शरीर की गति में परिवर्तन का निर्धारण। शरीर का आवेग क्या है

बुनियादी गतिशील मात्राएँ: बल, द्रव्यमान, शरीर का आवेग, बल का क्षण, कोणीय गति।

बल एक सदिश राशि है, जो किसी दिए गए पिंड पर अन्य पिंडों या क्षेत्रों की क्रिया का माप है।

ताकत की विशेषता है:

· मापांक

दिशा

आवेदन बिंदु

एसआई प्रणाली में बल को न्यूटन में मापा जाता है।

यह समझने के लिए कि एक न्यूटन का बल क्या है, हमें यह याद रखना होगा कि किसी पिंड पर लगाया गया बल उसकी गति को बदल देता है। इसके अलावा, आइए हम पिंडों की जड़ता को याद रखें, जो, जैसा कि हम याद करते हैं, उनके द्रव्यमान से जुड़ी होती है। इसलिए,

एक न्यूटन एक ऐसा बल है जो 1 किलोग्राम वजन वाले पिंड की गति को हर सेकंड 1 मीटर/सेकेंड तक बदल देता है।

बलों के उदाहरणों में शामिल हैं:

· गुरुत्वाकर्षण- गुरुत्वाकर्षण संपर्क के परिणामस्वरूप किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल।

· लोचदार बल- वह बल जिसके साथ कोई पिंड बाहरी भार का प्रतिरोध करता है। इसका कारण शरीर के अणुओं का विद्युत चुम्बकीय संपर्क है।

· आर्किमिडीज़ का बल- इस तथ्य से जुड़ा एक बल कि कोई पिंड एक निश्चित मात्रा में तरल या गैस को विस्थापित करता है।

· जमीनी प्रतिक्रिया बल- वह बल जिसके साथ सहारा उस पर स्थित शरीर पर कार्य करता है।

· घर्षण बल- पिंडों की संपर्क सतहों की सापेक्ष गति के प्रतिरोध का बल।

· सतही तनाव एक बल है जो दो मीडिया के बीच इंटरफेस पर होता है।

· शरीर का वजन- वह बल जिसके साथ शरीर क्षैतिज समर्थन या ऊर्ध्वाधर निलंबन पर कार्य करता है।

और अन्य ताकतें.

ताकत को एक विशेष उपकरण का उपयोग करके मापा जाता है। इस उपकरण को डायनेमोमीटर कहा जाता है (चित्र 1)। डायनेमोमीटर में स्प्रिंग 1 होता है, जिसके खिंचाव से हमें बल का पता चलता है, तीर 2, स्केल 3 के साथ फिसलता हुआ, लिमिटर बार 4, जो स्प्रिंग को बहुत अधिक फैलने से रोकता है, और हुक 5, जिससे भार निलंबित होता है।

चावल। 1. डायनेमोमीटर (स्रोत)

शरीर पर कई शक्तियां कार्य कर सकती हैं। किसी पिंड की गति का सही वर्णन करने के लिए, परिणामी बलों की अवधारणा का उपयोग करना सुविधाजनक है।

परिणामी बल एक ऐसा बल है जिसकी क्रिया शरीर पर लागू सभी बलों की क्रिया को प्रतिस्थापित कर देती है (चित्र 2)।

वेक्टर मात्राओं के साथ काम करने के नियमों को जानने के बाद, यह अनुमान लगाना आसान है कि किसी पिंड पर लागू सभी बलों का परिणाम इन बलों का वेक्टर योग है।

चावल। 2. एक पिंड पर कार्य करने वाली दो शक्तियों का परिणाम

इसके अलावा, चूंकि हम किसी समन्वय प्रणाली में किसी पिंड की गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए आमतौर पर हमारे लिए बल पर नहीं, बल्कि अक्ष पर उसके प्रक्षेपण पर विचार करना फायदेमंद होता है। अक्ष पर बल का प्रक्षेपण ऋणात्मक या धनात्मक हो सकता है, क्योंकि प्रक्षेपण एक अदिश राशि है। तो, चित्र 3 में बलों का प्रक्षेपण दिखाया गया है, बल का प्रक्षेपण नकारात्मक है, और बल का प्रक्षेपण सकारात्मक है।

चावल। 3. अक्ष पर बलों का प्रक्षेपण

तो, इस पाठ से हमने ताकत की अवधारणा के बारे में अपनी समझ को गहरा कर लिया है। हमें बल मापने की इकाइयाँ और वह उपकरण याद आ गया जिससे बल मापा जाता है। इसके अलावा, हमने देखा कि प्रकृति में कौन सी ताकतें मौजूद हैं। अंत में, हमने सीखा कि जब शरीर पर कई बल कार्य करते हैं तो कैसे कार्य करना है।

वज़न, एक भौतिक मात्रा, पदार्थ की मुख्य विशेषताओं में से एक, जो इसके जड़त्व और गुरुत्वाकर्षण गुणों का निर्धारण करती है। तदनुसार, जड़त्वीय द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान (भारी, गुरुत्वाकर्षण) के बीच अंतर किया जाता है।

द्रव्यमान की अवधारणा को आई. न्यूटन द्वारा यांत्रिकी में पेश किया गया था। शास्त्रीय न्यूटोनियन यांत्रिकी में, द्रव्यमान को किसी पिंड की गति (गति की मात्रा) की परिभाषा में शामिल किया जाता है: संवेग आरशरीर की गति के समानुपाती वी, पी = एमवी(1). आनुपातिकता गुणांक किसी दिए गए निकाय के लिए एक स्थिर मान है एम- और शरीर का द्रव्यमान है. द्रव्यमान की समतुल्य परिभाषा शास्त्रीय यांत्रिकी की गति के समीकरण से प्राप्त की जाती है च = मा(2). यहां द्रव्यमान शरीर पर लगने वाले बल के बीच आनुपातिकता का गुणांक है एफऔर इसके कारण शरीर का त्वरण होता है ए. संबंध (1) और (2) द्वारा परिभाषित द्रव्यमान को जड़त्वीय द्रव्यमान, या जड़त्वीय द्रव्यमान कहा जाता है; यह किसी पिंड के गतिशील गुणों की विशेषता बताता है, पिंड की जड़ता का एक माप है: एक स्थिर बल के साथ, पिंड का द्रव्यमान जितना अधिक होता है, यह उतना ही कम त्वरण प्राप्त करता है, यानी, इसकी गति की स्थिति जितनी धीमी होती है (द) इसकी जड़ता जितनी अधिक होगी)।

विभिन्न पिंडों पर समान बल से कार्य करके और उनके त्वरण को मापकर, हम इन पिंडों के द्रव्यमान के बीच संबंध निर्धारित कर सकते हैं: एम 1: एम 2: एम 3 ... = ए 1: ए 2: ए 3 ...; यदि किसी एक द्रव्यमान को माप की इकाई के रूप में लिया जाए, तो शेष पिंडों का द्रव्यमान पाया जा सकता है।

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत में, द्रव्यमान एक अलग रूप में प्रकट होता है - गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के स्रोत के रूप में। प्रत्येक पिंड, पिंड के द्रव्यमान के समानुपाती एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बनाता है (और अन्य पिंडों द्वारा बनाए गए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से प्रभावित होता है, जिसकी ताकत भी पिंडों के द्रव्यमान के समानुपाती होती है)। यह क्षेत्र न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा निर्धारित बल के साथ किसी अन्य पिंड के आकर्षण का कारण बनता है:

(3)

कहाँ आर- निकायों के बीच की दूरी, जीसार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, a मी 1और मी 2- आकर्षित करने वाले पिंडों का समूह। सूत्र (3) से सूत्र प्राप्त करना आसान है वज़न आरशरीर का भार एमपृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में: पी = मिलीग्राम (4).

यहाँ जी = जी*एम/आर 2- पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में मुक्त गिरावट का त्वरण, और आर » आर-पृथ्वी की त्रिज्या. संबंध (3) और (4) द्वारा निर्धारित द्रव्यमान को पिंड का गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान कहा जाता है।

सिद्धांत रूप में, यह कहीं से भी नहीं निकलता कि जो द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का निर्माण करता है वह उसी पिंड की जड़ता को भी निर्धारित करता है। हालाँकि, अनुभव से पता चला है कि जड़त्वीय द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान एक दूसरे के समानुपाती होते हैं (और माप की इकाइयों की सामान्य पसंद के साथ, वे संख्यात्मक रूप से बराबर होते हैं)। प्रकृति के इस मौलिक नियम को समतुल्यता का सिद्धांत कहा जाता है। इसकी खोज जी. गैलीलियो के नाम से जुड़ी है, जिन्होंने स्थापित किया कि पृथ्वी पर सभी पिंड एक ही त्वरण से गिरते हैं। ए आइंस्टीन ने इस सिद्धांत (पहली बार उनके द्वारा प्रतिपादित) को सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के आधार पर रखा। तुल्यता सिद्धांत को प्रयोगात्मक रूप से बहुत उच्च सटीकता के साथ स्थापित किया गया है। पहली बार (1890-1906), एल. इओतवोस द्वारा जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान की समानता का एक सटीक परीक्षण किया गया, जिन्होंने पाया कि द्रव्यमान ~ 10 -8 की त्रुटि के साथ मेल खाता है। 1959-64 में, अमेरिकी भौतिक विज्ञानी आर. डिके, आर. क्रोटकोव और पी. रोल ने त्रुटि को घटाकर 10 -11 कर दिया, और 1971 में, सोवियत भौतिक विज्ञानी वी.बी. ब्रागिंस्की और वी.आई. पनोव - ने त्रुटि को 10 -12 कर दिया।

समतुल्यता का सिद्धांत हमें वजन के द्वारा शरीर के द्रव्यमान को स्वाभाविक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

प्रारंभ में, द्रव्यमान को पदार्थ की मात्रा के माप के रूप में माना जाता था (उदाहरण के लिए, न्यूटन द्वारा)। इस परिभाषा का स्पष्ट अर्थ केवल एक ही सामग्री से निर्मित सजातीय निकायों की तुलना करना है। यह द्रव्यमान की योगात्मकता पर जोर देता है - किसी पिंड का द्रव्यमान उसके भागों के द्रव्यमान के योग के बराबर होता है। एक सजातीय पिंड का द्रव्यमान उसके आयतन के समानुपाती होता है, इसलिए हम घनत्व की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं - किसी पिंड के इकाई आयतन का द्रव्यमान।

शास्त्रीय भौतिकी में यह माना जाता था कि किसी पिंड का द्रव्यमान किसी भी प्रक्रिया में नहीं बदलता है। यह एम.वी. लोमोनोसोव और ए.एल. लावोइसियर द्वारा खोजे गए द्रव्यमान (पदार्थ) के संरक्षण के नियम के अनुरूप है। विशेष रूप से, इस कानून में कहा गया है कि किसी भी रासायनिक प्रतिक्रिया में प्रारंभिक घटकों के द्रव्यमान का योग अंतिम घटकों के द्रव्यमान के योग के बराबर होता है।

द्रव्यमान की अवधारणा ने ए. आइंस्टीन के सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के यांत्रिकी में एक गहरा अर्थ प्राप्त कर लिया है, जो बहुत तेज़ गति पर पिंडों (या कणों) की गति पर विचार करता है - ~ 3 · 10 10 सेमी / सेकंड के साथ प्रकाश की गति के बराबर। नई यांत्रिकी में - इसे सापेक्षतावादी यांत्रिकी कहा जाता है - किसी कण के संवेग और वेग के बीच का संबंध इस संबंध द्वारा दिया जाता है:

(5)

कम गति पर ( वी << सी) यह संबंध न्यूटोनियन संबंध में जाता है पी = एमवी. इसलिए मूल्य म 0विश्राम द्रव्यमान कहलाता है, और गतिमान कण का द्रव्यमान एमके बीच गति-निर्भर आनुपातिकता गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है पीऔर वी:

(6)

विशेष रूप से इस सूत्र को ध्यान में रखते हुए, वे कहते हैं कि किसी कण (पिंड) का द्रव्यमान उसकी गति में वृद्धि के साथ बढ़ता है। उच्च-ऊर्जा आवेशित कणों के त्वरक को डिजाइन करते समय किसी कण की गति बढ़ने पर उसके द्रव्यमान में ऐसी सापेक्षिक वृद्धि को ध्यान में रखा जाना चाहिए। विश्राम मास म 0(कण से जुड़े संदर्भ फ्रेम में द्रव्यमान) कण की सबसे महत्वपूर्ण आंतरिक विशेषता है। सभी प्राथमिक कणों का कड़ाई से परिभाषित अर्थ होता है म 0, किसी दिए गए प्रकार के कण में निहित।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सापेक्ष यांत्रिकी में, गति के समीकरण (2) से द्रव्यमान की परिभाषा, कण की गति और गति के बीच आनुपातिकता के गुणांक के रूप में द्रव्यमान की परिभाषा के बराबर नहीं है, क्योंकि त्वरण समाप्त हो जाता है उस बल के समानांतर जिसके कारण यह हुआ और द्रव्यमान कण की गति की दिशा पर निर्भर करता है।

सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, कण द्रव्यमान एमउसकी ऊर्जा से जुड़ा है इअनुपात:

(7)

शेष द्रव्यमान कण की आंतरिक ऊर्जा को निर्धारित करता है - तथाकथित विश्राम ऊर्जा ई 0 = एम 0 एस 2. इस प्रकार, ऊर्जा हमेशा द्रव्यमान से जुड़ी होती है (और इसके विपरीत)। इसलिए, द्रव्यमान के संरक्षण और ऊर्जा के संरक्षण के नियम का कोई अलग कानून (शास्त्रीय भौतिकी में) नहीं है - वे कुल (यानी, कणों की बाकी ऊर्जा सहित) ऊर्जा के संरक्षण के एक ही कानून में विलीन हो जाते हैं। ऊर्जा संरक्षण के नियम और द्रव्यमान के संरक्षण के नियम का अनुमानित विभाजन केवल शास्त्रीय भौतिकी में ही संभव है, जब कणों का वेग छोटा होता है ( वी << सी) और कण परिवर्तन प्रक्रियाएँ नहीं होती हैं।

सापेक्षतावादी यांत्रिकी में, द्रव्यमान किसी पिंड का योगात्मक गुण नहीं है। जब दो कण मिलकर एक यौगिक स्थिर अवस्था बनाते हैं, तो अतिरिक्त ऊर्जा (बाध्यकारी ऊर्जा के बराबर) निकलती है इ, जो द्रव्यमान डी से मेल खाता है एम =डी ई/एस 2. इसलिए, किसी मिश्रित कण का द्रव्यमान उसे बनाने वाले कणों के द्रव्यमान के योग से D की मात्रा से कम होता है ई/एस 2(तथाकथित सामूहिक दोष)। यह प्रभाव विशेष रूप से परमाणु प्रतिक्रियाओं में स्पष्ट होता है। उदाहरण के लिए, ड्यूटेरॉन द्रव्यमान ( डी) प्रोटोन द्रव्यमान के योग से कम है ( पी) और न्यूट्रॉन ( एन); दोष मास डी एमऊर्जा से सम्बंधित ई जीगामा क्वांटम ( जी), ड्यूटेरॉन के निर्माण के दौरान पैदा हुए: पी + एन -> डी + जी, ई जी = डीएमसी 2. मिश्रित कण के निर्माण के दौरान होने वाला द्रव्यमान दोष द्रव्यमान और ऊर्जा के बीच कार्बनिक संबंध को दर्शाता है।

इकाइयों की सीजीएस प्रणाली में द्रव्यमान की इकाई है ग्राम, और में इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणालीएसआई - किलोग्राम. परमाणुओं और अणुओं का द्रव्यमान आमतौर पर परमाणु द्रव्यमान इकाइयों में मापा जाता है। प्राथमिक कणों का द्रव्यमान आमतौर पर या तो इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है मुझे, या ऊर्जा इकाइयों में, संबंधित कण की बाकी ऊर्जा को दर्शाता है। इस प्रकार, एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान 0.511 MeV है, एक प्रोटॉन का द्रव्यमान 1836.1 है मुझे, या 938.2 MeV, आदि।

द्रव्यमान की प्रकृति आधुनिक भौतिकी की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में से एक है। यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि किसी प्राथमिक कण का द्रव्यमान उससे जुड़े क्षेत्रों (विद्युत चुम्बकीय, परमाणु और अन्य) से निर्धारित होता है। हालाँकि, द्रव्यमान का कोई मात्रात्मक सिद्धांत अभी तक नहीं बनाया गया है। ऐसा कोई सिद्धांत भी नहीं है जो यह बताता हो कि प्राथमिक कणों का द्रव्यमान मूल्यों का एक अलग स्पेक्ट्रम क्यों बनाता है, हमें इस स्पेक्ट्रम को निर्धारित करने की अनुमति तो नहीं देता है।

खगोल भौतिकी में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बनाने वाले शरीर का द्रव्यमान शरीर के तथाकथित गुरुत्वाकर्षण त्रिज्या को निर्धारित करता है आर जीआर = 2जीएम/एस 2. गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के कारण, प्रकाश सहित कोई भी विकिरण, त्रिज्या वाले पिंड की सतह से परे नहीं निकल सकता है आर=< R гр . इस आकार के तारे अदृश्य होंगे; इसीलिए उन्हें "ब्लैक होल" कहा गया। ऐसे खगोलीय पिंडों को ब्रह्मांड में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभानी चाहिए।

बल का आवेग. शरीर का आवेग

संवेग की अवधारणा 17वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में रेने डेसकार्टेस द्वारा प्रस्तुत की गई थी, और फिर आइजैक न्यूटन द्वारा इसे परिष्कृत किया गया। न्यूटन के अनुसार, जिन्होंने संवेग को गति की मात्रा कहा है, यह इसका एक माप है, जो किसी पिंड की गति और उसके द्रव्यमान के समानुपाती होता है। आधुनिक परिभाषा: किसी पिंड का संवेग एक भौतिक मात्रा है जो पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर है:

सबसे पहले, उपरोक्त सूत्र से यह स्पष्ट है कि आवेग एक सदिश राशि है और इसकी दिशा शरीर की गति की दिशा से मेल खाती है; आवेग के माप की इकाई है:

= [किलो मी/से]

आइए विचार करें कि यह भौतिक राशि गति के नियमों से कैसे संबंधित है। आइए न्यूटन का दूसरा नियम लिखें, यह ध्यान में रखते हुए कि त्वरण समय के साथ गति में परिवर्तन है:

शरीर पर कार्य करने वाले बल, या अधिक सटीक रूप से, परिणामी बल, और इसकी गति में परिवर्तन के बीच एक संबंध है। किसी बल और समयावधि के उत्पाद के परिमाण को बल का आवेग कहा जाता है।उपरोक्त सूत्र से यह स्पष्ट है कि पिंड के संवेग में परिवर्तन बल के आवेग के बराबर होता है।

इस समीकरण (चित्र 1) का उपयोग करके किन प्रभावों का वर्णन किया जा सकता है?

चावल। 1. बल आवेग और शारीरिक आवेग के बीच संबंध (स्रोत)

धनुष से छोड़ा गया बाण। तीर के साथ डोरी का संपर्क जितनी देर (∆t) जारी रहेगा, तीर की गति (∆) में परिवर्तन उतना ही अधिक होगा, और इसलिए, इसकी अंतिम गति उतनी ही अधिक होगी।

दो टकराती हुई गेंदें. जब गेंदें संपर्क में होती हैं, तो वे एक-दूसरे पर समान परिमाण के बल से कार्य करती हैं, जैसा कि न्यूटन का तीसरा नियम हमें सिखाता है। इसका मतलब यह है कि उनके संवेग में परिवर्तन भी परिमाण में समान होना चाहिए, भले ही गेंदों का द्रव्यमान समान न हो।

सूत्रों का विश्लेषण करने के बाद, दो महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. समान अवधि के लिए कार्य करने वाली समान शक्तियां विभिन्न पिंडों के द्रव्यमान की परवाह किए बिना, उनके संवेग में समान परिवर्तन का कारण बनती हैं।

2. किसी पिंड के संवेग में समान परिवर्तन या तो लंबे समय तक छोटे बल के साथ कार्य करके, या उसी पिंड पर थोड़े समय के लिए बड़े बल के साथ कार्य करके प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन और उस समयावधि का अनुपात, जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, पिंड पर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर होता है।

इस समीकरण का विश्लेषण करने पर, हम देखते हैं कि न्यूटन का दूसरा नियम हमें हल की जाने वाली समस्याओं के वर्ग का विस्तार करने और उन समस्याओं को शामिल करने की अनुमति देता है जिनमें समय के साथ पिंडों का द्रव्यमान बदलता है।

यदि हम न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य सूत्रीकरण का उपयोग करके पिंडों के परिवर्तनशील द्रव्यमान के साथ समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं:

फिर ऐसे समाधान का प्रयास करने से त्रुटि उत्पन्न होगी।

इसका एक उदाहरण पहले से उल्लिखित जेट विमान या अंतरिक्ष रॉकेट है, जो चलते समय ईंधन जलाता है, और इस दहन के उत्पादों को आसपास के अंतरिक्ष में छोड़ दिया जाता है। स्वाभाविक रूप से, जैसे-जैसे ईंधन की खपत होती है, विमान या रॉकेट का द्रव्यमान घटता जाता है।

शक्ति का क्षण- बल के घूर्णी प्रभाव को दर्शाने वाली मात्रा; लंबाई और बल के गुणनफल का आयाम है। अंतर करना शक्ति का क्षणकेंद्र (बिंदु) के सापेक्ष और अक्ष के सापेक्ष।

एमएस। केंद्र के सापेक्ष के बारे मेंबुलाया वेक्टर क्वांटिटी एम 0 त्रिज्या सदिश के सदिश गुणनफल के बराबर आर , से किया गया हेबल के प्रयोग के बिंदु तक एफ , ताकत के लिए एम 0 = [आरएफ ] या अन्य संकेतन में एम 0 = आर एफ (चावल।)। संख्यात्मक रूप से एम. एस. बल मापांक और भुजा के गुणनफल के बराबर एच, अर्थात नीचे गिराए गए लंब की लंबाई से के बारे मेंबल की कार्रवाई की रेखा पर, या दोगुने क्षेत्र पर

केंद्र पर बना त्रिकोण हेऔर ताकत:

निर्देशित वेक्टर एम 0 गुजरने वाले विमान के लंबवत हेऔर एफ . जिस ओर यह जा रहा है एम 0, सशर्त रूप से चयनित ( एम 0 - अक्षीय वेक्टर)। दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली के साथ, वेक्टर एम 0 उस दिशा में निर्देशित है जहां से बल द्वारा किया गया घुमाव वामावर्त दिखाई देता है।

एमएस। z-अक्ष के सापेक्ष कहा जाता है अदिश मात्रा एमजेड, अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर जेडवेक्टर एम. एस. किसी भी केंद्र के सापेक्ष के बारे में, इस अक्ष पर लिया गया; आकार एमजेडइसे किसी समतल पर प्रक्षेपण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है xy, z अक्ष के लंबवत, त्रिभुज का क्षेत्रफल ओएबीया प्रक्षेपण के क्षण के रूप में Fxyताकत एफ विमान के लिए xy, इस तल के साथ z अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष लिया गया। को।,

एम. एस. के अंतिम दो भावों में। घूर्णन बल को सकारात्मक माना जाता है Fxyसकारात्मक से दिखाई देता है z अक्ष का अंत वामावर्त (सही समन्वय प्रणाली में)। एमएस। समन्वय अक्षों के सापेक्ष ऑक्सीज़विश्लेषणात्मक रूप से भी गणना की जा सकती है। एफ-लैम:

कहाँ एफएक्स, एफवाई, एफजेड- बल प्रक्षेपण एफ निर्देशांक अक्षों पर, एक्स, वाई, जेड- बिंदु निर्देशांक एबल का प्रयोग. मात्रा एम एक्स, एम वाई, एम जेडवेक्टर के प्रक्षेपण के बराबर हैं एम निर्देशांक अक्षों पर 0.

वे बदलते हैं क्योंकि अंतःक्रिया बल प्रत्येक पिंड पर कार्य करते हैं, लेकिन आवेगों का योग स्थिर रहता है। यह कहा जाता है संवेग के संरक्षण का नियम.

न्यूटन का दूसरा नियमसूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है। इसे दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है, अगर हम याद रखें कि त्वरण किसी वस्तु की गति में परिवर्तन की दर के बराबर है। समान रूप से त्वरित गति के लिए, सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

यदि हम इस अभिव्यक्ति को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें मिलता है:

,

इस सूत्र को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

इस समानता का दाहिना भाग किसी पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के उत्पाद में परिवर्तन को रिकॉर्ड करता है। शरीर के द्रव्यमान और गति के गुणनफल को एक भौतिक मात्रा कहा जाता है शरीर का आवेगया शरीर की गति की मात्रा.

शरीर का आवेगकिसी पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति का गुणनफल कहा जाता है। यह एक सदिश राशि है. संवेग वेक्टर की दिशा वेग वेक्टर की दिशा से मेल खाती है।

दूसरे शब्दों में, द्रव्यमान का एक पिंड एम, गति के साथ चलने में गति होती है। आवेग की एसआई इकाई 1 किलोग्राम वजन वाले किसी पिंड का 1 मीटर/सेकेंड (किलो मीटर/सेकेंड) की गति से चलने वाला आवेग है। जब दो पिंड आपस में परस्पर क्रिया करते हैं, तो यदि पहला पिंड दूसरे पिंड पर बल लगाता है, तो न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दूसरा पहले पिंड पर बल लगाता है। आइए हम इन दोनों पिंडों के द्रव्यमानों को इससे निरूपित करें एम 1 और एम 2, और किसी भी संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष उनकी गति और। अधिक समय तक टीपिंडों की परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप, उनके वेग बदल जाएंगे और समान हो जाएंगे। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

,

इस तरह,

आइए हम समानता के दोनों पक्षों के चिह्नों को उनके विपरीत चिह्नों में बदलें और उन्हें रूप में लिखें

समीकरण के बाईं ओर दो निकायों के प्रारंभिक आवेगों का योग है, दाईं ओर समय के साथ समान निकायों के आवेगों का योग है टी. मात्राएँ बराबर हैं. तो, उसके बावजूद. बातचीत के दौरान प्रत्येक शरीर का आवेग बदलता है, कुल आवेग (दोनों निकायों के आवेगों का योग) अपरिवर्तित रहता है।

यह तब भी मान्य है जब कई निकाय परस्पर क्रिया करते हैं। हालाँकि, यह महत्वपूर्ण है कि ये निकाय केवल एक-दूसरे के साथ बातचीत करें और सिस्टम में शामिल नहीं किए गए अन्य निकायों की ताकतों से प्रभावित न हों (या बाहरी ताकतें संतुलित हों)। पिंडों का वह समूह जो अन्य पिंडों के साथ क्रिया नहीं करता, कहलाता है बंद प्रणालीकेवल बंद सिस्टम के लिए मान्य।

न्यूटन के नियमों का अध्ययन करने के बाद, हम देखते हैं कि उनकी मदद से यांत्रिकी की बुनियादी समस्याओं को हल करना संभव है यदि हम शरीर पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों को जानते हैं। ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें इन मूल्यों को निर्धारित करना कठिन या असंभव भी है। आइए ऐसी कई स्थितियों पर विचार करें।जब दो बिलियर्ड गेंदें या कारें टकराती हैं, तो हम कार्यरत बलों के बारे में दावा कर सकते हैं कि यह उनकी प्रकृति है; लोचदार बल यहां कार्य करते हैं। हालाँकि, हम उनके मॉड्यूल या उनकी दिशाओं को सटीक रूप से निर्धारित नहीं कर पाएंगे, खासकर जब से इन बलों की कार्रवाई की अवधि बेहद कम है।रॉकेट और जेट विमानों की गति के साथ, हम उन ताकतों के बारे में भी बहुत कम कह सकते हैं जो इन पिंडों को गति प्रदान करती हैं।ऐसे मामलों में, ऐसी विधियों का उपयोग किया जाता है जो गति के समीकरणों को हल करने से बचने और तुरंत इन समीकरणों के परिणामों का उपयोग करने की अनुमति देती हैं। इस मामले में, नई भौतिक मात्राएँ पेश की जाती हैं। आइए इनमें से एक मात्रा पर विचार करें, जिसे पिंड का संवेग कहा जाता है

धनुष से छोड़ा गया बाण। तीर के साथ डोरी का संपर्क जितनी देर (∆t) जारी रहेगा, तीर की गति (∆) में परिवर्तन उतना ही अधिक होगा, और इसलिए, इसकी अंतिम गति उतनी ही अधिक होगी।

दो टकराती हुई गेंदें. जब गेंदें संपर्क में होती हैं, तो वे एक-दूसरे पर समान परिमाण के बल से कार्य करती हैं, जैसा कि न्यूटन का तीसरा नियम हमें सिखाता है। इसका मतलब यह है कि उनके संवेग में परिवर्तन भी परिमाण में समान होना चाहिए, भले ही गेंदों का द्रव्यमान समान न हो।

सूत्रों का विश्लेषण करने के बाद, दो महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. समान अवधि के लिए कार्य करने वाली समान शक्तियां विभिन्न पिंडों के द्रव्यमान की परवाह किए बिना, उनके संवेग में समान परिवर्तन का कारण बनती हैं।

2. किसी पिंड के संवेग में समान परिवर्तन या तो लंबे समय तक छोटे बल के साथ कार्य करके, या उसी पिंड पर थोड़े समय के लिए बड़े बल के साथ कार्य करके प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन और उस समयावधि का अनुपात, जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, पिंड पर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर होता है।

इस समीकरण का विश्लेषण करने पर, हम देखते हैं कि न्यूटन का दूसरा नियम हमें हल की जाने वाली समस्याओं के वर्ग का विस्तार करने और उन समस्याओं को शामिल करने की अनुमति देता है जिनमें समय के साथ पिंडों का द्रव्यमान बदलता है।

यदि हम न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य सूत्रीकरण का उपयोग करके पिंडों के परिवर्तनशील द्रव्यमान के साथ समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं:

फिर ऐसे समाधान का प्रयास करने से त्रुटि उत्पन्न होगी।

इसका एक उदाहरण पहले से उल्लिखित जेट विमान या अंतरिक्ष रॉकेट है, जो चलते समय ईंधन जलाता है, और इस दहन के उत्पादों को आसपास के अंतरिक्ष में छोड़ दिया जाता है। स्वाभाविक रूप से, जैसे-जैसे ईंधन की खपत होती है, विमान या रॉकेट का द्रव्यमान घटता जाता है।

इस तथ्य के बावजूद कि न्यूटन का दूसरा नियम "परिणामी बल किसी पिंड के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के बराबर है" के रूप में हमें समस्याओं की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति देता है, पिंडों की गति के ऐसे मामले हैं जो नहीं हो सकते हैं इस समीकरण द्वारा पूरी तरह से वर्णित है। ऐसे मामलों में, परिणामी बल के आवेग के साथ शरीर की गति में परिवर्तन को जोड़ते हुए, दूसरे नियम का एक और सूत्रीकरण लागू करना आवश्यक है। इसके अलावा, ऐसी कई समस्याएं हैं जिनमें गति के समीकरणों को हल करना गणितीय रूप से बेहद कठिन या असंभव भी है। ऐसे मामलों में, हमारे लिए संवेग की अवधारणा का उपयोग करना उपयोगी होता है।

संवेग के संरक्षण के नियम और किसी बल के संवेग और किसी पिंड के संवेग के बीच संबंध का उपयोग करके, हम न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियम को प्राप्त कर सकते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम किसी बल के आवेग और किसी पिंड के संवेग के बीच संबंध से लिया गया है।

बल का आवेग पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:

उचित स्थानान्तरण करने के बाद, हम त्वरण पर बल की निर्भरता प्राप्त करते हैं, क्योंकि त्वरण को उस समय की गति में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ:

मानों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें न्यूटन के दूसरे नियम का सूत्र प्राप्त होता है:

न्यूटन के तीसरे नियम को प्राप्त करने के लिए, हमें संवेग के संरक्षण के नियम की आवश्यकता है।

वेक्टर गति की सदिश प्रकृति पर जोर देते हैं, अर्थात यह तथ्य कि गति दिशा में बदल सकती है। परिवर्तनों के बाद हमें मिलता है:

चूँकि एक बंद प्रणाली में समय की अवधि दोनों निकायों के लिए एक स्थिर मान थी, हम लिख सकते हैं:

हमने न्यूटन का तीसरा नियम प्राप्त किया है: दो पिंड परिमाण में समान और दिशा में विपरीत बलों के साथ एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। इन बलों के वैक्टर क्रमशः एक दूसरे की ओर निर्देशित होते हैं, इन बलों के मॉड्यूल मूल्य में बराबर होते हैं।

ग्रन्थसूची

1. तिखोमीरोवा एस.ए., यावोर्स्की बी.एम. भौतिकी (बुनियादी स्तर) - एम.: मेनेमोसिन, 2012।
2. गेंडेनशेटिन एल.ई., डिक यू.आई. भौतिक विज्ञान 10वीं कक्षा। - एम.: मेनेमोसिन, 2014।
3. किकोइन आई.के., किकोइन ए.के. भौतिकी - 9, मॉस्को, शिक्षा, 1990।

गृहकार्य

1. किसी पिंड के आवेग, बल के आवेग को परिभाषित करें।
2. किसी पिंड का आवेग बल के आवेग से किस प्रकार संबंधित है?
3. शरीर के आवेग और बल के आवेग के सूत्रों से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

1. इंटरनेट पोर्टल प्रश्न-physics.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Frutmrut.ru ()।
3. इंटरनेट पोर्टल Fizmat.by ()।

भौतिकी में गतिमान पिंडों की समस्याएं, जब गति प्रकाश से बहुत कम होती है, न्यूटोनियन या शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों का उपयोग करके हल की जाती हैं। इसमें एक महत्वपूर्ण अवधारणा है आवेग। इस लेख में भौतिकी में बुनियादी बातें दी गई हैं।

आवेग या संवेग?

भौतिकी में किसी पिंड के संवेग के सूत्र देने से पहले, आइए इस अवधारणा से परिचित हों। पहली बार इम्पेटो (आवेग) नामक मात्रा का प्रयोग 17वीं शताब्दी के आरंभ में गैलीलियो ने अपने कार्यों के विवरण में किया था। इसके बाद, आइजैक न्यूटन ने इसके लिए एक और नाम इस्तेमाल किया - मोटस (गति)। चूँकि न्यूटन की आकृति का गैलीलियो की आकृति की तुलना में शास्त्रीय भौतिकी के विकास पर अधिक प्रभाव था, इसलिए शुरू में किसी पिंड की गति के बारे में नहीं, बल्कि गति की मात्रा के बारे में बात करने की प्रथा थी।

गति की मात्रा को जड़त्वीय गुणांक, यानी द्रव्यमान द्वारा किसी पिंड की गति की गति के उत्पाद के रूप में समझा जाता है। संबंधित सूत्र है:

यहां p¯ एक वेक्टर है जिसकी दिशा v¯ से मेल खाती है, लेकिन मॉड्यूल मॉड्यूल v¯ से m गुना बड़ा है।

p¯ मान में परिवर्तन

संवेग की अवधारणा का उपयोग वर्तमान में आवेग की तुलना में कम बार किया जाता है। और यह तथ्य सीधे तौर पर न्यूटोनियन यांत्रिकी के नियमों से संबंधित है। आइए इसे स्कूली भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में दिए गए रूप में लिखें:

आइए त्वरण a¯ को गति व्युत्पन्न के लिए संबंधित अभिव्यक्ति से बदलें, हमें मिलता है:

समानता के दाईं ओर के हर से बाईं ओर के अंश में dt को स्थानांतरित करने पर, हमें मिलता है:

हमें एक दिलचस्प परिणाम मिला: इस तथ्य के अलावा कि अभिनय बल F¯ शरीर के त्वरण की ओर ले जाता है (इस पैराग्राफ का पहला सूत्र देखें), यह इसकी गति की मात्रा को भी बदल देता है। बल और समय का गुणनफल, जो बायीं ओर होता है, बल का आवेग कहलाता है। यह p¯ में परिवर्तन के बराबर होता है। इसलिए, अंतिम अभिव्यक्ति को भौतिकी में संवेग सूत्र भी कहा जाता है।

ध्यान दें कि dp¯ भी है, लेकिन, p¯ के विपरीत, इसे गति v¯ के रूप में नहीं, बल्कि बल F¯ के रूप में निर्देशित किया जाता है।

संवेग (आवेग) के वेक्टर में बदलाव का एक उल्लेखनीय उदाहरण वह स्थिति है जब एक फुटबॉल खिलाड़ी गेंद को हिट करता है। हिट से पहले गेंद खिलाड़ी की ओर चली गई, हिट होने के बाद वह उससे दूर चली गई।

संवेग संरक्षण का नियम

भौतिकी में सूत्र जो p¯ के मान के संरक्षण का वर्णन करते हैं, कई संस्करणों में दिए जा सकते हैं। उन्हें लिखने से पहले आइए इस प्रश्न का उत्तर दें कि संवेग कब संरक्षित रहता है।

आइए पिछले पैराग्राफ की अभिव्यक्ति पर वापस लौटें:

इसमें कहा गया है कि यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का योग शून्य है (बंद सिस्टम, F¯= 0), तो dp¯= 0, अर्थात, गति में कोई परिवर्तन नहीं होगा:

यह अभिव्यक्ति किसी पिंड के संवेग और भौतिकी में संवेग के संरक्षण के नियम के लिए सामान्य है। आइए हम दो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ध्यान दें जिनके बारे में आपको इस अभिव्यक्ति को व्यवहार में सफलतापूर्वक लागू करने के लिए जानना चाहिए:

• प्रत्येक निर्देशांक के साथ संवेग संरक्षित रहता है, अर्थात, यदि किसी घटना से पहले सिस्टम का p x का मान 2 kg*m/s था, तो इस घटना के बाद यह वही होगा।
• प्रणाली में ठोस पिंडों के टकराव की प्रकृति की परवाह किए बिना संवेग संरक्षित रहता है। ऐसे टकराव के दो आदर्श मामले हैं: बिल्कुल लोचदार और बिल्कुल प्लास्टिक प्रभाव। पहले मामले में, गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है, दूसरे में, इसका एक हिस्सा पिंडों के प्लास्टिक विरूपण पर खर्च किया जाता है, लेकिन गति अभी भी संरक्षित रहती है।

दो निकायों की लोचदार और बेलोचदार बातचीत

भौतिकी में संवेग सूत्र का उपयोग करने और इसके संरक्षण का एक विशेष मामला दो पिंडों की गति है जो एक दूसरे से टकराते हैं। आइए दो मौलिक रूप से भिन्न मामलों पर विचार करें, जिनका उल्लेख उपरोक्त पैराग्राफ में किया गया था।

यदि प्रभाव बिल्कुल लोचदार है, यानी, एक शरीर से दूसरे शरीर में गति का स्थानांतरण लोचदार विरूपण के माध्यम से किया जाता है, तो संरक्षण सूत्र पी निम्नानुसार लिखा जाएगा:

एम 1 *वी 1 + एम 2 *वी 2 = एम 1 *यू 1 + एम 2 *यू 2

यहां यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि गति के चिह्न को विचाराधीन अक्ष के साथ उसकी दिशा को ध्यान में रखते हुए प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए (विपरीत गति के अलग-अलग चिह्न होते हैं)। यह सूत्र दर्शाता है कि, सिस्टम की ज्ञात प्रारंभिक स्थिति (मान एम 1, वी 1, एम 2, वी 2) को देखते हुए, अंतिम स्थिति में (टकराव के बाद) दो अज्ञात हैं (यू 1, यू 2) . यदि आप गतिज ऊर्जा के संरक्षण के संगत नियम का उपयोग करते हैं तो आप उन्हें पा सकते हैं:

एम 1 *वी 1 2 + एम 2 *वी 2 2 = एम 1 *यू 1 2 + एम 2 *यू 2 2

यदि प्रभाव बिल्कुल बेलोचदार या प्लास्टिक है, तो टकराव के बाद दोनों शरीर एक पूरे के रूप में चलना शुरू कर देते हैं। इस मामले में, अभिव्यक्ति होती है:

एम 1 *वी 1 + एम 2 *वी 2 = (एम 1 + एम 2)*यू

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम केवल एक अज्ञात (यू) के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए यह एक समानता इसे निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

वृत्त में घूमते समय किसी पिंड का संवेग

संवेग के बारे में ऊपर जो कुछ भी कहा गया वह पिंडों की रैखिक गतियों पर लागू होता है। यदि वस्तुएँ किसी अक्ष के चारों ओर घूमती हैं तो क्या करें? इस प्रयोजन के लिए, भौतिकी में एक और अवधारणा पेश की गई है, जो रैखिक गति के समान है। इसे कोणीय संवेग कहते हैं। इसके लिए भौतिकी में सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

यहां r¯ एक सदिश है जो घूर्णन अक्ष से p¯ गति वाले एक कण की दूरी के बराबर है, जो इस अक्ष के चारों ओर गोलाकार गति करता है। मात्रा L¯ भी एक वेक्टर है, लेकिन p¯ की तुलना में इसकी गणना करना कुछ अधिक कठिन है, क्योंकि हम एक वेक्टर उत्पाद के बारे में बात कर रहे हैं।

संरक्षण कानून L¯

L¯ का सूत्र, जो ऊपर दिया गया है, इस मात्रा की परिभाषा है। व्यवहार में, वे थोड़ी भिन्न अभिव्यक्ति का उपयोग करना पसंद करते हैं। हम इसे कैसे प्राप्त करें इसके विवरण में नहीं जाएंगे (यह मुश्किल नहीं है, और हर कोई इसे अपने दम पर कर सकता है), लेकिन आइए इसे तुरंत दें:

यहां I जड़ता का क्षण है (एक भौतिक बिंदु के लिए यह m*r 2 के बराबर है), जो एक घूर्णन वस्तु के जड़त्वीय गुणों का वर्णन करता है, ω¯ कोणीय वेग है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण रैखिक गति p¯ के रूप में समान है।

यदि कोई बाहरी बल घूर्णन प्रणाली (वास्तव में, टोक़) पर कार्य नहीं करता है, तो सिस्टम के अंदर होने वाली प्रक्रियाओं की परवाह किए बिना I और ω¯ का उत्पाद संरक्षित किया जाएगा। अर्थात्, L¯ के संरक्षण कानून का रूप इस प्रकार है:

इसकी अभिव्यक्ति का एक उदाहरण फिगर स्केटिंग एथलीटों का प्रदर्शन है जब वे बर्फ पर चक्कर लगाते हैं।

एकीकृत राज्य परीक्षा कोडिफायर के विषय:किसी पिंड का संवेग, पिंडों की एक प्रणाली का संवेग, संवेग के संरक्षण का नियम।

नाड़ीकिसी पिंड की एक सदिश राशि है जो पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर होती है:

आवेग को मापने के लिए कोई विशेष इकाइयाँ नहीं हैं। संवेग का आयाम केवल द्रव्यमान के आयाम और वेग के आयाम का गुणनफल है:

संवेग की अवधारणा दिलचस्प क्यों है? पता चलता है कि इसकी मदद से आप न्यूटन के दूसरे नियम को थोड़ा अलग, बेहद उपयोगी रूप भी दे सकते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम आवेग रूप में

मान लीजिए यह किसी द्रव्यमान के पिंड पर लगाए गए बलों का परिणाम है। हम न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य संकेतन से शुरुआत करते हैं:

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि शरीर का त्वरण वेग वेक्टर के व्युत्पन्न के बराबर है, न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार फिर से लिखा गया है:

हम व्युत्पन्न चिह्न के अंतर्गत एक स्थिरांक प्रस्तुत करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आवेग का व्युत्पन्न बाईं ओर प्राप्त होता है:

. ( 1 )

संबंध (1) न्यूटन के दूसरे नियम को लिखने का एक नया रूप है।

न्यूटन का दूसरा नियम आवेग रूप में। किसी पिंड के संवेग का व्युत्पन्न शरीर पर लगाए गए बलों का परिणाम होता है।

हम यह कह सकते हैं: किसी पिंड पर लगने वाला परिणामी बल पिंड के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।

सूत्र (1) में व्युत्पन्न को अंतिम वेतन वृद्धि के अनुपात से बदला जा सकता है:

. ( 2 )

इस मामले में, समय अंतराल के दौरान शरीर पर एक औसत बल कार्य करता है। मान जितना छोटा होगा, अनुपात व्युत्पन्न के उतना करीब होगा, और किसी दिए गए समय में औसत बल उसके तात्कालिक मूल्य के उतना करीब होगा।

कार्यों में, एक नियम के रूप में, समय अंतराल काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए, यह गेंद के दीवार से टकराने का समय हो सकता है, और फिर - प्रभाव के दौरान दीवार से गेंद पर लगने वाला औसत बल।

संबंध के बायीं ओर के सदिश को (2) कहा जाता है आवेग में परिवर्तनदौरान । संवेग में परिवर्तन अंतिम और प्रारंभिक संवेग सदिशों के बीच का अंतर है। अर्थात्, यदि समय के किसी आरंभिक क्षण में वस्तु का संवेग है, एक निश्चित अवधि के बाद वस्तु का संवेग है, तो संवेग में परिवर्तन अंतर है:

आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि संवेग में परिवर्तन सदिशों के बीच का अंतर है (चित्र 1):

उदाहरण के लिए, गेंद दीवार के लंबवत उड़ती है (प्रभाव से पहले की गति बराबर होती है) और गति खोए बिना वापस उछलती है (प्रभाव के बाद की गति बराबर होती है)। इस तथ्य के बावजूद कि आवेग निरपेक्ष मूल्य () में नहीं बदला है, आवेग में परिवर्तन है:

ज्यामितीय रूप से, यह स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 2:

संवेग में परिवर्तन का मापांक, जैसा कि हम देखते हैं, गेंद के प्रारंभिक आवेग के मापांक के दोगुने के बराबर है:।

आइए हम सूत्र (2) को इस प्रकार पुनः लिखें:

, ( 3 )

या, ऊपर बताए अनुसार गति में परिवर्तन का वर्णन करते हुए:

मात्रा कहलाती है शक्ति का आवेग.बल आवेग को मापने की कोई विशेष इकाई नहीं है; बल आवेग का आयाम केवल बल और समय के आयामों का उत्पाद है:

(ध्यान दें कि यह किसी पिंड की गति के माप की एक और संभावित इकाई साबित होती है।)

समानता (3) का मौखिक सूत्रीकरण इस प्रकार है: किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन किसी निश्चित समयावधि में पिंड पर लगने वाले बल के संवेग के बराबर होता है।निस्संदेह, यह फिर से गति के रूप में न्यूटन का दूसरा नियम है।

बल गणना का उदाहरण

न्यूटन के दूसरे नियम को आवेग के रूप में लागू करने के उदाहरण के रूप में, आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

काम। g द्रव्यमान की एक गेंद, m/s की गति से क्षैतिज रूप से उड़ते हुए, एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से टकराती है और गति खोए बिना उससे उछल जाती है। गेंद का आपतन कोण (अर्थात् गेंद की गति की दिशा और दीवार के लम्ब के बीच का कोण) के बराबर होता है। झटका एस तक रहता है। औसत बल ज्ञात कीजिए,
प्रभाव के दौरान गेंद पर अभिनय करना।

समाधान।आइए सबसे पहले यह दिखाएं कि परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है, यानी गेंद दीवार से उसी कोण पर उछलेगी (चित्र 3)।

(3) के अनुसार हमारे पास है: . इससे यह पता चलता है कि संवेग का वेक्टर बदल जाता है सह-निर्देशन कियावेक्टर के साथ, यानी गेंद के पलटाव की दिशा में दीवार के लंबवत निर्देशित (चित्र 5)।

चावल। 5. कार्य के लिए

वेक्टर और
मापांक में बराबर
(चूँकि गेंद की गति नहीं बदली है)। इसलिए, सदिशों और से बना एक त्रिभुज समद्विबाहु है। इसका मतलब यह है कि सदिशों और के बीच का कोण बराबर है, यानी प्रतिबिंब का कोण वास्तव में आपतन कोण के बराबर है।

अब इसके अतिरिक्त ध्यान दें कि हमारे समद्विबाहु त्रिभुज में एक कोण होता है (यह आपतन कोण है); इसलिए, यह त्रिभुज समबाहु है। यहाँ से:

और फिर गेंद पर लगने वाला वांछित औसत बल है:

निकायों की एक प्रणाली का आवेग

आइए दो-निकाय प्रणाली की एक साधारण स्थिति से शुरुआत करें। अर्थात्, क्रमशः आवेगों के साथ शरीर 1 और शरीर 2 होने दें। इन निकायों की प्रणाली का आवेग प्रत्येक शरीर के आवेगों का सदिश योग है:

यह पता चला है कि निकायों की प्रणाली की गति के लिए फॉर्म (1) में न्यूटन के दूसरे नियम के समान एक सूत्र है। आइए इस सूत्र को निकालें.

हम उन सभी अन्य वस्तुओं को कॉल करेंगे जिनके साथ हम जिन निकायों 1 और 2 पर विचार कर रहे हैं वे परस्पर क्रिया करते हैं बाह्य निकाय.वे बल जिनके साथ बाह्य पिंड पिंड 1 और 2 पर कार्य करते हैं, कहलाते हैं बाहरी ताकतों द्वारा.मान लीजिए कि परिणामी बाह्य बल पिंड 1 पर कार्य कर रहा है। इसी प्रकार, मान लें कि परिणामी बाह्य बल पिंड 2 पर कार्य कर रहा है (चित्र 6)।

इसके अलावा, निकाय 1 और 2 एक दूसरे के साथ बातचीत कर सकते हैं। मान लीजिए कि पिंड 2, पिंड 1 पर बल से कार्य करता है। फिर पिंड 1, पिंड 2 पर बल से कार्य करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं:। बल और हैं आंतरिक बल,सिस्टम में कार्य कर रहा है।

आइए प्रत्येक पिंड 1 और 2 के लिए न्यूटन का दूसरा नियम (1) के रूप में लिखें:

, ( 4 )

. ( 5 )

आइए समानताएँ जोड़ें (4) और (5):

परिणामी समानता के बाईं ओर सदिशों के योग के व्युत्पन्न के बराबर व्युत्पन्नों का योग है। न्यूटन के तीसरे नियम के आधार पर, दाईं ओर हमारे पास है:

लेकिन - यह निकाय 1 और 2 की प्रणाली का आवेग है। आइए हम यह भी निरूपित करें - यह प्रणाली पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का परिणाम है। हम पाते हैं:

. ( 6 )

इस प्रकार, निकायों की एक प्रणाली की गति में परिवर्तन की दर प्रणाली पर लागू बाहरी बलों का परिणाम है।हम समानता (6) प्राप्त करना चाहते थे, जो निकायों की प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम की भूमिका निभाता है।

सूत्र (6) दो निकायों के मामले के लिए निकाला गया था। आइए अब हम सिस्टम में निकायों की मनमानी संख्या के मामले में अपने तर्क को सामान्यीकृत करें।

निकायों की प्रणाली का आवेगपिंड प्रणाली में शामिल सभी पिंडों के संवेग का सदिश योग है। यदि किसी प्रणाली में निकाय शामिल हैं, तो इस प्रणाली की गति बराबर है:

फिर सब कुछ बिल्कुल ऊपर बताए अनुसार ही किया जाता है (केवल तकनीकी रूप से यह थोड़ा अधिक जटिल दिखता है)। यदि प्रत्येक निकाय के लिए हम (4) और (5) के समान समानताएं लिखते हैं, और फिर इन सभी समानताओं को जोड़ते हैं, तो बाईं ओर हम फिर से सिस्टम की गति का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं, और दाईं ओर केवल शेष रहता है बाहरी बलों का योग (आंतरिक बल, जोड़े में जोड़ने पर, न्यूटन के तीसरे नियम के कारण शून्य होगा)। अत: समानता (6) सामान्य स्थिति में वैध रहेगी।

संवेग संरक्षण का नियम

शरीरों की व्यवस्था कहलाती है बंद किया हुआ,यदि किसी दिए गए सिस्टम के निकायों पर बाहरी निकायों की क्रियाएं या तो नगण्य हैं या एक दूसरे की क्षतिपूर्ति करती हैं। इस प्रकार, निकायों की एक बंद प्रणाली के मामले में, केवल इन निकायों की एक दूसरे के साथ बातचीत आवश्यक है, लेकिन किसी अन्य निकाय के साथ नहीं।

एक बंद प्रणाली पर लागू बाहरी बलों का परिणाम शून्य के बराबर है:। इस मामले में, (6) से हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन यदि किसी वेक्टर का व्युत्पन्न शून्य हो जाता है (वेक्टर के परिवर्तन की दर शून्य है), तो वेक्टर स्वयं समय के साथ नहीं बदलता है:

संवेग संरक्षण का नियम. निकायों की एक बंद प्रणाली की गति इस प्रणाली के भीतर निकायों की किसी भी बातचीत के लिए समय के साथ स्थिर रहती है।

संवेग संरक्षण के नियम पर सबसे सरल समस्याओं को मानक योजना के अनुसार हल किया जाता है, जिसे अब हम दिखाएंगे।

काम। g द्रव्यमान का एक पिंड चिकनी क्षैतिज सतह पर m/s की गति से चलता है। g द्रव्यमान का एक पिंड m/s की गति से उसकी ओर बढ़ता है। एक बिल्कुल बेलोचदार प्रभाव होता है (शरीर एक साथ चिपक जाते हैं)। टक्कर के बाद शवों की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान।स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 7. आइए अक्ष को पहले पिंड की गति की दिशा में निर्देशित करें।

चावल। 7. कार्य के लिए

क्योंकि सतह चिकनी है, कोई घर्षण नहीं है। चूँकि सतह क्षैतिज है और इसके साथ गति होती है, गुरुत्वाकर्षण बल और समर्थन की प्रतिक्रिया एक दूसरे को संतुलित करती है:

इस प्रकार, इन निकायों की प्रणाली पर लागू बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि निकायों की प्रणाली बंद है. इसलिए, संवेग संरक्षण का नियम इसके लिए संतुष्ट है:

. ( 7 )

प्रभाव से पहले प्रणाली का आवेग निकायों के आवेगों का योग है:

बेलोचदार प्रभाव के बाद, द्रव्यमान का एक पिंड प्राप्त होता है, जो वांछित गति से चलता है:

संवेग संरक्षण के नियम (7) से हमें प्राप्त होता है:

यहां से हम प्रभाव के बाद बने पिंड की गति का पता लगाते हैं:

आइए अक्ष पर प्रक्षेपणों की ओर बढ़ें:

शर्त के अनुसार हमारे पास है: एम/एस, एम/एस, तो

ऋण चिह्न दर्शाता है कि आपस में चिपके हुए पिंड अक्ष के विपरीत दिशा में गति करते हैं। आवश्यक गति: एम/एस.

संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम

समस्याओं में अक्सर निम्न स्थिति उत्पन्न होती है। निकायों की प्रणाली बंद नहीं है (सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर नहीं है), लेकिन एक ऐसी धुरी है, अक्ष पर बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य हैदिये गये समय पर। तब हम कह सकते हैं कि इस धुरी के साथ हमारे निकायों की प्रणाली बंद व्यवहार करती है, और धुरी पर सिस्टम की गति का प्रक्षेपण संरक्षित रहता है।

आइये इसे और सख्ती से दिखाते हैं. आइए समानता (6) को अक्ष पर प्रक्षेपित करें:

यदि परिणामी बाह्य शक्तियों का प्रक्षेपण लुप्त हो जाए, तो

इसलिए, प्रक्षेपण एक स्थिरांक है:

संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम. यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के योग के अक्ष पर प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का प्रक्षेपण समय के साथ नहीं बदलता है।

आइए एक विशिष्ट समस्या का उदाहरण देखें कि संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम कैसे काम करता है।

काम। एक द्रव्यमान लड़का, चिकनी बर्फ पर स्केट्स पर खड़ा होकर, क्षैतिज से एक कोण पर एक द्रव्यमान पत्थर फेंकता है। वह गति ज्ञात कीजिए जिसके साथ लड़का फेंकने के बाद वापस लुढ़कता है।

समाधान।स्थिति को चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है। 8 . लड़के को सीधा-सरल दिखाया गया है।

चावल। 8. कार्य के लिए

"लड़का + पत्थर" प्रणाली की गति संरक्षित नहीं है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि फेंकने के बाद, सिस्टम की गति का एक ऊर्ध्वाधर घटक दिखाई देता है (अर्थात्, पत्थर की गति का ऊर्ध्वाधर घटक), जो फेंकने से पहले नहीं था।

इसलिए, वह प्रणाली जो लड़के और पत्थर के रूप में बंद नहीं होती है। क्यों? तथ्य यह है कि फेंकने के दौरान बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर नहीं होता है। मूल्य योग से अधिक है, और इस अतिरिक्त के कारण, सिस्टम की गति का ऊर्ध्वाधर घटक प्रकट होता है।

हालाँकि, बाहरी ताकतें केवल लंबवत रूप से कार्य करती हैं (कोई घर्षण नहीं है)। इसलिए, क्षैतिज अक्ष पर आवेग का प्रक्षेपण संरक्षित है। थ्रो से पहले यह प्रक्षेपण शून्य था। अक्ष को थ्रो की दिशा में निर्देशित करना (ताकि लड़का नकारात्मक अर्ध-अक्ष की दिशा में चला जाए), हमें मिलता है।