एक अनुचित भिन्न के पूर्णांक भाग की गणना कैसे करें। एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना

यह $"+"$ चिह्न के बिना $n\frac(a)(b)$ के रूप में लिखने के लिए प्रथागत है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, योग $4+\frac(3)(5)$ को $4\frac(3)(5)$ के रूप में लिखा जाता है। इस तरह की प्रविष्टि को मिश्रित भिन्न कहा जाता है, और इससे संबंधित संख्या को मिश्रित संख्या कहा जाता है।

परिभाषा 1

मिश्रित संख्याएक संख्या है जो एक प्राकृतिक संख्या $n$ के योग के बराबर है और एक उचित साधारण अंश $\frac(a)(b)$ है, जिसे $n\frac(a)(b)$ के रूप में लिखा जाता है। इस मामले में, संख्या $n$ को $n\frac(a)(b)$ कहा जाता है, और संख्या $\frac(a)(b)$ को संख्या/ का भिन्नात्मक भाग कहा जाता है।

मिश्रित संख्याओं के लिए, समानताएं $n\frac(a)(b)=n+\frac(a)(b)$ और $n+\frac(a)(b)=n\frac(a)(b)$ हैं वैध।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, संख्या $7\frac(4)(9)$ एक मिश्रित संख्या है, जहां प्राकृतिक संख्या $7$ इसका पूर्णांक भाग है, $\frac(4)(9)$ इसका भिन्नात्मक भाग है। मिश्रित संख्याओं के उदाहरण: $17\frac(1)(2)$, $456\frac(111)(500)$, $23000\frac(4)(5)$।

मिश्रित अंकन में ऐसी संख्याएँ होती हैं जिनमें भिन्नात्मक भाग में अनुचित अंश होता है। उदाहरण के लिए, $3\frac(54)(5)$, $56\frac(9)(2)$। इन संख्याओं के रिकॉर्ड को उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3\frac(54)(5)=3+\frac(54)(5)$ और $56\frac(9)(2)=56+\frac(9)(2)$। ऐसी संख्याएँ मिश्रित संख्या की परिभाषा में फिट नहीं बैठती हैं, क्योंकि मिश्रित संख्याओं का भिन्नात्मक भाग एक उचित भिन्न होना चाहिए।

संख्या $0\frac(2)(7)$ भी एक मिश्रित संख्या नहीं है, क्योंकि $0$ एक प्राकृत संख्या नहीं है।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना

मिश्रित संख्या को अनुचित अंश में बदलने के लिए एल्गोरिदम:

इस संख्या के पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में मिश्रित संख्या $n\frac(a)(b)$ लिखें, अर्थात। $n+\frac(a)(b)$ के रूप में।

मूल मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग को हर $1$ वाले भिन्न से बदलें।

मूल मिश्रित संख्या के बराबर वांछित अनुचित अंश प्राप्त करने के लिए साधारण भिन्न $\frac(n)(1)$ और $\frac(a)(b)$ जोड़ें।

उदाहरण 3

मिश्रित संख्या $7\frac(3)(5)$ को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करें।

मिश्रित संख्या $7\frac(3)(5)=7+\frac(3)(5)$।

आइए संख्या $7$ को $\frac(7)(1)$ के रूप में लिखें।

साधारण भिन्न जोड़ें $\frac(7)(1)+\frac(3)(5)=\frac(35)(5)+\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$ .

आइए इस निर्णय का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड लिखें:

उत्तर:$7\frac(3)(5)=\frac(38)(5)$

मिश्रित संख्या $n\frac(a)(b)$ को एक अनुचित अंश में बदलने के लिए संपूर्ण एल्गोरिथ्म \textit (मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में बदलने का सूत्र) पर आता है:

उदाहरण 4

मिश्रित संख्या $14\frac(3)(5)$ को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान।

आइए एक मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए $n\frac(a)(b)=\frac(n\cdot b+a)(b)$ सूत्र का उपयोग करें। इस उदाहरण में $n=14$, $a=3$, $b=5$।

हमें $14\frac(3)(5)=\frac(14\cdot 5+3)(5)=\frac(73)(5)$ मिलता है।

उत्तर:$14\frac(3)(5)=\frac(73)(5)$

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना

संख्यात्मक समाधान प्राप्त करते समय, उत्तर को अनुचित अंश के रूप में छोड़ने की प्रथा नहीं है। एक अनुचित अंश को उसके बराबर एक प्राकृतिक संख्या में परिवर्तित किया जाता है (यदि अंश हर से विभाज्य है), या पूरे भाग को अनुचित अंश से अलग किया जाता है (यदि अंश हर से विभाज्य नहीं है)।

परिभाषा 2

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालनाकिसी भिन्न को उसकी मिश्रित संख्या से बदलने की क्रिया कहलाती है।

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए, आपको अनुचित अंश $\frac(a)(b)$ को मिश्रित संख्या $q\frac(r)(b)$ के रूप में प्रस्तुत करना होगा, जहां $q$ अपूर्ण है भागफल, $r$-- शेष जब $a$ को $b$ से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार, पूर्णांक भाग $a$ के अपूर्ण भागफल के बराबर होता है, जिसे $b$ से विभाजित किया जाता है, और शेष भाग भिन्नात्मक भाग के अंश के बराबर होता है।

आइए इस कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$।

सूत्र का उपयोग करके मिश्रित संख्या $q\frac(r)(b)$ को एक अनुचित अंश में बदलें:

इसलिये $q$ अधूरा भागफल है, $r$ $a$ से $b$ के विभाजन का शेष भाग है, तो $a=b\cdot q+r$ सत्य है। इस प्रकार, $\frac(q\cdot b+r)(b)=\frac(a)(b)$, जहां से $q\frac(r)(b)=\frac(a)(b)$, जो दिखाया जाना था।

इस प्रकार, हम \textit (अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग निकालने का नियम) $\frac(a)(b)$ बनाते हैं:

अपूर्ण भागफल $q$ और शेष $r$ का निर्धारण करते हुए, $a$ को $b$ से शेष भाग से विभाजित करें।

मिश्रित संख्या $q\frac(r)(b)$ मूल भिन्न $\frac(a)(b)$ के बराबर लिखें।

उदाहरण 5

भिन्न $\frac(107)(4)$ से पूर्णांक भाग निकालें।

समाधान।

आइए कॉलम डिवीजन करें:

चित्र 1।

इसलिए, अंश $a=107$ को हर $b=4$ से विभाजित करने पर, हमें अधूरा भागफल $q=26$ और शेष $r=3$ प्राप्त होता है।

हम पाते हैं कि अनुचित भिन्न $\frac(107)(4)$ मिश्रित संख्या $q\frac(r)(b)=26\frac(3)(4)$ के बराबर है।

उत्तर: $\frac((\rm 107))((\rm 4))(\rm =26)\frac((\rm 3))((\rm 4))$।

एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का जोड़

मिश्रित और प्राकृत संख्याओं के योग का नियम:

एक मिश्रित और एक प्राकृतिक संख्या जोड़ने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग में जोड़ना होगा, भिन्नात्मक भाग अपरिवर्तित रहता है:

जहाँ $a\frac(b)(c)$ एक मिश्रित संख्या है,

$n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

उदाहरण 6

मिश्रित संख्या $23\frac(4)(7)$ और संख्या $3$ जोड़ें।

समाधान।

उत्तर:$23\frac(4)(7)+3=26\frac(4)(7).$

दो मिश्रित संख्याओं को जोड़ना

जब दो मिश्रित संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है, तो उनके पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक भाग जुड़ जाते हैं।

उदाहरण 7

मिश्रित संख्याएँ $3\frac(1)(5)$ और $7\frac(4)(7)$ जोड़ें।

समाधान।

आइए सूत्र का उपयोग करें:

\ \

उत्तर:$10\frac(27)(35).$

इस लेख में हम बात करेंगे मिश्रित संख्या. सबसे पहले, आइए मिश्रित संख्याओं को परिभाषित करें और उदाहरण दें। इसके बाद, आइए मिश्रित संख्याओं और अनुचित भिन्नों के बीच संबंध पर ध्यान दें। उसके बाद, हम दिखाएंगे कि मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे परिवर्तित किया जाए। अंत में, हम विपरीत प्रक्रिया का अध्ययन करेंगे, जिसे एक अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग का निष्कर्षण कहा जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

मिश्रित संख्या, परिभाषा, उदाहरण

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि योग n + a / b, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, a / b एक नियमित भिन्न है, को फॉर्म में बिना अतिरिक्त चिह्न के लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, योग 28+5/7 को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है। इस तरह की प्रविष्टि को मिश्रित कहा जाता था, और इस मिश्रित प्रविष्टि से मेल खाने वाली संख्या को मिश्रित संख्या कहा जाता था।

अतः हम मिश्रित संख्या की परिभाषा पर आते हैं।

परिभाषा।

मिश्रित संख्याएक प्राकृतिक संख्या n और एक उचित साधारण भिन्न a/b के योग के बराबर एक संख्या है, और के रूप में लिखा जाता है। इस मामले में, संख्या n कहा जाता है किसी संख्या का पूर्णांक भाग, और संख्या a/b कहलाती है किसी संख्या का भिन्नात्मक भाग.

परिभाषा के अनुसार, एक मिश्रित संख्या उसके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के बराबर होती है, अर्थात समानता सत्य होती है, जिसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

चलो लाते हैं मिश्रित संख्याओं के उदाहरण. संख्या एक मिश्रित संख्या है, प्राकृत संख्या 5 संख्या का पूर्णांक भाग है, और संख्या का भिन्नात्मक भाग है। मिश्रित संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं .

कभी-कभी आप मिश्रित अंकन में संख्याएँ पा सकते हैं, लेकिन एक अनुचित अंश का भिन्नात्मक भाग, उदाहरण के लिए, या। इन संख्याओं को उनके पूर्ण और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में समझा जाता है, उदाहरण के लिए, और . लेकिन ऐसी संख्याएँ मिश्रित संख्या की परिभाषा में फिट नहीं बैठती हैं, क्योंकि मिश्रित संख्याओं का भिन्नात्मक भाग एक उचित भिन्न होना चाहिए।

एक संख्या भी मिश्रित संख्या नहीं है, क्योंकि 0 एक प्राकृत संख्या नहीं है।

मिश्रित संख्याओं और अनुचित भिन्नों के बीच संबंध

निशान मिश्रित संख्याओं और अनुचित भिन्नों के बीच संबंधउदाहरणों के साथ सर्वश्रेष्ठ।

ट्रे पर एक केक और उसी केक का एक और 3/4 होने दें। यानी जोड़ के अर्थ के अनुसार ट्रे पर 1+3/4 केक हैं। अंतिम राशि को मिश्रित संख्या के रूप में लिखने के बाद, हम कहते हैं कि ट्रे पर एक केक है। अब हम पूरे केक को 4 बराबर भागों में काट लेंगे। नतीजतन, केक का 7/4 हिस्सा ट्रे पर होगा। यह स्पष्ट है कि केक की "मात्रा" नहीं बदली है, इसलिए।

माना उदाहरण से, निम्नलिखित कनेक्शन स्पष्ट रूप से दिखाई देता है: किसी भी मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है.

अब केक का 7/4 भाग ट्रे में रख दीजिये. चार टुकड़ों में से एक पूरा केक मिलाने पर, ट्रे पर 1 + 3/4, यानी एक केक होगा। यहाँ से यह स्पष्ट होता है कि .

इस उदाहरण से स्पष्ट है कि एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है. (विशेष मामले में जब एक अनुचित अंश के अंश को हर से विभाजित किया जाता है, तो अनुचित अंश को एक प्राकृतिक संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 8:4=2 के बाद से)।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलना

मिश्रित संख्याओं के साथ विभिन्न क्रियाओं को करने के लिए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने का कौशल उपयोगी होता है। पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि किसी भी मिश्रित संख्या को अनुचित अंश में बदला जा सकता है। यह पता लगाने का समय है कि ऐसा अनुवाद कैसे किया जाता है।

आइए दिखाते हुए एक एल्गोरिदम लिखें मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में कैसे बदलें:

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

आइए एल्गोरिथ्म के सभी आवश्यक चरणों को पूरा करें।

एक मिश्रित संख्या उसके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के बराबर होती है: .

संख्या 5 को 5/1 लिखने पर अंतिम योग बन जाता है।

मूल मिश्रित संख्या का अनुचित भिन्न में अनुवाद पूरा करने के लिए, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना शेष रहता है: .

संपूर्ण समाधान का सारांश इस प्रकार है: .

उत्तर:

इसलिए, एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में अनुवाद करने के लिए, आपको निम्नलिखित क्रियाओं की श्रृंखला करने की आवश्यकता है:। परिणामस्वरूप प्राप्त , जिसका हम निम्नलिखित में उपयोग करेंगे।

उदाहरण।

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

समाधान।

आइए मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए सूत्र का उपयोग करें। इस उदाहरण में n=15 , a=2 , b=5 । इस प्रकार से, .

उत्तर:

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना

उत्तर में अनुचित भिन्न लिखने की प्रथा नहीं है। एक अनुचित अंश को पहले या तो इसके बराबर एक प्राकृतिक संख्या के साथ बदल दिया जाता है (जब अंश को पूरी तरह से हर से विभाजित किया जाता है), या एक अनुचित अंश से पूरे भाग का तथाकथित चयन किया जाता है (जब अंश को विभाजित नहीं किया जाता है) पूरी तरह से भाजक द्वारा)।

परिभाषा।

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालनाकिसी भिन्न को उसकी समान मिश्रित संख्या से प्रतिस्थापित करना है।

यह पता लगाना बाकी है कि आप एक अनुचित भिन्न से पूरे भाग का चयन कैसे कर सकते हैं।

यह बहुत आसान है: एक अनुचित भिन्न a/b, फॉर्म की मिश्रित संख्या के बराबर है, जहां q एक अधूरा भागफल है, और r, a को b से विभाजित करने का शेषफल है। अर्थात् पूर्णांक भाग a को b से भाग देने वाले अधूरे भागफल के बराबर होता है और शेष भाग भिन्नात्मक भाग के अंश के बराबर होता है।

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

ऐसा करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है। आइए मिश्रित को एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करें जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में किया था:। चूँकि q एक अधूरा भागफल है और r, a को b से विभाजित करने का शेषफल है, तो समानता a=b q+r सत्य है (यदि आवश्यक हो, तो देखें

अनुभाग: गणित

कक्षा: 4

बुनियादी लक्ष्य:

1. एक अनुचित अंश से पूरे भाग को अलग करने की क्षमता बनाने के लिए।
2. अंश और हर की अवधारणाओं को संशोधित करें, सही और अनुचित अंश, मिश्रित संख्या।
3. एक अनुचित अंश से पूरे भाग को अलग करने की क्षमता को अद्यतन करने के लिए।

डिजाइन चरण में आवश्यक मानसिक संचालन: सादृश्य, विश्लेषण, सामान्यीकरण द्वारा कार्रवाई।

उपकरण:

डेमो सामग्री:

1) शेष के साथ विभाजन सूत्र।

हैंडआउट:

1) कार्य के साथ पत्रक (चरण 2 के लिए)

2) स्व-परीक्षण के लिए विस्तृत नमूना (चरण 6 तक)

कक्षाओं के दौरान।

1 सीखने की गतिविधियों के लिए आत्मनिर्णय।

लक्ष्य:

1. पिछले पाठ में प्राप्त सफलता की स्थिति को सुदृढ़ करके छात्रों को सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरित करें।
2. पाठ की सामग्री का निर्धारण करें।

चरण 1 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

कई पाठों के लिए हम कुछ संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं। हम किन नंबरों के साथ काम कर रहे हैं? (भिन्नात्मक संख्याओं के साथ)।

इन नंबरों के बारे में हमें क्या जानकारी है? (हम समस्याओं को पढ़ना, लिखना, तुलना करना, हल करना जानते हैं)।

मैं अपने फलदायी कार्य को जारी रखने का प्रस्ताव करता हूं। आप तैयार हैं? (हां)।

आज हम भिन्नात्मक संख्याओं के साथ काम करना जारी रखेंगे। मुझे यकीन है कि आपके और मेरे लिए सब कुछ ठीक हो जाएगा। लेकिन पहले, आइए पिछले पाठों की सामग्री को दोहराएं।

2 ज्ञान की प्राप्ति और व्यक्तिगत गतिविधियों में कठिनाइयों का निर्धारण।

लक्ष्य:

1. सही और अनुचित भिन्नों, मिश्रित संख्याओं, सही और अनुचित भिन्नों की परिभाषा, मिश्रित संख्याओं को खोजने की क्षमता को अद्यतन करें।
2. नई सामग्री की धारणा के लिए आवश्यक और पर्याप्त मानसिक संचालन को अद्यतन करें।
3. उस स्थिति को ठीक करें जब छात्र अनुचित भिन्न से पूरे भाग का चयन नहीं कर सकते।

चरण 2 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

पिछले पाठ में हमने कौन-सी संख्याएँ सीखीं? (मिश्रित संख्याओं के साथ)।
मिश्रित संख्या क्या है? (पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों से)।

बोर्ड पर भिन्न और मिश्रित संख्याएँ लिखी जाती हैं।

प्रस्तुत संख्याओं को किन समूहों में विभाजित किया जा सकता है?

उचित अंश ()।

कौन से अंश सही हैं? (एक भिन्न जिसका अंश हर से कम है। एक उचित भिन्न एक से कम है)।

गलत अंश। (…..)

कौन से अंशों को अनुचित कहा जाता है? (एक भिन्न जिसमें अंश हर से बड़ा होता है या अंश हर के बराबर होता है)।

निम्नलिखित में से किस अनुचित भिन्न को एक प्राकृत संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है?

()

मिश्रित संख्या के रूप में किस भिन्न का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है? (एक अनुचित अंश जहां अंश हर से बड़ा है)।

एक संख्या किरण की सहायता से ज्ञात कीजिए कि कौन सी मिश्रित संख्या भिन्न होती है

छात्रों के पास एक कार्य (R-1) के साथ एक शीट है, एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर काम करता है, टिप्पणी करता है।

सबसे छोटी मिश्रित संख्या कौन सी है? ()

महानतम? ()

किस अंकगणितीय ऑपरेशन ने आपकी मदद की? (डिवीजन। डिवीजन शेष के साथ)।

इसे साबित करो। (बोर्ड पर: डी-1)।

12:7=1 (बाकी.5); 15:7=2 (विश्राम.1); 25:7=3 (विश्राम.4); 31:7=4 (बाकी.3)

भिन्न के पूर्णांक भाग को चुनिए, मिश्रित संख्या लिखिए। बच्चे पत्रक के पीछे की ओर काम करते हैं। विभिन्न उत्तरों को बोर्ड पर रखा जाता है।

आपने कैसे अभिनय किया?

3 कठिनाई के कारणों की पहचान और गतिविधि का लक्ष्य निर्धारित करना।

लक्ष्य:

1. एक अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन करने के लिए कार्य के विशिष्ट गुणों की पहचान करने के लिए संचार बातचीत का आयोजन करें।
2. पाठ के विषय और उद्देश्य पर सहमत हों।

चरण 3 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आपने क्या कार्य किया? (अंश से पूरे भाग का चयन करना आवश्यक है)।

यह असाइनमेंट पिछले वाले से कैसे अलग है? (जिस विधि ने हमें एक अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग का चयन करने में मदद की, वह भिन्नों के लिए उपयुक्त नहीं है। इस भिन्न को संख्यात्मक बीम पर दिखाना असुविधाजनक है)।

हम क्या देखते हैं? (हमें अलग-अलग उत्तर मिले)।

क्यों? (हमने विभिन्न तरीकों का इस्तेमाल किया। हमारे पास एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए कोई एल्गोरिदम नहीं है)।

हमारे पाठ का उद्देश्य क्या है? (एक एल्गोरिथम बनाएं और एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालना सीखें)।

हमारे पाठ का विषय सोचें और तैयार करें। ("पूरे भाग को अनुचित भिन्न से अलग करना")।

बहुत बढ़िया!

पाठ के विषय का नाम बोर्ड पर प्रदर्शित होता है।

4 कठिनाई से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण।

लक्ष्य:

1. एक अनुचित अंश से पूरे हिस्से को निकालने के लिए कार्रवाई का एक नया तरीका बनाने के लिए संचार बातचीत का आयोजन करें।
2. साइन और वर्बल रूप में और एक मानक की मदद से एक नया तरीका तय करें।

चरण 4 . में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन

एक भिन्नात्मक संख्या में कितनी पूर्णांक इकाइयाँ हैं, यह ज्ञात करने के लिए आप किस प्रकार प्रस्तावित करते हैं? (अंश को हर से विभाजित किया जाता है)।

भिन्न संकेतन में कौन सा चिन्ह आपको बताता है कि कैसे कार्य करना है? (एक अंश की रेखा एक विभाजन चिह्न है)।

डेस्क पर:

आइए भिन्न को निजी के रूप में लिखें: 65:7।

यह कैसा विभाजन है? (शेष के साथ डिवीजन। बोर्ड पर: डी -1)।

परिणाम खोजें। (65: 7 = 9) (रेस. 2)

परिणामी समानता में भागफल 9 और शेष 2 का क्या अर्थ है? (भागफल 9 का अर्थ है कि 65 में 9 गुणा 7 और 2 शेष हैं)।

मिश्रित संख्या में भागफल 9 का क्या अर्थ होगा? (9 मिश्रित संख्या का पूर्णांक भाग है)।

डेस्क पर:

मिश्रित संख्या में शेषफल 2 क्या होगा? (2 मिश्रित संख्या के भिन्न का अंश है)।

डेस्क पर:

भाजक के बारे में क्या? (वह रहता है, बदलता नहीं है)।

डेस्क पर:

मिश्रित संख्या क्या है?

क्या हमने कार्य पूरा किया? (हां)।

किस गणितीय क्रिया ने हमारी मदद की? (शेष के साथ डिवीजन। बोर्ड पर: डी -1)।

शिक्षक शीट्स पर उत्तरों पर लौटता है, सारांशित करता है, एक शब्द के साथ प्रोत्साहित करता है जिन्होंने इसे सही किया। समूह रूप में, छात्र पत्रक पर साइन फॉर्म में एक नई विधि निकालते हैं। सही विकल्प चुना गया है।

शेषफल (D-1) के साथ विभाजन सूत्र का प्रयोग करते हुए लिखिए कि भिन्न किस मिश्रित संख्या के बराबर है?

बोर्ड पर: डी-3

एक अनुचित भिन्न से पूरा भाग कैसे निकालें?

एक अनुचित भिन्न से पूरे भाग को निकालने के लिए, आपको इसके अंश को हर से विभाजित करना होगा। भागफल पूर्णांक भाग होगा, शेष अंश अंश होगा, और हर नहीं बदलेगा।

बहुत बढ़िया! धन्यवाद!

आइए अभी भी पाठ्यपुस्तक की राय के साथ हमारी राय की जाँच करें। पृष्ठ 26 की ओर मुड़ें, गणित 4 (भाग 2), पहले स्वयं नियम पढ़ें और फिर जोर से पढ़ें।

हम सही थे? (हां)।

बहुत बढ़िया!

फ़िज़मिनुत्का (शिक्षक की पसंद पर)।

5 बाहरी भाषण में प्राथमिक समेकन।

लक्ष्य:

बाहरी भाषण में एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने की विधि को ठीक करें।

चरण 5 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आइए एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए एल्गोरिथ्म को दोहराएं। डी 2

हमने एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए एक एल्गोरिथ्म संकलित किया है। हमारी भविष्य की गतिविधियों का उद्देश्य क्या है? (अभ्यास)।

नंबर 4 (ए, बी, सी) पी। 26 - मॉडल के अनुसार कमेंट्री के साथ।

नंबर 4 (डी, ई) पी। 26 - जोड़े में।

6 स्व-निगरानी के साथ स्व-निगरानी।

लक्ष्य:

1. पूरे भाग को एक अनुचित अंश से अलग करने के कार्य के छात्रों द्वारा स्वतंत्र प्रदर्शन को व्यवस्थित करना।
2. आत्म-नियंत्रण और आत्म-सम्मान की क्षमता को प्रशिक्षित करें।
3. एक अनुचित भिन्न से पूरे भाग को अलग करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
4. सफलता की स्थिति के निर्माण में योगदान दें।

चरण 6 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आप एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करने में कामयाब रहे और उदाहरणों को हल करने का अभ्यास किया। मुझे लगता है कि अब आप कार्य को स्वयं पूरा कर सकते हैं।

यह अपने आप करो:

नंबर 3 पी। 26 - 1 विकल्प - 1 और 2 कॉलम;

विकल्प 2 - 3 और 4 कॉलम;

जो कोई चाहे, दूसरे विकल्प के कार्य को पूरा कर सकता है।

छात्र कार्य को पूरा करते हैं, जिसके अंत में वे स्व-परीक्षा के लिए मॉडल के अनुसार स्वयं की जांच करते हैं। पी-2 कार्ड का उपयोग किया जाता है।

स्व-परीक्षण टेम्पलेट का उपयोग करके स्वयं का परीक्षण करें और "+" या "?" का उपयोग करके परीक्षण के परिणाम को रिकॉर्ड करें। हरी कलम।

कार्य करते समय गलती किसने की? (...)

क्या कारण है? (...)

यह सही कौन है?

बहुत बढ़िया!

आप समूहों में या सामने से त्रुटियों को ठीक करने पर काम का आयोजन कर सकते हैं। जिन छात्रों ने गलती नहीं की है उन्हें सलाहकार के रूप में नियुक्त किया जाता है।

7 ज्ञान प्रणाली में समावेश और पुनरावृत्ति।

लक्ष्य:

पूरे भाग को एक अनुचित भिन्न से अलग करने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।

चरण 7 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आइए भिन्न और मिश्रित संख्या की तुलना करते समय अपने ज्ञान को लागू करने का प्रयास करें।

एक असमानता का पता लगाएं जिसमें आपको एक उचित अंश की तुलना एक अनुचित के साथ करने की आवश्यकता है।

हम क्या करें?

आइए पूर्णांक भाग को अनुचित भिन्न से निकालें।

साधन?!

एक अनुचित अंश एक उचित अंश से बड़ा होता है। हमने इसे पूर्णांक भाग का चयन करके सिद्ध किया है।

बहुत बढ़िया!

कार्य समाप्त करें, तुलना करें।

चलो जांचते हैं।

8 कक्षा में सीखने की गतिविधियों का प्रतिबिंब।

लक्ष्य:

1. भाषण में एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने के लिए एल्गोरिथ्म को ठीक करें।
2. शेष कठिनाइयों और उन्हें दूर करने के तरीकों को रिकॉर्ड करें।
3. कक्षा में अपने स्वयं के प्रदर्शन का मूल्यांकन करें।
4. होमवर्क का समन्वय करें।

चरण 8 में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आपने पाठ में क्या सीखा? (पूरे भाग को अनुचित भिन्न से अलग करें)।

हमने क्या एल्गोरिदम बनाया है? (आप D-2 एल्गोरिथम कह सकते हैं)।

किसे कठिनाई हुई? आप कैसे कार्य करेंगे?

आज कौन खुश है? क्यों?

मेरे पास कक्षा में कठिन समय था।
मुझे सबक मिल गया है, लेकिन मुझे अभ्यास की जरूरत है।
- मैं सबक अच्छी तरह समझ गया, लेकिन मुझे मदद की ज़रूरत है।
- अच्छा किया, मैं पाठ को पूरी तरह से समझ गया।

गृहकार्य: पाँच अनुचित भिन्नों के साथ आएँ और पूरे भाग को हाइलाइट करें; नंबर 10, नंबर 11 पी। 28 - वैकल्पिक; नंबर 15 पी। 28 (ए या बी) - वैकल्पिक।

बहुत बढ़िया! सबक के लिए धन्यवाद!

कक्षा 5 . में पाठ सारांश

"मिश्रित संख्या। पूरे भाग को अनुचित भिन्न से अलग करना

कक्षाओं के दौरान

आयोजन का समय। अभिवादन।

हम एक मानसिक गणना करेंगे और सभी रिकॉर्ड तोड़ेंगे

मौखिक गणना।

गलतियों को खोजने के लिये

सही अंश।

बी)

आइए बोर्ड पर लिखें कि हम अभी तक तुलना नहीं कर सकते हैं।

2. विभाजन करें:

45: 9=5 ; 0: 67=0; 234: 1=234;

567: 567 = 1; 34:17=2; ए: ए = 1;

3. शेष के साथ विभाजन करें:

6 = 2 (बाकी 2)

3 = 8 (बाकी। 1)

48: 9 = 5 (बाकी 3)

इन कदमों का अनुसरण करें:

हम अंतिम उदाहरण को हल नहीं कर सकते, हम इसे लिखते हैं।

नई सामग्री की व्याख्या

चित्र में क्या दिखाया गया है? केक को कितने भागों में बांटा गया है? आपने कितने हिस्से लिए? अंश के रूप में प्रस्तुत करें।

क्या है इस तस्वीर में? यह देखा जा सकता है कि केक अलग-अलग ट्रे पर है। पहली ट्रे में कितने टुकड़े हैं? दूसरा?

इसे इस तरह एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

1 - पूर्णांक भाग, - भिन्नात्मक भाग।

पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का योग कहलाता हैमिश्रित संख्या .

चित्र से ज्ञात कीजिए कि कौन-सी मिश्रित संख्या भिन्न के बराबर है?

अर्थात्, हमने एक अनुचित भिन्न और एक मिश्रित संख्या के बीच संबंध देखा।

आइए निष्कर्ष निकालें: हम एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदल सकते हैं, अर्थात। जैसा कि वे गणित में कहते हैं, एक अनुचित अंश से पूरे भाग को निकालने के लिए।

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालने का नियम:

हर द्वारा अंश को शेषफल से भाग दें

एक अधूरा भागफल एक पूर्णांक भाग होगा

शेष अंश अंश देता है, और भाजक भिन्नात्मक भाग का हर देता है

पाठ के विषय पर काम करें।

एक अनुचित भिन्न का पूर्णांक भाग ज्ञात कीजिए (कक्षा के साथ):

एक अनुचित भिन्न से पूरे भाग का चयन करें (ब्लैकबोर्ड पर)

तुलना करना

ऐतिहासिक जानकारी।

रूस में पुराने दिनों में, एक से कम कोपेक के मूल्यवर्ग वाले सिक्कों का उपयोग किया जाता था:

पेनी - के। औरआधा - के।

अन्य सिक्कों के भी नाम थे:

3 के। - अल्टीन, 5 के। - निकल, 15 के। - पांच-अल्टीन,

10 k. - रिव्निया, 20 k. दो रिव्निया,

25 k. - चौथाई, 50 k. - पचास डॉलर।

स्वतंत्र काम

आप कैसे कल्पना कर सकते हैं

1 रिव्निया, 1 अल्टीन, तीन पैसे .

प्रतिबिंब

आपका मूड कैसा है?

वह भिन्न लिखें जो आपके ज्ञान के अनुकूल हो:

2 (यह अस्पष्ट है)

2 (यह दिलचस्प था, लेकिन स्पष्ट नहीं था)

3 (मुश्किल, विषय दिलचस्प नहीं है)

3 (यह कठिन था, लेकिन मैं निश्चित रूप से इस विषय का अध्ययन करने का प्रयास करूंगा)

4 (कुछ उदाहरणों ने कठिनाइयों का कारण बना)

4 (मैं समझता हूं, लेकिन मैं मदद नहीं कर सकता)

5 (सब कुछ स्पष्ट है, मैं दूसरों की मदद कर सकता हूं)

मुझे आशा है कि प्रत्येक पाठ के साथ आपका स्कोर केवल बढ़ेगा! और ग्रेड 5 प्राप्त करने के लिए, आपको न केवल कक्षा में, बल्कि घर पर भी काम करने की आवश्यकता है।

होम वर्क।

§ 1 पूरे भाग को अनुचित भिन्न से अलग करना

इस पाठ में, आप सीखेंगे कि पूर्णांक भाग को हाइलाइट करके एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में कैसे परिवर्तित किया जाए, और इसके विपरीत मिश्रित संख्या से अनुचित भिन्न कैसे प्राप्त किया जाए।

सबसे पहले, आइए याद करें कि मिश्रित संख्या और अनुचित भिन्न क्या हैं।

एक मिश्रित संख्या एक संख्या का एक विशेष रूप है जिसमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है।

एक अनुचित भिन्न वह भिन्न होती है जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

समस्या पर विचार करें:

हम 8 मिठाइयाँ तीन बच्चों में बाँटेंगे। प्रत्येक को कितना मिलेगा?

यह पता लगाने के लिए कि प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी, आपको चाहिए

लेकिन उत्तर में अनुचित भिन्न लिखने की प्रथा नहीं है। इसे प्रारंभिक रूप से या तो इसके बराबर एक प्राकृतिक संख्या के साथ बदल दिया जाता है (जब अंश को पूरी तरह से हर से विभाजित किया जाता है), या एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग का तथाकथित पृथक्करण किया जाता है (जब अंश द्वारा विभाजित नहीं किया जाता है हर)।

एक अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग को निकालने से भिन्न को उसके बराबर मिश्रित संख्या से बदल दिया जाता है।

एक अनुचित अंश से पूरे भाग को निकालने के लिए, आपको अंश को हर से भाग देना होगा। इस स्थिति में, अपूर्ण भागफल पूर्णांक भाग होगा, शेष भाग अंश होगा, और भाजक हर होगा।

चलिए कार्य पर वापस आते हैं।

अतः, हम 8 को 3 से भाग करने पर शेषफल प्राप्त होता है, हमें अपूर्ण भागफल में 2 और शेषफल में 2 प्राप्त होता है।

§ 2 मिश्रित संख्या का अनुचित भिन्न के रूप में निरूपण

आइए निम्नलिखित कार्य करें:

हम 49 को 13 से विभाजित करते हैं, हमें अपूर्ण भागफल में 3 मिलता है (यह पूर्णांक भाग होगा) और शेष 10 (हम इसे भिन्नात्मक भाग के अंश में लिखेंगे)।

मिश्रित संख्याओं के साथ विभिन्न क्रियाओं को करने के लिए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने का कौशल उपयोगी होता है। यह पता लगाने का समय है कि ऐसा अनुवाद कैसे किया जाता है।

एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको भिन्न के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद में अंश जोड़ना होगा। नतीजतन, हमें एक संख्या मिलती है जो नए अंश का अंश होगा, और हर अपरिवर्तित रहता है।

पहला चरण 5 के पूर्णांक भाग को हर 7 से गुणा करना है, हमें 35 प्राप्त होता है।

दूसरा चरण परिणामी उत्पाद 35 में अंश 4 को जोड़ना है, यह 39 होगा।

अब हम अंश में 39 लिखते हैं और हर में 7 छोड़ते हैं।

इस प्रकार, इस पाठ में आपने सीखा कि एक अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में कैसे परिवर्तित किया जाता है, इसके लिए आपको हर से अंश को शेषफल से विभाजित करना होगा। तब अपूर्ण भागफल पूर्णांक भाग होगा, शेष अंश अंश होगा, और भाजक मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग का हर होगा।

आप मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करने से भी परिचित हो गए हैं। एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको मिश्रित संख्या के भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद में अंश जोड़ना होगा।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित 5 वीं कक्षा। विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई. और अन्य। 31 वां संस्करण।, ster। - एम: 2013।
2. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक - पोपोव एम.ए. - वर्ष 2013
3. हम त्रुटियों के बिना गणना करते हैं। गणित ग्रेड 5-6 में स्व-परीक्षा के साथ कार्य करें। लेखक - मिनेवा एस.एस. - वर्ष 2014
4. गणित ग्रेड 5 में उपदेशात्मक सामग्री। लेखक: डोरोफीव जी.वी., कुजनेत्सोवा एल.वी. - 2010
5. गणित ग्रेड 5 में नियंत्रण और स्वतंत्र कार्य। लेखक - पोपोव एम.ए. - वर्ष 2012
6. गणित। ग्रेड 5: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / आई। आई। जुबारेवा, ए। जी। मोर्दकोविच। - 9वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2009