किसी गुणनफल और भिन्न का वर्गमूल। "किसी उत्पाद का वर्गमूल" गुणनखंडन विषय पर प्रस्तुति

छात्र हमेशा पूछते हैं: "मैं गणित की परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग क्यों नहीं कर सकता?" बिना कैलकुलेटर के किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।

कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी संख्या का वर्गमूल कैसे निकालें?

कार्रवाई वर्गमूलचुकता करने की क्रिया के विपरीत।

√81= 9 9 2 =81

यदि आप किसी धनात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं, तो आपको वही संख्या प्राप्त होती है।

छोटी संख्याओं से जो प्राकृतिक संख्याओं के सटीक वर्ग हैं, उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, वर्गमूल मौखिक रूप से निकाले जा सकते हैं। आमतौर पर स्कूल में वे बीस तक की प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की एक तालिका पढ़ाते हैं। इस तालिका को जानने से, संख्या 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 से वर्गमूल निकालना आसान है। 400 से अधिक संख्याओं से आप कुछ युक्तियों का उपयोग करके चयन विधि का उपयोग करके उन्हें निकाल सकते हैं। आइए इस विधि को एक उदाहरण से देखने का प्रयास करें।

उदाहरण: संख्या 676 का मूल निकालें.

हमने देखा कि 20 2 = 400, और 30 2 = 900, जिसका अर्थ है 20< √676 < 900.

प्राकृतिक संख्याओं का सटीक वर्ग 0 पर समाप्त होता है; 1; 4; 5; 6; 9.
संख्या 6 4 2 और 6 2 द्वारा दी गई है।
इसका मतलब यह है कि यदि मूल 676 से लिया जाता है, तो यह 24 या 26 होता है।

यह जांचना बाकी है: 24 2 = 576, 26 2 = 676।

उत्तर: √676 = 26 .

अधिक उदाहरण: √6889 .

चूँकि 80 2 = 6400, और 90 2 = 8100, तो 80< √6889 < 90.
संख्या 9 3 2 और 7 2 द्वारा दी गई है, तो √6889 या तो 83 या 87 के बराबर है।

आइए जाँच करें: 83 2 = 6889।

उत्तर: √6889 = 83 .

यदि आपको चयन विधि का उपयोग करके हल करना मुश्किल लगता है, तो आप रेडिकल अभिव्यक्ति का कारक बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, √893025 खोजें.

आइए संख्या 893025 का गुणनखंड करें, याद रखें, आपने यह छठी कक्षा में किया था।

हमें मिलता है: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945।

अधिक उदाहरण: √20736. आइए संख्या 20736 का गुणनखंड करें:

हमें मिलता है √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

बेशक, गुणनखंडन के लिए विभाज्यता चिह्नों और गुणनखंडन कौशल के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

और अंततः, वहाँ है वर्गमूल निकालने का नियम. आइए उदाहरणों के साथ इस नियम से परिचित हों।

√279841 की गणना करें.

एक बहु-अंकीय पूर्णांक का मूल निकालने के लिए, हम इसे दाएं से बाएं ओर 2 अंकों वाले फलकों में विभाजित करते हैं (सबसे बाएं किनारे पर एक अंक हो सकता है)। हम इसे इस तरह लिखते हैं: 27'98'41

मूल (5) का पहला अंक प्राप्त करने के लिए, हम बाईं ओर के पहले फलक (27) में निहित सबसे बड़े पूर्ण वर्ग का वर्गमूल लेते हैं।
फिर मूल के पहले अंक का वर्ग (25) पहले फलक से घटा दिया जाता है और अगले फलक (98) को अंतर में जोड़ दिया जाता है (घटाया जाता है)।
परिणामी संख्या 298 के बाईं ओर, मूल का दोहरा अंक (10) लिखें, इससे पहले प्राप्त संख्या (29/2 ≈ 2) के सभी दहाई की संख्या को विभाजित करें, भागफल का परीक्षण करें (102 ∙ 2 = 204) 298) से अधिक नहीं होना चाहिए और मूल के पहले अंक के बाद (2) लिखें।
फिर परिणामी भागफल 204 को 298 में से घटा दिया जाता है और अगला किनारा (41) अंतर (94) में जोड़ दिया जाता है।
परिणामी संख्या 9441 के बाईं ओर, मूल के अंकों का दोहरा गुणनफल लिखें (52 ∙2 = 104), संख्या 9441 (944/104 ≈ 9) के सभी दहाई की संख्या को इस गुणनफल से विभाजित करें, परीक्षण करें भागफल (1049 ∙9 = 9441) 9441 होना चाहिए और इसे मूल के दूसरे अंक के बाद (9) लिखें।

हमें उत्तर मिला √279841 = 529.

इसी तरह निकालें दशमलव भिन्नों की जड़ें. केवल मूलांक संख्या को फलकों में विभाजित किया जाना चाहिए ताकि फलकों के बीच अल्पविराम हो।

उदाहरण. मान ज्ञात करें √0.00956484.

बस याद रखें कि यदि दशमलव अंश में दशमलव स्थानों की संख्या विषम है, तो उससे वर्गमूल नहीं निकाला जा सकता है।

तो अब आपने जड़ निकालने के तीन तरीके देखे हैं। वह चुनें जो आपके लिए सबसे उपयुक्त हो और अभ्यास करें। समस्याओं को हल करना सीखने के लिए, आपको उन्हें हल करना होगा। और यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें।

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

मैंने फिर से संकेत की ओर देखा... और, चलो चलें!

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

एक मिनट रुकिए। इसका मतलब है कि हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहां आपके लिए अगला है:

क्या परिणामी संख्याओं की जड़ें ठीक-ठीक नहीं निकाली गई हैं? कोई समस्या नहीं - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यदि दो नहीं, बल्कि अधिक गुणक हों तो क्या होगा? जो उसी! जड़ों को गुणा करने का सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से अपने आप पर:

उत्तर:बहुत अच्छा! सहमत हूँ, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात गुणन सारणी को जानना है!

जड़ विभाजन

हमने जड़ों के गुणन को सुलझा लिया है, अब विभाजन के गुण पर चलते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

जिसका अर्थ है कि भागफल का मूल मूल के भागफल के बराबर होता है।

खैर, आइए कुछ उदाहरण देखें:

बस इतना ही विज्ञान है. यहाँ एक उदाहरण है:

सब कुछ पहले उदाहरण की तरह उतना सहज नहीं है, लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

यदि आपको यह अभिव्यक्ति मिले तो क्या होगा:

आपको बस सूत्र को विपरीत दिशा में लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आपको यह अभिव्यक्ति भी मिल सकती है:

सब कुछ समान है, केवल यहां आपको यह याद रखना होगा कि भिन्नों का अनुवाद कैसे किया जाता है (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें और वापस आएं!)। तुम्हे याद है? अब चलो निर्णय करें!

मुझे यकीन है कि आपने हर चीज़ का सामना कर लिया है, अब आइए जड़ों को डिग्री तक ऊपर उठाने का प्रयास करें।

घातांक

यदि वर्गमूल का वर्ग किया जाए तो क्या होगा? यह सरल है, किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर होता है।

तो, यदि हम उस संख्या का वर्ग करें जिसका वर्गमूल बराबर है, तो हमें क्या मिलता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

यह आसान है, है ना? यदि जड़ भिन्न डिग्री की हो तो क्या होगा? कोई बात नहीं!

उसी तर्क का पालन करें और डिग्री के साथ गुणों और संभावित कार्यों को याद रखें।

"" विषय पर सिद्धांत पढ़ें और आपके लिए सब कुछ बेहद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन यदि यह विषम हो तो क्या होगा? फिर से, शक्तियों के गुणों को लागू करें और हर चीज़ का कारक बनाएं:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या का मूल किसी घात तक कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत सरल, है ना? यदि डिग्री दो से अधिक हो तो क्या होगा? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर उदाहरणों को स्वयं हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

जड़ के चिन्ह के नीचे प्रवेश करना

हमने जड़ों से क्या-क्या नहीं सीखा! बस मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने का अभ्यास करना बाकी है!

यह सचमुच आसान है!

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या लिखी हुई है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निःसंदेह, तीनों को मूल के नीचे छिपाएँ, याद रखें कि तीन का वर्गमूल है!

हमें इसकी ज़रूरत क्यों है? हाँ, उदाहरणों को हल करते समय हमारी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या इससे जीवन बहुत आसान हो जाता है? मेरे लिए, यह बिल्कुल सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम केवल वर्गमूल चिन्ह के नीचे धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं।

इस उदाहरण को स्वयं हल करें -
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत अच्छा! आप मूल चिन्ह के नीचे संख्या दर्ज करने में कामयाब रहे! आइए समान रूप से महत्वपूर्ण बात पर आगे बढ़ें - आइए देखें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

जड़ों की तुलना

हमें उन संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए जिनमें वर्गमूल होता है?

बहुत सरल। अक्सर, परीक्षा में सामने आने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (याद रखें कि यह क्या है? हम आज इस बारे में पहले ही बात कर चुके हैं!)

हमें प्राप्त उत्तरों को समन्वय रेखा पर रखना होगा, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण को हल करने के लिए कौन सा अंतराल उपयुक्त है। और यहाँ समस्या उत्पन्न होती है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना, आप कैसे कल्पना कर सकते हैं कि कौन सी संख्या अधिक है और कौन सी कम है? इतना ही!

उदाहरण के लिए, निर्धारित करें कि कौन बड़ा है: या?

आप तुरंत नहीं बता सकते. ठीक है, आइए मूल चिन्ह के नीचे किसी संख्या को दर्ज करने की विघटित संपत्ति का उपयोग करें?

तो आगे बढ़ो:

खैर, जाहिर है, मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा!

वे। तो अगर, ।

इससे हम दृढ़तापूर्वक यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई भी हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले, हमने मूल के चिह्न के नीचे एक गुणक दर्ज किया था, लेकिन इसे कैसे हटाया जाए? आपको बस इसे कारकों में शामिल करना होगा और जो आप निकालते हैं उसे निकालना होगा!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विस्तार करना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, अपनी इच्छानुसार निर्णय लें।

इस तरह की गैर-मानक समस्याओं को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

आइए डरें नहीं, बल्कि कार्य करें! आइए प्रत्येक कारक को मूल के अंतर्गत अलग-अलग कारकों में विघटित करें:

अब इसे स्वयं आज़माएँ (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? आइए आधे रास्ते में न रुकें!

बस इतना ही, यह इतना डरावना नहीं है, है ना?

घटित? शाबाश, यह सही है!

अब इस उदाहरण को आज़माएँ:

लेकिन उदाहरण को समझ पाना कठिन है, इसलिए आप तुरंत समझ नहीं सकते कि इसे कैसे अपनाया जाए। लेकिन, निःसंदेह, हम इसे संभाल सकते हैं।

अच्छा, चलो फैक्टरिंग शुरू करें? आइए तुरंत ध्यान दें कि आप किसी संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेतों को याद रखें):

अब, इसे स्वयं आज़माएँ (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम कर गया? शाबाश, यह सही है!

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. किसी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. यदि हम किसी चीज़ का केवल वर्गमूल निकालते हैं, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल के गुण:
4. वर्गमूलों की तुलना करते समय यह याद रखना आवश्यक है कि मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा।

वर्गमूल कैसा है? सब साफ?

हमने आपको बिना किसी झंझट के वह सब कुछ समझाने की कोशिश की जो आपको परीक्षा में वर्गमूल के बारे में जानने की जरूरत है।

यह आपकी बारी है। यह विषय आपके लिए कठिन है या नहीं, हमें लिखें।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही स्पष्ट था?

टिप्पणियों में लिखें और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

मूल सूत्र. वर्गमूलों के गुण.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या है। यह पता लगाने का समय आ गया है कि कौन से अस्तित्व में हैं जड़ों के लिए सूत्रक्या हैं जड़ों के गुण, और इस सबके साथ क्या किया जा सकता है।

जड़ों के सूत्र, जड़ों के गुण और जड़ों के साथ काम करने के नियम- यह मूलतः वही बात है. वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से बहुत कम सूत्र हैं। जो निश्चित रूप से मुझे खुश करता है! या यूँ कहें कि, आप कई अलग-अलग सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए, केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन तीनों से प्रवाहित होता है। हालाँकि बहुत से लोग तीन मूल सूत्रों में भ्रमित हो जाते हैं, हाँ...

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

कैलकुलेटर से पहले, छात्र और शिक्षक हाथ से वर्गमूल की गणना करते थे। किसी संख्या का वर्गमूल मैन्युअल रूप से निकालने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रस्तुत करते हैं, अन्य सटीक उत्तर देते हैं।

कदम

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

मूलांक को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं।मूलांक के आधार पर आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे पूरा वर्गमूल निकाला जा सकता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, चूँकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, चूँकि √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड गुणनखंड हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूलांक को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 के वर्गमूल की गणना करें (हाथ से)। सबसे पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, अर्थात 25 से विभाज्य - यह एक वर्ग संख्या है। 400 को 25 से विभाजित करने पर 16 प्राप्त होता है। संख्या 16 भी एक वर्ग संख्या है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400।
• इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: √400 = √(25 x 16).

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात √(a x b) = √a x √b। प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेने के लिए इस नियम का उपयोग करें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का मूल लें।
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूल संख्या दो वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित नहीं होती है (और ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है), तो आप पूर्ण संख्या के रूप में सटीक उत्तर नहीं ढूंढ पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक ऐसी संख्या जिससे संपूर्ण वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेंगे और उभयनिष्ठ गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3। समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो तो जड़ के मूल्य का अनुमान लगाएं।अब आप मूलांक के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों ओर) वर्ग संख्याओं के मूलों के मानों से तुलना करके मूल के मान का अनुमान (अनुमानित मान ज्ञात करें) लगा सकते हैं। आपको मूल मान दशमलव अंश के रूप में प्राप्त होगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस लौटें। मूलांक संख्या 3 है। इसके निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) होंगी। इस प्रकार, √3 का मान 1 और 2 के बीच स्थित है। चूँकि √3 का मान संभवतः 1 की तुलना में 2 के करीब है, हमारा अनुमान है: √3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिन्ह की संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 = 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणित करते हैं, तो आपको 12.13 मिलेगा, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्याओं के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, √35 पर विचार करें। मूलांक संख्या 35 है। इसके निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) होंगी। इस प्रकार, √35 का मान 5 और 6 के बीच स्थित है। चूँकि √35 का मान 5 की तुलना में 6 के बहुत करीब है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), तो हम कह सकते हैं कि √35, 5 से थोड़ा कम है 6. कैलकुलेटर पर जांच करने पर हमें उत्तर 5.92 मिलता है - हम सही थे।

4. एक और तरीका - मूलांक को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें . अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। एक श्रृंखला में अभाज्य गुणनखंड लिखें और समान गुणनखंडों के जोड़े खोजें। ऐसे कारकों को मूल चिन्ह से बाहर किया जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं: 45 = 9 x 5, और 9 = 3 x 3. इस प्रकार, √45 = √(3 x 3 x 5)। मूल चिह्न से 3 निकाला जा सकता है: √45 = 3√5. अब हम √5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • आइए एक और उदाहरण देखें: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). आपको 2 के तीन गुणक प्राप्त हुए; उनमें से कुछ लें और उन्हें मूल चिह्न से आगे ले जाएं।
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. अब आप √2 और √11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और एक अनुमानित उत्तर पा सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना करना

   दीर्घ विभाजन का उपयोग करना

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और एक सटीक उत्तर प्रदान करती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करते हुए एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें, और फिर दाईं ओर और शीट के शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे, ऊर्ध्वाधर रेखा पर एक क्षैतिज रेखा खींचें। अब मूल संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से प्रारंभ करते हुए संख्याओं के युग्मों में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा गया है।

      • उदाहरण के लिए, आइए संख्या 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचें (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और दी गई संख्या को ऊपर बाईं ओर "7 80, 14" के रूप में लिखें। यह सामान्य है कि बायीं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। आप उत्तर (इस संख्या का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखेंगे।

   2. बाईं ओर से संख्याओं की पहली जोड़ी (या एकल संख्या) के लिए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ढूंढें जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं की जोड़ी (या एकल संख्या) से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ढूंढें जो बायीं ओर से संख्याओं के पहले जोड़े (या एकल संख्या) के निकटतम, लेकिन उससे छोटी हो, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल लें; आपको नंबर मिलेगा n. आपको ऊपर दाईं ओर जो n मिला है उसे लिखें और नीचे दाईं ओर n का वर्ग लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. बाईं ओर संख्याओं के पहले जोड़े (या एकल संख्या) से आपको अभी मिली संख्या n का वर्ग घटाएँ।गणना के परिणाम को उपवर्ग (संख्या n का वर्ग) के अंतर्गत लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाएँ और 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं का दूसरा जोड़ा निकालें और इसे पिछले चरण में प्राप्त मान के आगे लिखें।फिर ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करें और परिणाम को नीचे दाईं ओर "_×_=" जोड़कर लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं का दूसरा जोड़ा "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करने पर 4 मिलता है। नीचे दाईं ओर "4_×_=" लिखें।

   5. दाहिनी ओर रिक्त स्थान भरें।

      • हमारे मामले में, यदि हम डैश के स्थान पर संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 = 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 चलेगा। डैश के स्थान पर 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 = 329। ऊपर दाईं ओर 7 लिखें - यह संख्या 780.14 के वांछित वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर की वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को बाईं ओर वर्तमान संख्या के नीचे लिखें, अंतर ढूंढें और इसे सबट्रेंड के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 380 में से 329 घटाएँ, जो 51 के बराबर है।

   7. चरण 4 दोहराएँ.यदि स्थानांतरित की जा रही संख्याओं की जोड़ी मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो शीर्ष दाईं ओर आवश्यक वर्गमूल में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के बीच एक विभाजक (अल्पविराम) लगाएं। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे लाएँ। ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर "_×_=" जोड़कर परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, हटाई जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपरी दाएँ भाग में वांछित वर्गमूल में रखें। 14 को नीचे ले जाएं और नीचे बाईं ओर लिखें। ऊपर दाईं ओर (27) की दोगुनी संख्या 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_×_=" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएँ.दाईं ओर डैश के स्थान पर सबसे बड़ी संख्या ढूंढें (डैश के बजाय आपको उसी संख्या को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन का परिणाम बाईं ओर की वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर की वर्तमान संख्या से गुणा के परिणाम को घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए अधिक दशमलव स्थान खोजने की आवश्यकता है, तो वर्तमान संख्या के बाईं ओर कुछ शून्य लिखें और चरण 4, 5, और 6 दोहराएं। चरणों को तब तक दोहराएं जब तक आपको उत्तर सटीकता (दशमलव स्थानों की संख्या) न मिल जाए। ज़रूरत।

   प्रक्रिया को समझना

   इस विधि में महारत हासिल करने के लिए, उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल आपको वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में ज्ञात करना है। इस मामले में, आप ऐसे वर्ग की भुजा L की लंबाई की तलाश करेंगे। हम L के मान की गणना इस प्रकार करते हैं कि L² = S.

   उत्तर में प्रत्येक संख्या के लिए एक अक्षर दें।आइए हम L (वांछित वर्गमूल) के मान में पहला अंक A से निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा और इसी तरह।

   पहले अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें।आइए हम S के मान में अंकों की पहली जोड़ी को S से निरूपित करें, अंकों की दूसरी जोड़ी को S से निरूपित करें, इत्यादि।

   इस विधि और दीर्घ विभाजन के बीच संबंध को समझें।विभाजन की तरह, जहां हम केवल उस संख्या के अगले अंक में रुचि रखते हैं जिसे हम हर बार विभाजित कर रहे हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अनुक्रम में अंकों की एक जोड़ी के माध्यम से काम करते हैं (वर्गमूल मान में अगला एक अंक प्राप्त करने के लिए) ).

   1. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंकों की पहली जोड़ी Sa पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस मामले में, वांछित वर्गमूल मान का पहला अंक A वह अंक होगा जिसका वर्ग S a से कम या उसके बराबर है (अर्थात, हम A की तलाश कर रहे हैं जैसे कि असमानता A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • मान लीजिए कि हमें 88962 को 7 से विभाजित करना है; यहां पहला चरण समान होगा: हम विभाज्य संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर मान मिलता है। एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

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पाठ मकसद:

अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा की समीक्षा करें। किसी उत्पाद के वर्गमूल पर प्रमेय का परिचय दें और सिद्ध करें। खोजना सीखें. स्वतंत्र कार्य के माध्यम से ज्ञान और कौशल का परीक्षण करें।

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उत्पाद का वर्गमूल

पाठ योजना: ज्ञान को अद्यतन करना। नई सामग्री सीखना. उदाहरण सहित सूत्र निश्चित करना। स्वतंत्र काम। संक्षेपण। होमवर्क असाइनमेंट।

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हैलो दोस्तों!

आइए दोहराएँ: 2. संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल क्या कहलाता है 3. अभिव्यक्ति किस मूल्य पर समझ में आती है? 1. अभिव्यक्ति का नाम क्या है?

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खोजो:

1) 2) 3) 7 या या 7

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आज हम अंकगणितीय वर्गमूल के एक गुण से परिचित होंगे। आइए हम किसी उत्पाद के वर्गमूल के बारे में प्रमेय का परिचय दें और उसे सिद्ध करें, और इसके अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें। फिर आपको आत्म-परीक्षण के लिए कार्यों की पेशकश की जाएगी। आपको कामयाबी मिले!

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आइए सुलझाने का प्रयास करें

अंकगणितीय मूल पर विचार करें, अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें: तो, इसलिए, दो संख्याओं के गुणनफल का मूल इन संख्याओं के मूल के गुणनफल के बराबर है।

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गैर-नकारात्मक कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है। यदि तब प्रमेय

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उत्पाद का वर्गमूल

प्रमाण: इसका मतलब है कि उनका कोई मतलब है। 4. निष्कर्ष: (चूंकि दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल गैर-ऋणात्मक होता है) 5. इसलिए,

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हमने किसी उत्पाद का वर्गमूल निकालने के बारे में प्रमेय के प्रमाण को देखा। आइए व्यावहारिक कार्य की ओर आगे बढ़ें। अब मैं आपको दिखाऊंगा कि उदाहरणों को हल करने के लिए इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है। मेरे साथ निर्णय लें.

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उत्पाद मूल प्रमेय का उपयोग करके वर्गमूल के मान की गणना करें: उदाहरणों को हल करना:

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आइए उदाहरण हल करें:

2. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

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त्वरित गिनती

और मैंने यह पता लगा लिया कि त्वरित गणना के लिए इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाए। देखें और जानें।

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विकल्प 1 विकल्प 2 मैं आपके अपने समाधान के लिए उदाहरण प्रस्तुत करता हूँ।