फ़ंक्शन y=sinx, इसके मुख्य गुण और ग्राफ़। फ़ंक्शन y = syn x, y = cos x, उनके गुण और ग्राफ़ - नॉलेज हाइपरमार्केट फ़ंक्शन y का ग्राफ़ sine x के बराबर है

"योशकर-ओला कॉलेज ऑफ सर्विस टेक्नोलॉजीज"

त्रिकोणमितीय फलन y=sinx के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन एक स्प्रेडशीट मेंएमएस एक्सेल

/पद्धतिगत विकास/

योश्कर - ओला

विषय. त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ का निर्माण एवं अध्ययनय = सिनक्स एमएस एक्सेल स्प्रेडशीट में

पाठ का प्रकार- एकीकृत (नया ज्ञान प्राप्त करना)

लक्ष्य:

उपदेशात्मक उद्देश्य - त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ग्राफ़ के व्यवहार का पता लगाएंय= सिनक्सकंप्यूटर का उपयोग करने की संभावनाओं पर निर्भर करता है

शैक्षिक:

1. त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ में परिवर्तन ज्ञात कीजिए य= पाप एक्ससंभावनाओं पर निर्भर करता है

2. गणित पढ़ाने में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की शुरूआत, दो विषयों का एकीकरण दिखाएं: बीजगणित और कंप्यूटर विज्ञान।

3. गणित के पाठों में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करने में कौशल विकसित करना

4. फ़ंक्शंस का अध्ययन करने और उनके ग्राफ़ बनाने के कौशल को मजबूत करें

शैक्षिक:

1. शैक्षणिक विषयों में छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि और व्यावहारिक स्थितियों में अपने ज्ञान को लागू करने की क्षमता विकसित करना

2. मुख्य बात का विश्लेषण, तुलना, हाइलाइट करने की क्षमता विकसित करें

3. छात्र विकास के समग्र स्तर को बेहतर बनाने में योगदान दें

शिक्षित :

1. स्वतंत्रता, सटीकता और कड़ी मेहनत को बढ़ावा दें

2. संवाद की संस्कृति को बढ़ावा दें

पाठ में कार्य के रूप -संयुक्त

उपदेशात्मक सुविधाएं और उपकरण:

1. कंप्यूटर

2. मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर

4. हैंडआउट्स

5. प्रस्तुति स्लाइड

कक्षाओं के दौरान

मैं. पाठ की शुरुआत का संगठन

· छात्रों और अतिथियों का अभिनंदन

· पाठ के लिए मूड

द्वितीय. लक्ष्य निर्धारण एवं विषय अद्यतनीकरण

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने में बहुत समय लगता है, आपको बहुत सारी बोझिल गणनाएँ करनी पड़ती हैं, यह सुविधाजनक नहीं है, कंप्यूटर तकनीक बचाव में आती है।

आज हम सीखेंगे कि एमएस एक्सेल 2007 के स्प्रेडशीट वातावरण में त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ कैसे बनाएं।

हमारे पाठ का विषय है “त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ का निर्माण और अध्ययन।” य= सिनक्सएक टेबल प्रोसेसर में"

बीजगणित पाठ्यक्रम से हम किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने की योजना जानते हैं। आइए याद रखें कि यह कैसे करना है।

स्लाइड 2

कार्य अध्ययन योजना

1. फ़ंक्शन का डोमेन (D(f))

2. फ़ंक्शन की सीमा E(f)

3. समता का निर्धारण

4. आवृत्ति

5. फ़ंक्शन के शून्य (y=0)

6. अचर चिह्न के अंतराल (y>0, y<0)

7. एकरसता की अवधि

8. कार्य की चरम सीमा

तृतीय. नई शैक्षिक सामग्री का प्राथमिक आत्मसात

एमएस एक्सेल 2007 खोलें।

आइए फ़ंक्शन y=sin को प्लॉट करें एक्स

स्प्रेडशीट प्रोसेसर में ग्राफ़ बनानाएमएस एक्सेल 2007

हम इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ खंड पर प्लॉट करेंगे एक्सЄ [-2π; 2π]

हम तर्क मानों को वृद्धि में लेंगे , ग्राफ़ को अधिक सटीक बनाने के लिए.

चूँकि संपादक संख्याओं के साथ काम करता है, आइए यह जानते हुए रेडियन को संख्याओं में बदलें पी ≈ 3.14 . (हैंडआउट में अनुवाद तालिका)।

1. बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें x=-2P. बाकी के लिए, संपादक स्वचालित रूप से संबंधित फ़ंक्शन मानों की गणना करता है।

2. अब हमारे पास तर्क और फ़ंक्शन के मानों के साथ एक तालिका है। इस डेटा के साथ, हमें चार्ट विज़ार्ड का उपयोग करके इस फ़ंक्शन को प्लॉट करना होगा।

3. ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको आवश्यक डेटा रेंज, तर्क वाली पंक्तियों और फ़ंक्शन मानों का चयन करना होगा

4..jpg" चौड़ाई = "667" ऊंचाई = "236 src = ">

हम निष्कर्षों को एक नोटबुक में लिखते हैं (स्लाइड 5)

निष्कर्ष। फॉर्म y=sinx+k के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ k इकाइयों द्वारा ऑप-एम्प की धुरी के साथ समानांतर अनुवाद का उपयोग करके फ़ंक्शन y=sinx के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है।

यदि k >0, तो ग्राफ़ k इकाइयों द्वारा ऊपर स्थानांतरित हो जाता है

यदि के<0, то график смещается вниз на k единиц

प्रपत्र के किसी फ़ंक्शन का निर्माण और अध्ययनआप=क*सिंक्स,क- कॉन्स्ट

कार्य 2.काम पर शीट2एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाएं य= सिनक्स य=2* सिनक्स, य= * सिनक्स, अंतराल (-2π; 2π) पर और देखें कि ग्राफ़ का स्वरूप कैसे बदलता है।

(तर्क के मान को दोबारा सेट न करने के लिए, आइए मौजूदा मानों की प्रतिलिपि बनाएँ। अब आपको सूत्र सेट करने और परिणामी तालिका का उपयोग करके एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है।)

हम परिणामी ग्राफ़ की तुलना करते हैं। छात्रों के साथ मिलकर, हम गुणांकों के आधार पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। (स्लाइड 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width=”16” ऊंचाई=”41 src=”>x , अंतराल (-2π; 2π) पर और देखें कि ग्राफ़ का स्वरूप कैसे बदलता है।

हम परिणामी ग्राफ़ की तुलना करते हैं। छात्रों के साथ मिलकर, हम गुणांकों के आधार पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। (स्लाइड 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width=”649” ऊंचाई=”281 src=”>

हम निष्कर्षों को एक नोटबुक में लिखते हैं (स्लाइड 11)

निष्कर्ष। फॉर्म y=sin(x+k) के एक फ़ंक्शन का ग्राफ k इकाइयों द्वारा OX अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद का उपयोग करके फ़ंक्शन y=sinx के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है।

यदि k >1, तो ग्राफ़ OX अक्ष के अनुदिश दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है

यदि 0

चतुर्थ. अर्जित ज्ञान का प्राथमिक समेकन

ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का निर्माण और अध्ययन करने के कार्य के साथ विभेदित कार्ड

वी. गृहकार्य संगठन

फ़ंक्शन y=-2*sinх+1 का एक ग्राफ़ प्लॉट करें, Microsoft Excel स्प्रेडशीट वातावरण में निर्माण की शुद्धता की जांच करें और जांचें। (स्लाइड 12)

छठी. प्रतिबिंब

इस पाठ में हम फ़ंक्शन y = syn x, इसके मूल गुणों और ग्राफ़ पर विस्तृत नज़र डालेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम निर्देशांक वृत्त पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन y = syn t की परिभाषा देंगे और वृत्त और रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करेंगे। आइए ग्राफ़ पर इस फ़ंक्शन की आवधिकता दिखाएं और फ़ंक्शन के मुख्य गुणों पर विचार करें। पाठ के अंत में, हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके गुणों का उपयोग करके कई सरल समस्याओं का समाधान करेंगे।

विषय: त्रिकोणमितीय फलन

पाठ: फ़ंक्शन y=sinx, इसके मूल गुण और ग्राफ़

किसी फ़ंक्शन पर विचार करते समय, प्रत्येक तर्क मान को एकल फ़ंक्शन मान के साथ जोड़ना महत्वपूर्ण है। यह पत्राचार का नियमऔर इसे फ़ंक्शन कहा जाता है.

आइए हम पत्राचार कानून को परिभाषित करें।

कोई भी वास्तविक संख्या इकाई वृत्त पर एक बिंदु से मेल खाती है। एक बिंदु की एक ही कोटि होती है, जिसे संख्या की ज्या कहा जाता है (चित्र 1)।

प्रत्येक तर्क मान एकल फ़ंक्शन मान से संबद्ध होता है।

स्पष्ट गुण साइन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

यह आंकड़ा दर्शाता है क्योंकि इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें. आइए हम तर्क की ज्यामितीय व्याख्या को याद करें। तर्क केंद्रीय कोण है, जिसे रेडियन में मापा जाता है। अक्ष के अनुदिश हम वास्तविक संख्याओं या कोणों को रेडियन में, अक्ष के अनुदिश फ़ंक्शन के संगत मानों को आलेखित करेंगे।

उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल पर एक कोण ग्राफ़ पर एक बिंदु से मेल खाता है (चित्र 2)

हमने क्षेत्र में फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्राप्त किया है, लेकिन साइन की अवधि को जानते हुए, हम परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्रित कर सकते हैं (चित्र 3)।

फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है इसका मतलब है कि ग्राफ़ को एक खंड पर प्राप्त किया जा सकता है और फिर परिभाषा के पूरे क्षेत्र में जारी रखा जा सकता है।

फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें:

1) परिभाषा का दायरा:

2) मूल्यों की सीमा:

3) अजीब कार्य:

4) सबसे छोटी सकारात्मक अवधि:

5) भुज अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक:

6) कोटि अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक:

7) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है:

8) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है:

9) बढ़ते अंतराल:

10) घटते अंतराल:

11) न्यूनतम अंक:

12) न्यूनतम कार्य:

13) अधिकतम अंक:

14) अधिकतम कार्य:

हमने फ़ंक्शन के गुणों और उसके ग्राफ़ को देखा। समस्याओं को हल करते समय गुणों का बार-बार उपयोग किया जाएगा।

ग्रन्थसूची

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण। ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिन, 2009.

2. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण। ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिने, 2007।

3. विलेनकिन एन.वाई.ए., इवाशेव-मुसातोव ओ.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. कक्षा 10 के लिए बीजगणित और गणितीय विश्लेषण (गणित के उन्नत अध्ययन वाले स्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक)।

4. गैलिट्स्की एम.एल., मोशकोविच एम.एम., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण का गहन अध्ययन।-एम.: शिक्षा, 1997।

5. उच्च शिक्षण संस्थानों के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह (एम.आई. स्कैनवी द्वारा संपादित - एम.: हायर स्कूल, 1992)।

6. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणितीय सिम्युलेटर.-के.: ए.एस.के., 1997।

7. सहक्यान एस.एम., गोल्डमैन ए.एम., डेनिसोव डी.वी. बीजगणित पर समस्याएं और विश्लेषण के सिद्धांत (सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10-11 के छात्रों के लिए एक मैनुअल)।

8. कार्प ए.पी. बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर समस्याओं का संग्रह: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए भत्ता. गहराई के साथ अध्ययन गणित.-एम.: शिक्षा, 2006।

गृहकार्य

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण।

ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिने, 2007।

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

अतिरिक्त वेब संसाधन

3. परीक्षा की तैयारी के लिए शैक्षिक पोर्टल ()।

फ़ंक्शन y=sin x का ग्राफ़ कैसे बनाएं? सबसे पहले, आइए अंतराल पर साइन ग्राफ़ देखें।

हम नोटबुक में 2 सेल लंबा एक एकल खंड लेते हैं। ओए अक्ष पर हम एक को चिह्नित करते हैं।

सुविधा के लिए, हम संख्या π/2 को 1.5 तक पूर्णांकित करते हैं (और 1.6 तक नहीं, जैसा कि पूर्णांकन नियमों के अनुसार आवश्यक है)। इस मामले में, लंबाई π/2 का एक खंड 3 कोशिकाओं से मेल खाता है।

ऑक्स अक्ष पर हम एकल खंडों को नहीं, बल्कि लंबाई π/2 (प्रत्येक 3 कोशिकाओं) के खंडों को चिह्नित करते हैं। तदनुसार, लंबाई π का ​​एक खंड 6 कोशिकाओं से मेल खाता है, और लंबाई π/6 का एक खंड 1 कोशिका से मेल खाता है।

इकाई खंड के इस विकल्प के साथ, एक बॉक्स में नोटबुक की शीट पर दर्शाया गया ग्राफ़ फ़ंक्शन y=sin x के ग्राफ़ से यथासंभव मेल खाता है।

आइए अंतराल पर ज्या मानों की एक तालिका बनाएं:

हम निर्देशांक तल पर परिणामी बिंदुओं को चिह्नित करते हैं:

चूँकि y=sin x एक विषम फलन है, साइन ग्राफ़ मूल बिंदु O(0;0) के संबंध में सममित है। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, हम बाईं ओर ग्राफ बनाना जारी रखते हैं, फिर अंक -π:

फलन y=sin x आवर्त T=2π के साथ आवर्त है। इसलिए, अंतराल [-π;π] पर लिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ दाएं और बाएं ओर अनंत बार दोहराया जाता है।

इस पाठ में हम फ़ंक्शन y = syn x, इसके मूल गुणों और ग्राफ़ पर विस्तृत नज़र डालेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम निर्देशांक वृत्त पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन y = syn t की परिभाषा देंगे और वृत्त और रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करेंगे। आइए ग्राफ़ पर इस फ़ंक्शन की आवधिकता दिखाएं और फ़ंक्शन के मुख्य गुणों पर विचार करें। पाठ के अंत में, हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके गुणों का उपयोग करके कई सरल समस्याओं का समाधान करेंगे।

विषय: त्रिकोणमितीय फलन

पाठ: फ़ंक्शन y=sinx, इसके मूल गुण और ग्राफ़

किसी फ़ंक्शन पर विचार करते समय, प्रत्येक तर्क मान को एकल फ़ंक्शन मान के साथ जोड़ना महत्वपूर्ण है। यह पत्राचार का नियमऔर इसे फ़ंक्शन कहा जाता है.

आइए हम पत्राचार कानून को परिभाषित करें।

कोई भी वास्तविक संख्या इकाई वृत्त पर एक बिंदु से मेल खाती है। एक बिंदु की एक ही कोटि होती है, जिसे संख्या की ज्या कहा जाता है (चित्र 1)।

प्रत्येक तर्क मान एकल फ़ंक्शन मान से संबद्ध होता है।

स्पष्ट गुण साइन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

यह आंकड़ा दर्शाता है क्योंकि इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें. आइए हम तर्क की ज्यामितीय व्याख्या को याद करें। तर्क केंद्रीय कोण है, जिसे रेडियन में मापा जाता है। अक्ष के अनुदिश हम वास्तविक संख्याओं या कोणों को रेडियन में, अक्ष के अनुदिश फ़ंक्शन के संगत मानों को आलेखित करेंगे।

उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल पर एक कोण ग्राफ़ पर एक बिंदु से मेल खाता है (चित्र 2)

हमने क्षेत्र में फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्राप्त किया है, लेकिन साइन की अवधि को जानते हुए, हम परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्रित कर सकते हैं (चित्र 3)।

फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है इसका मतलब है कि ग्राफ़ को एक खंड पर प्राप्त किया जा सकता है और फिर परिभाषा के पूरे क्षेत्र में जारी रखा जा सकता है।

फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें:

1) परिभाषा का दायरा:

2) मूल्यों की सीमा:

3) अजीब कार्य:

4) सबसे छोटी सकारात्मक अवधि:

5) भुज अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक:

6) कोटि अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक:

7) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है:

8) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है:

9) बढ़ते अंतराल:

10) घटते अंतराल:

11) न्यूनतम अंक:

12) न्यूनतम कार्य:

13) अधिकतम अंक:

14) अधिकतम कार्य:

हमने फ़ंक्शन के गुणों और उसके ग्राफ़ को देखा। समस्याओं को हल करते समय गुणों का बार-बार उपयोग किया जाएगा।

ग्रन्थसूची

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण। ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिन, 2009.

2. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण। ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिने, 2007।

3. विलेनकिन एन.वाई.ए., इवाशेव-मुसातोव ओ.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. कक्षा 10 के लिए बीजगणित और गणितीय विश्लेषण (गणित के उन्नत अध्ययन वाले स्कूलों और कक्षाओं के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक)।

4. गैलिट्स्की एम.एल., मोशकोविच एम.एम., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. बीजगणित और गणितीय विश्लेषण का गहन अध्ययन।-एम.: शिक्षा, 1997।

5. उच्च शिक्षण संस्थानों के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह (एम.आई. स्कैनवी द्वारा संपादित - एम.: हायर स्कूल, 1992)।

6. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणितीय सिम्युलेटर.-के.: ए.एस.के., 1997।

7. सहक्यान एस.एम., गोल्डमैन ए.एम., डेनिसोव डी.वी. बीजगणित पर समस्याएं और विश्लेषण के सिद्धांत (सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10-11 के छात्रों के लिए एक मैनुअल)।

8. कार्प ए.पी. बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर समस्याओं का संग्रह: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए भत्ता. गहराई के साथ अध्ययन गणित.-एम.: शिक्षा, 2006।

गृहकार्य

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर), संस्करण।

ए जी मोर्दकोविच। -एम.: मेनेमोसिने, 2007।

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

अतिरिक्त वेब संसाधन

3. परीक्षा की तैयारी के लिए शैक्षिक पोर्टल ()।

हमने पाया कि त्रिकोणमितीय फलनों का व्यवहार और फलन y = पाप x विशेष रूप से, संपूर्ण संख्या रेखा पर (या तर्क के सभी मानों के लिए एक्स) पूरी तरह से अंतराल में उसके व्यवहार से निर्धारित होता है 0 < एक्स < π / 2 .

इसलिए, सबसे पहले, हम फ़ंक्शन को प्लॉट करेंगे y = पाप x ठीक इसी अंतराल में.

आइए अपने फ़ंक्शन के मानों की निम्नलिखित तालिका बनाएं;

निर्देशांक तल पर संगत बिंदुओं को चिह्नित करके और उन्हें एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हम चित्र में दिखाया गया वक्र प्राप्त करते हैं

परिणामी वक्र का निर्माण फ़ंक्शन मानों की तालिका संकलित किए बिना, ज्यामितीय रूप से भी किया जा सकता है y = पाप x .

1. त्रिज्या 1 वाले वृत्त के प्रथम चतुर्थांश को 8 बराबर भागों में विभाजित करें। वृत्त के विभाजन बिंदुओं की कोटि संगत कोणों की ज्याएँ होती हैं।

2. वृत्त की पहली तिमाही 0 से कोणों से मेल खाती है π / 2 . अत: अक्ष पर एक्सएक खंड लें और इसे 8 बराबर भागों में विभाजित करें।

3. आइए अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें एक्स, और विभाजन बिंदुओं से हम लंबवत बनाते हैं जब तक कि वे क्षैतिज रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद न करें।

4. प्रतिच्छेदन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ें।

अब आइए अंतराल पर नजर डालें π / 2 < एक्स < π .
प्रत्येक तर्क मान एक्सइस अंतराल से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

एक्स = π / 2 + φ

कहाँ 0 < φ < π / 2 . कमी सूत्रों के अनुसार

पाप( π / 2 + φ ) = क्योंकि φ = पाप ( π / 2 - φ ).

अक्ष बिंदु एक्सएब्सिस्सास के साथ π / 2 + φ और π / 2 - φ अक्ष बिंदु के बारे में एक दूसरे के सममित एक्सएब्सिस्सा के साथ π / 2 , और इन बिंदुओं पर ज्याएँ समान हैं। यह हमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करने की अनुमति देता है y = पाप x अंतराल में [ π / 2 , π ] बस सीधी रेखा के सापेक्ष अंतराल में इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को सममित रूप से प्रदर्शित करके एक्स = π / 2 .

अब संपत्ति का उपयोग कर रहे हैं विषम समता फ़ंक्शन y = पाप x,

पाप(- एक्स) = - पाप एक्स,

इस फ़ंक्शन को अंतराल में प्लॉट करना आसान है [- π , 0].

फलन y = syn x 2π की अवधि के साथ आवर्त है ;. इसलिए, इस फ़ंक्शन के संपूर्ण ग्राफ़ का निर्माण करने के लिए, समय-समय पर एक अवधि के साथ बाईं और दाईं ओर चित्र में दिखाए गए वक्र को जारी रखना पर्याप्त है 2π .

परिणामी वक्र कहलाता है sinusoid . यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करता है y = पाप x.

चित्र फ़ंक्शन के सभी गुणों को अच्छी तरह से दिखाता है y = पाप x , जिसे हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं। आइए हम इन गुणों को याद करें।

1)कार्य y = पाप x सभी मानों के लिए परिभाषित एक्स , इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2) कार्य y = पाप x सीमित। इसके द्वारा स्वीकार किए जाने वाले सभी मान -1 और 1 के बीच हैं, जिनमें ये दो संख्याएँ भी शामिल हैं। नतीजतन, इस फ़ंक्शन की भिन्नता की सीमा असमानता -1 द्वारा निर्धारित की जाती है < पर < 1. कब एक्स = π / 2 + 2k π फ़ंक्शन 1 के बराबर सबसे बड़ा मान लेता है, और x = के लिए - π / 2 + 2k π - सबसे छोटे मान - 1 के बराबर।

3) कार्य y = पाप x विषम है (साइन लहर मूल बिंदु के बारे में सममित है)।

4)कार्य y = पाप x अवधि 2 के साथ आवधिक π .

5) अंतराल 2एन में π < एक्स < π +2एन π (n कोई पूर्णांक है) यह धनात्मक है, और अंतराल में है π + 2k π < एक्स < 2π + 2k π (k कोई पूर्णांक है) यह ऋणात्मक है। x = k पर π फ़ंक्शन शून्य हो जाता है. इसलिए, तर्क के ये मान x (0; ± π ; ±2 π ; ...) को फ़ंक्शन शून्य कहा जाता है y = पाप x

6)अंतराल पर - π / 2 +2एन π < एक्स < π / 2 +2एन π समारोह य = पाप एक्स एकरसता से और अंतराल में बढ़ता है π / 2 + 2k π < एक्स < 3π / 2 + 2k π यह नीरस रूप से घटता है।

आपको कार्य के आचरण पर विशेष ध्यान देना चाहिए y = पाप x बिंदु के निकट एक्स = 0 .

उदाहरण के लिए, पाप 0.012 ≈ 0.012; पाप(-0.05) ≈ -0,05;

पाप 2° = पाप π 2 / 180 = पाप π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि x के किसी भी मान के लिए

| पाप एक्स| < | एक्स | . (1)

दरअसल, मान लीजिए कि चित्र में दिखाए गए वृत्त की त्रिज्या 1 के बराबर है,
ए / एओबी = एक्स.

फिर पाप एक्स= ए.सी. लेकिन ए.सी< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол एक्स. इस चाप की लंबाई स्पष्ट रूप से बराबर है एक्स, चूँकि वृत्त की त्रिज्या 1 है। इसलिए, 0 पर< एक्स < π / 2

पाप एक्स< х.

इसलिए, फ़ंक्शन की विषमता के कारण y = पाप x यह दिखाना आसान है कि कब - π / 2 < एक्स < 0

| पाप एक्स| < | एक्स | .

आख़िरकार, कब एक्स = 0

| पाप एक्स | = | एक्स |

इस प्रकार, के लिए | एक्स | < π / 2 असमानता (1) सिद्ध हो चुकी है। वास्तव में, यह असमानता | के लिए भी सत्य है एक्स | > π / 2 इस तथ्य के कारण कि | पाप एक्स | < 1, ए π / 2 > 1

अभ्यास

1.फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुसार y = पाप x निर्धारित करें: ए) पाप 2; बी) पाप 4; ग) पाप (-3)।

2.फ़ंक्शन ग्राफ़ के अनुसार y = पाप x अंतराल से कौन सी संख्या निर्धारित करें
[ - π / 2 , π / 2 ] की साइन बराबर है: ए) 0.6; बी) -0.8.

3. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुसार y = पाप x निर्धारित करें कि किन संख्याओं में साइन है,
1/2 के बराबर.

4. लगभग खोजें (तालिका का उपयोग किए बिना): ए) पाप 1°; बी) पाप 0.03;
ग) पाप (-0.015); d) पाप (-2°30")।