यदि 2 समानांतर हैं. समांतर रेखाएं, समांतर रेखाओं के लिए चिह्न और शर्तें

दो रेखाओं की समानता के लक्षण

प्रमेय 1. यदि, जब दो रेखाएँ एक छेदक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं:

पार किए गए कोण बराबर होते हैं, या

संगत कोण बराबर होते हैं, या

तो, एक तरफा कोणों का योग 180° होता है

रेखाएं समानांतर हैं(चित्र .1)।

सबूत। हम खुद को केस 1 साबित करने तक ही सीमित रखते हैं।

मान लीजिए कि प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b आड़ी हैं और कोण AB बराबर हैं। उदाहरण के लिए, ∠ 4 = ∠ 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।

मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोण होगा। निश्चितता के लिए, मान लीजिए कि ∠ 4 त्रिभुज ABM का बाह्य कोण है, और ∠ 6 आंतरिक कोण है। त्रिभुज के बाह्य कोण पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ 4, ∠ 6 से बड़ा है, और यह स्थिति का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएं a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

परिणाम 1. एक ही रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं(अंक 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के केस 1 को सिद्ध किया है उसे विरोधाभास या बेतुकेपन को कम करके साबित करने की विधि कहा जाता है। इस पद्धति को इसका पहला नाम इसलिए मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में एक धारणा बनाई जाती है जो सिद्ध करने की आवश्यकता के विपरीत (विपरीत) होती है। इसे बेतुकेपन की ओर ले जाना इसलिए कहा जाता है क्योंकि बनाई गई धारणा के आधार पर तर्क करने पर हम बेतुके निष्कर्ष (बेतुके) पर पहुंचते हैं। इस तरह के निष्कर्ष को प्राप्त करना हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने और जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है उसे स्वीकार करने के लिए मजबूर करता है।

कार्य 1।किसी दिए गए बिंदु M से गुजरने वाली और दी गई रेखा a के समानांतर एक रेखा बनाएं, जो बिंदु M से नहीं गुजरती है।

समाधान। हम बिंदु M से होकर सीधी रेखा a के लंबवत एक सीधी रेखा p खींचते हैं (चित्र 3)।

फिर हम बिंदु M से होकर रेखा p के लंबवत एक रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के परिणाम के अनुसार रेखा बी रेखा ए के समानांतर है।

विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
किसी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना हमेशा संभव होता है.

समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।

समांतर रेखाओं का अभिगृहीत. किसी दिए गए बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दिए गए बिंदु के समानांतर केवल एक रेखा गुजरती है।

आइए हम इस अभिगृहीत से अनुसरण करने वाली समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें।

1) यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है (चित्र 4)।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएँ किसी तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो:

क्रॉसवाइज कोण बराबर हैं;

संगत कोण बराबर हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

परिणाम 2. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है(चित्र 2 देखें)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का व्युत्क्रम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की स्थिति है। और प्रमेय 1 की स्थिति प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का व्युत्क्रम नहीं होता है, अर्थात यदि कोई दिया गया प्रमेय है सत्य है, तो व्युत्क्रम प्रमेय असत्य हो सकता है।

आइए इसे ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके समझाएं। इस प्रमेय को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण ऊर्ध्वाधर हैं, तो वे बराबर हैं। व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रकार होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे लंबवत हैं। और निःसंदेह, यह सच नहीं है। दो समान कोणों का ऊर्ध्वाधर होना आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1।दो समानान्तर रेखाओं को एक तिहाई द्वारा काट दिया जाता है। ज्ञातव्य है कि दो आंतरिक एकपक्षीय कोणों के बीच का अंतर 30° होता है। इन कोणों को खोजें.

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 शर्त को पूरा करता है।

अध्याय III.
समानांतर प्रत्यक्ष

§ 38. कोणों के बीच निर्भरता,
दो समानांतर रेखाओं और एक माध्यमिक द्वारा निर्मित।

हम जानते हैं कि दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि, जब वे किसी तीसरी रेखा को प्रतिच्छेद करती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं, या आड़े-तिरछे पड़े आंतरिक या बाह्य कोण बराबर होते हैं, या आंतरिक या बाह्य एकपक्षीय कोणों का योग बराबर होता है 2 डी. आइए हम साबित करें कि विपरीत प्रमेय भी सत्य हैं, अर्थात्:

यदि दो समानांतर रेखाओं को एक तिहाई से काट दिया जाए, तो:

1) संगत कोण बराबर होते हैं;
2) आंतरिक क्रॉसवाइज कोण बराबर हैं;
3) बाहरी क्रॉसवाइज कोण बराबर होते हैं;
4) आंतरिक एकपक्षीय कोणों का योग बराबर होता है 2 डी ;
5) बाह्य एकपक्षीय कोणों का योग बराबर होता है 2 डी .

उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि यदि दो समानांतर रेखाएँ एक तीसरी रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं।

मान लीजिए सीधी रेखाएँ AB और CD समानांतर हैं, और MN उनकी छेदक रेखाएँ हैं (चित्र 202)। आइए हम सिद्ध करें कि संगत कोण 1 और 2 एक दूसरे के बराबर हैं।

चलिए मान लेते हैं / 1 और / 2 बराबर नहीं हैं. फिर बिंदु O पर हम निर्माण कर सकते हैं / आईओसी, संगत और बराबर / 2 (ड्राइंग 203)।

लेकिन अगर / MOQ = / 2, तो सीधी रेखा OK CD (§ 35) के समानांतर होगी।

हमने पाया कि दो सीधी रेखाएँ AB और OK, सीधी रेखा CD के समानांतर, बिंदु O से होकर खींची गई थीं। लेकिन ऐसा नहीं हो सकता (§ 37).

हम एक विरोधाभास पर पहुंचे क्योंकि हमने ऐसा मान लिया था / 1 और / 2 बराबर नहीं हैं. इसलिए, हमारी धारणा गलत है और / 1 बराबर होना चाहिए / 2, अर्थात् संगत कोण बराबर हैं।

आइए शेष कोणों के बीच संबंध स्थापित करें। मान लीजिए सीधी रेखाएँ AB और CD समानांतर हैं, और MN उनकी छेदक रेखाएँ हैं (चित्र 204)।

हमने अभी सिद्ध किया है कि इस स्थिति में संगत कोण बराबर होते हैं। आइए मान लें कि उनमें से किन्हीं दो का तापमान 119° है। आइए अन्य छह कोणों में से प्रत्येक के आकार की गणना करें। आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोणों के गुणों के आधार पर, हम पाते हैं कि आठ में से चार कोणों में से प्रत्येक में 119° होगा, और शेष में प्रत्येक में 61° होगा।

यह पता चला कि आंतरिक और बाहरी दोनों क्रॉसवाइज कोण जोड़े में बराबर हैं, और आंतरिक या बाहरी एक तरफा कोणों का योग 180° (या 2) के बराबर है डी).

समान संगत कोणों के किसी अन्य मान के लिए भी यही होगा।

परिणाम 1. यदि दो रेखाएँ AB और CD में से प्रत्येक एक ही तीसरी रेखा MN के समानांतर है, तो पहली दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं (ड्राइंग 205)।

वास्तव में, छेदक EF (चित्र 206) खींचकर, हम प्राप्त करते हैं:
ए) / 1 = / 3, चूंकि एबी || एमएन; बी) / 2 = / 3, चूँकि CO || एमएन.

मतलब, / 1 = / 2, और ये रेखाएँ AB और CD और छेदक EF के संगत कोण हैं, इसलिए, रेखाएँ AB और CD समानांतर हैं।

परिणाम 2. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है (ड्राइंग 207)।

वास्तव में, यदि EF _|_ AB, तो / 1 = डी; यदि एबी || सीडी, फिर / 1 = / 2.

इस तरह, / 2 = डीयानी ईएफ _|_ सीडी।

1) यदि, जब दो सीधी रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं, तो लेटे हुए कोण बराबर होते हैं, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं।

2) यदि, जब दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

3) यदि, जब दो सीधी रेखाएं एक तिर्यक रेखा से प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक तरफा कोणों का योग 180° के बराबर होता है, तो सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

3. किसी बिंदु से होकर, जो किसी दी गई रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा गुजरती है।

4 यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है।

5. यदि दो रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं।

समांतर रेखाओं के गुण

1) यदि दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदी कोण बराबर होते हैं।

2) यदि दो समान्तर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं।

3) यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद किया जाए, तो एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

7. यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक पर लंबवत है, तो वह दूसरी पर भी लंबवत होती है।

8. दो समीकरणों की एक प्रणाली को दो के साथ हल करनासंख्याओं के ऐसे युग्म को अज्ञात कहा जाता है एक्स और पर , जो, जब इस प्रणाली में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इसके प्रत्येक समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है।

9.समीकरणों की प्रणाली को हल करें- इसका अर्थ है इसके सभी समाधान ढूंढना या यह स्थापित करना कि कोई नहीं है।

1. समीकरणों की प्रणाली को हल करने की विधियाँ:

ए) प्रतिस्थापन

बी) जोड़;

ग) ग्राफिक।

10. एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

11.बाहरी कोनाएक त्रिभुज का वह कोण है जो इस त्रिभुज के किसी कोण से सटा हुआ है।

किसी त्रिभुज का एक बाह्य कोण त्रिभुज के दो कोणों के योग के बराबर होता है जो इसके समीप नहीं हैं।

12. किसी भी त्रिभुज में या तो सभी कोण न्यूनकोण होते हैं, या दो कोण न्यूनकोण होते हैं, और तीसरा अधिककोण या सीधा होता है।

13यदि किसी त्रिभुज के तीनों कोण न्यूनकोण हों, तो त्रिभुज कहलाता है न्यूनकोण.

14.यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अधिक कोण हो, तो त्रिभुज कहलाता है कुंठित कोण वाला.

15. यदि किसी त्रिभुज का एक कोण समकोण हो तो त्रिभुज कहलाता है आयताकार.

16. समकोण त्रिभुज की विपरीत दिशा में स्थित भुजा समकोण कहलाती है कर्ण, और अन्य दो पक्ष हैं पैर.

17. एक त्रिभुज में: 1) बड़ा कोण बड़ी भुजा के विपरीत होता है; 2) पीछे, बड़ी भुजा बड़े कोण के विपरीत स्थित है।

18. एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पैर से अधिक लंबा होता है।

19. यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों तो वह त्रिभुज समद्विबाहु (समद्विबाहु त्रिभुज का चिन्ह) होता है।

20. किसी त्रिभुज की प्रत्येक भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है।

21 एक समकोण त्रिभुज के दो न्यून कोणों का योग 90° होता है।

22. 30° के कोण के विपरीत स्थित एक समकोण त्रिभुज का एक पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है।

समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्न: 1) दो भुजाओं पर; 2) कर्ण और न्यून कोण के अनुदिश; 3) कर्ण और पैर के साथ; 4) पैर और तीव्र कोण के साथ

किसी बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई को इस बिंदु से रेखा की दूरी कहा जाता है।

इस लेख में हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषाएँ देंगे और समानता के संकेतों और स्थितियों की रूपरेखा तैयार करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री को स्पष्ट करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों के चित्रण और समाधान का उपयोग करेंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

समतल पर समांतर रेखाएँ- एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ जिनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएँ- त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ, एक ही तल में स्थित और कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं।

यह ध्यान रखना आवश्यक है कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए, "एक ही विमान में झूठ बोलना" स्पष्टीकरण बेहद महत्वपूर्ण है: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं बोलते हैं, समानांतर नहीं हैं , लेकिन प्रतिच्छेद।

समानांतर रेखाओं को इंगित करने के लिए, प्रतीक ∥ का उपयोग करना आम बात है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो इस स्थिति को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a ‖ b. मौखिक रूप से, रेखाओं की समानता को इस प्रकार दर्शाया जाता है: रेखाएँ a और b समानांतर हैं, या रेखा a, रेखा b के समानांतर है, या रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक कथन तैयार करें जो अध्ययनाधीन विषय में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

किसी दिए गए रेखा से संबंधित नहीं होने वाले बिंदु के माध्यम से दिए गए बिंदु के समानांतर एकमात्र सीधी रेखा गुजरती है। इस कथन को प्लानिमेट्री के ज्ञात सिद्धांतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

उस मामले में जब हम अंतरिक्ष के बारे में बात कर रहे हैं, प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 1

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से होकर जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा होगी।

इस प्रमेय को उपरोक्त अभिगृहीत (कक्षा 10-11 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर सिद्ध करना आसान है।

समांतरता मानदंड एक पर्याप्त शर्त है, जिसकी पूर्ति रेखाओं की समांतरता की गारंटी देती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, समतल और अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ हैं। आइए समझाएं: आवश्यक का अर्थ है वह शर्त जिसका पूरा होना समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक है; यदि यह पूरा नहीं होता है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं।

संक्षेप में कहें तो, रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त वह स्थिति है जिसका पालन रेखाओं के एक-दूसरे के समानांतर होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त है। एक ओर तो यह समानता का संकेत है, दूसरी ओर यह समानांतर रेखाओं में निहित गुण है।

किसी आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का सटीक सूत्रीकरण देने से पहले, आइए कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करें।

परिभाषा 3

छेदक रेखा- एक सीधी रेखा दी गई दो गैर-संपाती सीधी रेखाओं में से प्रत्येक को काटती है।

दो सीधी रेखाओं को काटते हुए, एक तिर्यक रेखा आठ अविकसित कोण बनाती है। एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम इस तरह के कोणों का उपयोग करेंगे जैसे कि पार, संगत और एक तरफा। आइए उन्हें चित्रण में प्रदर्शित करें:

प्रमेय 2

यदि किसी समतल में दो रेखाएँ एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं, तो दी गई रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर हों, या संगत कोण बराबर हों, या एक तरफा कोणों का योग बराबर हो 180 डिग्री.

आइए हम एक समतल पर रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को आलेखीय रूप से चित्रित करें:

इन स्थितियों का प्रमाण ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये स्थितियाँ त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर भी लागू होती हैं, बशर्ते कि दो रेखाएँ और एक छेदक एक ही तल से संबंधित हों।

आइए हम कुछ और प्रमेय बताएं जिनका उपयोग अक्सर इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 3

एक समतल पर, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यह विशेषता ऊपर बताए गए समांतरता सिद्धांत के आधार पर सिद्ध होती है।

प्रमेय 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

किसी चिह्न के प्रमाण का अध्ययन 10वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया जाता है।

आइए हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण दें:

आइए हम प्रमेयों की एक और जोड़ी को इंगित करें जो रेखाओं की समानता को सिद्ध करती है।

प्रमेय 5

एक समतल पर, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समान चीज़ तैयार करें।

प्रमेय 6

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई पर लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए स्पष्ट करें:

उपरोक्त सभी प्रमेय, संकेत और स्थितियाँ ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके रेखाओं की समानता को आसानी से साबित करना संभव बनाती हैं। अर्थात्, रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संगत कोण बराबर हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित कर सकता है कि दो दी गई रेखाएँ तीसरे पर लंबवत हैं, आदि। लेकिन ध्यान दें कि किसी समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता साबित करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता

किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा संभावित प्रकारों में से एक विमान पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के लिए कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए, दी गई रेखाओं का वर्णन करने वाले समीकरण के प्रकार के आधार पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें लिखें।

आइए एक समतल पर रेखाओं की समानता की स्थिति से शुरुआत करें। यह एक रेखा के दिशा वेक्टर और एक समतल पर एक रेखा के सामान्य वेक्टर की परिभाषाओं पर आधारित है।

प्रमेय 7

दो गैर-संपाती रेखाओं के एक समतल पर समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दी गई रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों, या दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा के दिशा सदिश लंबवत हों दूसरी पंक्ति का सामान्य वेक्टर.

यह स्पष्ट हो जाता है कि किसी समतल पर रेखाओं की समांतरता की स्थिति सदिशों की संरेखता की स्थिति या दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति पर आधारित होती है। अर्थात्, यदि a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं;

और n b → = (n b x , n b y) रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो हम उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y या n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y या a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, जहां t कोई वास्तविक संख्या है। गाइड या सीधे वैक्टर के निर्देशांक सीधी रेखाओं के दिए गए समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए मुख्य उदाहरण देखें.

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित होती है: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; सीधी रेखा b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (ए 1, बी 1) और (ए 2, बी 2) होंगे। हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 = टी ए 2 बी 1 = टी बी 2

1. रेखा a का वर्णन y = k 1 x + b 1 के ढलान वाली रेखा के समीकरण द्वारा किया जाता है। सीधी रेखा b - y = k 2 x + b 2. तब दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (k 1, - 1) और (k 2, - 1) होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखेंगे:

के 1 = टी के 2 - 1 = टी (- 1) ⇔ के 1 = टी के 2 टी = 1 ⇔ के 1 = के 2

इस प्रकार, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर समानांतर रेखाएं कोणीय गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी गई हैं, तो दी गई रेखाओं के कोणीय गुणांक बराबर होंगे। और विपरीत कथन सत्य है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान कोणीय गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएँ a और b एक समतल पर एक रेखा के विहित समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं: x - x 1 a x = y - y 1 a y और x - x 2 b x = y - y 2 b y या पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा समतल पर एक रेखा: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y और x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y।

फिर दी गई रेखाओं के दिशा सदिश क्रमशः a x, a y और b x, b y होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखेंगे:

ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

दो पंक्तियाँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 = 0 और x 1 2 + y 5 = 1. यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे समानांतर हैं।

समाधान

आइए हम एक सीधी रेखा के समीकरण को खंडों में एक सामान्य समीकरण के रूप में लिखें:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

हम देखते हैं कि n a → = (2, - 3) रेखा 2 x - 3 y + 1 = 0 का सामान्य सदिश है, और n b → = 2, 1 5 रेखा x 1 2 + y 5 का सामान्य सदिश है = 1.

परिणामी सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि तत् का ऐसा कोई मान नहीं है जिससे समानता सत्य हो:

2 = टी 2 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = 1 5

इस प्रकार, किसी समतल पर रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण 2

रेखाएँ y = 2 x + 1 और x 1 = y - 4 2 दी गई हैं। क्या वे समानांतर हैं?

समाधान

आइए सीधी रेखा x 1 = y - 4 2 के विहित समीकरण को ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में बदलें:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

हम देखते हैं कि रेखाओं y = 2 x + 1 और y = 2 x + 4 के समीकरण समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा होता, तो रेखाएँ संपाती होती) और रेखाओं के कोणीय गुणांक बराबर हैं, जिसका अर्थ है दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

आइए समस्या को अलग ढंग से हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, आइए जाँच करें कि क्या दी गई रेखाएँ मेल खाती हैं। हम रेखा y = 2 x + 1 पर किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1), इस बिंदु के निर्देशांक रेखा x 1 = y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं मेल खाती हैं मेल नहीं खाता.

अगला चरण यह निर्धारित करना है कि दी गई रेखाओं की समानता की स्थिति पूरी होती है या नहीं।

रेखा y = 2 x + 1 का सामान्य सदिश सदिश n a → = (2 , - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा का दिशा सदिश b → = (1 , 2) है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है:

एन ए → , बी → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

इस प्रकार, सदिश लंबवत हैं: यह हमें मूल रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त की पूर्ति को दर्शाता है। वे। दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

उत्तर:ये रेखाएं समानांतर हैं.

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त शर्त का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संपाती रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों।

वे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के समीकरणों को देखते हुए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दी गई रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक निर्धारित करने के साथ-साथ उनकी संरेखता की स्थिति की जाँच करके पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) क्रमशः रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तो उनके समानांतर होने के लिए, अस्तित्व ऐसी वास्तविक संख्या का t आवश्यक है, ताकि समानता बनी रहे:

ए → = टी बी → ⇔ ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई ए जेड = टी बी जेड

उदाहरण 3

रेखाएँ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 और x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ दी गई हैं। इन रेखाओं की समानता सिद्ध करना आवश्यक है।

समाधान

समस्या की स्थितियाँ अंतरिक्ष में एक रेखा के विहित समीकरणों और अंतरिक्ष में दूसरी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती हैं। वैक्टरों का मार्गदर्शन करें ए → और b → दी गई रेखाओं के निर्देशांक हैं: (1, 0, - 3) और (2, 0, - 6)।

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , फिर a → = 1 2 · b → .

परिणामस्वरूप, अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त पूरी हो जाती है।

उत्तर:दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

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सभी तरीके से: 1 और 5, 4 और 8, 2 और 6, 3 और 7;

आंतरिक क्रॉसवाइज कोण: 3 और 5, 4 और 6;

बाहरी क्रॉसवाइज कोण: 1 और 7, 2 और 8;

आंतरिक एक तरफा कोने: 3 और 6, 4 और 5;

बाहरी एकतरफ़ा कोने: 1 और 8, 2 और 7.

तो, ∠ 2 = ∠ 4 और ∠ 8 = ∠ 6, लेकिन जो सिद्ध किया गया है उसके अनुसार, ∠ 4 = ∠ 6.

इसलिए, ∠ 2 =∠ 8.

3. सभी तरीके से 2 और 6 समान हैं, क्योंकि ∠ 2 = ∠ 4, और ∠ 4 = ∠ 6. आइए यह भी सुनिश्चित करें कि अन्य संगत कोण बराबर हैं।

4. जोड़ आंतरिक एक तरफा कोने 3 और 6 योग के कारण 2d होंगे आसन्न कोने 3 और 4, 2d = 180 0 के बराबर है, और ∠ 4 को समरूप ∠ 6 से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। हम यह भी सुनिश्चित करते हैं कि कोणों का योग 4 और 5 2d के बराबर है।

5. जोड़ बाहरी एकतरफ़ा कोने 2d होगा क्योंकि ये कोण क्रमशः बराबर हैं आंतरिक एक तरफा कोनेकोनों की तरह खड़ा.

उपरोक्त सिद्ध औचित्य से हमें प्राप्त होता है बातचीत प्रमेय.

जब, एक मनमानी तीसरी रेखा के साथ दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर, हम यह प्राप्त करते हैं:

1. आंतरिक क्रॉसवाइज कोण समान हैं;

या 2.बाहरी क्रॉसवाइज कोण समान हैं;

या 3.संगत कोण बराबर होते हैं;

या 4.आंतरिक एकपक्षीय कोणों का योग 2d = 180 0 है;

या 5.बाहरी एकतरफ़ा का योग 2d = 180 0 है ,

तो पहली दो पंक्तियाँ समानांतर हैं।