शेषफल को 45 से विभाजित करें। शेषफल से भाग करें

आइए एक सरल उदाहरण देखें:
15:5=3
इस उदाहरण में हमने प्राकृत संख्या 15 को विभाजित किया है पूरी तरह 3 से, शेषफल के बिना।

कभी-कभी किसी प्राकृत संख्या को पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, समस्या पर विचार करें:
कोठरी में 16 खिलौने थे। समूह में पाँच बच्चे थे। प्रत्येक बच्चे ने समान संख्या में खिलौने लिए। प्रत्येक बच्चे के पास कितने खिलौने हैं?

समाधान:
एक कॉलम का उपयोग करके संख्या 16 को 5 से विभाजित करें और हमें प्राप्त होता है:

हम जानते हैं कि 16 को 5 से विभाजित नहीं किया जा सकता। निकटतम छोटी संख्या जो 5 से विभाज्य है वह 15 है और शेषफल 1 है। संख्या 15 को हम 5⋅3 के रूप में लिख सकते हैं। परिणामस्वरूप (16-लाभांश, 5-भाजक, 3-अपूर्ण भागफल, 1-शेष)। प्राप्त FORMULA शेषफल के साथ विभाजनजो किया जा सकता है समाधान की जाँच करना.

ए= बी⋅ सी+ डी
ए – विभाज्य,
बी -विभाजक,
सी – अधूरा भागफल,
डी - शेष.

उत्तर: प्रत्येक बच्चा 3 खिलौने लेगा और एक खिलौना बचेगा।

विभाजन का शेष भाग

शेषफल सदैव भाजक से कम होना चाहिए।

यदि विभाजन के समय शेषफल शून्य हो तो इसका अर्थ है कि लाभांश विभाजित हो गया है पूरी तरहया भाजक पर शेषफल के बिना.

यदि विभाजन के दौरान शेषफल भाजक से अधिक है, तो इसका मतलब है कि प्राप्त संख्या सबसे बड़ी नहीं है। एक बड़ी संख्या है जो लाभांश को विभाजित करेगी और शेष भाजक से कम होगा।

"शेषफल सहित विभाजन" विषय पर प्रश्न:
क्या शेषफल भाजक से बड़ा हो सकता है?
उत्तर: नहीं.

क्या शेषफल भाजक के बराबर हो सकता है?
उत्तर: नहीं.

अपूर्ण भागफल, भाजक और शेषफल का उपयोग करके लाभांश कैसे ज्ञात करें?
उत्तर: हम आंशिक भागफल, भाजक और शेषफल के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और लाभांश ज्ञात करते हैं। सूत्र:
a=b⋅c+d

उदाहरण 1:
शेषफल के साथ विभाजन करें और जांचें: a) 258:7 b) 1873:8

समाधान:
ए) कॉलम द्वारा विभाजित करें:

258 – लाभांश,
7-विभाजक,
36 – अपूर्ण भागफल,
6 - शेष. शेषफल भाजक 6 से कम है<7.

7⋅36+6=252+6=258

बी) कॉलम द्वारा विभाजित करें:

1873 - विभाज्य,
8 - भाजक,
234 – अपूर्ण भागफल,
1-शेष. शेषफल भाजक 1 से कम है<8.

आइए इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें और जांचें कि क्या हमने उदाहरण को सही ढंग से हल किया है:
8⋅234+1=1872+1=1873

उदाहरण #2:
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने पर क्या शेषफल प्राप्त होता है: a) 3 b)8?

उत्तर:
a) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए 3 से कम है। हमारे मामले में, शेषफल 0, 1 या 2 हो सकता है।
बी) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए 8 से कम है। हमारे मामले में, शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकता है।

उदाहरण #3:
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला सबसे बड़ा शेषफल क्या है: a) 9 b) 15?

उत्तर:
a) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए 9 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़े शेषफल को इंगित करने की आवश्यकता है। अर्थात् भाजक के निकटतम संख्या। यह संख्या 8 है.
बी) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए, 15 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़े शेषफल को इंगित करने की आवश्यकता है। अर्थात् भाजक के निकटतम संख्या। यह संख्या 14 है.

उदाहरण #4:
लाभांश ज्ञात करें: a) a:6=3(बाकी.4) b) c:24=4(बाकी.11)

समाधान:
ए) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
a=b⋅c+d
(ए - लाभांश, बी - भाजक, सी - आंशिक भागफल, डी - शेषफल।)
ए:6=3(बाकी.4)
(ए - लाभांश, 6 - भाजक, 3 - आंशिक भागफल, 4 - शेषफल।) आइए संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
a=6⋅3+4=22
उत्तर: a=22

बी) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
a=b⋅c+d
(ए - लाभांश, बी - भाजक, सी - आंशिक भागफल, डी - शेषफल।)
s:24=4(बाकी.11)
(सी - लाभांश, 24 - भाजक, 4 - आंशिक भागफल, 11 - शेषफल।) आइए संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
с=24⋅4+11=107
उत्तर: सी=107

काम:

तार 4 मी. 13 सेमी के टुकड़ों में काटने की जरूरत है। ऐसे कितने टुकड़े होंगे?

समाधान:
सबसे पहले आपको मीटर को सेंटीमीटर में बदलना होगा।
4मी.=400से.मी.
हम एक कॉलम से विभाजित कर सकते हैं या हमारे दिमाग में हमें यह मिलता है:
400:13=30(शेष 10)
की जाँच करें:
13⋅30+10=390+10=400

उत्तर: आपको 30 टुकड़े मिलेंगे और 10 सेमी तार बचेगा।

इस लेख में हम देखेंगे पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करना. आइए पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के सामान्य सिद्धांत से शुरू करें, शेषफल से पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें, और लाभांश, भाजक, अपूर्ण भागफल और शेषफल के बीच संबंध का पता लगाएं। आगे, हम उन नियमों की रूपरेखा तैयार करेंगे जिनके द्वारा पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित किया जाता है, और उदाहरणों को हल करते समय इन नियमों के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे। इसके बाद हम सीखेंगे कि पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने पर प्राप्त परिणाम की जांच कैसे करें।

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पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने की सामान्य समझ

हम शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन को प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ विभाजन के सामान्यीकरण के रूप में मानेंगे। यह इस तथ्य के कारण है कि प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों का एक घटक हैं।

आइए विवरण में उपयोग किए गए शब्दों और पदनामों से शुरू करें।

शेषफल के साथ प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के अनुरूप, हम मान लेंगे कि दो पूर्णांक ए और बी (बी शून्य के बराबर नहीं है) के शेषफल के साथ विभाजन का परिणाम दो पूर्णांक सी और डी है। संख्या a और b को कहा जाता है भाज्यऔर डिवाइडरतदनुसार, संख्या d – शेष a को b से विभाजित करने पर पूर्णांक c कहा जाता है अपूर्ण निजी(या केवल निजी, यदि शेषफल शून्य है)।

आइए हम यह मानने के लिए सहमत हों कि शेषफल एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और इसका मान b से अधिक नहीं है, अर्थात, (जब हमने तीन या अधिक पूर्णांकों की तुलना करने के बारे में बात की तो हमें असमानताओं की समान श्रृंखलाओं का सामना करना पड़ा)।

यदि संख्या c एक अपूर्ण भागफल है, और संख्या d पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने का शेषफल है, तो हम इस तथ्य को संक्षेप में a:b=c (शेष d) के रूप में समानता के रूप में लिखेंगे।

ध्यान दें कि पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने पर शेषफल शून्य हो सकता है। इस मामले में हम कहते हैं कि a, b से विभाज्य है एक का पता लगाए बिना(या पूरी तरह). इस प्रकार, शेषफल के बिना पूर्णांकों का विभाजन, शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन का एक विशेष मामला है।

यह भी कहने योग्य है कि शून्य को किसी पूर्णांक से विभाजित करते समय, हम हमेशा बिना किसी शेषफल के विभाजन से निपटते हैं, क्योंकि इस मामले में भागफल शून्य के बराबर होगा (पूर्णांक द्वारा शून्य को विभाजित करने का सिद्धांत अनुभाग देखें), और शेषफल भी शून्य के बराबर होगा.

हमने शब्दावली और अंकन पर निर्णय ले लिया है, अब पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ समझते हैं।

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर भी अर्थ दिया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, एक ऋणात्मक पूर्णांक को ऋण के रूप में मानें। आइए इस स्थिति की कल्पना करें। वस्तुओं में शामिल ऋण को लोगों द्वारा समान योगदान देकर चुकाया जाना चाहिए। इस मामले में अपूर्ण भागफल c का पूर्ण मान इनमें से प्रत्येक व्यक्ति के ऋण की राशि निर्धारित करेगा, और शेष d दिखाएगा कि ऋण चुकाने के बाद कितनी वस्तुएँ शेष रहेंगी। चलिए एक उदाहरण देते हैं. मान लीजिए कि 2 लोगों पर 7 सेब बकाया हैं। यदि हम मान लें कि उनमें से प्रत्येक पर 4 सेब बकाया हैं, तो कर्ज चुकाने के बाद उनके पास 1 सेब बचेगा। यह स्थिति समानता (−7):2=−4 (शेष 1) से मेल खाती है।

हम किसी मनमाने पूर्णांक a के शेष भाग को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का कोई अर्थ नहीं रखेंगे, लेकिन हम इसके अस्तित्व का अधिकार सुरक्षित रखेंगे।

शेषफल के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय

जब हमने प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के बारे में बात की, तो हमें पता चला कि लाभांश a, भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d समानता a=b·c+d से संबंधित हैं। पूर्णांक a, b, c और d का संबंध समान है। इस संबंध की पुष्टि इस प्रकार की गई है शेषफल के साथ विभाज्यता प्रमेय.

प्रमेय.

किसी भी पूर्णांक a को एक पूर्णांक और गैर-शून्य संख्या b के माध्यम से a=b·q+r के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है, जहां q और r कुछ पूर्णांक हैं, और।

सबूत।

सबसे पहले, हम a=b·q+r को निरूपित करने की संभावना सिद्ध करते हैं।

यदि पूर्णांक a और b ऐसे हैं कि a, b से विभाज्य है, तो परिभाषा के अनुसार एक पूर्णांक q है जैसे कि a=b·q। इस मामले में, r=0 पर समानता a=b·q+r कायम है।

अब हम मान लेंगे कि b एक धनात्मक पूर्णांक है। आइए एक पूर्णांक q चुनें ताकि गुणनफल b·q संख्या a से अधिक न हो, और गुणनफल b·(q+1) पहले से ही a से बड़ा हो। अर्थात्, हम q को इस प्रकार लेते हैं कि असमानताएँ b q हैं

ऋणात्मक b के लिए a=b·q+r का प्रतिनिधित्व करने की संभावना को सिद्ध करना बाकी है।

चूँकि इस मामले में संख्या b का मापांक एक धनात्मक संख्या है, तो वहाँ एक प्रतिनिधित्व है जहाँ q 1 कुछ पूर्णांक है, और r एक पूर्णांक है जो शर्तों को पूरा करता है। फिर, q=−q 1 लेते हुए, हम वह प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं जिसकी हमें नकारात्मक b के लिए a=b·q+r की आवश्यकता है।

आइए विशिष्टता के प्रमाण की ओर आगे बढ़ें।

मान लीजिए कि निरूपण a=b·q+r के अलावा, q और r पूर्णांक हैं और, एक और निरूपण a=b·q 1 +r 1 है, जहां q 1 और r 1 कुछ पूर्णांक हैं, और q 1 ≠ क्यू और .

पहली समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों से क्रमशः दूसरी समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को घटाने के बाद, हमें 0=b·(q−q 1)+r−r 1 प्राप्त होता है, जो समानता r− के बराबर है। आर 1 =बी·(क्यू 1 −क्यू) . फिर स्वरूप की समानता , और संख्याओं के मापांक के गुणों के कारण समानता .

स्थितियों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं। चूँकि q और q 1 पूर्णांक हैं और q≠q 1 है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं . प्राप्त असमानताओं से और इससे स्वरूप की समानता का पता चलता है हमारी धारणा के तहत असंभव. इसलिए, a=b·q+r के अलावा संख्या a का कोई अन्य प्रतिनिधित्व नहीं है।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध

समानता a=b·c+d आपको अज्ञात लाभांश a खोजने की अनुमति देती है यदि भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d ज्ञात हो। आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण।

लाभांश का मूल्य क्या है, यदि पूर्णांक -21 से विभाजित करने पर परिणाम 5 का अपूर्ण भागफल और 12 का शेषफल हो?

समाधान।

हमें लाभांश a की गणना करने की आवश्यकता है जब भाजक b=−21, आंशिक भागफल c=5 और शेष d=12 ज्ञात हो। समानता a=b·c+d की ओर मुड़ने पर, हमें a=(−21)·5+12 प्राप्त होता है। अवलोकन करते हुए, हम पहले पूर्णांकों को अलग-अलग चिह्नों से गुणा करने के नियम के अनुसार पूर्णांक -21 और 5 को गुणा करते हैं, जिसके बाद हम विभिन्न चिह्नों के साथ पूर्णांकों का योग करते हैं: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

उत्तर:

−93 .

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध भी b=(a−d):c, c=(a−d):b और d=a−b·c के रूप में समानता द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। ये समानताएँ आपको क्रमशः भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना करने की अनुमति देती हैं। जब लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल ज्ञात हो, तो हमें अक्सर पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करते समय शेषफल ज्ञात करना होगा, सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके। किसी भी अन्य प्रश्न से बचने के लिए, आइए शेषफल की गणना का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

यदि आप जानते हैं कि आंशिक भागफल −7 के बराबर है, तो पूर्णांक -19 को पूर्णांक 3 से विभाजित करते समय शेषफल ज्ञात करें।

समाधान।

विभाजन के शेषफल की गणना करने के लिए, हम d=a−b·c रूप के एक सूत्र का उपयोग करते हैं। शर्त से हमारे पास सभी आवश्यक डेटा a=−19, b=3, c=−7 है। हमें d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 मिलता है (हमने नियम का उपयोग करके अंतर −19−(−21) की गणना की) एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाना)।

उत्तर:

धनात्मक पूर्णांकों के शेष भाग के साथ विभाजन, उदाहरण

जैसा कि हमने एक से अधिक बार नोट किया है, धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों के शेष भाग के साथ विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के शेष भाग के साथ आसानी से विभाजन करने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वह है जो न केवल सकारात्मक पूर्णांकों के विभाजन को रेखांकित करता है, बल्कि मनमाने पूर्णांकों के शेष के साथ विभाजन के सभी नियमों का आधार भी है।

हमारे दृष्टिकोण से, स्तंभ विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है; यह विधि आपको अपूर्ण भागफल (या बस एक भागफल) और शेषफल दोनों प्राप्त करने की अनुमति देती है। आइए शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

शेषफल 14,671 को 54 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए इन धनात्मक पूर्णांकों को एक स्तंभ से विभाजित करें:

आंशिक भागफल 271 के बराबर निकला, और शेष 37 के बराबर है।

उत्तर:

14 671:54=271 (शेष 37) .

किसी धनात्मक पूर्णांक को शेषफल के साथ ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम, उदाहरण

आइए हम एक नियम बनाएं जो हमें एक धनात्मक पूर्णांक के शेष भाग को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने की अनुमति देता है।

किसी धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने का आंशिक भागफल, a को b के मापांक से विभाजित करने के आंशिक भागफल के विपरीत होता है, और a को b से विभाजित करने का शेषफल, से विभाजित करने के शेषफल के बराबर होता है।

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का आंशिक भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए बताए गए नियम को शेष धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम में बदलें:

• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, आंशिक भागफल और शेषफल प्राप्त करते हैं। (यदि शेषफल शून्य के बराबर है, तो मूल संख्याओं को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, और पूर्णांकों को विपरीत चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, आवश्यक भागफल मॉड्यूल के विभाजन से भागफल के विपरीत संख्या के बराबर होता है। )
• हम परिणामी अपूर्ण भागफल और शेषफल के विपरीत संख्या लिखते हैं। ये संख्याएँ क्रमशः आवश्यक भागफल और मूल धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का शेषफल हैं।

आइए एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण।

धनात्मक पूर्णांक 17 के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए शेषफल वाले धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें।

बाँटकर

3 की विपरीत संख्या −3 है। इस प्रकार, 17 को −5 से विभाजित करने का आवश्यक आंशिक भागफल −3 है, और शेषफल 2 है।

उत्तर:

17 :(−5)=−3 (शेष 2).

उदाहरण।

विभाजित करना 45 बटा −15.

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 45 और 15 हैं। संख्या 45 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है, और भागफल 3 है। इसलिए, धनात्मक पूर्णांक 45 को बिना किसी शेषफल के ऋणात्मक पूर्णांक −15 से विभाजित किया जाता है, और भागफल 3 के विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात −3। दरअसल, पूर्णांकों को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है।

उत्तर:

45:(−15)=−3 .

एक ऋणात्मक पूर्णांक के शेष भाग को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करना, उदाहरण

आइए हम शेषफल वाले ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के नियम का सूत्रीकरण दें।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मापांक को विभाजित करने से अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लेनी होगी और उसमें से एक घटाना होगा, जिसके बाद शेष d की गणना की जाएगी सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके।

शेषफल से विभाजन के इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का आंशिक भागफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।

बताए गए नियम से एक ऋणात्मक पूर्णांक a को शेषफल के साथ एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का अनुसरण किया जाता है:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल ढूँढना।
• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, आंशिक भागफल और शेषफल प्राप्त करते हैं। (यदि शेषफल शून्य है, तो मूल पूर्णांकों को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है, और आवश्यक भागफल मापांक विभाजन के भागफल के विपरीत संख्या के बराबर होता है।)
• हम परिणामी अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लिखते हैं और उसमें से संख्या 1 घटाते हैं। परिकलित संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर वांछित आंशिक भागफल c है।

आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें, जिसमें हम शेषफल के साथ लिखित विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक -17 को धनात्मक पूर्णांक 5 से विभाजित करते समय आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लाभांश -17 का मापांक 17 के बराबर है, और भाजक 5 का मापांक 5 के बराबर है।

बाँटकर 17 बटा 5, हमें आंशिक भागफल 3 और शेषफल 2 प्राप्त होता है।

3 का विपरीत −3 है। −3: −3−1=−4 में से एक घटाएँ। अतः, आवश्यक आंशिक भागफल −4 के बराबर है।

जो कुछ बचा है वह शेष की गणना करना है। हमारे उदाहरण में a=−17 , b=5 , c=−4 , फिर d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांक −17 को धनात्मक पूर्णांक 5 से विभाजित करने का आंशिक भागफल −4 है, और शेषफल 3 है।

उत्तर:

(−17):5=−4 (शेष 3) .

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक −1,404 को धनात्मक पूर्णांक 26 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश का मापांक 1404 है, भाजक का मापांक 26 है।

एक कॉलम का उपयोग करके 1,404 को 26 से विभाजित करें:

चूँकि लाभांश के मापांक को बिना किसी शेषफल के भाजक के मापांक से विभाजित किया जाता है, मूल पूर्णांकों को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है, और वांछित भागफल 54 के विपरीत संख्या के बराबर होता है, अर्थात −54।

उत्तर:

(−1 404):26=−54 .

ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए शेषफल सहित विभाजन नियम, उदाहरण

आइए हम ऋणात्मक पूर्णांकों के शेषफल से भाग देने का नियम बनाएं।

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने से अपूर्ण भागफल की गणना करनी होगी और उसमें एक जोड़ना होगा, जिसके बाद सूत्र d का उपयोग करके शेष d की गणना की जाएगी। =a−b·c.

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने का आंशिक भागफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए बताए गए नियम को एल्गोरिदम के रूप में फिर से लिखें:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल ढूँढना।
• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, आंशिक भागफल और शेषफल प्राप्त करते हैं। (यदि शेषफल शून्य है, तो मूल पूर्णांकों को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है, और आवश्यक भागफल भाजक के मापांक के भागफल को भाजक के मापांक से विभाजित करने के बराबर होता है।)
• हम परिणामी अपूर्ण भागफल में एक जोड़ते हैं; यह संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजन से वांछित अपूर्ण भागफल है।
• हम सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके शेषफल की गणना करते हैं।

आइए एक उदाहरण को हल करते समय ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के उपयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक −17 को ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करते समय आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए शेषफल के साथ उपयुक्त विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें।

लाभांश का मापांक 17 है, भाजक का मापांक 5 है।

विभाजन 17 बटा 5 आंशिक भागफल 3 और शेष 2 देता है।

अपूर्ण भागफल 3 में हम एक जोड़ते हैं: 3+1=4। इसलिए, −17 को −5 से विभाजित करने का आवश्यक आंशिक भागफल 4 के बराबर है।

जो कुछ बचा है वह शेष की गणना करना है। इस उदाहरण में a=−17 , b=−5 , c=4 , फिर d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

तो, एक ऋणात्मक पूर्णांक −17 को एक ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करने का आंशिक भागफल 4 है, और शेषफल 3 है।

उत्तर:

(−17):(−5)=4 (शेष 3) .

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के बाद परिणाम की जाँच करना उपयोगी होता है। सत्यापन दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, यह जाँच की जाती है कि क्या शेषफल d एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और यह भी जाँचता है कि शर्त संतुष्ट है या नहीं। यदि सत्यापन के पहले चरण की सभी शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो आप सत्यापन के दूसरे चरण में आगे बढ़ सकते हैं, अन्यथा यह तर्क दिया जा सकता है कि शेषफल से विभाजित करते समय कहीं न कहीं कोई त्रुटि हुई है। दूसरे चरण में, समानता a=b·c+d की वैधता की जाँच की जाती है। यदि यह समानता सत्य है तो शेषफल सहित विभाजन सही ढंग से किया गया है, अन्यथा कहीं न कहीं त्रुटि हो गयी है।

आइए उन उदाहरणों के समाधान देखें जिनमें पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच की जाती है।

उदाहरण।

संख्या −521 को −12 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल 44 था और शेषफल 7 था, परिणाम की जाँच करें।

समाधान। −2 के लिए b=−3, c=7, d=1. हमारे पास है b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. इस प्रकार, समानता a=b·c+d गलत है (हमारे उदाहरण में a=−19)।

इसलिए, शेषफल के साथ विभाजन गलत तरीके से किया गया था।

लेख पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने की अवधारणा की जांच करता है। आइए शेषफल के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय को सिद्ध करें और लाभांश और भाजक, अपूर्ण भागफल और शेषफल के बीच संबंध को देखें। आइए पूर्णांकों को शेषफलों से विभाजित करते समय नियमों को देखें, उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें विस्तार से देखें। समाधान के अंत में हम जाँच करेंगे।

पूर्णांकों को शेषफलों से विभाजित करने की सामान्य समझ

पूर्णांकों को शेषफल के साथ विभाजित करने को प्राकृतिक संख्याओं के शेषफल के साथ एक सामान्यीकृत विभाजन माना जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है क्योंकि प्राकृत संख्याएँ पूर्णांकों का एक घटक होती हैं।

एक मनमाना संख्या के शेषफल के साथ विभाजन का अर्थ है कि पूर्णांक a शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या b से विभाजित है। यदि b = 0 है, तो शेषफल से भाग न दें।

प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने की तरह, पूर्णांक ए और बी को सी और डी से विभाजित किया जाता है, जिसमें बी शून्य नहीं है। इस स्थिति में, a और b को लाभांश और विभाजक कहा जाता है, और d विभाजन का शेषफल है, c एक पूर्णांक या अपूर्ण भागफल है।

यदि हम मान लें कि शेषफल एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो इसका मान संख्या b के मापांक से अधिक नहीं है। आइए इसे इस प्रकार लिखें: 0 ≤ d ≤ b. असमानताओं की इस श्रृंखला का उपयोग 3 या अधिक संख्याओं की तुलना करते समय किया जाता है।

यदि c एक अपूर्ण भागफल है, तो d पूर्णांक a को b से विभाजित करने पर शेषफल है, जिसे संक्षेप में कहा जा सकता है: a: b = c (शेष d)।

संख्याओं a को b से विभाजित करने पर शेषफल शून्य हो सकता है, तो वे कहते हैं कि a, b से पूर्णतः विभाज्य है, अर्थात बिना किसी शेषफल के। बिना किसी शेषफल के विभाजन को विभाजन का एक विशेष मामला माना जाता है।

यदि हम शून्य को किसी संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम शून्य होता है। विभाजन का शेष भी शून्य होगा। इसका पता शून्य को पूर्णांक से विभाजित करने के सिद्धांत से लगाया जा सकता है।

आइए अब पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ देखें।

यह ज्ञात है कि धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, फिर शेषफल से विभाजित करने पर वही अर्थ प्राप्त होगा जो प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने पर होता है।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करना समझ में आता है। आइए एक उदाहरण देखें. ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां हमारे ऊपर वस्तुओं का इतना कर्ज हो कि उसे किसी व्यक्ति द्वारा चुकाया जाना हो। इसे हासिल करने के लिए सभी को समान रूप से योगदान देने की जरूरत है। प्रत्येक के लिए ऋण की राशि निर्धारित करने के लिए, आपको निजी संपत्ति के मूल्य पर ध्यान देने की आवश्यकता है। शेष d इंगित करता है कि ऋण चुकाने के बाद वस्तुओं की संख्या ज्ञात है।

आइए सेब का उदाहरण देखें। यदि 2 व्यक्तियों पर 7 सेब बकाया हैं। यदि हम गणना करें कि प्रत्येक को 4 सेब लौटाने होंगे, तो पूरी गणना के बाद उनके पास 1 सेब बचेगा। आइए इसे एक समानता के रूप में लिखें: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1 से)।

किसी भी संख्या a को पूर्णांक से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन एक विकल्प के रूप में यह संभव है।

शेषफल के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय

हमने पहचान लिया है कि a लाभांश है, फिर b भाजक है, c आंशिक भागफल है, और d शेषफल है। वे एक दूसरे से जुड़े हुए हैं. हम इस संबंध को समानता a = b · c + d का उपयोग करके दिखाएंगे। उनके बीच का संबंध शेषफल के साथ विभाज्यता प्रमेय द्वारा दर्शाया गया है।

प्रमेय

किसी भी पूर्णांक को केवल एक पूर्णांक और गैर-शून्य संख्या b के माध्यम से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: a = b · q + r, जहां q और r कुछ पूर्णांक हैं। यहां हमारे पास 0 ≤ r ≤ b है।

आइए हम a = b · q + r के अस्तित्व की संभावना सिद्ध करें।

सबूत

यदि दो संख्याएँ a और b हैं, और a बिना किसी शेषफल के b से विभाज्य है, तो परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक संख्या q है, और समानता a = b · q सत्य होगी। तब समानता को सत्य माना जा सकता है: r = 0 के लिए a = b · q + r।

फिर q को ऐसे लेना आवश्यक है जो असमानता b · q द्वारा दिया गया हो< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

हमारे पास यह है कि अभिव्यक्ति a - b · q का मान शून्य से अधिक है और संख्या b के मान से अधिक नहीं है, यह इस प्रकार है कि r = a - b · q। हम पाते हैं कि संख्या a को a = b · q + r के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अब हमें b के नकारात्मक मानों के लिए a = b · q + r का प्रतिनिधित्व करने पर विचार करने की आवश्यकता है।

संख्या का मापांक सकारात्मक हो जाता है, फिर हमें a = b · q 1 + r मिलता है, जहां q 1 का मान कुछ पूर्णांक है, r एक पूर्णांक है जो शर्त 0 ≤ r को पूरा करता है< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

विशिष्टता का प्रमाण

आइए मान लें कि a = b q + r, q और r शर्त 0 ≤ r के साथ पूर्णांक हैं।< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где प्रश्न 1और आर 1कुछ संख्याएँ हैं जहाँ क्यू 1 ≠ क्यू, 0 ≤ आर 1< b .

जब असमानता को बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाया जाता है, तो हमें 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 मिलता है, जो r - r 1 = b · q 1 - q के बराबर है। चूंकि मॉड्यूल का उपयोग किया जाता है, हम समानता r - r 1 = b · q 1 - q प्राप्त करते हैं।

दी गई शर्त कहती है कि 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что क्यूऔर प्रश्न 1- संपूर्ण, और क्यू ≠ क्यू 1, फिर q 1 - q ≥ 1. यहां से हमें वह b · q 1 - q ≥ b मिलता है। परिणामी असमानताएँ r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या a को a = b · q + r लिखने के अलावा किसी अन्य तरीके से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध

समानता ए = बी · सी + डी का उपयोग करके, आप अज्ञात लाभांश ए पा सकते हैं जब अपूर्ण भागफल सी और शेष डी के साथ भाजक बी ज्ञात हो।

उदाहरण 1

लाभांश निर्धारित करें यदि विभाजित करने पर हमें - 21 मिलता है, आंशिक भागफल 5 है और शेष 12 है।

समाधान

ज्ञात भाजक b = − 21, अपूर्ण भागफल c = 5 और शेषफल d = 12 के साथ लाभांश a की गणना करना आवश्यक है। हमें समानता a = b · c + d की ओर मुड़ने की जरूरत है, यहां से हमें a = (− 21) · 5 + 12 मिलता है। यदि हम क्रियाओं के क्रम का पालन करते हैं, तो हम - 21 को 5 से गुणा करते हैं, जिसके बाद हमें (- 21) · 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 मिलता है।

उत्तर: - 93 .

भाजक और आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध को समानता का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b और d = a - b · c । उनकी सहायता से हम भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना कर सकते हैं। यह ज्ञात लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल के साथ पूर्णांक a के पूर्णांक को b से विभाजित करते समय लगातार शेषफल खोजने के लिए आता है। सूत्र d = a − b · c लागू किया जाता है। आइए समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 2

पूर्णांक - 19 को - 7 के बराबर ज्ञात अपूर्ण भागफल के साथ पूर्णांक 3 से विभाजित करते समय शेषफल ज्ञात करें।

समाधान

विभाजन के शेषफल की गणना करने के लिए, हम फॉर्म d = a - b · c का एक सूत्र लागू करते हैं। शर्त के अनुसार, सभी डेटा उपलब्ध हैं: a = − 19, b = 3, c = − 7. यहां से हमें d = a - b · c = - 19 - 3 · (- 7) = - 19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (अंतर - 19 - (- 21) मिलता है। इस उदाहरण की गणना की जाती है एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाव नियम का उपयोग करना।

उत्तर: 2 .

सभी धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विभाजन शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। प्राकृत संख्याओं के शेषफल से विभाजन की गति महत्वपूर्ण है, क्योंकि न केवल धनात्मक संख्याओं का विभाजन, बल्कि मनमाने पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम भी इस पर आधारित हैं।

विभाजन का सबसे सुविधाजनक तरीका एक कॉलम है, क्योंकि अपूर्ण या शेषफल के साथ भागफल प्राप्त करना आसान और तेज़ है। आइए समाधान को अधिक विस्तार से देखें।

उदाहरण 3

14671 को 54 से विभाजित करें।

समाधान

यह विभाजन एक कॉलम में किया जाना चाहिए:

अर्थात्, आंशिक भागफल 271 के बराबर है, और शेषफल 37 है।

उत्तर: 14,671: 54 = 271. (शेष 37)

किसी धनात्मक पूर्णांक को शेषफल के साथ ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम, उदाहरण

किसी धनात्मक संख्या के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एक नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 1

धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल से एक संख्या प्राप्त होती है जो संख्याओं a के मापांक को b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल के विपरीत होती है। तब a को b से विभाजित करने पर शेषफल शेषफल के बराबर होता है।

अतः हमारे पास यह है कि एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अधूरा भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक माना जाता है।

हमें एल्गोरिदम मिलता है:

• लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें, तो हमें अपूर्ण भागफल प्राप्त होता है और
• शेष;
• आइए, हमें जो प्राप्त हुआ उसकी विपरीत संख्या लिखें।

आइए एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

शेषफल 17 को - 5 से विभाजित करें।

समाधान

आइए शेषफल वाले धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम लागू करें। 17 को - 5 मॉड्यूलो से विभाजित करना आवश्यक है। यहां से हमें पता चलता है कि आंशिक भागफल 3 के बराबर है, और शेष 2 के बराबर है।

हमें वह आवश्यक संख्या 17 को - 5 = - 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है और शेषफल 2 के बराबर रहता है।

उत्तर: 17: (- 5) = - 3 (शेष 2)।

उदाहरण 5

आपको 45 को - 15 से विभाजित करना होगा।

समाधान

संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करना आवश्यक है। संख्या 45 को 15 से विभाजित करने पर हमें बिना किसी शेषफल के 3 का भागफल प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि संख्या 45 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है। उत्तर है - 3, चूँकि विभाजन माड्यूलो से किया गया था।

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

उत्तर: 45: (− 15) = − 3 .

शेषफल से भाग देने का नियम इस प्रकार है।

परिभाषा 2

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को धनात्मक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको दी गई संख्या का विपरीत लगाना होगा और उसमें से 1 घटाना होगा, फिर शेष d की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी: d = a - बी · सी.

नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभाजित करने पर हमें एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है। समाधान की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, शेषफल के साथ a को b से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करें:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजें;
• मॉड्यूलो को विभाजित करें;
• दी गई संख्या का विपरीत लिखें और 1 घटाएं;
• शेषफल d = a − b · c के लिए सूत्र का उपयोग करें।

आइए एक समाधान का उदाहरण देखें जहां इस एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 6

भाग का आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात करें - 17 बटा 5।

समाधान

हम दी गई संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं कि भाग देने पर भागफल 3 होता है और शेषफल 2 होता है। चूँकि हमें 3 मिला, इसका विपरीत 3 है। आपको 1 घटाना होगा.

− 3 − 1 = − 4 .

वांछित मान -4 के बराबर है।

शेषफल की गणना करने के लिए, आपको a = - 17, b = 5, c = - 4, फिर d = a - b c = - 17 - 5 (- 4) = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = चाहिए। 3 .

इसका मतलब यह है कि भाग का अपूर्ण भागफल संख्या - 4 है और शेषफल 3 के बराबर है।

उत्तर:(- 17) : 5 = - 4 (शेष 3)।

उदाहरण 7

ऋणात्मक पूर्णांक - 1404 को धनात्मक 26 से विभाजित करें।

समाधान

कॉलम और मॉड्यूल द्वारा विभाजित करना आवश्यक है।

हमें शेषफल के बिना संख्याओं के मॉड्यूल का विभाजन मिला। इसका मतलब यह है कि विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है, और वांछित भागफल = - 54 है।

उत्तर: (− 1 404) : 26 = − 54 .

ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए शेषफल सहित विभाजन नियम, उदाहरण

ऋणात्मक पूर्णांकों के शेषफल से भाग देने का नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 3

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए मॉड्यूलो गणना करना आवश्यक है, फिर 1 जोड़ें, फिर हम सूत्र d = a - b · c का उपयोग करके गणना कर सकते हैं।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल एक धनात्मक संख्या होगी।

आइए इस नियम को एक एल्गोरिथम के रूप में तैयार करें:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजें;
• अपूर्ण भागफल प्राप्त करने के लिए लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें
• शेष;
• अपूर्ण भागफल में 1 जोड़ना;
• सूत्र d = a - b · c के आधार पर शेषफल की गणना।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिदम को देखें।

उदाहरण 8

- 17 को - 5 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

समाधान की शुद्धता के लिए, हम शेषफल के साथ विभाजन के लिए एल्गोरिदम लागू करते हैं। सबसे पहले, संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करें। इससे हमें पता चलता है कि आंशिक भागफल = 3 और शेषफल 2 है। नियम के अनुसार आपको अपूर्ण भागफल और 1 को जोड़ना होगा। हमें वह 3 + 1 = 4 मिलता है। यहां से हमें पता चलता है कि दी गई संख्याओं को विभाजित करने पर आंशिक भागफल 4 के बराबर होता है।

शेषफल की गणना के लिए हम सूत्र का उपयोग करेंगे। शर्त के अनुसार हमारे पास है कि a = − 17, b = − 5, c = 4, तो, सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . आवश्यक उत्तर, अर्थात् शेषफल, 3 के बराबर है, और आंशिक भागफल 4 के बराबर है।

उत्तर:(− 17) : (− 5) = 4 (शेष 3).

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के बाद, आपको जाँच करनी चाहिए। इस जाँच में 2 चरण शामिल हैं। सबसे पहले, शेष d को गैर-नकारात्मकता के लिए जांचा जाता है, शर्त 0 ≤ d संतुष्ट होती है< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 9

विभाजन होता है - 521 बटा - 12. भागफल 44 है, शेषफल 7 है। जाँच करें.

समाधान

चूँकि शेषफल एक धनात्मक संख्या है, इसका मान भाजक के मापांक से कम है। भाजक - 12 है, जिसका अर्थ है कि इसका मापांक 12 है। आप अगले चेक प्वाइंट पर जा सकते हैं।

शर्त के अनुसार, हमारे पास है कि a = - 521, b = - 12, c = 44, d = 7। यहां से हम b · c + d की गणना करते हैं, जहां b · c + d = - 12 · 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता सत्य है। सत्यापन पारित हो गया.

उदाहरण 10

विभाजन जाँच करें (- 17): 5 = - 3 (शेष - 2)। क्या समानता सत्य है?

समाधान

पहले चरण का मुद्दा यह है कि पूर्णांकों के विभाजन को शेषफल से जांचना आवश्यक है। इससे यह स्पष्ट है कि कार्रवाई गलत तरीके से की गई थी, क्योंकि -2 के बराबर शेषफल दिया गया था। शेष कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है.

हमारे पास यह है कि दूसरी शर्त पूरी हो, लेकिन इस मामले के लिए पर्याप्त नहीं है।

उत्तर:नहीं।

उदाहरण 11

संख्या - 19 को - 3 से विभाजित किया गया था। आंशिक भागफल 7 है और शेषफल 1 है। जांचें कि क्या यह गणना सही ढंग से की गई थी।

समाधान

1 के बराबर शेषफल दिया गया है। वह सकारात्मक है. मान विभाजक मॉड्यूल से कम है, जिसका अर्थ है कि पहला चरण पूरा हो रहा है। आइए दूसरे चरण पर चलते हैं।

आइए व्यंजक b · c + d के मान की गणना करें। शर्त के अनुसार, हमारे पास है कि b = - 3, c = 7, d = 1, जिसका अर्थ है, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें b · c + d = - 3 · 7 + 1 = - 21 + 1 = - 20 मिलता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि a = b · c + d समानता मान्य नहीं है, क्योंकि शर्त a = - 19 देती है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विभाजन त्रुटिवश किया गया है।

उत्तर:नहीं।

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संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण- ये ऐसे नियम हैं जो आपको बिना विभाजित किए अपेक्षाकृत शीघ्रता से यह पता लगाने की अनुमति देते हैं कि क्या यह संख्या किसी शेषफल के बिना किसी दी गई संख्या से विभाज्य है।
कुछ विभाज्यता के लक्षणकाफी सरल, कुछ अधिक जटिल। इस पृष्ठ पर आपको अभाज्य संख्याओं की विभाज्यता के दोनों चिह्न मिलेंगे, जैसे, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, और भाज्य संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न, जैसे 6 या 12।
मुझे आशा है कि यह जानकारी आपके लिए उपयोगी होगी.
सीखने का आनंद!

2 से विभाज्यता का परीक्षण करें

यह विभाज्यता के सबसे सरल लक्षणों में से एक है। ऐसा लगता है: यदि एक प्राकृतिक संख्या का अंकन एक सम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह सम है (2 से शेषफल के बिना विभाज्य), और यदि एक प्राकृतिक संख्या का अंकन एक विषम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या विषम है .
दूसरे शब्दों में, यदि किसी संख्या का अंतिम अंक है 2 , 4 , 6 , 8 या 0 - संख्या 2 से विभाज्य है, यदि नहीं तो वह विभाज्य नहीं है
उदाहरण के लिए, संख्याएँ: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2 से विभाज्य हैं क्योंकि वे सम हैं।
ए संख्या: 23 5 , 137 , 2303
वे 2 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि वे विषम हैं।

3 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता के इस चिह्न के पूरी तरह से अलग नियम हैं: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब यह है कि यह समझने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको बस उन संख्याओं को एक साथ जोड़ना होगा जो इसे बनाती हैं।
यह इस तरह दिखता है: 3987 और 141 3 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - 3 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+1= 6 (6:3=2 - 3 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 566, 3 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 5+6+6= 17 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 17 बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य हैं)।

4 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता का यह चिन्ह और अधिक जटिल होगा। यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं या वह 00 है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य है, अन्यथा दी गई संख्या शेषफल के बिना 4 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 1 00 और 3 64 4 से विभाज्य हैं क्योंकि पहली स्थिति में संख्या समाप्त होती है 00 , और दूसरे में 64 , जो बदले में बिना किसी शेषफल के 4 से विभाज्य है (64:4=16)
संख्या 3 57 और 8 86 4 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि इनमें से कोई भी नहीं 57 कोई भी नहीं 86 4 से विभाज्य नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि वे विभाज्यता की इस कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

5 से विभाज्यता परीक्षण

और फिर से हमारे पास विभाज्यता का एक काफी सरल संकेत है: यदि किसी प्राकृतिक संख्या का अंकन संख्या 0 या 5 के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य होती है। यदि किसी संख्या का अंकन किसी अन्य अंक के साथ समाप्त होता है, तो कोई संख्या शेषफल के बिना 5 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब यह है कि कोई भी संख्या अंकों में समाप्त होती है 0 और 5 , उदाहरण के लिए 1235 5 और 43 0 , नियम के अंतर्गत आते हैं और 5 से विभाज्य हैं।
और, उदाहरण के लिए, 1549 3 और 56 4 संख्या 5 या 0 पर समाप्त न हों, जिसका अर्थ है कि उन्हें शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

6 से विभाज्यता का परीक्षण करें

हमारे सामने भाज्य संख्या 6 है, जो संख्या 2 और 3 का गुणनफल है। इसलिए, 6 से विभाज्यता का चिह्न भी भाज्य है: किसी संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे दो चिह्नों के अनुरूप होना चाहिए एक ही समय में विभाज्यता: 2 से विभाज्यता का चिह्न और 3 से विभाज्यता का चिह्न। कृपया ध्यान दें कि 4 जैसी मिश्रित संख्या में विभाज्यता का एक व्यक्तिगत चिह्न होता है, क्योंकि यह स्वयं संख्या 2 का गुणनफल है। लेकिन आइए 6 से विभाज्यता के परीक्षण पर वापस आएं।
संख्याएँ 138 और 474 सम हैं और 3 (1+3+8=12, 12:3=4 और 4+7+4=15, 15:3=5) से विभाज्यता के मानदंडों को पूरा करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे विभाज्य हैं 6. लेकिन 123 और 447, हालांकि वे 3 (1+2+3=6, 6:3=2 और 4+4+7=15, 15:3=5) से विभाज्य हैं, लेकिन वे विषम हैं, जो इसका मतलब है कि वे 2 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं, और इसलिए 6 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

7 से विभाज्यता का परीक्षण करें

विभाज्यता का यह परीक्षण अधिक जटिल है: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि इस संख्या के दसियों की संख्या से अंतिम अंक को दोगुना घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य हो या 0 के बराबर हो।
यह काफी भ्रमित करने वाला लगता है, लेकिन व्यवहार में यह सरल है। अपने लिए देखें: संख्या 95 9, 7 से विभाज्य है क्योंकि 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 को बिना किसी शेषफल के 7 से विभाजित किया जाता है)। इसके अलावा, यदि परिवर्तन के दौरान प्राप्त संख्या के साथ कठिनाइयाँ आती हैं (इसके आकार के कारण यह समझना मुश्किल है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, तो इस प्रक्रिया को जितनी बार भी आप आवश्यक समझें, जारी रखा जा सकता है)।
उदाहरण के लिए, 45 5 और 4580 1 में 7 से विभाज्यता का गुण है। पहले मामले में, सब कुछ काफी सरल है: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. दूसरे मामले में हम यह करेंगे: 4580 -2*1=4580-2=4578. हमारे लिए यह समझना मुश्किल है कि क्या 457 8 बटा 7, तो चलिए प्रक्रिया दोहराते हैं: 457 -2*8=457-16=441. और फिर से हम विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करेंगे, क्योंकि हमारे सामने अभी भी तीन अंकों की संख्या है 44 1. तो, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, यानी। 42 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 45801 7 से विभाज्य है।
यहाँ संख्याएँ हैं 11 1 और 34 5, 7 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 11 -2*1=11-2=9 (9, 7 से विभाज्य नहीं है) और 34 -2*5=34-10=24 (24 शेषफल के बिना 7 से विभाज्य नहीं है)।

8 से विभाज्यता परीक्षण

8 से विभाज्यता का परीक्षण इस प्रकार है: यदि अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाते हैं, या यह 000 है, तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।
नंबर 1 000 या 1 088 8 से विभाज्य: पहला वाला समाप्त होता है 000 , दूसरा 88 :8=11 (बिना शेषफल के 8 से विभाज्य)।
और यहाँ संख्याएँ 1 हैं 100 या 4 757 8 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि संख्याएँ 100 और 757 शेषफल के बिना 8 से विभाज्य नहीं हैं।

9 से विभाज्यता परीक्षण

विभाज्यता का यह चिन्ह 3 से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 3987 और 144, 9 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - शेषफल के बिना 9 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 141, 9 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 1+4+1= 6 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 6 बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य हैं)।

10, 100, 1000 तथा अन्य अंकीय इकाइयों से विभाज्यता के लक्षण

मैंने विभाज्यता के इन संकेतों को जोड़ दिया क्योंकि उन्हें उसी तरह वर्णित किया जा सकता है: एक संख्या को एक अंक इकाई द्वारा विभाजित किया जाता है यदि संख्या के अंत में शून्य की संख्या किसी दिए गए अंक इकाई पर शून्य की संख्या से अधिक या उसके बराबर है .
दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित संख्याएँ हैं: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . जिनमें से सभी 1 से विभाज्य हैं 0 ; 46400 और 867 000 1 से भी विभाज्य हैं 00 ; और उनमें से केवल एक 867 है 000 1 से विभाज्य 000 .
कोई भी संख्या जिसमें अंक इकाई की तुलना में कम पिछला शून्य होता है, उस अंक इकाई से विभाज्य नहीं होती है, उदाहरण के लिए 600 30 और 7 93 विभाज्य नहीं 1 00 .

11 से विभाज्यता परीक्षण

यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 11 से विभाज्य है, आपको इस संख्या के सम और विषम अंकों के योग के बीच का अंतर प्राप्त करना होगा। यदि यह अंतर 0 के बराबर है या बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं उदाहरण देखने का सुझाव देता हूं: 2 35 4, 11 से विभाज्य है क्योंकि ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4, 11 से भी विभाज्य है, क्योंकि ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
यहाँ 1 है 1 1 या 4 35 4, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि पहली स्थिति में हमें प्राप्त होता है (1+1)- 1 =1, और दूसरे में ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 से विभाज्यता परीक्षण

संख्या 12 संयुक्त है। इसकी विभाज्यता का संकेत एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्यता के संकेतों का अनुपालन है।
उदाहरण के लिए, 300 और 636 4 से विभाज्यता के दोनों चिह्नों के अनुरूप हैं (अंतिम 2 अंक शून्य हैं या 4 से विभाज्य हैं) और 3 से विभाज्यता के चिह्न (पहली और तीसरी दोनों संख्याओं के अंकों का योग विभाज्य हैं) 3 से), लेकिन अंततः, वे बिना किसी शेषफल के 12 से विभाज्य हैं।
लेकिन 200 या 630 12 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि पहले मामले में संख्या केवल 4 से विभाज्यता की कसौटी पर खरी उतरती है, और दूसरे में - केवल 3 से विभाज्यता की कसौटी पर खरी उतरती है। लेकिन एक ही समय में दोनों मानदंड नहीं।

13 से विभाज्यता परीक्षण

13 से विभाज्यता का एक संकेत यह है कि यदि इस संख्या की इकाइयों में 4 से गुणा करने पर किसी संख्या की दहाई की संख्या 13 का गुणज या 0 के बराबर हो, तो वह संख्या स्वयं 13 से विभाज्य होती है।
उदाहरण के लिए लेते हैं 70 2. तो, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है), जिसका अर्थ है 70 2 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है। दूसरा उदाहरण एक संख्या है 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. संख्या 130 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्या 13 से विभाज्यता के मानदंड से मेल खाती है।
यदि हम संख्याएँ लें 12 5 या 21 2, तो हमें मिलता है 12 +4*5=32 और 21 +4*2=29, क्रमशः, और न तो 32 और न ही 29, बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य नहीं हैं।

संख्याओं की विभाज्यता

जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए आप विभाज्यता के अपने व्यक्तिगत चिह्न या "मिश्रित" चिह्न का चयन कर सकते हैं यदि संख्या कई अलग-अलग संख्याओं का गुणज है। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, आम तौर पर संख्या जितनी बड़ी होगी, उसका चिन्ह उतना ही जटिल होगा। यह संभव है कि विभाज्यता मानदंड की जाँच करने में लगने वाला समय विभाजन के बराबर या उससे अधिक हो सकता है। इसीलिए हम आमतौर पर विभाज्यता के सबसे सरल संकेतों का उपयोग करते हैं।