क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का अध्ययन। क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति! भौतिकी: क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति

यदि किसी पिंड को क्षितिज के कोण पर फेंका जाता है, तो उड़ान के दौरान उस पर गुरुत्वाकर्षण बल और वायु प्रतिरोध बल कार्य करता है। यदि प्रतिरोध बल की उपेक्षा कर दी जाए, तो एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण ही बचेगा। इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम के कारण, शरीर गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के बराबर त्वरण के साथ चलता है; निर्देशांक अक्षों पर त्वरण का प्रक्षेपण ax = 0, ay = - g.

चित्र 1. क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गतिक विशेषताएँ

किसी भौतिक बिंदु के किसी भी जटिल आंदोलन को समन्वय अक्षों के साथ स्वतंत्र आंदोलनों के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है, और विभिन्न अक्षों की दिशा में आंदोलन का प्रकार भिन्न हो सकता है। हमारे मामले में, एक उड़ने वाले पिंड की गति को दो स्वतंत्र गतियों के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है: क्षैतिज अक्ष (एक्स-अक्ष) के साथ एकसमान गति और ऊर्ध्वाधर अक्ष (वाई-अक्ष) के साथ समान रूप से त्वरित गति (चित्र 1) .

इसलिए शरीर का वेग अनुमान समय के साथ इस प्रकार बदलता है:

जहां $v_0$ प्रारंभिक गति है, $(\mathbf \alpha )$ फेंकने का कोण है।

मूल के हमारे चयन के साथ, प्रारंभिक निर्देशांक (चित्र 1) $x_0=y_0=0$ हैं। तब हमें मिलता है:

(1)

आइए सूत्रों का विश्लेषण करें (1)। आइए फेंके गए पिंड की गति का समय निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, आइए y निर्देशांक को शून्य के बराबर सेट करें, क्योंकि लैंडिंग के समय शरीर की ऊंचाई शून्य होती है। यहां से हमें उड़ान का समय पता चलता है:

दूसरी बार का मान जिस पर ऊंचाई शून्य है वह शून्य है, जो फेंकने के क्षण से मेल खाता है, यानी। इस मान का एक भौतिक अर्थ भी है।

हम पहले सूत्र (1) से उड़ान सीमा प्राप्त करते हैं। उड़ान सीमा उड़ान के अंत में x निर्देशांक का मान है, अर्थात। समय पर $t_0$ के बराबर। मान (2) को पहले सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

इस सूत्र से यह देखा जा सकता है कि सबसे बड़ी उड़ान सीमा 45 डिग्री के फेंकने वाले कोण पर हासिल की जाती है।

फेंके गए शरीर की अधिकतम उठाने की ऊँचाई दूसरे सूत्र (1) से प्राप्त की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, आपको इस सूत्र में उड़ान के आधे समय (2) के बराबर समय मान को प्रतिस्थापित करना होगा, क्योंकि यह प्रक्षेप पथ के मध्य बिंदु पर है कि उड़ान की ऊँचाई अधिकतम होती है। गणना करने पर हमें प्राप्त होता है

समीकरण (1) से कोई शरीर के प्रक्षेपवक्र का समीकरण प्राप्त कर सकता है, अर्थात। गति के दौरान किसी पिंड के x और y निर्देशांक से संबंधित एक समीकरण। ऐसा करने के लिए, आपको पहले समीकरण (1) से समय व्यक्त करना होगा:

और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। तब हमें मिलता है:

यह समीकरण गति प्रक्षेप समीकरण है। यह देखा जा सकता है कि यह एक परवलय का समीकरण है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं, जैसा कि द्विघात पद के सामने "-" चिह्न द्वारा दर्शाया गया है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि फेंकने वाला कोण $\alpha $ और इसके कार्य यहां केवल स्थिरांक हैं, अर्थात। स्थिर संख्या.

एक पिंड को गति v0 से क्षितिज के कोण $(\mathbf \alpha )$ पर फेंका जाता है। उड़ान का समय $t = 2 s$. शरीर किस ऊंचाई तक Hmax ऊपर उठेगा?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

शरीर की गति का नियम इस प्रकार है:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

प्रारंभिक वेग वेक्टर OX अक्ष के साथ एक कोण $(\mathbf \alpha )$ बनाता है। इस तरह,

\ \ \

एक पत्थर को पहाड़ की चोटी से क्षितिज के कोण = 30$()^\circ$ पर $v_0 = 6 m/s$ की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। झुका हुआ समतल कोण = 30$()^\circ$. पत्थर फेंकने के स्थान से कितनी दूरी पर गिरेगा?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

आइए निर्देशांक की उत्पत्ति को फेंकने वाले बिंदु पर रखें, OX - नीचे की ओर झुके हुए तल के साथ, OY - ऊपर की ओर झुके हुए तल के लंबवत। गति की गतिज विशेषताएँ:

गति का नियम:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

परिणामी मूल्य $t_В$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम $S$ पाते हैं:

1972 म्यूनिख ओलंपिक के बास्केटबॉल टूर्नामेंट का फाइनल मैच ख़त्म होने में 3 सेकंड बचे थे. अमेरिकी - अमेरिकी टीम - पहले से ही अपनी जीत का जश्न मना रहे थे! हमारी टीम - यूएसएसआर राष्ट्रीय टीम - ने महान स्वप्न टीम के खिलाफ लगभग 10 अंकों से जीत हासिल की...

मैच ख़त्म होने से कुछ मिनट पहले. लेकिन, अंत में सारा लाभ गँवाकर, वह पहले ही 49:50 से एक अंक गँवा रही थी। फिर अविश्वसनीय घटित हुआ! इवान एडेश्को अमेरिकी रिंग के नीचे पूरे कोर्ट में अंतिम पंक्ति के पीछे से गेंद फेंकता है, जहां हमारा केंद्र अलेक्जेंडर बेलोव दो विरोधियों से घिरा हुआ गेंद प्राप्त करता है, और उसे टोकरी में डाल देता है। 51:50 - हम ओलंपिक चैंपियन हैं!!!

एक बच्चे के रूप में, मैंने सबसे मजबूत भावनाओं का अनुभव किया - पहले निराशा और नाराजगी, फिर पागल खुशी! इस प्रकरण की भावनात्मक स्मृति जीवन भर के लिए मेरी चेतना में अंकित हो गई है! "अलेक्जेंडर बेलोव के गोल्डन थ्रो" के अनुरोध पर इंटरनेट पर वीडियो देखें, आपको इसका पछतावा नहीं होगा।

तब अमेरिकियों ने हार नहीं मानी और रजत पदक प्राप्त करने से इनकार कर दिया। क्या हमारे खिलाड़ियों ने जो किया वह तीन सेकंड में करना संभव है? आइए भौतिकी को याद करें!

इस लेख में, हम क्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति को देखेंगे, इनपुट डेटा के विभिन्न संयोजनों के साथ इस समस्या को हल करने के लिए एक्सेल में एक प्रोग्राम बनाएंगे, और ऊपर दिए गए प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे।

यह भौतिकी में एक काफी प्रसिद्ध समस्या है। हमारे मामले में, क्षैतिज से एक कोण पर फेंका गया शरीर एक बास्केटबॉल है। हम इवान एडेश्को द्वारा पूरे कोर्ट में फेंकी गई और अलेक्जेंडर बेलोव के हाथों में गिरी गेंद की प्रारंभिक गति, समय और प्रक्षेपवक्र की गणना करेंगे।

बास्केटबॉल उड़ान का गणित और भौतिकी।

नीचे प्रस्तुत सूत्र और गणना हैंएक्सेलक्षितिज के एक कोण पर फेंके गए पिंडों और वायु घर्षण के प्रभाव को ध्यान में रखे बिना एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ उड़ने से संबंधित समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सार्वभौमिक हैं।

गणना आरेख नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है। एमएस एक्सेल या ओओओ कैल्क लॉन्च करें।

आरंभिक डेटा:

1. चूँकि हम पृथ्वी ग्रह पर हैं और एक बैलिस्टिक समस्या - पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पिंडों की गति - पर विचार कर रहे हैं, सबसे पहले हम जो करेंगे वह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की मुख्य विशेषता - मुक्त गिरावट का त्वरण - को लिखेंगे। जीएम/एस 2 में

सेल D3 के लिए: 9,81

2. बास्केटबॉल कोर्ट का आयाम 28 मीटर लंबा और 15 मीटर चौड़ा है। लगभग पूरे कोर्ट से विपरीत आधार रेखा से रिंग तक गेंद की क्षैतिज दूरी एक्समीटर में लिखें

सेल D4 के लिए: 27,000

3. यदि हम मान लें कि एडेश्को ने लगभग दो मीटर की ऊंचाई से थ्रो किया, और बेलोव ने गेंद को हूप के स्तर पर कहीं पकड़ लिया, तो 3.05 मीटर की बास्केटबॉल हूप ऊंचाई के साथ, प्रस्थान और आगमन के बिंदुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी गेंद की लम्बाई 1 मीटर होगी. आइए ऊर्ध्वाधर विस्थापन लिखें यमीटर में

सेल D5 के लिए: 1,000

4. वीडियो पर मेरे माप के अनुसार, गेंद का टेकऑफ़ कोण है α 0 एडेश्को के हाथों से 20° से अधिक नहीं था। आइए इस मान को दर्ज करें

सेल D6 के लिए: 20,000

गणना परिणाम:

वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का वर्णन करने वाले बुनियादी समीकरण:

एक्स =वि0*क्योंकि α 0 *टी

य =वि0*पाप α 0 *टी -जी *टी 2 /2

5. आइए समय व्यक्त करें टीपहले समीकरण से, इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें और गेंद की प्रारंभिक गति की गणना करें वी 0 मैसर्स में

सेल D8 में: =(D3*D4^2/2/COS (रेडियन(D6))^2/(D4*TAN (रेडियन(D6)) -D5))^0.5 =21,418

वि0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(एक्स *टीजीα 0 -y )) 0.5

6. एडेश्को के हाथों से बेलोव के हाथों तक गेंद के उड़ने का समय टीआइये अब जानते हुए सेकंडों में गणना करें वी 0 , पहले समीकरण से

सेल D9 में: =D4/D8/COS (रेडियंस(D6)) =1,342

टी = एक्स /(वी 0 * ओलα 0 )

7. आइए गेंद की उड़ान गति का दिशा कोण ज्ञात करें α मैंहमारे हित के प्रक्षेप पथ पर। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रारंभिक जोड़ी को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

य =एक्स *टीजीα 0 -जी *एक्स 2 /(2*वि0 2*(क्योंकिα 0 ) 2)

यह एक परवलय का समीकरण है - एक उड़ान पथ।

हमें अपनी रुचि के बिंदु पर परवलय की स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करना होगा - यह कोण होगा α मैं. ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न लें, जो स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा है:

आप' =टीजीα 0 -जी *एक्स /(वि0 2*(क्योंकिα 0 ) 2)

आइए बेलोव के हाथों में गेंद के आगमन के कोण की गणना करें α मैंडिग्री में

सेल D10 में: =एटीएएन (टैन (रेडियंस(डी6)) -डी3*डी4/डी8^2/सीओएस (रेडियंस(डी6))^2)/पीआई()*180 =-16,167

α मैं = आर्कटगय ’ = आर्कटग(टीजीα 0 — जी * एक्स /(वी 0 2 *(ओलα 0 ) 2))

एक्सेल में गणना मूल रूप से पूरी हो गई है।

अन्य भुगतान विकल्प:

लिखित प्रोग्राम का उपयोग करके, आप प्रारंभिक डेटा के अन्य संयोजनों के साथ जल्दी और आसानी से गणना कर सकते हैं।

मान लीजिए क्षैतिज दिया गया है एक्स = 27 मीटर , खड़ा य = 1 मीटर उड़ान सीमा और प्रारंभिक गति वी 0 = 25 मी/से.

हमें उड़ान का समय ज्ञात करना होगा टीऔर प्रस्थान कोण α 0 और आगमन α मैं

आइए एमएस एक्सेल सेवा "पैरामीटर चयन" का उपयोग करें। मैंने बार-बार कई ब्लॉग लेखों में इसका उपयोग करने के बारे में विस्तार से बताया है। आप इस सेवा का उपयोग करने के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

हम सेल D6 में मान को चुनकर उसे बदलकर सेल D8 में मान को 25,000 पर सेट करते हैं। परिणाम नीचे चित्र में है.

एक्सेल में गणना के इस संस्करण में स्रोत डेटा (साथ ही पिछले संस्करण में) नीले फ्रेम में हाइलाइट किया गया है, और परिणाम लाल आयताकार फ्रेम में उल्लिखित हैं!

तालिका में सेटिंगएक्सेलहल्के फ़िरोज़ा भराव वाली कोशिकाओं में से किसी एक में परिवर्तित मूल्य का चयन करके, आप किसी वस्तु की गति की समस्या को हल करने के लिए आम तौर पर दस अलग-अलग विकल्प प्राप्त कर सकते हैं। मूल डेटा के दस अलग-अलग सेटों के लिए क्षितिज का कोण!!!

सवाल का जवाब है:

आइए लेख की शुरुआत में पूछे गए प्रश्न का उत्तर दें। हमारी गणना के अनुसार, इवान एडेश्को द्वारा भेजी गई गेंद 1.342 सेकंड में बेलोव के पास उड़ गई। अलेक्जेंडर बेलोव ने गेंद पकड़ी, उतरे, कूदे और फेंके। इस सब के लिए उनके पास बहुत समय था - 1.658 सेकंड! यह सचमुच पर्याप्त समय है! वीडियो फ़ुटेज की विस्तृत समीक्षा उपरोक्त की पुष्टि करती है। हमारे खिलाड़ियों के पास अपनी बेसलाइन से गेंद को प्रतिद्वंद्वी के बैकबोर्ड तक पहुंचाने और उसे हूप में फेंकने के लिए तीन सेकंड का समय था, और उन्होंने बास्केटबॉल के इतिहास में अपना नाम सोने में लिख दिया!

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निर्बाध गिरावटप्रारंभिक गति के बिना समान रूप से त्वरित गति के एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करता है। इस गति का त्वरण गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के बराबर है, जिसे गुरुत्वाकर्षण का त्वरण भी कहा जाता है। इस आंदोलन के लिए सूत्र मान्य हैं:

यू टी
जी
एच- वह ऊँचाई जहाँ से शरीर गिरता है
टी- वह समय जिसके दौरान गिरावट जारी रही

टिप्पणी:

• इन सूत्रों में वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखा गया है।
• पृथ्वी की सतह के निकट गुरुत्वाकर्षण के त्वरण का मान (9.81 (m/s?)) है। पृथ्वी की सतह से अन्य दूरी पर g का मान बदल जाता है!

किसी पिंड की ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर फेंकी गई गति

ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर फेंका गया एक पिंड प्रारंभिक गति के साथ समान रूप से धीरे-धीरे चलता है उ0और त्वरण ए = -जी. समय के साथ किसी पिंड की गति टीलिफ्ट की ऊँचाई को दर्शाता है एच.इस आंदोलन के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

उ0- शरीर की गति की प्रारंभिक गति
यू- वह गति जिस पर कोई पिंड समय के बाद गिरता है टी
जी- मुक्त गिरावट त्वरण, 9.81 (एम/एस?)
एच- वह ऊंचाई जिस तक शरीर समय के साथ ऊपर उठेगा टी
टी- समय

एक निश्चित ऊंचाई पर शरीर की गति:

अधिकतम उठाने की ऊँचाई:

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय:

एक दूसरे से कोण पर निर्देशित आंदोलनों का जोड़।

शरीर एक साथ कई अनुवादात्मक गतिविधियों में भाग ले सकता है। चूँकि त्वरण, गति और विस्थापन सदिश राशियाँ हैं, इन्हें सदिश (ज्यामितीय) जोड़ के नियमों के अनुसार जोड़ा जा सकता है। वे। समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार.

किसी भी आंदोलन विशेषता के परिणामी मूल्य की गणना की जा सकती है।

अगर:
ऊपर- परिणामी तात्कालिक गति,
उ1- पहले आंदोलन की तात्कालिक गति,
यू 2- दूसरे आंदोलन की तात्कालिक गति,
? - वेग सदिशों द्वारा निर्मित कोण उ1और यू 2,
फिर, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

यदि गति 1 और 2 एक दूसरे से समकोण पर होती हैं, तो सूत्र सरल हो जाता है क्योंकि

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति।

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति दो परस्पर लंबवत गतियों का एक संयोजन है:
- क्षैतिज (समान) गति,
- लंबवत (मुक्त गिरावट)

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड के प्रक्षेपवक्र का समीकरण

यदि हम समन्वय प्रणाली में क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड के प्रक्षेप पथ का निर्माण करते हैं xy, फेंकने वाले बिंदु को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लेते हुए, और कोटि अक्ष की दिशा मुक्त गिरावट त्वरण वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है, तो प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक क्षैतिज दिशा में शरीर की गति (निरंतर गति पर गति) का प्रतिनिधित्व करते हैं उ0) और ऊर्ध्वाधर दिशा में (त्वरण के साथ समान रूप से त्वरित गति जी)

एक्स, वाई- शरीर निर्देशांक,
उ0
जी
टी- यात्रा का समय

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड के प्रक्षेपवक्र का समीकरणनिम्नलिखित नुसार:

जीऔर शरीर की प्रारंभिक गति उ0स्थिर मात्राएँ हैं, फिर निर्देशांक यवर्ग के समानुपाती एक्स, अर्थात। गति का प्रक्षेप पथ एक परवलय है, जिसका शीर्ष गति के प्रारंभिक बिंदु पर है।

क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की वेक्टर स्थिति, सूत्र

क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड के प्रक्षेप पथ के प्रत्येक बिंदु की स्थिति स्थिति वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती है आर, जो परिणामी विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है:

या स्थिति वेक्टर:

एक्स-समन्वय:

Y-समन्वय:

नोट: सूत्रों में वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखा गया है।

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का समीकरण।

प्रक्षेपवक्र बिंदु के निर्देशांक समीकरणों द्वारा वर्णित हैं:

एक्स, वाई- शरीर निर्देशांक
उ0- प्रारंभिक शरीर की गति (एम/एस)
? - वह कोण जिस पर पिंड को क्षितिज पर फेंका जाता है (°)
जी- मुक्त गिरावट त्वरण 9.81 (m/s2)
टी- यात्रा का समय

पैरामीटर टी के माध्यम से सूत्रों से हम सामान्य प्राप्त करते हैं क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का समीकरण

गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के बाद से जी, ? - वह कोण जिस पर पिंड को क्षितिज पर फेंका जाता है और शरीर की प्रारंभिक गति उ0स्थिर मात्राएँ हैं, फिर निर्देशांक यवर्ग के समानुपाती एक्स, अर्थात। गति का प्रक्षेप पथ एक परवलय है, प्रारंभिक बिंदु इसकी एक शाखा पर है, और परवलय का शीर्ष शरीर की अधिकतम ऊंचाई का बिंदु है।

क्षितिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड के अधिकतम ऊंचाई तक उठने का समय।

अधिकतम ऊंचाई तक चढ़ने का समय इस शर्त से निर्धारित होता है कि तात्कालिक गति का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है

इस समीकरण से हमें मिलता है:

उ0- शरीर की प्रारंभिक गति (एम/एस),
?
जी- मुक्त गिरावट त्वरण 9.81 (एम/एस2),
thmax- अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की फेंक दूरी।

थ्रो रेंजया क्षति त्रिज्यागति के कुल समय के सूत्रों और शरीर के निर्देशांक के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

प्रतिस्थापन tsmaxअभिव्यक्ति और सरलीकरण में हमें मिलता है:

उ0- शरीर की प्रारंभिक गति (एम/एस),
? - वह कोण जिस पर पिंड को क्षितिज पर फेंका जाता है (°),
जी- मुक्त गिरावट त्वरण 9.81 (एम/एस2),
tsmax- कुल यात्रा समय

क्षैतिज से एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति

आइए वी 0 गति से फेंके गए एक पिंड की गति पर विचार करें, जिसका वेक्टर एक्सओवाई विमान में क्षितिज के कोण α पर निर्देशित होता है, फेंकने के क्षण में शरीर को निर्देशांक की उत्पत्ति पर रखता है, जैसा कि दिखाया गया है चित्र 1 में.

प्रतिरोध बलों की अनुपस्थिति में, क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति को गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत वक्रीय गति का एक विशेष मामला माना जा सकता है। न्यूटन का दूसरा नियम लागू करना

चित्र 1 ऊपर की ओर निर्देशित है,मामले में जब ओए अक्ष नीचे की ओर निर्देशित होता है, तो वेक्टर का प्रक्षेपण होता है

2 ऑप-एम्प अक्ष पर a धनात्मक होगा(समस्याओं की शर्तों को पढ़ते हुए, कुल्हाड़ियों की दिशा स्वयं चुनें, यदि यह शर्तों में नहीं बताया गया है)।

OX और OU अक्षों पर त्वरण वेक्टर a के प्रक्षेपण के मान बनाने का कारण देते हैं

निम्नलिखित आउटपुट:

∙ क्षैतिज से एक कोण पर फेंका गया शरीर एक साथ दो गतियों में भाग लेता है - क्षैतिज रूप से समान और साथ में समान रूप से परिवर्तनशील

समान रूप से परिवर्तनशील गति के लिए, समय पर गति और विस्थापन की निर्भरता समीकरणों द्वारा दी गई है:

समय t पर शरीर के निर्देशांक।

इसके आंदोलन के दौरान टी (फेंकने के क्षण से लेकर उस पर गिरने के क्षण तक)।

स्तर) शरीर अधिकतम ऊँचाई hmax तक उठता है, उससे नीचे उतरता है और फेंकने वाले बिंदु से दूरी L (उड़ान सीमा) पर उड़ जाता है - चित्र 1 देखें।

1) शरीर की गति का समय टीशरीर के निर्देशांक Sy के मानों को ध्यान में रखते हुए पाया जा सकता है

सिस्टम के दूसरे समीकरण (13) में वॉय और (14) के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

2) उड़ान रेंज एलपाया जा सकता है, शरीर के समन्वय Sх के मूल्यों को ध्यान में रखते हुए

समय का प्रारंभिक क्षण और समय t पर (चित्र 1 देखें)

सिस्टम के पहले समीकरण (13) में वॉक्स और (17) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

3) अधिकतम उठाने की ऊँचाई hअधिकतम मान दिया जा सकता है

शरीर की अधिकतम लिफ्ट के बिंदु पर शरीर का वेग V

मूल्यों (16) और (22) की तुलना निष्कर्ष निकालने का आधार देती है

· अधिकतम शारीरिक लिफ्ट की ऊंचाई तक गति का समय (tअंडर ) इस ऊंचाई से शरीर के उतरने के समय (tп) के बराबर है और फेंकने के क्षण से लेकर उसी स्तर पर गिरने के क्षण तक शरीर की पूरी गति के आधे समय के बराबर है

V 0 गति से फेंके गए किसी पिंड की गति का अध्ययन, जिसका वेक्टर XOY तल में क्षैतिज से कोण α पर निर्देशित होता है, एक कंप्यूटर मॉडल पर बहुत स्पष्ट है

कंप्यूटर मॉडल "ओपन फिजिक्स" के संग्रह में "निकायों का मुक्त पतन"

फिजिकॉन कंपनी। इस मॉडल में, आप विभिन्न प्रारंभिक शर्तें निर्धारित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, जिस मामले पर हमने विचार किया है उसे प्रारंभिक शर्त h = 0 और चयनित V0 और α के साथ निर्दिष्ट किया जाना चाहिए ("साफ़ करें" कमांड)। "स्टार्ट" कमांड शरीर की गति को प्रदर्शित करेगा और निश्चित समय पर गति के प्रक्षेप पथ और शरीर के वेग वैक्टर की दिशा की एक तस्वीर देगा।

अंक 2। अनुभाग में कंप्यूटर मॉडल की डायलॉग विंडो "निकायों का मुक्त पतन"।

"यांत्रिकी"; एक पिंड मूल स्थान से चलता है और उसी स्तर पर गिरता है.

यदि समस्या की स्थिति हमारे द्वारा विचार किए गए मामले से भिन्न है, तो यह आवश्यक है

समस्या को हल करने के लिए, कुल्हाड़ियों की दिशा चुनकर, शरीर को प्रारंभिक क्षण में रखें

समय, इस प्रकार, गिरने के बिंदु तक शरीर के प्रक्षेप पथ को चित्रित करता है

समय के प्रारंभिक और अंतिम क्षणों में शरीर के निर्देशांक निर्धारित करके। तब

समाधान के आधार के रूप में समीकरण (3), (5), (8) और (9) का उपयोग करें और ऊपर चर्चा की गई है

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम.

आइए विशेष मामलों पर विचार करें.

6 1. शव को तेजी से फेंका गया थावि 0 , जिसका वेक्टर एक कोण पर निर्देशित हैα से

क्षितिज, ऊंचाई h से और यह फेंकने के बिंदु से दूरी L पर गिरा। y से आरंभिक तक

और शेष निर्देशांक के मान उसी तरह चुने जाएंगे जैसे हमने चुने थे।

चित्र 3. अनुभाग में कंप्यूटर मॉडल की डायलॉग विंडो "निकायों का मुक्त पतन"।

"यांत्रिकी"; शरीर बिंदु h = 50m से चलता है और शून्य स्तर पर गिर जाता है.

2. एक पिंड को ऊंचाई h से V0 की गति से क्षैतिज रूप से फेंका गया और वह फेंकने के बिंदु से L दूरी पर गिरा। जिस मामले पर हमने विचार किया उससे अंतर यह है कि शरीर के मान एस का समन्वय करते हैंय प्रारंभिक क्षण भी समीकरण (25) द्वारा निर्धारित किया जाएगा,

और शेष निर्देशांक के मान उसी प्रकार चुने जाएंगे जैसे हमने चुने थे। लेकिन इस मामले में, OU अक्ष पर प्रक्षेपण में शरीर का प्रारंभिक वेग शून्य के बराबर है (चूंकि α = 0), अर्थात।

OX और OU अक्षों पर प्रारंभिक वेग वेक्टर के प्रक्षेपण बराबर हैं

चित्र.4. अनुभाग में कंप्यूटर मॉडल की डायलॉग विंडो "निकायों का मुक्त पतन"।

"यांत्रिकी"; क्षैतिज रूप से फेंका गया एक पिंड बिंदु h = 50m से चलता है और शून्य स्तर पर गिर जाता है.

नीचे समस्याओं की स्थितियाँ और स्कैन किए गए समाधान दिए गए हैं। यदि आपको इस विषय पर किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, तो आप यहां एक समान स्थिति पा सकते हैं और सादृश्य द्वारा अपनी समस्या का समाधान कर सकते हैं। छवियों की बड़ी संख्या के कारण पृष्ठ को लोड होने में कुछ समय लग सकता है। यदि आपको भौतिकी में समस्या समाधान या ऑनलाइन सहायता की आवश्यकता है, तो कृपया हमसे संपर्क करें, हमें मदद करने में खुशी होगी।

इन समस्याओं को हल करने का सिद्धांत स्वतंत्र रूप से गिरने वाले शरीर की गति को दो घटकों - क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर में विघटित करना है। वेग का क्षैतिज घटक स्थिर है, ऊर्ध्वाधर गति मुक्त गिरावट के त्वरण के साथ होती है g=9.8 m/s 2। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम भी लागू किया जा सकता है, जिसके अनुसार इस मामले में शरीर की स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर होता है।

एक भौतिक बिंदु को 15 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से क्षितिज के एक कोण पर फेंका जाता है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा प्रक्षेपवक्र के शीर्ष बिंदु पर बिंदु की गतिज ऊर्जा से 3 गुना अधिक है। बिंदु कितना ऊँचा उठा?

एक पिंड को 10 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से क्षैतिज से 40 डिग्री के कोण पर फेंका जाता है। गिरने से पहले पिंड कितनी दूरी तय करेगा, प्रक्षेप पथ के शीर्ष बिंदु पर उठने की ऊंचाई और उड़ान में लगने वाले समय का पता लगाएं।

एक पिंड को ऊँचाई H के एक टॉवर से क्षैतिज से α कोण पर प्रारंभिक गति v के साथ नीचे फेंका जाता है। टॉवर से उस स्थान की दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ शव गिरा था।

0.5 किलोग्राम द्रव्यमान वाले एक पिंड को पृथ्वी की सतह से क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर 10 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। 0.4 सेकंड के बाद शरीर की स्थितिज और गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

एक भौतिक बिंदु को पृथ्वी की सतह से क्षितिज के कोण पर 10 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से ऊपर की ओर फेंका जाता है। 3 मीटर की ऊंचाई पर एक बिंदु की गति निर्धारित करें।

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से 60 डिग्री के कोण पर 10 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से ऊपर की ओर फेंका जाता है। प्रभाव के बिंदु की दूरी, प्रभाव के बिंदु पर शरीर की गति और उड़ान में समय का पता लगाएं।

एक पिंड को 20 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से क्षैतिज से एक कोण पर ऊपर की ओर फेंका जाता है। पतन बिंदु की दूरी अधिकतम लिफ्ट ऊंचाई से 4 गुना है। वह कोण ज्ञात कीजिए जिस पर पिंड फेंका गया है।

एक पिंड को 5 मीटर की ऊंचाई से क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर 22 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। पिंड की उड़ान सीमा और पिंड के उड़ान का समय ज्ञात करें।

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से क्षितिज के एक कोण पर 30 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। फेंकने के बाद शरीर की स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण ज्ञात करें।

एक पिंड को ज़ेसली की सतह से क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर 14.7 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। थ्रो के 1.25 सेकंड बाद शरीर की स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण ज्ञात करें।

एक पिंड को 20 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से क्षैतिज से 60 डिग्री के कोण पर फेंका जाता है। कितने समय बाद गति और क्षितिज के बीच का कोण 45 डिग्री हो जाएगा?

गेंद फेंकी गई जिम में क्षितिज के एक कोण पर,20 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ, प्रक्षेपवक्र के शीर्ष बिंदु पर यह 8 मीटर की ऊंचाई पर छत को छू गया और फेंकने के स्थान से कुछ दूरी पर गिर गया। यह दूरी और वह कोण ज्ञात कीजिए जिस पर पिंड फेंका गया है।

पृथ्वी की सतह से क्षितिज के एक कोण पर फेंका गया एक पिंड 2.2 सेकंड के बाद गिर गया। शरीर की अधिकतम उठाने की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

एक पत्थर क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर फेंका जाता है। फेंके जाने के बाद पत्थर दो बार - 1 सेकंड और 3 सेकंड में एक निश्चित ऊंचाई तक पहुंचा। इस ऊँचाई और पत्थर की प्रारंभिक गति ज्ञात कीजिए।

एक पत्थर को क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर 10 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से फेंका जाता है। 4 सेकंड के बाद फेंकने वाले स्थान से पत्थर तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

प्रक्षेप्य को उस समय दागा जाता है जब विमान 500 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ क्षितिज के कोण पर बंदूक के ऊपर से उड़ता है। गोला दागे जाने के 10 सेकंड बाद 3.5 किमी की ऊंचाई पर विमान से टकराया। विमान की गति क्या है?

5 किलो वजनी एक तोप का गोला पृथ्वी की सतह से क्षैतिज से 60 डिग्री के कोण पर फेंका जाता है। वजन में तेजी लाने के लिए खर्च की गई ऊर्जा 500 J है। उड़ान सीमा और उड़ान समय निर्धारित करें।

एक पिंड को 100 मीटर की ऊंचाई से क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर 5 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से नीचे फेंका जाता है। शरीर की उड़ान सीमा का पता लगाएं।

200 ग्राम द्रव्यमान वाला एक पिंड, पृथ्वी की सतह से क्षितिज के एक कोण पर फेंका गया, 1.2 सेकंड के समय के बाद 5 मीटर की दूरी पर गिरा। शरीर त्यागने वाली नौकरी खोजें।