समलम्ब चतुर्भुज में मध्य रेखा क्या है? एक ट्रेपेज़ॉइड के गुण

प्लैनिमेट्रिक समस्याओं को हल करने में, किसी आकृति की भुजाओं और कोणों के अलावा, अन्य मात्राएँ अक्सर सक्रिय भाग लेती हैं - माध्यिकाएँ, ऊँचाई, विकर्ण, समद्विभाजक और अन्य। इनमें मध्य रेखा भी शामिल है।
यदि मूल बहुभुज एक समलम्ब चतुर्भुज है, तो इसकी मध्य रेखा क्या है? यह खंड एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है जो आकृति के किनारों को बीच में काटता है और अन्य दो पक्षों - आधारों के समानांतर स्थित होता है।

मध्य और आधार की रेखा के माध्यम से समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें

यदि ऊपरी और निचले आधारों के मान ज्ञात हैं, तो अभिव्यक्ति अज्ञात की गणना करने में मदद करेगी:

ए, बी - आधार, एल - मध्य रेखा।

किसी क्षेत्र से होकर समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा का पता कैसे लगाएं

यदि स्रोत डेटा में आकृति का क्षेत्र शामिल है, तो इस मान का उपयोग करके आप ट्रेपेज़ॉइड के बीच में रेखा की लंबाई की गणना भी कर सकते हैं। आइए सूत्र S = (a+b)/2*h का उपयोग करें,
एस - क्षेत्र,
एच - ऊंचाई,
ए, बी - आधार।
लेकिन, चूँकि l = (a+b)/2, तो S = l*h, जिसका अर्थ है l=S/h।

आधार और उसके कोणों से होकर समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें

आकृति के बड़े आधार की लंबाई, उसकी ऊंचाई, साथ ही उस पर कोणों की ज्ञात डिग्री माप को देखते हुए, ट्रेपेज़ॉइड के मध्य की रेखा को खोजने के लिए अभिव्यक्ति का निम्नलिखित रूप होगा:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, जबकि
एल वांछित मान है,
ए - बड़ा आधार,
α, β इस पर कोण हैं,
h - आकृति की ऊँचाई।

यदि छोटे आधार का मान ज्ञात है (वही अन्य डेटा दिया गया है), तो निम्नलिखित संबंध मध्य रेखा को खोजने में मदद करेगा:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

एल वांछित मान है,
बी - छोटा आधार,
α, β इस पर कोण हैं,
h - आकृति की ऊँचाई।

ऊंचाई, विकर्णों और कोणों का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा ज्ञात करें

आइए एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां समस्या स्थितियों में आकृति के विकर्णों के मान, एक दूसरे को काटते समय उनके द्वारा बनने वाले कोण, साथ ही ऊंचाई भी शामिल होती है। आप निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का उपयोग करके केंद्र रेखा की गणना कर सकते हैं:

l=(d1*d2)/2h*sinγ या l=(d1*d2)/2h*sinφ,

एल - मध्य रेखा,
d1, d2 – विकर्ण,
φ, γ - उनके बीच के कोण,
h - आकृति की ऊँचाई।

समद्विबाहु आकृति के लिए समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें

यदि मूल आकृति एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, तो उपरोक्त सूत्रों का निम्नलिखित रूप होगा।

• यदि समलम्बाकार आधारों के मान मौजूद हैं, तो अभिव्यक्ति में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

एल = (ए+बी)/2, ए, बी - आधार, एल - मध्य रेखा।

• यदि ऊंचाई, आधार और उससे सटे कोण ज्ञात हों, तो:

एल=ए-एच*सीटीजीα,
एल=बी+एच*सीटीजीα,

एल - मध्य रेखा,
ए, बी - आधार (बी< a),
α इस पर कोण हैं,
h - आकृति की ऊँचाई।

• यदि ट्रेपेज़ॉइड का पार्श्व पक्ष और आधारों में से एक ज्ञात है, तो अभिव्यक्ति का संदर्भ देकर वांछित मान निर्धारित किया जा सकता है:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
एल - मध्य रेखा,
ए, बी - आधार (बी< a),
h - आकृति की ऊँचाई।

• ऊंचाई, विकर्णों (और वे एक दूसरे के बराबर हैं) और उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बने कोणों के ज्ञात मूल्यों के साथ, मध्य रेखा निम्नानुसार पाई जा सकती है:

l=(d*d)/2h*sinγ या l=(d*d)/2h*sinφ,

एल - मध्य रेखा,
डी - विकर्ण,
φ, γ - उनके बीच के कोण,
h - आकृति की ऊँचाई।

• आकृति का क्षेत्रफल और ऊंचाई ज्ञात है, तो:

एल=एस/एच,
एस - क्षेत्र,
एच - ऊंचाई.

• यदि लंबवत ऊंचाई अज्ञात है, तो इसे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

h=c*sinα, इसलिए
एल=एस/सी*sinα,
एल - मध्य रेखा,
एस - क्षेत्र,
सी - पक्ष,
α आधार पर कोण है.

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा और विशेष रूप से इसके गुणों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में समस्याओं को हल करने और कुछ प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

यह एक चतुर्भुज है जिसकी केवल दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं। समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है (चित्र 1 में - विज्ञापनऔर ईसा पूर्व), अन्य दो पार्श्व हैं (चित्र में)। अबऔर सीडी).

समलम्बाकार की मध्य रेखाइसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है (चित्र 1 में - के.एल).

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुण

समलम्बाकार मध्यरेखा प्रमेय का प्रमाण

सिद्ध करनाकिसी समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है और इन आधारों के समानांतर होती है।

एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है ए बी सी डीमध्य रेखा के साथ के.एल. विचाराधीन गुणों को सिद्ध करने के लिए बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है बीऔर एल. चित्र 2 में यह एक सीधी रेखा है बीक्यू. और फाउंडेशन भी जारी रखें विज्ञापनलाइन के साथ चौराहे तक बीक्यू.

परिणामी त्रिभुजों पर विचार करें एल.बी.सी.और एलक्यूडी:

1. मध्य रेखा की परिभाषा के अनुसार के.एलडॉट एलखंड का मध्यबिंदु है सीडी. यह इस प्रकार है कि खंड सी.एल.और एलडीबराबर हैं।
2. ∠बीएलसी = ∠QLDचूँकि ये कोण ऊर्ध्वाधर हैं।
3. ∠BCL = ∠LDQचूँकि ये कोण समांतर रेखाओं पर आड़े-तिरछे स्थित होते हैं विज्ञापनऔर ईसा पूर्वऔर सेकेंट सीडी.

इन 3 समानताओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि पहले माने गए त्रिभुज एल.बी.सी.और एलक्यूडीएक तरफ और दो आसन्न कोणों पर बराबर (चित्र 3 देखें)। इस तरह, ∠LBC = ∠ एलक्यूडी, बीसी=डीक्यूऔर सबसे महत्वपूर्ण बात - बीएल=एलक्यू => के.एल, जो समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा है ए बी सी डी, त्रिभुज की मध्य रेखा भी है एबीक्यू. त्रिभुज की मध्य रेखा के गुण के अनुसार एबीक्यूहम पाते हैं।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की अवधारणा

सबसे पहले, आइए याद करें कि किस प्रकार की आकृति को समलम्ब चतुर्भुज कहा जाता है।

परिभाषा 1

ट्रैपेज़ॉइड एक चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होती हैं।

इस मामले में, समानांतर भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है।

परिभाषा 2

ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

ट्रेपेज़ॉइड मिडलाइन प्रमेय

अब हम एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के बारे में प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे वेक्टर विधि का उपयोग करके सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 1

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

सबूत।

आइए हमें $AD\ और\ BC$ के आधार पर एक समलंब $ABCD$ दिया जाए। और मान लीजिए कि $MN$ इस समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा है (चित्र 1)।

चित्र 1. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा

आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। आगे हम सदिशों को जोड़ने के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है

दूसरी ओर

आइए अंतिम दो समानताएँ जोड़ें और प्राप्त करें

चूँकि $M$ और $N$ समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, इसलिए हमारे पास होगा

हम पाते हैं:

इस तरह

उसी समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ सह-दिशात्मक हैं और, इसलिए, संरेख) हम पाते हैं कि $MN||AD$।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की अवधारणा पर समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ क्रमशः $15\ सेमी$ और $17\ सेमी$ हैं। समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप $52\cm$ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए हम समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।

भुजाओं का योग बराबर होता है

इसलिए, चूँकि परिधि $52\cm$ है, आधारों का योग बराबर है

तो, प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

उत्तर:$10\सेमी$.

उदाहरण 2

वृत्त के व्यास के सिरे इसकी स्पर्शरेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी दूर हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए हमें बिंदु $O$ और व्यास $AB$ वाला एक वृत्त दिया जाए। आइए एक स्पर्शरेखा $l$ बनाएं और दूरियां $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ बनाएं। आइए त्रिज्या $OH$ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2।

चूँकि $AD$ और $BC$ स्पर्श रेखा की दूरियाँ हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूँकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए, $OH |\बाएँ|AD\दाएँ||BC$। इस सब से हमें पता चलता है कि $ABCD$ एक समलंब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज का एक विशेष मामला है जिसमें भुजाओं का एक जोड़ा समानांतर होता है। शब्द "ट्रेपेज़ॉइड" ग्रीक शब्द τράπεζα से आया है, जिसका अर्थ है "टेबल", "टेबल"। इस लेख में हम ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार और उसके गुणों को देखेंगे। इसके अलावा, हम यह पता लगाएंगे कि इसके व्यक्तिगत तत्वों की गणना कैसे करें, उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु समलंब का विकर्ण, केंद्र रेखा, क्षेत्र, आदि। सामग्री को प्राथमिक लोकप्रिय ज्यामिति की शैली में प्रस्तुत किया गया है, अर्थात। आसानी से सुलभ रूप में .

सामान्य जानकारी

सबसे पहले, आइए जानें कि चतुर्भुज क्या है। यह आकृति चार भुजाओं और चार शीर्षों वाले बहुभुज का एक विशेष मामला है। चतुर्भुज के दो शीर्ष जो आसन्न नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं। यही बात दो गैर-आसन्न भुजाओं के लिए भी कही जा सकती है। चतुर्भुज के मुख्य प्रकार समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलंब और डेल्टॉइड हैं।

तो चलिए ट्रैपेज़ॉइड्स पर वापस आते हैं। जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, इस आकृति की दो समानांतर भुजाएँ हैं। इन्हें आधार कहा जाता है। अन्य दो (गैर-समानांतर) पार्श्व भुजाएँ हैं। परीक्षाओं और विभिन्न परीक्षणों की सामग्रियों में, आप अक्सर ट्रेपेज़ॉइड से संबंधित समस्याएं पा सकते हैं, जिनके समाधान के लिए अक्सर छात्र के पास कार्यक्रम में प्रदान नहीं किए गए ज्ञान की आवश्यकता होती है। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम छात्रों को कोणों और विकर्णों के गुणों के साथ-साथ एक समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा से परिचित कराता है। लेकिन, इसके अतिरिक्त, उल्लिखित ज्यामितीय आकृति में अन्य विशेषताएं भी हैं। लेकिन उनके बारे में थोड़ी देर बाद...

ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार

यह आकृति कई प्रकार की होती है. हालाँकि, अक्सर उनमें से दो पर विचार करने की प्रथा है - समद्विबाहु और आयताकार।

1. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें एक भुजा आधारों के लंबवत होती है। उसके दोनों कोण सदैव नब्बे डिग्री के बराबर होते हैं।

2. समद्विबाहु समलम्ब एक ज्यामितीय आकृति है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों पर बने कोण भी जोड़े में बराबर होते हैं।

ट्रैपेज़ॉइड के गुणों का अध्ययन करने की पद्धति के मुख्य सिद्धांत

मुख्य सिद्धांत में तथाकथित कार्य दृष्टिकोण का उपयोग शामिल है। वास्तव में, ज्यामिति के सैद्धांतिक पाठ्यक्रम में इस आकृति के नए गुणों को शामिल करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उन्हें विभिन्न समस्याओं (अधिमानतः सिस्टम वाली) को हल करने की प्रक्रिया में खोजा और तैयार किया जा सकता है। साथ ही, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि शिक्षक को पता हो कि शैक्षिक प्रक्रिया के दौरान किसी न किसी समय छात्रों को कौन से कार्य सौंपे जाने चाहिए। इसके अलावा, ट्रैपेज़ॉइड की प्रत्येक संपत्ति को कार्य प्रणाली में एक महत्वपूर्ण कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है।

दूसरा सिद्धांत ट्रेपेज़ॉइड के "उल्लेखनीय" गुणों के अध्ययन का तथाकथित सर्पिल संगठन है। इसका तात्पर्य सीखने की प्रक्रिया में किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति की व्यक्तिगत विशेषताओं की वापसी से है। इससे छात्रों को उन्हें याद रखना आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, चार बिंदुओं की संपत्ति. समानता का अध्ययन करते समय और बाद में वैक्टर का उपयोग करते समय इसे सिद्ध किया जा सकता है। और किसी आकृति की पार्श्व भुजाओं से सटे त्रिभुजों की समतुल्यता को न केवल एक ही सीधी रेखा पर स्थित भुजाओं पर समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के गुणों को लागू करके, बल्कि सूत्र S = 1/2( का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है। ab*sinα)। इसके अलावा, आप एक खुदे हुए ट्रैपेज़ॉइड पर या एक खुदे हुए ट्रैपेज़ॉइड पर एक समकोण त्रिभुज आदि पर काम कर सकते हैं।

स्कूल पाठ्यक्रम की सामग्री में ज्यामितीय आकृति की "पाठ्येतर" विशेषताओं का उपयोग उन्हें पढ़ाने के लिए एक कार्य-आधारित तकनीक है। अन्य विषयों से गुजरते समय अध्ययन किए जा रहे गुणों का लगातार जिक्र करने से छात्रों को ट्रैपेज़ॉइड का गहरा ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति मिलती है और निर्दिष्ट समस्याओं को हल करने की सफलता सुनिश्चित होती है। तो चलिए इस अद्भुत आंकड़े का अध्ययन शुरू करते हैं।

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के तत्व और गुण

जैसा कि हम पहले ही नोट कर चुके हैं, इस ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ समान हैं। इसे सही ट्रेपेज़ॉइड के रूप में भी जाना जाता है। यह इतना उल्लेखनीय क्यों है और इसे ऐसा नाम क्यों मिला? इस आकृति की ख़ासियत यह है कि न केवल आधार पर भुजाएँ और कोण समान हैं, बल्कि विकर्ण भी समान हैं। इसके अलावा, एक समद्विबाहु समलंब के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। लेकिन वह सब नहीं है! सभी ज्ञात समलम्ब चतुर्भुजों में से केवल एक समद्विबाहु को एक वृत्त के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इस आकृति के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर है, और केवल इस स्थिति के तहत ही कोई चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकता है। विचाराधीन ज्यामितीय आकृति की अगली संपत्ति यह है कि आधार के शीर्ष से सीधी रेखा पर विपरीत शीर्ष के प्रक्षेपण तक की दूरी जिसमें यह आधार शामिल है, मध्य रेखा के बराबर होगी।

अब आइए जानें कि समद्विबाहु समलंब के कोण कैसे ज्ञात करें। आइए इस समस्या के समाधान पर विचार करें, बशर्ते कि आकृति की भुजाओं के आयाम ज्ञात हों।

समाधान

आमतौर पर, एक चतुर्भुज को आमतौर पर ए, बी, सी, डी अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जहां बीएस और एडी आधार हैं। एक समद्विबाहु समलंब में, भुजाएँ बराबर होती हैं। हम मान लेंगे कि उनका आकार X के बराबर है, और आधारों का आकार Y और Z (क्रमशः छोटा और बड़ा) के बराबर है। गणना करने के लिए, कोण बी से ऊंचाई एच खींचना आवश्यक है। परिणाम एक समकोण त्रिभुज एबीएन है, जहां एबी कर्ण है, और बीएन और एएन पैर हैं। हम पैर AN के आकार की गणना करते हैं: हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं, और परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं। हम इसे एक सूत्र के रूप में लिखते हैं: (Z-Y)/2 = F। अब, तीव्र की गणना करने के लिए त्रिभुज के कोण के लिए, हम कॉस फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं। हमें निम्नलिखित प्रविष्टि मिलती है: cos(β) = X/F. अब हम कोण की गणना करते हैं: β=arcos (X/F)। इसके अलावा, एक कोण को जानकर, हम दूसरा निर्धारित कर सकते हैं, इसके लिए हम एक प्रारंभिक अंकगणितीय ऑपरेशन करते हैं: 180 - β। सभी कोण परिभाषित हैं.

इस समस्या का दूसरा समाधान भी है. सबसे पहले, हम इसे कोने से ऊंचाई एच तक कम करते हैं। हम पैर बीएन के मूल्य की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। हमें मिलता है: BN = √(X2-F2)। आगे हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन tg का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास है: β = आर्कटान (बीएन/एफ)। एक न्यून कोण पाया गया है. आगे, हम इसे पहली विधि के समान ही परिभाषित करते हैं।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति

सबसे पहले, आइए चार नियम लिखें। यदि समद्विबाहु समलंब में विकर्ण लंबवत हैं, तो:

आकृति की ऊंचाई दो से विभाजित आधारों के योग के बराबर होगी;

इसकी ऊंचाई और मध्य रेखा बराबर होती है;

वृत्त का केंद्र वह बिंदु है जिस पर;

यदि पार्श्व पक्ष को स्पर्शरेखा बिंदु द्वारा खंड एच और एम में विभाजित किया जाता है, तो यह इन खंडों के उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है;

स्पर्शरेखा बिंदुओं, समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष और अंकित वृत्त के केंद्र से बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग होता है जिसकी भुजा त्रिज्या के बराबर होती है;

किसी आकृति का क्षेत्रफल आधारों के गुणनफल और आधारों के योग के आधे भाग और उसकी ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

समान ट्रेपेज़ॉइड

यह विषय इसके गुणों का अध्ययन करने के लिए बहुत सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, विकर्ण एक समलंब को चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और जो आधार से सटे होते हैं वे समान होते हैं, और जो भुजाओं से सटे होते हैं उनका आकार समान होता है। इस कथन को उन त्रिभुजों का गुण कहा जा सकता है जिनमें समलम्ब चतुर्भुज को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है। इस कथन का प्रथम भाग दो कोणों पर समानता के चिन्ह से सिद्ध होता है। दूसरे भाग को सिद्ध करने के लिए नीचे दी गई विधि का उपयोग करना बेहतर है।

प्रमेय का प्रमाण

हम स्वीकार करते हैं कि आकृति ABSD (AD और BS समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं) को विकर्ण VD और AC द्वारा विभाजित किया गया है। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु O है। हमें चार त्रिभुज मिलते हैं: AOS - निचले आधार पर, BOS - ऊपरी आधार पर, ABO और SOD भुजाओं पर। यदि खंड BO और OD उनके आधार हैं तो त्रिभुज SOD और BOS की ऊँचाई समान है। हम पाते हैं कि उनके क्षेत्रों (पी) के बीच का अंतर इन खंडों के बीच के अंतर के बराबर है: पीबीओएस/पीएसओडी = बीओ/ओडी = के। इसलिए, पीएसओडी = पीबीओएस/के। इसी प्रकार, त्रिभुज BOS और AOB की ऊँचाई समान है। हम खंड CO और OA को उनके आधार के रूप में लेते हैं। हमें PBOS/PAOB = CO/OA = K और PAOB = PBOS/K मिलता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि PSOD = PAOB.

सामग्री को समेकित करने के लिए, छात्रों को निम्नलिखित समस्या को हल करके परिणामी त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच संबंध खोजने की सलाह दी जाती है जिसमें समलम्ब चतुर्भुज को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया गया है। यह ज्ञात है कि त्रिभुज BOS और AOD का क्षेत्रफल समान है, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि PSOD = PAOB, इसका अर्थ है PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD। त्रिभुज BOS और AOD की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि BO/OD = √(PBOS/PAOD)। इसलिए, पीबीओएस/पीएसओडी = बीओ/ओडी = √(पीबीओएस/पीएओडी)। हमें PSOD = √(PBOS*PAOD) मिलता है। तब PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

समानता के गुण

इस विषय को विकसित करना जारी रखते हुए, हम ट्रेपेज़ॉइड्स की अन्य दिलचस्प विशेषताओं को साबित कर सकते हैं। इस प्रकार, समानता का उपयोग करके, कोई उस खंड की संपत्ति को साबित कर सकता है जो आधारों के समानांतर, इस ज्यामितीय आकृति के विकर्णों के चौराहे से बने बिंदु से गुजरता है। ऐसा करने के लिए, आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें: हमें बिंदु O से गुजरने वाले खंड RK की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। त्रिकोण AOD और BOS की समानता से यह पता चलता है कि AO/OS = AD/BS। त्रिभुज AOP और ASB की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD)। यहां से हमें पता चलता है कि RO=BS*BP/(BS+BP)। इसी प्रकार, त्रिभुज DOC और DBS की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि OK = BS*AD/(BS+AD)। यहां से हमें पता चलता है कि RO=OK और RK=2*BS*AD/(BS+AD)। आधारों के समानांतर और दो पार्श्व भुजाओं को जोड़ने वाले विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाला एक खंड, प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होता है। इसकी लंबाई आकृति के आधारों का हार्मोनिक माध्य है।

एक समलम्ब चतुर्भुज के निम्नलिखित गुण पर विचार करें, जिसे चार बिंदुओं का गुण कहा जाता है। विकर्णों (O) के प्रतिच्छेदन बिंदु, भुजाओं की निरंतरता का प्रतिच्छेदन (E), साथ ही आधारों (T और F) के मध्य बिंदु हमेशा एक ही रेखा पर स्थित होते हैं। इसे समानता विधि से आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। परिणामी त्रिभुज BES और AED समान हैं, और उनमें से प्रत्येक में माध्यिकाएँ ET और EJ शीर्ष कोण E को समान भागों में विभाजित करती हैं। इसलिए, बिंदु E, T और F एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसी प्रकार, बिंदु T, O, और Zh एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह सब त्रिभुज BOS और AOD की समानता से होता है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार बिंदु - ई, टी, ओ और एफ - एक ही सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

समान ट्रेपेज़ॉइड का उपयोग करके, आप छात्रों से उस खंड (एलएस) की लंबाई खोजने के लिए कह सकते हैं जो आकृति को दो समान भागों में विभाजित करता है। यह खंड आधारों के समानांतर होना चाहिए. चूँकि परिणामी समलम्बाकार ALFD और LBSF समान हैं, तो BS/LF = LF/AD। यह इस प्रकार है कि LF=√(BS*AD). हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो समान भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आकृति के आधारों की लंबाई के ज्यामितीय माध्य के बराबर है।

निम्नलिखित समानता संपत्ति पर विचार करें। यह एक खंड पर आधारित है जो समलंब को दो समान आकृतियों में विभाजित करता है। हम मानते हैं कि ट्रेपेज़ॉइड एबीएसडी को खंड ईएच द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया गया है। शीर्ष B से एक ऊंचाई हटा दी जाती है, जिसे खंड EN द्वारा दो भागों - B1 और B2 में विभाजित किया जाता है। हमें मिलता है: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 और PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2। इसके बाद, हम एक सिस्टम बनाते हैं जिसका पहला समीकरण (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 और दूसरा (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 है। यह इस प्रकार है कि B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) और BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1)। हम पाते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधारों की लंबाई के मूल माध्य वर्ग के बराबर है: √((BS2+AD2)/2)।

समानता निष्कर्ष

इस प्रकार, हमने यह सिद्ध कर दिया है कि:

1. एक ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड AD और BS के समानांतर है और BS और AD के अंकगणितीय माध्य (ट्रेपेज़ॉइड के आधार की लंबाई) के बराबर है।

2. AD और BS के समानांतर विकर्णों के प्रतिच्छेदन के बिंदु O से गुजरने वाली रेखा संख्या AD और BS (2*BS*AD/(BS+AD)) के हार्मोनिक माध्य के बराबर होगी।

3. समलम्ब चतुर्भुज को समान खंडों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधार बीएस और एडी के ज्यामितीय माध्य की होती है।

4. एक आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले तत्व की लंबाई AD और BS संख्याओं के मूल माध्य वर्ग की होती है।

सामग्री को समेकित करने और विचारित खंडों के बीच संबंध को समझने के लिए, छात्र को उन्हें एक विशिष्ट ट्रेपोज़ॉइड के लिए बनाने की आवश्यकता है। वह आसानी से मध्य रेखा और उस खंड को प्रदर्शित कर सकता है जो बिंदु O से होकर गुजरता है - आकृति के विकर्णों का प्रतिच्छेदन - आधारों के समानांतर। लेकिन तीसरा और चौथा कहाँ स्थित होगा? यह उत्तर छात्र को औसत मूल्यों के बीच वांछित संबंध की खोज की ओर ले जाएगा।

समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड

इस आकृति की निम्नलिखित संपत्ति पर विचार करें। हम मानते हैं कि खंड MH आधारों के समानांतर है और विकर्णों को समद्विभाजित करता है। आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं को Ш और Ш कहते हैं। यह खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होगा। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें। MS, ABS त्रिभुज की मध्य रेखा है, यह BS/2 के बराबर है। MSH त्रिभुज ABD की मध्य रेखा है, यह AD/2 के बराबर है। तब हम पाते हैं कि ShShch = MSh-MSh, इसलिए, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2।

ग्रैविटी केंद्र

आइए देखें कि किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के लिए यह तत्व कैसे निर्धारित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आधारों को विपरीत दिशाओं में विस्तारित करना आवश्यक है। इसका मतलब क्या है? आपको निचले आधार को ऊपरी आधार से जोड़ने की आवश्यकता है - किसी भी दिशा में, उदाहरण के लिए, दाईं ओर। और हम निचले हिस्से को ऊपरी हिस्से की लंबाई से बाईं ओर बढ़ाते हैं। अगला, हम उन्हें तिरछे जोड़ते हैं। आकृति की मध्य रेखा के साथ इस खंड का प्रतिच्छेदन बिंदु समलम्ब चतुर्भुज का गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

उत्कीर्ण और परिचालित समलम्बाकार

आइए ऐसी आकृतियों की विशेषताएं सूचीबद्ध करें:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में तभी अंकित किया जा सकता है जब वह समद्विबाहु हो।

2. एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है, बशर्ते कि उनके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

अंतःवृत्त के परिणाम:

1. वर्णित ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई हमेशा दो त्रिज्याओं के बराबर होती है।

2. वर्णित समलम्ब चतुर्भुज का किनारा वृत्त के केंद्र से समकोण पर देखा जाता है।

पहला परिणाम स्पष्ट है, लेकिन दूसरे को साबित करने के लिए यह स्थापित करना आवश्यक है कि कोण एसओडी सही है, जो वास्तव में मुश्किल भी नहीं है। लेकिन इस संपत्ति का ज्ञान आपको समस्याओं को हल करते समय एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करने की अनुमति देगा।

आइए अब हम एक वृत्त में अंकित समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के लिए इन परिणामों को निर्दिष्ट करें। हम पाते हैं कि ऊँचाई आकृति के आधारों का ज्यामितीय माध्य है: H=2R=√(BS*AD)। समलम्ब चतुर्भुज (दो ऊँचाइयाँ खींचने का सिद्धांत) की समस्याओं को हल करने की बुनियादी तकनीक का अभ्यास करते समय, छात्र को निम्नलिखित कार्य को हल करना होगा। हम मानते हैं कि BT समद्विबाहु आकृति ABSD की ऊंचाई है। एटी और टीडी खंडों को खोजना आवश्यक है। ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके ऐसा करना कठिन नहीं होगा।

अब आइए जानें कि परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके किसी वृत्त की त्रिज्या कैसे निर्धारित की जाए। हम शीर्ष B से आधार AD तक ऊँचाई कम करते हैं। चूँकि वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो BS+AD = 2AB या AB = (BS+AD)/2. त्रिभुज ABN से हम पाते हैं कि synα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)। पीएबीएसडी = (बीएस+बीपी)*बीएन/2, बीएन=2आर। हमें PABSD = (BS+BP)*R मिलता है, यह इस प्रकार है कि R = PABSD/(BS+BP)।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के लिए सभी सूत्र

अब इस ज्यामितीय आकृति के अंतिम तत्व पर आगे बढ़ने का समय आ गया है। आइए जानें कि समलम्ब चतुर्भुज (M) की मध्य रेखा किसके बराबर है:

1. आधारों के माध्यम से: एम = (ए+बी)/2.

2. ऊंचाई, आधार और कोनों के माध्यम से:

एम = ए-एच*(ctgα+ctgβ)/2;

एम = बी+एन*(ctgα+ctgβ)/2.

3. ऊंचाई, विकर्ण और उनके बीच का कोण। उदाहरण के लिए, D1 और D2 एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण हैं; α, β - उनके बीच के कोण:

एम = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. क्षेत्रफल और ऊंचाई के माध्यम से: एम = पी/एन।

इस लेख में हम ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को यथासंभव पूर्ण रूप से प्रतिबिंबित करने का प्रयास करेंगे। विशेष रूप से, हम एक ट्रेपेज़ॉइड की सामान्य विशेषताओं और गुणों के साथ-साथ एक उत्कीर्ण ट्रेपेज़ॉइड और एक ट्रेपेज़ॉइड में अंकित एक वृत्त के गुणों के बारे में बात करेंगे। हम समद्विबाहु और आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुणों पर भी बात करेंगे।

चर्चा किए गए गुणों का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण आपको इसे अपने दिमाग में स्थानों पर क्रमबद्ध करने और सामग्री को बेहतर ढंग से याद रखने में मदद करेगा।

ट्रैपेज़ और ऑल-ऑल-ऑल

आरंभ करने के लिए, आइए संक्षेप में याद करें कि एक ट्रेपेज़ॉइड क्या है और इसके साथ अन्य कौन सी अवधारणाएँ जुड़ी हुई हैं।

तो, एक समलम्ब चतुर्भुज आकृति है, जिसकी दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं (ये आधार हैं)। और ये दोनों समानांतर नहीं हैं - ये भुजाएँ हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई को कम किया जा सकता है - आधारों के लंबवत। केंद्र रेखा और विकर्ण खींचे गए हैं। समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण से समद्विभाजक खींचना भी संभव है।

अब हम इन सभी तत्वों और उनके संयोजनों से जुड़े विभिन्न गुणों के बारे में बात करेंगे।

समलम्बाकार विकर्णों के गुण

इसे स्पष्ट करने के लिए, जब आप पढ़ रहे हों, तो कागज के एक टुकड़े पर समलम्ब चतुर्भुज ACME का रेखाचित्र बनाएं और उसमें विकर्ण बनाएं।

1. यदि आप प्रत्येक विकर्ण के मध्यबिंदु पाते हैं (चलिए इन बिंदुओं को X और T कहते हैं) और उन्हें जोड़ते हैं, तो आपको एक खंड मिलता है। समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का एक गुण यह है कि खंड HT मध्य रेखा पर स्थित होता है। और इसकी लंबाई आधारों के अंतर को दो से विभाजित करके प्राप्त की जा सकती है: ХТ = (ए - बी)/2.
2. हमारे सामने वही समलम्बाकार ACME है। विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए त्रिभुज AOE और MOK को देखें, जो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के साथ विकर्णों के खंडों द्वारा बनते हैं। ये त्रिभुज समरूप हैं. त्रिभुजों का समानता गुणांक k समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है: के = एई/किमी.
   त्रिभुज AOE और MOK के क्षेत्रफलों का अनुपात गुणांक k 2 द्वारा वर्णित है।
3. वही समलम्ब चतुर्भुज, वही विकर्ण जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल इस बार हम उन त्रिभुजों पर विचार करेंगे जो समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के साथ मिलकर विकर्णों के खंड बनाते हैं। त्रिभुज AKO और EMO के क्षेत्रफल समान आकार के हैं - उनके क्षेत्रफल समान हैं।
4. ट्रैपेज़ॉइड की एक अन्य संपत्ति में विकर्णों का निर्माण शामिल है। इसलिए, यदि आप एके और एमई के किनारों को छोटे आधार की दिशा में जारी रखते हैं, तो देर-सबेर वे एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगे। इसके बाद, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के बीच से होकर एक सीधी रेखा खींचें। यह आधारों को बिंदु X और T पर प्रतिच्छेद करता है।
   यदि अब हम रेखा XT का विस्तार करते हैं, तो यह समलम्ब चतुर्भुज O के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को एक साथ जोड़ देगा, वह बिंदु जिस पर पक्षों के विस्तार और आधार X और T के मध्य प्रतिच्छेद करते हैं।
5. विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से हम एक खंड खींचेंगे जो ट्रेपेज़ॉइड के आधारों को जोड़ेगा (T छोटे आधार KM पर स्थित है, X बड़े AE पर स्थित है)। विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस खंड को निम्नलिखित अनुपात में विभाजित करता है: टीओ/ओएक्स = किमी/एई.
6. अब, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से, हम समलम्ब चतुर्भुज (ए और बी) के आधारों के समानांतर एक खंड खींचेंगे। प्रतिच्छेदन बिंदु इसे दो बराबर भागों में विभाजित करेगा। आप सूत्र का उपयोग करके खंड की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं 2एबी/(ए + बी).

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुण

समलम्ब चतुर्भुज में उसके आधारों के समानांतर मध्य रेखा खींचिए।

1. एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई जोड़कर और उन्हें आधे में विभाजित करके की जा सकती है: एम = (ए + बी)/2.
2. यदि आप समलम्ब चतुर्भुज के दोनों आधारों के माध्यम से कोई खंड (उदाहरण के लिए ऊंचाई) खींचते हैं, तो मध्य रेखा इसे दो बराबर भागों में विभाजित कर देगी।

ट्रेपेज़ॉइड द्विभाजक संपत्ति

समलम्ब चतुर्भुज के किसी भी कोण का चयन करें और एक समद्विभाजक बनाएं। आइए, उदाहरण के लिए, हमारे समलम्ब चतुर्भुज ACME के ​​कोण KAE को लें। स्वयं निर्माण पूरा करने के बाद, आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि समद्विभाजक आधार से (या आकृति के बाहर एक सीधी रेखा पर इसकी निरंतरता) किनारे के समान लंबाई के एक खंड को काटता है।

समलम्बाकार कोणों के गुण

1. आप भुजा से सटे कोणों के दो युग्मों में से जो भी चुनें, युग्म में कोणों का योग हमेशा 180 0 होता है: α + β = 180 0 और γ + δ = 180 0।
2. आइए ट्रैपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं को एक खंड TX से जोड़ें। आइए अब समलम्ब चतुर्भुज के आधारों पर बने कोणों को देखें। यदि उनमें से किसी के लिए कोणों का योग 90 0 है, तो खंड TX की लंबाई की गणना आधारों की लंबाई के अंतर के आधार पर आसानी से की जा सकती है, जो आधे में विभाजित है: टीएक्स = (एई - किमी)/2.
3. यदि किसी समलंब कोण की भुजाओं से होकर समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे कोण की भुजाओं को आनुपातिक खंडों में विभाजित कर देंगी।

एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्बाकार के गुण

1. समद्विबाहु समलंब में, किसी भी आधार पर कोण बराबर होते हैं।
2. अब फिर से एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं जिससे यह कल्पना करना आसान हो जाए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं। आधार AE को ध्यान से देखें - विपरीत आधार M का शीर्ष उस रेखा पर एक निश्चित बिंदु पर प्रक्षेपित होता है जिसमें AE होता है। शीर्ष A से शीर्ष M के प्रक्षेपण बिंदु और समद्विबाहु समलंब की मध्य रेखा की दूरी बराबर है।
3. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति के बारे में कुछ शब्द - उनकी लंबाई बराबर होती है। और समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर इन विकर्णों के झुकाव के कोण भी समान हैं।
4. केवल एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180 0 है - इसके लिए एक शर्त।
5. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का गुण पिछले पैराग्राफ से मिलता है - यदि समलंब चतुर्भुज के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो यह समद्विबाहु है।
6. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की विशेषताओं से एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई का गुण इस प्रकार है: यदि इसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो ऊंचाई की लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होती है: एच = (ए + बी)/2.
7. फिर से, ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से खंड TX खींचें - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड में यह आधारों के लंबवत है। और साथ ही TX एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज की समरूपता की धुरी है।
8. इस बार, ट्रैपेज़ॉइड के विपरीत शीर्ष से ऊंचाई को बड़े आधार पर कम करें (चलो इसे कहते हैं)। आपको दो खंड मिलेंगे. यदि आधारों की लंबाई जोड़ दी जाए और आधे में विभाजित किया जाए तो किसी की लंबाई पाई जा सकती है: (ए + बी)/2. हमें दूसरा तब मिलता है जब हम बड़े आधार से छोटे को घटाते हैं और परिणामी अंतर को दो से विभाजित करते हैं: (ए - बी)/2.

एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

चूँकि हम पहले से ही एक वृत्त में अंकित समलम्ब चतुर्भुज के बारे में बात कर रहे हैं, आइए इस मुद्दे पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। विशेष रूप से, जहां वृत्त का केंद्र समलंब चतुर्भुज के संबंध में है। यहां भी, यह अनुशंसा की जाती है कि आप एक पेंसिल लेने के लिए समय निकालें और जो नीचे चर्चा की जाएगी उसे बनाएं। इस तरह आप तेजी से समझेंगे और बेहतर याद रखेंगे।

1. वृत्त के केंद्र का स्थान ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण के उसके किनारे के झुकाव के कोण से निर्धारित होता है। उदाहरण के लिए, एक विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष से समकोण पर किनारे तक विस्तारित हो सकता है। इस मामले में, बड़ा आधार परिवृत्त के केंद्र को बिल्कुल मध्य में काटता है (R = ½AE)।
2. विकर्ण और भुजा एक न्यून कोण पर भी मिल सकते हैं - तब वृत्त का केंद्र समलंब के अंदर होता है।
3. यदि ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण और किनारे के बीच एक अधिक कोण है, तो परिचालित वृत्त का केंद्र ट्रेपेज़ॉइड के बाहर, उसके बड़े आधार से परे हो सकता है।
4. समलम्ब चतुर्भुज ACME (अंकित कोण) के विकर्ण और बड़े आधार से बना कोण इसके अनुरूप केंद्रीय कोण का आधा है: एमएई = ½एमओई.
5. किसी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के दो तरीकों के बारे में संक्षेप में। विधि एक: अपने चित्र को ध्यान से देखें - आप क्या देखते हैं? आप आसानी से देख सकते हैं कि विकर्ण समलम्ब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। त्रिज्या को त्रिभुज की भुजा और विपरीत कोण की ज्या के अनुपात को दो से गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आर = एई/2*sinAME. इसी प्रकार, दोनों त्रिभुजों की किसी भी भुजा के लिए सूत्र लिखा जा सकता है।
6. विधि दो: समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण, भुजा और आधार द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के माध्यम से परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए: आर = एएम*एमई*एई/4*एस एएमई.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित समलम्ब चतुर्भुज के गुण

यदि एक शर्त पूरी हो तो आप एक वृत्त को एक समलंब में फिट कर सकते हैं। इसके बारे में नीचे और पढ़ें। और साथ में आंकड़ों के इस संयोजन में कई दिलचस्प गुण हैं।

1. यदि एक वृत्त एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित है, तो इसकी मध्य रेखा की लंबाई भुजाओं की लंबाई जोड़कर और परिणामी योग को आधे में विभाजित करके आसानी से पाई जा सकती है: एम = (सी + डी)/2.
2. एक वृत्त के बारे में वर्णित समलम्बाकार ACME के ​​लिए, आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर है: एके + एमई = किमी + एई.
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की इस संपत्ति से, विपरीत कथन इस प्रकार है: एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसके आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है।
4. एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित त्रिज्या r वाले वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है, आइए उन्हें a और b कहते हैं। वृत्त की त्रिज्या की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: आर = √ab.
5. और एक और संपत्ति. भ्रम से बचने के लिए यह उदाहरण स्वयं भी बनाएं। हमारे पास अच्छा पुराना समलम्बाकार ACME है, जो एक वृत्त के चारों ओर वर्णित है। इसमें विकर्ण हैं जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्णों और पार्श्व भुजाओं के खंडों से बने त्रिभुज AOK और EOM आयताकार हैं।
   इन त्रिभुजों की ऊँचाई, कर्ण (अर्थात, समलम्ब चतुर्भुज की पार्श्व भुजाएँ) तक नीचे, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के साथ मेल खाती है। और ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई अंकित वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के गुण

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो। और इसके गुण इसी परिस्थिति से उत्पन्न होते हैं।

1. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज की एक भुजा इसके आधार से लंबवत होती है।
2. समकोण से सटे समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई और भुजा बराबर होती है। यह आपको एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड (सामान्य सूत्र) के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है एस = (ए + बी) * एच/2) न केवल ऊंचाई के माध्यम से, बल्कि समकोण के निकटवर्ती पक्ष के माध्यम से भी।
3. एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के लिए, ऊपर वर्णित समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के सामान्य गुण प्रासंगिक हैं।

समलम्बाकार के कुछ गुणों का साक्ष्य

समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोणों की समानता:

• आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि यहां हमें फिर से AKME ट्रेपेज़ॉइड की आवश्यकता होगी - एक समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड बनाएं। शीर्ष M से AK (MT || AK) की भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा MT खींचिए।

परिणामी चतुर्भुज AKMT एक समांतर चतुर्भुज (AK || MT, KM || AT) है। चूँकि ME = KA = MT, ∆ MTE समद्विबाहु है और MET = MTE है।

एके || एमटी, इसलिए एमटीई = केएई, मेट = एमटीई = केएई।

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME कहां है।

क्यू.ई.डी.

अब, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (विकर्णों की समानता) के गुण के आधार पर, हम इसे सिद्ध करते हैं समलम्बाकार ACME समद्विबाहु है:

• सबसे पहले, आइए एक सीधी रेखा MX – MX || खींचें के.ई. हमें एक समांतर चतुर्भुज KMHE (आधार - MX || KE और KM || EX) प्राप्त होता है।

∆AMX समद्विबाहु है, क्योंकि AM = KE = MX, और MAX = MEA।

एमएच || केई, केईए = एमएक्सई, इसलिए एमएई = एमएक्सई।

इससे पता चला कि त्रिभुज AKE और EMA एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि AM = KE और AE दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजाएँ हैं। और एमएई = एमएक्सई भी। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AK = ME, और इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समलम्ब चतुर्भुज AKME समद्विबाहु है।

कार्य की समीक्षा करें

समलम्बाकार ACME का आधार 9 सेमी और 21 सेमी है, भुजा KA, 8 सेमी के बराबर, छोटे आधार के साथ 150 0 का कोण बनाता है। आपको समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

समाधान: शीर्ष K से हम ऊँचाई को समलम्ब चतुर्भुज के बड़े आधार तक कम करते हैं। और आइए समलम्ब चतुर्भुज के कोणों को देखना शुरू करें।

कोण AEM और KAN एक तरफा हैं। इसका मतलब है कि कुल मिलाकर वे 180 0 देते हैं। इसलिए, KAN = 30 0 (ट्रेपेज़ॉइडल कोणों की संपत्ति के आधार पर)।

आइए अब आयताकार ∆ANC पर विचार करें (मेरा मानना ​​है कि यह बिंदु अतिरिक्त सबूत के बिना पाठकों के लिए स्पष्ट है)। इससे हम समलम्ब चतुर्भुज KH की ऊँचाई ज्ञात करेंगे - एक त्रिभुज में यह एक पैर है जो 30 0 के कोण के विपरीत स्थित है। इसलिए, KH = ½AB = 4 सेमी.

हम सूत्र का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 सेमी 2।

अंतभाषण

यदि आपने इस लेख का ध्यानपूर्वक और विचारपूर्वक अध्ययन किया है, अपने हाथों में एक पेंसिल के साथ दिए गए सभी गुणों के लिए ट्रेपेज़ॉइड बनाने और व्यवहार में उनका विश्लेषण करने में बहुत आलसी नहीं थे, तो आपको सामग्री में अच्छी तरह से महारत हासिल करनी चाहिए थी।

बेशक, यहां बहुत सारी जानकारी है, विविध और कभी-कभी भ्रमित करने वाली भी: वर्णित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों को अंकित ट्रैपेज़ॉइड के गुणों के साथ भ्रमित करना इतना मुश्किल नहीं है। लेकिन आपने खुद देखा है कि अंतर बहुत बड़ा है.

अब आपके पास ट्रैपेज़ॉइड के सभी सामान्य गुणों की एक विस्तृत रूपरेखा है। साथ ही समद्विबाहु और आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के विशिष्ट गुण और विशेषताएं। परीक्षणों और परीक्षाओं की तैयारी के लिए इसका उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। इसे स्वयं आज़माएं और अपने दोस्तों के साथ लिंक साझा करें!

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