अंकगणितीय प्रगति सूत्र की गणना कैसे करें। अंकगणितीय प्रगति: यह क्या है? प्रगति अंतर: परिभाषा

या अंकगणित - यह एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह प्रगति क्या है?

प्रश्न पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि क्या चर्चा की जाएगी।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। गणित की भाषा में अनुवादित यह परिभाषा इस प्रकार है:

यहाँ i श्रृंखला के तत्व a i की क्रमिक संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित समानता विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

अर्थात n-वें तत्व का मान क्रम से ज्ञात करने के लिए अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ें।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि का सूत्र देने से पहले, एक साधारण विशेष मामले पर विचार करना उचित है। 1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55।

यह एक दिलचस्प बात पर विचार करने लायक है: चूँकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न होता है, तो पहले का दसवें के साथ, दूसरे का नौवें के साथ, इत्यादि का जोड़ीवार योग एक ही परिणाम देगा। . वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला में तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर आ जायेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि एक पंक्ति में सभी तत्वों का योग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान, साथ ही शब्दों n की कुल संख्या जानने के लिए पर्याप्त है।

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में तब सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा निर्धारित समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करना।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों का) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर कार्यों में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि mवें से nवें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रतिनिधित्व में, m-वां सदस्य a m पहला होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक क्रम दिया गया है, आपको इसके सदस्यों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें सदस्यों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानना, और यह भी जानना कि वे श्रृंखला में कौन से नंबरों पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। पाना:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, और फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं। .

तो आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वीं संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य को - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
ऐसे संख्यात्मक अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6ठी शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थ में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और दर्शाया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर वापस लौटें और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका.

1. विधि

हम प्रगति संख्या के पिछले मान को तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मूल्य:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

2. विधि

यदि हमें प्रगति के वें पद का मान ज्ञात करना हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक समय लगा होगा, और यह सच नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
निःसंदेह, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर को ध्यान से देखें... निश्चित रूप से आप पहले ही एक निश्चित पैटर्न देख चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मान क्या बनता है:


दूसरे शब्दों में:

इस अंकगणितीय प्रगति के एक सदस्य का मान इस प्रकार स्वतंत्र रूप से ज्ञात करने का प्रयास करें।

गणना की गई? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको बिल्कुल वही संख्या मिली है जो पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक आगामी मान पिछले मान से अधिक हो।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से युक्त एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल बनाएं - हम अंकगणितीय प्रगति का गुण प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आप कहते हैं, यह आसान है, और उस सूत्र के अनुसार गिनती शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

एकदम सही। इससे पता चलता है कि हम पहले ढूंढते हैं, फिर उसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मानों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएँ दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलतियाँ होने की संभावना है।
अब सोचिए, क्या किसी फॉर्मूले का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बिल्कुल, हाँ, और हम इसे अभी सामने लाने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित पद को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने का सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य से दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और क्रमिक मूल्यों के साथ प्रगति सदस्य का मूल्य खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री ठीक करें। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस ने आसानी से अपने लिए निकाला था ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो शिक्षक, अन्य कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच करने में व्यस्त थे, उन्होंने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "से लेकर (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" " शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उनके छात्रों में से एक (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों को लंबी गणना के बाद गलत परिणाम मिला ...

युवा कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से नोटिस कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास -ti सदस्यों से युक्त एक अंकगणितीय प्रगति है: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। बेशक, हम सभी मानों को मैन्युअल रूप से जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनका योग बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का बिल्कुल आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते, लेकिन हम प्रगति अंतर को जानते हैं। योग सूत्र में वें सदस्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग और पदों का योग बराबर है। क्या आपने इसी तरह निर्णय लिया?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र तीसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, बुद्धिमान लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का पूरी ताकत से उपयोग किया था।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं, यहाँ प्रगति कहाँ है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न ढूंढें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि यदि आधार में ब्लॉक ईंटें रखी गई हैं तो एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉक की आवश्यकता होगी। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ भी कहा था वह सब याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर.
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या.
आइए अपने डेटा को अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित करें (हम ब्लॉकों की संख्या 2 तरीकों से गिनते हैं)।

विधि 1.

विधि 2.

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर मौजूद ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन किससे? यह गणना करने का प्रयास करें कि इस स्थिति में दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता होगी।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में आ रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या बढ़ा देती है। यदि माशा ने पहली कसरत में स्क्वाट किया तो वह हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी।
2. इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लकड़ियाँ संग्रहीत करते समय, लकड़हारा उन्हें इस तरह से ढेर कर देता है कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछली परत की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लकड़ियाँ होती हैं, यदि चिनाई का आधार लकड़ियाँ हैं।

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन).

   उत्तर:दो सप्ताह में माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या.
   अंकगणितीय प्रगति अंतर.
   हालाँकि - आधे में विषम संख्याओं की संख्या, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. पिरामिडों के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, इसलिए परतों का केवल एक गुच्छा होता है।
   डेटा को सूत्र में रखें:

   उत्तर:चिनाई में लकड़ियाँ हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योगदो तरीकों से पाया जा सकता है:
   
   , मानों की संख्या कहां है.

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, इत्यादि, यानी, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या क्रम का एक उदाहरण है.

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या और केवल एक के साथ जोड़ा जा सकता है। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य को - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सके। उदाहरण के लिए, सूत्र

क्रम निर्धारित करता है:

और सूत्र निम्नलिखित क्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला पद बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, ऐसे सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो. तब:

खैर, अब यह स्पष्ट हो गया है कि फॉर्मूला क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम किसी संख्या से गुणा करके जोड़ते हैं। किस लिए? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है. और क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र यह है:

तो सौवाँ पद है:

से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के नाते कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की थी। उसने देखा कि पहली और अंतिम संख्या का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी का योग समान है, इत्यादि। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की बिल्कुल आधी संख्या, अर्थात। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के प्रथम पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसा पहला नंबर ये है. प्रत्येक अगला पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए रुचिकर संख्याएँ पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मीटर अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह हफ्तों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक प्रत्येक दिन पिछले वाले की तुलना में अधिक मील चलता है। पहले दिन उन्होंने किमी. की यात्रा की। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन गाड़ी चलानी पड़ेगी? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल इतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल एक रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो गई, यदि इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया था, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले पदों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है:, इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, इसलिए उत्तर।
   आइए -वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । खोजो: ।
   यह आसान नहीं होता:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य ज्ञात करने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा गया है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

यदि प्रगति के पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों तो प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान हो जाता है - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग

योग ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मानों की संख्या कहां है.

मानों की संख्या कहां है.

शेष 2/3 लेख केवल आपके प्रतिभाशाली छात्रों के लिए उपलब्ध हैं!

YouClever के छात्र बनें,

"प्रति माह एक कप कॉफी" की कीमत पर गणित में OGE या USE की तैयारी करें।

और "यूक्लेवर" पाठ्यपुस्तक, "100जिया" प्रशिक्षण कार्यक्रम (समाधान पुस्तक), असीमित परीक्षण यूएसई और ओजीई, समाधानों के विश्लेषण के साथ 6000 कार्यों और अन्य यूक्लेवर और 100जिया सेवाओं तक असीमित पहुंच भी प्राप्त करें।

गणित में, किसी भी तरह से व्यवस्थित संख्याओं का कोई भी संग्रह जो एक दूसरे का अनुसरण करता है उसे अनुक्रम कहा जाता है। संख्याओं के सभी मौजूदा अनुक्रमों में से, दो दिलचस्प मामले प्रतिष्ठित हैं: बीजगणितीय और ज्यामितीय प्रगति।

अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे तुरंत कहा जाना चाहिए कि बीजगणितीय प्रगति को अक्सर अंकगणित कहा जाता है, क्योंकि इसके गुणों का अध्ययन गणित की एक शाखा - अंकगणित द्वारा किया जाता है।

यह प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर संख्या से भिन्न होता है। इसे बीजगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है। निश्चितता के लिए, हम इसे लैटिन अक्षर d से निरूपित करते हैं।

ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण निम्नलिखित हो सकता है: 3, 5, 7, 9, 11..., यहां आप देख सकते हैं कि संख्या 5, 3 बटा 2 से अधिक है, 7, 5 बटा 2 से भी अधिक है, और इसी प्रकार पर। तो दिखाए गए उदाहरण में, d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2।

अंकगणितीय प्रगति क्या हैं?

संख्याओं के इन क्रमबद्ध अनुक्रमों की प्रकृति काफी हद तक संख्या d के चिह्न से निर्धारित होती है। बीजगणितीय प्रगति के निम्नलिखित प्रकार हैं:

• जब d धनात्मक हो तो बढ़ रहा है (d>0);
• स्थिरांक जब d = 0;
• जब d ऋणात्मक हो तो घटता है (d<0).

पिछले पैराग्राफ का उदाहरण बढ़ती प्रगति को दर्शाता है। घटते अनुक्रम का एक उदाहरण संख्याओं का निम्नलिखित क्रम है: 10, 5, 0, -5, -10, -15 ... एक निरंतर प्रगति, जैसा कि इसकी परिभाषा से पता चलता है, समान संख्याओं का एक संग्रह है।

प्रगति का नौवाँ सदस्य

इस तथ्य के कारण कि विचाराधीन प्रगति में प्रत्येक बाद की संख्या पिछले एक से एक स्थिरांक d से भिन्न होती है, इसके nवें सदस्य को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको न केवल d, बल्कि 1 - प्रगति का पहला सदस्य भी जानना होगा। पुनरावर्ती दृष्टिकोण का उपयोग करके, कोई nवाँ पद ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय प्रगति सूत्र प्राप्त कर सकता है। ऐसा लगता है: a n = a 1 + (n-1)*d. यह सूत्र काफी सरल है, और आप इसे सहज स्तर पर समझ सकते हैं।

इसे इस्तेमाल करना भी मुश्किल नहीं है. उदाहरण के लिए, ऊपर दिखाई गई प्रगति में (d=2, a 1 =3), आइए इसके 35वें सदस्य को परिभाषित करें। सूत्र के अनुसार, यह बराबर होगा: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71।

योग के लिए सूत्र

जब एक अंकगणितीय प्रगति दी जाती है, तो nवें पद का मान निर्धारित करने के साथ-साथ इसके पहले n पदों का योग एक बार-बार होने वाली समस्या है। बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: ∑ n 1 \u003d n * (a 1 + a n) / 2, यहां आइकन ∑ n 1 इंगित करता है कि 1 से nवें पदों का योग किया गया है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति को उसी पुनरावृत्ति के गुणों का सहारा लेकर प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन इसकी वैधता साबित करने का एक आसान तरीका है। आइए इस योग के पहले 2 और अंतिम 2 सदस्यों को संख्या a 1 , a n और d में व्यक्त करते हुए लिखें, और हमें मिलता है: a 1 , a 1 +d,...,a n -d, a n । अब ध्यान दें कि यदि आप पहले पद को अंतिम में जोड़ते हैं, तो यह दूसरे और अंतिम पद के योग के बिल्कुल बराबर होगा, यानी a 1 + a n। इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि तीसरे और अंतिम पदों को जोड़कर समान योग प्राप्त किया जा सकता है, इत्यादि। अनुक्रम में संख्याओं की एक जोड़ी के मामले में, हमें n/2 योग मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक a 1 +a n के बराबर होता है। अर्थात्, हम योग के लिए बीजगणितीय प्रगति के लिए उपरोक्त सूत्र प्राप्त करते हैं: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2।

सदस्यों की अयुग्मित संख्या n के लिए, यदि उपरोक्त तर्क का पालन किया जाए तो एक समान सूत्र प्राप्त होता है। बस शेष पद जोड़ना याद रखें, जो प्रगति के केंद्र में है।

हम ऊपर दिए गए सरल प्रगति के उदाहरण का उपयोग करके उपरोक्त सूत्र का उपयोग कैसे करें (3, 5, 7, 9, 11 ...) दिखाएंगे। उदाहरण के लिए, इसके पहले 15 सदस्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक है। सबसे पहले, आइए 15 को परिभाषित करें। nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करना (पिछला पैराग्राफ देखें), हमें मिलता है: a 15 = a 1 + (n-1) * d = 3 + (15-1) * 2 = 31। अब आप आवेदन कर सकते हैं बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255।

एक दिलचस्प ऐतिहासिक तथ्य का हवाला देना दिलचस्प है. अंकगणितीय प्रगति के योग का सूत्र सबसे पहले कार्ल गॉस (18वीं शताब्दी के प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था। जब वह केवल 10 वर्ष का था, तो शिक्षक ने 1 से 100 तक की संख्याओं का योग ज्ञात करने की समस्या पूछी। ऐसा कहा जाता है कि छोटे गॉस ने इस समस्या को कुछ ही सेकंड में हल कर दिया, यह देखते हुए कि शुरुआत से संख्याओं को जोड़े में जोड़कर और अनुक्रम के अंत में, आप हमेशा 101 प्राप्त कर सकते हैं, और चूँकि ऐसे 50 योग हैं, उन्होंने तुरंत उत्तर दिया: 50 * 101 = 5050।

समस्या समाधान उदाहरण

बीजगणितीय प्रगति के विषय के समापन के रूप में, हम एक और जिज्ञासु समस्या को हल करने का एक उदाहरण देंगे, जिससे विचाराधीन विषय की समझ मजबूत होगी। मान लीजिए कि कुछ प्रगति दी गई है, जिसके लिए अंतर d = -3 ज्ञात है, साथ ही इसका 35वां पद a 35 = -114 भी ज्ञात है। प्रगति के 7वें सदस्य को 7 खोजना आवश्यक है।

जैसा कि समस्या की स्थिति से देखा जा सकता है, 1 का मान अज्ञात है, इसलिए, nवें पद के सूत्र का सीधे उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, रिकर्सन विधि असुविधाजनक है, जिसे मैन्युअल रूप से लागू करना मुश्किल है, और गलती होने की उच्च संभावना है। आइए निम्नानुसार आगे बढ़ें: हम a 7 और a 35 के लिए सूत्र लिखते हैं, हमारे पास है: a 7 = a 1 + 6 * d और a 35 = a 1 + 34 * d। पहली अभिव्यक्ति से दूसरी अभिव्यक्ति घटाएं, हमें मिलता है: ए 7 - ए 35 \u003d ए 1 + 6 * डी - ए 1 - 34 * डी। जहां से यह इस प्रकार है: ए 7 = ए 35 - 28 * डी। यह समस्या की स्थिति से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने और उत्तर लिखने के लिए बना हुआ है: a 7 = -114 - 28 * (-3) = -30।

ज्यामितीय अनुक्रम

लेख के विषय को पूरी तरह से प्रकट करने के लिए, हम एक अन्य प्रकार की प्रगति - ज्यामितीय का संक्षिप्त विवरण देते हैं। गणित में, इस नाम को संख्याओं के अनुक्रम के रूप में समझा जाता है जिसमें प्रत्येक अगला पद किसी कारक से पिछले एक से भिन्न होता है। हम इस कारक को आर अक्षर से निरूपित करते हैं। इसे विचाराधीन प्रगति के प्रकार का हर कहा जाता है। संख्याओं के इस क्रम का एक उदाहरण होगा: 1, 5, 25, 125, ...

जैसा कि उपरोक्त परिभाषा से देखा जा सकता है, बीजगणितीय और ज्यामितीय प्रगति उनके विचार में समान हैं। उनके बीच अंतर यह है कि पहला दूसरे की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बदलता है।

एक ज्यामितीय प्रगति बढ़ती, स्थिर और घटती भी हो सकती है। इसका प्रकार हर r के मान पर निर्भर करता है: यदि r>1, तो बढ़ती हुई प्रगति है, यदि r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

ज्यामितीय प्रगति के सूत्र

जैसा कि एक बीजीय के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति के सूत्र इसके nवें सदस्य की परिभाषा और n पदों के योग तक कम हो जाते हैं। नीचे ये अभिव्यक्तियाँ हैं:

• a n = a 1 * r (n-1) - यह सूत्र ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा का अनुसरण करता है।
• ∑ एन 1 = ए 1 * (आर एन -1) / (आर-1)। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि r = 1 है, तो उपरोक्त सूत्र अनिश्चितता देता है, इसलिए इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। इस स्थिति में, n पदों का योग साधारण गुणनफल a 1 *n के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अनुक्रम 1, 5, 25, 125, के केवल 10 सदस्यों का योग ज्ञात करें... यह जानते हुए कि a 1 = 1 और r = 5, हमें मिलता है: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406। परिणामी मूल्य इस बात का स्पष्ट उदाहरण है कि ज्यामितीय प्रगति कितनी तेजी से बढ़ती है।

शायद इतिहास में इस प्रगति का पहला उल्लेख शतरंज की बिसात से जुड़ी किंवदंती है, जब एक सुल्तान के दोस्त ने, उसे शतरंज खेलना सिखाया था, अपनी सेवा के लिए अनाज मांगा। इसके अलावा, अनाज की मात्रा इस प्रकार होनी चाहिए: शतरंज की बिसात की पहली कोशिका पर एक दाना डालना आवश्यक है, दूसरे पर पहले से दोगुना, तीसरे पर दूसरे से 2 गुना अधिक, और जल्द ही। सुल्तान स्वेच्छा से इस अनुरोध पर सहमत हो गया, लेकिन उसे नहीं पता था कि अपनी बात रखने के लिए उसे अपने देश के सभी डिब्बे खाली करने पड़ेंगे।