काटने के लिए कौन से खंड खींचे जा सकते हैं. गणित में ओलंपियाड, तार्किक और मनोरंजक समस्याएं

, प्रतियोगिता "पाठ के लिए प्रस्तुति"

पाठ के लिए प्रस्तुति

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस कार्य में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

अनुभव से पता चलता है कि व्यावहारिक शिक्षण विधियों का उपयोग करते समय, छात्रों में ज्यामितीय आकृतियों से परिचित होने पर आवश्यक और गैर-आवश्यक विशेषताओं की सही पहचान करने के लिए आवश्यक कई मानसिक तकनीकों का निर्माण संभव है। गणितीय अंतर्ज्ञान, तार्किक और अमूर्त सोच विकसित होती है, गणितीय भाषण की संस्कृति बनती है, गणितीय और डिजाइन क्षमताएं विकसित होती हैं, संज्ञानात्मक गतिविधि बढ़ती है, संज्ञानात्मक रुचि बनती है, बौद्धिक और रचनात्मक क्षमता विकसित होती है। लेख ज्यामितीय काटने पर कई व्यावहारिक कार्य प्रदान करता है इन भागों को संयोजित करने के लिए आकृतियों को टुकड़ों में बाँटकर एक नई आकृति बनाई जाती है। छात्र समूहों में असाइनमेंट पर काम करते हैं। फिर प्रत्येक समूह अपनी परियोजना का बचाव करता है।

दो आकृतियों को समान रूप से रचित कहा जाता है, यदि उनमें से एक को एक निश्चित तरीके से सीमित संख्या में भागों में काटकर, उनसे दूसरी आकृति बनाना संभव हो (इन भागों को अलग-अलग तरीके से व्यवस्थित करके)। तो, विभाजन विधि इस तथ्य पर आधारित है कि कोई भी दो समान रूप से बने बहुभुज आकार में समान होते हैं। विपरीत प्रश्न उठना स्वाभाविक है: क्या समान क्षेत्रफल वाले किन्हीं दो बहुभुजों का आकार बराबर होता है? इस प्रश्न का उत्तर हंगेरियन गणितज्ञ फ़ार्कस बोल्याई (1832) और जर्मन अधिकारी और गणित उत्साही गेरविन (1833) द्वारा (लगभग एक साथ) दिया गया था: समान क्षेत्रफल वाले दो बहुभुज समान आनुपातिक होते हैं।

बोल्याई-गेरविन प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बहुभुज को टुकड़ों में काटा जा सकता है ताकि टुकड़ों को एक वर्ग में बनाया जा सके।

अभ्यास 1।

आयत को काटें एएक्स 2एटुकड़ों में बाँट लें ताकि उन्हें एक चौकोर आकार दिया जा सके।

हमने आयत ABCD को रेखाओं MD और MC के अनुदिश तीन भागों में काटा (M, AB का मध्य है)

चित्र 1

हम त्रिभुज AMD को इस प्रकार घुमाते हैं कि शीर्ष M, शीर्ष C के साथ संपाती हो, पैर AM खंड DC की ओर चला जाए। हम त्रिभुज एमवीएस को बाईं ओर और नीचे की ओर ले जाते हैं ताकि पैर एमवी खंड डीसी के आधे हिस्से को ओवरलैप कर सके। (चित्र 1)

कार्य 2.

समबाहु त्रिभुज को टुकड़ों में काटें ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके।

आइए हम इस नियमित त्रिभुज ABC को निरूपित करें। त्रिभुज ABC को बहुभुजों में काटना आवश्यक है ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके। फिर इन बहुभुजों में कम से कम एक समकोण अवश्य होना चाहिए।

मान लीजिए K, CB का मध्यबिंदु है, T, AB का मध्यबिंदु है, AC की ओर बिंदु M और E चुनें ताकि ME=AT=TV=BK=SC= ए, एएम=ईसी= ए/2.

चित्र 2

आइए हम खंड एमके और उसके लंबवत खंड ईपी और टीएन बनाएं। आइए त्रिभुज को निर्मित रेखाओं के साथ टुकड़ों में काटें। हम चतुर्भुज KRES को शीर्ष K के सापेक्ष दक्षिणावर्त घुमाते हैं ताकि SC खंड KV के साथ संरेखित हो जाए। आइए चतुर्भुज AMNT को शीर्ष T के सापेक्ष दक्षिणावर्त घुमाएँ ताकि AT टीवी के साथ संरेखित हो जाए। आइए त्रिभुज एमईपी को घुमाएँ ताकि परिणाम एक वर्ग हो। (चित्र 2)

कार्य 3.

चौकोर को टुकड़ों में काटें ताकि उनसे दो चौकोर मोड़े जा सकें।

आइए मूल वर्ग ABCD को निरूपित करें। आइए वर्ग की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को चिह्नित करें - बिंदु एम, एन, के, एच। आइए क्रमशः खंड एमटी, एचई, केएफ और एनपी - खंड एमसी, एचबी, केए और एनडी के हिस्से बनाएं।

वर्ग ABCD को खींची गई रेखाओं के अनुदिश काटने पर, हमें वर्ग PTEF और चार चतुर्भुज MDHT, HCKE, KBNF और NAMP प्राप्त होते हैं।

चित्र तीन

पीटीईएफ एक तैयार वर्ग है। शेष चतुर्भुजों से हम दूसरा वर्ग बनाएंगे। शीर्ष A, B, C और D एक बिंदु पर संगत हैं, खंड AM और BC, MD और KS, BN और CH, DH और AN संगत हैं। बिंदु P, T, E और F नए वर्ग के शीर्ष बन जाएंगे। (चित्र तीन)

कार्य 4.

मोटे कागज से एक समबाहु त्रिभुज और एक वर्ग काटा जाता है। इन आकृतियों को बहुभुजों में काटें ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके, और हिस्सों को इसे पूरी तरह से भरना चाहिए और एक दूसरे को नहीं काटना चाहिए।

त्रिभुज को टुकड़ों में काटें और उनमें से एक वर्ग बनाएं जैसा कि कार्य 2 में दिखाया गया है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई – 2ए. अब आपको वर्ग को बहुभुजों में विभाजित करना चाहिए ताकि इन भागों और त्रिभुज से निकले वर्ग से आप एक नया वर्ग बना सकें। 2 भुजा वाला एक वर्ग लें ए, आइए इसे LRSD निरूपित करें। आइए हम परस्पर लंबवत खंड UG और VF बनाएं ताकि DU=SF=RG=LV। आइए वर्ग को चतुर्भुजों में काटें।

चित्र 4

आइए एक त्रिभुज के भागों से बना एक वर्ग लें। आइए चतुर्भुज - वर्ग के भाग बनाएं, जैसा चित्र 4 में दिखाया गया है।

कार्य 5.

क्रॉस पांच वर्गों से बना है: एक वर्ग केंद्र में, और अन्य चार इसके किनारों से सटे हुए हैं। इसे टुकड़ों में काट लें ताकि आप इनका एक चौकोर आकार बना सकें।

आइए वर्गों के शीर्षों को जोड़ें जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। "बाहरी" त्रिकोणों को काटें और उन्हें एबीसी वर्ग के अंदर खाली स्थानों पर ले जाएं।

चित्र 5

कार्य 6.

दो मनमाने वर्गों को फिर से एक में बनाएँ।

चित्र 6 दिखाता है कि चौकोर टुकड़ों को कैसे काटें और स्थानांतरित करें।

एक बिंदु एक अमूर्त वस्तु है जिसमें मापने की कोई विशेषता नहीं होती: कोई ऊंचाई नहीं, कोई लंबाई नहीं, कोई त्रिज्या नहीं। कार्य के दायरे में केवल उसका स्थान ही महत्वपूर्ण है

बिंदु को किसी संख्या या बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है। कई बिंदु - अलग-अलग संख्याओं या अलग-अलग अक्षरों के साथ ताकि उन्हें अलग किया जा सके

बिंदु A, बिंदु B, बिंदु C

बिंदु 1, बिंदु 2, बिंदु 3

आप कागज के एक टुकड़े पर तीन बिंदु "ए" बना सकते हैं और बच्चे को दो बिंदुओं "ए" के माध्यम से एक रेखा खींचने के लिए आमंत्रित कर सकते हैं। लेकिन किनके माध्यम से कैसे समझें? ए ए ए

एक रेखा बिंदुओं का एक समूह है। केवल लंबाई मापी जाती है। इसकी कोई चौड़ाई या मोटाई नहीं है

लोअरकेस (छोटे) लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है

लाइन ए, लाइन बी, लाइन सी

लाइन हो सकती है

1. बंद है यदि इसकी शुरुआत और अंत एक ही बिंदु पर हैं,
2. यदि इसकी शुरुआत और अंत जुड़े नहीं हैं तो खोलें

बंद लाइनें

खुली पंक्तियाँ

1. स्वयं का प्रतिच्छेदन
2. आत्म-अंतर्विरोधों के बिना

स्व-प्रतिच्छेदी रेखाएँ

स्व-प्रतिच्छेदन के बिना पंक्तियाँ

1. सीधा
2. टूटा हुआ
3. टेढ़ा

सीधे पंक्तियां

टूटी हुई लाइनें

घुमावदार रेखाएँ

सीधी रेखा वह रेखा होती है जो घुमावदार नहीं होती, जिसका न तो आरंभ होता है और न ही अंत, इसे दोनों दिशाओं में अनंत काल तक जारी रखा जा सकता है

यहां तक ​​कि जब एक सीधी रेखा का एक छोटा सा खंड दिखाई देता है, तो यह माना जाता है कि यह दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहता है

एक छोटे (छोटे) लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। या दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर - एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदु

सीधी रेखा ए

सीधी रेखा एबी

प्रत्यक्ष हो सकता है

1. यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो तो प्रतिच्छेद करना। दो रेखाएं केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं।
   • लंबवत यदि वे समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. समानांतर, यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

समानांतर रेखाएं

प्रतिच्छेदी रेखाएँ

लम्बवत रेखायें

किरण एक सीधी रेखा का एक भाग है जिसकी शुरुआत तो होती है लेकिन कोई अंत नहीं; इसे केवल एक ही दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है

चित्र में प्रकाश की किरण का प्रारंभिक बिंदु सूर्य है।

सूरज

एक बिंदु एक सीधी रेखा को दो भागों में विभाजित करता है - दो किरणें ए ए

बीम को लोअरकेस (छोटा) लैटिन अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। या दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षर, जहां पहला वह बिंदु है जहां से किरण शुरू होती है, और दूसरा वह बिंदु है जो किरण पर पड़ता है

रे ए

किरण एबी

किरणें संयोग करती हैं यदि

1. एक ही सीधी रेखा पर स्थित है
2. एक बिंदु से प्रारंभ करें
3. एक दिशा में निर्देशित

किरणें AB और AC संपाती हैं

किरणें सीबी और सीए संपाती हैं

एक खंड एक रेखा का एक भाग है जो दो बिंदुओं द्वारा सीमित होता है, अर्थात इसमें शुरुआत और अंत दोनों होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई मापी जा सकती है। किसी खंड की लंबाई उसके आरंभ और अंत बिंदु के बीच की दूरी है

एक बिंदु से होकर आप सीधी रेखाओं सहित कितनी भी रेखाएँ खींच सकते हैं

दो बिंदुओं से होकर - असीमित संख्या में वक्र, लेकिन केवल एक सीधी रेखा

दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली घुमावदार रेखाएँ

सीधी रेखा एबी

एक टुकड़ा सीधी रेखा से "काट" गया और एक खंड रह गया। उपरोक्त उदाहरण से आप देख सकते हैं कि इसकी लंबाई दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है। ✂ बी ए ✂

एक खंड को दो बड़े (बड़े) लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहला वह बिंदु है जिस पर खंड शुरू होता है, और दूसरा वह बिंदु है जहां खंड समाप्त होता है

खंड एबी

समस्या: रेखा, किरण, खंड, वक्र कहाँ है?

टूटी हुई रेखा एक ऐसी रेखा होती है जिसमें लगातार जुड़े हुए खंड 180° के कोण पर नहीं होते हैं

एक लंबा खंड कई छोटे खंडों में "टूटा" गया था

एक टूटी हुई रेखा की कड़ियाँ (श्रृंखला की कड़ियों के समान) वे खंड हैं जो टूटी हुई रेखा बनाते हैं। निकटवर्ती लिंक वे लिंक होते हैं जिनमें एक लिंक का अंत दूसरे लिंक की शुरुआत होती है। आसन्न कड़ियाँ एक ही सीधी रेखा पर नहीं होनी चाहिए।

एक टूटी हुई रेखा के शीर्ष (पहाड़ों की चोटियों के समान) वह बिंदु होते हैं जहां से टूटी हुई रेखा शुरू होती है, वह बिंदु जहां पर टूटी हुई रेखा बनाने वाले खंड जुड़े होते हैं, और वह बिंदु जहां पर टूटी हुई रेखा समाप्त होती है।

एक टूटी हुई रेखा को उसके सभी शीर्षों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जाता है।

टूटी हुई लाइन एबीसीडीई

पॉलीलाइन ए का शीर्ष, पॉलीलाइन बी का शीर्ष, पॉलीलाइन सी का शीर्ष, पॉलीलाइन डी का शीर्ष, पॉलीलाइन ई का शीर्ष

टूटी कड़ी एबी, टूटी कड़ी बीसी, टूटी कड़ी सीडी, टूटी कड़ी डीई

लिंक AB और लिंक BC आसन्न हैं

लिंक BC और लिंक CD आसन्न हैं

लिंक CD और लिंक DE आसन्न हैं

एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसकी कड़ियों की लंबाई के योग के बराबर होती है: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

काम: कौन सी टूटी हुई रेखा अधिक लंबी है, ए जिसके शीर्ष अधिक हों? पहली पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 13 सेमी। दूसरी पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 49 सेमी। तीसरी पंक्ति में सभी लिंक समान लंबाई के हैं, अर्थात 41 सेमी।

बहुभुज एक बंद बहुभुज रेखा है

बहुभुज के किनारे (अभिव्यक्ति आपको याद रखने में मदद करेंगे: "चारों दिशाओं में जाओ", "घर की ओर भागो", "आप टेबल के किस तरफ बैठेंगे?") एक टूटी हुई रेखा की कड़ियाँ हैं। बहुभुज की आसन्न भुजाएँ एक टूटी हुई रेखा की आसन्न कड़ियाँ होती हैं।

बहुभुज के शीर्ष एक टूटी हुई रेखा के शीर्ष होते हैं। आसन्न शीर्ष बहुभुज की एक भुजा के अंतिम बिंदु हैं।

एक बहुभुज को उसके सभी शीर्षों को सूचीबद्ध करके दर्शाया जाता है।

स्व-प्रतिच्छेदन के बिना बंद पॉलीलाइन, एबीसीडीईएफ

बहुभुज एबीसीडीईएफ

बहुभुज शीर्ष A, बहुभुज शीर्ष B, बहुभुज शीर्ष C, बहुभुज शीर्ष D, बहुभुज शीर्ष E, बहुभुज शीर्ष F

शीर्ष A और शीर्ष B आसन्न हैं

शीर्ष B और शीर्ष C आसन्न हैं

शीर्ष C और शीर्ष D आसन्न हैं

शीर्ष D और शीर्ष E आसन्न हैं

शीर्ष E और शीर्ष F आसन्न हैं

शीर्ष F और शीर्ष A आसन्न हैं

बहुभुज भुजा AB, बहुभुज भुजा BC, बहुभुज भुजा CD, बहुभुज भुजा DE, बहुभुज भुजा EF

भुजा AB और भुजा BC आसन्न हैं

भुजा BC और भुजा CD आसन्न हैं

CD भुजा और DE भुजा आसन्न हैं

भुजा DE और भुजा EF आसन्न हैं

भुजा EF और भुजा FA आसन्न हैं

बहुभुज की परिधि टूटी हुई रेखा की लंबाई है: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

तीन शीर्षों वाले बहुभुज को त्रिभुज कहा जाता है, चार शीर्षों वाले को चतुर्भुज, पाँच शीर्षों वाले को पंचभुज आदि कहा जाता है।

"कटिंग समस्याओं का समाधान" विषय पर वैकल्पिक कक्षाओं की एक श्रृंखला

व्याख्यात्मक नोट

बुनियादी लक्ष्यहमने वैकल्पिक कक्षाओं में जो रखा है वह इस प्रकार है:

बहुभुज काटने के प्रकारों के बारे में सामग्री प्रस्तुत करें;

छात्रों में मानसिक रूप से ऐसे परिवर्तन करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा देना:

• समानांतर स्थानांतरण,

  मोड़,

  केंद्रीय समरूपता और इन परिवर्तनों की विभिन्न रचनाएँ।

और सभी वर्गों का मुख्य लक्ष्य:स्थानिक सोच क्षमताओं में सकारात्मक परिवर्तन प्राप्त करें।

वैकल्पिक कक्षाओं में दिए जाने वाले कार्य रचनात्मक प्रकृति के होते हैं, उनके समाधान के लिए छात्रों से यह आवश्यक है: कौशल:

मानसिक परिवर्तन करने की क्षमता जो छात्रों के दिमाग में मौजूद छवियों के स्थान, उनकी संरचना, संरचना को संशोधित करती है;

छवि को स्थान और संरचना दोनों में एक साथ बदलने और व्यक्तिगत संचालन की रचनाओं को बार-बार निष्पादित करने की क्षमता।

विषयगत योजना:

1. प्रश्नावली क्रमांक 1 - 1 घंटा।

2. काटने की समस्या। टाइप आर कटिंग - 1 घंटा।

3. टाइप पी कटिंग - 1 घंटा।

4. क्यू टाइप कटिंग - 1 घंटा।

5. टाइप एस कटिंग - 1 घंटा।

6. टी-टाइप कटिंग - 1 घंटा।

7. प्रश्नावली क्रमांक 2 - 1 घंटा।

वैकल्पिक कक्षाओं की एक श्रृंखला संकलित करते समय, "क्वांट", "स्कूल में गणित" पत्रिकाओं और जी. लिंडग्रेन की पुस्तक की समस्याओं का उपयोग किया गया था।

दिशानिर्देश:छात्रों को समस्याओं से परिचित कराते समय, हम इन समस्याओं पर जी. लिंडग्रेन द्वारा प्रस्तावित कटिंग के प्रकारों के अनुसार सटीक रूप से विचार करने की सलाह देते हैं, जो एक ओर, इन समस्याओं को वर्गीकृत करने की अनुमति देता है, दूसरी ओर, कक्षा में स्थानिक समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। जटिलता के विभिन्न स्तरों के परिवर्तन (आई.एस. याकिमांस्काया के अनुसार, छवियों के साथ काम करने वाले दूसरे और तीसरे प्रकार)। हम ग्रेड 7-9 के छात्रों के साथ काम करते समय वैकल्पिक कक्षाओं के कार्यों का उपयोग करने की सलाह देते हैं।

पाठ संख्या 1

विषय: समस्या निवारण। टाइप आर कटिंग (तर्कसंगत कटिंग)।

लक्ष्य:छात्रों को कटिंग समस्या की अवधारणा से परिचित कराने के लिए, टाइप आर कटिंग का सार समझाएं, इस प्रकार की कटिंग के लिए समस्याओं के समाधान का विश्लेषण करें, समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, मानसिक रूप से संचालन (काटने) करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा दें। जोड़ना, पुनः काटना, मोड़ना, समानांतर स्थानांतरण), जिससे स्थानिक सोच के विकास को बढ़ावा मिलता है।

उपकरण:कागज, रंगीन पेस्ट, कैंची, पोस्टर।

तरीका:व्याख्यात्मक - उदाहरणात्मक।

अध्यापक:बोर्ड पर पोस्टर:

योजना: समस्याओं में कटौती

काटने की समस्या

1) आकृति को कई आकृतियों में काटें

3) एक या अधिक आकृतियों को दूसरे आकार में पुनः आकार दें

2) दी गई आकृतियों में से एक आकृति को मोड़ें

सभी काटने की समस्याओं में से, उनमें से अधिकतर तर्कसंगत काटने की समस्याएं हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे कट बनाना आसान है और उन पर आधारित पहेलियाँ न तो बहुत सरल हैं और न ही बहुत जटिल हैं।

आर-कटिंग में समस्या

1) आकृति को कई (अधिकतर बराबर) आकृतियों में काटें

3) एक या अधिक आकृतियों को दिए गए आकार में पुनः आकार दें

2) दिए गए (अधिकतर बराबर) आंकड़ों में से एक आंकड़ा जोड़ें

3.1. स्टेप कटिंग का उपयोग करना

3.2. स्टेप कटिंग का उपयोग किए बिना

आइए प्रत्येक प्रकार की कटिंग आर की समस्याओं के समाधान से परिचित हों।

चरण II: समस्या समाधान चरण

तरीके:आंशिक खोज

कार्य क्रमांक 1(एआईआई) : चार वर्गों की भुजा वाले एक वर्ग को दो बराबर भागों में काटें। जितना संभव हो सके काटने के कई तरीके खोजें।

ध्यान दें: आप केवल कोशिकाओं के किनारों पर ही काट सकते हैं।

समाधान:

छात्र अपनी नोटबुक में ऐसे कट की खोज करते हैं, फिर शिक्षक छात्रों द्वारा पाए गए सभी काटने के तरीकों का सारांश देते हैं।

समस्या क्रमांक 2(एआईआई) : इन आकृतियों को दो बराबर भागों में काट लें।

ध्यान दें: आप न केवल कोशिकाओं के किनारों के साथ, बल्कि तिरछे भी काट सकते हैं।

छात्र शिक्षक की मदद से अपनी नोटबुक में ऐसे कट ढूंढते हैं।

इस वर्ग में कई अद्भुत संपत्तियां हैं। समकोण, समान भुजाएँ, समरूपता इसे सरलता और रूप की पूर्णता प्रदान करते हैं। एक ही और अलग-अलग आकार के भागों से बने वर्गों को मोड़ने पर कई पहेलियाँ हैं।

को उदाहरण कार्य संख्या 3(बीआईआई) : आपको चार समान भाग दिए गए हैं। हर बार सभी चार भागों का उपयोग करके, मानसिक रूप से उनमें से एक वर्ग बनाएं। सभी परीक्षण कागज पर करें. अपने समाधान के परिणामों को हाथ से बनाए गए चित्र के रूप में प्रस्तुत करें।

समाधान:

टुकड़ों में कटी हुई शतरंज की बिसात, जिसे सही ढंग से मोड़ा जाना चाहिए, लोकप्रिय और प्रसिद्ध पहेलियों में से एक है। संयोजन की जटिलता इस बात पर निर्भर करती है कि बोर्ड कितने भागों में विभाजित है।

मैं निम्नलिखित कार्य प्रस्तावित करता हूँ:

समस्या क्रमांक 4(बीआईआई) : चित्र में दिखाए गए हिस्सों से एक शतरंज की बिसात इकट्ठा करें।

समाधान:

समस्या #5(सातवीं) : "नाव" को दो भागों में काटें ताकि आप उन्हें एक वर्ग में मोड़ सकें।

समाधान:

1) चित्रानुसार दो भागों में काटें

किसी एक हिस्से को पलट दें (अर्थात् घुमाएँ)

समस्या क्रमांक 6(VII): तीनों में से किसी भी आकृति को दो भागों में काटा जा सकता है, जिससे एक वर्ग को मोड़ना आसान होता है। ऐसे कट खोजें.

ए) बी)

वी)

समाधान:

भाग 2 के सापेक्ष भाग 1 का समानांतर स्थानांतरण

भाग 2 के सापेक्ष भाग 1 का घूर्णन

) बी) वी)

समस्या क्रमांक 7(VII): 4 और 9 इकाइयों की भुजाओं वाले एक आयत को दो बराबर भागों में काटा जाता है, जिसे ठीक से मोड़ने पर एक वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

कट चरणों के रूप में बनाया गया है, जिसकी ऊंचाई और चौड़ाई समान है;

आकृति को भागों में विभाजित किया जाता है और एक भाग को दूसरे भाग पर रखकर एक (या कई) सीढ़ियाँ ऊपर ले जाया जाता है।

समाधान:

भाग 1 का समानांतर स्थानांतरण

समस्या क्रमांक 9(VII): चित्र में दिखाए गए चित्र को दो भागों में काटकर, उन्हें एक वर्ग में मोड़ें ताकि रंगीन वर्ग वर्ग की समरूपता के सभी अक्षों के संबंध में सममित हों।

समाधान:

भाग 1 का समानांतर स्थानांतरण

समस्या क्रमांक 9(III): दो वर्गों 3 x 3 और 4 x 4 को कैसे काटा जाना चाहिए ताकि परिणामी भागों को एक वर्ग में मोड़ा जा सके? कई तरीके लेकर आएं. जितना संभव हो सके कम से कम भागों के साथ काम चलाने का प्रयास करें।

समाधान:

भागों का समानांतर स्थानांतरण

रास्ता:

रास्ता:

समानांतर अनुवाद और रोटेशन

4 तरफा:

भागों का समानांतर स्थानांतरण और घुमाव

छात्र, शिक्षक की सहायता से, कट की खोज करते हैं।

समस्या क्रमांक 10(AIII): चित्र में दिखाए गए चित्र को 6 बराबर भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, केवल ग्रिड लाइनों के साथ कट बनाते हुए। आप इसे कितने तरीकों से कर सकते हैं?

समाधान:दो संभावित समाधान.

समस्या क्रमांक 11(बीआईआई): दिए गए टुकड़ों से एक शतरंज की बिसात बनाएं।

समाधान:

समस्या क्रमांक 12(BIII): संबंधित भागों को घुमाए बिना 3 x 5 आयत को 5 x 3 आयत में परिवर्तित करें।

नोट: स्टेप कटिंग का उपयोग करें।

समाधान:(समानांतर स्थानांतरण)

समस्या क्रमांक 13(BIII): आकृति को 2 टुकड़ों में काटें, एक कट से 8 x 8 का वर्ग बनाएं।

समाधान:

भाग 1 के सापेक्ष भाग 2 का घूर्णन

दिशानिर्देश:टाइप आर काटने की समस्याएं कुछ सबसे आसान और सबसे दिलचस्प हैं। इस प्रकार की कटिंग की कई समस्याओं में समाधान के कई तरीके शामिल होते हैं, और छात्रों का इन समस्याओं का स्वतंत्र समाधान समाधान के सभी तरीकों की पहचान करने में मदद कर सकता है। कार्य 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 में छात्रों को मानसिक परिवर्तनों ("काटना", जोड़, घुमाव, समानांतर स्थानांतरण) के माध्यम से आंकड़ों की छवि के साथ काम करना शामिल है। समस्या 4, 5, 9, 11 में छात्रों को समस्याओं का समाधान खोजने के लिए सीधे कैंची से आकृति को काटकर और गणितीय परिवर्तन (रोटेशन, समानांतर अनुवाद) करके मॉडल (कागज से बने) के साथ काम करना शामिल है। कार्य 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - छवियों के साथ दूसरे प्रकार के संचालन के लिए, कार्य 9, 10, 12 - छवियों के साथ तीसरे प्रकार के संचालन के लिए।

पाठ संख्या 2

विषय: कटिंग प्रकार पी (पी समांतर चतुर्भुज शिफ्ट)।

लक्ष्य:इस प्रकार की कटिंग के लिए समस्याओं के समाधान का विश्लेषण करने की प्रक्रिया में, कटिंग प्रकार पी का सार समझाएं, साथ ही मानसिक रूप से संचालन (काटना, जोड़ना, फिर से काटना, समानांतर स्थानांतरण) करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा देना, जिससे बढ़ावा देना स्थानिक सोच का विकास.

उपकरण:

स्टेज I: ओरिएंटेड स्टेज

तरीका:समस्यामूलक प्रस्तुति.

अध्यापकएक समस्या उत्पन्न करता है (समस्या क्रमांक 1 का समाधान करें) और उसका समाधान दिखाता है।

कार्य क्रमांक 1(BIII): 3 और 5 सेमी भुजाओं वाले एक समांतर चतुर्भुज को मूल समांतर चतुर्भुज के समान कोण वाले एक नए समांतर चतुर्भुज में परिवर्तित करें, जिसकी एक भुजा 4 सेमी है।

समाधान: 1)

4)

एबीसी डी - समांतर चतुर्भुज

एबी = 3, ए डी=5

एक कटौती करें AO VO = D K = 4;

भाग 1 को कट लाइन के साथ दाईं ओर ऊपर (समानांतर अनुवाद) तब तक ले जाएं जब तक कि बिंदु O साइड डीसी की निरंतरता पर न आ जाए;

एक कट लगाएं KA' ताकि KA' || डीसी ;

और Δ AA'K को हम बिंदु O के नीचे स्थित अवकाश में डालते हैं (सीधी रेखा AO के साथ Δ AA'K का समानांतर स्थानांतरण)।

केवीओ D वांछित समांतर चतुर्भुज है (KD = 4)

केडीओ=  ए.डी.सी.  बुरा =  1 +  4,

1 =  2 और  4 =  3 - समान्तर रेखाओं पर आड़े-तिरछे लेटे हुए।

इसलिए,  बुरा =  2 + 3 =  बीओसी =  बीकेडी,  बुरा =  बीकेडी, आदि।

यू

पी शिफ्ट पर समस्याएँ

एक या अधिक आकृतियों को दूसरे आकार में पुनः आकार दें

प्रकार P काटने का सार:

हम इस आंकड़े का एक अनुभाग बनाते हैं जो कार्य की आवश्यकताओं को पूरा करता है;

हम कट लाइन के साथ कटे हुए हिस्से का समानांतर स्थानांतरण करते हैं जब तक कि कटे हुए हिस्से का शीर्ष मूल आकृति (समानांतर चतुर्भुज) के दूसरे पक्ष की निरंतरता के साथ मेल नहीं खाता;

समांतर चतुर्भुज की भुजा के समानांतर दूसरा कट बनाएं, हमें दूसरा भाग मिलता है;

हम पहले कट की रेखा के साथ नए कटे हुए हिस्से का समानांतर स्थानांतरण करते हैं जब तक कि कोने मेल नहीं खाते (हम हिस्से को अवकाश में डालते हैं)।

चरण II: समस्या समाधान चरण

तरीके:व्याख्यात्मक - उदाहरणात्मक

समस्या क्रमांक 2(बीआईआई): 5 x 5 वर्ग को 3 की चौड़ाई वाले एक आयत में बदलें।

समाधान:

1) 2) – 3) 4)

अनुभाग एओ/वीओ = डी टी = 3

समानांतर स्थानांतरण ΔABO सीधी रेखा AO ​​के साथ बिंदु O  (DC) तक

टीए'/टीए' काटें || सीडी

Δ एए 'टी सीधी रेखा एओ के साथ समानांतर स्थानांतरण द्वारा।

TBOD वांछित आयत है (TB = 3)।

समस्या क्रमांक 3(VIII): तीन समान वर्गों को एक बड़े वर्ग में मोड़ें।

नोट: तीन वर्गों को एक आयत में मोड़ें और फिर P शिफ्ट लागू करें।

समाधान:

एस पीआर = 1.5 * 4.5 = 6.75

केवी = 6.75 =

1) 2) – 3)

4)

समस्या क्रमांक 4(BIII): 5 x 1 आयत को एक वर्ग में काटें

ध्यान दें: एक चीरा एबी (ए) बनाएं डब्ल्यू =
), आयत XYWA पर P शिफ्ट लागू करें।

समाधान:

1)

2) – 3) 4) 5)

समस्या क्रमांक 5(ВIII): रूसी Н को एक वर्ग में बदलें।

ध्यान दें: चित्र में दिखाए अनुसार कट बनाएं, परिणामी हिस्सों को एक आयत में मोड़ें।

समाधान:

समस्या क्रमांक 6(BIII): त्रिभुज को एक समलम्ब चतुर्भुज में परिवर्तित करें।

नोट: चित्र में दिखाए अनुसार कट करें।

समाधान:

भाग 1 घुमाएँ;

एबी अनुभाग;

ΔАВС एबी के साथ बिंदु बी तक समानांतर स्थानांतरण  (एफएम)

कट OR / OR || एफएम;

ΔAOR AB के अनुदिश समानांतर परिवहन द्वारा। बिंदु P, बिंदु B से संपाती है;

OFBC वांछित समलम्बाकार है।

समस्या क्रमांक 7(ВIII): तीन समान ग्रीक क्रॉस से एक वर्ग बनाएं।

समाधान:

समस्या क्रमांक 8(BIII): अक्षर T को एक वर्ग में बदलें।

नोट: सबसे पहले, अक्षर t से एक आयत काट लें।

समाधान: एसटी = 6 (इकाई 2), एसकेवी = (
) 2

मोड़

समानांतर हाइफ़न की संरचना

एमवी = केएस =

समस्या क्रमांक 9(VIII): चित्र में दिखाए गए झंडे को एक वर्ग में दोबारा बनाएं।

नोट: सबसे पहले झंडे को एक आयत में बदलें

समाधान:

मोड़

एस fl = 6.75 AB = C डी =
एसकेवी = (
) 2

समानांतर स्थानांतरण

दिशानिर्देश:छात्रों को टाइप पी कटिंग समस्याओं से परिचित कराते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि वे किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय इस प्रकार की कटिंग का सार प्रस्तुत करें। हम अनुशंसा करते हैं कि पहले समस्याओं को मॉडलों (कागज से बने) पर हल करें, सीधे कैंची से आकृतियों को काटकर और समानांतर स्थानांतरण करके, और फिर, समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, आकृतियों के मॉडल से लेकर ज्यामितीय आकृतियों की छवियों के साथ काम करने तक, मानसिक परिवर्तन (काटना, समानांतर स्थानांतरण) करके।

पाठ संख्या 3

विषय: कटिंग प्रकार Q (Q एक चतुर्भुज का एक बदलाव है)।

लक्ष्य:आइए इस प्रकार की कटिंग के लिए समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, कटिंग प्रकार क्यू के सार को रेखांकित करें, जबकि मानसिक रूप से संचालन (कटिंग, जोड़, केंद्रीय समरूपता, रोटेशन, समानांतर स्थानांतरण) को पूरा करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा दें, जिससे बढ़ावा मिले। स्थानिक सोच का विकास.

उपकरण:कागज, रंगीन पेस्ट, कैंची।

स्टेज I: ओरिएंटेड स्टेज

तरीका:समस्यामूलक प्रस्तुति.

शिक्षक विद्यार्थियों के सामने एक समस्या रखता है (समस्या क्रमांक 1 का समाधान करें) और समाधान बताता है।

कार्य क्रमांक 1(BIII): इस चतुर्भुज को एक नए चतुर्भुज में परिवर्तित करें।

समाधान:

हम एचपी में कटौती करते हैं ताकि वीएन = एमएन, पीएफ = डीएफ;

एक कट बनाओ ME / ME || सूरज;

एक कट बनाएं आरटी / आरटी || विज्ञापन ;

Δ 3 और Δ 1 को भाग 2 के सापेक्ष दक्षिणावर्त घुमाया जाता है;

भाग 1 एक सीधी रेखा एचएफ के साथ बिंदु टी  एआर तक समानांतर स्थानांतरण द्वारा;

एएमसीपी आवश्यक चतुर्भुज है (सीपी और एएम पक्षों के साथ (शर्त में निर्दिष्ट किया जा सकता है))।

समस्या क्रमांक 2(BIII): चतुर्भुज को एक नए चतुर्भुज (लंबे चतुर्भुज) में परिवर्तित करें।

समाधान:

(बिंदु O के सापेक्ष भाग 1 को तब तक घुमाएँ जब तक OU AO से मेल न खा ले);

(बिंदु टी के सापेक्ष भाग (1 - 2) को तब तक घुमाएं जब तक कि वीटी डब्ल्यूटी के साथ मेल न खा जाए);

XAZW अभीष्ट चतुर्भुज है।

क्यू कट का उपयोग करने वाली समस्याओं में, कट लगाए जाते हैं और कटे हुए टुकड़े एक रोटेशन परिवर्तन से गुजरते हैं।

के लिए कार्य क्यू काटना

किसी दिए गए आकार (चतुर्भुज) को दूसरे आकार (चतुर्भुज) में बदलना

कई समस्याओं में, Q शिफ्ट तत्वों का उपयोग किसी त्रिभुज को किसी प्रकार के चतुर्भुज में या इसके विपरीत (एक त्रिभुज को "चतुर्भुज" के रूप में बदलने के लिए किया जाता है, जिसकी एक भुजा की लंबाई शून्य होती है)।

चरण II: समस्या समाधान चरण

समस्या क्रमांक 3(VII): जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, त्रिभुज से एक छोटा त्रिभुज काटा जाता है। एक समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए छोटे त्रिभुज को पुनर्व्यवस्थित करें।

बिंदु P के सापेक्ष भाग 1 को तब तक घुमाएँ जब तक KR, MR से मेल न खा जाए।

AOO'M अभीष्ट समांतर चतुर्भुज है।

समस्या क्रमांक 4(बीआईआई, बीIII): इनमें से किस त्रिभुज को एक (दो) कट बनाकर और परिणामी भागों को पुनर्व्यवस्थित करके आयतों में बदला जा सकता है?

1) 2) 3) 4)

5)

समाधान:

1)

5)

1), 5) एक कट (कट - त्रिकोण की मध्य रेखा)

2)

3)

4)

2), 3), 4) दो कट (पहला कट - मध्य रेखा, दूसरा कट - त्रिभुज के शीर्ष से ऊंचाई)।

समस्या क्रमांक 5(VII): समलम्ब चतुर्भुज को एक त्रिभुज में पुनः बनाएँ।

समाधान:

अनुभाग केएस (एके = केबी)

बिंदु K के चारों ओर ΔKVS को घुमाएं ताकि खंड KV और KA संरेखित हो जाएं।

Δ वांछित त्रिभुज को FCD करें।

समस्या क्रमांक 6(III): एक समलंब को ऐसे आकार में कैसे तोड़ें जिससे आप एक आयत बना सकें?

समाधान:

1) OR अनुभाग (AO = OB, OR┴AD)

2)काटो टीएफ (सीटी = टीडी, टीएफ ┴एडी)

बिंदु O के सापेक्ष भाग 1 का घूमना ताकि AO और BO संरेखित हों।

भाग 2 को बिंदु T के सापेक्ष घुमाएँ ताकि DT और CT संरेखित हो जाएँ।

पीएलएमएफ - आयत।

चरण III: होमवर्क सेट करना।

समस्या क्रमांक 7(VIII) : किसी भी त्रिभुज को समकोण त्रिभुज में परिवर्तित करें।

टिप्पणी:

1) सबसे पहले एक मनमाना त्रिभुज को एक आयत में बदलें।

2) आयत को समकोण त्रिभुज में बदलें।

समाधान:

मोड़

समस्या क्रमांक 8(VII): एक मनमाने समांतर चतुर्भुज को केवल एक कट लगाकर एक त्रिभुज में परिवर्तित करें।

समाधान:

मोड़

भाग 2 को बिंदु O के चारों ओर 180º (समरूपता का केंद्र) घुमाएँ

दिशानिर्देश:क्यू कटिंग के सार का सारांश हम सुझाते हैं

विशिष्ट समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में आगे बढ़ें। इस प्रकार की कटिंग की समस्याओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले मुख्य गणितीय परिवर्तन हैं: रोटेशन (विशेष रूप से, केंद्रीय समरूपता, समानांतर अनुवाद)। कार्य 1, 2, 7 - ज्यामितीय आकृतियों के मॉडल के साथ व्यावहारिक क्रियाओं के लिए; कार्य 3, 4, 5, 6, 8 में ज्यामितीय आकृतियों की छवियों के साथ काम करना शामिल है। कार्य 3, 4, 5, 8 - छवियों के साथ दूसरे प्रकार के संचालन के लिए, कार्य 1, 2, 4, 6, 7 - छवियों के साथ तीसरे प्रकार के संचालन के लिए।

पाठ संख्या 4.

विषय: टाइप एस कटिंग।

लक्ष्य:इस प्रकार की कटिंग के लिए समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, टाइप एस काटने का सार समझाएं, साथ ही मानसिक रूप से संचालन (काटना, जोड़ना, ओवरलैप करना, मोड़ना, समानांतर स्थानांतरण, केंद्रीय समरूपता) करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा देना, जिससे बढ़ावा देना स्थानिक सोच का विकास.

उपकरण:कागज, रंगीन पेस्ट, कैंची, कोड सकारात्मक।

मैं अवस्था: उन्मुखी अवस्था.

तरीका:व्याख्यात्मक और उदाहरणात्मक.

कार्य क्रमांक 1(VII): एक समांतर चतुर्भुज, जिसकी भुजाएँ 3.5 सेमी और 5 सेमी हैं, को 3.5 सेमी और 5.5 सेमी भुजाओं वाले एक समांतर चतुर्भुज में कैसे काटें, जिससे केवल एक "कट" हो?

समाधान:

1) CO = 5.5 सेमी का एक खंड बनाएं (काटें), समांतर चतुर्भुज को दो भागों में विभाजित करें।

2) हम त्रिभुज COM को समांतर चतुर्भुज AK की विपरीत दिशा में लागू करते हैं। (अर्थात एसए की दिशा में खंड एसए में ∆ COM का समानांतर स्थानांतरण)।

3) CAOO` वांछित समांतर चतुर्भुज है (CO = 5.5 सेमी, CA = 3.5 सेमी)।

कार्य क्रमांक 1(VIII): दिखाएँ कि आप एक वर्ग को 3 भागों में कैसे काट सकते हैं ताकि आप उनका उपयोग एक आयत बनाने में कर सकें जिसकी एक भुजा दूसरी भुजा से दोगुनी बड़ी हो।

समाधान:

वर्ग ABCD की रचना कीजिए

आइए विकर्ण AC बनाएं

आइए विकर्ण BD खंड OD (OD ┴AC), OD = ½ AC का आधा भाग बनाएं। परिणामी 3 भागों (लंबाई AC, चौड़ाई AD) से एक आयत बनाएं

इसके लिए:

भाग 1 और 2 का समानांतर स्थानांतरण करें। भाग 1 (∆1) दिशा डी ए में, ∆2 दिशा एबी से खंड एबी तक।

AOO`C वांछित आयत है (भुजाओं AC, OA = ½ AC के साथ)।

अध्यापक:हमने 2 समस्याओं के समाधान पर विचार किया है; इन समस्याओं को हल करने में जिस प्रकार की कटिंग का उपयोग किया जाता है उसे लाक्षणिक रूप से एस-कटिंग कहा जाता है।

एस -काट रहा हैमूलतः एक समांतर चतुर्भुज का दूसरे समांतर चतुर्भुज में परिवर्तन है।

इस कट का सारनिम्नांकित में:

हम आवश्यक समांतर चतुर्भुज के किनारे की लंबाई के बराबर एक कट बनाते हैं;

हम कटे हुए भाग का समानांतर स्थानांतरण तब तक करते हैं जब तक कि समांतर चतुर्भुज की समान विपरीत भुजाएँ मेल न खा जाएँ (अर्थात् हम कटे हुए भाग को समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजा पर लगा दें)

कार्य की आवश्यकताओं के आधार पर, कटौती की संख्या निर्भर करेगी।

आइए निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:

कार्य क्रमांक 3(बीआईआई): समांतर चतुर्भुज को दो भागों में विभाजित करें जिसमें से आप एक आयत जोड़ सकते हैं।

आइए एक मनमाना समांतर चतुर्भुज बनाएं।

समाधान:

बिंदु B से, VN (VN┴AD) की ऊंचाई कम करें

आइए हम BC की दिशा में खंड BC में ∆ AVN का समानांतर स्थानांतरण करें।

परिणामी आयत का एक चित्र बनाएं।

वीएनआरएस - आयत।

टास्क नंबर 4(BIII): समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 3 और 4 सेमी हैं। दो कट लगाकर इसे 3.5 सेमी की भुजा वाले समांतर चतुर्भुज में बदल दें।

समाधान:

1)

2)

वांछित समांतर चतुर्भुज.

सामान्य तौर पर, एस-कटिंग सुपरइम्पोज़िंग स्ट्रिप्स की विधि पर आधारित है, जो किसी भी बहुभुज को बदलने की समस्या को हल करने की अनुमति देती है।

उपरोक्त समस्याओं में, उनकी आसानी के कारण, हमने धारियाँ लगाने की विधि को छोड़ दिया, हालाँकि ये सभी समाधान इस विधि का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन अधिक जटिल कार्यों में आप धारियों के बिना नहीं कर सकते।

संक्षिप्त धारी विधिइस पर उबलता है:

1) प्रत्येक बहुभुज (वह बहुभुज जिसे रूपांतरित किया जा रहा है और वह बहुभुज जिसमें मूल बहुभुज को रूपांतरित किया जाना चाहिए) को (यदि आवश्यक हो) ऐसे भागों में काटें, जिनसे दो पट्टियाँ मोड़ी जा सकें।

2) पट्टियों को एक दूसरे के ऊपर उपयुक्त कोण पर रखें, उनमें से एक के किनारे हमेशा दूसरी पट्टी के तत्वों के संबंध में समान रूप से स्थित हों।

3) इस स्थिति में, 2 पट्टियों के उभयनिष्ठ भाग में स्थित सभी रेखाएँ आवश्यक कटों के स्थान दिखाएँगी।

पत्र "एस-कट" शब्द में प्रयुक्त एस, अंग्रेजी स्ट्रिप - स्ट्रिप से आया है।

चरण II: समस्या समाधान चरण

उदाहरण के तौर पर समस्या 3 का उपयोग करते हुए, आइए सत्यापित करें कि धारियाँ लगाने की विधि वांछित समाधान देती है।

समस्या क्रमांक 3(VII): समांतर चतुर्भुज को दो भागों में विभाजित करें जिसमें से आप एक आयत जोड़ सकते हैं।

समाधान:

1)

2)

3)

1) हमें समांतर चतुर्भुज से एक पट्टी मिलती है

2) आयतों की धारियाँ

3) जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है, स्ट्रिप 1 पर स्ट्रिप 2 को सुपरइम्पोज़ करें

4) हमें आवश्यक कार्य प्राप्त होता है।

समस्या क्रमांक 5(BIII): एक समद्विबाहु त्रिभुज में, पार्श्व भुजाओं के मध्यबिंदु और आधार पर उनके प्रक्षेपण चिह्नित होते हैं। चिह्नित बिंदुओं से होकर दो सीधी रेखाएं खींची जाती हैं। दिखाएँ कि परिणामी टुकड़ों का उपयोग एक समचतुर्भुज बनाने के लिए किया जा सकता है।

समाधान:

भाग 2, 3 - एक बिंदु के चारों ओर घूमना

भाग 4 - समानांतर स्थानांतरण

इस समस्या में, त्रिभुजों के काटने का संकेत पहले ही दिया जा चुका है; हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक एस-कट है।

समस्या क्रमांक 6(BIII): तीन ग्रीक क्रॉस को एक वर्ग में बदलें (धारियों का उपयोग करके)।

समाधान:

1)

हम क्रॉस की एक पट्टी पर वर्गों की एक पट्टी रखते हैं ताकि बिंदु ए और बिंदु सी क्रॉस की पट्टी के किनारों से संबंधित हों।

∆АВН = ∆СD B, इसलिए, वर्ग में ∆АВС और ∆АВМ होते हैं।

चरण III: होमवर्क सेट करना

समस्या क्रमांक 7(BIII): इस आयत को दूसरे आयत में बदलें, जिसकी भुजाएँ मूल आयत की भुजाओं से भिन्न हों।

नोट: समस्या 4 का समाधान देखें।

समाधान:

अनुभाग एओ (एओ - आवश्यक आयत की चौड़ाई);

कट डीपी / डीपी  एओ (डीपी - आवश्यक आयत की लंबाई);

विमान की दिशा में विमान के खंड तक ∆AVO का समानांतर स्थानांतरण;

AO की दिशा में खंड AO में ∆АPD का समानांतर स्थानांतरण;

पीएफईडी को आयत की आवश्यकता है।

समस्या क्रमांक 8(BIII): एक नियमित त्रिभुज को एक खंड द्वारा भागों में विभाजित किया जाता है; इन भागों से एक वर्ग बनाएं।

नोट: आप स्ट्रिप्स को ओवरले करके सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक एस कट है।

बिंदु O के चारों ओर भाग 2 का घूमना;

बिंदु C के चारों ओर भाग 3 का घूमना;

भाग 4 का समानांतर स्थानांतरण

अतिरिक्त कार्य संख्या 9(बीआईआई): समांतर चतुर्भुज को उसके केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ काटें, ताकि परिणामी दो टुकड़ों को एक समचतुर्भुज में मोड़ा जा सके।

समाधान:

ओ  क्यूटी

क्यूटी कट;

भाग 1 बीसी खंड में बीसी दिशा में समानांतर स्थानांतरण द्वारा (सीडी और एबी संयुक्त हैं)।

दिशानिर्देश:एस - कटिंग - कटिंग के सबसे कठिन प्रकारों में से एक। हम अनुशंसा करते हैं कि विशिष्ट कार्यों में इस कटिंग का सार रेखांकित किया जाए। एस-कटिंग पर समस्याओं को हल करने की कक्षाओं में, हम उन समस्याओं का उपयोग करने की सलाह देते हैं जिनमें काटने के आंकड़े दिए गए हैं और परिणामी भागों से आवश्यक आंकड़ा जोड़ना आवश्यक है, यह छात्रों द्वारा स्ट्रिप्स लगाने की विधि को स्वतंत्र रूप से लागू करने की कठिनाई से समझाया गया है, जो एस-कटिंग का सार है। साथ ही, उन कार्यों पर जो छात्रों के लिए अधिक सुलभ हैं (उदाहरण के लिए, कार्य 3, 5, 8 पर), शिक्षक यह दिखा सकते हैं कि कैसे स्ट्रिप्स लगाने की विधि किसी को कार्य स्थितियों में दी गई कटौती प्राप्त करने की अनुमति देती है। कार्य 4, 5, 6, 8, 9 - ज्यामितीय आकृतियों के मॉडल के साथ व्यावहारिक क्रियाओं के लिए, कार्य 1, 2, 3, 7 - ज्यामितीय आकृतियों की छवियों के साथ काम करने के लिए। कार्य 1, 3, 9 - छवियों के साथ दूसरे प्रकार के संचालन के लिए, कार्य 2, 4, 5, 6, 7, 8 - छवियों के साथ तीसरे प्रकार के संचालन के लिए।

पाठ संख्या 5

विषय: टी-टाइप कटिंग।

लक्ष्य:इस प्रकार की कटिंग के लिए समस्याओं के समाधान का विश्लेषण करने की प्रक्रिया में, प्रकार एस काटने का सार समझाएं, साथ ही मानसिक रूप से संचालन (काटना, जोड़ना, मोड़ना, समानांतर स्थानांतरण) करने के लिए कौशल के निर्माण को बढ़ावा देना, जिससे विकास को बढ़ावा मिले। स्थानिक सोच.

उपकरण:कागज, रंगीन पेस्ट, कैंची, रंगीन पेस्ट, कोड सकारात्मक।

स्टेज I: ओरिएंटेड स्टेज

तरीका:व्याख्यात्मक और उदाहरणात्मक

अध्यापक:समस्याओं को हल करने के लिए टी-कटिंग का उपयोग करने में मोज़ेक और उनके बाद के ओवरले को तैयार करना शामिल है। एस-कटिंग में उपयोग की जाने वाली पट्टियाँ मोज़ाइक से प्राप्त की जा सकती हैं। इसलिए, टाइलिंग विधि स्ट्रिप विधि को सामान्यीकृत करती है।

आइए समस्या समाधान के उदाहरण का उपयोग करके टी-कटिंग के सार पर विचार करें।

कार्य क्रमांक 1(BIII): ग्रीक क्रॉस को एक वर्ग में बदलें।

1) पहला कदम मूल बहुभुज को मोज़ेक तत्व में बदलना है (और यह आवश्यक है);

2) इन तत्वों से हम मोज़ेक नंबर 1 बनाते हैं (हम ग्रीक क्रॉस से मोज़ेक बनाते हैं);

5) दो मोज़ेक के सामान्य भाग में स्थित सभी रेखाएँ आवश्यक कट के स्थान दिखाएँगी।

चरण II: समस्या समाधान चरण

तरीका:आंशिक रूप से - खोजें

समस्या क्रमांक 2(BIII): ग्रीक क्रॉस को तीन भागों में काटा जाता है, इन भागों को एक आयत में मोड़ें।

नोट: हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह कट टी-प्रकार का कट है।

समाधान:

बिंदु O के चारों ओर भाग 1 का घूमना;

भाग 2 को बिंदु A के चारों ओर घुमाएँ।

समस्या क्रमांक 3(BIII): उत्तल चतुर्भुज को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली दो सीधी रेखाओं के अनुदिश काटें। दिखाएँ कि परिणामी चार टुकड़ों से एक समांतर चतुर्भुज जोड़ना हमेशा संभव होता है।

भाग 2 बिंदु O (या समरूपता के केंद्र) के चारों ओर 180 तक घूमना;

भाग 3 बिंदु C (या समरूपता के केंद्र) के चारों ओर 180 तक घूमना;

भाग 1 - समानांतर स्थानांतरण।

आइए हम वह मोज़ेक दिखाएं जिससे यह कट प्राप्त किया गया था।

समस्या क्रमांक 4(BIII): तीन समान त्रिभुजों को विभिन्न माध्यिकाओं पर काटा गया। परिणामी छह टुकड़ों को एक त्रिकोण में मोड़ें।

समाधान:

1) इन त्रिभुजों से हम चित्र 1 (केंद्रीय समरूपता) के अनुसार त्रिभुज बनाते हैं;

2) हम तीन नए त्रिभुजों (समान भुजाएँ संपाती) से एक और त्रिभुज बनाते हैं।

आइए दिखाते हैं कि ये खंड मोज़ाइक का उपयोग करके कैसे बनाए गए थे।

समस्या क्रमांक 5(BIII): ग्रीक क्रॉस को टुकड़ों में काट दिया गया था, और इन टुकड़ों से एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाया गया था।

समाधान:

भाग 1 केंद्रीय समरूपता;

भाग 3 केंद्रीय समरूपता;

भाग 3 और 4 - बारी।

समस्या क्रमांक 6(BIII): इस आकृति को एक वर्ग में काटें।

समाधान:

भाग 1 बिंदु O के चारों ओर घूमना;

भाग 3 बिंदु A के चारों ओर 90 मोड़ें।

समस्या क्रमांक 7(BIII): ग्रीक क्रॉस को एक समांतर चतुर्भुज में काटें (कटौती दी गई है)।

समाधान:

भाग 2 - भाग 1 के सापेक्ष समानांतर स्थानांतरण;

भाग 3 कट लाइन के साथ समानांतर स्थानांतरण।

चरण III: होमवर्क सेट करना।

समस्या क्रमांक 8(BIII): कट्स के साथ दो समान कागज उत्तल चतुर्भुज: पहला एक विकर्ण के साथ, और दूसरा दूसरे विकर्ण के साथ। साबित करें कि परिणामी भागों का उपयोग समांतर चतुर्भुज बनाने के लिए किया जा सकता है।

समाधान:घुमावों की संरचना.

समस्या क्रमांक 9(BIII): दो समान ग्रीक क्रॉस से एक वर्ग बनाएं।

समाधान:

दिशानिर्देश:टी - कटिंग - सबसे जटिल प्रकार की कटिंग, जिससे एस प्रकार के कट बनते हैं। हम अनुशंसा करते हैं कि आप समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में टी-कटिंग का सार समझाएँ। छात्रों के लिए मोज़ेक विधि को लागू करने की जटिलता के कारण, जो कि टी-कटिंग का सार है, कक्षा में हम उन कार्यों का उपयोग करने की सलाह देते हैं जिनमें कटिंग निर्दिष्ट है और आकृति के परिणामी हिस्सों से वांछित आकृति प्राप्त करना आवश्यक है गणितीय परिवर्तन (रोटेशन, समानांतर अनुवाद)। साथ ही, उन कार्यों पर जो छात्रों के लिए अधिक सुलभ हैं, शिक्षक यह दिखा सकते हैं कि मोज़ेक विधि का उपयोग करके कटिंग डेटा कैसे प्राप्त किया जाए। पाठ संख्या 5 में प्रस्तावित कार्य छवियों के साथ तीसरे प्रकार के संचालन के लिए हैं और इसमें छात्रों को रोटेशन और समानांतर अनुवाद करके ज्यामितीय आकृतियों के मॉडल के साथ काम करना शामिल है।

शिक्षक की प्रारंभिक टिप्पणियाँ:

थोड़ी ऐतिहासिक पृष्ठभूमि: कई वैज्ञानिक प्राचीन काल से ही समस्याओं को काटने में रुचि रखते रहे हैं। कई सरल काटने की समस्याओं का समाधान प्राचीन यूनानियों और चीनियों द्वारा पाया गया था, लेकिन इस विषय पर पहला व्यवस्थित ग्रंथ अबुल-वेफ द्वारा लिखा गया था। जियोमीटर ने 20वीं सदी की शुरुआत में आकृतियों को सबसे छोटे भागों में काटने और फिर दूसरी आकृति बनाने की समस्याओं को गंभीरता से हल करना शुरू किया। इस खंड के संस्थापकों में से एक प्रसिद्ध पहेली संस्थापक हेनरी ई. डुडेनी थे।

आजकल, पहेली प्रेमी कटिंग समस्याओं को हल करने के लिए उत्सुक हैं क्योंकि ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है, और जो कोई भी उन्हें हल करने का कार्य करता है वह पूरी तरह से अपनी सरलता, अंतर्ज्ञान और रचनात्मक सोच की क्षमता का प्रदर्शन कर सकता है। (पाठ के दौरान हम काटने के संभावित उदाहरणों में से केवल एक का संकेत देंगे। यह माना जा सकता है कि छात्रों को कुछ अन्य सही संयोजन मिल सकते हैं - इससे डरने की कोई जरूरत नहीं है)।

यह पाठ एक व्यावहारिक पाठ के रूप में आयोजित किया जाना चाहिए। मंडली के प्रतिभागियों को 2-3 लोगों के समूहों में विभाजित करें। प्रत्येक समूह को शिक्षक द्वारा पहले से तैयार किए गए आंकड़े उपलब्ध कराएं। विद्यार्थियों के पास एक रूलर (विभाजन के साथ), एक पेंसिल और कैंची है। कैंची का उपयोग करके केवल सीधे कट बनाने की अनुमति है। एक आकृति को टुकड़ों में काटने के बाद, आपको उन्हीं भागों से एक और आकृति बनाने की आवश्यकता है।

काटने के कार्य:

1). चित्र में दिखाए गए चित्र को 3 समान आकार के भागों में काटने का प्रयास करें:

संकेत: छोटी आकृतियाँ काफी हद तक अक्षर T जैसी दिखती हैं।

2). अब इस आकृति को 4 समान आकार के भागों में काट लें:

संकेत: यह अनुमान लगाना आसान है कि छोटी आकृतियों में 3 कोशिकाएँ होंगी, लेकिन तीन कोशिकाओं वाली अधिक आकृतियाँ नहीं हैं। केवल दो प्रकार हैं: कोने और आयताकार।

3). आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित करें, और परिणामी भागों का उपयोग शतरंज की बिसात बनाने के लिए करें।

संकेत: कार्य को दूसरे भाग से शुरू करने का सुझाव दें, जैसे कि कोई शतरंज की बिसात मिल रही हो। याद रखें कि शतरंज की बिसात का आकार (वर्ग) कैसा होता है। लंबाई और चौड़ाई में कोशिकाओं की उपलब्ध संख्या की गणना करें। (याद रखें कि 8 सेल होने चाहिए)।

4). चाकू की तीन चालों से पनीर को आठ बराबर टुकड़ों में काटने का प्रयास करें।

सुझाव: पनीर को लंबाई में काटने का प्रयास करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

1). कागज का एक वर्ग काटें और निम्नलिखित कार्य करें:

· 4 टुकड़ों में काटें जिनका उपयोग दो समान छोटे वर्ग बनाने के लिए किया जा सकता है।

· पांच भागों में काटें - चार समद्विबाहु त्रिभुज और एक वर्ग - और उन्हें मोड़ें ताकि आपको तीन वर्ग मिलें।

विभिन्न ऐच्छिक और क्लबों के गणित शिक्षकों और शिक्षकों के ध्यान के लिए, मनोरंजक और शैक्षिक ज्यामितीय काटने की समस्याओं का चयन पेश किया जाता है। अपनी कक्षाओं में ऐसी समस्याओं का उपयोग करने वाले एक शिक्षक का लक्ष्य न केवल छात्रों को कोशिकाओं और आकृतियों के दिलचस्प और प्रभावी संयोजनों में रुचि दिलाना है, बल्कि रेखाओं, कोणों और आकृतियों के बारे में उनकी समझ को विकसित करना भी है। समस्याओं का सेट मुख्य रूप से ग्रेड 4-6 के बच्चों के लिए है, हालाँकि इसका उपयोग हाई स्कूल के छात्रों के साथ भी करना संभव है। अभ्यासों के लिए छात्रों को ध्यान की उच्च और स्थिर एकाग्रता की आवश्यकता होती है और यह दृश्य स्मृति के विकास और प्रशिक्षण के लिए बिल्कुल सही है। गणित स्कूलों और कक्षाओं में प्रवेश परीक्षाओं के लिए छात्रों को तैयार करने वाले गणित ट्यूटर्स के लिए अनुशंसित, जो बच्चे की स्वतंत्र सोच और रचनात्मक क्षमताओं के स्तर पर विशेष मांग रखते हैं। कार्यों का स्तर लिसेयुम "दूसरे स्कूल" (दूसरा गणितीय स्कूल), मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित के छोटे संकाय, कुरचटोव स्कूल, आदि में प्रवेश ओलंपियाड के स्तर से मेल खाता है।

गणित शिक्षक नोट:
समस्याओं के कुछ समाधानों में, जिन्हें आप संबंधित सूचक पर क्लिक करके देख सकते हैं, कटिंग के संभावित उदाहरणों में से केवल एक को दर्शाया गया है। मैं पूरी तरह से स्वीकार करता हूं कि आप किसी अन्य सही संयोजन के साथ समाप्त हो सकते हैं - इससे डरने की कोई जरूरत नहीं है। अपने नन्हें-मुन्नों के समाधान की सावधानीपूर्वक जाँच करें और यदि वह शर्तों को पूरा करता है, तो बेझिझक अगला काम शुरू करें।

1) चित्र में दिखाए गए चित्र को 3 समान आकार के भागों में काटने का प्रयास करें:

: छोटी आकृतियाँ अक्षर T से बहुत मिलती-जुलती हैं

2) अब इस आकृति को 4 समान आकार के भागों में काटें:

गणित शिक्षक टिप: यह अनुमान लगाना आसान है कि छोटी आकृतियों में 3 कोशिकाएँ होंगी, लेकिन तीन कोशिकाओं वाली अधिक आकृतियाँ नहीं हैं। वे केवल दो प्रकार के होते हैं: एक कोना और एक 1×3 आयत।

3) इस आकृति को 5 समान आकार के टुकड़ों में काटें:

ऐसी प्रत्येक आकृति को बनाने वाली कोशिकाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। ये आकृतियाँ G अक्षर की तरह दिखती हैं।

4) अब आपको दस सेलों की आकृति को 4 में काटने की जरूरत है असमानएक दूसरे से आयत (या वर्ग)।

गणित शिक्षक निर्देश: एक आयत का चयन करें, और फिर शेष कोशिकाओं में तीन और को फिट करने का प्रयास करें। यदि यह काम नहीं करता है, तो पहले आयत को बदलें और पुनः प्रयास करें।

5) कार्य अधिक जटिल हो जाता है: आपको आकृति को 4 में काटने की आवश्यकता है आकार में भिन्नआंकड़े (जरूरी नहीं कि आयत हों)।

गणित शिक्षक टिप: पहले अलग-अलग आकृतियों की सभी प्रकार की आकृतियाँ अलग-अलग बनाएं (उनमें से चार से अधिक होंगी) और पिछले कार्य की तरह विकल्पों को गिनने की विधि को दोहराएं।
:

6) इस आकृति को अलग-अलग आकार की चार कोशिकाओं से 5 आकृतियों में काटें ताकि उनमें से प्रत्येक में केवल एक हरा कोशिका चित्रित हो।

गणित शिक्षक टिप:इस आकृति के ऊपरी किनारे से काटना शुरू करने का प्रयास करें और आप तुरंत समझ जाएंगे कि कैसे आगे बढ़ना है।
:

7) पिछले कार्य के आधार पर। ज्ञात कीजिए कि बिल्कुल चार कोशिकाओं से बनी विभिन्न आकृतियों की कितनी आकृतियाँ हैं? आकृतियों को मोड़ा और घुमाया जा सकता है, लेकिन आप उस मेज को (उसकी सतह से) नहीं उठा सकते, जिस पर वह पड़ी है। अर्थात्, दिए गए दोनों आंकड़े समान नहीं माने जाएंगे, क्योंकि इन्हें एक-दूसरे से घुमाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

गणित शिक्षक टिप:पिछली समस्या के समाधान का अध्ययन करें और मुड़ते समय इन आकृतियों की विभिन्न स्थितियों की कल्पना करने का प्रयास करें। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि हमारी समस्या का उत्तर अंक 5 या उससे अधिक होगा। (वास्तव में, छह से भी अधिक)। इसमें 7 प्रकार की आकृतियों का वर्णन किया गया है।

8) 16 कोशिकाओं के एक वर्ग को 4 समान आकार के टुकड़ों में काटें ताकि चारों टुकड़ों में से प्रत्येक में बिल्कुल एक हरी कोशिका हो।

गणित शिक्षक टिप: छोटी आकृतियों का स्वरूप एक वर्ग या एक आयत या यहां तक ​​कि चार कोशिकाओं का एक कोना भी नहीं है। तो आपको किन आकृतियों में कटौती करने का प्रयास करना चाहिए?

9) चित्रित आकृति को दो भागों में काटें ताकि परिणामी भागों को एक वर्ग में मोड़ा जा सके।

गणित शिक्षक संकेत: कुल 16 कोशिकाएँ हैं, जिसका अर्थ है कि वर्ग का आकार 4x4 होगा। और किसी तरह आपको बीच की खिड़की को भरने की जरूरत है। इसे कैसे करना है? क्या किसी तरह का बदलाव हो सकता है? फिर, चूंकि आयत की लंबाई विषम संख्या में कोशिकाओं के बराबर है, इसलिए कटिंग ऊर्ध्वाधर कट के साथ नहीं, बल्कि एक टूटी हुई रेखा के साथ की जानी चाहिए। ताकि मध्य कोशिका का ऊपरी हिस्सा एक तरफ से और निचला हिस्सा दूसरी तरफ से कट जाए।

10) एक 4x9 आयत को दो टुकड़ों में काटें ताकि उन्हें एक वर्ग में मोड़ा जा सके।

गणित शिक्षक टिप: आयत में कुल 36 कोशिकाएँ हैं। इसलिए, वर्ग का आकार 6x6 होगा। चूँकि लंबी भुजा में नौ कोशिकाएँ होती हैं, उनमें से तीन को काटने की आवश्यकता होती है। यह कटौती कैसे आगे बढ़ेगी?

11) चित्र में दिखाए गए पांच कोशिकाओं के क्रॉस को टुकड़ों में काटने की जरूरत है (आप कोशिकाओं को स्वयं काट सकते हैं) जिससे एक वर्ग को मोड़ा जा सके।

गणित शिक्षक टिप: यह स्पष्ट है कि हम कोशिकाओं की रेखाओं के साथ कैसे भी काटें, हमें एक वर्ग नहीं मिलेगा, क्योंकि वहाँ केवल 5 कोशिकाएँ हैं। यह एकमात्र कार्य है जिसमें काटने की अनुमति है कोशिकाओं द्वारा नहीं. हालाँकि, उन्हें एक मार्गदर्शक के रूप में छोड़ना अभी भी अच्छा होगा। उदाहरण के लिए, यह ध्यान देने योग्य है कि हमें किसी तरह हमारे पास मौजूद इंडेंटेशन को हटाने की जरूरत है - अर्थात्, हमारे क्रॉस के आंतरिक कोनों में। यह कैसे करना है? उदाहरण के लिए, क्रॉस के बाहरी कोनों से कुछ उभरे हुए त्रिकोणों को काटना...