोण फ़ंक्शन कैसा दिखेगा।

यदि हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद का कुछ हिस्सा लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्ट की एक सर्विंग में बदल जाएंगे। यहां मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना कैसे सिखाया गया था? यह पता लगाना ज़रूरी था कि कितने जानवर निकलेंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें संख्याओं से इकाइयों को अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित होने का सीधा रास्ता है - हम नहीं समझते कि क्या, यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, क्योंकि अंतर के तीन स्तरों के कारण, गणितज्ञ केवल एक पर काम करते हैं। माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है यह सीखना अधिक सही होगा।

और खरगोश, और बत्तख, और छोटे जानवर टुकड़ों में गिने जा सकते हैं। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए एक ऐसी ही समस्या पर नजर डालें। जब आप खरगोश और पैसे जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं.

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध नकदी में जोड़ते हैं। हमें अपनी संपत्ति का कुल मूल्य पैसे के रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास मौजूद बैंकनोटों की संख्या में खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की रकम हमें टुकड़ों में मिलेगी.

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रैखिक कोण फलनों के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है. हमारे पास सलाद है लेकिन पानी नहीं है. हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। जीरो बोर्श जीरो सलाद (समकोण) पर भी हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि। शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती। ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि केवल एक पद है और दूसरा पद लुप्त है तो जोड़ स्वयं असंभव है। आप इसे अपनी इच्छानुसार जोड़ सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय संक्रियाओं का आविष्कार स्वयं गणितज्ञों द्वारा किया गया था, इसलिए अपने तर्क को त्यागें और मूर्खतापूर्वक गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत परिभाषाओं को रटें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा किया जाता है" शून्य के बराबर", "बिंदु शून्य के पीछे" और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके मन में कभी यह सवाल नहीं आएगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर सभी अर्थ खो देता है: जो एक संख्या नहीं है उसे कोई कैसे संख्या मान सकता है . यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग से जोड़ा जाए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना उस पेंट से पेंटिंग करने जैसा है जिसका अस्तित्व ही नहीं है। उन्होंने एक सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंटिंग की है।" लेकिन मैं थोड़ा विषयांतर हो जाता हूं।

कोण शून्य से अधिक लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास ढेर सारा सलाद है, लेकिन पानी कम है। परिणामस्वरूप, हमें गाढ़ा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है. हमारे पास पानी और सलाद की मात्रा बराबर है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (रसोइया मुझे माफ कर दें, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी है और थोड़ा सलाद है। तरल बोर्स्ट प्राप्त करें।

समकोण। हमारे पास पानी है. लेट्यूस की केवल यादें ही बची हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण मापना जारी रखते हैं जो एक बार लेट्यूस को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है. उस स्थिति में, रुकें और पानी उपलब्ध होने पर ही पियें)))

यहाँ। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दोनों मित्रों के साझा व्यवसाय में हिस्सेदारी थी। उनमें से एक की हत्या के बाद सब कुछ दूसरे के पास चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उद्भव।

ये सभी कहानियाँ रैखिक कोणीय फलनों का उपयोग करके गणित की भाषा में बताई गई हैं। फिर कभी मैं आपको गणित की संरचना में इन कार्यों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट की त्रिकोणमिति पर लौटें और अनुमानों पर विचार करें।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

मैंने इसके बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा दादी की पंक्ति एक घटा एक जमा एक घटा एक - नंबरफ़ाइल. गणितज्ञ झूठ बोलते हैं. उन्होंने अपने तर्क में समानता परीक्षण नहीं किया।

यह के बारे में मेरे तर्क से मेल खाता है।

आइए उन संकेतों पर करीब से नज़र डालें जो बताते हैं कि गणितज्ञ हमें धोखा दे रहे हैं। तर्क की शुरुआत में ही गणितज्ञ कहते हैं कि अनुक्रम का योग इस पर निर्भर करता है कि इसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य है। आगे क्या होता है?

इसके बाद, गणितज्ञ एकता में से अनुक्रम घटा देते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम में तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आख़िरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा है। तमाम बाहरी समानताओं के बावजूद, परिवर्तन से पहले का क्रम, परिवर्तन के बाद के अनुक्रम के बराबर नहीं है। भले ही हम अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हों, हमें याद रखना चाहिए कि विषम संख्या में तत्वों वाला अनंत अनुक्रम तत्वों की सम संख्या वाले अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

तत्वों की संख्या में भिन्न दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाकर, गणितज्ञों का दावा है कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में आगे का तर्क गलत है, क्योंकि यह झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाणों के क्रम में कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय अभिव्यक्ति के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, तो बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड जादूगरों की तरह, गणितज्ञ अंततः आपको गलत परिणाम देने के लिए अभिव्यक्ति के विभिन्न हेरफेरों से आपका ध्यान भटकाते हैं। यदि आप धोखाधड़ी के रहस्य को जाने बिना कार्ड ट्रिक को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत सरल है: आपको धोखाधड़ी के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को समझाने की अनुमति देते हैं परिणाम की शुद्धता, ठीक वैसे ही जैसे जब आपने आपको आश्वस्त किया हो।

दर्शकों से प्रश्न: और अनंत (अनुक्रम एस में तत्वों की संख्या के रूप में), क्या यह सम या विषम है? आप किसी ऐसी चीज़ की समता कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समता नहीं है?

गणितज्ञों के लिए अनंत पुजारियों के लिए स्वर्ग के राज्य की तरह है - कोई भी वहां कभी नहीं गया है, लेकिन हर कोई जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं सहमत हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन रहेंगे चाहे आप सम या विषम संख्या में जिए हों , लेकिन ... आपके जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन जोड़ने पर, हमें एक पूरी तरह से अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका अंतिम नाम, पहला नाम और संरक्षक बिल्कुल वही हैं, केवल जन्म तिथि पूरी तरह से अलग है - वह एक ही पैदा हुआ था आपसे एक दिन पहले.

और अब मुद्दे पर))) मान लीजिए कि एक परिमित अनुक्रम जिसमें समता है, अनंत तक जाने पर यह समता खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी भी परिमित खंड को भी समता खोनी होगी। हम इसका पालन नहीं करते. तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते हैं कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम है या विषम, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि मौजूद है, तो बिना किसी निशान के अनंत में गायब नहीं हो सकती, जैसे कार्ड शार्पर की आस्तीन में। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है.

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी कोयल से पूछा है कि घड़ी की सुई किस दिशा में घूमती है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "घड़ी की दिशा" कहते हैं। यह विरोधाभासी लग सकता है, लेकिन घूर्णन की दिशा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि हम घूर्णन को किस तरफ से देखते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो घूमता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक ओर से और दूसरी ओर से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य की गवाही दे सकते हैं कि घूर्णन होता है। अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब एक दूसरा घूमने वाला पहिया जोड़ते हैं, जिसके घूमने का तल पहले घूमने वाले पहिये के घूमने के तल के समानांतर है। हम अभी भी ठीक से नहीं बता सकते कि ये पहिये किस दिशा में घूम रहे हैं, लेकिन हम पूर्ण निश्चितता के साथ बता सकते हैं कि दोनों पहिये एक ही दिशा में घूम रहे हैं या विपरीत दिशाओं में। दो अनंत अनुक्रमों की तुलना करना एसऔर 1-एस, मैंने गणित की मदद से दिखाया कि इन अनुक्रमों में अलग-अलग समानताएं हैं और उनके बीच समान चिह्न लगाना एक गलती है। व्यक्तिगत रूप से, मैं गणित में विश्वास करता हूं, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है))) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति को पूरी तरह से समझने के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ". इसे खींचने की आवश्यकता होगी.

बुधवार, 7 अगस्त 2019

के बारे में बातचीत समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत समुच्चय पर विचार करने की आवश्यकता है। इसमें दिया गया है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर की तरह काम करती है। अनंत की कांपती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित कर देती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है. अल्फ़ा एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अपने मामले को स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों के साथ आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ जादूगरों के नृत्य के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं किया गया है और नए मेहमानों को उनमें बसाया गया है, या मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए कुछ आगंतुकों को गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? आगंतुकों की एक अनंत संख्या को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। हमारे द्वारा पहला अतिथि कक्ष खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" की श्रेणी से होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के अनुसार समायोजित करना या इसके विपरीत।

"अनंत होटल" क्या है? इन्फिनिटी इन एक ऐसी सराय है जिसमें हमेशा कितनी भी संख्या में रिक्तियाँ होती हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि "आगंतुकों के लिए" अंतहीन हॉलवे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "मेहमानों" के लिए कमरों वाला एक और अंतहीन हॉलवे है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। साथ ही, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा निर्मित अनंत संख्या में ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। दूसरी ओर, गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से दूर नहीं जा पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही होते हैं, होटल एक होता है, गलियारा एक ही होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या में हेरफेर करने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "अप्रत्याशित को धक्का देना" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, चूँकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए प्रकृति में कोई संख्याएँ नहीं हैं। हां, प्रकृति पूरी तरह से गिनती करना जानती है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको फिर कभी बताऊंगा। चूँकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। एक वास्तविक वैज्ञानिक की तरह दोनों विकल्पों पर विचार करें।

विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो एक शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम उस सेट से एक इकाई ले सकते हैं जिसे हमने पहले ही ले लिया है और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक यूनिट ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें इसे जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस प्रकार लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों को विस्तार से सूचीबद्ध करते हुए, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में संचालन को लिखा है। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही जोड़ दिया जाए।

विकल्प दो. हमारे पास शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट का उपयोग गिनती के लिए उसी तरह किया जाता है जैसे माप के लिए रूलर का। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ दिया है। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आप कभी भी गणितीय समस्याओं में फंसते हैं, तो विचार करें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा बताए गए झूठे तर्क के रास्ते पर हैं। आख़िरकार, गणित की कक्षाएं, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़िवादिता बनाती हैं, और उसके बाद ही वे हममें मानसिक क्षमताएँ जोड़ती हैं (या इसके विपरीत, वे हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करती हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और मैंने विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी सन्दर्भ में देखना हमारे लिए कमज़ोर है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, व्यक्तिगत रूप से मुझे निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं है और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं प्रकाशनों का एक पूरा चक्र आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए समर्पित करना चाहता हूँ। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी, जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें.

हमारे पास बहुत सारे हों एचार लोगों से मिलकर बना है. यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर के माध्यम से नामित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "यौन विशेषता" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोग" सेट अब "लिंग वाले लोग" सेट बन गया है। उसके बाद हम यौन विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं की बी.डब्ल्यूलिंग विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि यह किसी व्यक्ति में मौजूद है, तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई संकेत नहीं है, तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित लागू करते हैं। देखिये क्या हुआ.

गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय मिले: पुरुष उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बी.डब्ल्यू. लगभग उसी तरह जब गणितज्ञ सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते समय तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण में नहीं जाने देते, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित का प्रयोग कितना सही ढंग से किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि वास्तव में परिवर्तन सही ढंग से किए गए हैं, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.

जहां तक ​​सुपरसेट का सवाल है, इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की एक इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना संभव है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो कभी ओझाओं ने किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। यह "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको यह दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जितनी देर में अकिलिस यह दूरी तय करता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ चुका होगा, तो कछुआ दस कदम और रेंगेगा, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट... ये सभी, किसी न किसी रूप में, ज़ेनो के एपोरियास पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय बनाने में कामयाब नहीं हुआ है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया," ज़ेनो एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से परिवर्तन का स्पष्ट रूप से प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थिरांक के बजाय लागू करना है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में फंसा देता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है जैसे समय धीमा होकर उस समय पूरी तरह रुक गया है जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक आगामी खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलिस असीम रूप से तेजी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलिस एक हजार कदम और दौड़ेगा, और कछुआ एक सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अदम्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टॉर्टोइज़" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना बाकी है। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर रहता है, जो वास्तव में गति है। यहां ध्यान देने योग्य एक और बात है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे आंदोलन के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं विशेष रूप से बताना चाहता हूं कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
मैं इस प्रक्रिया को एक उदाहरण के साथ दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का एक हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह से जादूगर अपने निर्धारित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना पेट भरते हैं।

अब चलिए एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, इन "संपूर्ण" को रंग से एकजुट करें। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक पेचीदा सवाल: क्या प्राप्त सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।

यह सरल उदाहरण दर्शाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "धनुष के साथ लाल ठोस पिंपल" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (मुँहासे में), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है. यह इस तरह दिखता है।

विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। कोष्ठक में, माप की इकाइयों पर प्रकाश डाला गया है, जिसके अनुसार प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया गया है। माप की इकाई, जिसके अनुसार सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक समुच्चय बनाने के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ ओझाओं का नृत्य नहीं। शमां "सहजता से" उसी परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "स्पष्टता" के साथ बहस करते हुए, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों की सहायता से, एक को तोड़ना या कई सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

त्रिभुज क्षेत्र प्रमेय

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल का आधा होता है।

सबूत।

आइए हमें एक मनमाना त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। आइए इस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को $BC=a$, $AC=b$ के रूप में निरूपित करें। आइए एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें, ताकि बिंदु $C=(0,0)$, बिंदु $B$ सही अर्धअक्ष $Ox$ पर स्थित हो, और बिंदु $A$ पहले समन्वय चतुर्थांश में स्थित हो। बिंदु $A$ से ऊंचाई $h$ बनाएं (चित्र 1)।

चित्र 1. प्रमेय 1 का चित्रण

इसलिए, ऊंचाई $h$ बिंदु $A$ की कोटि के बराबर है

साइन प्रमेय

प्रमेय 2

त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं।

सबूत।

आइए हमें एक मनमाना त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। आइए हम इस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ के रूप में निरूपित करें (चित्र 2)।

चित्र 2।

आइए इसे साबित करें

प्रमेय 1 के अनुसार, हमारे पास है

उन्हें जोड़ियों में बराबर करने पर हमें वह मिलता है

कोसाइन प्रमेय

प्रमेय 3

किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, बिना उन भुजाओं के गुणनफल को उन भुजाओं के बीच के कोण की कोज्या से दोगुना किए बिना।

सबूत।

आइए हमें एक मनमाना त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। इसकी भुजाओं की लंबाई को $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ के रूप में निरूपित करें। आइए हम एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का परिचय दें ताकि बिंदु $A=(0,0)$, बिंदु $B$ सकारात्मक अर्धअक्ष $Ox$ पर स्थित हो, और बिंदु $C$ पहले समन्वय चतुर्थांश (चित्र) में स्थित हो। 3).

चित्र तीन

आइए इसे साबित करें

इस समन्वय प्रणाली में, हमें वह मिलता है

बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके भुजा $BC$ की लंबाई ज्ञात करें

इन प्रमेयों का उपयोग करके किसी समस्या का एक उदाहरण

उदाहरण 1

सिद्ध करें कि एक मनमाने त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का व्यास त्रिभुज की किसी भी भुजा और इस भुजा के विपरीत कोण की ज्या के अनुपात के बराबर है।

समाधान।

आइए हमें एक मनमाना त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। $R$ - परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या। व्यास $BD$ खींचिए (चित्र 4)।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

सबूत:

एक मनमाना त्रिभुज ABC पर विचार करें। माना इसमें भुजा BC = a, भुजा CA = b और S इस त्रिभुज का क्षेत्रफल है। ये साबित करना जरूरी है एस = (1/2)*ए*बी*सिन(सी).

आरंभ करने के लिए, हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली शुरू करते हैं और मूल बिंदु को बिंदु C पर रखते हैं। आइए अपनी समन्वय प्रणाली को इस प्रकार रखें कि बिंदु B, Cx अक्ष की सकारात्मक दिशा पर स्थित हो, और बिंदु A का एक सकारात्मक समन्वय हो।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया गया है, तो आपको निम्नलिखित आंकड़ा मिलना चाहिए।

किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: एस = (1/2)*ए*एच, जहाँ h त्रिभुज की ऊँचाई है। हमारे मामले में, त्रिभुज h की ऊँचाई बिंदु A की कोटि के बराबर है, अर्थात h = b * पाप (C)।

प्राप्त परिणामों को देखते हुए, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: S = (1/2)*a*b*sin(C)। क्यू.ई.डी.

समस्या को सुलझाना

कार्य 1. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि a) AB = 6*√8 सेमी, AC = 4 सेमी, कोण A = 60 डिग्री b) BC = 3 सेमी, AB = 18*√2 सेमी, कोण B= 45 डिग्री सी ) एसी = 14 सेमी, सीबी = 7 सेमी, कोण सी = 48 डिग्री।

उपरोक्त सिद्ध प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S बराबर है:

एस = (1/2)*एबी*एसी*पाप(ए)।

आइए गणना करें:

ए) एस = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 सेमी^2।

बी) एस = (1/2)*बीसी*बीए*पाप(बी)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 सेमी^2।

सी) एस = (1/2)*सीए*सीबी*सिन(सी) = ½*14*7*सिन48˚ सेमी^2।

हम कैलकुलेटर पर कोण की ज्या के मान की गणना करते हैं या त्रिकोणमितीय कोणों के मानों की तालिका से मानों का उपयोग करते हैं। उत्तर:

ए) 12*√6 सेमी^2।

ग) लगभग 36.41 सेमी^2।

समस्या 2. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 60 सेमी^2 है। यदि AC = 15 सेमी, कोण A = 30˚ है तो भुजा AB ज्ञात करें।

मान लीजिए S त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है। त्रिभुज क्षेत्र प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:

एस = (1/2)*एबी*एसी*पाप(ए)।

इसमें हमारे पास मौजूद मानों को प्रतिस्थापित करें:

60 = (1/2)*एबी*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*एबी=(15/4)*एबी।

यहां से हम भुजा AB की लंबाई व्यक्त करते हैं: AB = (60*4)/15 = 16।

यदि समस्या में त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है, तो आप ज्या के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं।

ज्या का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण। दी गई भुजाएँ a = 3, b = 4, और कोण γ = 30° है। 30° के कोण की ज्या 0.5 है

त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग होगा. सेमी।

क्षेत्रफल भुजा के आधे वर्ग को भिन्न से गुणा करने के बराबर होगा। इसके अंश में आसन्न कोणों की ज्या का गुणनफल होता है, और हर में विपरीत कोण की ज्या का गुणनफल होता है। अब हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज जिसकी भुजा a=3 है और कोण γ=60° है, β=60° है। तीसरे कोण की गणना करें:
डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करना
हम पाते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 3.87 वर्ग मीटर है। सेमी।

द्वितीय. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल कोसाइन के संदर्भ में

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको सभी भुजाओं की लंबाई जानना आवश्यक है। कोसाइन प्रमेय द्वारा, आप अज्ञात पक्षों को पा सकते हैं, और उसके बाद ही इसका उपयोग कर सकते हैं।
कोज्या के नियम के अनुसार, किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा का वर्ग शेष भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें इन भुजाओं के बीच के कोण की कोज्या से दोगुने गुणनफल को घटाया जाता है।

प्रमेय से हमें अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र प्राप्त होते हैं:

यह जानकर कि लुप्त भुजा को कैसे खोजा जाए, दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण होने पर, आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। कोज्या के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र आपको विभिन्न समस्याओं का शीघ्र और आसानी से समाधान खोजने में मदद करता है।

कोज्या के माध्यम से एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना का एक उदाहरण
एक त्रिभुज दिया गया है जिसकी ज्ञात भुजाएँ a = 3, b = 4 और कोण γ = 45° है। आइए पहले लुप्त भाग को खोजें। साथ. कोज्या से 45°=0.7. ऐसा करने के लिए, हम डेटा को कोसाइन प्रमेय से प्राप्त समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अब सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं